TRANSFORMEE DE LAPLACE ELEC101 – Electronique des Systèmes d’Acquisition [email protected] A504-3 page 1 Transformée de Laplace Patricia Desgreys Plan du cours page 2 I. Introduction : présentation des signaux et des systèmes analogiques II. Définition et propriétés de la transformée de Laplace pour l’étude des signaux et des systèmes continus III. Principales utilisations de la transformée de Laplace Transformée de Laplace Patricia Desgreys Plan du cours page 3 I. Introduction : présentation des signaux et des systèmes analogiques II. Définition et propriétés de la transformée de Laplace pour l’étude des signaux et des systèmes continus III. Principales utilisations de la transformée de Laplace Transformée de Laplace Patricia Desgreys Signal, système et représentation Système temps temps Signal : fluctuation d’une grandeur physique Système : ensemble organisé réalisant une fonction Représentation temporelle x(t) ou spectrale X(f): modèle mathématique d’une grandeur observable Nous ne traitons que les signaux certains page 4 Transformée de Laplace Patricia Desgreys Les signaux analogiques Analogique échantillonné continues Valeurs du signal Analogique continu Numérique synchrone page 5 Transformée de Laplace continu quantifiées discret Numérique asynchrone Patricia Desgreys temps Les signaux analogiques Valeurs du signal Fonction x(t) Analogique échantillonné continues Séquence x[k] Analogique continu Numérique synchrone page 6 Transformée de Laplace continu quantifiées discret Numérique asynchrone Patricia Desgreys temps Les signaux analogiques Te x(t) x[k] période d’échantillonnage •Échelon unité (Heaviside) noté u 1 0 •Impulsion de Dirac notée d 1/ t t 0 0 1 2 3 4 5 Impulsion discrète - t /2 t /2 •Signal sinusoïdal 0 T0 page 7 Transformée de Laplace u[k] Patricia Desgreys Les signaux analogiques Principales caractéristiques : •Les signaux sont de durée finie lorsque le phénomène ne se manifeste que sur un intervalle de temps fini. Si leur durée est faible, on parle de signaux transitoires ou impulsionnels. •Les signaux de durée infinie sont stationnaires si leurs fluctuations observe une certaine régularité quelque soit t ; c’est le cas des signaux périodiques ou quasi périodiques (superposition de plusieurs composantes harmoniques quelconques) •Les signaux sont causaux si leurs valeurs sont nulles pour t, k < 0 ou anticausaux si leurs valeurs sont nulles pour t, k > 0. page 8 Transformée de Laplace Patricia Desgreys Les systèmes analogiques Entrée x Système H Sortie y y=H(x) Les systèmes considérés sont des systèmes linéaires invariants (SLI). (å ) å •Un système est dit linéaire si H a i x i = a i H(x i ) où les ai sont des coefficients constants. Ceci est équivalent au principe de superposition. •Un système est dit invariant s’il ne dépend pas du temps. si y(t)=H{x(t)} y[k]=H{x[k]} alors "t "n y(t-t)=H{x(t-t)} y[k-n]=H{x[k-n]} page 9 Transformée de Laplace Patricia Desgreys Les systèmes analogiques • x et y continus R x(t) échelon unité C y(t )=1-e - t RC RCy(1)(t )+ y(t )=x(t ) Le comportement de ce type de système peut être modélisé par une équation différentielle d’ordre n à coefficients réels et constants. avec m£n b0y(t )+ b1y(1)(t )+...+ bn y(n )(t )=a 0x(t )+...