Actuariat T D Alg Bilin L2 17-18-1

Université Félix Houphouët Boigny Cocody 2017-2018
U.F.R. de Maths-Info/Actuariat
Fiche de T.D.
ALGEBRE BILINEAIRE L2
Exercice 1
u= (x; y; z); q (u) = 5x2+ 7y2+ 6z24xz 4yz:
u= (x; y; z; t); q (u) = x2+y2+z2+t22xy + 2xz + 2xt + 2yz + 2yt 2zt:
1°)Décomposer chacune de ces formes en carrées de Gauss.Donner la signature,
le noyau, le rang, le cône isotrope de chacune.
2°)Montrer que pour chaque forme, il existe une base orthonormale de vecteurs propres
pour le produit scalaire canonique de R3ou R4.
Exercice 2
Soit Eun R-espace vectoriel à base canonique B= (e1; e2; e3),
et f:EE! Rl’application dé…nie par :
f(x; y) = x1y1+ 6x2y2+ 56x3y32 (x1y2+x2y1) + 7 (x1y3+x3y1)18 (x2y3+x3y2)
1. Déterminer la matrice Ade fdans la base B:La forme bilinéaire fest-elle dégénerée ?
2. Déterminer la forme quadratique qassociée à fdans la base B:
3. Décomposer qen somme de carrés indépendants. Préciser la signature et le rang de q:
4. Déterminer une base de Eorthogonale pour f(ou q);et préciser l’expression de q
dans cette base.
5. Soit "1=e1;"2= 2e1+e2;"3=3e1+ 2e2+e3:
Déterminer la matrice de fdans la base B0= ("1; "2; "3):
Exercice 3
Soit E=M2(R)l’ensemble des matrices carrées d’ordre deux à coe¢ cients réels muni
de sa base canonique B= (E1; E2; E3; E4)
où : E1="1 0
0 0 #;E2="0 1 0 0 #;E3="0 0 1 0 #;E4="0 0 0 1 #:
1. Soit ':EE! Rdé…nie par :
'(A; B) = 1
2[(trA) (trB)tr (AB)] ;8(A; B)2EE:
a) Montrer que 'est une forme bilinéaire symétrique.
b) Déterminer la matrice de 'dans la base B:Montrer que 'est non dégénerée.
2. a) Rappeler pourquoi l’on a A2(trA)A+ (det A)I2= 0 pour tout A2E:
b) Déduire de a) que la forme quadratique qassociée à 'est donnée par : q(A) = det A
pour tout A2E:Quel est l’ensemble des éléments isotropes pour q?
c) Démontrer la relation suivante :
(trA) (trB)tr (AB) = det (A+B)det Adet B,8(A; B)2EE:
1

3. On appelle Mla matrice M=2
6
6
6
6
4
0 0 0 1
0 0 1 0
0100
1 0 0 0
3
7
7
7
7
5
:
Trouver une base de R4formée de vecteurs propres de M; et montrer qu’on peut la
choisir orthonormale (pour le produit scalaire canonique de R4):
Déterminer la signature de q.
Exercice 4
Soit Eun espace vectoriel de base B= (e1; e2; e3):On considère la forme quadratique
qsur Edé…nie par :
x=
3
P
i=1
xiei7! q(x) = x2
1+ 5x2 2+ 5x2 34x1x24x1x3+ 6x2x3:
1.Dé…nir la forme polaire associée à q:Ecrire la matrice Ade dans la base B:
2. Préciser la signature et le rang de q:La forme est-elle dégénerée ?
3. Déterminer une base ("1; "2; "3)de Eorthogonale pour , et préciser l’expression de
qdans cette base.
4. Déterminer une base E?:Déterminer le noyau de et un vecteur de Eisotrope pour
:
5. Soit uun endomorphisme de Eet 'une forme bilinéaire symétrique non dégénerée
tels que 8(x; y)2E2(x; y) = '(u(x); y):
a) Déterminer la matrice Ade udans la base Ben fonction des matrices Mde et Nde
'dans cette même base.
b) Montrer que les vecteurs propres de uassociés à des valeurs propres de usont
orthogonaux pour et 'à la fois.
Exercice 5
Soit E=C([1;1] ;R)structuré en espace préhilbertien réel à l’aide du produit scalaire
(f; g)2EE7!< f; g >=1
2Z1
1
f(x)g(x)dx:
Pour i= 0;3on considère le polynôme Pi(x) = xi:
1. Montrer que fP0; P1; P2gest une famille libre mais non orthogonale de E:
2. Soit Fle sous-espace vectoriel de Eengendré par P0; P1et P2:
a) Construire par le procédé d’orthogonalisation de Schmidt, une base orthonormée
fQ0; Q1; Q2gde F:
b) Soit P3la projection orthogonale de P3sur F. Exprimer P3dans la base
fQ0; Q1; Q2gde F, et calculer la distance de P3àF:
Exercice 6
Soit Mn(R)muni du produit scalaire :(M; N)7!< M; N >=tr (tMN).
tr est la trace d’une matrice et (tM)est la transpoée de M.
1. Montrer que (:j:)est un produit scalaire sur Mn(R), l’ensemble
des matrices réelles carrées d’ordre n,E=Mn(R).
2. Déterminer l’orthogonal du sous-espace vectoriel V1des matrices diagonales de
2

