Dernière mise à jour 08/03/2020 Actions dynamiques des liaisons et équations différentielles du mouvement Denis DEFAUCHY Résumé Actions dynamiques des liaisons et équations différentielles du mouvement C12 RESOUDRE B212 MODELISER B223 MODELISER B224 MODELISER Programme - Compétences Choix des isolements Choix des méthodes de résolution Actions mécaniques dans les liaisons Equations différentielles du mouvement Caractéristiques d’inertie d’un solide indéformable (masse, opérateur d’inertie) Lien entre forme de la matrice d’inertie et géométrie du solide associé Signification des termes de la matrice d’inertie Modélisation dynamique des solides Torseur cinétique et dynamique et énergie cinétique d’un solide ou système de solides Puissances des actions intérieures et extérieures par rapport à un référentiel galiléen Principe fondamental de la dynamique et théorème de l’énergie cinétique pour la détermination d’actions de liaisons et d’équations différentielles du mouvement Page 1 sur 8 Dernière mise à jour 08/03/2020 Denis DEFAUCHY Résumé Actions dynamiques des liaisons et équations différentielles du mouvement Caractéristiques des solides Masse 𝑀ሺ𝐸 ሻ = න 𝑑𝑚 = න 𝜌ሺ𝑀ሻ𝑑𝑉 𝐸 𝐸 Centre de gravité ou d’inertie d’un solide Méthode Intégrale Méthode sous-volumes 𝐸 = 𝐸1 ∪ 𝐸2 ∪ … ∪ 𝐸𝑛 ሬሬሬሬሬሬԦ𝑑𝑚 = 0 ሬԦ න 𝐺𝑀 𝐸 1 ሬሬሬሬሬሬԦ 𝑑𝑚 න 𝑂𝑀 𝑚 𝐸 1 1 𝑌𝐺 = න 𝑦𝑑𝑚 𝑍𝐺 = න 𝑧𝑑𝑚 𝑚 𝐸 𝑚 𝐸 ሬሬሬሬሬԦ = 𝑂𝐺 𝑋𝐺 = 1 න 𝑥𝑑𝑚 𝑚 𝐸 Si 𝜌 = 𝑐𝑠𝑡 : Remplacer 𝑚 par 𝑉 et 𝑑𝑚 par 𝑑𝑉 𝐺 est sur les éléments de symétrie volumique 𝐸𝑖 ∩ 𝐸𝑗 = Ø ∀𝑖 ≠ 𝑗 ሬሬሬሬሬԦ = 𝑂𝐺 ሬሬሬሬሬሬሬሬԦ1 + 𝑚2 𝑂𝐺 ሬሬሬሬሬሬሬሬԦ2 + ⋯ + 𝑚𝑛 𝑂𝐺 ሬሬሬሬሬሬሬሬԦ 𝑚1 𝑂𝐺 𝑛 𝑚1 + 𝑚2 + ⋯ + 𝑚𝑛 Masses négatives pour formes creuses Moments d’inertie d’un solide Moment d’inertie par rapport au point O ሬሬሬሬሬሬԦ2 𝑑𝑚 = නሺ𝑥 2 + 𝑦 2 + 𝑧 2 ሻ𝑑𝑚 𝐼𝑂 = න𝑂𝑀 𝑆 𝑆 Moment d’inertie par