République Algérienne Démocratique et Populaire
Ministère de L’Enseignement Supérieur et de la Recherche Scientifique
Université de Saida Dr. Moulay Tahar
Faculté de la technologie
Polycopié de Cours
Physique 1
1èr année Tronc Commun
Dr. BENHALIMA NADIA
2020-2020
Chapitre I
Rappels mathématiques
Dr Benhalima Nadia
وزدني علما، وانفعني بما علمتني،اللهم علمني ما ينفعني
I.1.1.Système international d’unités
Les définitions des unités légales reposent sur le système international (S I).
Le système international comporte sept unités de base correspondant à une grandeur
physique et à une dimension.
Deux unités peuvent également être considérées comme unités de base : pour l'angle
plan : le radian (rad) et pour l'angle solide : le stéradian (sr)
Grandeur fondamentale
Longueur
Masse
Temps
Température
Intensité du courant
Quantité de matière
Intensité lumineuse
Grandeur physique
Nom
Symbole
Temps
t
Dimension
L
M
T
θ
I
N
J
Unité
mètre
kilogramme
seconde
kelvin
ampère
mole
candela
Unité légale (S.I.)
Nom
Symbole
seconde
s
Longueur
l
mètre
m
Superficie
Volume
Vitesse
Angle
S
V
v
α, β, ...
mètre carré
mètre cube
mètre par seconde
radian
m2
m3
m/s
rad
stéradian
mole
sr
mol
joule par mole.
kelvin
J/mol. K
mètre par seconde
carrée
mètre par seconde
carrée
m/s2
kilogramme
kg
Angle solide
Quantité de
matière
Constante
molaire des
gaz
Accélération
Accélération
due à la
pesanteur
Masse
n
R
a
g
m
Symbole
(m)
(kg)
(s)
(K)
(A)
(mol)
(cd)
Autres unités admises
Nom (symbole)
minute (min) : 1 min = 60s
heure (h) : 1 h = 3600s
jour (j) : 1 j = 86400s
angström (Å): 1 Å = 10−10 m
mille marin (M): 1 M = 1852 m
are (a) : 1a = 100m²
litre (l) : 1l = 10-3 m3
kilomètre par heure (km/h) :
degré (°) : 360° = 2π rad
grade (gr) : 400 gr = 2π rad
tour (tr) : 1 tr = 2π rad
minute (') : 1° = 60'
seconde ('') : 1° = 3600"
m/s²
tonne (t) : 1t = 1000 kg
2
Chapitre I
Rappels mathématiques
Masse
volumique
ρ
kilogramme par
mètre cube
kg/m3
Force
Travail,
énergie
F
E
newton
joule
N
J
Puissance
Pression
P
watt
pascal
W
Pa
Dr Benhalima Nadia
dyne (dyn): 1 dyn = 10−5N
watt.heure (Wh): 1 Wh = 3600 J
électron volt (eV):1 eV = 1,602
× 10−19 J
erg (erg): 1 erg = 10−7 J
bar (bar):1 bar = 105 Pa
millimètre de mercure (mmHg):
1 mmHg = 133,3 Pa
I.1.2.Équations aux dimensions
En mécanique et en électricité les grandeurs fondamentales sont : Longueur (L), Masse (M),
Temps (T), Intensité du courant (I), Température (θ).
On appelle équation aux dimensions, toute équation écrite en remplaçant, dans la formule,
chaque grandeur fondamentale par sa dimension. Les équations aux dimensions obéissent aux
règles suivantes :
on n’additionne que les termes ayant la même dimension
la dimension d’un produit de grandeurs est égale au produit des grandeurs
la dimension de 𝑮𝒏 est la dimension de G à la puissance n
les termes 𝒆𝒙 , 𝒍𝒐𝒈𝒙 , 𝐬𝐢𝐧 𝒙 , 𝐜𝐨𝐬 𝒙 , 𝐭𝐚𝐧 𝒙 et 𝐜𝐨𝐭 𝒙 sont sans dimension
Cette équation permet :
De déterminer l’unité composée d’une grandeur en fonction des grandeurs
fondamentales
De tester si une formule est homogène
De faire des conversions d’unités
Prenons un exemple : comme chacun sait, Einstein à trouvé que 𝑬 = 𝒎𝒄𝟐 Voyons si cette
équation est homogène ( ce qui ne prouve pas sa justesse) mais est indispensable.
[𝒎𝒄𝟐 ] = [𝒎]. [𝒄]𝟐 = 𝑴 𝑳𝟐 𝑻−𝟐 ce qui est bien la grandeur de l’énergie que nous venions de
calculer. Donc l’équation 𝑬 = 𝒎𝒄𝟐 est homogène. Si elle ne l’était pas, elle serait à coup
sûr fausse. Mais attention l’homogénéité ne prouve pas qu’elle soit juste. En effet 𝑬 =
3
Chapitre I
Rappels mathématiques
Dr Benhalima Nadia
𝒎𝒄𝟑 ou 𝑬 = 𝒎𝟐 𝒄𝟓 qui ne sont pas homogènes sont fausses, mais 𝑬 = 𝟑𝒎𝒄 𝟐 est homogène
bien que fausse.
En conclusion la vérification de l’homogénéité d’une équation évite les erreurs
grossières.
I.1.3.Ecriture d’une équation aux dimensions
Soit G une grandeur physique. Sa dimension est notée [G]. Par exemple, si G est une
longueur on écrira : [G] = L.
Pour une vitesse :[𝒗] = 𝑳. 𝑻−𝟏
Accélération de la pesanteur : [𝒈] = 𝑳. 𝑻−𝟐
Dimension d’une force :[𝑭] = 𝑴. 𝑳. 𝑻−𝟐
Dimension d’une énergie :[𝑬] = 𝑴. 𝑳𝟐 . 𝑻−𝟐
Pression :[𝑷] = 𝑴. 𝑳−𝟏 . 𝑻−𝟐
Toute grandeur dérivée G est relié aux grandeurs fondamentales par une équation aux
dimensions sous la forme :
[𝑮] = 𝑳𝜶 𝑴𝜷 𝑻𝜸 𝑰𝜹 𝜽𝜺 𝑵𝝀 𝑱𝝁
Toutes les grandeurs mécaniques ont une équation aux dimensions sous la forme :
I.1.4.Exercices
[𝑮] = 𝑳𝜶 𝑴𝜷 𝑻𝜸
Exercice 1
Établir les équations aux dimensions en fonction des grandeurs masse, longueur, temps, etc. :
1/ Surface(𝑺), volume(𝑽), fréquence(𝝂), vitesse(𝒗), accélération(𝒂), force(𝑭), pression(𝑷),
énergie mécanique(𝑾), énergie cinétique(𝑬𝑪 ) et énergie potentiel(𝑬𝑷 ), constante de
𝟑
Boltzmann 𝒌𝑩 qui apparaît dans 𝑬𝑪 = 𝟐 𝒌𝑩 𝑻où T : température absolue.
2/de la constante de gravitation universelle G qui apparaît dans 𝑭 = 𝑮
R(m).
𝒎𝑴
𝑹𝟐
oùm, M en (kg) et
3/ des deux paramètres α et β qui apparaissent dans la loi : 𝑭 = 𝜶 𝒎 𝒗 + 𝜷 𝒗𝟐 où F est une
force qui s’exprime en (N), m en (kg), v en (m/s).