Mn(R):
3. a) Déterminer l’orthogonal du sous-espace vectoriel V2des matrices scalaires de
Mn(R):
b) Etant donné M2Mn(R);trouver la projection orthogonale de Msur V2et sur V?
2:
Exercice 7
Soit E=R2[x]l’espace vectoriel réel des polynômes de degré 2:
On munit Edu produit scalaire suivant :
(P; Q)2EE7!< P; Q >=Z1
0
P(x)Q(x)dx:
Soit ul’endomorphisme de Edé…ni par 8P2E; u (P) = P0:
Déterminer l’endomorphisme adjoint ude urelativement au produit scalaire < :; : > :
Préciser u(P)lorsque P(x) = a0+a1x+a2x2.
Exercice 8
Soit (E; < :; : >)un espace euclidien et uun endomorphisme orthogonal de E:
1. Véri…er que les seules valeurs propres réelles possibles de usont 1et 1:
2. On suppose dim Eimpair.
a) Montrer que si det u= 1;alors uadmet la valeur propre 1avec un ordre de
multiplicité impair.
b) Montrer que si det u=1;alors uadmet la valeur propre -1avec un ordre de
multiplicité impair.
3. On suppose dim Epair.
a) Donner un exemple où det u= 1 et où ni 1ni 1ne sont valeurs propres de u:
b) Montrer que si det u=1;alors uadmet les valeurs propres 1et 1avec des ordres
de multiplicité impairs.
Exercice 9
I. Soit R3structuré en espace euclidien réel à l’aide du produit scalaire usuel.
On considère une rotation de R3;c’est-à-dire un automorphisme orthogonal ude
R3de déterminant égal à 1:On suppose u6=idR3:
1. Montrer que l’ensemble Ddes points invariants par uest une droite vectorielle
(Dest dit axe de rotation). Soit Ple plan vectoriel orthogonal à D:
Montrer que Pest stable par uet que la restriction de uàPest une rotation
(Pest dit plan de rotation).
2. Ecrire la matrice de udans une base orthonormée B0= ("1; "2; "3)de R3avec
"1; "22Pet "32D:
En déduire que le cosinus de l’angle de la rotation induite sur Ppar uest donné par
cos =1
2(tru 1) :
II.On suppose maintenant que uest une symétrie de R3;c’est-à-dire un automorphisme
orthogonal ude R3de déterminant égal à 1et u6=idR3:
1. Montrer que l’ensemble des x2R3véri…ant u(x) = xest une droite vectorielle.
Soit Ple plan vectoriel orthogonal à D: Montrer que Pest stable par uet que la
3

restriction de uàPest une rotation.
2. Ecrire la matrice de udans une base orthonormée B0= ("1; "2; "3)de R3avec
"1; "22Pet "32D:
En déduire que uest la composée d’une symétrie orthogonale et d’une rotation dont le
cosinus de l’angle est donné par cos =1
2(tru + 1) :
Exercice 10
Dans R3euclidien, on considère les endomorphismes uet vdont les matrice dans la base
canonique sont :
U=2
6
6
4
01 0
0 0 1
1 0 0
3
7
7
5;V=1
42
6
6
4
2 + p3p2 2 p3
p2 2p3p2
2p3p2 2 + p3
3
7
7
5:
Précicer la nature de uet vainsi que leurs éléments caractéristiques.
4