+a mx (m )(t ) • x continu et y échantillonné : échantillonneur réel à pas constant Te et durée de fermeture t (t<<Te) Te x(t) y[k]=x(t) pour kTe<t<kTe+t période d’échantillonnage page 10 Transformée de Laplace Patricia Desgreys Les systèmes analogiques • x et y échantillonnés x[k] Filtre dérivateur y[k]=x[k]-x[k-1] 0 Le comportement de ce type de système peut être modélisé0 par une ‘équation aux différences finies’ d’ordre n à coefficients ai et bi réels et constants. n m y[k]=- bi y[k -i]+ a jx[k - j] m et n sont finis å i =1 å j= 0 • x échantillonné et y continu : interpolation d’ordre 0 ou blocage x[k] 0 page 11 Transformée de Laplace Bloqueur d’ordre 0 (Te) y(t) 0 Patricia Desgreys Un SLI est un système de convolution Définition : la réponse impulsionnelle est la sortie correspondante à une entrée impulsionnelle (x(t)=d(t) ou x[k]=d[k]). Entrée d Sortie h(t) ou h[k] H Cas discret : Une entrée quelconque x[k] peut être décomposée en une somme d’impulsions discrètes : x[k]= x[n]d[k -n] å n Le système H est linéaire et invariant. Il vient donc : y[k]=åx[n]H{d[k -n]}=åx[n]h[k -n] n Ceci est un produit de convolution discret noté * : y[k]=x*h[k] page 12 Transformée de Laplace Patricia Desgreys n Un SLI est un système de convolution Cas continu : Une entrée quelconque peut être approchée par une somme d’impulsions réelles de largeur t : +¥ dt(t) 1/t x(t )@åx(nt)tdt(t -nt) ® x(t )= ò x(q)d(t -q)dq t®0 n d(t )=lim dt(t ) t®0 -t/2 0 t/2 t -¥ SLI +¥ y(t )@åx(nt)th t(t -nt) ® y(t )= ò x(q)h(t -q)dq n t®0 -¥ Ceci est un produit de convolution continu noté également * : y(t )=x*h(t ) page 13 Transformée de Laplace Patricia Desgreys Un SLI est un système de convolution Quelques caractéristiques •Le produit de convolution est commutatif. +¥ y(t )=x*h(t )=h*x(t )= ò h(q)x(t -q)dq -¥ y[k]=x*h[k]=h*x[k]=åh[n]x[k -n] n •Dans le cas d’un système causal, la réponse à un instant donné ne dépend que des valeurs précédentes de l’entrée, h(t)=0 pour t<0 ou h[n]=0 pour n<0 : +¥ y(t )= ò h(q)x(t -q)dq 0 +¥ y[k]=åh[n]x[k -n] n =0 •Certains systèmes discrets ont une réponse impulsionnelle de durée finie (système RIF) tandis que d’autres ont une réponse impulsionnelle de durée infinie (systèmes RII). •Tous les systèmes continus réels ont une réponse impulsionnelle de durée infinie. page 14 Transformée de Laplace Patricia Desgreys Conclusion Les systèmes analogiques linéaires invariants homogènes sont régis par des équations différentielles (ou équations aux différences). Connaissant leur réponse impulsionnelle et le signal d’entrée, la détermination de la sortie nécessite le calcul d’un produit de convolution. Ces deux représentations de la fonctionnalité du système ne sont pas d’un maniement aisé. Les outils mathématiques et leurs propriétés sont définis pour les systèmes homogènes : continus « transformée de Laplace échantillonnés « transformée en Z Ces outils facilitent l’étude (analyse et conception) des circuits analogiques et numériques (TZ). page 15 Transformée de Laplace Patricia Desgreys Plan du cours page 16 I. Introduction : présentation des signaux et des systèmes analogiques II. Définition et propriétés de la transformée de Laplace pour l’étude des signaux et des systèmes continus III. Principales utilisations de la transformée de Laplace Transformée de Laplace Patricia Desgreys Définition La transformée de Laplace