Actions dynamiques et équations du mouvement - Résumé

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Actions dynamiques des liaisons et
équations différentielles du mouvement
Denis DEFAUCHY
08/03/2020
Résumé
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Programme - Compétences
C12
RESOUDRE
Choix des isolements
Choix des méthodes de résolution
Actions mécaniques dans les liaisons
Equations différentielles du mouvement
B212
MODELISER
Caractéristiques d’inertie d’un solide indéformable (masse, opérateur
d’inertie)
Lien entre forme de la matrice d’inertie et géométrie du solide associé
Signification des termes de la matrice d’inertie
B223
MODELISER
Modélisation dynamique des solides
Torseur cinétique et dynamique et énergie cinétique d’un solide ou
système de solides
Puissances des actions intérieures et extérieures par rapport à un
référentiel galiléen
B224
MODELISER
Principe fondamental de la dynamique et théorème de l’énergie cinétique
pour la détermination d’actions de liaisons et d’équations différentielles du
mouvement
Actions dynamiques des
liaisons et équations
différentielles du mouvement

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Caractéristiques des solides
Masse
Moments d’inertie d’un solide
Moment d’inertie par rapport au point O
Moment d’inertie par rapport à l’axe 
Théorème de Huygens :
Moments d’inertie par rapport aux axes du repère
Centre de gravité ou d’inertie d’un solide
Méthode Intégrale
Méthode sous-volumes
Masses négatives pour formes creuses
Si  :
Remplacer  par  et  par 
 est sur les éléments de symétrie volumique

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Représentation physique des termes de 
Opérateur d’inertie d’un solide
Soit 
une base 
 liée au solide S étudié et A l’origine du repère
-Nécessité de connaître  pour avoir  et 
Termes diagonaux : Ils représentent la « masse » à mettre en rotation pour tourner l’objet autour des 3
axes 
, 
 et 
. Ils interviennent dans les équations différentielles du mouvement en
rotation
Soit un cylindre (rayon , matrice   
), roulant autour de
 soumis à la gravité et à la force tangentielle  au contact en . On a : 
Termes hors diagonaux : Ils représentent la répartition des masses autour des axes 
, 
 et
. Ils interviennent dans les actions en moment dans les liaisons.
Exemple :
Ils sont à l’origine de l’apparition de moments lors de leur rotation :
Ex. Rotation 
 :  et  (ligne colonne x) sont chacun générateurs de moments sur 
 et 
 - cf équilibrage
On voit 3 théorèmes de Huygens pour le
déplacement des moments d’inertie
autour des axes 
, 
 et 
Théorème de Huygens généralisé

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Symétries et forme de la matrice d’inertie –  sur l’élément de symétrie
Attention : on ne parle que de forme, les termes peuvent changer d’un point à l’autre
Plan de symétrie Deux plans de symétrie parmi
Axe de révolution
Solide sphérique de centre O
 : 
Matrices d’inertie usuelles à savoir retrouver
Matrice inchangée dans toute base contenant l’axe de révolution
Masse ponctuelle  en 

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Moment d’inertie d’une masse ponctuelle 
en  autour de l’axe 
Définition
est un axe principal d’inertie de ce solide
A valeur propre, 
vecteur propre
En tout point du solide, il existe 3 axes principaux
d’inertie associés aux vecteurs propres
Conditions d’équilibrage dynamique
Solide équilibré ? Actions dans les liaisons indépendantes de ,
, 
et 
Le solide  de centre de gravité  est équilibré en rotation autour de 
 si :
 : Pas de force centrifuge, tournante
 est un axe principal d’inertie de  : Pas de moments variables dans les liaisons
Matrice d’inertie d’un ensemble de solides en un même point
Masses négatives pour formes creuses
Opérations
Changement de base
 matrice de passage de  à 
Moment d’inertie par rapport à l’axe 
et  exprimés dans la même base
Moment d’inertie par rapport au point  avec 
Moment d’inertie autour d’un axe 
 avec
avec  distance entre 
 et 