8 - Introduction à la diffraction

Introduction à la diffraction
Lavoisier - PC
2020-2021
Table des matières
1 Généralités sur la diffraction 2
1.1 Rappels sur la diffraction ............................... 2
1.2 Transmittance ..................................... 3
2 Observations expérimentales 3
3 Vibration lumineuse transmise par un objet diffractant 5
3.1 Mire sinusoïdale ..................................... 5
3.2 Mire créneau : le réseau ................................ 7
3.3 Transformée de Fourier ................................. 9
3.4 Transmittance à deux dimensions ........................... 10
3.5 Diffraction et interférences ............................... 11
4 Application : Filtrage spatial 12
4.1 Plan de Fourier ..................................... 12
4.2 Premier exemple de filtrage : expérience d’Abbe ................... 12
4.3 Hautes et basses fréquences .............................. 13
4.4 Filtrage des hautes fréquences : Effet de flou ..................... 14
4.5 Filtrage des basses fréquences : Strioscopie ...................... 15
1

Introduction à la diffraction
Comment à l’aide de la diffraction améliorer analogiquement (sans ordinateur) la contraste d’une
photo,
−→
ou au contraire flouter une partie d’une photo ?
−→
1 Généralités sur la diffraction
1.1 Rappels sur la diffraction
On appelle diffraction l’étalement d’une onde dans l’espace dû à son passage au travers d’un
obstacle.
Toutes les figures de diffraction présentent une tache centrale brillante entourée d’autres motifs.
L’allure précise est caractéristique de l’objet diffractant : à partir de la figure de diffraction, il
est possible de retrouver la forme et les dimensions de l’objet diffractant.
Figure 1 : Exemples de figures de diffraction
Ouverture angulaire de la figure de diffraction
Lorsque l’observation se fait suffisamment loin de l’ob-
jet diffractant et que l’ouverture est de taille R≃λ,
alors l’ouverture angulaire θde la tache centrale de la
figure de diffraction est telle que :
θ≃λ
R
Plus l’objet diffractant est étroit, plus la figure de diffraction est large.
-Montrer que la largeur ℓde la figure de diffraction sur un écran situé à une distance Lde
l’objet diffractant est donnée par ℓ=λL
R.
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Introduction à la diffraction
1.2 Transmittance
On considère un faisceau lumineux se propageant dans la direction z. Ce faisceau lumineux
rencontre au cours de sa propagation un objet diffractant. On prend comme référence z= 0 le
plan contenant l’objet diffractant.
Définition
L’objet diffractant peut-être caractérisé par sa transmittance t(x, y). Cette fonction
caractérise comment l’objet modifie une vibration lumineuse qui le traverse. On peut
écrire :
s(x, y, z = 0+, t) = t(x, y)s(x, y, z = 0−, t)
A priori t(x, y)est une fonction complexe
On se limitera dans un premier temps transmittance ne dépendant que d’une seule dimension.
•Objet d’amplitude
On appelle objet d’amplitude les objets diffractant dont la transmittance est réelle et ne fait que
modifier l’amplitude du signal transmis.
Exemple : Une fente de largeur a:
t(x) = 1 si x∈[−a
2;a 2]
t(x) = 0 sinon
•Objet de phase
On appelle objet de phase les objets diffractant complexes dont la transmittance modifie seule-
ment la phase du signal transmis. Sa transmittance est de la forme t(x) = e−jϕ(x)
Exemple : une lame de verre d’épaisseur e, sa transmittance est :
t(x) = e−j2π(nverre −nair )e
Dans la suite nous étudierons seulement des objet d’amplitude, t(x)sera par conséquent toujours
réel.
2 Observations expérimentales
On observe la figure de diffraction de plusieurs objets à une distance Lgrande devant les dimen-
sions de l’objet.
On donne à gauche la forme de l’objet diffractant ainsi que sa fonction transmittance et à droite,
la figure de diffraction et l’éclairement associé.
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Introduction à la diffraction
•Une fente
Figure 2 : Transmittance et figure de diffraction dans le cas d’une fente
•Deux fentes
Figure 3 : Transmittance et figure de diffraction dans le cas de deux fentes
•Un réseau
Figure 4 : Transmittance et figure de diffraction dans le cas d’un réseau
•Une mire sinusoïdale
Figure 5 : Transmittance et figure de diffraction dans le cas d’une mire sinusoïdale
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Introduction à la diffraction
On observe expérimentalement que la figure de diffraction à l’infini correspond à la trans-
formée de Fourier de la transmittance de l’objet diffractant
3 Vibration lumineuse transmise par un objet diffractant
Nous allons voir dans cette partie deux exemples d’objets diffractant et tenter d’expliquer dans
les deux cas la forme de leur figure de diffraction.
3.1 Mire sinusoïdale
•Transmittance
On considère une mire sinusoïdale, c’est-à-dire un objet dont la transmittance s’écrit :
t(x) = 1 + cos(2πx
a) = 1 + cos(2πux)
u=1
aest appelée fréquence spatiale de la mire.
Figure 6 : Transmittance d’une mire sinusoïdale
On peut réécrire l’expression de la transmittance de la mire à l’aide de la formule d’Euler :
t(x) = 1 + 1
2ej2πux +1 2e−j2πux
•Effet sur une onde plane
Soit une vibration lumineuse plane incidente se propageant suivant −→ ez:
s(−→ r , t) = A0cos(ωt −
−→
k .−→ r) = A0cos(ωt −kzz)
En complexe l’onde incidente s’écrit :
s(z, t) = A0ej(ωt−kzz)
-Écrire l’expression complexe de s(x, z = 0−, t), en déduire l’expression de s(x, z = 0+, t).
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