DL2 (1)

Pour le 7 octobre 2016 :
Problème extrait d’une épreuve de concours.
Une suite u= (un)n∈Nà valeurs complexes est dite périodique s’il existe un entier naturel non nul ptel que
∀n∈N, un+p=un
On dira qu’un tel pest une période de la suite u.
On notera Sl’ensemble des suites périodiques à valeurs complexes.
1) a) Soit u= (un)n∈N∈S.
Montrer qu’il existe une plus petite période de unotée p(u).
On note P(u)l’ensemble des périodes de la suite u. Déterminer P(u)en fonction de p(u).
b) On pose ala suite constante égale à 1et bla suite géométrique de raison iet de premier terme b0= 1.
Montrer que a, b ∈S. Déterminer p(a),p(b),P(a)et P(b).
c) Soient u, v ∈S. Montrer qu’ils admettent une période commune.
Quelle est la plus petite période commune à uet v?
d) Montrer que Sest un sous-espace vectoriel de CN
2) a) A quelle condition une suite géométrique ude CNappartient-elle à S?
b) Pour tout entier naturel Non considère la suite a(N)définie par :
∀n∈N, a(N)n=e2inπ
N
Montrer que la famille des suites a(N)pour Nparcourant les nombres premiers forme une famille libre de S.
c) En déduire que Sn’est pas de dimension finie.
3) On fixe dans cette partie kun entier naturel non nul
a) On note Skl’ensemble des suites ude Stelles que kest une période de u.
Montrer que Skest un sous-espace vectoriel de Set que aet a(k)sont dans Sk.
b) On considère
L:Sk7→ Rk
u7→ (u0, ..., uk-1)
Montrer que Lest un isomorphisme.
c) Pour tout entier naturel mon définit une suite ε(m, k)par :
∀n∈N, ε(m, k)(n) = 1si n≡m[k]
0sinon
Montrer que pour tout entier naturel m,ε(m, k)∈Sk.
d) Montrer que les ε(m, k)pour m∈ {0, ..., k-1}forment une base de Sk.
e) Quelles sont les coordonnées des suites aet a(k)dans cette base ?
4) Pour tout ude S,nentier naturel et ppériode de uon pose :
A(u, p, n) = 1
p
p-1
X
r=0
un+r
a) Montrer que A(u, p, n)est indépendant des choix de net de p. On le notera dorénavant A(u).
1

b) Montrer que Aest une forme linéaire de S.
c) Calculer A(a(N)) pour tout entier naturel N.
d) Soit kentier naturel non nul et Akla restriction de AàSk.
Déterminer une équation du noyau de Akdans la base des ε(m, k).
e) Soit K=Ker(A). Montrer que :
S=K⊕V ect(a)
5) Pour u∈Son définit une suite u0= (un)n∈Npar :
∀n∈N, u0
n=un+1 −un
a) Montrer que l’application : D:u7→ u0est un endomorphisme de S.
b) Trouver noyau et image de D.
c) Montrer que Kest stable par Det que Dinduit sur Kun automorphisme.
2

