Analyse et Convergence II : Notes de Cours Math203

Notes du Cours
Analyse et Convergence II
Math203
Thierry Ramond
Math´ematiques
Universit´e Paris Sud
e-mail: thierry[email protected]
version du 6 f´evrier 2015

Table des mati`eres
1 Suites de fonctions 3
1.1 Quelques rappels sur les suites num´eriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.1.1 Notiondelimite .............................. 3
1.1.2 Comment montrer qu’une suite num´erique converge ? . . . . . . . . . . 4
1.2 Notion de suite de fonctions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.3 Convergenceuniforme ............................... 6
1.3.1 Distance entre courbes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.3.2 D´efinition de la convergence uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.4 Convergencesimple................................. 9
1.4.1 Un exemple : la suite de fonctions (xn)n................. 9
1.4.2 Convergence simple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.5 Exemples ...................................... 11
1.5.1 Des triangles glissants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.5.2 fn(x) = x
n+x................................. 11
1.5.3 fn(x) = xe−nx ............................... 12
2 Propri´et´es de la limite 14
2.1 Continuit´e...................................... 14
2.2 Int´egrabilit´e..................................... 15
2.3 D´erivabilit´e ..................................... 17
3 S´eries de Fonctions 19
3.1 Quelques rappels sur les s´eries num´eriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
3.2 Notion de s´erie de fonction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

TABLE DES MATI` ERES 2
3.3 Notionsdeconvergence .............................. 21
3.4 Convergencenormale................................ 22
3.5 Propri´et´es de la somme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
3.6 A propos des s´eries enti`eres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
3.7 Unexemple ..................................... 26
4 Fonctions d´efinies par des int´egrales `a param`etre 28
4.1 Int´egralessimples.................................. 28
4.1.1 Notion de continuit´e uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
4.1.2 Continuit´e.................................. 29
4.1.3 D´erivation.................................. 30
4.2 Int´egrales g´en´eralis´ees . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
4.2.1 Convergence uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
4.2.2 Continuit´e, D´erivation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
4.2.3 Convergence normale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
4.3 Unexemple ..................................... 35
5 S´eries de Fourier 37
5.1 Introduction : cordes vibrantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
5.1.1 Miseen´equation.............................. 37
5.1.2 En avant la musique ! . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
5.2 S´eries trigonom´etriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
5.2.1 Applications p´eriodiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
5.2.2 S´eries trigonom´etriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
5.3 CoefficientsdeFourier ............................... 43
5.4 S´eries de Fourier : Cas des fonctions ”tr`es” r´eguli`eres . . . . . . . . . . . . . . 46
5.5 Th´eor`eme de convergence simple de Dirichlet . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
5.6 Convergence au sens de Cesaro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
6 M´ethodes hilbertiennes 53
6.1 Convergence en moyenne quadratique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
6.2 Espacespr´ehilbertien................................ 54
Notes du cours Math203, ann´ee 2011/2012. Version 1.1 Thierry Ramond

TABLE DES MATI` ERES 3
6.2.1 Produitscalaire............................... 54
6.2.2 In´egalit´e de Cauchy-Schwarz. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
6.2.3 Normeassoci´ee............................... 56
6.2.4 Orthogonalit´e................................ 56
6.2.5 Projection orthogonale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
6.3 Application aux s´eries de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
6.3.1 L’espace L2([0,2π]) ............................ 60
6.3.2 In´egalit´e de Bessel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
6.3.3 Identit´e de Parseval . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
Notes du cours Math203, ann´ee 2011/2012. Version 1.1 Thierry Ramond

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