rapport à l’axe ∆ 𝐼∆ = න𝑑ሺ𝑀ሻ2 𝑑𝑚 𝑆 Théorème de Huygens : 𝐼∆ ሺ𝑆ሻ = 𝐼∆𝐺 ሺ𝑆ሻ + 𝑚ሺ𝑆ሻ𝑑 2 ⇒ 𝐼∆ ሺ𝑆ሻ ≥ 𝐼∆𝐺 ሺ𝑆ሻ Moments d’inertie par rapport aux axes du repère 𝐼𝑂𝑥 = නሺ𝑦 2 + 𝑧 2 ሻ𝑑𝑚 𝑆 𝐼𝑂𝑦 = නሺ𝑥 2 + 𝑧 2 ሻ𝑑𝑚 𝑆 Page 2 sur 8 𝐼𝑂𝑧 = නሺ𝑥 2 + 𝑦 2 ሻ𝑑𝑚 𝑆 Dernière mise à jour 08/03/2020 Denis DEFAUCHY Résumé Actions dynamiques des liaisons et équations différentielles du mouvement Opérateur d’inertie d’un solide ሬሬሬሬሬሬԦ⋀൫𝑢 ሬሬሬሬሬሬԦ൯𝑑𝑚 𝐼 ሺ𝐴, 𝑆ሻ𝑢 ሬԦ = න𝐴𝑀 ሬԦ⋀𝐴𝑀 𝑆 ሬሬሬሬԦ, ሬሬሬሬԦሻ Soit 𝕭𝑺 une base ሺ𝒙 𝒚𝑺 𝒛 𝑺 ሬሬሬሬԦ, 𝑺 liée au solide S étudié et A l’origine du repère ۍනሺ𝑦 2 + 𝑧 2 ሻ𝑑𝑚 𝑆 ێ ێ 𝐼 ሺ𝐴, 𝑆ሻ = ێ− න𝑥𝑦𝑑𝑚 𝑆 ێ ێ− න𝑥𝑧𝑑𝑚 ۏ 𝑆 − න𝑥𝑦𝑑𝑚 − න𝑥𝑧𝑑𝑚 𝑆 ې ۑ 𝐴 ۑ − න𝑦𝑧𝑑𝑚 = ۑ−𝐹 𝑆 −𝐸 ۑ 2 නሺ𝑥 + 𝑦 2 ሻ𝑑𝑚ۑ 𝔅ے 𝑆 𝑆 නሺ𝑥 2 + 𝑧 2 ሻ𝑑𝑚 𝑆 − න𝑦𝑧𝑑𝑚 𝑆 −𝐸 −𝐷൩ 𝐶 𝔅𝑆 𝑆 Théorème de Huygens généralisé 𝑎 𝔅𝑆 ሬሬሬሬሬԦ = 𝑎𝑥 𝐴𝐺 ሬሬሬԦ𝑆 + 𝑏𝑦 ሬሬሬሬԦ𝑆 + 𝑐𝑧ሬሬሬԦ𝑆 = ቈ𝑏 𝑐 𝑏2 + 𝑐 2 −𝑎𝑏 −𝑎𝑐 𝐼 ሺ𝐴, 𝑆ሻ = 𝐼 ሺ𝐺, 𝑆ሻ + 𝑚 −𝑎𝑏 𝑎2 + 𝑐 2 −𝑏𝑐 ൩ −𝑎𝑐 −𝑏𝑐 𝑎 2 + 𝑏 2 𝔅𝑆 𝑎 𝑎′ 𝑏2 + 𝑐 2 ′ ሬሬሬሬሬԦ 𝑂𝐺 = ቈ𝑏 ; ሬሬሬሬሬሬሬԦ 𝑂 𝐺 = 𝑏 ′ ൩ ; 𝐴 = −𝑎𝑏 𝑐 𝔅𝑆 𝑐 ′ 𝔅𝑆 −𝑎𝑐 −𝐹 𝐵 −𝐷 −𝑎𝑏 𝑎 + 𝑐2 −𝑏𝑐 2 On voit 3 théorèmes de Huygens pour le déplacement des moments d’inertie autour des axes ሺ𝐴, ሬሬሬԦ 𝑥𝑠 ሻ, ሺ𝐴, 𝑦 ሬሬሬԦ𝑠 ሻ et ሺ𝐴, ሬሬሬԦ 𝑧𝑠 ሻ 𝑥 𝑥 𝑥 2 2 𝐼𝐴 = 𝐼𝐺 + 𝑚ሺ𝑏 + 𝑐 ሻ = 𝐼𝐺 + 𝑚𝑑𝑥 𝑦 𝑦 𝑦 𝐼𝐴 = 𝐼𝐺 + 𝑚ሺ𝑎2 + 𝑐 2 ሻ = 𝐼𝐺 + 𝑚𝑑𝑦 𝐼𝐴𝑧 = 𝐼𝐺𝑧 + 𝑚ሺ𝑎2 + 𝑏 2 ሻ = 𝐼𝐺𝑧 + 𝑚𝑑𝑧 2 𝑏′ + 𝑐 ′ −𝑎𝑐 ′ −𝑏𝑐 ൩ ; 𝐴 = −𝑎′ 𝑏′ 𝑎2 + 𝑏 2 𝔅𝑆 −𝑎′ 𝑐 ′ 2 −𝑎′ 𝑏′ 2 2 𝑎′ + 𝑐 ′ −𝑏 ′ 𝑐′ 𝐼 ሺ𝑂′ , 𝑆ሻ = 𝐼 ሺ𝑂, 𝑆ሻ + 𝑚ሺ𝐴′ − 𝐴ሻ -Nécessité de connaître 𝐺 pour avoir 𝐴 et 𝐴′ −𝑎′ 𝑐 ′ −𝑏′ 𝑐 ′ 2 ′2 𝑎 + 𝑏 ′ 𝔅𝑆 Représentation physique des termes de 𝑰ሺ𝑨, 𝑺ሻ Termes diagonaux : Ils représentent la « masse » à mettre en rotation pour tourner l’objet autour des 3 axes ሺ𝐴, ሬሬሬԦ 𝑥𝑠 ሻ, ሺ𝐴, ሬሬሬԦ 𝑦𝑠 ሻ et ሺ𝐴, ሬሬሬԦ 𝑧𝑠 ሻ. Ils interviennent dans les équations différentielles du mouvement en rotation 𝐴 −𝐹 −𝐸 Soit un cylindre (rayon 𝑅, matrice 𝐼 ሺ𝐴, 𝑆ሻ = −𝐹 