Correction :
Problème 1 : extrait de la première épreuve du concours commun Mines-Ponts 1995 M et P’
Une suite u= (un)n∈Nà valeurs complexes est dite périodique s’il existe un entier naturel non nul ptel que
∀n∈N, un+p=un
On dira qu’un tel pest une période de la suite u.
On notera Sl’ensemble des suites périodiques à valeurs complexes.
1) a) Soit u= (un)n∈N∈S.
L’ensemble des périodes de uest une partie non vide Ndonc possède un plus petit élément noté p(u).
On note P(u)l’ensemble des périodes de la suite u. Il est évident que P(u)est l’ensemble des multiples de p(u).
b) On pose ala suite constante égale à 1et bla suite géométrique de raison iet de premier terme b0= 1.
aest périodique de période 1,bde période 4:p(a) = 1 ,p(b) = 4 ,P(a) = Net P(b) = 4N.
c) Soient u, v ∈S. Alors p(u)p(v)est une période commune.
La plus petite période commune à uet vest le plus petite multiple commun donc ppcm(p(u), p(v))
d) Sest un sous-espace vectoriel de CN:
évidemment non vide et stable par combinaison linéaire car si uet vpériodiques, αu +βv est périodique pour
la période ppcm(p(u), p(v))
2) a) Une suite géométrique ude raison rde CNappartient à Sssi il existe ptel que rp= 1 cad rracine de
l’unité.
b) Pour tout entier naturel Non considère la suite a(N)définie par :
∀n∈N, a(N)n=e2inπ
N
D’après le a) ces suites sont dans S.
Montrons que la famille des suites a(N)pour Nparcourant les nombres premiers forme une famille libre de S:
Considérons N1, ..., Nkdes nombres premiers distincts. Dire que
k
X
j=1
λje
2inπ
Nj= 0
pour tout ncompris entre 1et krevient à résoudre un système en (λ1, ..., λk)de matrice une matrice de Van-
dermonde en les e
2iπ
Njqui sont deux à deux distincts ! donc la famille est libre.
c) Ainsi Sn’est pas de dimension finie car on a exhibé une famille libre infinie.
3) On fixe dans cette partie kun entier naturel non nul
a) On note Skl’ensemble des suites ude Stelles que kest une période de u.
Skest non vide et stable par combinaison linéaire donc c’est un sous-espace vectoriel de S.aet a(k)sont bien
sur dans Sk.
b) On considère
L:Sk7→ Rk
u7→ (u0, ..., uk-1)
Lest évidemment linéaire, de plus une suite périodique de période kest entièrement déterminée par la donnée
de ses kpremiers termes donc Lest bijective et Lest un isomorphisme.
c) Pour tout entier naturel mon définit une suite ε(m, k)par :
∀n∈N, ε(m, k)(n) = 1si n≡m[k]
0sinon
ε(m, k)est de période kdonc ε(m, k)∈Sk.
d) La famille des ε(m, k)pour m∈ {0, ..., k-1}est l’image réciproque par Lde la base canonique de Rkdonc ils
forment une base de Sk.
e) aa pour coordonnées (1,1,1,1, ..., 1) et a(k)a pour coordonnées en notant r=e2iπ
N,(1, r, r2, ...., rk−1).
4) Pour tout ude S,nentier naturel et ppériode de uon pose :
A(u, p, n) = 1
p
p-1
X
r=0
un+r
3

a) A(u, p, n)est indépendant du choix de npar un simple changement d’indice.
Par ailleurs en notant p0la plus petite période de uon a p=kp0et
A(u, p, 0) = 1
p
p-1
X
r=0
ur=1
k k−1
X
t=0
1
p0
tp0+p0−1
X
r=tp0
ur!
Or par périodicité toutes les sommes 1
p0Ptp0+p0−1
r=tp0uront même valeur donc
A(u, p, 0) = 1
p0
tp0+p0−1
X
r=tp0
ur=A(u, p0,0)
est donc indépendant de p. On le notera dorénavant A(u).
b) Aest une forme linéaire de Scar il existe une période commune à deux éléments de Set donc on peut voir
Acomme combinaison linéaire de valeurs des deux suites pour les mêmes indices.
c) N.A(a(N)) est la somme des puisances 0,1,...,N−1d’une racine primitive N-iéme de l’unité donc finalement
la somme de toutes les racines N-ième de l’unité donc 0si N≥1. Pour N= 1 cela fait 1.
d) Soit kentier naturel non nul et Akla restriction de AàSk.
Déterminer une équation du noyau de Akdans la base des ε(m, k)est évidemment x1+...+xk= 0 où (x1, ..., xk)
désignent les coordonnées dans cette base.
e) Soit K=Ker(A).a/∈Kdonc V ect(a)et Ksont en somme directe.
De plus Ker(A)est le noyau d’une forme linéaire non nulle donc un hyperplan donc supplémentaire de toute
droite qu’il ne contient pas et
S=K⊕V ect(a)
5) Pour u∈Son définit une suite u0= (un)n∈Npar :
∀n∈N, u0
n=un+1 −un
a)L’application : D:u7→ u0est un endomorphisme de Scar linéaire et à image dans S.
b) Le noyau de Dest V ect(a). L’image de Dest incluse dans K.
Par ailleurs si best dans Kla suite des sommes partielles est périodique donc l’image de Dest K.
c) Kest donc stable par Det que Dinduit sur Kun endomorphisme de noyau K∩V ect(a) = {0}donc un
automorphisme.
4