4
Chapitre I
Rappels mathématiques
Dr Benhalima Nadia
Exercice 1 – Solution
Surface
𝟐
{𝑺 = 𝒍 . 𝒍 = 𝟐𝒍 → [𝑺] = [𝒍]𝟐 = 𝑳𝟐
𝐔𝐧𝐢𝐭é ∶ 𝐦
Volume
𝟑
{𝑽 = 𝑺 𝒍 = 𝟑𝒍 → [𝑽] = [𝒍]𝟑 = 𝑳𝟑
𝐔𝐧𝐢𝐭é ∶ 𝐦
Fréquence
𝟏
[𝟏] 𝟏
[𝝂]
{
→
=
= = 𝑻−𝟏
𝒕
[𝒕] 𝑻
𝐔𝐧𝐢𝐭é ∶ 𝐇𝐭𝐳
𝝂=
Vitesse
𝒅𝒙
𝒅𝒕 → [𝒗] = [𝒅𝒙] = 𝑳 = 𝑳𝑻−𝟏
{
𝐦
[𝒅𝒕] 𝑻
𝐔𝐧𝐢𝐭é ∶
𝐬
𝒗=
Accélération
{
𝒂 =
Force
𝒅 𝒅𝒙 𝒅𝒗
𝒅𝟐 𝒙
=
=
[𝒅𝒗] 𝑳𝑻−𝟏
𝟐
𝒅𝒕
𝒅𝒕 𝒅𝒕 𝒅𝒕 → [𝒂] =
=
= 𝑳𝑻−𝟏 𝑻−𝟏 = 𝑳𝑻−𝟐
𝐦
[𝒅𝒕]
𝑻
𝐔𝐧𝐢𝐭é ∶ 𝟐
𝐬
{
Pression
𝑭=𝒎𝒈
→ [𝑭] = [𝒎][𝒈] = 𝑴𝑳𝑻−𝟐
𝐔𝐧𝐢𝐭é ∶ 𝐍𝐞𝐰𝐭𝐨𝐧 (𝐍)
𝑭
[𝑭] 𝑴𝑳𝑻−𝟐
→ [𝑷] =
=
= 𝑴𝑳𝑻−𝟐 𝑳−𝟐 = 𝑴𝑳−𝟏 𝑻−𝟐
{
𝑺
𝟐
[𝑺]
𝑳
𝐔𝐧𝐢𝐭é ∶ 𝐏𝐚𝐬𝐜𝐚𝐥 (𝐏𝐚)
𝑷=
Energie mécanique (Travail)
{
𝑾 = 𝑭𝒍
→ [𝑾] = [𝑭][𝒍] = 𝑴𝑳𝑻−𝟐 𝑳 = 𝑴𝑳𝟐 𝑻−𝟐
𝐔𝐧𝐢𝐭é: 𝐉𝐨𝐮𝐥𝐞 (𝐉)
Energie cinétique
𝟏
𝟏
𝒎𝒗𝟐
{
→ [𝑬𝒄] = [ ] [𝒎][𝒗]𝟐 = 𝑴(𝑳𝑻−𝟏 )𝟐 = 𝑴𝑳𝟐 𝑻−𝟐
𝟐
𝟐
𝐔𝐧𝐢𝐭é: 𝐉𝐨𝐮𝐥𝐞 (𝐉)
𝑬𝒄 =
Energie potentiel
5
Chapitre I
Rappels mathématiques
{
Dr Benhalima Nadia
𝑬𝑷 = 𝒎𝒈𝒉
→ [𝑬𝑷 ] = [𝒎][𝒈][𝒉] = 𝑴𝑳𝑻−𝟐 𝑳 = 𝑴𝑳𝟐 𝑻−𝟐
𝐔𝐧𝐢𝐭é: 𝐉𝐨𝐮𝐥𝐞 (𝐉)
Constante de Boltzmann
𝑬𝒄 =
[𝑬𝒄]
𝑬𝒄
𝑴𝑳𝟐 𝑻−𝟐
𝟑
𝒌𝑩 𝑻 → 𝒌𝑩 =
→ [𝒌𝑩 ] =
=
= 𝑴𝑳𝟐 𝑻−𝟐 𝜽−𝟏
𝟑
𝟑
𝜽
𝟐
[𝟐] [𝑻]
𝟐𝑻
2/ constante de gravitation universelle
𝑭=𝑮
[𝑭][𝒓]𝟐 𝑴𝑳𝑻−𝟐 𝑳𝟐
𝒎𝑴
𝑭 𝒓𝟐
[𝑮]
→
𝑮
=
→
=
=
= 𝑴−𝟏 𝑳𝟑 𝑻−𝟐
[𝒎][𝑴]
𝒓𝟐
𝒎𝑴
𝑴𝟐
3/ paramètres α et β
𝑭 = 𝜶 𝒎 𝒗 + 𝜷 𝒗𝟐
[𝑭]
𝑭
𝑴𝑳𝑻−𝟐
𝜶=
→ [𝜶] =
=
= 𝑻−𝟏
[𝒎][𝒗] 𝑴𝑳𝑻−𝟏
𝒎𝒗
𝟐
𝑭= 𝜶𝒎𝒗 + 𝜷𝒗 →
[𝑭]
𝑴𝑳𝑻−𝟐
𝑭
=
= 𝑴𝑳−𝟏
𝜷 = 𝟐 → [𝜷] =
𝟐
−𝟏 )𝟐
[𝒗]
(𝑳𝑻
𝒗
{
Exercice 2
On admet que la vitesse de propagation des ondes sonores dans un gaz est de la forme
suivante 𝒗 = 𝒌𝑷𝒙 𝝆𝒚 (𝒌 est une constantes sans dimensions, 𝑷 est une pression et 𝝆 est la
masse volumique du gaz)
a) écrire l'équation de dimension de 𝑷 et donner son unité dans le SI
b) Montrer que 𝑷 est aussi une énergie par unité de volume
c) déterminer les exposantes x et y.
Exercice 2 – Solution
a) 𝑷 =
b)
𝑭
𝑺
𝑭
→ [𝑷] = [𝑺] → [𝑷] = [
𝒎𝒈
𝑺
]
𝒍
[𝒎] [ 𝟐 ] [𝒎] [𝒍]
[𝒎][𝒈]
𝑴𝑳
𝒕
[𝑷] =
→ [𝑷] =
=
=
= 𝑴𝑳−𝟏 𝑻−𝟐
[𝑺]
[𝑺] [𝒕𝟐 ] 𝑳𝟐 𝑻𝟐
[𝑺]
[𝑷] = 𝑴𝑳−𝟏 𝑻−𝟐 → 𝒖𝒏𝒊𝒕é 𝒅𝒆 𝑷 ∶ (𝒌𝒈. 𝒎−𝟏 . 𝒔−𝟐 )
𝟏
𝟏
[𝟐] [𝒎][𝒈][𝒉]
𝒎𝒈𝒉
𝑬
𝑬
𝟐
𝑷 = → [𝑷] = [ ] → [𝑷] = [
] → [𝑷] =
[𝑽]
𝑽
𝑽
𝑽
6
Chapitre I
Rappels mathématiques
[𝑷] =
c)
Dr Benhalima Nadia
𝟏 𝑴𝑳𝑻−𝟐 𝑳
= 𝑴𝑳−𝟏 𝑻−𝟐
𝑳𝟑
[𝒗] = [𝒌][𝑷]𝒙 [𝝆]𝒚
𝑭𝒙 𝒎𝒚
[𝒗] = [𝒌] [ ] [ ]
𝑺
𝑽
𝒎 𝒍 𝒙 𝒎𝒚
𝒎𝒈 𝒙 𝒎 𝒚
[𝒗] = [𝒌] [
] [ ] → [𝒗] = [𝒌] [
] [ ]
𝑽
𝑺 𝒕𝟐
𝑽
𝑺
𝒙 𝒙
𝒚
𝑴 𝑳 𝑴
[𝒗] = 𝟏 𝟐𝒙 𝟐𝒙 𝟑𝒚 → 𝑴𝒙 𝑳𝒙 𝑳−𝟐𝒙 𝑻−𝟐𝒙 𝑴𝒚 𝑳−𝒚
𝑳 𝑻 𝑳
𝒍
[𝒗] = 𝑴𝒙+𝒚 𝑳−(𝒙+𝟑𝒚) 𝑻−𝟐𝒙 → [ ] = 𝑴𝒙+𝒚 𝑳−(𝒙+𝟑𝒚) 𝑻−𝟐𝒙
𝒕
𝑳
= 𝑴𝒙+𝒚 𝑳−(𝒙+𝟑𝒚) 𝑻−𝟐𝒙
𝑻
𝑳𝑻−𝟏 = 𝑴𝒙+𝒚 𝑳−(𝒙+𝟑𝒚) 𝑻−𝟐𝒙
𝑳 = 𝑳−(𝒙+𝟑𝒚)
{ 𝑴𝟎 = 𝑴𝒙+𝒚
𝑻−𝟏 = 𝑻−𝟐𝒙
𝟏
𝟏
𝟏 = − − 𝟑 (− )
𝟐
𝟐
𝟏 = −𝒙 − 𝟑𝒚
𝟏
→
𝟎= 𝒙+𝒚 →
𝒚 = −𝒙 = −
𝟐
−𝟏 = −𝟐𝒙
𝟏
𝒙=
{
{
𝟐
𝟏
𝟏
𝒗 = 𝒌𝑷𝟐 𝝆−𝟐 → 𝒗 = 𝒌√
I.2.Calcul d’erreurs
𝑷
𝝆
I.2.1.Définitions
Erreur absolue ∆𝑮 : L’erreur absolue commise sur une grandeur physique G est la différence
entre la valeur mesurée 𝑮𝒎 et la valeur exacte 𝑮𝒆 : ∆𝑮 = |𝑮𝒎 − 𝑮𝒆 |
Dans la pratique, lorsque la valeur exacte 𝑮𝒆 est inaccessible, nous effectuons la moyenne
d’une série 𝑮𝒊 : 𝑮𝒆 = 𝑮𝒎𝒐𝒚 =
Calcul de l’erreur composé
∑𝒏
𝒊 𝑮𝒊
𝒏
On parle d’erreurs composées quand il s’agit d’une grandeur G dépendant d’autres grandeurs
x, y, z c’est-à-dire 𝑮 = 𝒇(𝒙, 𝒚, 𝒛). L’erreur commis sur cette grandeur, ∆G, peut être exprimé
en fonction des erreurs absolue ∆𝒙, ∆𝒚 , ∆𝒛 en appliquant une des méthodes suivantes :
I.2.2.Méthode de différentielle totale
Afin de calculer l’erreur ∆𝑮 :
7
Chapitre I
Rappels mathématiques
Dr Benhalima Nadia
Nous prenons la différentielle totale de G
𝝏𝒇
𝝏𝒇
𝝏𝒇
𝒅𝑮 = | | 𝒅𝒙 + | | 𝒅𝒚 + | | 𝒅𝒛
𝝏𝒙
𝝏𝒚
𝝏𝒛
Nous remplaçons les différentielles 𝑑𝑥, 𝑑𝑦, 𝑑𝑧 par les erreurs absolues ∆𝒙, ∆𝒚, ∆𝒛 et
nous prenons les valeurs absolues des dérivées partielles
Exemple :
𝝏𝒇
𝝏𝒇
𝝏𝒇
∆𝑮 = | | ∆𝒙 + | | ∆𝒚 + | | ∆𝒛
𝝏𝒙
𝝏𝒚
𝝏𝒛
𝟏
𝒎𝒗𝟐
𝟐
𝝏𝑬
𝝏𝑬
𝒅𝑬 = |
| 𝒅𝒎 + | | 𝒅𝒗
𝝏𝒎
𝝏𝒗
𝟏
𝒅𝑬 = 𝒗𝟐 𝒅𝒎 + 𝒎𝒗𝒅𝒗
𝟐
𝟏
∆𝑬 = 𝒗𝟐 ∆𝒎 + 𝒎𝒗∆𝒗
𝟐
𝟏 𝟐
∆𝑬 𝟐 𝒗 ∆𝒎 𝒎𝒗∆𝒗
=
+
𝑬
𝑬
𝑬
𝟏 𝟐
∆𝑬 𝟐 𝒗 ∆𝒎 𝒎𝒗∆𝒗
=
+
𝟏
𝟏
𝑬
𝒎𝒗𝟐
𝒎𝒗𝟐
𝟐
𝟐
∆𝒗
∆𝑬 ∆𝒎
=
+𝟐
𝒎
𝒗
𝑬
𝑬=
I.2.3.Méthode logarithmique
Dans certains cas, multiplication ou division, nous pouvons appliquer la méthode
logarithmique qui consiste à :
prendre le logarithme de la grandeur G, puis sa différentielle
de prendre la valeur absolue des expressions obtenues
et de remplacer les différentielles par les erreurs absolues.
