Les diagrammes de Bode – Applications au filtrage Les diagrammes de Bode sont les graphes représentant la réponse en fréquence d’un système. Ils sont au nombre de deux : • Un diagramme en gain, qui va permettre d’apprécier l’atténuation ou l’amplification en fonction de la fréquence du signal d’entrée • Un diagramme en phase qui va permettre d’apprécier le retard introduit par le système entre la tension de sortie et la tension d’entrée pour toutes les pulsations le constituant. I- Les échelles a) L’échelle des abscisses : L’électronique utilise des signaux dans une gamme de fréquences très vaste : • • • • • • de 1 Hz à 1000Hz on retrouve l’électronique associée aux commandes d’objets mécaniques (alimentés par le réseau EDF par exemple) de 20 Hz à 20 kHz on retrouve l’électronique pour l’audio de 100 kHz à 1 MHz, l’électronique pour les modulations AM de 10 à 500 MHz, l’électronique pour les modulations FM 700 MHz à 900 MHz, la bande de fréquence utilisée par les téléphones portables Vers 10 GHz à 12 GHz, la télévision par satellite Si on cherche à connaître la réponse d’un système pour toutes ces fréquences, on comprend alors qu’une échelle graduée linéairement ne peut donner satisfaction (manque de place…). On utilise alors une échelle logarithmique qui va permettre d’apprécier la réponse d’un système pour une gamme de fréquences importante sur un graphe de dimension raisonnable. 1 10 0 1 102 103 104 105 106 107 f(Hz) 2 3 4 5 6 7 Log(f) A noter qu’en générale on note sur les diagrammes de Bode la valeur des fréquences f et non pas la valeur de Log ( f ) . Cela permet de faire une lecture directe et de connaître le comportement du système pour des fréquences données. Donc dans un diagramme de Bode, l’échelle des abscisses est x a Log ( f ) Printed with FinePrint - purchase at www.fineprint.com PDF created with pdfFactory trial version www.pdffactory.com - A noter que l’on définit une octave comme le passage d’une fréquence f 0 à une fréquence 2 f0 - A noter que l’on définit une décade comme le passage d’une fréquence f 0 à une fréquence 10 f 0 b) L’échelle des ordonnées : De nombreux systèmes sont modélisables par un signal en entrée qui, après traitement, fournit un signal en sortie. Soit ve (t ), Pe (t ) , la tension et la puissance associées au signal d’entrée et v s (t ), Ps (t ) la tension et la puissance associées au signal de sortie. Système ∑ ve (t ), Pe (t ) v s (t ), Ps (t ) Comme on l’a vu, tout signal est décomposable en une somme de sinusoïdes. Le but du diagramme de Bode est de donner le devenir de chaque sinusoïdes (donc le devenir du signal total). Au final, on considère une pulsation quelconque du signal d’entrée et on utilise la notation complexe associée aux signaux d’entrée et de sortie. Système ∑ v e (t ), P e (t ) i) v s (t ), P s (t ) diagramme en gain : Le diagramme de Bode en Gain rend compte du devenir de l’amplitude de chacune des harmoniques. Un rapport intéressant est P s (t ) P e (t ) . Cependant ce rapport peut également évoluer entre