Polynômes et Fractions rationnelles

24. Polynômes et fractions rationnelles
Dans tout ce chapitre, Kdésigne un corps quelconque, le programme se limitant officiellement aux cas des sous-corps de C.
I Algèbre K[X]
Cette section reprend dans les grandes lignes la construction de K[X] qui a été vue en première année dans les cas de Ret C.
I.1 Définitions et premières propriétés
DÉFINITION 24.1. (Polynôme, coefficients).
(a) Un polynôme à coefficients dans Kest une suite presque nulle d’éléments de Kindexée par N.
(b) L’ensemble des polynômes à coefficients dans Kest noté K(N)=K[X].
(c) Pour P=(ak)k∈N∈K[X], les (ak)k∈N∈K(N)sont les coefficients de P.
DÉFINITION 24.2. (Degré d’un polynôme).
Soit P=(ak)k∈N∈K[X]. Si Pest non identiquement nul, le degré de Pest
degP=max{k∈N,ak̸=0}.
Par convention, le polynôme nul (dont tous les coefficients sont nuls) est de degré −∞.
PROPOSITION 24.3. (Propriétés élémentaires des polynômes).
On a les propriétés suivantes.
(a) K[X] est un K-espace vectoriel pour les lois internes et externes définies pour tout ((ak)k∈N,(bk)k∈N)∈(K(N))2et tout
λ∈Kpar
(ak)k∈N+(bk)k∈N=(ak+bk)k∈N
et
λ(ak)k∈N=(λak)k∈N.
(b) Pour n∈N, l’ensemble Kn[X] des polynômes de K[X] de degré inférieur ou égal à nen est un sous-espace vectoriel.
♢Démonstration. Il suffit de montrer que K(N)est un sous-espace vectoriel de KN=F(N,K), ce qui est immédiat, de même que
pour Kn[X]. ♢
Remarque 24.4.
On définit la valuation d’un polynôme Pnon nul comme par val(P)=min{k∈N,ak̸=0}, avec la convention val(0) =+∞.
I.2 Multiplication des polynômes et écriture usuelle
DÉFINITION 24.5. (Multiplication des polynômes).
Soient P=(ak)k∈Net Q=(bk)k∈Ndeux polynômes de K[X]. On définit le produit PQ =(ck)k∈Npar la relation suivante
pour tout k∈N(produit de convolution ou produit de Cauchy)
ck=
k
ℓ=0
aℓbk−ℓ.
♢Démonstration. La seule chose à montrer est que la famille (ck) est presque nulle dès que (ak) et (bk) le sont. Or, si d=degP,
d′=degQ, et si kÊd+d′+1, alors pour tout ℓ∈[[0,d]],aℓbk−ℓ=0 car k−ℓÊd′+1, et pour tout ℓ∈[[d+1,k]],aℓbk−ℓ=0 car
ℓÊd+1. On en déduit que (ck)k∈Nest nulle à partir du rang d+d′+1. ♢
THÉORÈME 24.6. (Structure d’algèbre de K[X]).
Le quadruplet (K[X],+,·,×) est une K-algèbre commutative. Les polynômes 0 =(0,0,...) et 1 =(1,0,0,...) en sont les élé-
ments neutres additif et multiplicatif respectivement.

2 CHAPITRE 24. POLYNÔMES ET FRACTIONS RATIONNELLES
♢Démonstration. K[X] est un sous-espace vectoriel de KN, de neutre additif 0KN.
∗La multiplication des polynômes est associative. En effet, pour tous P=(ak)k∈N,Q=(bk)k∈N,R=(ck)k∈N, on a
(PQ)R=k
m=0m
ℓ=0
aℓbm−ℓck−mk∈N
=k
m=0
m
ℓ=0
aℓbm−ℓck−mk∈N
=k
ℓ=0
k
m=ℓ
aℓbm−ℓck−mk∈N (permutation de sommes)
=k
ℓ=0
k−ℓ
m=0
aℓbmck−m−ℓk∈N (décalage d’indice en m)
=k
ℓ=0
aℓk−ℓ
m=0
bmck−ℓ−mk∈N=P(QR)
∗La multiplication des polynômes est commutative : pour tous P=(ak)k∈N,Q=(bk)k∈N, par renversement de la somme
PQ =k
ℓ=0
aℓbk−ℓk∈N=k
ℓ=0
ak−ℓbℓk∈N=QP.
∗La multiplication des polynômes est distributive sur l’addition : pour tous P=(ak)k∈N,Q=(bk)k∈N,R=(ck)k∈N, on a
(P+Q)R=k
m=0
(am+bm)ck−mk∈N
=k
m=0
amck−m+
k
m=0
bmck−mk∈N=PR +QR
et de même à gauche par commutativité.
∗1 est neutre pour la multiplication des polynômes : pour tout P=(ak)k∈N
1P=P1=k
ℓ=0
δ0,ℓbk−ℓk∈N=(bk)k∈N=P.
∗Pour tous P=(ak)k∈N,Q=(bk)k∈Net λ∈K
λ(PQ)=λ
k
ℓ=0
aℓbk−ℓk∈N=k
ℓ=0
(λaℓ)bk−ℓk∈N=(λP)Q
et de même, λ(PQ)=P(λQ).
K[X] est finalement bien une K-algèbre commutative. ♢
THÉORÈME 24.7. (Base canonique de K [X]).
On pose 0 =(0,0,...), 1 =(1,0,0,...) et X=(0,1,0,0,...).
(a) Avec ces notations, on a pour tout k∈N
Xk=(δk,n)n∈N.
(b) La famille (Xk)k∈Nforme une base de K[X], appelée base canonique.
(c) Pour tout n∈N, la famille (Xk)0ÉkÉnforme de même la base canonique de Kn[X], qui est donc de dimension n+1.
♢Démonstration. (a) On procède par récurrence sur k: c’est la définition même de cet objet pour k=0, et si Xk=(δk,n)k∈Npour
k∈Nfixé, alors
Xk+1=XkX=(δk,n)n∈N(δ1,n)n∈N=n
ℓ=0
δk,ℓδ1,n−ℓn∈N .
Pour (k,n)∈N∗,δk,ℓδ1,n−ℓ=1 si et seulement si ℓ=ket n−ℓ=1 ce qui impose n=k+1, d’où
Xk+1=(δk+1,n)n∈N
ce qui clôt la récurrence.
(b) Du fait des notations utilisées, on a pour tout P=(ak)k∈N∈K(N)
P=+∞
k=0
akXk