𝟏
𝒎𝒗𝟐
𝟐
𝟏
𝒍𝒏𝑬 = 𝒍𝒏 ( 𝒎𝒗𝟐 )
𝟐
𝟏
𝒍𝒏𝑬 = 𝒍𝒏 + 𝒍𝒏𝒎 + 𝒍𝒏𝒗𝟐
𝟐
𝟏
𝒍𝒏𝑬 = 𝒍𝒏 + 𝒍𝒏𝒎 + 𝟐𝒍𝒏𝒗
𝟐
𝑬=
8
Chapitre I
Rappels mathématiques
Dr Benhalima Nadia
𝒅𝑬
𝒅𝒎
𝒅𝒗
=𝟎+
+𝟐
𝑬
𝒎
𝒗
∆𝑬 ∆𝒎
∆𝒗
=
+𝟐
𝑬
𝒎
𝒗
Incertitude absolue 𝜹𝑮 : l’incertitude absolue 𝜹𝑮 est la limite supérieure de l’erreur absolue
𝜹𝑮 = 𝒎𝒂𝒙 (∆𝑮)
∆𝑮
Erreur relative : 𝑮
𝒆
Incertitude relative :
I.2.4.Exercices
𝜹𝑮
𝑮𝒎
Exercice 1
Un objet placé à une distance p d’une lentille, voit son image formée à une distance q de
celle-ci. La distance focale de la lentille est alors donner par la relation :
𝒑. 𝒒
𝒇=
𝒑+𝒒
Déterminer l’incertitude absolue de la distance focale (∆𝒇)en fonction de p, q, ∆𝒑 et ∆𝒒 par
deux méthodes (la méthode de la différentielle totale et la méthode du logarithme)
Exercice 1 – Solution
Méthode du logarithme
𝒑. 𝒒
𝒑+𝒒
𝒑. 𝒒
𝐥𝐧 𝒇 = 𝐥𝐧 (
)
𝒑+𝒒
𝒇=
𝐥𝐧 𝒇 = 𝐥𝐧 (𝒑. 𝒒) − 𝐥𝐧(𝒑 + 𝒒)
𝐥𝐧 𝒇 = 𝐥𝐧 𝒑 + 𝐥𝐧 𝒒 − 𝐥𝐧(𝒑 + 𝒒)
𝐝 𝒇 𝐝 𝒑 𝐝 𝒒 𝒅(𝒑 + 𝒒)
=
+
−
𝒑
𝒒
𝒑+𝒒
𝒇
𝐝𝒇 𝐝𝒑 𝐝𝒒
𝒅𝒑
𝒅𝒒
=
+
−
−
𝒇
𝒑
𝒒
𝒑+𝒒 𝒑+𝒒
𝟏
𝟏
𝟏
𝟏
𝐝𝒇
=( −
)𝐝𝒑 +( −
)𝐝𝒒
𝒇
𝒑 𝒑+𝒒
𝒒 𝒑+𝒒
𝐝𝒇
𝒑+𝒒−𝒑
𝒑+𝒒−𝒒
=(
)𝐝𝒑 +(
)𝐝𝒒
𝒇
𝒑(𝒑 + 𝒒)
𝒒(𝒑 + 𝒒)
𝐝𝒇
𝒒
𝐝𝒑
𝒑
𝐝𝒒
=(
)
+(
)
(𝒑 + 𝒒) 𝒑
(𝒑 + 𝒒) 𝒒
𝒇
9
Chapitre I
Rappels mathématiques
Dr Benhalima Nadia
∆𝒇
𝒒
∆𝒑
𝒑
∆𝒒
=(
)
+(
)
(𝒑 + 𝒒) 𝒑
(𝒑 + 𝒒) 𝒒
𝒇
∆𝒇 = 𝒇(
𝒒
∆𝒑
𝒑
∆𝒒
)
+(
)
(𝒑 + 𝒒) 𝒑
(𝒑 + 𝒒) 𝒒
Méthode de la différentielle totale
𝒑. 𝒒
𝒇=
𝒑+𝒒
𝝏𝒇
𝝏𝒇
𝒅𝒑 +
𝒅𝒒
𝝏𝒑
𝝏𝒒
𝒑. 𝒒
𝒑. 𝒒
𝝏 (𝒑 + 𝒒)
𝝏 (𝒑 + 𝒒)
𝒅𝒇 =
𝒅𝒑 +
𝒅𝒒
𝝏𝒑
𝝏𝒒
𝒅𝒇 =
𝒒(𝒑 + 𝒒) − (𝒑. 𝒒)
𝒑(𝒑 + 𝒒) − (𝒑. 𝒒)
𝒅𝒇 = [
]
𝒅𝒑
+
[
] 𝒅𝒒
(𝒑 + 𝒒)𝟐
(𝒑 + 𝒒)𝟐
𝒅𝒇 = [
𝒒. 𝒑 + 𝒒𝟐 − 𝒑. 𝒒
𝒑𝟐 + 𝒑. 𝒒 − 𝒑. 𝒒
]
𝒅𝒑
+
[
] 𝒅𝒒
(𝒑 + 𝒒)𝟐
(𝒑 + 𝒒)𝟐
𝒑𝟐
𝒒𝟐
]
𝒅𝒑
+
[
] 𝒅𝒒
𝒅𝒇 = [
(𝒑 + 𝒒)𝟐
(𝒑 + 𝒒)𝟐
𝒒𝟐
𝒑𝟐
]
[
]
𝒅𝒇
(𝒑 + 𝒒)𝟐
(𝒑 + 𝒒)𝟐
=
𝒅𝒑 +
𝒅𝒒
𝒇
𝒇
𝒇
[
𝒒𝟐
𝒑𝟐
]
[
]
𝟐
𝒅𝒇
(𝒑 + 𝒒)
(𝒑 + 𝒒)𝟐
=
𝒅𝒑
+
𝒅𝒒
𝒑. 𝒒
𝒑. 𝒒
𝒇
(𝒑 + 𝒒)
(𝒑 + 𝒒)
[
(𝒑 + 𝒒)
(𝒑 + 𝒒)
𝒒𝟐
𝒑𝟐
𝒅𝒇
=[
]
[
]
𝒅𝒑
+
[
]
[
] 𝒅𝒒
(𝒑 + 𝒒)𝟐
(𝒑 + 𝒒)𝟐
𝒇
𝒑. 𝒒
𝒑. 𝒒
𝒅𝒇
𝒒
𝒅𝒑
𝒑
𝒅𝒒
=[
]
+[
]
(𝒑 + 𝒒) 𝒑
(𝒑 + 𝒒) 𝒒
𝒇
∆𝒇
𝒒
∆𝒑
𝒑
∆𝒒
=[
]
+[
]
(𝒑 + 𝒒) 𝒑
(𝒑 + 𝒒) 𝒒
𝒇
Exercice 2
∆𝒇 = 𝒇 [
𝒒
∆𝒑
𝒑
∆𝒒
]
+[
]
(𝒑 + 𝒒) 𝒑
(𝒑 + 𝒒) 𝒒
La constante de torsion C d'un fil métallique de section circulaire s'exprime, en fonction de sa
longueur L et de son diamètre D, par la relation : 𝑪 = 𝜸
𝑫𝟒
𝑳
Où𝛾est le module de torsion caractéristique de la nature de fil.
