Cours de Logique : Introduction au Raisonnement

Cours de logique
Roland Christophe
8 septembre 2008

Table des mati`eres
1 Qu’est ce que la logique ? 2
1.1 D´efinition ............................. 2
1.2 Le concept de th´eorie en math´ematique . . . . . . . . . . . . 2
1.2.1 Les d´efinitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.2.2 Lesaxiomes........................ 2
1.2.3 Les th´eor`emes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.3 Brefhistorique .......................... 4
2 Le langage formel 5
2.1 Introduction............................ 5
2.2 Langage formel et langage naturel . . . . . . . . . . . . . . . 5
2.3 D´efinition ............................. 5
3 Introduction au calcul des propositions 6
3.1 Introduction............................ 6
3.2 Connecteurs logiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
3.2.1 Le connecteur «Non »(n´egation) . . . . . . . . . . . . 7
3.2.2 Le connecteur «ou »(disjonction) . . . . . . . . . . . 7
3.2.3 Le connecteur «et »(conjonction) . . . . . . . . . . . 8
3.2.4 Le connecteur «si... alors »(conditionnel mat´eriel) . . 8
3.2.5 Le connecteur «est ´equivalent `a »........... 8
3.2.6 D’autres connecteurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
3.3 Langage de la logique propositionnelle . . . . . . . . . . . . . 9
4 Tautologies 10
4.1 D´efinition ............................. 10
4.2 Tautologies remarquables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
5 Calcul des pr´edicats 12
5.1 Lespr´edicats ........................... 12
5.2 Quantificateurs existenciels et universels . . . . . . . . . . . . 13
5.2.1 Le quantificateur existenciel . . . . . . . . . . . . . . . 13
5.2.2 Le quantificateur universel . . . . . . . . . . . . . . . . 13
5.3 Alphabet et syntaxe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
5.4 ´ Egalit´e............................... 15
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1 Qu’est ce que la logique ?
1.1 D´efinition
La logique vient du grecque «logos »qui signifie «parole, discours », et
par extension «rationalit´e », la logique est donc la science de la raison. Plus
pr´ecis´ement, c’est la sciences qui ´etudie les r`egles que doivent respecter tout
raisonnement valide, qui permet de distinguer un raisonnement valide d’un
raisonnement qui ne l’est pas.
1.2 Le concept de th´eorie en math´ematique
Un premier concept important en logique est le concept de th´eorie. Une
th´eorie est un ensemble de d´efinitions, d’axiomes (on vera un peu plus tard
ce concept), de th´eor`emes,... qui traite d’un sujet particulier.
1.2.1 Les d´efinitions
Un ´el´ement important d’une th´eorie sont les d´efinitions. Formellement,
une d´efinition est un ´enonc´e qui introduit un nouveau symbole appel´e terme
a partir d’une suite de symboles d´ej`a connus, appell´e assemblage. On vera
en effet plus loin que nous utiliserons un langage symbolique. Toutefois, on
ne peut utiliser exclusivement les symboles pour des raisons pratiques : une
d´efinition utilisant les symboles logiques exclusivement est tr`es «lourde »`a
lire, on utilise alors le langage courant. Toutefois, pour ne pas perdre toute
la rigueur de ces d´efinitions, on utilise souvent les deux sortes de d´efinition
(par le langage courant et par le langage math´ematique).
1.2.2 Les axiomes
Ce qui forme la base d’une th´eorie (le point de d´epart), sont les axiomes.
Ce sont simplement des affirmations que l’on tient pour vrai. Il est d’ailleurs
inutile de contester la v´eracit´e d’un axiome : un axiome est toujours vrai,
par d´efinition. L’ensemble des axiomes d’une th´eorie s’appelle axiomatique.
La seule contrainte est que les axiomes ne doivent pas se contredire (ce qui
est logique mais c’est important). Aucun axiome ne peut ˆetre remis en cause
dans la th´eorie, sans quoi on dira que cette th´eorie est inconsistante.
Les philosophes grecques avait une d´efinition quelque peu diff´erente de
l’axiome : un axiome est une v´erit´e que l’on ne d´emontre pas car ´evidente
en soi. Cette mani`ere de voir les choses pose probl`eme : comment quelque
chose peut il ˆetre «´evident »? Pourquoi cet axiome est vrai ? N’aurait il pas
pu ˆetre faux ?
La c´el`ebre histoire du cinqui`eme axiome d’Euclide r´epond `a cette ques-
tion. Rappelons tout d’abord de quoi il s’agit.
Euclide a ´enonc´e cinq axiomes comme base de la g´eom´etrie :
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1. par deux points, il passe une et une seul droite,
2. un segment de droite peut ˆetre prolong´e ind´efiniment en une droite,
3. ´etant donn´e deux points quelconques Aet B, un cercle peut ˆetre trac´e
en prenant Acomme centre et passant par B,
4. tous les angles droits sont ´egaux entre eux,
5. par un point ext´erieur `a une droite, on peut mener une et une seule
parall`ele `a cette droite.
