![](//s1.studylibfr.com/store/data-gzf/8fcc515aa422808e3a05781f52b9918c/1/010100009.htmlex.zip/bg5.jpg)
I. ALGÈBRE K[X] 5
I.5 Propriétés du degré
PROPOSITION 24.19. (Degré d’une combinaison linéaire, d’un produit, d’une dérivée, d’une composée).
Le degré vérifie les propriétés suivantes.
(a) Pour tout (P,Q)∈K[X]2, on a
deg(P+Q)Émax(degP,degQ).
L’égalité est réalisée lorsque degP̸= degQ, ou plus généralement lorsque les coefficients dominants ne s’annulent pas
dans la somme.
(b) Pour tout (P,Q)∈K[X]2, on a
deg(PQ)=degP+degQ
avec des conventions évidentes si l’un des degrés est −∞.
(c) Pour tout P∈K[X], on a
degP′=degP−1
lorsque degPÊ1 si Kest un sous-corps de C, et en général
degP′ÉdegP−1.
(d) Pour tout (P,Q)∈K[X]2avec Q̸=0, on a
deg(P◦Q)=(degP)(degQ).
♢Démonstration. (a) Soient (P,Q)∈K[X]2,d=degP,d′=degQ, en supposant d′Éd. On note (ak)k∈N, (bk)k∈N, les coefficients de
Pet Q, avec ak=0 si k>det bk=0 si k>d′,ad̸=0, bd′̸=0. Alors
P+Q=
d
k=0
akXk+
d′
k=0
bkXk=
d
k=0
(ak+bk)Xk
ce qui montre que deg(P+Q)Éd=max(degP,degQ). En outre, si d<d′, alors le coefficient de degré dde P+Qest ad̸= 0, d’où
deg(P+Q)=d=max(degP,degQ). Il en va de même si d=d′et ad+bd̸=0.
(b) Le cas où l’un des degrés est −∞ est évident. Sinon, avec les mêmes notations (sans l’hypothèse d′Éd)
PQ =+∞
k=0k
ℓ=0
aℓbk−ℓXk.
On a déjà montré (pour la définition du produit de polynômes) que deg(PQ)Éd+d′. Or
d+d′
ℓ=0
aℓbd+d′−ℓ=adbd′̸=0
puisque bd+d′−ℓ=0 si ℓ∈0,d+d′−1. On en déduit que deg(PQ)=d+d′=deg(P)+deg(Q).
(c) Ce résultat a déjà été prouvé.
(d) Découle de la définition et des deux premiers points. ♢
PROPOSITION 24.20. (Famille de polynômes échelonnée en degrés).
Soit B=(Pn)n∈N∈K[X]Ntel que degPn=npour tout n∈N. Une telle famille est dite échelonnée en degrés. Alors Best
une base de K[X].
♢Démonstration. ∗Soient n∈N, et (λk)0ÉkÉntels que
n
k=0
λkPk=0. En supposant que tous les λkne sont pas nuls et en notant
m=max{k∈[[0,n]],λk̸=0}, on a avec les propriétés du degré
degn
k=0
λkPk=0=deg(λmPm)=m̸=−∞
ce qui est absurde. On en déduit que Best libre, puisque toute sous-famille finie de Best incluse dans une famille de la forme
(Pk)0ÉkÉn.
∗Soit P∈K[X], de degré n∈N. Comme (P0,...,Pn) est de cardinal n+1, libre et incluse dans Kn[X], c’en est une base, et Pest
donc combinaison linéaire de cette famille. On en déduit que Vect(B)=K[X], et finalement que Best une base de K[X]. ♢
COROLLAIRE 24.21. (Polynômes de degrés deux à deux distincts).
Toute famille de polynômes non nuls de degrés deux à deux distincts est libre.