Livre-Recherche-Operationelle

Recherche opérationnelle
2009

Table des matières
I Introduction à la dualité Lagrangienne 1
1 Introduction 3
1.1 Introduction.................................................................. 3
1.2 Quelquesexemples.......................................................... 3
Problème de transport – Problème de coloration
1.3 Quelques rappels - fondements et notations.................................. 5
1.4 Exercices.................................................................... 6
2 Ensembles convexes, cône tangent et fonctions convexes 9
2.1 Introduction.................................................................. 9
2.2 Ensembles convexes, cône tangent et cône normal .......................... 9
Généralités
2.3 Fonctionsconvexes.......................................................... 11
Fonctions convexes de Rdans R– Fonctions convexes de Rndans R
2.4 Conditionsd’optimalité....................................................... 16
Cas sans contrainte – Cas avec contraintes
2.5 Exercices.................................................................... 17
3 Programmation linéaire, quadratique, et non linéaire 21
3.1 Programmationlinéaire...................................................... 21
Définition et premières propriétés – Cône normal à un polyèdre
3.2 Programmationquadratique................................................. 24
Définition et équations de KKT – Le modèle de Markovitz – Le problème du learning
3.3 Programmation non linéaire convexe......................................... 28
3.4 Equations de Karush-Kuhn-Tucker........................................... 29
3.5 Exercices.................................................................... 30
4 Dualité Lagrangienne 33
4.1 Introduction.................................................................. 33
4.2 Fonction de Lagrange et problème dual dans le cas de contraintes d’égalité.. 33
4.3 Dualité pour les problèmes avec contraintes
côniquesgénérales.......................................................... 36
i

4.4 Exemples.................................................................... 39
Dual d’un programme linéaire – Relaxation des problèmes combinatoires
4.5 Exercices.................................................................... 41
4.6 Correctiondesexercices..................................................... 42
5 Problèmes combinatoires 43
5.1 Introduction.................................................................. 43
Arbre couvrant (minimum spanning tree) – Plus court chemin (shortest path
problem) – Problème d’affection, problème du mariage (assignment problem)
5.2 Exactitude de la relaxation pour certains problèmes combinatoires........... 44
5.3 Exemples.................................................................... 46
Problème d’affectation – Plus court chemin
6 Scilab 49
6.1 Introduction.................................................................. 49
Présentation – Les bases
6.2 Scilabetl’optimisation....................................................... 51
La fonction linpro – La fonction quapro
6.3 Exercices.................................................................... 52
6.4 Correctiondesexercices..................................................... 56
II Applications 61
7 Vraisemblance Empirique 63
7.1 Introduction.................................................................. 63
7.2 ThéorèmedeOwen......................................................... 63
ii

Première partie
Introduction à la dualité Lagrangienne
1