INTEGRATION
I. PRESENTATION
Dans ce chapitre, nous allons voir la dernière notion liée aux fonctions dans ce
programme de terminale S. Les intégrales vont nous permettre de calculer, en
particulier, des aires. C’est une notion essentielle aussi bien pour les mathématiques
que pour les sciences physiques. On sera également amené à parler dans cette fiche de
primitives qui est aux fonctions ce que les fonctions sont aux dérivées. On réutilisera
les intégrales quand on parlera de probabilités continues, également appelées
probabilités à densité.
II. PREREQUIS
La notion d’intégration utilise tous les propriétés algébriques qui ont été vues jusqu’à
présent sur les fonctions. Elle est très liée à la dérivation. Il est donc nécessaire de
connaître toutes les formules de dérivation vues en 1S et cette année.
III. ET AU CONCOURS
Des questions faisant intervenir les primitives et/ou les intégrales sont très fréquentes
dans les épreuves du concours GEIPI. Une représentation graphique d’une intégrale est
souvent demandée.
IV. INTEGRALE D’UNE FONCTION CONTINUE ET POSITIVE
Définition
On considère une fonction f continue et positive sur un intervalle [a ; b].
L’aire, exprimée en unité d’aire, de la surface comprise entre :
- L’axe des abscisses
- La courbe représentant la fonction f
- Les droites d’équation x = a et x = b
est appelée intégrale de la fonction f sur l’intervalle [a ; b] et on la note :
$
𝑓 𝑥 d𝑥
%
Et on lit : « intégrale de a à b de f(x) dx ».
Remarques :
- Le « dx » est essentiel dans cette notation. Il ne faut donc pas l’oublier.
- En physique, la variable est souvent le temps on écrira donc f(t)dt dans l’intégrale.
V. PRIMITIVES
Définition
On considère une fonction f continue sur un intervalle I. On dit qu’une fonction F est
une primitive de la fonction f sur I si F est dérivable sur I et si F ’ = f.
Exemple : On considère la fonction F définie sur ℝ par F(x) = x3 + 5x2 – x + 2.
La fonction F est une primitive de la fonction f définie sur ℝ par f(x) = 3x2 + 10x – 1.
En effet, F ’(x) = 3x2 + 5 × 2x –1 = 3x2 + 10x – 1 = f(x)
Théorème
On considère une fonction f continue et positive sur un intervalle [a ; b]. On définit la
fonction F sur l’intervalle [a ; b] par :
)
𝐹 𝑥 =
𝑓 𝑥 d𝑥
%
La fonction F est alors dérivable sur l’intervalle [a ; b] et est une primitive de la
fonction f.
Remarque : Ce théorème permet, quand on n’est pas capable de trouver une expression
algébrique simple d’une primitive d’une fonction, de définir néanmoins une de ces
primitives.
Propriété
Toute fonction continue sur un intervalle I admet une primitive.
Propriété
On considère une fonction continue f sur un intervalle I et une fonction F dérivable sur
I telle que F soit une primitive de f sur I.
Une fonction G définie sur I est une primitive de f sur I si, et seulement si, il existe un
réel k tel que G(x) = F(x) + k .
Exemple : Les fonctions F et G définies sur ℝ par F(x) = 3x5 et G(x) = 3x5 – 6 sont deux
primitives de la fonction f définie sur ℝ par f(x) = 15x4.
Propriété
On considère une fonction continue f sur un intervalle, un réel x0 appartenant à I et un
réel y0 quelconque.
Il existe une unique primitive F de I telle que F(x0) = y0.
Exemple : On considère la fonction f définie sur ℝ par f(x) = 4x – 3. On recherche une
primitive F de f sur ℝ telle que F(2) = 0.
Les primitives de f sur ℝ sont les fonctions F définies sur ℝ par F(x) = 2x2 – 3x + k où k
est un réel.
F(2) = 0 ó2 × 22 – 3 × 2 + k = 0 ó2 + k = 0 ók = -2.
Par conséquent la primitive de la fonction f sur ℝ cherchée est la fonction F définie sur
ℝ par F(x) = 2x2 – 3x – 2.
VI. TABLEAUX DE PRIMITIVES
Voici un tableau reprenant les formules de dérivations vues cette année et en 1S mais
lues dans un sens permettant de déterminer une primitive.
Fonction f
Une primitive F
Sur quel intervalle
f(x) = c
F(x) = cx
ℝ
F(x) = ln(x)
]0 ;+∞[
f(x) =
1
x
f(x) = xn
F(x) =
n ∈ ℤ et n ∉ {0 ; -1}
f(x) =
1
x
f(x) = ex
1
xn
n+1
+1
Si 𝑛 > 0 ∶ ℝ
Si 𝑛 < −1 ∶ ] − ∞; 0[ ou ]0; +∞[
F(x) = 2 x
]0 ;+∞[
F(x) = ex
ℝ
f(x) = sin(ax + b) a ≠ 0
F(x) = -
f(x) = cos(ax + b) a ≠ 0
F(x) =
1
cos(ax + b)
a
1
sin(ax + b)
a
ℝ
ℝ
Voici un tableau reprenant les formules de dérivation des fonctions composées
permettant de déterminer une primitive.