I. ALGÈBRE K[X] 3
ce qui montre que (Xk)k∈Nest génératrice de K[X] (il s’agit bien d’une somme finie), et
+∞
k=0
akXk=0⇐⇒ (ak)k∈N=0
ce qui montre qu’elle est libre.
(c) Pour tout P∈Kn[X], il existe par définition (ak)0ÉkÉn∈Kn+1tel que
P=
n
k=0
akXk
de sorte que (Xk)0ÉkÉnest génératrice de Kn[X], et elle est libre comme sous-famille d’une famille libre, donc forme une base de
Kn[X]. ♢
Notation 24.8. (Notation usuelle des polynômes).
Pour tout P=(ak)k∈N∈K[X], on utilise dès lors la notation
P=+∞
k=0
akXk.
DÉFINITION 24.9. (Monômes).
Les polynômes de la forme akXk, pour k∈Net ak∈K\{0} sont appelés monômes.
DÉFINITION 24.10. (Coefficient dominant, polynôme constant).
Si P∈K[X] est de degré d∈N, il existe (ak)0ÉkÉd∈Kd+1tel que P=
d
k=0
akXk.
(a) adest alors le coefficient dominant de P.
(b) adest non nul par définition du degré.
(c) Pest unitaire si et seulement si ad=1.
(d) Un polynôme de degré 0 ou −∞ est dit constant.
Remarque 24.11. (Assimilation de K à un sous-anneau de K [X]).
De façon immédiate, l’ensemble des polynômes constants de K[X] est assimilable à K. On peut donc dire que Kest un
sous-anneau de K[X].
I.3 Dérivation
DÉFINITION 24.12. (Dérivation des polynômes).
Soit P=+∞
k=0
akXk∈K[X]. Le polynôme dérivé (ou simplement la dérivée) de Pest le polynôme
P′=+∞
k=1
kakXk−1.
Remarque 24.13.
(a) Dans le cas d’un corps quelconque (et même d’un anneau), pour k∈N∗et a∈K, on rappelle que la notation ka signifie
ka =a+...+a
kfois
et de même avec des conventions évidentes pour k∈Z. Il est immédiat que (kak)n∈N∗est presque nulle si (ak)k∈Nl’est.

