Prof : Mejri
SERIE
N°1
DE
MATHÉMATIQUES
Lycée : Mateur
Classes : 4 M + SC + TH
JUILLET 2009
EXERCICE N°1 :
Soit la fonction f définie sur IR par : f ( x ) = x + √x² + x + 1
et ( ) la courbe de f dans un repère orthonormée (O, ⃗i, ⃗j ).
1
1- Montrer que la droite D d'équation y = 2x + 2 est une asymptote oblique à ( ) au voisinage de +
2- calculer lim f ( x ) , Interpréter graphiquement le résultat.
x → −∞
EXERCICE N°2 :
1
1- Montrer que l’équation : x 5 – 5 x + 1 = 0 admet dans [ - 1 ; 1 ]une seule solution et vérifier que 0 < < 2
1
5
2- Soit f la fonction définie par f ( x ) = 6 x6 - 2 x² + x +2 .
a- Dresser le tableau de variations de f sur [ - 1 ; 1 ].
5
b- Montrer que f ( ) = 6 ( 1 – 2 )+ 2 .
3- a- Montrer que l’équation : f( x ) = 0 admet dans (-1 ; 1 ] une seule solution
b- Préciser le signe de f ( x ) sur [ -1 ; 1 ].
EXERCICE N°3 :
x
Soit f la fonction définie sur ]1 ; + [ par : f( x ) =
√x²−1
1- étudier les branches infinies de et ( f ) la courbe de f dans un repère orthonormée (O, ⃗i, ⃗j ).
2- déterminer l’image de l’intervalle ]1 ; + [ par f .
3- montrer que l’équation : f( x ) = x admet dans ] 1 ; + [ une solution unique et vérifier que 1 < < 2 .
4- soit g la fonction définie sur ]
π
4
;
π
2
π
4
[ par : {
g (x) = f (tg x ) si x ∈]
π
4
;
π
2
[
π
g ( )=1
2
π
2
montrer que g est continue sur ] ; ]
EXERCICE N°4 :
1
Soit f la fonction définie sur IR par f ( x) = 4 x3 – 3 x - 2 .
1- Montrer que l’équation f ( x ) = 0 admet trois solutions distinctes comprises entre – 1 et 1.
2- soit un réel de [0 ; π [ ,
a- montrer que : cos 3 = 4 cos3 - 3 cos .
b- en posant x = cos , déterminer les solutions de l’équation f ( x ) = 0
EXERCICE N°5 :
Soit f la fonction définie sur IR par f ( x) = x3 – 3 x - 3 .
1- a- Dresser le tableau de variations de f
b- Montrer que l’équation f ( x ) = 0 admet une solution unique .
c- Donner un encadrement de d’amplitude 0,01
2x3 +3
2- Soit g la fonction définie sur IR\ {- 1 , 1 } par g ( x ) = x2 −1
Montrer que est une solution de l’équation : g ( x ) – 3 x = 0 .
EXERCICE N°6 :
sin² πx
1- Soit f la fonction définie sur IR \{ 1 } par f ( x ) =
,
x−1
trouver le prolongement par continuité en 1 , s’il existe de f
π
1−sin x+cos x
2- Soit g la fonction définie sur ]0 ; π [ \ { 2 } par : g ( x ) = 1−sin x−cos x
trouver le prolongement par continuité en
EXERCICE N°7 :
Soit f la fonction définie sur IR par :{ f
(x) =
|x|√x+1
x
π
, s’il existe de g .
2
si x ∈ [−1; +∞ [ \ {0}
f(0) = 1
Etudier la continuité de f sur [ - 1 ; + [
EXERCICE N°8 :
soient f et g deux fonctions définies par : f ( x ) =
x+cos x
x²+1
et g ( x ) = 2 x – sin x.
3- a- montrer que pour tout x IR
x−1
x²+1
≤ f ( x) ≤
x+1
x²+1
b- en déduire lim f ( x ) et lim f ( x )
x→ +∞
x → −∞
4- a- montrer que pour tout x IR : g ( x) ≥ 2 x – 1 et g ( x ) ≤ 2 x +1
b- en déduire lim g ( x ) et lim g ( x )
x→ +∞
x → −∞
EXERCICE N°9 :
Soit f la fonction définie sur IR par f ( x ) = 3x + cos x
4- a- montrer que pour tout réel x on à : - 1 + 3x ≤ f ( x) ≤ 1 + 3x
b- en déduire lim f ( x ) et lim f ( x )
x → −∞
x→ +∞
π
5- Montrer que l’équation : f( x ) = 0 admet dans IR une seule solution et vérifier que - 6 < < 0
EXERCICE N°10 :
5- Soit g la fonction définie sur IR par g ( x ) = 2 x3 + x² - 1
a- Dresser le tableau de variations de g .
b- montrer que l’équation : g( x ) = 0 admet dans IR une solution unique et vérifier que 0 < < 1 .
x3 +x²+1
.
3x
g ( x)
( x ) = 3 x²
6- soit f la fonction définie sur IR* par : f ( x ) =
a- montrer que pour tout réel x , on à f ‘
b- dresser le tableau de variations de f .
∝
1
c- montrer que f ( ) = 6 + 2∝
2
d- en déduire que : 0 ≤ f ( ∝) ≤
3
EXERCICE N°11 :
π
√x sin( x )
Soit f la fonction définie sur IR \ { 1 } par :f ( x ) = {
x−1
si x IR∗+ \ {1}
√x² − 2x + x si x ≤ 0
1- a- encadrer f( x ) pour tout x ]0 ;1[ .
b- montrer alors que f est continue en 0.
c- en déduire lim f ( x ) , lim f ( x ) et lim √x f ( x )
x → −∞
2- on pose U (x) =
π( x−1)
x
x→ +∞
x→ +∞
sin x
π
, V (x) = x et W (x) = x pour tout x
√
tout x IR∗+ \ {1} : f (x) = W (x) V O U (x) .
IR∗+ \ {1}
a- vérifier que pour
b- en déduire que f admet un prolongement par continuité g en 1 .
π
1
c- à l’aide de g , montrer que l’équation : sin ( ) = 3 ( √x −
) admet dans l’intervalle ] 1 ; 2 [ une solution
EXERCICE N°12 :
1
Soit la fonction f définie sur IR par f ( x ) = 2 +
x
x
√4x²+1
√x
, on désigne par ( ) sa courbe représentative dans un repère
orthonormée (O, ⃗i, ⃗j ).
1- a –étudier les variations de f .
1
b- montrer que le point I (0 , ) est un centre de symétrie de ( ) .
2
3
2- a- montrer que l’équation : f( x ) = x admet une solution unique tel que ]4 ; 1[ .
b- étudier la position relative de la courbe ( ) et la droite : y = x .
c- tracer dans le repère (O, ⃗i, ⃗j ) la courbe ( ) et la droite .
1
1
2
2
h (x) = 2 f ( tg (πx)) si x ∈ ] −
3- on considère la fonction h définie sur [ -
1
2
1
; ] par : h (− 1) = 0
2
2
1
1
1
montrer que h est continue sur [ - 2 ; 2 ]
{ h (2) = 2
1
; [
2