des valeurs importantes (c’est le cas d’amplification) et des valeurs faibles (c’est le cas lors d’atténuation). Donc là encore on va utiliser une échelle logarithmique pour apprécier correctement toute l’action du système. On définit alors la fonction gain, notée G, d’un P s (t ) P e (t ) système par : G = 10Log Donc dans le cas d’un diagramme de Bode en gain, l’échelle des ordonnées P s (t ) P ( t ) e est : y a 10 Log Printed with FinePrint - purchase at www.fineprint.com PDF created with pdfFactory trial version www.pdffactory.com Dès lors, on comprend qu’il est utile de repérer la fréquence pour laquelle on perd la moitié de l’énergie injectée en entrée. Cette fréquence est la fréquence de coupure à -3dB Pe Si f c est la fréquence pour laquelle la puissance en sortie vaut 2 alors le gain est donné par: Pe G = 10 Log ( E = 10 Log ( 1 ) = −10 Log (2) = −3dB . Pe 2 Une atténuation de -3dB du signal d’entrée correspond à une perte de la moitié de l’énergie. La fréquence de coupure définit une bande de fréquences appelée bande passante dans laquelle les fréquences sont transmises « sans trop d’atténuation ». On utilise souvent une autre définition (équivalente) de la fonction Gain en utilisant la fonction de transfert T = v s (t ) v e (t ) : En effet, si on considère que les signaux d’entrée et de sortie arrivent sur une résistance R alors : 2 P e (t ) = 2 v e (t ) v (t ) et P s (t ) = s R R Donc la fonction gain peut s’écrire : v 2 (t ) s v s2 (t ) v (t ) P s (t ) R G = 10 Log = 10 Log 2 = 20 Log s = 10 Log 2 v s (t ) P e (t ) v e (t ) v e (t ) R La définition de la fonction de transfert étant T = gain comme G = 20Log ( T ) = 20 Log ( v s (t ) v e (t ) = 20 log T , on définit également la fonction v seff v sm ) = 20 Log ( ) v em v eeff Avec v s (t ) = v sm e j (ωt +ϕ s ) et v e (t ) = v em e j (ωt +ϕ s ) et v seff = v sm 2 et v eeff = v em 2 Donc dans le cas d’un diagramme de Bode en gain, l’échelle des ordonnées v s (t ) v (t ) e est : y a 20 Log - Si on obtient un gain d’équation : G ( f ) = 20 Log ( f ) + Cte alors : G ( f 0 ) = 20 Log ( f 0 ) + Cte G ( 2 f 0 ) = 20 Log (2 f 0 ) + Cte d ' où : G ( 2 f 0 ) − G ( f 0 ) = 20 Log ( 2 f 0 ) + Cte − 20 Log ( f 0 ) − Cte = 20 Log (2 f 0 ) − 20 Log ( f 0 ) 2f G ( 2 f 0 ) − G ( f 0 ) = 20 Log 0 f0 = 20 Log (2) = 6 dB Ce type de relation conduit à une variation de 6dB par octave Printed with FinePrint - purchase at www.fineprint.com PDF created with pdfFactory trial version www.pdffactory.com - Si on obtient un gain d’équation : G ( f ) = 20 Log ( f ) + Cte alors : G ( f 0 ) = 20 Log ( f 0 ) + Cte G (10 f 0 ) = 20Log (10 f 0 ) + Cte d ' où : G ( 2 f 0 ) − G ( f 0 ) = 20 Log (10 f 0 ) + Cte − 20 Log ( f 0 ) − Cte = 20 Log (10 f 0 ) − 20 Log ( f 0 ) 10 f 0 G ( 2 f 0 ) − G ( f 0 ) = 20 Log f0 = 20 Log (10) = 20 dB Ce type de relation conduit à une variation de 20dB par décade - Si on obtient un gain d’équation : G ( f ) = 40 Log ( f ) + Cte alors : G ( f 0 ) = 40 Log ( f 0 ) + Cte G ( 2 f 0 ) = 40 Log (2 f 0 ) + Cte d ' où : G ( 