chap5

Chapitre V
Chapitre V : Mouvement dans un champ de force centrale
conservative
I. Forces centrales :
r
1. Définition : Une force centrale F est une force dont le support (droite d’action)
passe, à tout instant, par un point fixe O dans le référentiel galiléen R. O est appelé le
centre de la force. On dit qu’un point matériel M de masse m est soumis à une force
r
r
r
r
r OM
centrale F si F est de la forme F = f ( r )ur avec ur =
(f(r) ne dépend que de r).
OM
r uuuur
r uuuur
Cette définition implique que F et OM sont toujours colinéaires ( F / / OM ).
Une force centrale conservative dérive d’une énergie potentielle Ep définie par :
r
dE r
r
F = f ( r )ur = − p ur
dr
L’énergie mécanique d’un point matériel M soumis à une force centrale conservative
est conservée.
Exemples :
a. Interaction coulombienne :
r
1 q1q r
F=
ur où ε 0 est la permittivité électrique du vide. Cette force peut être
4πε 0 r²
attractive ou répulsive selon le signe de qq1.
b. Interaction gravitationnelle :
r
mm r
mmr
F = −G 1 ur = −G 1 ur
où G est la constante de la gravitation
OM ²
r²
G = 6,67.10 -11 kg −1 m 3s −2 . La force gravitationnelle est une force centrale attractive qui
régit le mouvement des planètes autour du soleil, le mouvement des satellites autour de
la Terre…
Remarque :
Les forces gravitationnelle et coulombienne sont un type particulier de forces centrales
conservatives appelées forces newtoniennes. Ces forces s’expriment sous la forme
r −k r
F=
ur . La force est attractive si k > 0 , répulsive si k < 0 .
r²
dE p
 k  k
= −  − 2  = 2 donc
L’énergie potentielle Ep dont dérive cette force est définie par
dr
 r  r
−k
−k
Ep( r ) =
+ cte =
(En général, on choisit la constante nulle pour que l’énergie
r
r
potentielle tende vers 0 lorsque la distance r tend vers l’infini). Dans le cas de la force
−GMm
gravitationnelle E p ( r ) =
r
2. Conséquences du caractère central de la force :
r
Dans ce paragraphe, on montre que le caractère central de la force F implique la
conservation du moment cinétique en O du système. On en déduit que le mouvement est
plan et vérifie la loi des aires.
a. Conservation du moment cinétique :
N. KHEMIRI-IPEIEM
1
Chapitre V
Le moment cinétique de M par rapport auuuuu
point
O dans le référentiel galiléen R est :
r fixe
r
r
LO = OM ∧ mvM / R
Si on applique le théorème du moment cinétique dans R :
r
uuuur r r
r uuuur
r r
dLO
= M O ( F ) = OM ∧ F = 0 car F et OM sont toujours colinéaires. On en déduit que
dt ( R )
uuuur
r
le moment cinétique est une constante LO = cste : On dit que le moment cinétique par
rapport au centre de la force O se conserve au cours du mouvement.
b. Mouvement plan (planéité du mouvement) :
La conséquence immédiate de la conservation du moment cinétique est la nature plane
r
du mouvement. En effet, le mouvement a lieu dans le plan orthogonal à LO et passant par
uuuur
r
r
O car LO est constamment orthogonal à OM et vM / R . Le point M est donc astreint à se
uuuur r
déplacer dans le plan formé par O, OM et vM / R .
c. Loi des aires :
Comme le mouvement est plan, le système de coordonnées le plus adapté est le système
polaire. On suppose que le mouvement s’effectue dans le plan (XOY) :
r
uθ
r
ur
r
j
r r
k i
uuuur
r
r
r
r
& r + rθ&uθ . Par conséquent,
Ainsi, on a OM = rur et vM / R = ru
uuuur
r uur
r
r
r
r
r
& r + rθ&uθ = mr²θ&k = cte d’où mr²θ& = cte
LO = OM ∧ mvM / R = rur ∧ m ru
On introduit et on définit la constante des aires C : C = r²θ&
uuuur
Si on calcule la surface élémentaire dS balayée par le vecteur OM lorsque θ varie de dθ :
1
1
1
dS ≈ OM × M ( t ) M ( t + dt ) = OM × dOM = OM × vdt (1/2 rectangle)
2
2
2
1 dθ
1
1
dS = r²
dt = Cdt
dS = Cdt
ainsi
: la loi des aires.
