Cours des intégrales sup cpge

Cours de Math´ ematiques
Int´ egration sur un intervalle quelconque
Sommaire
Int´egration sur un intervalle
quelconque
Sommaire
I Int´egrabilit´e des fonctions positives .................. 2
I.1 D´efinition de l’int´egrabilit´e ........................ 2
I.2 Propri´et´es de l’int´egrale des fonctions positives ............. 3
I.3 Op´erations sur les fonctions int´egrables positives ............ 5
II Fonctions int´egrables `a valeurs complexes . . . . . . . . . . . . . . . 6
II.1 Notations pr´eliminaires .......................... 6
II.2 Int´egrabilit´e d’une fonction `a valeurs r´eelles ou complexes ....... 6
II.3 Utilisation des int´egrales de Riemann .................. 7
II.4 Int´egrale des fonctions `a valeurs r´eelles ou complexes .......... 8
II.5 Propri´et´es de l’int´egrale .......................... 8
II.6 Notation d´efinitive de l’int´egrale ..................... 9
II.7 Extension de la notion d’int´egrale .................... 10
III Convergences de suites de fonctions int´egrables . . . . . . . . . . . 11
III.1 Convergence en moyenne ou en moyenne quadratique ......... 11
III.2 Th´eor`emes de convergence ......................... 12
IV Int´egrales d´ependant d’un param`etre . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
Page 1 Jean-Michel Ferrard www.klubprepa.net c EduKlub S.A.
Tous droits de l’auteur des œuvres r´eserv´es. Sauf autorisation, la reproduction ainsi que toute utilisation des œuvres autre que la consultation
individuelle et priv´ee sont interdites.

Cours de Math´ ematiques
Int´ egration sur un intervalle quelconque
Partie I : Int´egrabilit´e des fonctions positives
I Int´egrabilit´e des fonctions positives
On consid`ere des applications d´efinies sur un intervalle Ide IR, `a valeurs dans IK (IR ou lC).
On note Cm(I, IK) l’ensemble des applications continues par morceaux de Idans IK.
Dans ce chapitre, on cherche `a ´etendre la signification du symbole ZI fquand l’intervalle In’est
pas un segment ou quand l’application fn’est pas born´ee.
Dans ce paragraphe on consid`ere des applications fde Idans IR+.
I.1 D´efinition de l’int´egrabilit´e
D´efinition
Soit fun ´el´ement de Cm(I, IR+). On dit que fest int´egrable ou encore sommable sur Is’il
existe un r´eel M≥0 tel que pour tout sous-segment Jde I, on ait : ZJ f≤M.
On note alors ZI fla borne sup´erieure des ZJ f, pour tous les sous-segments Jde I.
La quantit´e positive ou nulle ZI fest appel´ee int´egrale de fsur l’intervalle I.
Notation
On note L1(I, IR+) l’ensemble des fonctions int´egrables de Idans IR+.
Exemples
– L’application x7→ f(x) = e−xest int´egrable sur IR+et ZIR+f= 1.
– L’application x7→ f(x) = 1
√xest int´egrable sur I=]0,1] et Z]0,1]
f= 2.
– L’application x7→ f(x) = 1
1 + x2est int´egrable sur IR et ZIR
f=π.
Remarques
– Supposons que l’intervalle Isoit r´eduit `a un point a.
Alors toute application fd´efinie en aest int´egrable sur I={a}et d’int´egrale nulle...
– Supposons que Isoit un segment [a, b] et que fsoit continue par morceaux sur I.
Le chapitre “int´egration et d´erivation” nous a d´ej`a permis de donner un sens `a Z[a,b] f.
L’application fest bien sˆur int´egrable sur [a, b] au sens de la d´efinition pr´ec´edente, et la
valeur de son int´egrale Z[a,b] fne change pas !
Page 2 Jean-Michel Ferrard www.klubprepa.net c EduKlub S.A.
Tous droits de l’auteur des œuvres r´eserv´es. Sauf autorisation, la reproduction ainsi que toute utilisation des œuvres autre que la consultation
individuelle et priv´ee sont interdites.