2 f 0 ) − G ( f 0 ) = 40 Log ( 2 f 0 ) + Cte − 40 Log ( f 0 ) − Cte = 40 Log ( 2 f 0 ) − 40 Log ( f 0 ) 2f G ( 2 f 0 ) − G ( f 0 ) = 40 Log 0 f0 = 40 Log (2) = 12dB Ce type de relation conduit à une variation de 12dB par octave - Si on obtient un gain d’équation : G ( f ) = 40 Log ( f ) + Cte alors : G ( f 0 ) = 40 Log ( f 0 ) + Cte G (10 f 0 ) = 40Log (2 f 0 ) + Cte d ' où : G ( 2 f 0 ) − G ( f 0 ) = 40 Log (10 f 0 ) + Cte − 40 Log ( f 0 ) − Cte = 40 Log (10 f 0 ) − 40 Log ( f 0 ) 10 f 0 G ( 2 f 0 ) − G ( f 0 ) = 40 Log f0 = 40 Log (10) = 40 dB Ce type de relation conduit à une variation de 40dB par décade ii) Diagramme en phase Le diagramme en phase va permettre d’apprécier le retard introduit par le système lors du traitement du signal d’entrée. Cette étude effectuée pour toutes les fréquences nous permet d’apprécier une déformation éventuelle du signal traité. Avec v s (t ) = v sm e j (ωt +ϕ s ) et v e (t ) = v em e j (ωt +ϕ s ) , Arg (T ) = Arg ( vs ve le déphasage est donné ) = (ωt + ϕ s ) − (ωt + ϕ e ) = ϕ s − ϕ e Donc dans les diagrammes de Bode en phase, l’échelle des ordonnées est : y a Arg (T ) Printed with FinePrint - purchase at www.fineprint.com PDF created with pdfFactory trial version www.pdffactory.com par: II- Tracés des diagrammes de Bode On essaye toujours d’écrire les fonctions de transfert en introduisant une ou des pulsations de jω ω0 référence afin de pouvoir les écrire avec des termes en (où ω est une pulsation quelconque de travail et ω 0 une pulsation de référence fixée par les composants du système). Ensuite on cherche à remplir le tableau suivant : ω << ω 0 T = ω >> ω 0 ω = ω0 vs ve G = 20 Log T Arg (T ) Les deux premières colonnes permettent de tracer le comportement asymptotique du système (c’est-à-dire « loin » de la pulsation ω 0 ), la troisième permet d’esquisser le diagramme réel (c’est-à-dire « au voisinage » de ω 0 ). Nous allons voir que les tracées des diagrammes de Bode se ramènent toujours à des fonctions de transfert simples. Il faut bien avoir à l’esprit que : x a Log (ω ) ou Log ( f ) y a 20 Log T ou Arg (T ) Les diagrammes de Bode se ramèneront donc souvent à des équations du type : G = aLog ( f ) + b ⇔ y = ax + b a) Cas simples : On se ramènera souvent aux fonctions de transfert simplifiées suivantes : T Arg (T ) G = 20 Log ( T ) La phase vaut π 2 Arg (T ) Le gain est donné par : G = 20 Log (ω ) − 20 Log (ω 0 ) jω ω0 G π ω ω0 pente : +20dB/decade ou +6dB /octave Printed with FinePrint - purchase at www.fineprint.com PDF created with pdfFactory trial version www.pdffactory.com 2 ω La phase vaut − π 2 Arg (T ) Le gain est donné par : G = 20 Log (ω 0 ) − 20 Log (ω ) G 1 jω ω0 ω ω ω0 −π 2 Pente de -20dB/decade ou -6dB par octave Le gain est donné par : La phase vaut π Arg (T ) G = 40 Log (ω ) − 40 Log (ω 0 ) G π jω ω 0 2 ω ω0 Pente de 40dB par décade ou 12 dB par octave Le gain est donné par : G = 40 Log (ω 0 ) − 40 Log (ω ) La phase vaut −π Arg (T ) G 1 jω ω 0 2 ω ω ω0 −π Pente de -40dB par décade ou -12 dB par octave Rq : Toutes