TD-sol

Ecoulements Industriels
Recueil d’exercices corrigés
Professeur MIR Rachid
Ecole Nationale des Sciences Appliquées d'Agadir
1
Exercice 1
On considère un écoulement turbulent bidimensionnel sur une plaque plane. Pour étudier la
couche limite turbulente développée le long de la plaque, une transformation des équations de
l’écoulement par l’application de la méthode des moyennes a donnée :
 U
U   P 

 U
V
(1)
  x   y    u' v'

x

y




U V

0
x y
Avec   
(2)
U
y
P
; on
x
ajoute l’hypothèse difficilement justifiable mathématiquement mais très commode, selon
laquelle le premier membre de (1) est nul en tout point de la couche limite.
1°) Montrer que :
   uv  cst
(3)
Et trouver la constante d’intégration.
Pour obtenir la loi de paroi, il faut admettre une loi de variation de  uv en fonction de y .
On suppose que le rayon l d’un tourbillon est donné expérimentalement par l’expression :
l  ya
Où  est la constante de Karman (   0 ,4 ) et a le facteur correctif fonction de y .
2°) Montrer en utilisant la méthode de longueur de mélange que les variations de fluctuations
des vitesses dans la couche interne conduisent à :
Lorsque la couche limite turbulente est établie, on exploite l’équation (1) avec
2
 U 

 u' v'   a y 


y


U y

En introduisant la vitesse de frottement U T  P , la variable réduite y   T
et la


2
2
2
U
UT
3°) Monter que l’équation (3) devient:
vitesse réduite U  
2
U   U 
 a y      10
 y   y
et vérifier que la solution unique de cette équation s’écrit:
2
2
2
U 
2


2
y
1  1  4  2 a2 y
Dans la sous-couche visqueuse, on a  4  2 a 2 y   1
2
U 
4°) Montrer que
 1 et en déduire que la distribution de la vitesse dans cette zone.
 y
2
Dans la sous-couche interne, lorsque
5°) Montrer que et 
UT y
 30 , on a  4  2 a 2 y   1
2


U
1
est une forme facilement intégrable ( K  0,4 ) qui donne


y
 a y
après intégration :
U
1
U 

Ln  T y   B
UT  a   
Solution
 U
U   P 

 U
V
  x   y    u' v'

x

y




(1)
1°) Le premier terme de l'équation (1) est nul en tout point de la couche limite et

P
:
x


   uv  0     uv  cst
y
en y  0 , u  v  0   u' v'  0  cst   P
2°) Modèle de la longueur de mélange de Prandtl :
2
 U 
 U 
    2 a2 y2 

  u' v'   l 

y

y




2
2
2
 U 
U
 P

   2 a 2 y 2 

y

y


3°) U T 
P
  P   U T2

U
 y

U 
 U  U U T et y 
UT
UT

2

2

 U 
U
 U  UT
 P  

   2 a 2 y 2 

y
 y  
y

 
 UT 
2
2


2 



2 2   y    U UT 

   a 
  UT2
 

 UT     y 
 

  UT  


2

4


 UT2  U 
U 
2 2   y  UT   U 
2
2 2 2  U 
 2      U T   a y    
   a 
 1 0

  y
 y   y
 UT     y 

2 2 2


U    1  1  4  a y
2
  y  1
2  2 a2 y
2 2 2
  1 4 a y  
  U    1  1  4  2 a2 y2
   
2
  y 2
2  2 a2 y
3
 U   U    1  1  4  2 a2 y
2
U 
 


est positif 
2

 