𝐵 −𝐷 ൩ ), roulant autour de −𝐸 −𝐷 𝐶 𝔅𝑆 ሺ𝐴, ሬሬሬԦ 𝑧𝑠 ሻ soumis à la gravité et à la force tangentielle 𝑇 au contact en 𝐴. On a : 𝐶𝜃ሷ = ±𝑅𝑇 Termes hors diagonaux : Ils représentent la répartition des masses autour des axes ሺ𝐴, ሬሬሬԦ 𝑥𝑠 ሻ, ሺ𝐴, ሬሬሬԦ 𝑦𝑠 ሻ et ሺ𝐴, ሬሬሬԦ 𝑧𝑠 ሻ. Ils interviennent dans les actions en moment dans les liaisons. 𝑦𝑠 ሬሬሬԦ 𝑦𝑠 ሬሬሬԦ 𝑦𝑠 ሬሬሬԦ 𝑭=𝟎 𝑭≠𝟎 Exemple : 𝑦𝑠 ሬሬሬԦ 𝑥𝑠 ሬሬሬԦ 𝑥𝑠 ሬሬሬԦ 𝐴 𝑥𝑠 ሬሬሬԦ 𝐴 𝐴 𝑥𝑠 ሬሬሬԦ 𝐴 Ils sont à l’origine de l’apparition de moments lors de leur rotation : 𝑦𝑠 ሬሬሬԦ 𝑦𝑠 ሬሬሬԦ ሬሬሬሬԦ𝒙 𝑴𝒛 𝑥𝑠 ሬሬሬԦ 𝐴 𝑥𝑠 ሬሬሬԦ 𝐴 Page 3 sur 8 ሬሬሬሬԦ𝒙 𝝎𝒙 Ex. Rotation ሺ𝐴, ሬሬሬԦሻ 𝑥𝑠 : 𝐸 et 𝐹 (ligne colonne x) sont chacun générateurs de moments sur ሺ𝐴, 𝑦 ሬሬሬԦሻ ሬሬሬԦሻ 𝑠 et ሺ𝐴, 𝑧 𝑠 - cf équilibrage Dernière mise à jour 08/03/2020 Denis DEFAUCHY Résumé Actions dynamiques des liaisons et équations différentielles du mouvement Symétries et forme de la matrice d’inertie – 𝑶 sur l’élément de symétrie ሺ𝑂, ሬሬሬԦ, 𝑥𝑆 𝑦 ሬሬሬሬԦ𝑆 ሻ Plan de symétrie Deux plans de symétrie parmi ሺ𝑶, ሬሬሬሬԦ, ሬሬሬሬԦ, ሬሬሬሬԦሻ ሬሬሬሬԦሻ 𝒙𝑺 ሬሬሬሬԦሻሺ𝑶, 𝒚𝑺 𝒙𝑺 𝒛 𝒚𝑺 𝒛 𝑺 ሺ𝑶, ሬሬሬሬԦ, 𝑺 𝐴 −𝐹 0 𝐼 ሺ𝑂, 𝑆ሻ = −𝐹 𝐵 0 ൩ 0 0 𝐶 𝔅𝑆 Solide sphérique de centre O 𝐴 0 0 𝐼 ሺ𝑂, 𝑆ሻ = 0 𝐴 0 ൩ 0 0 𝐴 𝔅𝑆 2 𝐴 = 𝐼𝑂 3 ∀𝔅𝑆 𝐴 0 0 𝐼 ሺ𝑂, 𝑆ሻ = 0 𝐵 0 ൩ 0 0 𝐶 𝔅𝑆 ሺ𝑂, ሬሬሬԦ, 𝑥𝑆 𝑦 ሬሬሬሬԦ𝑆 ሻ : 𝑧 = 0 𝐴 𝐼 ሺ𝑂, 𝑆ሻ = −𝐹 0 −𝐹 𝐵 0 Axe de révolution ሬሬሬሬԦሻ ሺ𝑶, 𝒛 𝑺 𝐼 ሺ𝑂, 𝑆ሻ 𝐴 0 0 = 0 𝐴 0൩ 0 0 𝐶 𝔅𝑆 𝐶 𝐴 = + න𝑧 2 𝑑𝑚 2 𝑆 ∀𝔅ሺ_, _, 𝑧ሬሬሬԦ𝑆 ሻ 0 0 ൩ 𝐴 + 𝐵 𝔅𝑆 Attention : on ne parle que de forme, les termes peuvent changer d’un point à l’autre Matrices d’inertie usuelles à savoir retrouver 𝑚 2 2 ۍ12 ሺ𝑏 + 𝑐 ሻ ێ 0 𝐼 ሺ𝐺, 𝑆ሻ = ێ ێ ێ 0 ۏ 2 0 0 ې ۑ ۑ 0 ۑ 𝑚 2 ሺ𝑎 + 𝑏 2 ሻۑ 𝔅ے 12 𝑚 2 ሺ𝑎 + 𝑐 2 ሻ 12 0 𝑆 2 𝑅 ℎ 𝑚ۍቆ + ቇ 4 12 ێ ێ 𝐼 ሺ𝐺, 𝑆ሻ = ێ 0 ێ ێ 0 ۏ 0 ې ۑ ۑ 𝑅 2 ℎ2 𝑚ቆ + ቇ 0 ۑ 4 12 ۑ 𝑅2 ۑ 0 𝑚 ے 2 𝔅𝑆 0 Matrice inchangée dans toute base contenant l’axe de révolution 2 𝑅𝑚 