Puissance, Travail et Énergie Cinétique - Cours TSI

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S.Boukaddid Puissance-Travail sup TSI
Puissance et travail d’une force-Th´eor`eme de l’´energie cin´etique
Table des mati`eres
1Puissance et travail d’une force 2
1.1 D´efinition .................................. 2
1.2 Exemples .................................. 2
1.2.1 Taravail d’une force constante ................... 2
1.2.2 Travail d’une force de frottement ................. 3
1.2.3 Travail de la force magn´etique ................... 4
2En´ergie cin´etique-Th´eor`eme de l’´energie cin´etique 4
2.1 Energie cin´etique - Th´eor`eme de la puissance cin´etique ......... 4
2.2 Th´eor`eme de l’´energie cin´etique ...................... 5
2.3 Application : pendule simple ........................ 5
3Forces conservatives-Energie potentielle 5
3.1 Notion d’une force conservative-Energie potentielle ........... 5
3.2 Exemples .................................. 6
3.2.1 Particule dans un champ de pesanteur uniforme ......... 6
3.2.2 Force de frottement ........................ 6
3.2.3 Force de rappel ´elastique ...................... 7
3.2.4 Champ de force newtonienne .................... 7
4Energie m´ecanique 8
4.1 D´efinition .................................. 8
4.2 Th´eor`eme de l’´energie m´ecanique ..................... 8
4.3 Int´egrale premi`ere de l’´energie ....................... 8
5Equilibre d’un point mat´eriel dans un champ de forces conservatives 9
5.1 Probl`eme `a un degr´e de libert´e ....................... 9
5.2 Condition d’´equilibre ............................ 9
5.3 Condition de stabilit´e d’´equilibre ..................... 9
5.4 Exemples .................................. 11
5.5 Etat li´e-Etat de diffusion .......................... 12
5.5.1 Barri`ere de l’´energie potentielle .................. 12
5.5.2 Cuvette de l’´energie potentielle .................. 12
5.5.3 Cas g´en´eral ............................. 12
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1Puissance et travail d’une force
1.1 D´efinition
D´efinition : On d´efinit la puissance Pd’une force −→ Fappliqu´ee `a un point mat´eriel M de
masse m et de vitesse −→ V(M/R) par rapport `a un r´ef´erentiel R comme :
P=−→ F .−→ V(M/R) : unit´e : watt (w)
•P > 0 : puissance motrice
•P < 0 : puissance r´esistance
•le point M effectue un d´eplacement ´el´ementaire d−−→ OM pendant l’intervalle du temps
dt sous l’action d’une force −→ F,on d´efinit le travail ´el´ementaire par :
δW =−→ F .d−−→ OM : unit´e joule (J)
IδW =−→ F .d−−→ OM =−→ F .−→ V(M/R)dt =P.dt
P=δW
dt
Ien coordonn´ees cart´esiennes
−→
F=
R
fx
fy
fz
;et d−−→
OM =
R
dx
dy
dz
δW =fxdx +fydy +fzdz
Ien coordonn´ees polaire (mouvement plan)
−→
F=
R
fr
fθ
;et d−−→
OM =
R
dr
rdθ
δW =frdr +fθ.rdθ
Ile travail de −→ Fle long de (C) : le point mat´eriel passe de M1`a M2
W=ZM2
M1
−→
F−→ dr
avec −→ dr =d−−→ OM
1.2 Exemples
1.2.1 Taravail d’une force constante
•la force −→ Fest constante en module et en sens
•W=ZM2
M1
−→
F d−−→ OM =−→ F(−−−→ OM2−−−−→ OM1) = −→ F .−−−−→ M1M2
W=−→ F .−−−−→ M1M2
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Conclusion : le travail d’une force constante ne d´epend pas du chemin suivi
W=−→ F .−−−−→ M1M2
•Cas de la force de pesanteur
−→
P=m−→ gest une force constante
W=m−→ g .−−−−→ M1M2
W=mg(z1−z2)
WM1→M2(−→
P) = mg(z1−z2)
Z
X
Y
M1
M2
z1
z2
•Remarque
Isi W > 0 : travail moteur
Isi W < 0 : travail r´esistant
1.2.2 Travail d’une force de frottement
Consid´erons un point mat´eriel qui se d´eplace sur ox avec une vitesse initiale −→ v0,il
rebondit sur une paroi verticale et repasse par le point A .