10
Chapitre I
Rappels mathématiques
Dr Benhalima Nadia
Donner l'incertitude ∆𝑪 en utilisant
a) la méthode de la différentielle totale
b) la méthode logarithmique
Exercice 2 – Solution
a) Méthode de différentielle totale
𝑫𝟒
𝑳
𝝏𝑪
𝝏𝑪
𝝏𝑪
𝒅𝜸 +
𝒅𝑫 +
𝒅𝑳
𝒅𝑪 =
𝝏𝒅
𝝏𝑳
𝝏𝜸
𝑪=𝜸
𝒅𝑪 =
𝑫𝟒
𝑫𝟒
𝑫𝟒
)
𝝏 (𝜸 )
𝝏 (𝜸 )
𝑳
𝑳
𝑳
𝒅𝜸 +
𝒅𝑫 +
𝒅𝑳
𝝏𝜸
𝝏𝒅
𝝏𝑳
𝝏 (𝜸
𝒅𝑪 =
𝑫𝟒
𝑫𝟑
𝑫𝟒
𝒅𝜸 + 𝟒𝜸
𝒅𝑫 − 𝜸 𝟐 𝒅𝑳
𝑳
𝑳
𝑳
𝒅𝑪 𝑫𝟒 𝟏
𝑫𝟑 𝟏
𝑫𝟒 𝟏
=
𝒅𝜸 + 𝟒𝜸
𝒅𝑫 − 𝜸 𝟐 𝒅𝑳
𝑪
𝑳 𝑪
𝑳 𝑪
𝑳 𝑪
𝒅𝑪 𝑫𝟒 𝟏
𝑫𝟑 𝟏
𝑫𝟒 𝟏
=
𝒅𝜸
+
𝟒𝜸
𝒅𝑫
−
𝜸
𝒅𝑳
𝑪
𝑳 𝑫𝟒
𝑳 𝑫𝟒
𝑳𝟐 𝑫𝟒
𝜸 𝑳
𝜸 𝑳
𝜸 𝑳
𝑫𝟑 𝑳
𝑫𝟒 𝑳
𝒅𝑪 𝑫𝟒 𝑳
=
𝒅𝜸
+
𝟒𝜸
𝒅𝑫
−
𝜸
𝒅𝑳
𝑪
𝑳 𝜸𝑫𝟒
𝑳 𝜸𝑫𝟒
𝑳𝟐 𝜸𝑫𝟒
𝒅𝑫 𝒅𝑳
𝒅𝑪 𝒅𝜸
=
+𝟒
−
𝜸
𝑫
𝑳
𝑪
∆𝑫 ∆𝑳
∆𝑪 ∆𝜸
=
+𝟒
−
𝑪
𝜸
𝑫
𝑳
∆𝑪 ∆𝜸
∆𝑫
∆𝑳
=
+𝟒
+ |− |
𝑪
𝜸
𝑫
𝑳
b) Méthode logarithmique
∆𝑪 ∆𝜸
∆𝑫 ∆𝑳
=
+𝟒
+
𝑪
𝜸
𝑫
𝑳
𝑫𝟒
𝑫𝟒
𝑪=𝜸
→ 𝐥𝐧 𝑪 = 𝐥𝐧 𝜸
𝑳
𝑳
𝑫𝟒
𝑫𝟒
𝐥𝐧 𝑪 = 𝐥𝐧 𝜸
→ 𝐥𝐧 𝑪 = 𝐥𝐧 𝜸 + 𝐥𝐧
𝑳
𝑳
𝐥𝐧 𝑪 = 𝐥𝐧 𝜸 + 𝐥𝐧 𝑫𝟒 − 𝐥𝐧 𝑳
𝐥𝐧 𝑪 = 𝐥𝐧 𝜸 + 𝟒𝐥𝐧 𝑫 − 𝐥𝐧 𝑳
𝐝𝑪
𝐝𝜸
𝐝𝑫 𝒅𝑳
=
+𝟒
−
𝑪
𝜸
𝐃
𝑳
11
Chapitre I
Rappels mathématiques
Dr Benhalima Nadia
∆𝑪
∆𝜸
∆𝑫 ∆𝑳
=
+𝟒
−
𝑪
𝜸
𝐃
𝑳
∆ 𝑪 ∆𝜸
∆𝑫
∆𝑳
=
+𝟒
+ |− |
𝑪
𝜸
𝐃
𝑳
I.3. vecteurs
∆ 𝑪 ∆𝜸
∆𝑫 ∆𝑳
=
+𝟒
+
𝑪
𝜸
𝐃
𝑳
Les grandeurs physiques peuvent être de nature scalaire ou vectorielle.
I.3.1.Grandeur scalaire
Une grandeur scalaire est toujours exprimée par une valeur numérique suivie de l’unité
correspondante.
Exemple : le volume, la masse, la température, la charge électrique, l’énergie…
I.3.2.Grandeur vectorielle
On appelle grandeur vectorielle toute grandeur qui nécessite un sens, une direction, un point
d’application en plus de sa valeur numérique appelée intensité ou module.
Exemple : le déplacement, la vitesse, la force, le champ électrique…
Un vecteur est ainsi caractériser par:
A : Son point d’application, c’est l’origine du vecteur.
⃗ = |𝑨𝑩
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ | Le module du vecteur.
𝑽
(D) : La direction du vecteur.
Le sens du vecteur est indiqué par la flèche pointant de l’origine (point A) vers
l’extrémité (point B).
Vecteur unitaire
Un vecteur unitaire est un vecteur dont le module est égal à 1.
Propriétés
Un vecteur est dit « vecteur libre » s’il est défini par sa direction son sens et sa
longueur sans fixer son point d’application.
Un vecteur est nommé "vecteur glissant" si l'on impose sa droite support sans fixer son
point d’application.
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ est appelé "vecteur lié" si l'on fixe son origine A.
Un vecteur 𝑨𝑩
12
Chapitre I
Rappels mathématiques
Dr Benhalima Nadia
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ d'originesdifférentes sont:
Deux vecteurs liés ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝑨𝑩 et 𝑪𝑫
égaux s'ils ont la même intensité (longueur), la même direction et le même sens
opposés s'ils ont même direction, même module mais des sens opposés ; ils
sont dits "directement opposés" s'ils ont même support
Le vecteur qui a une longueur de 0 est appelé vecteur nul et est noté ⃗𝟎 (Le vecteur nul
n'a évidemment pas de direction, donc pas de sens.).
I.3.3.Opérations sur les vecteurs
Addition de vecteurs
⃗ + ⃗𝒘
La somme 𝒗
⃗⃗ de deux vecteurs est définie comme suit : on met les deux vecteurs bout à
⃗ coïncide avec le point initial de ⃗𝒘
⃗ =
bout de sorte que le point terminal de 𝒗
⃗⃗ . Le vecteur 𝒖
⃗ +𝒘
𝒗
⃗⃗⃗ relie le point initial de ⃗𝒗 au point terminal de ⃗𝒘
⃗⃗ .
L'addition de vecteurs est commutative. Cela signifie que, si
⃗ +𝒘
⃗
vecteurs, alors 𝒗
⃗⃗⃗ = 𝒘
⃗⃗⃗ + 𝒗
⃗𝒗 et
⃗⃗⃗ sont des
𝒘
⃗ et 𝒘
L'addition de vecteurs est aussi associative. Cela veut dire que, si ⃗𝒖 , 𝒗
⃗⃗⃗ sont des
⃗ +𝒗
⃗ )+𝒘
⃗ + (𝒗
⃗ +𝒘
⃗⃗⃗ = 𝒖
⃗⃗⃗ )
vecteurs, alors (𝒖
⃗
L'addition a un élément neutre : le vecteur nul. En effet : ⃗𝒗 + ⃗𝟎 = 𝒗
⃗ est un vecteur, alors −𝒗
⃗ est le vecteur ayant la même direction et la
Enfin, si 𝒗
⃗
⃗ + (−𝒗
⃗)=𝟎
même intensité que 𝑣 , mais de sens opposé. Donc 𝒗
⃗ −𝒘
⃗ + (−𝒘
La différence 𝒗
⃗⃗⃗ de deux vecteurs est définie comme ⃗𝒗 − 𝒘
⃗⃗⃗ = 𝒗
⃗⃗⃗ )
13
Chapitre I
Rappels mathématiques
Dr Benhalima Nadia
Multiplication par un scalaire
⃗ un vecteur, alors le produit 𝝀𝑽
⃗⃗ est défini comme suit :
Si λ est un scalaire et 𝑽
⃗ est le vecteur dont l'intensité a λ fois l'intensité de V et
Si λ > 0, alors le produit 𝝀𝑽
⃗ .
dont le sens est le même que ⃗𝑽
⃗ est le vecteur dont l'intensité a λ fois l'intensité de V et
Si λ < 0, alors le produit 𝝀𝑽
dont le sens est l'opposé de celui de ⃗𝑽 .
⃗ , alors le produit 𝝀𝑽
⃗ =𝟎
⃗⃗ est le vecteur nul.
Si λ = 0 ou si 𝑽
Exemple récapitulatif
I.3.4.Composantes d’un vecteur
Ce système est utilisé pour repérer un point dans un plan. Il est composé de deux axes
orthogonaux du plan, 𝑶𝒙 et 𝑶𝒚, munis des vecteurs unitaires 𝒊 et 𝒋 orientés positivement
14
Chapitre I
Rappels mathématiques
Dr Benhalima Nadia
La position d’un point M du plan est caractérisée par le vecteur ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝑶𝑴. Soient 𝑴𝒙 et 𝑴𝒚 les
projections de M sur les axes 𝑶𝒙 et 𝑶𝒚, respectivement. Remarquons que, par construction :
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝑶𝑴
𝑶𝑴𝒙 + ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝑶𝑴𝒚
𝒙𝒊
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝑶𝑴 = {
𝒚𝒋
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝒙𝒊 + 𝒚𝒋
𝑶𝑴
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝑶𝑴 𝐜𝐨𝐬 𝜽 𝒊 + 𝑶𝑴 𝐬𝐢𝐧 𝜽 𝒋
𝑶𝑴
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝑶𝑴(𝐜𝐨𝐬 𝜽 𝒊 + 𝐬𝐢𝐧 𝜽 𝒋)
𝑶𝑴
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝑶𝑴𝒖
⃗
𝑶𝑴
⃗ = 𝐜𝐨𝐬 𝜽 𝒊 + 𝐬𝐢𝐧 𝜽 𝒋
𝒖
Les grandeurs algébriques x et y sont les coordonnées cartésiennes du point M dans
le système
(𝑶 , 𝒙 , 𝒚) ;
Les vecteurs unitaires 𝒊 et 𝒋 forment une base orthonormée (leur module est égal à 1
et ils sont perpendiculaires entre eux).