2
2

2
y
 y 2
y
2 a y
1  1  4  2 a2 y
2
U 
2

 1  U   y  C

y
1 1


Pour y  0 y  0 , on a : U  0  C  0
U   y
4°) 4  2 a 2 y   1 
2

5°)
UT y


 30 , on a 4  2 a 2 y   1 
2
 U  
U 
2
1




y
1  2 a y
 a y
 
1
1
U
1
U 
 y  U  
Ln y   B 

Ln  T y   B

ay
a
UT  a   
Exercice 2
Quand vous conduisez une voiture, un jour très chaud avec une vitesse de l’air U e  72 Km / h .
Une couche limite se développe au dessus du capot (figure 1). Le capot de la voiture peut être
approché par une plaque plane de longueur L  1,066 m et de largueur l  0 ,3048 m . La
densité de l'air est   1,2 Km / m3 et sa viscosité cinématique   15 10 6 m2 / s .
1°) L'écoulement au voisinage du capot de la voiture est-il laminaire ou turbulent ?
Figure 1. : Couche limite au-dessus du capot d'une voiture.
On admet que le profil de vitesse au voisinage immédiat de la paroi est de la forme :
1/ 7
U  y
   où  est l'épaisseur de la couche dynamique.
Ue   
2°) Par intégration trouver l'expression de l'épaisseur de déplacement  * , l'épaisseur de
quantité de mouvement  .
3°) En utilisant les notations suivantes :
Cf


UT  P ,
 P2

2
 Ue
1/ 7
Monter que le profil de la vitesse peut s’écrire comme suit :
  

B  
  Ue 
1/7
 Cf

 2



U
 y UT 
B

UT
  
4 / 7
, constante donnée expérimentalement , qui vaut 8 ,74 .
1 / 4
d Cf
d
Ue  

4°) En utilisant l'équation de Kármán, montrer que
et
.

 0 ,231

dx
2
dx
  
4
, avec
5°) Donner les expressions des grandeurs suivantes :
(a) l'épaisseur de la couche limite δ x  φ1 Rex , avec Re x nombre de Reynolds local
définit par Re x  U e x ν .
(b) l'épaisseur de déplacement δ* x  φ2 Rex 
(c) l'épaisseur de quantité de mouvement  x  φ 3 Re x 
(d) le coefficient de frottement c f  φ4 Rex 
(e) le coefficient de traîné sur le capot de la voiture C fL  φ5 ReL  avec ReL  UeL ν , fait
l’application numérique.
Solution
1°) Re 
Ue L


72 10 3 1,066
 1,42 106  Ecoulement turbulent
6
3600 15 10
1/ 7
U  y
2°)
 
Ue   
 
*

0
 

0
1/ 7



U 
y

 1   dy    1     dy 
 U 
0 

8
e 

   

U 
U 
 1   dy  


0
Ue  Ue 
1/ 7
 y
 
 
  y 1 / 7 
 1     dy  7 
   
72



P
2
1 / 2
UT 
 UT  C f

2  UT2
Ue  C f 

 
3°) 
 Cf 
 

  
2

U
U
2
U
2

 2 
e
T
 e
C 
P
f
2

 Ue
1/ 7
U
U Ue Ue  y 


 
UT U e UT UT   
U
 e
UT
 
 
 
1/7
1/7
1/7
1
 
 
1/7
y
1/7
1/7
 UT 


 
1/7


 UT
1/ 7



U
 e
UT
1/7
1
 
 
1/7
 1 
U
U     y UT   U e 
 

  e 
   e
 
UT   U e      UT 
 UT 
 UT
1/7
4 / 7
1/ 7
1/7
U     C f    y UT 
 y UT 
    
 
 B

UT   U e   2     
  


4 / 7
 Cf 


 2 
1/ 7
 y UT 


  
  
avec B  

  Ue 
U
 e
UT
C
d  d Ue  H  2 

  f

d x d x  Ue 
2
Cf
4°) Equation de Von Karman :
plaque plane : U e  0 
1/7
d

dx
2
C
d Cf
7 d
d  72 C f

 f 


dx
2
2 72 d x
dx 7 2
5
1/7
 y UT 


  



8/7


 UT
1/7
  


  Ue 
1/7



1/7
 y UT 


  
  
