Introduction à la diffraction
Lavoisier - PC
2020-2021
Table des matières
1 Généralités sur la diffraction
1.1 Rappels sur la diffraction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2 Transmittance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2
2
3
2 Observations expérimentales
3
3 Vibration lumineuse transmise par un
3.1 Mire sinusoïdale . . . . . . . . . . . . .
3.2 Mire créneau : le réseau . . . . . . . .
3.3 Transformée de Fourier . . . . . . . . .
3.4 Transmittance à deux dimensions . . .
3.5 Diffraction et interférences . . . . . . .
objet diffractant
. . . . . . . . . . .
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4 Application : Filtrage spatial
4.1 Plan de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2 Premier exemple de filtrage : expérience d’Abbe .
4.3 Hautes et basses fréquences . . . . . . . . . . . .
4.4 Filtrage des hautes fréquences : Effet de flou . . .
4.5 Filtrage des basses fréquences : Strioscopie . . . .
1
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12
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15
Introduction à la diffraction
Comment à l’aide de la diffraction améliorer analogiquement (sans ordinateur) la contraste d’une
photo,
−→
ou au contraire flouter une partie d’une photo ?
−→
1
Généralités sur la diffraction
1.1
Rappels sur la diffraction
On appelle diffraction l’étalement d’une onde dans l’espace dû à son passage au travers d’un
obstacle.
Toutes les figures de diffraction présentent une tache centrale brillante entourée d’autres motifs.
L’allure précise est caractéristique de l’objet diffractant : à partir de la figure de diffraction, il
est possible de retrouver la forme et les dimensions de l’objet diffractant.
Figure 1 : Exemples de figures de diffraction
Ouverture angulaire de la figure de diffraction
Lorsque l’observation se fait suffisamment loin de l’objet diffractant et que l’ouverture est de taille R ≃ λ,
alors l’ouverture angulaire θ de la tache centrale de la
figure de diffraction est telle que :
λ
R
Plus l’objet diffractant est étroit, plus la figure de diffraction est large.
θ≃
- Montrer que la largeur ℓ de la figure de diffraction sur un écran situé à une distance L de
λL
l’objet diffractant est donnée par ℓ =
.
R
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2
Introduction à la diffraction
1.2
Transmittance
On considère un faisceau lumineux se propageant dans la direction z. Ce faisceau lumineux
rencontre au cours de sa propagation un objet diffractant. On prend comme référence z = 0 le
plan contenant l’objet diffractant.
Définition
L’objet diffractant peut-être caractérisé par sa transmittance t(x, y). Cette fonction
caractérise comment l’objet modifie une vibration lumineuse qui le traverse. On peut
écrire :
s(x, y, z = 0+ , t) = t(x, y) s(x, y, z = 0− , t)
A priori t(x, y) est une fonction complexe
On se limitera dans un premier temps transmittance ne dépendant que d’une seule dimension.
• Objet d’amplitude
On appelle objet d’amplitude les objets diffractant dont la transmittance est réelle et ne fait que
modifier l’amplitude du signal transmis.
Exemple : Une fente de largeur a :
{
t(x) = 1
t(x) = 0
si x ∈ [− a2 ; a2 ]
sinon
• Objet de phase
On appelle objet de phase les objets diffractant complexes dont la transmittance modifie seulement la phase du signal transmis. Sa transmittance est de la forme t(x) = e−jϕ(x)
Exemple : une lame de verre d’épaisseur e, sa transmittance est :
t(x) = e−j2π(nverre −nair )e
Dans la suite nous étudierons seulement des objet d’amplitude, t(x) sera par conséquent toujours
réel.
2
Observations expérimentales
On observe la figure de diffraction de plusieurs objets à une distance L grande devant les dimensions de l’objet.
On donne à gauche la forme de l’objet diffractant ainsi que sa fonction transmittance et à droite,
la figure de diffraction et l’éclairement associé.
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Introduction à la diffraction
• Une fente
Figure 2 : Transmittance et figure de diffraction dans le cas d’une fente
• Deux fentes
Figure 3 : Transmittance et figure de diffraction dans le cas de deux fentes
• Un réseau
Figure 4 : Transmittance et figure de diffraction dans le cas d’un réseau
• Une mire sinusoïdale
Figure 5 : Transmittance et figure de diffraction dans le cas d’une mire sinusoïdale
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Introduction à la diffraction
On observe expérimentalement que la figure de diffraction à l’infini correspond à la transformée de Fourier de la transmittance de l’objet diffractant
3
Vibration lumineuse transmise par un objet diffractant
Nous allons voir dans cette partie deux exemples d’objets diffractant et tenter d’expliquer dans
les deux cas la forme de leur figure de diffraction.