En n dimensions, les vecteurs ont n composantes
Supposons qu'un vecteur
terminal 𝑷𝟐 (𝒙𝟐 , 𝒚𝟐 ). On a alors :
⃗
𝒗
a pour point initial 𝑷𝟏 (𝒙𝟏 , 𝒚𝟏 ) et comme point
𝒙𝟐 − 𝒙𝟏
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
⃗𝒗 = 𝑷
)
𝟏 𝑷𝟐 = (𝒙𝟐 − 𝒙𝟏 )𝒊 + (𝒚𝟐 − 𝒚𝟏 )𝒋 = (
𝒚𝟐 − 𝒚𝟏
I.3.5.Egalité de deux vecteurs
⃗⃗ = 𝑨𝒙 𝒊 + 𝑨𝒚 𝒋 + 𝑨𝒛 ⃗𝒌 et ⃗𝑩
⃗ = 𝑩𝒙 𝒊 + 𝑩𝒚 𝒋 + 𝑩𝒛 ⃗𝒌 sont
Deux vecteurs 𝑨
égaux
si
leurs
composantes sont égales une à une ; c.à.d. 𝑨𝒙 = 𝑩𝒙 ,𝑨𝒚 = 𝑩𝒚 et 𝑨𝒛 =𝑩𝒛
15
Chapitre I
Rappels mathématiques
Dr Benhalima Nadia
I.3.6.produit scalaire
⃗⃗ = 𝑨𝒙 𝒊 + 𝑨𝒚 𝒋 + 𝑨𝒛 ⃗𝒌 et ⃗𝑩
⃗ = 𝑩𝒙 𝒊 + 𝑩𝒚 𝒋 + 𝑩𝒛 ⃗𝒌 faisant un angle θ entre
Soit deux vecteurs 𝑨
eux 0 ≤ θ ≤ π
⃗ est le scalaire défini par :
Le produit scalaire des deux vecteurs𝐴et𝐵
⃗⃗ . 𝑩
⃗⃗ = ‖𝑨
⃗⃗ ‖‖𝑩
⃗⃗ ‖ 𝐜𝐨𝐬 𝜽
𝑨
Leproduitscalairepeutêtreaussiexpriméentermesdescomposantesdesvecteurs:
⃗⃗ . ⃗𝑩
⃗ = 𝑨𝒙 𝑩𝒙 + 𝑨𝒚 𝑩𝒚 + 𝑨𝒛 𝑩𝒛
𝑨
Propriétés
En comparant les deux expressions du produit scalaire, on peut obtenir une expression
de l’angle en fonction des coordonnées des deux vecteurs :
𝐜𝐨𝐬 𝜽 =
𝑨𝒙 𝑩𝒙 + 𝑨𝒚 𝑩𝒚 + 𝑨𝒛 𝑩𝒛
⃗ ‖‖𝑩
⃗⃗ ‖
‖𝑨
⃗⃗ = 𝟎 ⟹ ⃗𝑨
⃗ ⊥ ⃗𝑩
⃗
Le produit scalaire de deux vecteurs orthogonaux est nul : ⃗𝑨. 𝑩
le produit scalaire permet de définir le module d’u vecteur𝐴:
⃗ ‖ = √⃗𝑨
⃗ .𝑨
⃗⃗ = √⃗𝑨
⃗ 𝟐 = √𝑨𝒙 𝟐 + 𝑨𝒚 𝟐 + 𝑨𝒛 𝟐
‖𝑨
I.3.7.Produit vectoriel
⃗⃗ et ⃗𝑩
⃗ deux vecteurs quelconques. Le produit vectoriel des deux vecteurs
Soient 𝑨
⃗𝑨 et 𝑩
⃗⃗ est le vecteur noté ⃗𝚷
⃗ =𝑨
⃗⃗ ∧ 𝑩
⃗⃗ tel que :
⃗ est orthogonal à 𝑨
⃗ et orthogonal à ⃗𝑩
⃗ .
le vecteur ⃗𝚷
⃗⃗ , ⃗𝑩
⃗ , ⃗𝚷
⃗ ) est direct
le trièdre (𝑨
⃗⃗ ‖ = ‖𝑨
⃗⃗ ‖‖𝑩
⃗⃗ ‖ 𝐬𝐢𝐧(𝑨
⃗ , ⃗𝑩
⃗)
‖𝚷
Propriétés du produit vectoriel
Le produit vectoriel de deux vecteurs est nul si et seulement si les deux vecteurs ont la
même direction (𝜽 = 𝟎) ou l’un des vecteurs est nul.
⃗⃗ ∧ ⃗𝑩
⃗ = −𝑩
⃗⃗ ∧ 𝑨
⃗
Le produit vectoriel est anticommutatif (antisymétrique):𝑨
16
Chapitre I
Rappels mathématiques
Dr Benhalima Nadia
Le tableau suivant résume les propriétés du produit vectoriel. Les formules du produit scalaire
sont aussi rajoutées par comparaison.
Produit scalaire
Produit vectoriel
⃗
𝐴. 𝐵
⃗
𝐴∧𝐵
Vecteur
⃗ = ‖𝐴‖‖𝐵
⃗ ‖ cos(𝐴, 𝐵
⃗)
𝐴. 𝐵
⃗ ‖ = ‖𝐴‖‖𝐵
⃗ ‖ sin(𝐴, 𝐵
⃗)
‖𝐴 ∧ 𝐵
⃗ + 𝐶 ) = 𝐴. 𝐵
⃗ + 𝐴. 𝐶
𝐴. (𝐵
⃗ + 𝐶) = 𝐴 ∧ 𝐵
⃗ +𝐴∧𝐶
𝐴 ∧ (𝐵
⃗ ∧ 𝐶 ) ≠ (𝐴 ∧ 𝐵
⃗)∧𝐶
Mais 𝐴 ∧ (𝐵
Notation
Nature de la grandeur
valeur
commutativité
distributivité
Vecteur avec lui-même
Nombre (scalaire) positif ou négatif
⃗ =𝐵
⃗ .𝐴
𝐴. 𝐵
𝐴. 𝐴 = ‖𝐴‖
2
⃗ = −𝐵
⃗ ∧𝐴
𝐴∧𝐵
𝐴 ∧ 𝐴 = ⃗0
𝐴 ∧ 𝐴 = ⃗0t seulement si les 2 vecteurs sont
colinéaires ou bien un des vecteurs est nul
Valeur en coordonnées
cartésiennes
⃗ = 0 si et seulement si les 2
𝐴. 𝐵
vecteurs sont orthogonaux ou bien
un des vecteurs est nul.
⃗ sont colinéaires alors
𝐴et 𝐵
⃗ | = ‖𝐴‖‖𝐵
⃗‖
|𝐴. 𝐵
⃗ = (𝐵𝑥 , 𝐵𝑦 , 𝐵𝑧 )
Si 𝐴 = ( 𝐴𝑥 , 𝐴𝑦 , 𝐴𝑧 )et 𝐵
⃗ =𝐴𝑥 𝐵𝑥 +𝐴𝑦 𝐵𝑦 +𝐴𝑧 𝐵𝑧
,alors𝐴. 𝐵
⃗ = (𝐵𝑥 , 𝐵𝑦 , 𝐵𝑧 ) , alors
Si 𝐴 = ( 𝐴𝑥 , 𝐴𝑦 , 𝐴𝑧 )et 𝐵
⃗ = A y Bz − A z By , A z Bx − A x B z , A x By − A y Bx
𝐴∧𝐵
Définition géométrique
Le produit scalaire représente la
projection d'un vecteur sur une
direction définie par un des vecteurs
La norme du produit vectoriel représente l'aire du
⃗
parallélogramme porté par les deux vecteurs 𝐴 et 𝐵
Cas du produit nul
Valeur maximale du
produit
⃗ sont orthogonaux alors
𝐴et 𝐵
⃗ | = ‖𝐴‖‖𝐵
⃗‖
|𝐴 ∧ 𝐵
⃗ 𝟏 , ⃗𝒖𝟐 , 𝒖
⃗ 𝟑 ) est une base orthonormée directe, alors ⃗𝒖𝟑 = 𝒖
⃗ 𝟏∧𝒖
⃗ 𝟐 , ⃗𝒖𝟐 = 𝒖
⃗ 𝟑∧𝒖
⃗𝟏,
Enfin, si (𝒖
⃗ 𝟏=𝒖
⃗ 𝟐∧𝒖
⃗ 𝟑 . A la place des indices 1, 2 et 3, on peut mettre x, y, z (pour les coordonnées
𝒖
cartésiennes) ; r, θ, z (pour les coordonnées cylindriques) ; r, θ, ϕ (pour les coordonnées
sphériques) ou encore t, n, z (coordonnées intrinsèques). Ces formules simples sont très utiles
pour déterminer un des vecteurs de base connaissant les deux autres...
On utilisera la figure ci-dessous pour mémoriser le produit vectoriel.
I.3.8.Dérivée d’un vecteur
17
Chapitre I
Rappels mathématiques
Dr Benhalima Nadia
⃗ La dérivée du vecteur ⃗𝑽
⃗⃗ (𝒕) = 𝑽𝒙 (𝒕)𝒊 + 𝑽𝒚 (𝒕)𝒋 + 𝑽𝒛 (𝒕)𝒌
⃗ (𝒕) dans la base
Soit un vecteur 𝑽
⃗ ) dont les composantes sont les dérivées des composantes du vecteur ⃗𝑽
⃗ (𝒕):
fixe ( 𝒊, 𝒋, 𝒌
⃗ (𝒕) 𝒅𝑽𝒙 (𝒕)
𝒅𝑽𝒚 (𝒕)
𝒅𝑽
𝒅𝑽𝒛 (𝒕)
⃗𝒌
=
𝒊+
𝒋+
𝒅𝒕
𝒅𝒕
𝒅𝒕
𝒅𝒕
Ilestimportantdenoterquedanscecaslesvecteursdelabasesontconsidérésfixe;c.à.d.
