Actuariat T D Alg Bilin L2 17-18-1

Université Félix Houphouët Boigny Cocody
2017-2018
U.F.R. de Maths-Info/Actuariat
Fiche de T.D.
ALGEBRE BILINEAIRE L2
Exercice 1
u = (x; y; z) ; q (u) = 5x2 + 7y 2 + 6z 2
2
2
4xz
2
2
u = (x; y; z; t) ; q (u) = x + y + z + t
4yz:
2xy + 2xz + 2xt + 2yz + 2yt
2zt:
1° ) Décomposer chacune de ces formes en carrées de Gauss.Donner la signature,
le noyau, le rang, le cône isotrope de chacune.
2° ) Montrer que pour chaque forme, il existe une base orthonormale de vecteurs propres
pour le produit scalaire canonique de R3 ou R4 .
Exercice 2
Soit E un R-espace vectoriel à base canonique B = (e1 ; e2 ; e3 ),
et f : E
E ! R l’application dé…nie par :
f (x; y) = x1 y1 + 6x2 y2 + 56x3 y3
2 (x1 y2 + x2 y1 ) + 7 (x1 y3 + x3 y1 )
18 (x2 y3 + x3 y2 )
1. Déterminer la matrice A de f dans la base B:La forme bilinéaire f est-elle dégénerée ?
2. Déterminer la forme quadratique q associée à f dans la base B:
3. Décomposer q en somme de carrés indépendants. Préciser la signature et le rang de q:
4. Déterminer une base de E orthogonale pour f (ou q);et préciser l’expression de q
dans cette base.
5. Soit "1 = e1 ; "2 = 2e1 + e2 ; "3 =
3e1 + 2e2 + e3 :
Déterminer la matrice de f dans la base B 0 = ("1 ; "2 ; "3 ) :
Exercice 3
Soit E = M2 (R) l’ensemble des matrices carrées d’ordre deux à coe¢ cients réels muni
de
" sa base
# canonique
" B =#(E1 ; E2 ;"E3 ; E4 )#
"
#
1 0
0 1
0 0
0 0
où : E1 =
; E2 =
; E3 =
; E4 =
:
0 0
0 0
1 0
0 1
1. Soit ' : E E ! R dé…nie par :
1
' (A; B) = [(trA) (trB) tr (AB)] ; 8 (A; B) 2 E E:
2
a) Montrer que ' est une forme bilinéaire symétrique.
b) Déterminer la matrice de ' dans la base B:Montrer que ' est non dégénerée.
2. a) Rappeler pourquoi l’on a A2
(trA) A + (det A) I2 = 0 pour tout A 2 E:
b) Déduire de a) que la forme quadratique q associée à ' est donnée par : q (A) = det A
pour tout A 2 E:Quel est l’ensemble des éléments isotropes pour q?
c) Démontrer la relation suivante :
(trA) (trB)
tr (AB) = det (A + B)
det A
1
det B , 8 (A; B) 2 E
E:
2
0
0
0
3
1
7
6
6 0 0
1 0 7
7:
6
3. On appelle M la matrice M = 6
1 0 0 7
5
4 0
1 0
0 0
4
Trouver une base de R formée de vecteurs propres de M; et montrer qu’on peut la
choisir orthonormale (pour le produit scalaire canonique de R4 ):
Déterminer la signature de q.
Exercice 4
Soit E un espace vectoriel de base B = (e1 ; e2 ; e3 ) :On considère la forme quadratique
q sur E dé…nie par :
3
P
x=
xi ei 7 ! q (x) = x21 + 5x22 + 5x23
4x1 x2
4x1 x3 + 6x2 x3 :
i=1
1.Dé…nir la forme polaire
associée à q:Ecrire la matrice A de
2. Préciser la signature et le rang de q:La forme
dans la base B:
est-elle dégénerée ?
3. Déterminer une base ("1 ; "2 ; "3 ) de E orthogonale pour , et préciser l’expression de
q dans cette base.
4. Déterminer une base E ? : Déterminer le noyau de
et un vecteur de E isotrope pour
:
5. Soit u un endomorphisme de E et ' une forme bilinéaire symétrique non dégénerée
tels que 8 (x; y) 2 E 2
(x; y) = ' (u (x) ; y) :
a) Déterminer la matrice A de u dans la base B en fonction des matrices M de
et N de
' dans cette même base.
b) Montrer que les vecteurs propres de u associés à des valeurs propres de u sont
orthogonaux pour
et ' à la fois.