2 dt
2
2
(
)
M (t + dt )
M (t )
r
j
r r
k i
uuuur
Dans un mouvement à force centrale, le rayon vecteur OM balaye des aires (surfaces)
égales pendant des intervalles de temps égaux de durée Δt.
N. KHEMIRI-IPEIEM
2
Chapitre V
M (t + ∆t )
S1
M ' (t ' )
M (t )
S2
M ' (t '+ ∆t )
S1= S2
3. Conservation de l’énergie mécanique :
Si le système (point matériel M) ne subit aucune autre force que la force centrale
r r
conservative F ( F dérive d’une énergie potentielle Ep), on a la conservation de l’énergie
1
mécanique : Em = mv 2 + E p ( r )
2
II. Interaction gravitationnelle :
On se propose d’étudier le mouvement d’un point matériel M (par exemple la Terre) de
masse m en interaction gravitationnelle avec un astre S (le Soleil) de masse MS situé en O
dans le référentiel d’étude supposé galiléen. On se place dans la situation où MS≫ m
(l’astre S est fixe et situé en O) et le système (astre S + point M) est isolé (on néglige la
présence des autres astres). Dans ces conditions l’astre S exerce sur le point M une force
r
Mmr
d’attraction gravitationnelle : F = −G s ur qui dérive de l’énergie potentielle
r²
−GM s m
. Cette force est une force centrale conservative. Le mouvement satisfait
Ep( r ) =
r
donc aux conservations du moment cinétique et de l’énergie
Le mouvement
uuuur mécanique.
r
r
r
r
& r + rθ&uθ
est plan, on l’étudie en coordonnées polaires. Ainsi, on a OM = rur et vM / R = ru
uuuur
r
r uur
r
r
r
r
r
& + rθ&u = mr²θ&k = mCk = cte
* L = OM ∧ mv
= ru ∧ m ru
O
M/R
(
r
θ
r
(
)
)
GM s m
1 2
1
mv + E p ( r ) = m r& 2 + r 2θ& 2 −
= E0
2
2
r
1. Energie potentielle effective (ou efficace) :
GM s m
1
1
= E0
On a Em = mv 2 + E p ( r ) = m r& 2 + r 2θ& 2 −
2
2
r
Si on introduit la constante des aires C = r²θ& = cte on peut écrire l’énergie mécanique
1
mC 2 GM s m
sous la forme : Em = mr& 2 +
−
2
2r 2
r
2
1
GM s m
mC
Si on pose E peff ( r ) =
on aura : Em = mr& 2 + E peff ( r ) ainsi l’énergie
−
2
2r
r
2
mécanique ne dépend que de r et sa dérivée r& et le problème se ramène alors à l’étude
d’une seule variable r au lieu de 2 variables.
Discussion :
On pouvait croire que ce problème était à deux degrés de liberté r et θ. En fait, à cause
de la conservation du moment cinétique, r et θ& sont reliés par la constante des aires C.
* Em =
(
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)
3
Chapitre V
On a alors intérêt à introduire une énergie potentielle utile, dite Energie potentielle
mC 2
effective E Peff ( r ) = E P ( r ) +
pour se ramener à un problème à un seul degré de
2r 2
liberté où seules r et sa dérivée r& interviennent. Cependant, il ne faut pas oublier quand
même que le mouvement de M est plan (M tourne toujours autour de O) et que le
mouvement de M n’est bien sur en aucun cas devenu rectiligne.
2. Étude qualitative du mouvement radial :
Pour une énergie mécanique Em donnée du point matériel M, le tracé de la courbe
représentative de l’énergie potentielle effective Epeff(r) en fonction de la variable r
permet de conclure graphiquement quant au domaine de variation de r et la nature des
trajectoires de M. En effet, pour avoir un mouvement et les états accessibles, il faut que
Em ≥ Epeff .