C’est le cinqui`eme axiome qui finit par poser probl`eme. Sans vouloir
le remettre en cause, les math´ematiciens pensaient qu’il ´etait inutile car il
pouvait se d´emontrer `a partir des autres. Cependant, toutes les tentatives
pour d´emontrer cet axiome ont ´echou´e. Les math´ematiciens ont eu alors une
id´ee : ils ont tent´es de voir ce qui ce passait si on r´efutait cet axiome, c’est
`a dire que l’on le consid`ere comme faux. Ils esp´eraient ainsi aboutir `a une
contradiction ce qui aurait du mˆeme coup montr´e la validit´e de l’axiome
(qui n’en serait plus vraiment un puisque d´emontr´e). Sans succ`es.
Plusieurs math´ematiciens ont commenc´e `a entrevoir la solution comme
Gauss et Lobachevsky. Celui ci s’amusa `a remplacer le cinqui`eme axiome par
ceci : par un point ext´erieur `a une droite, on peut mener deux parall`eles `a
cette droite. Il d´eveloppe `a partir de ¸ca toute une g´eom´etrie coh´erente mais
tout `a fait diff´erente de celle d’Euclide. C’est un exemple de g´eom´etrie non-
euclidienne. Il exite diff´erentes sortes de g´eom´etrie non-euclidienne, l’id´ee de
Lobachevsky conduit `a une g´eom´etrie hyperbolique.
Voici un exemple de repr´esentation tir´e de wikipedia :
On voit bien sur cette image que l’espace sur lequel on travaille n’est pas
plat : c’est pourquoi la g´eom´etrie n’est pas euclidienne.
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L’interˆet de tout ce qui a ´et´e dit ici est que le concept antique d’axiome
n’est pas le bon. Il semblait «´evident »que le cinqui`eme d’axiome d’Euclide
est vrai alors que l’on peut tr`es bien dire qu’il soit faux et avoir toutefois une
g´eom´etrie coh´erente. La plus belle preuve est qu’Einstein a montr´e que les
g´eom´etrie non-euclidienne ont un sens physique puisque l’espace dans lequel
nous vivons est courb´e dans un champ de gravitation : si vous dessiner un
triangle et que vous ˆetes capable de mesurer ses angles avec une pr´ecision
extraordinaire (ce qui est en pratique malheureusement impossible), vous ve-
rez que la somme des angles ne vaut pas exactement 180 degr´es, la diff´erence
sera infime mais r´eelle.
La morale de l’histoire : il n’existe aucune v´erit´e ´evidente par elle mˆeme
en math´ematique, un axiome n’est pas vrai parce qu’il est vrai mais vrai
parce que l’on a d´ecid´e qu’il soit vrai.
1.2.3 Les th´eor`emes
Maintenant, `a partir de ces axiomes, on peut en tirer des th´eor`emes. Un
th´eor`eme est une assertion vraie qui est d´emontr´e `a partir des axiomes (ou
`a partir d’autres th´eor`emes eux mˆeme d´emontr´e par des axiomes mais cela
revient au mˆeme). Un th´eor`eme n´ecessite donc une d´emontration. En plus
de la notion de th´eor`eme, on a les notion suivante (moins souvent utilis´ees) :
1. lemme : un lemme est une assertion que l’on d´emontre qui sert `a la
d´emonstration d’un th´eor`eme plus important (ou parfois on utilise ce
terme pour parler d’un th´eor`eme d’une moindre importance),
2. conjecture : proposition math´ematique que l’on suppose vrai mais sans
avoir ´et´e d´emontr´e (donc pas forc´ement vrai, mais quand mˆeme avec
une forte probabilit´e), une conjecture d´emontr´e devient un th´eor`eme,
3. corollaire : un corollaire est une cons´equence imm´ediate d’un th´eor`eme
d´emontr´e.
1.3 Bref historique
Les philosophes de la Gr`ece Antique ont pos´es les fondements de la lo-
gique. En particuliers, Aristote expose les bases de la logique dans son ou-
vrage «Organon ». La logique d’Aristote va ˆetre enseign´es pendant tr`es
longtemps, elle pr´edomine jusqu’au Moyen ` Ages au moins, et ce n’est que
tr`es r´ecemment qu’est apparu la logique moderne.
C’est Frege qui a pos´e les bases de la logique moderne. La diff´erence
essentielle par rapport `a la logique d’Aristote est que Frege a une approche
math´ematique de la logique, alors que la logique d’Aristote est teint´ee de
Philosophie. Il va ainsi d´evelopper la logique des propositions et la logique
des pr´edicats que nous verront plus loin.
Alors qu’Aristote se servait du langage courant pour faire des raison-
nements logiques, Frege se sert d’un langage symbolique : l’id´eographie.
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