Exercice 5
Soit E = C ([ 1; 1] ; R) structuré enZespace préhilbertien réel à l’aide du produit scalaire
1 1
(f; g) 2 E E 7 !< f; g >=
f (x) g (x) dx:
2 1
Pour i = 0; 3 on considère le polynôme Pi (x) = xi :
1. Montrer que fP0 ; P1 ; P2 g est une famille libre mais non orthogonale de E:
2. Soit F le sous-espace vectoriel de E engendré par P0 ; P1 et P2 :
a) Construire par le procédé d’orthogonalisation de Schmidt, une base orthonormée
fQ0 ; Q1 ; Q2 g de F:
b) Soit P3 la projection orthogonale de P3 sur F . Exprimer P3 dans la base
fQ0 ; Q1 ; Q2 g de F , et calculer la distance de P3 à F:
Exercice 6
Soit Mn (R) muni du produit scalaire :(M; N ) 7 !< M; N >= tr (t M N ).
tr est la trace d’une matrice et (t M ) est la transpoée de M .
1. Montrer que (: j :) est un produit scalaire sur Mn (R), l’ensemble
des matrices réelles carrées d’ordre n, E = Mn (R).
2. Déterminer l’orthogonal du sous-espace vectoriel V1 des matrices diagonales de
2
Mn (R) :
3. a) Déterminer l’orthogonal du sous-espace vectoriel V2 des matrices scalaires de
Mn (R) :
b) Etant donné M 2 Mn (R) ; trouver la projection orthogonale de M sur V2 et sur V2? :
Exercice 7
Soit E = R2 [x] l’espace vectoriel réel des polynômes de degré
2:
On munit E du produit scalaire suivant :Z
1
(P; Q) 2 E E 7 !< P; Q >=
P (x) Q (x) dx:
0
Soit u l’endomorphisme de E dé…ni par 8P 2 E; u (P ) = P 0 :
Déterminer l’endomorphisme adjoint u de u relativement au produit scalaire < :; : > :
Préciser u (P ) lorsque P (x) = a0 + a1 x + a2 x2 .
Exercice 8
Soit (E; < :; : >) un espace euclidien et u un endomorphisme orthogonal de E:
1. Véri…er que les seules valeurs propres réelles possibles de u sont
1 et 1:
2. On suppose dim E impair.
a) Montrer que si det u = 1; alors u admet la valeur propre 1 avec un ordre de
multiplicité impair.
b) Montrer que si det u =
1; alors u admet la valeur propre -1 avec un ordre de
multiplicité impair.
3. On suppose dim E pair.
a) Donner un exemple où det u = 1 et où ni
b) Montrer que si det u =
1 ni 1 ne sont valeurs propres de u:
1; alors u admet les valeurs propres
1 et 1 avec des ordres
de multiplicité impairs.
Exercice 9
I. Soit R3 structuré en espace euclidien réel à l’aide du produit scalaire usuel.
On considère une rotation de R3 ; c’est-à-dire un automorphisme orthogonal u de
R3 de déterminant égal à 1: On suppose u 6= idR3 :
1. Montrer que l’ensemble D des points invariants par u est une droite vectorielle
(D est dit axe de rotation). Soit P le plan vectoriel orthogonal à D:
Montrer que P est stable par u et que la restriction de u à P est une rotation
(P est dit plan de rotation).
2. Ecrire la matrice de u dans une base orthonormée B 0 = ("1 ; "2 ; "3 ) de R3 avec
"1 ; "2 2 P et "3 2 D:
En déduire que le cosinus de l’angle de la rotation induite sur P par u est donné par
1
cos = (tru 1) :
2
II.On suppose maintenant que u est une symétrie de R3 ; c’est-à-dire un automorphisme
orthogonal u de R3 de déterminant égal à
1 et u 6= idR3 :
1. Montrer que l’ensemble des x 2 R3 véri…ant u (x) =
x est une droite vectorielle.
Soit P le plan vectoriel orthogonal à D: Montrer que P est stable par u et que la
3
restriction de u à P est une rotation.
2. Ecrire la matrice de u dans une base orthonormée B 0 = ("1 ; "2 ; "3 ) de R3 avec
"1 ; "2 2 P et "3 2 D:
En déduire que u est la composée d’une symétrie orthogonale et d’une rotation dont le
1
cosinus de l’angle est donné par cos = (tru + 1) :
2
Exercice 10
Dans R3 euclidien, on considère les endomorphismes u et v dont les matrice dans la base
canonique sont
3 :
2
p
p
p 3
0
1 0
2+ 3
2 2
3
6
7
6 p
p
p 7
1
U =6
V = 6
0
1 7
2
2 3
2 7:
4 0
5;
44
p
p
p 5
1 0
0
2
3
2 2+ 3
Précicer la nature de u et v ainsi que leurs éléments caractéristiques.
2
4