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Université Kasdi Merbah Master I Algèbre et Géométrie
2020‐2021 GD (M. A. Bahayou)
Série de TD n(Variétés diérentielles)
Exercice 1 (La notion de diéomorphisme).
1. Trouver des diéomorphismes entre ,,,et .
2. Trouver des diéomorphismes entre ,et . (Utiliser les projections stéréo‐
graphiques et l’application ).
Exercice 2 (Lien entre diérentielle et dérivée).
Soit une matrice . On rappel que la série  
 est normalement convergente vers une
matrice inversible notée . Soit la fonction sur dénie par :
det 
1. Calculer la dérivée .
2. Déduire que : det tr .
3. Est‐ce qu’il existe une matrice telle que  
 ?
Exercice 3 (Inversion locale/globale).
Soit   . Montrer que l’application
dénit un diéomorphisme de sur lui même. (Utiliser le Théorème d’inversion globale).
Exercice 4 (Inversion locale/globale).
Montrer que dénit un diéomorphisme de   sur un ouvert , du plan,
que l’on précisera.
Exercice 5 (Fonctions implicites).
Montrer que la relation :     dénit au voisinage de
une fonction implicite . Donner un développement limité de à l’ordre en .
Exercice 6 (Diérentiabilité et atlas maximal).
Soit une variété de dimension et soit une carte en .
1. Pour tout ouvert contenu dans , montrer que est une carte compatible avec .
2. Si est la translation qui envoie vers dans alors est une carte centrée en compatible
avec .

3. On munie le cercle de l’atlas constitué des deux projections stéréographiques. Soit    ,
dénie par   . Montrer que est diérentiable en tout point. (Remarquer que
, pour ,).
Exercice 7 (Variété produit).
Soient et deux variétés diérentielles de dimension et respectivement.
1. Montrer que est une variété diérentielle de dimension .
2. Vérier que .
Exercice 8 (Critère de non‐homéomorphisme).
1. Montrer que si  est un homéomorphisme alors le nombre de composantes connexes de et
de est le même. (Si est la composante connexe de montrer que ).
2. Montrer que n’est pas homéomorphe à et que n’est pas homéomorphe à un intervalle de .
3. Que représente  ? Montrer que n’est pas une variété.
Exercice 9 (Variétés immergées).
Les applications suivantes sont‐elles des immersions? Sont‐elles injectives? Si oui, leur image est‐elle plongée?
Si oui donner en tout point l’équation du plan tangent à . Dans chaque cas, on représentera .
1. cos sin .
2. .
3. cos sin .
4. cos cos cos sin sin .
Exercice 10 (Variétés submergées).
Les applications suivantes sont‐elles des submersions? Peut‐on les restreindre à un voisinage de de telle
sorte que la restriction soit une submersion? Représenter .
1. .
2. .
3. .
Exercice 11.
Soit la surface paramétrée par ,,,.
1. vérier que est incluse dans la surface d’équation . Dessiner .
2. Donner en tout point l’équation du plan tangent à .
Exercice 12 (Tore T).

1. Donner la paramétrisation de la surface de révolution Tengendrée par le cercle de centre  
 et de rayon  tournant autour de l’axe .
2. Déduire l’équation caractéristique de . [Réponse : ].
3. Montrer que est une variété diéomorphe à .
4. Soit donnée par . Quels sont ses points critiques ?
5. Décrire les courbes de niveau de . Lesquelles sont des sous‐variétés de ?
Exercice 13 (Diérentielle de l’application déterminant).
Soit l’ensemble des matrices carrées à éléments réels. Soit
  det 
1. Montrer que tr com.
2. Montrer que l’ensemble des points critiques de est  rang.
Exercice 14.
Soit une submersion entre deux variétés diérentielles de même dimension.
1. Montrer que est ouverte.
2. On suppose désormais : compacte et est connexe. Montrer que est surjective.
3. Est‐ce que est nécessairement injective? Justier ou donner un contre‐exemple.
Exercice 15.
Soient O Idet SOO det .
1. Montrer que Oet SOsont des variétés compactes de dimension . (Remarquer que SOest un
ouvert, et un fermé, de O) .
2. Montrer que, pour tout SO,
SO
où 
3. Dire pourquoi sont des champs de vecteurs sur SOpour
exp  
4. Soit  SO  
où . Montrer que la diérentielle de en  est donnée par :

5. Montrer que est un point critique de , si et seulement si, est une matrice diagonale.
6. Pour quelles valeurs ,est une surface dans SO?
Exercice 16.
Soit sur le plan les trois champs de vecteurs : , ,.
1. Déterminer et dessiner leurs courbes intégrales.
2. Déterminer leurs intégrales premières.
3. Résoudre l’équation aux dérivées partielles :
ln 
Exercice 17. Soit sur le plan le champ de vecteurs :
1. Déterminer une intégrale première de (non constante). Pour cela, calculer 
 ,
pour une courbe intégrale de .
2. Déterminer et dessiner la variété stable du point singulier .
3. Résoudre l’équation aux dérivées partielles :
ln
Exercice 18. Soit  .
1. Montrer que est une variété diérentielle de dimension .
2. Déterminer l’espace tangent à la variété au point et vérier que   et  
sont des champs de vecteurs sur .
3. Déterminer les courbes intégrales de et de .
4. Vérier que et sont des intégrales premières de .
Trouver deux intégrales premières de .
5. Résoudre l’équation aux dérivées partielles suivante :
Exercice 19.
1. Résoudre dans l’équation diérentielle :  . Prendre   
et déterminer l’intervalle
maximal de dénition de , qui contient .

2. Déterminer les courbes intégrales, sur , du champ de vecteurs : .
3. Déterminer les variétés, stable et instable, et .
4. Déterminer une intégrale première de , non constante. (Prendre  
).
5. Résoudre l’équation aux dérivées partielles :
Exercice 20.
Soit  .
1. Montrer que est une variété diérentielle de dimension et la dessiner dans .
2. Est‐ce que est compacte? Est‐ce que est connexe?
3. Déterminer l’espace tangent .
4. Vérier que   et   sont des champs de vecteurs sur . Déterminer leurs
courbes intégrales, leurs ots et leurs intégrales premières.
5. Résoudre l’équation aux dérivées partielles :
6. Montrer que la fonction ,est de Morse.
7. Soit le champ moins‐gradient   . Quelle est la variété stable, la variété in‐
stable et l’indice du point critique ?
Exercice 21.
1. Quels sont les points singuliers et les valeurs singulières de l’application :
   Sym
2. Soit  
 avec . Montrer que est un cercle.
(Montrer que est compacte).