3.1
Mire sinusoïdale
• Transmittance
On considère une mire sinusoïdale, c’est-à-dire un objet dont la transmittance s’écrit :
x
t(x) = 1 + cos(2π ) = 1 + cos(2πux)
a
u=
1
a
est appelée fréquence spatiale de la mire.
Figure 6 : Transmittance d’une mire sinusoïdale
On peut réécrire l’expression de la transmittance de la mire à l’aide de la formule d’Euler :
1
1
t(x) = 1 + ej2πux + e−j2πux
2
2
• Effet sur une onde plane
→
Soit une vibration lumineuse plane incidente se propageant suivant −
ez :
−
→→
→
s(−
r , t) = A0 cos(ωt − k .−
r ) = A0 cos(ωt − kz z)
En complexe l’onde incidente s’écrit :
s(z, t) = A0 ej(ωt−kz z)
- Écrire l’expression complexe de s(x, z = 0− , t), en déduire l’expression de s(x, z = 0+ , t).
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5
Introduction à la diffraction
- Montrer qu’en sortie de la mire on obtient 3 ondes planes. Donner leurs expressions en
complexe et en réel pour z , 0.
Une onde plane se propageant dans une direction quelconque s’écrit :
−
→→
s(x, y, z, t) = A0 cos(ωt − k .−
r ) = A0 cos(ωt − kx x − ky y − kz z)
−
→
−
→
−
→
- Par analogie avec l’expression précédente, déterminer les vecteurs d’ondes k −1 , k 0 et k 1
des trois ondes issues de la mire.
Figure 7 : En sortie de la mire on obtient 3 ondes planes.
- On note θ l’angle entre les rayons déviés et l’axe optique. Exprimer θ en fonction de λ et a.
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6
Introduction à la diffraction
• Observation dans le plan focale d’une lentille convergente
Les ondes planes obtenues en sortie de l’objet diffractant ne peuvent former une image qu’à
l’infini ou dans le plan focal image d’une lentille convergent. On met donc en sortie de l’objet
diffractant une lentille convergente et un écran situé dans le plan focal image de la lentille pour
observer la figure de diffraction de l’objet, c’est à dire son spectre spatial.
Une fois projetées à l’aide d’une lentille convergente, les trois ondes planes vont former trois
points sur l’écran.
Figure 8 : Pour obtenir la figure de diffraction on projette les ondes planes
issues de l’objet diffractant.
- Quelles sont les positions des trois points lumineux sur l’écran ?
Projection du spectre spatial
La lentille sert d’analyseur de spectre spatial : dans son plan focal image, en un point
de coordonnée x, une tache lumineuse correspond à une fréquence spatiale de la fonction
de transparence t(x) de l’objet diffractant :
u=
x
λf ′
La lentille projette un spectre spatial de l’objet diffractant.
3.2
Mire créneau : le réseau
• Transmittance
Répétons l’opération avec une réseau. La fonction transmittance d’un réseau peut s’écrire
t(x) = 1
t(x) = 0
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a a
si x ∈ [−n ; n ] avec n ∈ N∗
2 2
sinon
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Introduction à la diffraction
Figure 9 : Transmittance d’un réseau
La transmittance est une fonction périodique de période spatiale a, on peut donc la décomposer
en série de Fourier.
(
∞
t0 ∑
2π
t(x) =
+
tn cos n x + φn
2 n=1
a
)
=
∞
)
2π
t0 ∑
tn ( j(n 2π x+φn )
+ e−j(n a x+φn )
+
e a
2 n=1 2
=
∞
∑
2π
2π
t0 1 ∑
1 −∞
+
tn ej(n a x+φn ) +
t−n ej(n a x−φ−n )
2
2 n=1
2 n=−1
=
∞
∑
tn ej(n
2π
x)
a
−∞
Avec tn =
tn jφn
2e
pour n > 0 et tn =
t−n −jφ−n
2 e
pour n < 0.
Ainsi la transmittance d’un réseau peut se décomposer comme une somme d’exponentielles
complexes :
t(x) =
+∞
∑
x
tn ej2π(n a ) =
−∞
Avec u =
1
a
+∞
∑
tn ej2π(nux)
−∞
la fréquence spatiale du réseau.
• Effet sur une onde plane
−
→→
→
On envoie sur le réseau une onde plane : s(−
r , t) = A0 cos(ωt − k .−
r ) = A0 cos(ωt − kz z) ou en
complexe s(z, t) = A0 ej(ωt−kz z) .
- Écrire l’expression de la vibration lumineuse en sortie du réseau.