U eff ( r )
•
Si Em < E0 : Pas de mouvement.
• Si Em = E0= Epeffmin : r ne peut prendre que la valeur r0 : r = r0 et θ& =
C2
= cste : le
r02
mouvement est circulaire uniforme : C’est un état lié.
• Si Em = E1 : r varie dans l’intervalle : r1 ≤ r ≤ r’1 : C’est un état lié. M reste dans le
puits de potentiel créé par S. La trajectoire est une ellipse dont S est l’un de ses
foyers.
• Si Em = 0 : r peut prendre toute valeur comprise entre r3 et l’infini : C’est un état
de diffusion. M peut atteindre l’infini. La trajectoire est une parabole.
• Si Em = E2 : r peut prendre toute valeur comprise entre r2 et l’infini : C’est un état
de diffusion. M peut atteindre l’infini. La trajectoire est une hyperbole.
3. Mouvement des planètes – Lois de Kepler :
A partir des observations des planètes faites par Tycho Brahé, Kepler dépouille ces
observations et énonce les lois su mouvement des planètes autour du soleil :
1ère loi de Kepler (Loi des orbites 1605) : Les planètes décrivent, dans le sens direct,
des orbites elliptiques dont le soleil occupe l’un des foyers.
2ème loi de Kepler (Loi des aires (1604) : Pour chaque planète étudiée, le rayon
vecteur Soleil–Planète balaie des aires égales pendant des intervalles de temps égaux.
3ème loi de Kepler (Loi des périodes (1618) : Quelle que soit la planète considérée, le
rapport entre le carré de la période de révolution T de la planète autour du Soleil et le
cube du demi-grand axe a de l'orbite elliptique est le même pour toutes les planètes (ce
rapport est indépendant de la planète) :
4π 2 mPlanète
T2
4π 2
=
=
= cte
a 3 GM Soleil mPlanète GM Soleil
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Chapitre V
III. Cas d’un mouvement circulaire :
1. Etude du mouvement circulaire :
Dans cette partie, on restreint l’étude faite en II. au cas où la trajectoire de M de masse m
est un cercle de rayon r0 et de centre O = S (centre de la force centrale conservative). Un
exemple de ce type de mouvement est le mouvement circulaire de rayon r0 (r0 est la
distance entre O et M d’où r0 est la somme du rayon terrestre Rt et de l’altitude h du
satellite) d’un satellite M de masse m autour de la Terre de masse Ms et de centre O. Le
mouvement est plan,
coordonnées polaires. Ainsi, on a :
uuuur on rl’étudie en
r
r
r
r
r
OM = r0 ur
vM / R = r0θ&uθ
γ M / R = −r0θ& 2 ur + r0θ&&uθ
• Expression de la vitesse v de M en fonction de r0 :
Appliquons le PFD dans le référentiel géostationnaire galiléen :
uur
uur
v 2 r dv r
M mr
mγ = −G s2 ur or γ = − ur + uθ
r0
r0
dt
r
Si on projette sur ur :
Mm
GM s
v2
= cte
= −G s2 d’où v =
r0
r0
r0
r
Si on projette sur uθ :
dv
= 0 ainsi v = cte : On démontre ainsi que la norme de la vitesse est constante et est
dt
GM s
= cte et par conséquent le mouvement circulaire est uniforme.
égale à v =
r0
−m
• Expression de la période T de M en fonction de r0 :
La période de révolution T de M autour de O est le temps nécessaire à M pour parcourir
GM s
2π r0
= cte . Ainsi, T =
tout le cercle de circonférence 2πr0 à la vitesse v =
r0
GM s
r0
T 2 4π 2
= cte : On retrouve ainsi la troisième loi de Kepler.