les phases sont modulo 2π cependant en prenant l’habitude d’utiliser le tableau suivant (vu au chapitre 1) et les propriétés des nombres complexes : Arg ( z1 z2 ) = Arg ( z 1 ) − Arg ( z 2 ) on a >0 <0 =0 =0 1 facilitera le tracés des diagramme de Bode en phase. b =0 =0 <0 >0 1 Printed with FinePrint - purchase at www.fineprint.com PDF created with pdfFactory trial version www.pdffactory.com Arg(z) 0 π π /2 -π / 2 π /4 b) les filtres d’ordre 1 : Les filtres d’ordre 1 sont des filtres dont le rapport j ω ω0 est élevé à la puissance unité. La fonction de transfert des filtres d’ordre 1 s’écrit de manière générale sous la forme : T = T0 Nu ( jω ) De( jω ) Avec : • • Nu ( jω ) et De( jω ) sont des fonctions qui peuvent dépendre de la variable jω T0 est l’amplification statique c’est-à-dire la valeur de la fonction de transfert vue par la composante continue : T0 = T (0) Les filtres d’ordre 1 sont caractérisés par des cassures de ±20dB / décade ou ±6dB / octave dans les diagrammes de Bode en gain et des sauts de phase de ±π / 2 dans les diagrammes en phase. Voici quelques exemples de filtres d’ordre 1 : 1e cas : T = T0 (1 + j i) ω ) ω0 ω << ω 0 T = vs ve G = 20 Log T Arg (T ) T = T0 T = T0 G = 20 Log T0 ω >> ω 0 T = T0 ( j ω ) ω0 T = T0 ω ω0 ω G = 20Log T0 ω 0 T0 G = 20Log ω 0 0, si : T0 > 0 π , si : T0 < 0 − 20 Log (ω ) π 2 , si : T0 > 0 3π , si : T < 0 0 2 ω = ω0 T = T0 (1 + j ) T = T0 2 G = 20 Log T0 + 20 Log 2 G = 20 Log T0 + 3dB π 4 , si : T0 > 0 5π , si : T < 0 0 4 Voici les diagrammes de Bode réels (rouge et vert) et asymptotiques (noir) obtenus pour f0 = ω0 = 1Hz et T0 = 1 2π Printed with FinePrint - purchase at www.fineprint.com PDF created with pdfFactory trial version www.pdffactory.com 50 25 SE L>> 0 DB(V(V s)/V( Ve)) 100d 50d 0d 1.0 mHz P(V(Vs )/V(V e)) 10 mHz 100mHz 1 .0Hz 10Hz 100Hz Freq uency On retrouve une pente de +20dB par décade pour f >> f 0 c’est-à-dire : f >> 1Hz . En ce qui concerne la phase, on observe un saut de phase de + 2e cas : T = ii) T0 1+ j ω ω0 ω << ω 0 T = vs ve T = T0 ω >> ω 0 T= T = T0 T = G = 20 Log T Arg (T ) π 2 ω = ω0 T0 ω j ω0 T= T0 ω 0 T = ω T0 1+ j T0 2 G = 20 Log T0 20 Log ( T0 ω 0 ) − 20 Log ω G = 20Log T0 − 3dB 0, si : T0 > 0 π , si : T0 < 0 π − , si : T0 > 0 2 π , si : T < 0 0 2 π − , si : T0 > 0 4 3π , si : T < 0 0 4 Printed with FinePrint - purchase at www.fineprint.com PDF created with pdfFactory trial version www.pdffactory.com Voici les diagrammes de Bode réels (rouge et vert) et asymptotiques (noir) obtenus pour f0 = ω0 = 1Hz et T0 = 1 2π 0 -25 SEL>> -50 DB(V( Vs)/V( Ve)) 0d -50d - 100d 1.0m Hz P(V(Vs)/V(V e)) 10mH z 100m Hz 1.0H z 10Hz 100Hz Freq uency On retrouve une pente de -20dB par décade pour f >> f 0 c’est-à-dire : f >> 1Hz . En ce qui concerne la phase, on observe un saut de phase de − π 2 Ce comportement est celui d’un filtre passe bas d’ordre 1. ω ω0 T = T0 ω 1+ j ω0 j 3e cas : iii) ω << ω 0 T = T0 j T = vs ve G = 20 Log T Arg (T ) ω ω0 ω T = T0 ω0 G = 20 log T0 ω0 + 20 Logω π , si : T0 > 0 2 3 π , si : T < 0 0 2 ω >> ω 0 T = T0 T = T0 ω = ω0 T = T0 T = j 1+ j T0 2 G = 20 log T0 G = 20 log T0 − 3dB 0, si : T0 > 0 π , si : T0 < 0 π 4 , si : T0 > 0 5π , si : T < 0 0 4 Printed with FinePrint - purchase at www.fineprint.com PDF created with pdfFactory trial version www.pdffactory.com Voici les diagrammes de Bode réels (rouge et vert) et asymptotiques (noir) obtenus pour f0 = ω0 = 1Hz et T0 = 1 2π -0 -20 -40 SE L>> -60 DB(V(V s)/V( Ve)) 100d 50d 0d 1.0 mHz P(V(Vs )/V(V e)) 10 mHz 100mHz 1 .0Hz 10Hz 100Hz Freq uency On retrouve une pente de +20dB par décade pour f << f 0 c’est-à-dire : f << 1Hz . En ce qui concerne la phase, on observe un saut de phase de − π 2 Ce comportement est celui d’un filtre passe haut d’ordre 1. Remarque : Les filtres passe bas et passe haut d’ordre 1 font intervenir des fréquences de référence f0 = ω0 2π qui sont assimilables à des fréquences de coupure. La fonction gain est atténuée de -3dB par rapport à sa valeur maximum à cette fréquence f 0 = ω0 2π : G ( f 0 ) = 20 Log T0 − 3dB = G max − 3dB . A noter qu’à cette fréquence on peut écrire : T ( f 0 ) = T0 ce qui constitue une autre définition 2 de la fréquence de coupure Printed with FinePrint - purchase at www.fineprint.com PDF created with pdfFactory trial version www.pdffactory.com c) Les filtres d’ordre 2 : Les filtres d’ordre 2 sont des filtres dont le rapport j ω ω0 est élevé à la puissance deux. La fonction de transfert des filtres d’ordre 2 s’écrit de manière générale sous la forme : T = T0 Nu ( jω ) De( jω ) Avec : • • Nu ( jω ) et De( jω ) sont des fonctions qui peuvent dépendre de la variable jω T0 est l’amplification statique c’est-à-dire la valeur de la fonction de transfert vue par la composante continue : T0 = T (0) Les filtres d’ordre 2 de type passe bas et passe haut ont une pente de ±40dB / décade ou ±12dB / octave pour les courbes de gain. Ils présentent des sauts de phase de ±π sur les diagrammes de phase Les filtres d’ordre 2 s’écrivent souvent sous la forme : Nu ( jω ) T = T0 1 + 2mj Où : • • ω ω + j ω 0 ω 0 2 m est le facteur d’amortissement du système. C’est un paramètre sans unité qui caractérise la réponse du filtre. ω 0 est une pulsation de référence appelée pulsation propre. Cette pulsation n’est pas analogue à la pulsation de coupure à -3dB. (Elle s’identifie à la fréquence de coupure uniquement si m = 1 ) 2 Voici quelques exemples de filtres d’ordre 2 : i) 1e cas : T = T0 1 ω ω 1 + 2mj + j ω 0 ω 0 ω << ω 0 T = vs ve T = T0 2 ω >> ω 0 T = T0 T = T0 Arg (T ) G = 20 log T0 0, si : T0 > 0 π , si : T0 < 0 1 ω j ω 0 2 ω2 ( T = T0 T = T0 ω 02 T = G = 20Log T ω = ω0 ) G = 20 log T0 ω 02 − 40Log ω − π , si : T0 > 0 0, si : T0 < 0 Printed with FinePrint - purchase at www.fineprint.com PDF created with pdfFactory trial version www.pdffactory.com 1 2mj T0 2m G = 20 Log T0 2m − π / 2, si : T0 > 0 π / 2, si : T0 < 0 Voici les diagrammes de Bode réels (rouge m = 0,7, vert m = 0,01, bleu m = 10) et asymptotiques (noir) obtenus pour f 0 = ω0 = 1Hz et T0 = 1 2π 50 0 -50 -100 D B(V(Vs)/V(Ve )) 0d - 100d SEL>> - 200d 1.0m Hz 10mH z P (V(Vs) /V(Ve)) 100m Hz 1.0H z 10Hz 100Hz Freq uency On retrouve une pente de -40dB par décade pour f >> f 0 c’est-à-dire : f >> 1Hz . En ce qui concerne la phase, on observe un saut de phase de −π . On observe également un phénomène de résonance pour un facteur d’amortissement m< 1 ⇒ m < 0,7 2 Ce comportement est celui d’un filtre passe bas d’ordre 2. 