ۍ2 ێ5 𝐼 ሺ𝐺, 𝑆ሻ = ێ0 ێ ێ ۏ0 2 𝑚𝑅2 5 0 0 𝐼 ሺ𝑀𝑖 , 𝑆𝑖 ሻ = 0 0 Masse ponctuelle 𝑆𝑖 en 𝑀𝑖 𝑥𝑖 𝔅𝑆 ሬሬሬሬሬሬሬሬԦ 𝑂𝑀𝑖 = 𝑦𝑖 ൩ 𝑧𝑖 0 𝑦𝑖 2 + 𝑧𝑖 2 𝐼 ሺ𝑂, 𝑆𝑖 ሻ = 𝑚𝑖 −𝑥𝑖 𝑦𝑖 −𝑥𝑖 𝑧𝑖 Page 4 sur 8 0 0 0 ې ۑ 0 ۑ ۑ 2 ۑ 𝑚𝑅2 ے 5 𝔅 0 𝑆 0 0൩ 0 𝔅𝑆 −𝑥𝑖 𝑦𝑖 𝑥𝑖 2 + 𝑧𝑖 2 −𝑦𝑖 𝑧𝑖 −𝑥𝑖 𝑧𝑖 −𝑦𝑖 𝑧𝑖 𝑥𝑖 2 + 𝑦𝑖 2 𝔅 𝑆 Dernière mise à jour 08/03/2020 Denis DEFAUCHY Résumé Actions dynamiques des liaisons et équations différentielles du mouvement Matrice d’inertie d’un ensemble de solides en un même point 𝑦𝑖 2 + 𝑧𝑖 2 𝐼 ሺ𝐴, 𝑆ሻ = 𝐼 ሺ𝐴, 𝑆𝑖 ሻ = ൦𝐼ሺ𝐺𝑖 , 𝑆𝑖 ሻ + 𝑚𝑖 −𝑥𝑖 𝑦𝑖 𝑖=1 𝑖=1 −𝑥𝑖 𝑧𝑖 𝑁 𝑁 −𝑥𝑖 𝑦𝑖 𝑥𝑖 2 + 𝑧𝑖 2 −𝑦𝑖 𝑧𝑖 −𝑥𝑖 𝑧𝑖 𝑥𝑖 𝔅𝑆 𝑂𝑀𝑖 = 𝑦𝑖 ൩ −𝑦𝑖 𝑧𝑖 ൪ ; ሬሬሬሬሬሬሬሬԦ 2 2 𝑧𝑖 𝑥𝑖 + 𝑦𝑖 𝔅 𝑆 Masses négatives pour formes creuses Définition 𝐴∗ ሺ ሻ 𝐼 𝐴, 𝑆 = 0 0 0 𝐵 −𝐷 ሺ𝑂, ሬሬሬԦ 𝑥𝑠 ሻ est un axe principal d’inertie de ce solide A valeur propre, ሬሬሬԦ 𝑥𝑠 vecteur propre En tout point du solide, il existe 3 axes principaux d’inertie associés aux vecteurs propres 0 −𝐷 ൩ 𝐶 𝔅𝑆 Opérations Moment d’inertie par rapport à l’axe ሺ𝐴, ∆ሻ 𝐼∆ ሺ𝑆ሻ = 𝛿Ԧ. 𝐼 ሺ𝐴, 𝑆ሻ𝛿Ԧ ; ฮ𝛿Ԧฮ = 1 ሬ𝜹Ԧ et 𝑰ሺ𝑨, 𝑺ሻ exprimés dans la même base Moment d’inertie par rapport au point 𝐴 avec 𝐼 ሺ𝐴, 𝑆ሻ = 𝐴 −𝐹 −𝐸 Tr 𝐼ሺ𝐴,𝑆ሻ 𝐴+𝐵+𝐶 −𝐹 𝐵 −𝐷൩ : 𝐼𝐴 = = 2 2 −𝐸 −𝐷 𝐶 𝔅𝑆 Moment d’inertie autour d’un axe ሺ𝐴, ሬሬሬԦ 𝑥𝑠 ሻ avec 𝐴 −𝐹 −𝐸 𝐼 ሺ𝐺, 𝑆ሻ = −𝐹 𝐵 −𝐷 ൩ : 𝐼ሺ𝐴,𝑥ሬሬሬሬԦሻ = 𝐴 + 𝑚𝑑 2 𝑠 −𝐸 −𝐷 𝐶 𝔅𝑆 avec 𝑑 distance entre ሺ𝐴, ሬሬሬԦ 𝑥𝑠 ሻ et ሺ𝐺, ሬሬሬԦ 𝑥𝑠 ሻ 𝑃−1 = 𝑃𝑇 Changement de base 𝐼 ሺ𝑂, 𝑆ሻ𝐵2 = 𝑃−1 𝐼 ሺ𝑂, 𝑆ሻ𝐵1 𝑃 ; 𝑃 matrice de passage de 𝐵1 à 𝐵2 ሬԦሻ Moment d’inertie d’une masse ponctuelle 𝒎𝒊 en 𝑴 autour de l’axe ∆= ሺ𝑶, 𝒛 𝑑 = ඥ𝑥𝑖 2 + 𝑦𝑖 2 ሺ𝑑𝑖𝑠𝑡𝑎𝑛𝑐𝑒 𝑑𝑒 𝑀 à 𝑙 ′ 𝑎𝑥𝑒ሻ 𝐼∆ = 𝑚𝑖 𝑑 2 Conditions d’équilibrage dynamique Solide équilibré ? Actions dans les liaisons indépendantes de 𝜃, 𝜃ሶ , 𝜃ሷ et 𝑡 Le solide 𝑆 de centre de gravité 𝐺 est équilibré en rotation autour de ሺ𝑂, ሬሬሬԦ 𝑥𝑠 ሻ si : ሺ ሻ 𝐺 ∈ 𝑂, 𝑥𝑠 : Pas de