O
−→
ex
−→
RT
−→
RN
−→
v
A B X
IP.F.D : −→ RT+−→ RN+m−→ g=m−→ a
•projection sur oy : 0 + RN−mg = 0 donc RN=mg
•projection sur ox : −RT+ 0 + 0 = ma
•RT=fRNavec f : coefficient de frottement donc RT=fmg
Ile travail W1de la force de frottement −→ RTau cours du trajet directe entre O et
A
W1=ZA
O
−→
RT
−→
dr avec : −→ dr =dx−→ ex
W1=−ZxA
xO
f.mgdx =−fmg(xA−xO) = −f mg.OA
W1=−fmg.OA
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Ile travail W2de −→ RTlors du trajet OBA
W2=Z(OBA)
−→
RT.−→ dr =ZB
O
−→
RT.−→ dr +ZA
B
−→
RT.−→ dr =−ZxB
xO
fmgdx −ZxB
xA
fmgdx
W2=−fmgOB −fmgBA
W2=−fmg(OA + 2AB)
W16=W2car RTn’est pas une force constante elle change le sens
Conclusion : le travail du force de frottement d´epend du chemin suivi .
1.2.3 Travail de la force magn´etique
Ila force magn´etique
−→
F=q−→ v∧−→ B
•q: charge de la particule
•−→ v: vitesse de la particule
•−→ B: champ magn´etique
Ile travail de la force magn´etique
W=Z−→ F .d−−→ OM =Z−→ v dt.−→ v∧−→ B= 0
2En´ergie cin´etique-Th´eor`eme de l’´energie cin´etique
2.1 Energie cin´etique - Th´eor`eme de la puissance cin´etique
Consid´erons un point mat´eriel de masse m qui se d´eplace avec une vitesse −→ vpar rap-
port `a un r´ef´erentiel galil´een .
D´efinition : on d´efinit l’´energie cin´etique du point mat´eriel de masse m et ed vitesse −→ v
par
Ec=1
2m−→
v2
•P.F.D −→ F=md−→
V
dt
P=−→ F .−→ V=m−→ Vd−→
V
dt =d dt 1 2m−→
V2=dEc
dt
Th´eor`eme de puissance cin´etique : Par rapport `a un r´ef´erentiel galil´een la d´eriv´ee par
rapport au temps dt de l’´energie cin´etique Ecd’un point mat´eriel ´egale `a la puissance de
la r´esultante des forces appliqu´ees sur ce point mat´eriel .
P=dEc
dt
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2.2 Th´eor`eme de l’´energie cin´etique
•P=dEc
dt ⇒dEc=P dt =δW
∆Ec=W(−→ F)
Enonc´e : Dans un r´ef´erentiel galil´een ,la variation de l’´energie cin´etique d’un point mat´eriel
entre deux instants t1et t2´egale au travail de la r´esultante des forces appliqu´ees sur ce
point mat´eriel entre ces deux instants
∆Ec=W(−→ F)
2.3 Application : pendule simple
•`a t= 0 le pendule est rep´er´e par θ0
•`a t le pendule est rep´er´e par θ
•Ec=1
2mv2
•−→ v=d−−→
OM
dt =d(l−→
er)
dt =l˙
θ−→ eθ
•Ec=1
2ml2˙
θ2
•Ec(t= 0) = Ec0=1
2ml2˙
θ2
0
θ0θ
Oy
x
h−→
P
−→
T
−→
er
−→
eθ
•W(−→ P) = −mgh =−mgl(cos θ0−cos θ0)
•W(−→ T)=0
•th´eor`eme de l’´energie cin´etique ∆Ec=W(−→ P)+W(−→ T)⇒˙ θ2=2g
l(cos θ−cos θ0)
•l’´equation du mouvement
¨
θ2+g
lsin θ= 0
•pour les θfaibles : sin θ≈θ
¨
θ+g
lθ= 0
3Forces conservatives-Energie potentielle
3.1 Notion d’une force conservative-Energie potentielle
D´efinition : la force −→ Fest dite conservative s’elle existe une fonction d’´etat Epappel´ee
´energie potentielle ne d´epend pas du chemin suivi tel que :
δW (−→ F) = −→ F d−−→ OM =−dEp
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