11/01/2014 Université Kasdi Merbah, Ouargla Faculté des Sciences Appliquées Département de Génie Mécanique Laboratoire. Dynamique, Interaction et RÉactivité des Systèmes. SERIE DE TD N°4 Présenté par: Dr. Rassim BELAKROUM 1 Exercice 1: Un champ de vitesses est donnée par l’expression: • Est-ce que ce champ d’écoulement est permanent ou instationnaire? • Le champ est-il bidimensionnel ou tridimensionnel? • Au point (-1,+1,0), calculer: a)- Le vecteur d’accélération. b)- Trouver le vecteur unitaire normal à l’accélération. 2 1 11/01/2014 Solution: -L’écoulement est instationnaire car le terme du temps « t » apparait de manière explicite dans les composantes du vecteur vitesse. - Le champ est tridimensionnel car les trois composantes des vitesses sont pas nulles. - Les composantes du vecteur accélération sont évaluées comme suit: Au point (-1,+1,0), on obtient: - C’est le vecteur unitaire k qui est perpendiculaire au vecteur accélération au point (-1, +1, 0). 3 Exercice 2: Les composantes d’un champ de vitesses en coordonnées polaires sont données par: -Est-ce que ce champ satisfait l’équation de continuité? - Pour des raison de consistance, quelle doit être les dimensions des constantes K et B. -Tracer les surfaces où Vr=0. 4 2 11/01/2014 Solution: L’équation de continuité en coordonnées polaires est donnée par: DONC VERIFIEE La dimension de K doit être celle d’une vitesse et celle de b une surface: [K]=[L/T] et [b]=[L2]. 5 Exercice 3: Si le vecteur Z est dirigé vers le haut, qu’elles sont les conditions qu’on doit imposées pour que le champ de vitesses soit solution exacte de l’équation de continuité et des équations de Navier-Stokes? Le fluide en écoulement est incompressible. 6 3 11/01/2014 Solution: L’équation de continuité est vérifié pour toutes valeurs de a et b car: Dans ce cas, on a gx=gy=0 et w=0. Les équations de transport de quantité de mouvement suivant x et y s’écrivent: 7 Exercice 4: On considère l’écoulement stationnaire, bidimensionnel, d’un fluide Newtonien et incompressible, avec le champ de vitesses suivant: et a) Est-ce que l’écoulement est physiquement possible? b) Trouver le champ de pression p(x,y), sachant que, la pression au point (0,0) égale Pa. 8 4 11/01/2014 Solution: L’écoulement est physiquement possible car l’équation de continuité est satisfaite: Des équations de Navier-Stokes, on trouve: - Suivant ox: - Suivant oy: 9 Finalement, le champ de pression est donné par: 10 5 11/01/2014 Exercice 5: La valeur critique du nombre de Reynolds est prise 2300. Pour l’écoulement d’un fluide à travers une conduite de diamètre 5cm, à quelle vitesse se produit la transition vers la turbulence: a) Pour de l’air (μ=1.5 10-5 kg/m.s et ρ=1.205 kg/m3) b) Pour de l’eau (μ=10-3 kg/m.s et ρ=998 kg/m3) 11 Solution: 12 6 11/01/2014 Exercice 6: Une conduite horizontale d’un mètre de diamètre est utilisée pour transporter du pétrole à une vitesse moyenne de 3m/s. Si la densité du pétrole est 0.86 et sa viscosité μ=3.8 10-3 N.m/s-3 , calculer le coefficient de frottement f . Qu’elle sera la chute de pression pour 1km de longueur. Nb: La rugosité équivalente est donnée: e/D=4.10-5 . 13 Solution: Le nombre de Reynolds est: L’écoulement est donc turbulent Pour le calcul du coefficient de frottement, on pourrait faire usage de la formule (non-linéaire) de Colebrook: 14 7 11/01/2014 La chute de pression peut être calculée comme suit: 15 Exercice 7: Une huile de densité ρ=900 kg/m3 et ν=0.0002 m2 /s, s’écoule vers le haut à travers une conduite inclinée (voir figure). La pression et la hauteur sont connues à la station 1 et 2. En considérant que l’écoulement est laminaire: a) Vérifier que l’écoulement se dirige vers le haut. b) Déterminer la chute de charge entre 1 et 2. c) Calculer le débit volumique, la vitesse moyenne, et vérifier si l’écoulement est réellement laminaire. 16 8 11/01/2014 Solution: Nous avons: a) L’écoulement se produit dans le sens de la chute de charge: La hauteur de charge est inférieure à la station 2, par conséquent, sous ces conditions l’écoulement se dirige réellement vers le haut. La perte de charge est: b) Calcul du débit: 17 La vitesse moyenne: <2300 On déduit que l’écoulement est laminaire. 18 9 11/01/2014 Exercice 8: Une huile de densité ρ=900 kg/m3 et ν=0.00001 m2 /s, s’écoule à travers une conduite de 200mm de diamètre et d’une longueur de 500m. Déterminer: a) La perte de charge. b) La chute de pression si la conduite est inclinée de 10° dans le sens de l’écoulement. Nb: la rugosité équivalente de la conduite est: e/d=0.0013. 19 Solution: La vitesse est donnée par: Le nombre de Reynolds: La chute de pression est donc: 20 10 11/01/2014 Exercice 10: Une huile de viscosité μ=0.4N.S/m2 et d’une densité ρ=900 kg/m3 , S’écoule dans une conduite de 0.002m de diamètre. Trouvez: a) La chute de pression P1-P2, nécessaire pour produire un débit un débit volumique Q=2 X 10-5 m3 /s dans le cas ou la conduite est horizontale avec x1=0 et x2=10m. b) Qu’elle doit être l’angle d’inclinaison pour produire le même débit volumique avec P1 =P2. 21 Solution: a) La vitesse moyenne: L’écoulement est laminaire Donc, on calcul la chute de pression ainsi: 22 11 11/01/2014 b) Si la conduite est inclinée d’un angle θ, de telle sorte que P1 - P2 =0: Donc: 23 12