force centrifuge, tournante ሺ𝑂, ሬሬሬԦ 𝑥𝑠 ሻ est un axe principal d’inertie de 𝑆 : Pas de moments variables dans les liaisons Page 5 sur 8 Dernière mise à jour 08/03/2020 Denis DEFAUCHY Résumé Actions dynamiques des liaisons et équations différentielles du mouvement Cinétique - Dynamique Cinétique Dynamique ሼ𝒞 ሺ𝑆/𝑅0 ሻሽ ۓ ሼ𝒟ሺ𝑆/𝑅0 ሻሽ ሬሬሬሬԦ ሬԦ ሺ𝑀, 𝑆/𝑅0 ሻ𝑑𝑚 𝑅𝑐 ሺ𝑆/0ሻ = න 𝑉 ۗ ۓ 𝐸 ሬሬሬሬԦ 𝑅𝑑 ሺ𝑆/0ሻ = න 𝛤Ԧ ሺ𝑀, 𝑆/𝑅0 ሻ𝑑𝑚 ۗ 𝐸 𝜎۔Ԧሺ𝐴, 𝑆/𝑅 ሻ = න ሬሬሬሬሬሬԦ ሬԦሺ𝑀, 𝑆/𝑅0 ሻ𝑑𝑚ۘ 𝐴𝑀⋀𝑉 0 ە ۙ𝐴 𝐸 𝛿۔Ԧሺ𝐴, 𝑆/𝑅 ሻ = න 𝐴𝑀 ሬሬሬሬሬሬԦ⋀𝛤Ԧ ሺ𝑀, 𝑆/𝑅0 ሻ𝑑𝑚ۘ 0 ە ۙ𝐴 𝐸 ሬሬሬሬԦ𝑐 ሺ𝑆/0ሻ ∀ሺ𝐴, 𝐵ሻ, 𝜎Ԧሺ𝐴, 𝑆/𝑅0 ሻ = 𝜎Ԧሺ𝐵, 𝑆/𝑅0 ሻ + ሬሬሬሬሬԦ 𝐴𝐵⋀𝑅 ሬሬሬሬԦ ∀ሺ𝐴, 𝐵ሻ, 𝛿Ԧሺ𝐴, 𝐸/𝑅0 ሻ = 𝛿Ԧሺ𝐵, 𝑆/𝑅0 ሻ + ሬሬሬሬሬԦ 𝐴𝐵⋀𝑅 𝑑 ሺ𝑆/0ሻ ሬሬሬሬԦ ሬԦ ሺ𝐺, 𝑆/𝑅0 ሻ 𝑅𝑐 ሺ𝑆/0ሻ = 𝑀𝑉 ቊ ቋ ሬԦሺ𝑆/𝑅0 ሻ + 𝑀𝐴𝐺 ሬሬሬሬሬԦ ⋀𝑉 ሬԦ ሺ𝐴, 𝑆/𝑅0 ሻ 𝜎Ԧሺ𝐴, 𝑆/𝑅0 ሻ = 𝐼 ሺ𝐴, 𝑆ሻ𝛺 𝐴 ሬሬሬሬԦ 𝑅𝑑 ሺ𝑆/0ሻ = 𝑀𝛤Ԧ ሺ𝐺, 𝑆/𝑅0 ሻ 𝑑𝜎Ԧሺ𝐴, 𝑆/𝑅0 ሻ ൞Ԧ ሬԦ ሺ𝐴, 𝑆/𝑅0 ሻ⋀𝑉 ሬԦ ሺ𝐺, 𝑆/𝑅0 ሻൢ 𝛿 ሺ𝐴, 𝑆/𝑅0 ሻ = ቇ + 𝑀𝑉 𝑑𝑡 𝑅 0 𝐴 𝑁 𝑁 ሼ𝒟ሺ𝐸/𝑅0 ሻሽ = ሼ𝒟ሺ𝑆𝑖 /𝑅0 ሻሽ ሼ𝒞 ሺ𝐸/𝑅0 ሻሽ = ሼ𝒞 ሺ𝑆𝑖 /𝑅0 ሻሽ 𝑖=1 𝑖=1 Principe Fondamental de la Dynamique PFD Théorème de la résultante dynamique TRD : 𝑀𝛤Ԧ ൫𝐺, 𝐸/𝑅𝑔 ൯ = 𝑅ሬԦ𝐸→𝐸 PFD ൛𝒟൫𝐸/𝑅𝑔 ൯ൟ = ൛𝒯൫𝐸 → 𝐸൯ൟ 6 équations par isolement Théorème du moment dynamique TMD : 𝛿Ԧ൫𝐴, 𝐸/𝑅𝑔 ൯ = ሬሬሬሬሬԦ 𝑀𝐴 𝐸→𝐸 Actions de liaisons de travail nul Equations différentielles du mouvement + action exerçant un travail Cas particuliers d’un solide indéformable en … translation dans une direction fixe 𝑇𝑅𝐷 𝑝𝑟𝑜𝑗 𝑎𝑥𝑒 𝑑𝑒𝑝: 𝐹 = 𝑚𝑎 Une vitesse imposée correspond à une action de liaison présente rotation autour d’un axe fixe d’inertie 𝐽 autour de cet axe 𝑇𝑀𝐷 𝑝𝑟𝑜𝑓 𝑎𝑥𝑒 𝑟𝑜𝑡: 𝐽𝜃ሷ = 𝐶 Remarques Théorème des actions réciproques ሼ𝒯 ሺ𝐸2 → 𝐸1 ሻሽ = −ሼ𝒯 ሺ𝐸1 → 𝐸2 ሻሽ Simplification du PFD en projection sur un axe en moment en 𝐺 ou 𝐴 fixe ሺ𝑢𝑣ሻ′ = 𝑢𝑣 ′ + 𝑢′ 𝑣 ; 𝑢 = 𝜎Ԧሺ𝐺, 𝑆/𝑅0 ሻ ; 𝑣 = 𝑢 ሬԦ 𝑑𝜎Ԧሺ𝐺, 𝑆/𝑅0 ሻ 𝑑𝜎Ԧሺ𝐺, 𝑆/𝑅0 ሻ. 𝑢 ሬԦ 𝑑𝑢 ሬԦ 𝛿Ԧሺ𝐺, 𝑆/𝑅0 ሻ. 𝑢 ሬԦ = ቇ .