Propriétés
Linéarité :
⃗ 𝟏 +𝜷𝑽
⃗ 𝟐)
𝒅(𝜶𝑽
𝒅𝒕
=𝜶
⃗𝟏
𝒅𝑽
𝒅𝒕
Dérivée d’un produit scalaire:
⃗
𝒅𝒊 𝒅𝒋 𝒅𝒌
+
+
= ⃗𝟎
𝒅𝒕 𝒅𝒕 𝒅𝒕
+𝜷
⃗𝟐
𝒅𝑽
𝒅𝒕
⃗ 𝟏 .𝑽
⃗ 𝟐)
𝒅(𝑽
Dérivée d’un produit vectoriel :
𝒅𝒕
=
⃗ 𝟏 ∧𝑽
⃗ 𝟐)
𝒅(𝑽
𝒅𝒕
⃗𝟏
𝒅𝑽
𝒅𝒕
=
⃗⃗
⃗ 𝟐 + ⃗𝑽
⃗ 𝟏 . 𝒅𝑽𝟐
. ⃗𝑽
⃗𝟏
𝒅𝑽
𝒅𝒕
𝒅𝒕
⃗⃗ 𝟐 + 𝑽
⃗⃗ 𝟏 ∧
∧𝑽
Dérivée du produit d’un vecteur par une fonction scalaire:
I.3.9.Différentielle
⃗𝟐
𝒅𝑽
𝒅𝒕
⃗)
𝒅(𝒇𝑽
𝒅𝒕
=
𝒅𝒇
𝒅𝒕
⃗
⃗𝑽
⃗ + 𝒇 𝒅𝑽
𝒅𝒕
Dérivée partielle d’une fonction à plusieurs variables : Soit la fonction 𝒇(𝒙, 𝒚, 𝒛) dépendant de
trois variables. La dérivée partielle de
𝒇(𝒙, 𝒚, 𝒛)par rapport à l’une des variables est
obtenue en calculant la dérivée en considérant les deux autres variables constantes. Ainsi :
la dérivée partielle de 𝒇(𝒙, 𝒚, 𝒛) par rapport à x, notée
𝝏𝒇(𝒙,𝒚,𝒛)
𝝏𝒙
est obtenue en
dérivant par rapport à x et en considérant y et z comme des constantes.
la dérivée partielle de 𝒇(𝒙, 𝒚, 𝒛) par rapport à y, notée
𝝏𝒇(𝒙,𝒚,𝒛)
la dérivée partielle de 𝒇(𝒙, 𝒚, 𝒛) par rapport à z, notée
𝝏𝒇(𝒙,𝒚,𝒛)
𝝏𝒚
est obtenue en dérivant
par rapport à y et en considérant x et z comme des constantes.
𝝏𝒛
est obtenue en dérivant
par rapport à z et en considérant x et y comme des constantes.
Exemple
La fonction 𝒇(𝒙, 𝒚, 𝒛) = 𝟐𝒙𝟒 + 𝟑𝒚𝒙 possède deux dérivées partielles :
𝝏𝒇(𝒙, 𝒚, 𝒛) 𝝏(𝟐𝒙𝟒 + 𝟑𝒚𝒙)
=
= 𝟖𝒙𝟑 + 𝟑𝒚
𝝏𝒙
𝝏𝒙
𝝏𝒇(𝒙, 𝒚, 𝒛) 𝝏(𝟐𝒙𝟒 + 𝟑𝒚𝒙)
=
= 𝟑𝒙
𝝏𝒚
𝝏𝒚
18
Chapitre I
Rappels mathématiques
Dr Benhalima Nadia
On définit les dérivées partielles d’ordre supérieur par :
𝝏𝟐 𝒇
𝝏 𝝏𝒇
=
( )
𝟐
𝝏𝒙
𝝏𝒙 𝝏𝒙
𝝏𝟐 𝒇
𝝏 𝝏𝒇
=
( )
𝟐
𝝏𝒚
𝝏𝒚 𝝏𝒚
𝝏𝟐 𝒇
𝝏 𝝏𝒇
=
{ 𝝏𝒛𝟐 𝝏𝒛 (𝝏𝒛)
I.3.10.Différentielle totale
𝝏𝟐 𝒇
𝝏 𝝏𝒇
=
( )
𝝏𝒚𝝏𝒙 𝝏𝒚 𝝏𝒙
𝝏𝟐 𝒇
𝝏 𝝏𝒇
=
( )
{𝝏𝒙𝝏𝒚 𝝏𝒙 𝝏𝒚
différentielle du champ scalaire 𝒇(𝒙, 𝒚, 𝒛) est définie par :
𝒅𝒇 =
𝝏𝒇(𝒙, 𝒚, 𝒛)
𝝏𝒇(𝒙, 𝒚, 𝒛)
𝝏𝒇(𝒙, 𝒚, 𝒛)
𝒅𝒙 +
𝒅𝒚 +
𝒅𝒛
𝝏𝒙
𝝏𝒚
𝝏𝒛
⃗⃗ (𝒙, 𝒚, 𝒛) est défini par :
différentielle d’un champ vectoriel 𝑽
Exemple
⃗⃗ (𝒙, 𝒚, 𝒛) =
𝒅𝑽
⃗⃗ (𝒙, 𝒚, 𝒛)
⃗⃗ (𝒙, 𝒚, 𝒛)
⃗⃗ (𝒙, 𝒚, 𝒛)
𝝏𝑽
𝝏𝑽
𝝏𝑽
𝒅𝒙 +
𝒅𝒚 +
𝒅𝒛
𝝏𝒙
𝝏𝒚
𝝏𝒛
𝒇(𝒙, 𝒚, 𝒛) = 𝟐𝒙𝟒 + 𝟑𝒚𝒙
d𝒇(𝒙, 𝒚, 𝒛) =
𝝏𝒇(𝒙,𝒚,𝒛)
𝝏𝒙
𝒅𝒙 +
𝝏𝒇(𝒙,𝒚,𝒛)
𝝏𝒚
𝒅𝒚
d𝒇(𝒙, 𝒚, 𝒛) = (𝟖𝒙𝟑 + 𝟑𝒚)𝒅𝒙 + 𝟑𝒙𝒅𝒚
𝝏𝟐 𝒇
𝝏 𝝏𝒇
𝝏
(𝟖𝒙𝟑 + 𝟑𝒚) = 𝟐𝟒𝒙𝟐
=
( )=
𝟐
𝝏𝒙
𝝏𝒙 𝝏𝒙
𝝏𝒙
𝝏𝟐 𝒇
𝝏 𝝏𝒇
𝝏
(𝟑𝒙) = 𝟎
=
(
)
=
𝝏𝒚𝟐 𝝏𝒚 𝝏𝒚
𝝏𝒚
19
Chapitre I
Rappels mathématiques
Dr Benhalima Nadia
𝝏𝟐 𝒇
𝝏 𝝏𝒇
𝝏
(𝟖𝒙𝟑 + 𝟑𝒚) = 𝟑
=
( )=
𝝏𝒚𝝏𝒙 𝝏𝒚 𝝏𝒙
𝝏𝒚
𝝏 𝝏𝒇
𝝏
𝝏𝟐 𝒇
(𝟑𝒙) = 𝟑
=
( )=
𝝏𝒙
𝝏𝒙𝝏𝒚 𝝏𝒙 𝝏𝒚
I.3.11.Opérateurs différentiels
Gradient (Le gradient d’un scalaire est un vecteur)
Soit 𝒇(𝒙, 𝒚, 𝒛) une fonction continue et dérivable. Le vecteur gradient de la fonction
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ et défini de la façon suivante :
scalaire𝒇(𝒙, 𝒚, 𝒛)est le vecteur noté 𝒈𝒓𝒂𝒅
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝒇(𝒙, 𝒚, 𝒛) =
𝒈𝒓𝒂𝒅
𝝏𝒇(𝒙, 𝒚, 𝒛)
𝝏𝒇(𝒙, 𝒚, 𝒛)
𝝏𝒇(𝒙, 𝒚, 𝒛)
⃗
𝒊+
𝒋+
𝒌
𝝏𝒙
𝝏𝒚
𝝏𝒛
⃗ (nabla) défini par :
Il est commode d’introduire l’opérateur différentiel ⃗𝜵
𝝏
𝝏𝒙
𝝏
𝝏
𝝏
𝝏
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = ⃗𝜵
⃗ =
⃗ =
𝒈𝒓𝒂𝒅
𝒊+
𝒋+
𝒌
𝝏𝒙
𝝏𝒚
𝝏𝒛
𝝏𝒚
𝝏
( 𝝏𝒛 )
Ceci permet d’écrire le gradient d’une fonction scalaire 𝒇(𝒙, 𝒚, 𝒛) sous la forme
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝒇 = 𝜵
⃗⃗ 𝒇
suivante𝒈𝒓𝒂𝒅
Exemple
Calculer le gradient de la fonction 𝒇(𝒙, 𝒚, 𝒛) = 𝟑𝒙𝟐 𝒚𝟑 𝒛
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝒇(𝒙, 𝒚, 𝒛) =
𝒈𝒓𝒂𝒅
𝝏(𝟑𝒙𝟐 𝒚𝟑 𝒛)
𝝏𝒇(𝒙, 𝒚, 𝒛)
𝝏𝒇(𝒙, 𝒚, 𝒛)
⃗𝒌
𝒊+
𝒋+
𝝏𝒙
𝝏𝒚
𝝏𝒛
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝒇(𝒙, 𝒚, 𝒛) = 𝟔𝒙𝒚𝟑 𝒛 𝒊 + 𝟗𝒙𝟐 𝒚𝟐 𝒛𝒋 + 𝟑𝒙𝟐 𝒚𝟑 ⃗𝒌
𝒈𝒓𝒂𝒅
Divergence (La divergence d’un vecteur est un scalaire)
L’opérateur nabla définit précédemment permet de définir aussi la divergence d’un vecteur:
⃗⃗ = ⃗𝜵
⃗ . ⃗𝑽
⃗
𝒅𝒊𝒗𝑽
⃗⃗ = 𝑽𝒙 𝒊 + 𝑽𝒚 𝒋 + 𝑽𝒛 ⃗𝒌est donnée par :
Ainsi, la divergence d’un vecteur 𝑽
20
Chapitre I
Rappels mathématiques
⃗ =
𝒅𝒊𝒗𝑽
Exemple
Dr Benhalima Nadia
𝝏𝑽𝒙 𝝏𝑽𝒚 𝝏𝑽𝒛
+
+
𝝏𝒙
𝝏𝒚
𝝏𝒛
⃗ (𝒙, 𝒚, 𝒛) = 𝒙𝒚𝟑 𝒛 𝒊 + 𝟐𝒙𝟐 𝒚𝟐 𝒛𝒋 + 𝟑𝒙𝟐 𝒚𝟑 ⃗𝒌
Calculer la divergence de la fonction vectorielle𝑽
⃗ = 𝒚𝟑 𝒛 + 𝟒𝒙𝟐 𝒚𝒛 + 𝟎
𝒅𝒊𝒗𝑽
Rotationnel (le rotationnel d’un vecteur est un vecteur)
