007925814

H. Djelouah
x
Chapitre 6
G n ralit s sur les ph nom nes de
propagation
6.1 Propagation une dimension
6.1.1 Equation de propagation
Dans les ph nom nes vibratoires trait s dans les chapitres pr c dents, nous nous sommes
int ress s des ph nom nes ou des grandeurs physiques qui d pendaient d'une seule variable, le
temps. Nous allons maintenant examiner toute une s rie de ph nom nes qui sont d crits par une
fonction qui d pend la fois du temps t et d'une variable d'espace, x par exemple.
Ces ph nom nes sont r gis par une quation aux d riv es partielles, appel e quation de
D'alembert ou quation d'onde ou encore quation de propagation une dimension de la forme :
∂
2
s 1 ∂
2
s
∂x
2
−
V
2
= 0
∂t2
dans laquelle V est une grandeur physique qui a les dimensions d'une vitesse et sera appel e dans
la suite vitesse de propagation.
6.1.2 Solution de l' quation de propagation
M thode de D'Alembert
Pour r soudre l' quation des ondes une dimension, op rons le changement de variable
suivant :
η = t −
V
x
ξ = t + V
Calculons les d riv es partielles par rapport t et x, en fonction des d riv es partielles par
rapport η et ξ.
Sachant que :
∂η
=
∂ξ
= 1
et que
∂t ∂t
∂η
= −
∂ξ
= −
1
on obtient
∂x ∂x V

H. Djelouah
∂x
∂η ∂x
∂ξ ∂x
V
∂η
∂ξ
∂x
2
V 2
∂η
2
−
∂η∂ξ
∂ξ2
V
V
V
V
48 G n ralit s sur les ph nom nes de propagation
∂s
=
∂s ∂η
+
∂s ∂ξ
=
∂s
+
∂s
∂t ∂η ∂t ∂ξ ∂t ∂η ∂ξ
∂s
=
∂s ∂η
+
∂s ∂ξ
=
1 ∂s
−
∂s
En tenant compte de ces r sultats et sachant que
∂
2
s
∂η∂ξ
=
∂
2
s
∂ξ∂η
on obtient :
∂
2
s
=
∂
2
s ∂
2
s ∂
2
s
∂t
2
∂η
2
− 2
∂η∂ξ
+
∂ξ
2
∂
2
s
=
1 ∂
2
s 2 ∂2s
+
∂
2
s
En rempla ant dans l' quation d'onde ∂2s et ∂2s par les expressions ci-dessus, on obtient l' qua-
∂t
2
∂x
2
tion d'onde exprim e en fonction des d riv es partielles par rapport aux variables η et ξ :
∂
2
s
= 0
∂η∂ξ
Cette derni re quation peut s' crire
∂
∂ξ
∂s
= 0
∂η
Un int gration par rapport ξ donne :
∂s
= f ( η )
∂η
o f ( η ) est une fonction qui ne d pend que de η (et pas de ξ ). En n une int gration par rapport
η donne :
s ( η, ξ ) = F ( η ) + G ( ξ )
o F (η) , qui ne d pend que de η, est une primitive de f (η). La fonction G (ξ) est une fonction
qui ne d pend que de ξ. En revenant aux variables x et t, on obtient la solution g n rale de
l' quation des ondes une dimension :
s ( x, t ) = F t −
x
+ G t +
x
Les fonctions F t −
x
et G t +
x
sont des fonctions dont la nature est x e par les conditions
aux fronti res impos es la solution s ( x, t ) .

H. Djelouah
V
V
=
V
V
V
V
V
V
on suppose que les conditions aux fronti res sont telles que G
t +
x
V
est constamment nulle.
F t −
x
correspond une onde se propageant dans le sens des x croissants (Voir la gure
Propri t s de G t +
x
On tudie le cas de la solution particuli re G t +
x
. Pour cela
V
Direction de
propagation
t=t
1
x
x1
x2
t=t
2
>t
1
x
x1
x2
x2•x1=V(t2•t1)
6.1 Propagation une dimension 49
Propri t s des solutions particuli res F t −
x et
G t +
x
Propri t s de F t −
x
On tudie le cas de la solution particuli re F t −
x
. Pour cela
On consid re l'instant t1 un point d'abscisse x1 . La valeur de la fonction s en ce point et cet
instant est s (x1, t1). On recherche un instant t2 post rieur t1 (t2 > t1) la position x2 d'un
point pour lequel la valeur de s est la m me que la valeur qu'elle avait en x
1
l'instant t
1
. Ce
probl me est formul par l' galit suivante :
s ( x
1
, t
1
) = s ( x
2
, t
2
)
Ce qui se traduit par
Cette quation est satisfaite si
F t
1
—
x
1
= F t — x2
D'o la valeur de x
2
:
x
1
x
2
t1 − V t2 − V
x
2
= x
1
+ V ( t
2
− t
1
)
Comme t
2
> t
1
, x
2
est sup rieure x
1
et ces deux points sont distants de
x2 − x1 = V (t2 − t1)
V
ci-dessous). F
t −
x est appel e onde progressive et cette expression constituera dans la suite
la d nition d'une onde progressive.
Onde progressive dans le sens des x croissants : F t − x
V
on suppose que les conditions aux fronti res sont telles F
t −
x
V
est constamment nulle. On
consid re l'instant t1 un point d'abscisse x1 . La valeur de la fonction s en ce point et cet
instant est s (x1, t1). On recherche un instant t2 post rieur t1 (t2 > t1) la position x2 d'un
point pour lequel la valeur de s est la m me que la valeur en x1 l'instant t1. Ce probl me est
formul par l' galit suivante :
Ce qui se traduit par
s ( x
1
, t
1
) = s ( x
2
, t
2
)
Cette quation est satisfaite si
G t
1
+ = G t
x
1
+
x
2
V
t +
x
1
= t
1 V 2
+
x
2
V
V
2
2