𝑢 ሬԦ = ቇ − 𝜎Ԧሺ𝐺, 𝑆/𝑅0 ሻ. ቇ 𝑑𝑡 𝑑𝑡 𝑑𝑡 𝑅 𝑅0 𝑅0 0 ሬԦ Masse ponctuelle en 𝐺 : 𝜎Ԧሺ𝐺, 𝑆/𝑅0 ሻ = 𝛿Ԧሺ𝐺, 𝑆/𝑅0 ሻ = 0 ሬԦ ሬሬሬሬԦ𝑐 = 𝑅 ሬሬሬሬԦ Négliger les masses : 𝑅 Ԧ et 𝛿Ԧ simplifiées 𝑑 = 0 - 𝐼 ሺ𝑀, 𝑆 ሻ cst - 𝜎 PFD comparable à PFS Négliger les inerties en un point 𝐴 : 𝐼 ሺ𝐴, 𝑆ሻ matrice nulle Autant d’équations – Mêmes isolements Négliger les deux : ሼ𝒞 ሺ𝑆/𝑅0 ሻሽ = ሼ𝒟ሺ𝑆/𝑅0 ሻሽ = ሼ0ሽ Page 6 sur 8 Dernière mise à jour 08/03/2020 Actions dynamiques des liaisons et équations différentielles du mouvement Denis DEFAUCHY Résumé Energie - Puissance Puissance Energie cinétique 𝑇ሺ𝑆/𝑅0 ሻ = 𝑇ሺ𝑆/𝑅0 ሻ = 1 ሬԦ 2 ሺ𝑀, 𝑆/𝑅0 ሻ 𝑑𝑚 න𝑉 2 𝐸 Puissance des actions extérieures 𝑃ሺ𝑆ҧ → 𝑆/𝑅0 ሻ = ሼ𝒯𝑆ҧ→𝑆 ሽ⨀ሼ𝒱ሺ𝑆/𝑅0 ሻሽ ∀𝑃 1 1 ሬԦሺ𝑆/𝑅0 ሻ. ൣ𝐼 ሺ𝐺, 𝑆ሻ𝛺 ሬԦሺ𝑆/𝑅0 ሻ൧ ሬԦ 2 ሺ𝐺, 𝑆/𝑅0 ሻ + 𝛺 𝑀𝑉 2 2 𝑁 𝑃ሺ𝐸ത → 𝐸/𝑅0 ሻ = 𝑃ሺ𝑆ҧ → 𝑆𝑖 /𝑅0 ሻ 𝑖=1 1 1 ሬԦሺ𝑆/𝑅0 ሻ. 𝜎Ԧሺ𝐺, 𝑆/𝑅0 ሻ ሬԦ 2 ሺ𝐺, 𝑆/𝑅0 ሻ + 𝛺 𝑇ሺ𝑆/𝑅0 ሻ = 𝑀𝑉 2 2 𝑇ሺ𝑆/𝑅0 ሻ = 1 ൛𝒞 ൟ⨀൛𝒱𝑆/𝑅0 ൟ ∀𝑃 2 𝑆/𝑅0 𝑁 𝑇ሺ𝐸/𝑅0 ሻ = 𝑇ሺ𝑆𝑖 /𝑅0 ሻ 𝑖=1 Un comoment ሬሬሬሬԦ ሬሬሬሬԦ 𝑅 𝑅 ቊ 1ቋ ⨀ ቊ 2ቋ ሬሬሬሬሬԦ1 ሬሬሬሬሬԦ2 𝑀 𝑀 𝑃 𝑃 ሬሬሬሬԦ ሬሬሬሬሬԦ2 + ሬሬሬሬԦ ሬሬሬሬሬԦ1 𝑅1 . 𝑀 𝑅2 . 𝑀 Au même point ! Mouvements plans Rotation 𝛺 d’axe fixe ሺ𝐴, 𝑧Ԧሻ Translation de vitesse 𝑉 Distance de G à l’axe ሺ𝐴, 𝑧Ԧሻ : 𝑅 1 1 𝐺 2 𝑇ሺ𝑆/𝑅0 ሻ = 𝑀𝑅2 𝛺2 + 𝐼𝑧𝑧 𝛺 1 2 2 𝑇ሺ𝑆/𝑅0 ሻ = 𝑀𝑉 2 1 2 𝐴 𝑇ሺ𝑆/𝑅0 ሻ = 𝛺2 𝐼𝑧𝑧 2 Translation + Rotation : Somme des Ec des mvt indépendants ሬԦሺ𝑆/𝑅0 ሻ 𝑅ሬԦ 𝛺 ቊሬሬሬሬሬሬሬሬሬሬሬሬሬԦቋ ⨀ ቊ ቋ ሬԦሺ𝐴, 𝑆/𝑅0 ሻ 𝑀𝐴 ൫𝑅ሬԦ൯ 𝐴 𝑉 𝐴 ሬሬሬሬሬሬሬሬሬሬሬሬሬԦ ሬԦ ሬԦ ሬ Ԧ ሬԦ 𝑅. 𝑉 ሺ𝐴, 𝑆/𝑅0 ሻ + 𝑀𝐴 ൫𝑅 ൯. 𝛺ሺ𝑆/𝑅0 ሻ Puissance d’inter efforts 𝑃൫𝑆𝑖 , 𝑆𝑗 ൯ = 𝑃൫𝑆𝑗 , 𝑆𝑖 ൯ = ቄ𝒯𝑆𝑖 → 𝑆𝑗 ቅ ⨀൛𝒱൫𝑆𝑗 / 𝑆𝑖 ൯ൟ 𝑁−1 𝑁 𝑃𝑖 ሺ𝐸 ሻ = 𝑃൫𝑆𝑖 , 𝑆𝑗 ൯ 𝑖=1 𝑗=𝑖+1 𝑃൫𝑆𝑖 , 𝑆𝑗 ൯ = 𝑃൫𝑆𝑖 → 𝑆𝑗 /𝑅0 ൯ + 𝑃൫𝑆𝑗 → 𝑆𝑖 /𝑅0 ൯ Ce n’est pas parce que la liaison est parfaite que la puissance 𝑆𝑖 → 𝑆𝑗 ou 𝑆𝑖 → 𝑆𝑖 est nulle… Selon l’isolement Sans mouvements relatifs : 𝑃൫𝑆𝑖 , 𝑆𝑗 ൯ = 0 Liaisons parfaites : 𝑃൫𝑆𝑖 → 𝑆𝑗 /𝑅0 ൯ = −𝑃൫𝑆𝑗 → 𝑆𝑖 /𝑅0 ൯ ≠ 0 Théorème de l’Energie Cinétique TEC 𝑑𝑇൫𝑈𝑆𝑖 /𝑅𝑔 ൯ = 𝑃𝑒𝑥𝑡 + 𝑃𝑖𝑛𝑡 𝑑𝑡 Enoncé On isole 𝑈𝑆𝑖 𝑅𝑔 : Référentiel Galiléen തതതതത𝑖 → 𝑈𝑆𝑖 /𝑅𝑔 ൯ 𝑃𝑒𝑥𝑡 = 𝑃൫𝑈𝑆 𝑃𝑖𝑛𝑡 = 𝑃𝑖 ሺ𝑈𝑆𝑖 ሻ Utilité Obtention des équations différentielles du mouvement en relation avec les actions exerçant un travail C’est l’équivalent du résultat d’une stratégie d’isolement en statique, les effets dynamiques en plus, le tout en une seule fois Hypothèses et conséquences Liaison parfaite Pas d’action spécifique entre i et j Régime stationnaire ⇒ ⇒ 𝑃𝑑𝑖𝑠𝑠 = 0 𝑃𝑑𝑖𝑠𝑠 = 𝑃𝑖𝑛𝑡 si bâti isolé 𝑃𝑑𝑖𝑠𝑠 = 𝑃𝑖𝑛𝑡 + 𝑃𝑒𝑥𝑡 ሺ𝐿𝑒𝑥𝑡 → 𝑆/𝑅0 ሻ sinon 𝑑𝑇൫𝑈𝑆𝑖 /𝑅𝑔 ൯ 𝑑𝑡 =0 Masses et inerties négligées 𝑇ሺ𝑆/𝑅0 ሻ = 0 Applications classiques • • Résolution de l’équation du mouvement (vitesse, position) en régime instationnaire en fonction des actions extérieures Détermination de la relation entrée/sortie en efforts en régime stationnaire Page 7 sur 8 Dernière mise à jour 08/03/2020 Actions dynamiques des liaisons et équations différentielles du mouvement Denis DEFAUCHY Résumé Calcul d’inertie ou de masse équivalente : Exprimer T Inertie équivalente ramenée à Inertie équivalente ramenée à Masse équivalente l’arbre d’entrée l’arbre de sortie 1 𝑇ሺ𝑈𝑆𝑖 /𝑅0 ሻ = 𝑀𝑒𝑞 𝑉 2 1 𝑒 2 1 𝑠 2 2 𝑇ሺ𝑈𝑆𝑖 /𝑅0 ሻ = 𝐽𝑒𝑞 𝜔𝑒 𝑇ሺ𝑈𝑆𝑖 /𝑅0 ሻ = 𝐽𝑒𝑞 𝜔𝑠 2 2 Puissance d’entrée = Puissance de sortie ? Considérons un système isolé auquel sont appliqués des efforts extérieurs en entrée et en sortie 𝑅é𝑔𝑖𝑚𝑒 𝑠𝑡𝑎𝑡𝑖𝑜𝑛𝑛𝑎𝑖𝑟𝑒: 𝑑𝑇൫𝑈𝑆𝑖 /𝑅𝑔 ൯ =0 𝑑𝑡 ⇒ 𝑃𝑒𝑛𝑡𝑟𝑎𝑛𝑡𝑒 = 𝑃𝑠𝑜𝑟𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒 𝐿𝑖𝑎𝑖𝑠𝑜𝑛𝑠 𝑝𝑎𝑟𝑓𝑎𝑖𝑡𝑒𝑠: 𝑃𝑑𝑖𝑠𝑠 = 0 Notion de rendement – N’a de sens qu’en régime stationnaire ! Dépend de la vitesse… 𝑃𝑠𝑜𝑟𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒 𝜂= 𝑃𝑒𝑛𝑡𝑟𝑎𝑛𝑡𝑒 𝑛−1 𝑃𝑛 𝑃𝑛 𝑃2 𝜂= = … = ෑ 𝜂𝑖 𝑃1 𝑃𝑛−1 𝑃1 𝑖=1 𝑃𝑑𝑖𝑠𝑠 = −ሺ1 − 𝜂ሻ𝑃𝑒𝑛𝑡𝑟𝑎𝑛𝑡𝑒 Rq : 𝑃𝑒 − 𝑃𝑑𝑖𝑠𝑠 = 𝜂𝑃𝑒 Relation en couples/efforts entrée sortie Relation cinématique e/s : imposée par le mécanisme supposé indéformable -> ne peut évoluer Relation 𝐹/𝐶 d’e/s : peut évoluer en fonction du rendement et des accélérations. La relation issue du TEC doit conduire à l’obtention de la relation entre efforts/couples connaissant la relation cinématique entrée/sortie et non l’inverse, sauf cas particulier : régime stationnaire & rendement égal à 1. Une manière simple d’obtenir la relation statique e/s d’un mécanisme est de déterminer la relation cinématique e/s et d’utiliser le TEC en liaisons parfaites et régime stationnaire. Rq : Une résolution cinématique est plus simple qu’une résolution statique ! Choix du théorème Objectifs des deux théorèmes Obtenir des actions de liaisons Obtenir des équations différentielles du mouvement liées aux actions entrée/sortie PFD TEC Obtention de 6 équations par isolement Equations différentielles du mouvement sur Equations donnant les actions à travail nul la/les équation(s) de mobilité donnant les Equations différentielles du mouvement sur actions à travail non nul et les lois la/les équation(s) de mobilité donnant les d’accélérations des pièces actions à travail non nul et les lois On obtient en particulier la relation d’accélérations des pièces entrée/sortie en effort On obtient toutes les actions du système, et Impossibilité de déterminer les actions à donc la loi entrée/sortie en effort travail non nul Application lourde s’il y a beaucoup de solides Très adapté aux problèmes à 1 DDL Difficultés d’applications s’il y a des pertes Page 8 sur 8 Fonctionne très bien qu’il y ait peu ou Penser à ne déterminer que l’équation utile beaucoup de solides au problème (ex : Moment suivant 𝑧Ԧ)