En z , 0 on a donc en sortie du réseau :
s(x, y, z, t) =
+∞
∑
s0 tn ej(ωt+2πnux−kz z)
−∞
On reconnaît une somme de fonction sinusoïdales et donc d’ondes planes progressives dirigées
par les vecteurs :
−
→
→
→
→
→
kn = kz −
ez + kx −
ex = kz −
ez − 2πnu−
ex
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8
Introduction à la diffraction
Ceci correspond, par analogie avec la partie 3.1, à des ondes planes progressives se propageant
dans les direction θn telles que :
λ
a
On retrouve la formule des réseaux déterminer dans le chapitre précédent grâce à l’étude seule
des interférences.
θn ≃ sin θn = nλu = n
• Observation dans le plan focal d’une lentille convergente
En projetant ces ondes sur une écran obtient des taches régulièrement espacées de λf ′ u
On retrouve sur l’écran une projection du spectre de la transmittance, c’est à dire une série de
points lumineux régulièrement répartis aux positions xp = pλf ′ u.
Chaque point à la position xp représente une fonction sinusoïdales de fréquence up = pu constitutive de la décomposition en série de Fourier de la transmittance.
Les tn correspondent aux amplitudes de chaque onde transmise et donc du pic lumineux correspondant. La transmittance étant réelle les tn le sont aussi.
1
Remarque : Par définition de la fréquence spatiale u = on voit que plus l’extension spatiale
a
∆x = a de la transmittance est grande, plus son spectre est resserré spatialement. l’expression
u × a = 1 est à rapprocher de la relation démontrée dans le chapitre sur l’analyse de Fourier
temporelle ∆t∆f ≃ 1.
3.3
Transformée de Fourier
Transformée de Fourier
La figure de diffraction à l’infini, ou dans le plan focal image d’une lentille convergente,
d’un objet est la transformée de Fourier de la transmittance de cet objet.
On dit que la figure de diffraction est le spectre spatial de l’objet diffractant.
∫ +∞
T (u) = T F [t(x)] =
−∞
t(x)e−j2πux
L’extension spatiale de la transmittance ∆x et l’extension en fréquence spatiale de sa
transformée de Fourier ∆u sont reliées par :
∆x∆u = 1
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Introduction à la diffraction
- Déterminer le spectre d’une fente de largeur a. Vérifier qu’on retrouve la figure de diffraction
d’une fente.
3.4
Transmittance à deux dimensions
Dans le cas général la transmittance dépend de x et y, on obtiendra donc sur l’écran la transformée spatiale à deux dimension de la transmittance.
• Exemple 1 : Une grille
−→
• Exemple 2 : Une fente limitée dans les deux dimensions
−→
• Exemple 3 : Un trou
−→
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Introduction à la diffraction
3.5
Diffraction et interférences
Les calculs d’interférences sont fait pour des fentes infiniment fines, ainsi pour R ≃ 0 la largeur
de la tache de diffraction tend vers l’infini, on ne voit que la figure d’interférence.
Une fois qu’on prend en compte la largeur des objets diffractant (largeur a de la fente par
exemple), on obtient une figure de diffraction qui vient moduler la figure d’interférence.
Figure d’interférence
Figure de diffraction
Éclairement résultant
Figure 10 : La figure d’interférence est modulée par la figure de diffraction
Le calcul de la figure de diffraction en prenant en compte la largeur des fentes permet d’obtenir
l’expression complète de l’éclairement comprenant la diffraction et les interférences. Ce calcul
sort du cadre de ce cours. On peut donc voir les calculs d’interférences comme des calculs
simplifiés de figure de diffraction.
En calculant l’éclairement résultant de la diffraction par un réseau au 3.2, on a retrouvé la
formule d’interférence des réseaux ainsi que l’atténuation progressives des ordres de diffraction
(via le calcul des tn ) due à la largeur a non nulle des fentes du réseau .
Détermination de l’éclairement
On peut procéder de deux manières pour obtenir l’expression de l’éclairement en sortie
d’un objet diffractant :
— Soit un fait le calcul complet de la figure de diffraction (Hors-programme)
— Soit un fait un calcul d’interférence en supposant les fentes infiniment fines et on
module l’éclairement obtenu par la figure de diffraction d’une fente
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Introduction à la diffraction
4
Application : Filtrage spatial
4.1
Plan de Fourier
En reculant l’écran par rapport aux situations du 3, on obtient sur l’écran non plus la figure de
diffraction mais l’image de l’objet diffractant.
Figure 11 : Un fois l’écran éloigné on observe l’image de l’objet diffractant
Le plan dans lequel se forme le spectre, c’est à dire le pan focal image de la lentille, est appelé
plan de Fourier.