2mj 2e cas : T = T0 ii) ω ω0 ω ω 1 + 2mj + j ω 0 ω 0 ω << ω 0 T = T0 2mj T = vs ve G = 20 Log T Arg (T ) ω ω0 T = T0 2 m 2m T0 G = 20 log ω 0 2 ω ω0 + 20 log(ω ) π / 2, si : T0 > 0 3π / 2, si : T0 < 0 ω >> ω 0 2mj T = T0 ω ω0 ω j ω 0 T0 2 m T = ω ω0 2 ω = ω0 = T 0 2m ω j ω0 T = T0 1 j T = T0 G = 20 log(2 m T0 ω 0 ) − 20 log ω G = 20 log T0 − π / 2, si : T0 > 0 π / 2, si : T0 < 0 0, si : T0 > 0 π , si : T0 < 0 Printed with FinePrint - purchase at www.fineprint.com PDF created with pdfFactory trial version www.pdffactory.com Voici les diagrammes de Bode réels (rouge m = 0,7, vert m = 0,01, bleu m = 10) et asymptotiques (noir) obtenus pour f 0 = ω0 = 1Hz et T0 = 1 2π 40 0 - 50 S EL>> -1 00 D B( V( Vs)/V( Ve )) 10 0d 0d - 100d 1.0m Hz 10 mH z P (V (Vs) /V (V e)) 100m Hz 1. 0H z 1 0Hz 10 0H z F re quen cy On retrouve une pente de +20dB par décade pour f << f 0 et une pente de -20dB par décade pour f >> f 0 . En ce qui concerne la phase, on observe un saut de phase de π . Ce comportement est celui d’un filtre passe bande d’ordre 2. La valeur de la fonction gain en f 0 ne dépend que de T0 . En revanche, les courbes asymptotiques se rejoignent en f 0 à la valeur : G ( f 0 ) = 20Log (2m T0 ) ce qui explique la dépendance des courbes asymptotiques en gain avec le coefficient d’amortissement m . A noter que si m > 1 / 2 alors les courbes asymptotiques se rejoignent à une valeur supérieure à la valeur réelle 20Log T0 Enfin, un filtre passe bande est caractérisé par son facteur de qualité Q définit par le rapport : Q = f 1 = 0 2 m ∆f où ∆f est la bande passante à -3dB du filtre. On voit alors que la sélectivité du filtre (appelée également acuité) augmente avec les valeurs de Q . Printed with FinePrint - purchase at www.fineprint.com PDF created with pdfFactory trial version www.pdffactory.com 3e cas : T = T0 iii) ω j ω 0 1 + 2mj 2 ω ω + j ω 0 ω 0 2 ω << ω 0 T = vs ve G = 20 Log T ω T = T0 j ω0 2 ω T = T0 ω0 2 T0 G = 20 log 2 ω 0 Arg (T ) ω >> ω 0 ω = ω0 T= T = T0 T = T0 + 40 log(ω ) π , si : T0 > 0 2π , si : T0 < 0 T = −T0 2mj T0 2m T0 G = 20 log T0 G = 20 log 0, si : T0 > 0 π , si : T0 < 0 π 2 , si : T0 > 0 3π , si : T < 0 0 2 2m Voici les diagrammes de Bode réels (rouge m = 0,7, vert m = 0,01, bleu m = 10) et asymptotiques (noir) obtenus pour f 0 = ω0 = 1Hz et T0 = 1 2π 100 0 -100 -200 DB(V(Vs)/V(Ve)) 180d 90d SE L>> 0d 1.0 mHz 10 mHz P(V(Vs) /V(Ve )) 100mHz 1 .0Hz 10Hz Freq uency On retrouve une pente de +40dB par décade pour f << f 0 c’est-à-dire : f >> 1Hz . En ce qui concerne la phase, on observe un saut de phase de −π . Printed with FinePrint - purchase at www.fineprint.com PDF