constitue une extension de la définition de la transformée de Fourier à tout le plan complexe de la variable fréquentielle. jw jw ® p=s+jw +¥ TF X(p)= ò x(t )e- tpdt 0- notée TL(x) ou L[x(t)] s +¥ X(p)= ò x(t )e-st e- jwtdt 0- facteur de convergence. Il en résulte que la transformée de Laplace est définie (convergente) pour un plus grand nombre de signaux, en particulier les signaux dont la croissance est exponentielle. page 17 Transformée de Laplace Patricia Desgreys Existence +¥ X(p)= ò x(t )e- tpdt 0- Exemple : la fonction f(t)=exp(at) où a est une constante réelle positive ne possède pas de transformée de Fourier. En revanche, jw +¥ F(p)= òexp[(a-p)t]dt 0- 0 ¥ F(p)= 1 [exp[(a-s)t]exp(- jwt )]0 (a-p) a s pour s>a, la transformée de Laplace est définie et vaut F(p)=1/(p-a) La transformée de Laplace d’une fonction x(t) est donnée par l’ensemble de la fonction X(p) et de la bande de convergence. Une condition suffisante pour l’existence de la TL est qu’il existe un réel +¥ positif s0 tel que l’intégrale suivante converge: -σ 0 t dt ( ) x t e ò 0- page 18 Transformée de Laplace Patricia Desgreys Analyticité +¥ X(p)= ò x(t )e- tpdt 0- • x(t) doit être localement sommable • La croissance de x(t) avec t ne doit pas être trop rapide : x(t) doit être d’ordre exponentiel, i.e. il existe deux réels positifs M et a tels que pour t®¥ : x(t )<Meat Alors la transformée de Laplace de x(t), X(p) est définie et analytique (dérivable) dans la bande de convergence telle que Re(p)= s>a. Et M L[x(t)]< p-a pour Re(p)= s>a Ce qui donne L[x(t)] ® 0 pour p ® ¥ Exemples : f(t)=K page 19 f(t)=tn Transformée de Laplace f(t)=exp(t3) Patricia Desgreys Exemples usuels +¥ X(p)= ò x(t )e- tpdt 0- • Échelon unité (Heaviside) ¥ ¥ TL(u) =ò0-u(t )e dt =ò e- tpdt =é- 1 e- tp ù = 1p êë p úû00- tp • Impulsion de Dirac ¥ pour Re(p)>0 ¥ TL(d) =ò d(t)e-tpdt=e-tp =1 t=0 0- Toute l’énergie de l’impulsion de Dirac est concentrée en 0 (de 0- à 0+) donc elle est bien englobée dans l’intégrale grâce au choix de la borne 0- pour la définition de la TL unilatérale. • Signal sinusoïdal complexe : f(t)=exp(±jw0t) où w0 est une constante réelle positive (pulsation) ¥ TL(f) =ò exp(± jw0t )e- tpdt 0- = page 20 1 [exp[(-p± jw0)t]] = 1 -p± jw0 p! jw0 Transformée de Laplace ¥ 0- Patricia Desgreys pour Re(p)>0 Propriétés de la TL +¥ X(p)= ò x(t )e- tpdt 0- Linéarité : én ù n Lêåa ix i(t )ú=åa i L[x i(t )] ë i =1 û i =1 où ai sont des constantes Application à la détermination des TL des fonctions cos w0t et sin w0t exp( jw0t )+exp(- jw0t )ù p 1 1 L[cosw0t]= Lé = + = êë úû 2(p- jw0 ) 2(p+ jw0 ) p2 +w02 2 exp( jw0t )-exp(- jw0t )ù 1 1 L[sinw0t]= Lé = = w0 2 êë úû 2j(p- jw0 ) 2j(p+ jw0 ) p2 +w0 2j Multiplication de la variable t par une constante positive a : L[x(at )]= 1 X(p a) a page 21 Transformée de Laplace Patricia Desgreys Propriétés de la TL +¥ X(p)= ò x(t )e- tpdt 0- Différentiation dans le domaine temporel : +¥ dx(t)ù Lé = òx'(t)e-tpdt=[x(t)e-tp]0- +p òx(t)e-tpdt êë dt úû 00+¥ +¥ dx(t )ù Lé =pX(p)-x(0- ) êë dt úû Comme x(t) est d’ordre exponentiel, dans le domaine d’analyticité de X, x(t)exp(-tp)®0 avec t ®¥. Donc l'opération transcendante de dérivation est convertie en une opération algébrique de multiplication. Intégration dans le domaine temporel : ét ù X(p) Lê ò x(t)dtú= ë0û p L'intégration