Cours de Math´ ematiques
Int´ egration sur un intervalle quelconque
Partie I : Int´egrabilit´e des fonctions positives
I.2 Propri´et´es de l’int´egrale des fonctions positives
Proposition (Int´egrabilit´e par r´eunion croissante)
Soit fun ´el´ement de Cm(I, IR+).
On suppose qu’il existe une suite croissante (Jn)n≥0de sous-segments de Itels que :
– L’intervalle Iest la r´eunion des Jn:[
n∈IN
Jn=J(on dit que la suite (Jn) est exhaustive.)
– La suite ZJn fn≥0est major´ee : il existe Mdans IR+tel que ZJn f≤Mpour tout n.
Alors l’application fest int´egrable sur Iet on a : ZI f= sup
n∈IN ZJn
f.
Remarques
– R´eciproquement, si fest int´egrable sur I, alors on a l’´egalit´e ZI f= sup
n∈IN ZKn
fpour toute
suite (Kn)n≥0(croissante et exhaustive) de sous-segments de I.
– Notons aet bles extr´emit´es gauche et droite de Iavec −∞ ≤ a < b ≤+∞.
fest int´egrable sur I⇔il existe une suite (an) d´ecroissante de limite a, et une suite (bn)
croissante de limite b, telles que la suite Z[an,bn] fconverge. On a alors : ZI f= lim
n→+∞Z[an,bn]
f.
Proposition (Int´egrabilit´e par partition de l’intervalle)
Soit fun ´el´ement de Cm(I, IR+).
Soit cun ´el´ement de I. Notons Ig=I∩]− ∞, c] et Id=I∩[c, +∞[.
L’application fest int´egrable sur I⇔elle l’est sur Iget sur Id.
On a alors l’´egalit´e : ZI f=ZIg f+ZId f.
Cons´equence
– Supposons par exemple que l’application fsoit continue par morceaux sur IR+∗.
Alors fest int´egrable sur IR+∗⇔elle l’est sur ]0,1] et sur [1,+∞[.
Dans ce cas on a : ZIR+∗ f=Z]0,1] f+Z[1,+∞[ f.
– Soit fun ´el´ement de Cm([a, b[,IR+), avec a < b ≤+∞(le “probl`eme” est donc en b).
Soit cun ´el´ement de [a, b[. L’application fest donc continue par morceaux sur [a, c].
Dans ces conditions, fest int´egrable sur [a, b[⇔elle l’est sur [c, b[.
On a alors l’´egalit´e Z[a,b[ f=Z[a,c] f+Z[c,b[ f.
– De mˆeme, supposons que fsoit continue par morceaux sur ]a, b] (le “probl`eme” est en a.)
Soit cun ´el´ement de ]a, b] : fest int´egrable sur ]a, b]⇔elle l’est sur ]a, c].
On a alors l’´egalit´e Z]a,b] f=Z]a,c] f+Z[c,b] f.
Page 3 Jean-Michel Ferrard www.klubprepa.net c EduKlub S.A.
Tous droits de l’auteur des œuvres r´eserv´es. Sauf autorisation, la reproduction ainsi que toute utilisation des œuvres autre que la consultation
individuelle et priv´ee sont interdites.