On a B  

  Ue 
1/7
 Cf

 2



4 / 7
C
  f
 2



4 / 7
  

 B 
  Ue 
d  72
7 / 4  

 8 ,74 
dx 7
 Ue 



1/ 4

1 / 4
d
U  
U 
5°)
 0 ,231 e 
  1 / 4 d  0 ,231 e 
dx
  
 
Pour x  0 on a   0  C  0
 
4 5/4
  0 ,231 
5
 Ue 
1/ 4
x
5/4
0 ,231* 5   



4
 Ue x 

x
1 / 7

Cf
2
B
7 / 4
d
U  
 0 ,231 e 
dx
  
1 / 4
  


  Ue 
1 / 4
4
U 
dx   5 / 4  0 ,231 e 
5
 
1/ 4
x
5/4
1/ 4
 0 ,231* 5 
 

4


4/5
1 / 4
xC
  


 Ue x 
1/ 5
x
 0 ,37 Re x 
1 / 5
1
*
1 / 5
 0 ,046 Re x 
8
x
7

♦ 
   0 ,036 Re x 1 / 5
72
x
d
♦ Cf  2
dx
♦
*   

x
 0 ,036 Re x 
1 / 5
U 
   0 ,036  e 
 
1 / 5
x
4/5
d
U 

 0 ,036  e 
dx
 
1 / 5
4 1 / 5
x
5
1 / 5
4 U x 
1 / 5
C f  2 * 0 ,036 *  e 
 C f  0 ,0567 Re x 
5  
1 L
1 L
1 / 5
1 / 5
♦ C fL   C f dx   0 ,0567 Re x 
dx  0 ,072 Re L 
0
0
L
L
A.N C fL  0 ,072 1,42 106 
1 / 5
 4 ,235 10 3
Exercice 3
On considère un écoulement de Couette entre deux plaques planes parallèles infinies séparées
d'une distance 2h , animées d'une vitesse 2U 0 l'une par rapport à l'autre (voir la figure 2). On
se place dans le référentiel tel que la plaque supérieure ait une vitesse  U 0 et la plaque
inférieur une vitesse  U 0 . On note ici Re  U 0 h /  le nombre de Reynolds de l'écoulement.
La direction transverse (perpendiculaire au plan de la figure) étant très grande devant h , on
peut considérer le problème comme purement bidimensionnel. Il n'existe pas de gradient de
pression moyen selon x , et toutes les quantités physiques sont supposées statistiquement
stationnaires et invariantes par translation selon x .
6
Figure 2: Géométrie de l'écoulement de Couette plan, et profil de vitesse correspondant dans le cas laminaire.
1°) On sait que, dans le cas laminaire, le profil de vitesse dans cette géométrie est donné par
u x ( y )  U 0 y / h . On cherche à déterminer si, dans le cas turbulent, le profil de vitesse moyen
u x ( y ) peut également s'écrire sous cette forme.
a) Ecrire l'équation de Reynolds selon x , et montrer que la contrainte totale est constante dans
tout l'écoulement.
b) Montrer qu'en introduisant la solution u x ( y )  U 0 y / h dans l'_equation de Reynolds selon
x , on obtient u' v'  cste . En raisonnant sur les conditions aux limites en y   h , que vaut
cette constante ? Qu'en concluez-vous ?
2°) On va chercher à déterminer le profil moyen u x ( y ) dans le cas turbulent. On introduit la
coordonnée réduite   y / h , et on pose
u x ( y )  U0 f (  )
(1)
u' v'  U 02 g(  )
(2)
Montrer que l’on a :
f "  Re g'
(3)
où les primes désignent les dérivées par rapport à  . Préciser les conditions aux limites en
  1 des fonctions f (  ) et g (  ) .
3°). Pour déterminer la fonction f (  ) , il faut une relation supplémentaire reliant f et g .
Pour cela, on peut utiliser un modèle de viscosité turbulente. On suppose que le tenseur de
contrainte de Reynolds varie linéairement avec le gradient de vitesse moyen :
u' v'  T ( y )
u x
y
(4)
où l'on a introduit le coefficient de viscosité turbulente T .
a) Quelle est la dimension de T , et que représente ce coefficient ? Que pensez-vous du choix
T  cste ?
b) On suppose que les fluctuations responsables du transfert de quantité de mouvement sont
de vitesse caractéristique U 0 et de taille l( y ) , et l'on pose donc
T ( y )   U 0 l ( y )
7
où  est une constante sans dimension. Justifier que l'on peut choisir l  h  y . Par
symétrie, on pourra ne considérer que la moitié supérieure ( y  0 ), et ainsi oublier la valeur
absolue. En déduire une relation entre g et f ' puis, en utilisant l'équation (3), obtenir
l'équation différentielle suivante :