created with pdfFactory trial version www.pdffactory.com 100Hz On observe également un phénomène de résonance pour un facteur d’amortissement 1 m< 2 ⇒ m < 0,7 Ce comportement est celui d’un filtre passe haut d’ordre 2. Remarque sur la fréquence de coupure : La fréquence f 0 n’est pas identifiable à la fréquence de coupure de manière générale. On peut la définir comme la fréquence pour laquelle les asymptotes se rencontrent. En revanche si le facteur d’amortissement vaut 1 2 alors la fréquence propre f 0 est assimilable à la fréquence de coupure dans les cas des filtres passe bas et passe haut III- Les filtres d’ordre supérieur A l’aide des notions présentées précédemment, on peut synthétiser des filtres d’ordre supérieur à 1. Le principe consiste à voir toutes les fonctions de transfert comme des produits de fonction de transfert d’ordre 1. T1 ve v e1 T2 v e2 T3 v e3 On a alors : v e3 ve = v e3 v e 2 v e1 v e 2 v e1 v e = T 1T 2 T 3 Attention : Les fonctions de transfert T 1 , T 2 et T 3 sont les fonctions de transfert déterminées lorsque l’on prend les filtres seuls à condition que l’étage d’entrée du filtre suivant soit d’impédance plus importante que l’étage de sortie de l’étage précédent. C’est la condition d’adaptation d’impédance. Dans ces conditions on a : Multiplier les fonction de transfert revient à : - Additionner (ou soustraire) les diagrammes de Bode. Dans notre exemple : G = 20Log (T ) = 20 Log (T 1 T 2 T 3 ) = 20Log (T 1 ) + 20Log (T 2 ) + 20Log (T 3 ) = G1 + G 2 + G3 -Additionner (ou soustraire les arguments). Dans notre exemple : Arg (T ) = Arg (T 1 T 2 T 3 ) = Arg (T 1 ) + Arg (T 2 ) + Arg (T 3 ) Printed with FinePrint - purchase at www.fineprint.com PDF created with pdfFactory trial version www.pdffactory.com IV- Structure associée à un filtre On peut également à partir d’un diagramme de Bode déterminer la structure à A.O réalisant le filtre. Il suffit de connaître des structures de base : Fonction de transfert Diagramme de Bode Le gain est donné par : Structure (à une inversion près) G = 20 Log (ω ) − 20 Log (ω 0 ) R 4 G C TL081/301/TI 5 N2 V- 2 - OUT ω ω0 0 3 V+ jω ω0 + N1 6 1 7 U1 pente : +20dB/decade ou +6dB /octave ω0 = 1 RC Le gain est donné par : G = 20 Log (ω 0 ) − 20 Log (ω ) C 1 jω ω0 4 G R TL081/301/TI 5 N2 V- 2 - 0 + N1 6 1 U1 7 ω ω0 V+ OUT 3 ω0 = Pente de -20dB/decade ou -6dB par octave 1 RC Le gain est donné par : G = 20 Log (T0 ) R2 4 G 2 T0 = Cte - TL081/301/TI 5 N2 V- R1 ω 0 3 + V+ OUT N1 7 U1 T0 = − R 2 Printed with FinePrint - purchase at www.fineprint.com PDF created with pdfFactory trial version www.pdffactory.com R1 6 1 Le gain est donné par : G C2 ω1 R1 OUT R2 R1 ω0 = 1 R2C 2 ω1 = 1 R1C 2 - 0 3 V+ T0 = − TL081/301/TI 5 N2 V- 2 ω 1+ j ω0 + R2 R1 2 ω0 ω1 ω R T0 = − 2 R1 ω0 = 1 R 2 C1 ω1 = 1 R1C1 Printed with FinePrint - purchase at www.fineprint.com PDF created with pdfFactory trial version www.pdffactory.com - TL081/301/TI 5 N2 V- C1 OUT 0 3 + V+ G 4 ω ω0 T0 ω 1+ j ω0 1 U1 Le gain est donné par : j N1 6 7 ω U1 7 ω0 T0 4 R2 N1 6 1