dans le domaine temporel correspond à une division dans le domaine fréquentiel. En combinant les deux dernières propriétés, nous pouvons conclure que grâce à la TL, les équations intégro-différentielles sont remplacées par des équations algébriques. page 22 Transformée de Laplace Patricia Desgreys Propriétés de la TL +¥ X(p)= ò x(t )e- tpdt 0- Intégration dans le domaine temporel : ét ù X(p) Lê ò x(t)dtú= ë0û p Application : détermination de la TL de la fonction fn(t)=tn où n est un entier. Sachant que la TL de l’échelon unité u(t) vaut 1/p : ét ù 1 Lê ò u(t)dt=tú= 2 TL f1 = 12 p ë0û p t2 ù ét Lê ò tdt= ú= 13 TL f2 = 23 2 p p ë0û t n ù TL f é t n -1 n -1 Lê ò t dt= ú= TL fn = nn +!1 n p p ë0û () () ( ) page 23 Transformée de Laplace () Patricia Desgreys Propriétés de la TL +¥ X(p)= ò x(t )e- tpdt 0- Différentiation dans le domaine fréquentiel : L éë - tx ( t )ùû = dX ( p ) dp é x (t) ù ¥ Intégration dans le domaine fréquentiel : L ê t ú = ò X ( s ) ds êë úû p L éë x ( t - a ) u ( t - a )ùû = e Translation en temps : Translation en fréquence : Convolution : Signaux périodiques : page 24 Transformée de Laplace - ap X (p) at L ée x ( t )ù = X ( p - a ) ë û L éë x1 * x 2 ( t )ùû = X1 ( p ) X 2 ( p ) L éë x ( t )ùû = Patricia Desgreys 1 1- e T ò x ( t )e - Tp 0 - tp dt Plan du cours page 25 I. Introduction : présentation des signaux et des systèmes analogiques II. Définition et propriétés de la transformée de Laplace pour l’étude des signaux et des systèmes continus III. Principales utilisations de la transformée de Laplace Transformée de Laplace Patricia Desgreys Pôles de X(p) et comportement qualitatif de x(t) Les pôles de X(p) contiennent toute l’information nécessaire à la connaissance du comportement temporel de la fonction d’origine x(t). Pôle réel simple : p=s0 j(t )=k exp(s0t ) j(t) jw s t j(t) s01<s02 s page 26 Transformée de Laplace s01 s02 t Patricia Desgreys s t Pôles de X(p) et comportement qualitatif de x(t) Selon le signe de la partie réelle des pôles de X(p), le signal x(t) converge ou diverge ou encore reste borné. Pôles complexes conjugués : p=s0 ± jw0 j(t )=k exp(s0t) cosw0t jw0 page 27 j(t) jw jw0 -jw0 t s -jw0 j(t) jw j(t) jw jw0 s Transformée de Laplace t -jw0 Patricia Desgreys s t Critères de stabilité La stabilité est une notion importante dans l’étude des systèmes. Entrée x Système H Sortie y Intuitivement, un système est stable si lorsqu’on supprime l’excitation x, la sortie y tend vers une limite bornée. Stabilité Entrée Bornée – Sortie Bornée (EBSB) : A toute entrée x, bornée en amplitude, correspond une sortie y également bornée en amplitude. Une condition nécessaire et suffisante pour qu’un système soit stable EBSB est que : +¥ æ h(t )dt<+¥ ö÷ -sa réponse impulsionnelle soit absolument sommable ç è ò0 ø -sa fonction de transfert H(p) n’ait que des pôles à partie réelle négative et que le degré du numérateur soit inférieur ou égal à celui du dénominateur. page 28 Transformée de Laplace Patricia Desgreys Critères de stabilité Stabilité au sens large : Un système est stable au sens large si sa réponse impulsionnelle est bornée pour tout t>0. Pour cette stabilité, H(p) peut aussi avoir des pôles à partie réelle nulle d’ordre 1. Exemples : 5p3 -6p-3 est la fonction de transfert d’un système instable. H(p)= 2 