4 CHAPITRE 24. POLYNÔMES ET FRACTIONS RATIONNELLES
PROPOSITION 24.14. (Propriétés élémentaires de la dérivation des polynômes).
On a les propriétés suivantes.
(a) L’application D:P7→P′est un endomorphisme de K[X].
(b) Pour tout P∈K[X], deg(P′)<degP.
(c) Si Kest un sous-corps de Cet si degPÊ1, alors degP′=degP−1.
(d) Pour tout n∈N, l’endomorphisme de Kn[X] induit par Dest nilpotent. Son indice de nilpotence est n+1 si Kest un
sous-corps de C.
(e) On a pour tout (P,Q)∈K[X]2la relation
(PQ)′=PQ′+P′Q.
♢Démonstration. Les trois premiers points sont évidents par définition, le point (d) découle du (c), en notant que
Dn(Xn)=n!̸=0
si Kest un sous-corps de C, et que
Dn+1(Xk)=0
pour tout k∈[[0,n]], de sorte que Dn+1annule toute la base canonique de Kn[X] donc est l’endomorphisme nul.
Enfin pour le point (e), on a pour P=+∞
k=0
akXk,Q=+∞
k=0
bkXk
P′Q+PQ′=+∞
k=0k ℓ=0
ℓaℓbk−ℓXk−1++∞
k=0k ℓ=0
aℓ(k−ℓ)bk−ℓXk−1=+∞
k=0k ℓ=0
kaℓbk−ℓXk−1=(PQ)′.♢
Notation 24.15.
Pour P∈K[X] et n∈N, on note P(n)=Dn(P) la dérivée n-ième de P, avec la convention naturelle P(0) =P. On utilise aussi
les notations usuelles P′=P(1),P′′ =P(2),etc.
THÉORÈME 24.16. (Formule de Leibniz).
Pour tout (P,Q)∈K[X]2et tout n∈N
(PQ)(n)=
n
k=0n
kP(k)Q(n−k).
♢Démonstration. La preuve est identique à la formule de Leibniz usuelle pour la dérivation des fonctions d’une variable réelle. ♢
I.4 Composition
DÉFINITION 24.17. (Composition des polynômes).
Soient P=+∞
k=0
akXk∈K[X] et Q∈K[X]. La composée de Pet Qest le polynôme
P◦Q=+∞
k=0
akQk.
Si Q=0, on pose conventionnellement P◦Q=a0∈K0[X].
On utilisera aussi la notation
P◦Q=P(Q).
Remarque 24.18.
On a donc pour tout P∈K[X] l’égalité P=P◦X=P(X).

I. ALGÈBRE K[X] 5
I.5 Propriétés du degré
PROPOSITION 24.19. (Degré d’une combinaison linéaire, d’un produit, d’une dérivée, d’une composée).
Le degré vérifie les propriétés suivantes.
(a) Pour tout (P,Q)∈K[X]2, on a
deg(P+Q)Émax(degP,degQ).
L’égalité est réalisée lorsque degP̸= degQ, ou plus généralement lorsque les coefficients dominants ne s’annulent pas
dans la somme.
(b) Pour tout (P,Q)∈K[X]2, on a
deg(PQ)=degP+degQ
avec des conventions évidentes si l’un des degrés est −∞.
(c) Pour tout P∈K[X], on a
degP′=degP−1
lorsque degPÊ1 si Kest un sous-corps de C, et en général
degP′ÉdegP−1.
(d) Pour tout (P,Q)∈K[X]2avec Q̸=0, on a
deg(P◦Q)=(degP)(degQ).
♢Démonstration. (a) Soient (P,Q)∈K[X]2,d=degP,d′=degQ, en supposant d′Éd. On note (ak)k∈N, (bk)k∈N, les coefficients de
Pet Q, avec ak=0 si k>det bk=0 si k>d′,ad̸=0, bd′̸=0. Alors
P+Q=
d
k=0
akXk+
d′
k=0
bkXk=
d
k=0
(ak+bk)Xk
ce qui montre que deg(P+Q)Éd=max(degP,degQ). En outre, si d<d′, alors le coefficient de degré dde P+Qest ad̸= 0, d’où
deg(P+Q)=d=max(degP,degQ). Il en va de même si d=d′et ad+bd̸=0.
(b) Le cas où l’un des degrés est −∞ est évident. Sinon, avec les mêmes notations (sans l’hypothèse d′Éd)
PQ =+∞
k=0k ℓ=0
aℓbk−ℓXk.
On a déjà montré (pour la définition du produit de polynômes) que deg(PQ)Éd+d′. Or
d+d′
ℓ=0
aℓbd+d′−ℓ=adbd′̸=0
puisque bd+d′−ℓ=0 si ℓ∈0,d+d′−1. On en déduit que deg(PQ)=d+d′=deg(P)+deg(Q).
(c) Ce résultat a déjà été prouvé.
(d) Découle de la définition et des deux premiers points. ♢
PROPOSITION 24.20. (Famille de polynômes échelonnée en degrés).
Soit B=(Pn)n∈N∈K[X]Ntel que degPn=npour tout n∈N. Une telle famille est dite échelonnée en degrés. Alors Best
une base de K[X].
♢Démonstration. ∗Soient n∈N, et (λk)0ÉkÉntels que
n
k=0
λkPk=0. En supposant que tous les λkne sont pas nuls et en notant
m=max{k∈[[0,n]],λk̸=0}, on a avec les propriétés du degré
degn
k=0
λkPk=0=deg(λmPm)=m̸=−∞
ce qui est absurde. On en déduit que Best libre, puisque toute sous-famille finie de Best incluse dans une famille de la forme
(Pk)0ÉkÉn.
∗Soit P∈K[X], de degré n∈N. Comme (P0,...,Pn) est de cardinal n+1, libre et incluse dans Kn[X], c’en est une base, et Pest
donc combinaison linéaire de cette famille. On en déduit que Vect(B)=K[X], et finalement que Best une base de K[X]. ♢
COROLLAIRE 24.21. (Polynômes de degrés deux à deux distincts).
Toute famille de polynômes non nuls de degrés deux à deux distincts est libre.