Par conséquent ; 3 =
r0
GM s
Remarque : Dans le cas d’une trajectoire elliptique, on remplace le rayon r0 par le demiT 2 4π 2
= cte
grand axe a de l’ellipse et on a : 3 =
a
GM s
• Expression de l’énergie mécanique de M en fonction de r0 :
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Chapitre V
L’énergie mécanique du point M est :
GM s m
1
1 GM s m GM s m
Em = mv 2 + E p ( r ) =
−
=−
= cte
2
2 r0
r0
2r0
On constate que EC = − Em et EP = 2Em . Ainsi, si Em diminue (présence des forces de
frottement par exemple), EC = − E m augmente, donc v augmente (ce qui peut paraître
paradoxal) alors que r0 diminue, mais en supposant que le mouvement est toujours
circulaire.
Remarque : Dans le cas d’une trajectoire elliptique, on remplace le rayon r0 par le demi
GM s m
= cte
grand-axe a de l’ellipse et on a : Em = −
2a
2. Satellite géostationnaire :
Un satellite géostationnaire est un satellite qui paraît toujours (à chaque instant)
immobile par rapport à un observateur situé sur la surface de la Terre. Il est donc fixe
par rapport au référentiel terrestre. Par conséquent, il se trouve toujours à la verticale
du même point de la Terre et tourne donc à la même vitesse angulaire de la Terre.
Nécessairement, ce satellite doit donc être en orbite circulaire autour de l'axe des pôles,
à la même vitesse de rotation que celle de la terre. Or, on sait que le mouvement de tout
satellite est plan (conséquence de la conservation du moment cinétique), précisément,
dans un plan passant par le centre de la terre. En conséquence, un satellite
géostationnaire est en orbite circulaire dans le plan de l'équateur (Plan équatorial), à la
même vitesse de rotation que celle de la Terre.
Un satellite géostationnaire est fixe par rapport au référentiel terrestre alors qu’il est en
mouvement circulaire uniforme dans le référentiel géostationnaire avec une période
T = TTerre = 23h56 min 4s .
2
GM sTTerre
T 2 4π 2
3
= cte d’où r0 =
= 42 200 km ( = 6 ,6 Rt )
On a 3 =
r0
GM s
4π 2
En plus r0= Rt + h d’où h = 35 800 km : altitude de l’orbite géostationnaire.
Tous les satellites géostationnaires sont placés sur la même orbite circulaire d’altitude h
= 35800 km avec une période égale à 23h56min4s. L’orbite géostationnaire contient
plus que 250 satellites. Les applications sont : satellites de météorologie, d’alerte, de
télécommunications de télédiffusion….
Données : Ms= 6 1024 Kg : masse de la Terre ; Rt= 6400 km : Rayon terrestre ; G = 6,67
10−11 N.m2.kg−2 : Constante de gravitation universelle.
r0= Rt + h
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Chapitre V
2. Vitesses cosmiques :
a. Vitesse minimale de satellisation en orbite basse :
La première vitesse cosmique v1 est une vitesse limite qui correspond à la vitesse
minimale qu’il faut donner à un satellite pour le mettre en orbite autour de la Terre. Si la
vitesse du satellite envoyé depuis la Terre est inférieure à cette vitesse, le satellite
retombe sur Terre. Cette vitesse est égale à la vitesse v1 d’un corps en orbite rasante
autour de la Terre. On considère alors que l’altitude est négligeable devant le rayon
terrestre RT et que l’orbite est circulaire de rayon RT. La vitesse du satellite sur la
trajectoire vaut donc :
GM T
v1 =
= 7,92km.s −1
RT
b. Vitesse de libération :
La deuxième vitesse cosmique v2 ou vitesse de libération est la vitesse minimale
nécessaire pour quitter l’attraction gravitationnelle de la Terre à partir du sol. Pour la
déterminer, on considère que l’on donne au système l’énergie minimale lui permettant
de s’éloigner à l’infini de son point de lancement situé sur Terre. Cet état est un état de
1
GM T m
diffusion et on a donc Em = mv 2 −
≥ 0 . Comme on cherche la vitesse de libération
2
RT
minimale, on a v = v2 et E m = 0 :
v2 =
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2GM T
= 2 × v1 = 11,2km.s −1
RT
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