p3(p+1) page 29 H(p)= p-2 3 p(p+1) H(p)= 2p+3 est la fonction de transfert d’un système stable 2 p +4p+8 pour les deux définitions. Transformée de Laplace est la fonction de transfert d’un système stable au sens large, mais pas EBSB. Patricia Desgreys Résolution d’équations différentielles linéaires La principale force de la représentation symbolique de Laplace est de convertir les équations intégro-différentielles qui caractérisent les systèmes linéaires invariants en temps continu en équation algébriques. domaine temporel dérivation de x(t) domaine fréquentiel multiplication par p de X(p), avec l’addition d’un terme de condition initiale intégration de x(t) division par p de X(p) De l’équation algébrique en X(p), il est facile d’extraire l’inconnue X(p). Puis les méthodes d’inversion de la transformée de Laplace sont mises en œuvre pour obtenir x(t). Les mêmes considérations peuvent s’appliquer à un système d’équations différentielles avec plusieurs variables. page 30 Transformée de Laplace Patricia Desgreys Étude d’un circuit électrique La transformée de Laplace est un outil puissant pour l’analyse et la conception de circuits et systèmes électriques. Les éléments de base : Tension u(t) Courant i(t) Résistance Inductance Capacité u(t ) i(t ) di(t ) u(t )=L dt du(t ) i(t )=C dt R= U(p) I(p) ZR = U(p) (I p) =R U(p)=LpI(p)-Li(0- )=ZLI(p)-Li(0- ) I(p)=CpU(p)-Cu(0- )= 1 U(p)-Cu(0- ) ZC Les termes correspondants aux conditions initiales sont très importants ; Ils peuvent être modélisés par une source de tension continue ou de courant continu. page 31 Transformée de Laplace Patricia Desgreys Étude d’un circuit électrique Méthode d’étude générale : Les données sont la topologie du circuit, les expressions temporelles des excitations et les conditions initiales (valeurs des tensions et des courants à t=0). Soit le circuit intégrateur et l’excitation représentés ci-dessous, déterminer l’expression temporelle de la sortie vs(t) en fonction de sa valeur initiale. ve(t) R=1W ve(t) C=1F vs(t) 1V 1 1. Calculer les transformées de Laplace des entrées. v e(t )=t[u(t )-u(t -1)]+u(t -1)=tu(t )-(t -1)u(t -1) page 32 t(s) Transformée de Laplace Patricia Desgreys Ve(p)= 12 - 12 e- p = 12 (1-e- p ) p p p Étude d’un circuit électrique 2. Représenter le circuit avec les éléments transformés et des générateurs pour les conditions initiales. R Ve(p) 3. 1 Cp vs0 p IC Vs(p) IC(p)=CpVs (p)-Cvs0 Vs (p)=ZCIC(p)+ vs0 p vs0 =vs(0- ) Écrire autant d’équations que d’inconnues dans le système grâce aux lois des nœuds et des mailles. Vs (p)= 1 IC(p)+ vs0 Cp p Vs (p)+ RIC(p)=Ve (p) page 33 Transformée de Laplace Patricia Desgreys Étude d’un circuit électrique 4. Résoudre le système d’équations pour toutes les inconnues ou seulement pour celles qui sont recherchées. Vs (p)= Ve (p)+ RCvs0 Ve (p)+ vs0 = RCp+1 p+1 é ù Vs (p)= 1 ê 12 (1-e- p )+ vs0 ú p+1ë p û 5. F1(p)= 1 = 1 - 1 + 1 F2(p)= vs0 (p+1)p2 p+1 p p2 (p+1) Calculer la transformée de Laplace inverse f1(t )=(e -1+ t )u(t ) -t f2(t )=v e u(t ) vs(t )=f1(t )-f1(t -1)+f2(t ) s0 -t vs(t) 1V Allure de vs(t) pour vs0=0 1 page 34 Transformée de Laplace Patricia Desgreys t(s) Étude en Laplace d’un filtre sélectif Z2 R2 Ve Z1 Quelle est la fonction réalisée par le circuit ? Vs R1 R R C Z1 Transformée de Laplace Z2 Patricia Desgreys C