' 1   Re 1    
(  )  f ' (  ) .
où l'on a posé


c) En introduisant le changement de variable Z   / 1   Re 1 , intégrer cette équation
différentielle (toujours pour   0 ). Montrer finalement que le profil de vitesse s'écrit :
f ( )  1 
Ln1   Re 1   
Ln1   Re 
Solution
♦ Pas
de gradient de pression moyen selon x :
♦ Régime statistiquement
♦ Toutes
stationnaire
P
0,
x

0
t
les quantités physiques sont supposées invariantes par translation selon x :
1°) Equation de Navier-Stokes moyenné selon x :

   U

U
U 
 P   U





V



u
'
u
'


u
'
v
'

 x
 y y


x

y

x

x






2

  U
 U   u' v'

 
0


u
'
v
'

0
(2)
2

 y   y

y

y

 U

 xy   v   t  

U
  u' v' (Contrainte totale)
y

  U
U

  u' v'   0  
  u' v'  cst   xy  cst

y y
y

La contrainte totale est constante dans tout l'écoulement.
U y
 U U0 y
2 U


0
2°) U  0 
h
y
h
 y2





 2 U   u' v'
  u' v'

0
 0    u' v'  cst
2
y
y
y
A y  0 on a : U  V  0  u' v'  0 (Pas de fluctuation)  cst  0
8

0.
x
 t   u' v'  0 pas de contrainte turbulente dans l'écoulement, la contrainte totale est
purement visqueuse. L'écoulement est donc nécessairement laminaire. Le profil linéaire de
vitesse est donc incompatible avec un écoulement turbulent.
 U  U   U0


f '  
2°)
 y   y h
 2 U    U  U0

 
f ' '  
 y 2 y   y  h 2
 u' v'  u' v'  U 02


g'  
y
  y
h
 U0
U 02
U h
g'  0  f ' '  0 g'  f ' '  Re g'
2
h
h

Conditions aux limites
♦ U  y  h  U0  U0 f 1  U0  f 1  1
♦
♦
♦
♦
f ''
U  y  h  U0  U0 f  1  U0  f  1  1
U  y  0   0  U0 f 0   0  f 0   0
u' v'  y  h  0  U02 g 1  0  g 1  0
u' v'  y  h  0  U02 g  1  0  g  1  0
3°)  t s'exprime en m 2 s 1 et représente le transport de la quantité de mouvement par les
fluctuations turbulentes, par analogie avec la viscosité vraie qui représente le transport de la
quantité de mouvement par agitation thermique (origine microscopique de la diffusion
visqueuse).
Le choix de  t  cst
 2 U u' v'
2 U
  U 
2 U






0





0




 0 U  A y  B
t
t
 y2
y
 y 2  y   y 
 y2
On retrouverait simplement le profil linéaire dans le cas laminaire et l'absence de fluctuations
dans tout l'écoulement.
b°) l représente la taille des tourbillons les plus efficaces pour transférer la quantité de
mouvement, c'est à dire les tourbillons les plus gros possibles. A une distances Y de la paroi,
il ne peut pas y avoir de tourbillons de taille supérieure à Y .
l  Y  h  y si y  0
l Y  h y

l  Y  h  y si y  0
Finalement :  t   U0 h  y 

 u' v'   t
U
U
U
  U 0 l  y 
 U 02 g     U 0 h  y 
y
y
y
 U    U 02 h  y 

f '  g     1    f '  
  y
h
 g   1    f '  g'   f '  1    f ' '
 f ' '  Re  f '  1    f ' ' 

 f ' '  Re g'
 U 02 g     U 0 h  y 


 f ' ' 1  Re      f '
1
9
On pose     f '   , on obtient :


C°) ' 1  Re        
Z
1

d





d
1
1  Re    
' 1  Re  1    



 d   1  Re   dZ
1
1  Re  
d
dZ
C
    1  Z  Ln  Ln 1  Z  C1    1 2Z 
1
 Z   f ' Z   f    Z  dZ  C2 Ln 1  Z   C3
♦
f   0   0  C3  0
♦
f   1  1  C2 



f  C2 Ln 1 
 C3
1 
 1   Re  
1


1
Ln 1 
1 
 1   Re  



Ln 1 
1 
1   Re  
f    


1
Ln 1 
1 
 1   Re  
Soit après simplification :
f    1 
Ln 1   Re 1   
Ln 1   Re 
10