TD-sol

1
Ecoulements Industriels
Recueil d’exercices corrigés
Professeur MIR Rachid
Ecole Nationale des Sciences Appliquées d'Agadir

2
Exercice 1
On considère un écoulement turbulent bidimensionnel sur une plaque plane. Pour étudier la
couche limite turbulente développée le long de la plaque, une transformation des équations de
l’écoulement par l’application de la méthode des moyennes a donnée :
'v'u
yx
P
y
U
V
x
U
U
(1)
0
y
V
x
U
(2)
Avec
y
U
Lorsque la couche limite turbulente est établie, on exploite l’équation (1) avec
x
P
; on
ajoute l’hypothèse difficilement justifiable mathématiquement mais très commode, selon
laquelle le premier membre de (1) est nul en tout point de la couche limite.
1°) Montrer que :
cst vu
(3)
Et trouver la constante d’intégration.
Pour obtenir la loi de paroi, il faut admettre une loi de variation de
vu 
en fonction de
y
.
On suppose que le rayon
l
d’un tourbillon est donné expérimentalement par l’expression :
ayl
Où est la constante de Karman (
4,0
) et
a
le facteur correctif fonction de
y
.
2°) Montrer en utilisant la méthode de longueur de mélange que les variations de fluctuations
des vitesses dans la couche interne conduisent à :
2
222 y
U
ya'v'u 
En introduisant la vitesse de frottement
P
T
U
, la variable réduite
yU
yT
et la
vitesse réduite
T
U
U
U
3°) Monter que l’équation (3) devient:
01
y
U
y
U
ya
2
2
22 
et vérifier que la solution unique de cette équation s’écrit:
2
22 ya411
2
y
U
Dans la sous-couche visqueuse, on a
1ya4 2
22 
4°) Montrer que
1
y
U
et en déduire que la distribution de la vitesse dans cette zone.

3
Dans la sous-couche interne, lorsque
30
yUT
, on a
1ya4 2
22 
5°) Montrer que et
ya
1
y
U
est une forme facilement intégrable (
0,4K 
) qui donne
après intégration :
By
U
Ln
a
1
U
UT
T
Solution
'v'u
yx
P
y
U
V
x
U
U
(1)
1°) Le premier terme de l'équation (1) est nul en tout point de la couche limite et
x
P
:
cst0 
vuvu
y
en
0y 
,
P
cst0'v'u0vu
2°) Modèle de la longueur de mélange de Prandtl :
2
222
2
2y
U
ya
y
U
l'v'u 
P
2
222 y
U
ya
y
U
3°)
2
TP
P
TUU
T
T
UUU
U
U
U 
et
T
Uy
y
2
T
2
T
T
2
T
22
T
T
P
2
222 U
Uy
UU
Uy
a
Uy
UU
y
U
ya
y
U
01
y
U
y
U
yaU
y
UU
Uy
a
y
UU 2
2
222
T
2
2
4
T
2
T
22
2
T
2
22
2
22
2
2
22
2
22
1
2
22
ya2
ya411
y
U
ya2
ya411
y
U
ya41

4
y
U
est positif
2
22
2
22
2
22
2ya411
2
ya2
ya411
y
U
y
U
4°)
CyU1
11
2
y
U
1ya4 2
22 
Pour
0y0y  
, on a :
0C0U 
 yU
5°)
30
yUT
, on a
1ya4 2
22 
ya
1
ya21 2 y
U
By
U
Ln
a
1
U
U
ByLn
a
1
Uy
ya
1
UT
T
Exercice 2
Quand vous conduisez une voiture, un jour très chaud avec une vitesse de l’air
h/Km72Ue
.
Une couche limite se développe au dessus du capot (figure 1). Le capot de la voiture peut être
approché par une plaque plane de longueur
m066,1L 
et de largueur
m3048,0l 
. La
densité de l'air est
3
m/Km2,1
et sa viscosité cinématique
s/m1015 26
.
1°) L'écoulement au voisinage du capot de la voiture est-il laminaire ou turbulent ?
Figure 1. : Couche limite au-dessus du capot d'une voiture.
On admet que le profil de vitesse au voisinage immédiat de la paroi est de la forme :
7/1
e
y
U
U
où est l'épaisseur de la couche dynamique.
2°) Par intégration trouver l'expression de l'épaisseur de déplacement
*
, l'épaisseur de
quantité de mouvement .
3°) En utilisant les notations suivantes :
P
T
U
,
2
e
P
fU2
C
Monter que le profil de la vitesse peut s’écrire comme suit :
7/1
T
T
Uy
B
U
U
, avec
7/4
f
7/1
e2
C
U
B
, constante donnée expérimentalement , qui vaut
74,8
.
4°) En utilisant l'équation de Kármán, montrer que
2
C
xd
df
et
4/1
e
U
231,0
xd
d
.

5
5°) Donner les expressions des grandeurs suivantes :
(a) l'épaisseur de la couche limite
x1 Reφxδ
, avec
x
Re
nombre de Reynolds local
définit par
νxURe ex 
.
(b) l'épaisseur de déplacement
x2
*Reφxδ
(c) l'épaisseur de quantité de mouvement
x3 Reφx
(d) le coefficient de frottement
x4 Reφ f
c
(e) le coefficient de traîné sur le capot de la voiture
L5fL ReφC
avec
νLURe eL 
, fait
l’application numérique.
Solution
1°)
6
6
3
e1042,1
1015066,1 3600
1072LU
Re
Ecoulement turbulent
2°)
7/1
e
y
U
U
0
7/1
0e
*8
dy
y
1dy
U
U
1
 0
7/17/1
0ee 72
7
dy
y
1
y
dy
U
U
1
U
U
3°)
2/1
f
T
e
f
2
e
T
2
e
2
T
f
2
e
P
f
P
T
2
C
U
U
2
C
U
U
U
U2
C
U
2
C
U
7/1
T
7/1
T
7/1
T
e
7/1
T
7/1
T
7/1
7/1
T
e
7/1
T
e
T
e
eT U
Uy1
U
U
U
U
y
1
U
Uy
U
U
U
U
U
U
U
U
7/1
T
7/1
e
7/8
T
e
7/1
T
e
7/1
T
7/1
eT
e
7/1
T
7/1
T
7/1
T
eUy
UU
U
U
UUy
UU
U
U
1Uy
U
U
7/1
T
7/1
T
7/4
f
7/1
eT
Uy
B
Uy
2
C
UU
U
avec
7/4
f
7/1
e2
C
U
B
4°) Equation de Von Karman :
2
C
U2H xdUd xd
df
e
e
plaque plane :
2
C
xd
d
0U f
e
2
C
7
72
xd
d
xd
d
72
7
2
C
2
C
xd
dfff 