ProbCor11-12Bis

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☞:Professeur Agrégé (1995)-Docteur (2009) en Math
☞:Master 1 (2011) en Sc de l’éducation, Univ. Rouen
☞:MP-CPGE My Youssef, Rabat
☞:Enseignant en Classes Prépas depuis 1995
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Mamouni My Ismail
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2011
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Former Pour réussir
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Sommaire
Autour de la Comatrice. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
Énoncé. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
Endomorphismes nilpotents.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
Énoncé (cnc 2005, TSI) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
Corrigé (Pr. Mamouni, CPGE My Youssef, Rabat) .................................. 5
Endomorphismes cycliques. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
Énoncé (extrait cnc 99, MP) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
Endomorphismes nilpotents d’indice n et n-1 .................................... 10
Énoncé. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
Corrigé, Pr. Mamouni, CPGE My Youssef, Rabat .................................. 13
Matrices Stochastiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
Énoncé (extrait cnc 2002, TSI) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
Décomposition Spectrale et racine carrée d’un endomorphisme ............................ 19
Énoncé (extrait CCP PC 2010) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
Corrigé (Pr. Blache, CPGE France) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
Recherche de quelques polynômes minimaux .................................... 31
Énoncé : (extrait e3a 2008, MP) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
Corrigé Pr. Dufait, CPGE France . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
Commutant d’une matrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
Énoncé : (extrait e3a 2011, MP) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
Corrigé, Pr. Stainer, Lycée Clemenceau, Nantes ................................... 43
Diagonalisation du crochet de Lie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
Enoncé : CNC 2000, MP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
Corrigé, Pr. Mamouni, CPGE My Youssef, Rabat .................................. 49
Topologie des matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
Énoncé (extrait CNC) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
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Former Pour réussir
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PROBLÈMES CORRIGÉS-MP ✍MAMOUNI MYISMAIL
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Problème du point fixe. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
Topologie des racines carrés d’une matrice. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
Enoncé : CCP 2005, MP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
Corrigé, Pr. Devulder, CPGE France . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
Algèbres de dimension 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
Énoncé : CNC 96 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
Corrigé, Pr. Med. El Fatemi, CPGE CPR Tanger ................................... 76
matrices positives et décomposition de Cholesky................................... 82
Énoncé : CCP 2003, PSI. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
Corrigé, Pr. J. DEBARBIEUX, Lycée Faidherbe, Lille ................................. 88
Espaces d’Artin et applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
Énoncé : Extrait Centrale 2010, MP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
Corrigé : Pr. Boujaida, CPGE Rabat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
Coniques-Quadriques. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
Exercice 1 : Extrait e3a 2009, MP. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
Exercice 2 : Extrait e3a 2004, MP. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
Corrigé Exericie 1, Pr. Dufait . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
Corrigé Exericie 2, Mma Gayout. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
Fonctions harmoniques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
Énoncé : Mines-Ponts 2004, MP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
Courbes & Surfaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130
Énoncé : e3a 2009, PSI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130
Corrigé : Pr Skler, CPGE France . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132
Calcul Différentiel, Courbes & Surfaces. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136
Problème : extrait X 2004, MP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136
Problème : Mines-Ponts 2004, MP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138
Corrige Problème I : Pr. Duval, CPGE France . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141
Corrigé Problème II : Pr. Patte, CPGE France . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143
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Former Pour réussir
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Calcul Différentiel, Courbes & Surfaces. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145
Problème : extrait cnc 2007, PSI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145
Exercice I : extrait e3a 2007, MP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147
Exercice II : extrait e3a 2008, MP. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149
Corrigé Problème : Pr. Chabchi, CPGE Marrakech ..................................150
Corrigé Exercice I : Pr. Deyris, CPGE France ....................................152
Corrigé Exercice II : Pr. Lemaire, CPGE France ...................................153
Valeur moyenne d’une fonction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156
Enoncé : CNC 2006, MP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156
Corrigé : Pr. Mamouni, CPGE Rabat, Maroc.....................................160
Transformée de Fourier, de Lebesgue. Séries de Dirichlet ...............................169
Enoncé : CCP 2011, PSI. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169
Pr. Verschueren, Lycée Daudet à Nîmes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173
Suites et séries de fonctions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182
Problème I : Exemple d’étude . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182
Problème II : Fonction ζet ηde Riemann.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183
Corrigé : Pr. Deyris, CPGE France . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190
Équations de Bessel et la fonction Gamma. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194
Énoncé : CNC 2007, MP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194
Corrigé : Pr. Taibi, CPGE Rabat, Maroc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198
Fonction Gamma et Psi d’Euler. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207
Problème I : Extrait CCP 2006, MP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207
Problème II : Extrait e3a 2011, MP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210
Corrigé Problème II : Pr. Patte. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212
Ev. Euclidiens : Les "must" Classiques. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214
Matrice de Gram. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214
Décomposition polaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215
Endomorphismes normaux. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 216
Décomposition de Cholesky, QR. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 216
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PROBLÈMES CORRIGÉS-MP ✍MAMOUNI MYISMAIL
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F6=Emais F⊥={0E}.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 216
Rayleigh, Courant Fischer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217
Réduction simultanée et décomposition de Cholesky .................................218
Enoncé : Extrait CCP 2011, MP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218
Phénomène de Gibbs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224
Énoncé : CCP 2006, MP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 225
Corrigé : Pr. Boujaida, CPGE Rabat, Maroc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 229
Équations différentielles : Exemple d’étude. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 235
Énoncé : CNC 2004, MP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 235
Corrigé : Pr. Mamouni, CPGE Rabat, Maroc. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 239
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4
Fonctions holomorphes : Série de Fourier lacunaire quadratique............................252
Énoncé : CNC MP, 2011 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252
Corrigé : Pr. Hfa, CPGE Agadir, Maroc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 257
Formule de Green-Rieman & Intégrale de Dirichlet .................................269
Énoncé : e3a 2009, PSI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 269
Corrigé : Pr. Devulder, CPGE France . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 273