Fonction
Primitive
ku ’ k ∈ ℝ
ku
u ' un n ∈ ℤ \ {-1} et u(x) ≠ 0 si n < 0
1
u n+1
n+1
u'
et u (x) > 0
u
ln(u)
u'
et u(x) > 0
2 u
u
u ’ eu
Eu
u ' sin u
- cos u
u ' cos u
sin u
ex + 2x
Exemple : On considère la fonction f définie sur ℝ par f(x) = x
.
e + x2
On appelle u la fonction définie sur ℝ par u(x) = ex + x2.
Par conséquent u(x) > 0 pour tout réel x et u ’(x) = ex + 2x.
On a donc f(x) =
u '(x)
.
u(x)
Une primitive de la fonction f est alors la fonction F définie par F(x) = ln (ex + x2) .
VII. LIEN ENTRE INTEGRALE ET PRIMITIVE
Propriété
On considère une fonction f continue et positive sur un intervalle [a ; b] et F une
primitive de f sur cet intervalle. On a alors :
$
𝑓 𝑥 d𝑥 = 𝐹 𝑏 − 𝐹(𝑎)
%
Exemple : On a ainsi :
H
I
1
d𝑥 = ln 2 − ln 1 = ln (2)
𝑥
Car une primitive de la fonction f définie sur ]0 ;+∞[ par f(x) =
1
est la fonction F définie
x
sur ce même intervalle par F(x) = ln(x).
Voici une généralisation à toutes les fonctions continues sur un intervalle.
Propriété
On considère une fonction f continue sur un intervalle [a ; b] et F une primitive de f sur
cet intervalle. On a alors :
$
𝑓 𝑥 d𝑥 = 𝐹 𝑏 − 𝐹(𝑎)
%
VIII. OPERATIONS SUR LES INTEGRALES
Propriétés
On considère deux fonctions f et g continues sur un intervalle I, trois réels a, b et c
appartenant à l’intervalle I et un réel quelconque k.
1.
%
𝑓
%
𝑥 d𝑥 = 0
2.
%
𝑓
$
𝑥 d𝑥 = −
3.
$
𝑓
%
𝑥 d𝑥 +
$
𝑔
%
𝑥 d𝑥 =
$
%
4.
$
𝑓
%
𝑥 d𝑥 +
M
𝑓
$
𝑥 d𝑥 =
M
𝑓
%
5.
$
𝑘𝑓
%
𝑥 d𝑥 = 𝑘
$
𝑓
%
$
𝑓
%
𝑥 d𝑥
𝑓 𝑥 + 𝑔 𝑥 d𝑥
𝑥 d𝑥 (relation de Chasles)
𝑥 d𝑥
6. Si a < b et f(x) ≥ 0 sur [a ; b] alors
7. Si f(x) ≤ g(x) sur [a ; b] alors
$
𝑓
%
$
𝑓
%
𝑥 d𝑥 ≥ 0
𝑥 d𝑥 ≤
$
𝑔
%
𝑥 d𝑥
IX. AIRE ENTRE DEUX COURBES
Propriété
On considère deux fonctions f et g continues sur l’intervalle [a ; b] telles que f(x) ≤ g(x)
sur cet intervalle.
L’aire, en unités d’aire, du domaine compris entre les deux courbes représentant les
fonctions f et g et les droites d’équation x = a et x = b est :
$
𝑔 𝑥 − 𝑓(𝑥) d𝑥
%
X. VALEUR MOYENNE
Définition
On considère une fonction f continue sur un intervalle [a ; b]. On appelle valeur
moyenne de la fonction f sur cet intervalle le nombre
1
𝑏−𝑎
$
𝑓 𝑥 d𝑥
%
Exemple : On considère la fonction f définie sur ℝ par f(x) = x2.
Une primitive de f sur ℝ est la fonction F définie sur ℝ par F(x) =
x3
.
3
Ainsi la valeur moyenne de la fonction f sur l’intervalle [1 ;3] est :
1
3−1
R
I
1 3R 1R
13
𝑥 d𝑥 =
−
=
2 3
3
3
H
XI. EXERCICE GEIPI
1. On considère la fonction f définie sur [0 ;+∞[ par f(x) = xe-x.
a. Justifier que la fonction F définie sur [0 ;+∞[ par F(x) = -(x + 1)e-x soit une
primitive de la fonction f.
b. On considère l’intégrale :
H
𝐴=
𝑥eT) d𝑥
U
Représenter graphiquement A .
c. Calculer A.
2. On considère la fonction f définie sur 0;
Pour tout t ∈ 0;
V
H
V
H
par f(x) = sin(2x).
déterminer l’aire A(t) du domaine compris entre la courbe
représentant la fonction f, l’axe des abscisses et les droites d’équations x = 0 et
x = t.
Correction
1. On considère la fonction f définie sur [0 ;+∞[ par f(x) = xe-x.
a. F ’(x) = -e-x + (x + 1)e-x = x ex = f(x).
Donc F est une primitive de la fonction f sur [0 ;+∞[.
b. La représentation graphique de A est :
c.
H
𝐴=
𝑥eT) d𝑥 = 𝐹 2 − 𝐹 0 = −3eTH + 1
U
2.
Y
𝐴 𝑡 =
sin 2𝑥 d𝑥
U
Une primitive de la fonction f sur l’intervalle 0;
V
H
est la fonction F définie par
1
F(x) = - cos(2x).
2
Donc :
1
1
1 1
𝐴 t = − cos 2𝑡 − − = − cos (2𝑡)
2
2
2 2
