chap3

Zéros d'une fonction
Olatokunbo OLATUNBOSUN
Institut de Formation et de Recherche en Informatique, IFRI, Bénin
10 juin 2016
Olatokunbo OLATUNBOSUN
Zéros d'une fonction
PLAN
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2
Méthode de dichotomie ou Méthode de la bissection
Méthode de Newton
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Introduction
Le numéricien est souvant confronté à la résolution d'équation
algébrique de la forme :
f (x ) = 0
et ce, dans toutes sortes de contextes.
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Équations non linéaires
Dénition
Une valeur de x solution de f (x ) = 0 est appelée une solution ou
un zéro de f (x ) et est notée r
Nous avons tous appris au secondaire comment résoudre l'équation
de second degré :
ax + bx + c = 0
2
dont les deux racines sont :
−b ±
√
.
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b
2a
2
− 4ac
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Principe de la dichotomie
Le principe de dichotomie repose sur la version suivante du
théorème des valeurs intermédiaires :
Théorème
Soit f : [a, b] −→ R une fonction continue sur un segment
si f (a) × f (b) ≤ 0, alors il existe r ∈ [a, b] tel que f (r ) = 0
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La dichotomie
Dans la méthode de dichotomie ou méthode de la bissection,
l'intervalle de recherche de la solution est coupé en deux à chaque
pas d'itération. On détermine progressivement un intervalle de plus
en plus n dans lequel se trouve la solution cherchée.
Soit une fonction numérique strictement monotone sur un intervalle
[a, b]. On suppose que l'équation f (x ) = 0 n'a qu'une et une seule
solution dans cet intervalle. On se propose de déterminer cette
valeur avec une précision donnée.
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Méthode de dichotomie ou de bissection
Soit [a , b ] un intervalle dans lequel f (a ) × f (b ) < 0. On note
c = (a + b )/2 le centre de l'intervalle. Si f (c ) × f (a ) < 0,
alors la racine r appartient à l'intervalle [a , c ]. On reprend le
procédé avec a = a et b = c . Sinon, c'est-à-dire si
f (c ) × f (a ) > 0, on pose a = c et b = b . On construit ainsi
une suite d'intervalles emboîtés [an , cn ] de longueur (a + b )/2n .
Les suites an et bn sont adjacentes et convergent vers r .
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
1
0
0
0
1
0
1
0
0
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0
Méthode de dichotomie : Arrêt ?
On arrête le processus dès que bn − an = b − a/2n est inférieur à la
précision souhaitée.
Comme (an ) est par construction une suite croissante, (bn ) une
suite décroissante, et (bn − an ) → 0 lorsque n → +∞, les suites
(an ) et (bn ) sont adjacentes et donc elles admettent une même
limite. D'après le théorème des gendarmes, c'est aussi la limite
disons r de la suite (xn ). La continuité de f montre que
f (r ) = limn→+∞ f (xn ) = limn→+∞ 0 = 0. Donc les suites (an ) et
(bn ) tendent toutes les deux vers r , qui est une solution de
l'équation (f (x ) = 0).
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Algorithme de la bissection
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Étant donné un intervalle [a, b] pour le quel f (x ) possède un
changement de signe
Étant donné a , le critère d'arrêt, et N , le nombre maximal
d'itérations
Poser : c = (a + b)/2
Si |b − a|/2|c | < a :
0
0
convergence atteinte
écrire la racine c0
écrire f (c0 )
arrêt
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Écrire a, b, c , f (a), f (b), f (c )
Si f (a) × f (c ) < 0, alors b = c
Si f (c ) × f (b) < 0, alors a = c
Si le nombre maximal d'itération N est atteint :
0
0
0
0
0
convergence non atteinte en
arrêt
9
0
N itérations
Retour à l'étape 3
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Algorithme de la bissection
L'expression :
|b − a |
2|c0 |
est une approximation de l'erreur relative. En eet, à l'étape 3 de
l'algorithme de la bissection, la racine recherchée est soit dans
l'intervalle [a , c ] ou dans l'intervalle [c , b] qui sont tous deux de
longueur :
0
0
0
b−a
2
ce qui constitue une borne supérieure de l'erreur relative. En
divisant par c , on obtient une approximation assez able de
l'erreur relative.
0
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√
Exemple : Résultat numérique de
10
Soit la fonction f dénie par f (x ) = x − 10 sur l'intervalle [3, 4]
√
Vérier que 10 est une solution positive de f
Montre
en utilisant le théorème des valeurs intermédiaires que
√
10 ∈ [3, 4]
√
trouve une approximation de 10 par la méthode de
dichotomie. (8 étapes)
trouve le nombre moyen d'itérations pour avoir une précision
de 10− (≈ 10dcimales ) et 10−
2
1
2
3
4
10
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Méthode de Newton
La méthode de Newton utilise des tangentes à la courbe de f . Elle
est d'une redoutable ecacité.
Partons d'une fonction dérivable f : [a, b] −→ R et d'un point
u ∈ [a, b]. On appelle (u , 0) l'intersection de la tangente au
graphe de f en (u , f (u )) avec l'axe des abscisses. Si u ∈ [a, b]
alors on recommence l'opération avec la tangente au point
d'abscisse u . Ce processus conduit à la dénition d'une suite
récurrente :
0
1
0
0
1
1
u
0
∈ [a, b]
et
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un+
1
= un −
f (un )
f 0 (un )
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