H. Djelouah
V
V
V
V
T
λ
ω
G t +
x
correspond une onde se propageant dans le sens des x d croissants (Voir la gure
50 G n ralit s sur les ph nom nes de propagation
D'o la valeur de x
2
:
x2 = x1 − V (t2 − t1)
Comme t
2
> t
1
, x
2
est inf rieure x
1
. Ces deux points sont distants de
x1 − x2 = V (t2 − t1)
V
ci-dessous). G
croissant.
t +
x correspond une onde progressive se propageant dans le sens des x d -
Onde progressive dans le sens des x d croissants : G t + x
6.1.3 Onde progressive sinuso dale
On consid re une onde progressive se propageant dans la direction de l'axe des x, telle que
le point d'abscisse x = 0 est soumis une vibration sinuso dale de la forme
s ( x = 0 , t ) = S
0
cos ( ωt )
Le point se trouvant l'abscisse x > 0 aura la m me vibration que celle du point x = 0 mais
avec un retard gal
x
:
s ( x, t ) = S
0
cos
h
ω
t −
x
i
Cette expression constitue la d nition d'une onde progressive sinuso dale (ou harmonique) ; elle
peut tre crite sous la forme :
s (x, t) = S0 cos [ωt − φ (x)]
o φ (x) = ω x repr sente le d phasage li au temps de propagation x . On dit que φ (x) repr sente
V V
le d phasage d la propagation. L'onde progressive sinuso dale s' crit sous la forme suivante
qui permet de mettre en vidence la double p riodicit (dans le temps et dans l'espace) :
s ( x, t ) = S
0
cos 2π
t —
x
La quantit T =
2 π
est la p riode temporelle tandis que la quantit λ = V T est la longueur
d'onde qui constitue la p riode spatiale. On peut v ri er ais ment que :
s ( x, t + nT ) = s ( x, t )
s ( x + nλ ) = s ( x, t )
o n est un nombre entier.
Direction de
propagation
t=t
1
x
x2
x1
t=t
2
>t
1
x
x2
x1
x1•x2=V(t2•t1)

H. Djelouah
V
=
−
φ Arctg
h i
x, t
2
2
λ
6.1 Propagation une dimension 51
L'onde progressive s' crit souvent :
s ( x, t ) = S
0
cos [ ωt − kx ]
o k =
ω 2 π
est appel le module du vecteur d'onde qui s'exprime en m
−1
.
On utilise tr s souvent la notation complexe d'une onde progressive sinuso dale :
s ( x, t ) = S
0
e
i ( ωt − kx )
s ( x, t ) = S e
iωt
o S = S0 e−ikx repr sente l'amplitude complexe de l'onde progressive sinuso dale. Le module
S
0
de S est l'amplitude de l'onde tandis que son argument kx repr sente le d phasage d la
propagation.
6.1.4 Superposition de deux ondes progressives sinuso dales
Cas de deux ondes de m me fr quence se propageant dans le m me sens
Consid rons deux ondes de m me fr quence et de m me direction de propagation, d'ampli-
tudes respectives S1 et S2, et de phases respectives φ1 et φ2. L'onde r sultante sera alors :
s ( x, t ) = S
1
e
j ( ωt − kx + φ
1
)
+ S
2
e
j ( ωt − kx + φ
1
)
= S e
j ( ωt − kx + φ )
ou encore en notation r elle :
avec
s ( x, t ) = S cos ( ωt − kx + φ )
S =
q
S
2
+ S
2
+ 2 S
1
S
2
cos ( φ
1
− φ
2
)
1 2
et
=
S
1
sin ( φ
1
) + S
2
sin ( φ
2
)
S1 cos (φ1) + S2 cos (φ2)
La superposition de deux ondes harmoniques de m me fr quence, et qui se propagent dans la
m me direction, donne une autre onde harmonique progressive de m me fr quence, d'amplitude
S et de phase φ.
Cas de deux ondes de m me fr quence se propageant dans des sens oppos s
Si par contre, on superpose deux ondes harmoniques de m me fr quence mais se propageant
dans des sens oppos s, le r sultat est tout autre. En e et, dans ce cas :
s ( x, t ) = S
1
e
j ( ωt − kx + φ
1
)
+ S
2
e
j ( ωt + kx + φ
1
)
= S
1
e
jφ
1
e
− jkx
+ S
2
e
jφ
2
e
+ jkx
e
jωt
et on ne peut plus crire l'onde r sultante sous la forme d'une onde progressive simple. Un cas
particulier important se produit quand les deux amplitudes sont identiques. Si on note :
S
1
= S
2
= S
0
on a :
( ) = 2
cos
+
φ1 − φ2
j ωt+
φ1+φ2
s
S
0
kx
e