Cours de Math´ ematiques
Int´ egration sur un intervalle quelconque
Partie I : Int´egrabilit´e des fonctions positives
Proposition (Int´egrabilit´e par translation de l’intervalle)
Soit fun ´el´ement Cm(I, IR+).
Soient αun r´eel et Jl’intervalle se d´eduisant de Ipar la translation x→x+α.
Soit gl’application d´efinie sur Jpar : ∀x∈J, g(x) = f(x−α).
Alors gest continue par morceaux sur J, int´egrable, et ZJ g=ZI f.
Exemples
– L’application g:x7→ 1
√x−1est int´egrable sur ]1,2] et Z]1,2]
g=Z]0,1]
1
√x= 2.
Le changement de variable x→x+ 1 a permis ici de se ramener “`a l’origine”.
Proposition (Int´egrabilit´e par utilisation d’une primitive)
Soit fun ´el´ement de Cm([a, b[,IR+), avec a < b ≤ ∞.
Soit Fla primitive de fqui s’annule en a:∀x∈[a, b[, F (x) = Zx
a
f(t) dt.
Alors fest int´egrable sur I= [a, b[⇔F(qui est croissante) est major´ee.
On a alors : ZI f= sup
x∈I
F(x) = lim
x→bF(x).
Remarques
– On a un r´esultat analogue si fappartient `a Cm(]a, b],IR+), avec −∞ ≤ a < b.
En effet, soit G:x→Zb
x
f(t) dt. On a G0(x) = −f(x)≤0 sur I=]a, b] et G(b) = 0.
L’application Gest donc d´ecroissante sur I=]a, b].
Alors fest int´egrable ⇔Gest major´ee, et on a : ZI f= sup
x∈I
G(x) = lim
x→aG(x).
– Une cons´equence des deux r´esultats pr´ec´edents est que si l’application fest continue par
morceaux sur [a, b] (donc int´egrable sur ce segment) alors elle est int´egrable sur chacun des
intervalles [a, b[, ]a, b] et ]a, b[, l’int´egrale de frestant la mˆeme.
Les int´egrales de Riemann
– L’application f:x7→ 1
xαest int´egrable sur ]0,1] ⇔α < 1.
– L’application f:x7→ 1
xαest int´egrable sur [1,+∞[ si et seulement si α > 1.
– Plus g´en´eralement, consid´erons l’application g:x7→ 1
x|ln x|β.
L’application gest int´egrable sur i0,1
2i, ou sur ]2,+∞[, si et seulement si β > 1.
Page 4 Jean-Michel Ferrard www.klubprepa.net c EduKlub S.A.
Tous droits de l’auteur des œuvres r´eserv´es. Sauf autorisation, la reproduction ainsi que toute utilisation des œuvres autre que la consultation
individuelle et priv´ee sont interdites.

Cours de Math´ ematiques
Int´ egration sur un intervalle quelconque
Partie I : Int´egrabilit´e des fonctions positives
I.3 Op´erations sur les fonctions int´egrables positives
Proposition (Additivit´e de l’int´egrale)
Soient fet gdeux ´el´ements de L1(I, IR+).
Alors l’application f+gest int´egrable sur Iet : ZI (f+g) = ZI f+ZI g.
Proposition (Produit par un r´eel positif)
Soit fun ´el´ement de L1(I, IR+), et soit λun r´eel positif.
Alors l’application λf est int´egrable sur Iet ZI λf =λZI f.
Proposition (Positivit´e de l’int´egrale)
Soit fune application int´egrable de Idans IR+. On sait que ZI f≥0.
Si de plus fest continue, alors : ZI f= 0 ⇔fest l’application nulle sur I.
Proposition (Croissance de l’int´egrale)
Soit fet gdeux applications de Idans IR, continues par morceaux.
On suppose que pour tout xde I, on a l’in´egalit´e : 0 ≤f(x)≤g(x).
Si gest int´egrable sur Ialors fest int´egrable sur Iet ZI f≤ZI g.
Proposition Comparaison d’une s´erie et d’une int´egrale
Soit fune application de IR+dans IR+, continue par morceaux et d´ecroissante.
Alors la s´erie de terme g´en´eral wn=Zn
n−1
f(t) dt−f(n) est convergente.
En particulier, la s´erie Pf(n) converge ⇔fest int´egrable sur IR+.
Page 5 Jean-Michel Ferrard www.klubprepa.net c EduKlub S.A.
Tous droits de l’auteur des œuvres r´eserv´es. Sauf autorisation, la reproduction ainsi que toute utilisation des œuvres autre que la consultation
individuelle et priv´ee sont interdites.