⃗ = 𝑽𝒙 𝒊 + 𝑽𝒚 𝒋 + 𝑽𝒛 ⃗𝒌 est un vecteur définit en utilisant
Le rotationnel du vecteur 𝑽
⃗⃗ :
l’opérateur 𝜵
⃗ (𝒙, 𝒚, 𝒛) = ⃗𝛁
⃗ ⋀ ⃗𝑽
⃗ (𝒙, 𝒚, 𝒛)
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗𝑽
𝒓𝒐𝒕
𝒊
𝒋
𝝏
𝝏
⃗⃗ ⋀ 𝑽
⃗⃗ (𝒙, 𝒚, 𝒛) = ||
𝛁
𝝏𝒙 𝝏𝒚
𝑽𝒙 𝑽𝒚
I.3.12.Exercices
⃗𝒌
𝝏|
|
𝝏𝒛
𝑽𝒛
Exercice 1
⃗ = 𝐜𝐨𝐬 𝝎𝒕 ⃗𝒆𝒙 + 𝐬𝐢𝐧 𝝎𝒕 ⃗𝒆𝒚 + 𝐞−𝝎𝒕 𝒆
⃗𝒛
Soit le vecteur 𝒓
Exprimer les vecteurs
Exercice 1 – Solution
⃗
𝒅𝒓
et
𝒅𝒕
⃗
𝒅𝟐 𝒓
𝒅𝒕𝟐
ainsi que leurs module au temps 𝒕 = 𝟎𝒔
𝐜𝐨𝐬 𝝎𝒕
−𝝎𝐬𝐢𝐧 𝝎𝒕
⃗
𝒅𝒓
⃗ = 𝐜𝐨𝐬 𝝎𝒕 ⃗𝒆𝒙 + 𝐬𝐢𝐧 𝝎𝒕 ⃗𝒆𝒚 + 𝐞−𝝎𝒕 ⃗𝒆𝒛 → 𝒓
⃗ = { 𝐬𝐢𝐧 𝝎𝒕 →
𝒓
= { 𝝎 𝐜𝐨𝐬 𝝎𝒕
𝒅𝒕
𝐞−𝝎𝒕
−𝝎𝐞−𝝎𝒕
⃗
𝒅𝒓
⃗𝒛
= −𝝎𝐬𝐢𝐧 𝝎𝒕 ⃗𝒆𝒙 + 𝝎 𝐜𝐨𝐬 𝝎𝒕 ⃗𝒆𝒚 −𝝎𝐞−𝝎𝒕 𝒆
𝒅𝒕
−𝝎𝟐 𝐜𝐨𝐬 𝝎𝒕
⃗
𝒅𝟐 𝒓
= { −𝝎𝟐 𝐬𝐢𝐧 𝝎𝒕
𝒅𝒕𝟐
𝝎𝟐 𝐞−𝝎𝒕
⃗
𝒅𝟐 𝒓
⃗𝒛
= −𝝎𝟐 𝐜𝐨𝐬 𝝎𝒕 ⃗𝒆𝒙 − 𝝎𝟐 𝐬𝐢𝐧 𝝎𝒕 ⃗𝒆𝒚 + 𝝎𝟐 𝐞−𝝎𝒕 𝒆
𝒅𝒕𝟐
𝟎
⃗
𝒅𝒓
={ 𝝎
𝒅𝒕
−𝝎
𝒕 = 𝟎𝒔 →
𝟐
−𝝎𝟐
𝒅 ⃗𝒓
={ 𝟎
𝟐
{ 𝒅𝒕
𝝎𝟐
21
Chapitre I
Rappels mathématiques
Dr Benhalima Nadia
⃗
⃗
𝒅𝒓
𝒅𝒓
⃗ 𝒙 + 𝝎𝒆
⃗𝒚−𝝎 𝒆
⃗ 𝒛 → ‖ ‖ = 𝝎√𝟐
=𝟎𝒆
𝒅𝒕
𝒅𝒕
⃗
⃗
𝒅𝟐 𝒓
𝒅𝟐 𝒓
𝟐
𝟐
⃗
⃗
⃗
=
−𝝎
𝒆
+
𝟎
𝒆
+
𝝎
𝒆
→
‖
‖ = 𝝎𝟐 √𝟐
𝒙
𝒚
𝒛
𝟐
𝒅𝒕
𝒅𝒕𝟐
I.4.Systèmes de coordonnées
I.4.1.Coordonnées Cartésiennes
C'est un repère d'espace orthonormé, noté R, d'origine O et de vecteurs de base (𝒊, 𝒋, ⃗𝒌) .
La position du point M est caractérisée par ses coordonnées cartésiennes x, y, z. Le vecteur
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ s'écrit alors :
d'équations 𝑶𝑴
⃗
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝒙𝒊 + 𝒚𝒋 + 𝒛𝒌
𝑶𝑴
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ est définie par:
La norme du vecteur 𝑶𝑴
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ | = √𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 + 𝒛𝟐
|𝑶𝑴
Déplacement élémentaire en coordonnées cartésiennes:
⃗
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝒅𝒙𝒊 + 𝒅𝒚𝒋 + 𝒅𝒛𝒌
𝒅𝑶𝑴
Élément de volume en coordonnées cartésiennes:
𝒅𝑽 = 𝒅𝒙 𝒅𝒚 𝒅𝒛
I.4.2.Coordonnées Polaires
22
Chapitre I
Rappels mathématiques
Dr Benhalima Nadia
La position du point matériel M est alors définie par la distance r du point M au point O (r =
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ | ) et par l’angle polaire θ (angle orienté de rotation). La base des coordonnées polaires
|𝑶𝑴
⃗ 𝒓 ,𝒖
⃗ 𝜽)
est (𝒖
Le vecteur ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝑶𝑴 s'écrit alors:
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝑶𝑴 = 𝒓 𝒖
⃗𝒓
⃗ 𝒓 = vecteur unitaire dont la direction et le sens sont ceux du vecteur ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝑶𝑴 .
𝒖
⃗ 𝜽 = vecteur unitaire obtenu à partir de ⃗𝒖𝒓 par rotation de +π/2 autour de l'axe Oz.
𝒖
Les coordonnées polaires de M sont donc (𝒓, 𝜽) tel que 𝒓Є[𝟎, +∞]et 𝜽Є[𝟎, 𝟐𝝅]
Lorsque l’on souhaite passer du système
de
coordonnées
polaires
au
système
de
coordonnés cartésiennes (ou inversement) il existe des relations simples entre les différentes
composantes (coordonnées et vecteur de base):
Relations sur les coordonnées : {
Relations sur les vecteurs :{
𝒙 = 𝒓𝒄𝒐𝒔𝜽
𝒚 = 𝒓𝒔𝒊𝒏𝜽
⃗ 𝒓 = 𝒄𝒐𝒔𝜽𝒊 + 𝒔𝒊𝒏𝜽𝒋
𝒖
⃗ 𝜽 = −𝒔𝒊𝒏𝜽𝒊 + 𝒄𝒐𝒔𝜽𝒋
𝒖
⃗𝒖𝒓 = 𝒄𝒐𝒔𝜽𝒊 + 𝒔𝒊𝒏𝜽𝒋
⃗𝒓
𝒅𝒖
⃗ 𝒓)
{𝒅𝒖
→(
⊥𝒖
⃗ 𝒓 𝒅(𝒄𝒐𝒔𝜽𝒊 + 𝒔𝒊𝒏𝜽𝒋)
𝒅𝜽
⃗𝜽
=
= −𝒔𝒊𝒏𝜽𝒊 + 𝒄𝒐𝒔𝜽𝒋 = 𝒖
𝒅𝜽
𝒅𝜽
⃗𝒖𝜽 = −𝒔𝒊𝒏𝜽𝒊 + 𝒄𝒐𝒔𝜽𝒋
⃗𝜽
𝒅𝒖
⃗ 𝜽)
{𝒅𝒖
→(
⊥𝒖
⃗ 𝜽 𝒅(−𝒔𝒊𝒏𝜽𝒊 + 𝒄𝒐𝒔𝜽𝒋)
𝒅𝜽
⃗𝒓
=
= −(𝒄𝒐𝒔𝜽𝒊 + 𝒔𝒊𝒏𝜽𝒋) = −𝒖
𝒅𝜽
𝒅𝜽
I.4.3. Coordonnées Cylindriques
⃗ 𝒓 ,𝒖
⃗ 𝜽, 𝒖
⃗ 𝒛 ) . La
C'est un repère d'espace orthonormé: d'origine O et de vecteurs de base (𝒖
position du point M est caractérisée par ses coordonnées cylindriques r, θ et z. Le vecteur
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ s'écrit alors :
𝑶𝑴
23
Chapitre I
Rappels mathématiques
Dr Benhalima Nadia
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝑶𝑴 = ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝑶𝑯 + ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝑯𝑴 = 𝒓 𝒖
⃗ 𝒓 + 𝒛𝒖
⃗𝒛
⃗ 𝒓 par rotation de π/2 autour de l'axe Oz.
𝒖𝜽 vecteur unitaire obtenu à partir de 𝒖
⃗⃗⃗⃗
H est la projection orthogonale de M sur le plan 𝒙𝑶𝒚 (et r = OH).
⃗ 𝑟.
