CM Intro Chap1

UFR PhITEM
Master EEA
M2 Conception des Systèmes d’Énergie Électrique
Numerical Analysis
of Circuit Equations
Winter 2020-2021
[email protected]inp.fr
Laboratoire de Génie Électrique de Grenoble
G2ELab - CNRS UMR 5269 - Université Grenoble Alpes
Bâtiment GreEn-ER - 21 avenue des Martyrs
CS 90624 - 38031 Grenoble Cedex 1 - France

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Any correction, suggestion or criticism will be welcomed with humility, emotion
and gratitude.
Thank you, thank you.
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Contents
Contents
Notations iv
Introduction 1
1 Resolution of linear systems 3
1.1 Some reminders . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.1.1 Immediate direct resolution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.2 Direct methods . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.2.1 Principles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.2.2 LU decomposition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.3 Iterative methods . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.3.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.3.2 Gauss Seidel’s method . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.3.3 Other methods . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2 Reminders on electrical circuits 13
2.1 The conventions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.2 Kirchhoff’s laws . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.3 Current-voltage relations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.4 Equivalence of sources in stationary sinusoidal mode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
3 Formulation of an electrical circuit in the frequency domain 17
3.1 Writing in matrix form . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
3.2 Incidence matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
3.2.1 Elements of graph theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
3.2.2 Concept of incidence matrix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
3.2.3 Node-branch incidence matrix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
3.2.4 Potential of nodes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
3.2.5 Mesh current . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
3.3 Operational research . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
3.3.1 Graph . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
3.3.2 Search for independent nodes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
3.3.3 Search for independent meshes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
3.4 Use of the Kirchhoff current law . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
3.4.1 The natural writing . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
3.4.2 A minimum of unknowns . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
3.5 Use of the Kirchhoff voltage law . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
3.5.1 The natural writing . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
3.5.2 A minimum of unknowns . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
3.6 Some remarks . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
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