On a ainsi dans cette configuration un objet diffractant, son image sur un écran et un peu avant
l’écran dans le plan de Fourier le spectre spatial de la transmittance de l’objet diffractant. Le
passage du plan de Fourier à l’image réalise en quelque sorte une transformée de Fourier
inverse du spectre ce qui redonne l’image de l’objet diffractant sur l’écran.
On peut toutefois modifier dans le plan de Fourier le spectre de l’objet diffractant. Dans ce cas
la transformée de Fourier inverse ne redonnera pas exactement une image identique à l’objet
mais une image "filtrée" de l’objet.
4.2
Premier exemple de filtrage : expérience d’Abbe
Le spectre d’une grille (sa figure de diffraction) a déja été donné et correspond à des points
lumineux répartis en croix.
−→
Figure 12 : Figure de diffraction d’une grille
• En sélectionnant à l’aide d’un fente seulement les points lumineux verticaux, on obtient comme
image (c’est à dire après transformée de Fourier inverse) un réseau horizontal dont le spectre
correspond bien à celui conservé après filtrage
−→
−→
Figure 13 : En sélectionnant seulement la partie verticale du spectre on obtient l’image
d’un réseau horizontal au lieu de l’image de la grille
Lavoisier - PC
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Introduction à la diffraction
• De la même façon on peut sélectionner seulement les points lumineux horizontaux qui correspondent à la diffraction par les lignes verticales de la grille. On obtient alors comme image de
la grille, seulement ses lignes verticales.
−→
−→
Figure 14 : En sélectionnant seulement la partie horizontale du spectre on obtient l’image
d’un réseau vertical au lieu de l’image de la grille
• Pour finir, on peut faire apparaître des lignes qui n’existaient pas dans la grille diffractante.
En effet si on sélectionne les fréquences diagonales, elles semblent provenir d’un réseau incliné à
45circ , l’image finale de la grille sera donc ce réseau.
−→
−→
Figure 15 : En sélectionnant les points lumineux situés sur la diagonale du spectre on
obtient l’image d’un réseau diagonal qui n’existait pas dans l’objet
4.3
Hautes et basses fréquences
Comme dans une spectre temporel, le spectre spatial contient des hautes fréquences et des basses
fréquences.
Lecture du spectre spatial
Les basses fréquences d’un spectre spatial correspondent à l’aspect général de l’objet
diffractant et se situent au centre du spectre spatial.
Les hautes fréquences d’un spectre spatial correspondent au variations brusques de
lumière, c’est-à-dire au détails de l’objet diffractant. Elles se situent en périphérie du
spectre spatial.
On comprend que c’est sur le bord d’un détail que le lumière va varier le plus rapidement, c’est
à dire avec une grande fréquence spatiale, et donc etre la plus diffractée, la plus déviée. Cela
explique pourquoi les hautes fréquences correspondent aux parties du spectre les plus éloignées
de l’axe optique.
Figure 16 : Position des fréquences dans le spectre spatial
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Introduction à la diffraction
En filtrant plutôt les hautes fréquences ou les basses fréquences nous allons pouvoir choisir quoi
modifier sur l’image de l’objet diffractant. Soit sa forme générale, en filtrant les basses fréquences,
soit ses détails en filtrant les hautes fréquences.
4.4
Filtrage des hautes fréquences : Effet de flou
En filtrant dans le plan de Fourier les hautes fréquences on perd l’information sur les changement
rapide de transmittance au niveau de l’objet diffractant. Ceci à donc pour effet de rendre les
contours d’un objet moins net.
Figure 17 : On coupe les hautes fréquences à l’aide du fente ou d’un diaphragme
• Exemple 1 : Mire créneau (réseau)
En filtrant les hautes fréquences du spectre d’un réseau (transmittance carrée) on obtient comme
image du réseau une mire sinusoïdale, c’est à dire sur laquelle la transmittance varie progressivement au lieu de varier abruptement.
−→
Figure 18 : Les variations brusques de lumière sur l’objet diffractant son atténuées
• Exemple 2 : Effet sur une plume
En disposant un diaphragme au niveau de plan de Fourier on laisse passer les basses fréquences
et non les hautes fréquences.
−→
Figure 19 : L’image finale est floue, les changements rapide de luminosité sont supprimés de
l’image
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14
Introduction à la diffraction
4.5
Filtrage des basses fréquences : Strioscopie
Enlever les basses fréquences du spectre spatial de l’objet diffractant permet de récupérer seulement l’information sur les détails de l’objet, là où la transmittance, donc la lumière, change
rapidement. Pour ce faire on coupe le centre de la figure de diffraction avec un cache.
On utilise ce procédé notamment pour augmenter le contraste d’objet
• Exemple : Augmentation du contraste sur un image
−→
Figure 20 : La figure finale est plus contrastée
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