θ est l'angle formé entre 𝒊 et 𝒖
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ est définie par:
La norme du vecteur 𝑶𝑴
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ | = √𝒓𝟐 + 𝒛𝟐
|𝑶𝑴
Lorsque l’on souhaite passer du système
de coordonnées polaires au système
de
coordonnés cartésiennes (ou inversement) il existe des relations simples entre les différentes
composantes (coordonnées et vecteur de base):
𝒙 = 𝒓𝒄𝒐𝒔𝜽
Relations sur les coordonnées : {𝒚 = 𝒓 𝐬𝐢𝐧 𝜽
𝒛 = 𝒛
⃗𝒖𝒓 = 𝒄𝒐𝒔𝜽𝒊 + 𝒔𝒊𝒏𝜽𝒋
⃗ 𝜽 = −𝒔𝒊𝒏𝜽𝒊 + 𝒄𝒐𝒔𝜽𝒋
Relations sur les vecteurs : {𝒖
𝒖
⃗ 𝒛 = ⃗𝒌
Remarque
Dans le cas particulier: 𝒛 = 𝟎, la représentation cylindrique devient la représentation polaire
dans le plan 𝒙𝑶𝒚.
I.4.4. Coordonnées Sphériques
Considéronslerepère (o,𝒊, 𝒋, ⃗𝒌) des coordonnées cartésiennes. On construit la sphère de
centre O et contenant le point matériel M sur sa surface.
On appelle m le projeté du point Md’étude dans le plan (𝒙, 𝒐, 𝒚).
24
Chapitre I
On note
Rappels mathématiques
Dr Benhalima Nadia
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ‖ = 𝑶𝑴 = 𝒓 > 𝟎
:‖𝑶𝑴
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
⃗𝒖𝒓 : le vecteur unitaire orienté par 𝑶𝑴
⃗ 𝒓 ,𝒖
⃗ 𝜽, 𝒖
⃗ 𝝋 ) forment la base orthonormée du système. Cette base est
Les vecteurs de base (𝒖
utilisée dans tous les problèmes présentant une symétrie sphérique.
Tout point M de l’espace est repéré par ses trois coordonnées sphériques r, 𝜃 et 𝜑. Le
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ est radial ; il est défini par : ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝒎𝑴
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
vecteur 𝑶𝑴
𝑶𝑴 = 𝑶𝒎
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝒙𝒊 + 𝒚𝒋 = 𝒓 𝐬𝐢𝐧 𝜽 𝐜𝐨𝐬 𝝋 𝒊 + 𝒓 𝐬𝐢𝐧 𝜽 𝐬𝐢𝐧 𝝋 𝒋
𝑶𝒎
⃗
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝒓 𝐜𝐨𝐬 𝛉 𝒌
𝒎𝑴
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝑶𝒎
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝒎𝑴
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝐫 𝐬𝐢𝐧 𝜽 𝐜𝐨𝐬 𝝋 𝒊 + 𝒓 𝐬𝐢𝐧 𝜽 𝐬𝐢𝐧 𝝋 𝒋 + 𝒓 𝐜𝐨𝐬 𝛉 ⃗𝒌
𝑶𝑴
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝒓(𝐬𝐢𝐧 𝜽 𝐜𝐨𝐬 𝝋 𝒊 + 𝐬𝐢𝐧 𝜽 𝐬𝐢𝐧 𝝋 𝒋 + 𝐜𝐨𝐬 𝛉 ⃗𝒌)
𝑶𝑴
{
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = |𝑶𝑴
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |𝒖
𝑶𝑴
⃗ 𝒓 = 𝒓𝒖
⃗𝒓
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ est définie par:|𝑶𝑴
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ | = 𝒓
La norme du vecteur 𝑶𝑴
⃗ 𝒓 = 𝐬𝐢𝐧 𝜽 𝐜𝐨𝐬 𝝋 𝒊 + 𝐬𝐢𝐧 𝜽 𝐬𝐢𝐧 𝝋 𝒋 + 𝐜𝐨𝐬 𝛉 ⃗⃗𝒌
𝒖
⃗𝒓
𝒅𝒖
⃗𝜽
= 𝐜𝐨𝐬 𝜽 𝐜𝐨𝐬 𝝋 𝒊 + 𝐜𝐨𝐬 𝜽 𝐬𝐢𝐧 𝝋 𝒋 − 𝐬𝐢𝐧 𝛉 ⃗⃗𝒌 = 𝒖
𝒅𝜽
⃗⃗
⃗ 𝜽 = 𝐜𝐨𝐬 𝜽 𝐜𝐨𝐬 𝝋 𝒊 + 𝐜𝐨𝐬 𝜽 𝐬𝐢𝐧 𝝋 𝒋 − 𝐬𝐢𝐧 𝛉 𝒌
𝒖
⃗ 𝒓 ,𝒖
⃗ 𝜽, 𝒖
⃗ 𝝋 base orthonormée directe:𝒖
⃗𝝋=𝒖
⃗ 𝒓∧𝒖
⃗ 𝜽,𝒖
⃗𝜽=𝒖
⃗ 𝝋∧𝒖
⃗ 𝒓,𝒖
⃗ 𝒓=𝒖
⃗ 𝜽∧𝒖
⃗ 𝝋.
𝒖
𝒊
⃗ 𝝋=𝒖
⃗ 𝒓 ∧ ⃗𝒖𝜽 = | 𝐬𝐢𝐧 𝜽 𝐜𝐨𝐬 𝝋
𝒖
𝐜𝐨𝐬 𝜽 𝐜𝐨𝐬 𝝋
𝐬𝐢𝐧 𝜽 𝐬𝐢𝐧 𝝋
⃗ 𝝋 = 𝒊|
𝒖
𝐜𝐨𝐬 𝜽 𝐬𝐢𝐧 𝝋
𝐜𝐨𝐬 𝛉
𝐬𝐢𝐧 𝜽 𝐜𝐨𝐬 𝝋
| − 𝒋|
−𝐬𝐢𝐧 𝛉
𝐜𝐨𝐬 𝜽 𝐜𝐨𝐬 𝝋
⃗𝒌
𝒋
𝐬𝐢𝐧 𝜽 𝐬𝐢𝐧 𝝋 𝐜𝐨𝐬 𝛉 |
𝐜𝐨𝐬 𝜽 𝐬𝐢𝐧 𝝋 − 𝐬𝐢𝐧 𝛉
𝐜𝐨𝐬 𝛉
⃗ | 𝐬𝐢𝐧 𝜽 𝐜𝐨𝐬 𝝋 𝐬𝐢𝐧 𝜽 𝐬𝐢𝐧 𝝋 |
|+𝒌
− 𝐬𝐢𝐧 𝛉
𝐜𝐨𝐬 𝜽 𝐜𝐨𝐬 𝝋 𝐜𝐨𝐬 𝜽 𝐬𝐢𝐧 𝝋
25
Chapitre I
Rappels mathématiques
Dr Benhalima Nadia
⃗ 𝝋 = 𝒊(−𝐬𝐢𝐧 𝜽𝟐 𝐬𝐢𝐧 𝝋 − 𝐜𝐨𝐬 𝜽𝟐 𝐬𝐢𝐧 𝝋) − 𝒋(−𝐬𝐢𝐧 𝜽𝟐 𝐜𝐨𝐬 𝝋 − 𝐜𝐨𝐬 𝜽𝟐 𝐜𝐨𝐬 𝝋)
𝒖
⃗ (𝐬𝐢𝐧 𝜽 𝐜𝐨𝐬 𝝋 𝐜𝐨𝐬 𝜽 𝐬𝐢𝐧 𝝋 − 𝐜𝐨𝐬 𝜽 𝐜𝐨𝐬 𝝋 𝐬𝐢𝐧 𝜽 𝐬𝐢𝐧 𝝋)
+𝒌
⃗ 𝝋 = 𝒊 𝐬𝐢𝐧 𝝋 (− 𝐬𝐢𝐧 𝜽𝟐 − 𝐜𝐨𝐬 𝜽𝟐 ) − 𝒋 𝐜𝐨𝐬 𝝋 (−𝐬𝐢𝐧 𝜽𝟐 − 𝐜𝐨𝐬 𝜽𝟐 )
𝒖
⃗ 𝝋 = −𝒊 𝐬𝐢𝐧 𝝋 (𝐬𝐢𝐧 𝜽𝟐 + 𝐜𝐨𝐬 𝜽𝟐 ) + 𝒋 𝐜𝐨𝐬 𝝋 (𝐬𝐢𝐧 𝜽𝟐 + 𝐜𝐨𝐬 𝜽𝟐 )
𝒖
⃗ 𝝋 = −𝒊 𝐬𝐢𝐧 𝝋 + 𝒋 𝐜𝐨𝐬 𝝋
𝒖
⃗ 𝝋 = − 𝐬𝐢𝐧 𝝋 𝒊 + 𝐜𝐨𝐬 𝝋 𝒋
𝒖
⃗ 𝒓 = 𝐬𝐢𝐧 𝜽 𝐜𝐨𝐬 𝝋 𝒊 + 𝐬𝐢𝐧 𝜽 𝐬𝐢𝐧 𝝋 𝒋 + 𝐜𝐨𝐬 𝛉 ⃗𝒌
𝒖
{𝒖
⃗ 𝜽 = 𝐜𝐨𝐬 𝜽 𝐜𝐨𝐬 𝝋 𝒊 + 𝐜𝐨𝐬 𝜽 𝐬𝐢𝐧 𝝋 𝒋 − 𝐬𝐢𝐧 𝛉 ⃗𝒌
⃗𝒖𝝋 = − 𝐬𝐢𝐧 𝝋 𝒊 + 𝐜𝐨𝐬 𝝋 𝒋
Lorsque l’on souhaite passer du système
de coordonnées sphériques au système
de
coordonnés cartésiennes (ou inversement) il existe des relations simples entre les différentes
composantes (coordonnées et vecteur de base):
𝒙 = 𝒓𝒔𝒊𝒏𝜽𝒄𝒐𝒔𝝋
Relations sur les coordonnées : {𝒚 = 𝒓𝒔𝒊𝒏𝜽𝒔𝒊𝒏𝝋
𝒛 = 𝒓 𝒄𝒐𝒔𝜽
⃗
⃗ 𝒓 = 𝐬𝐢𝐧 𝜽 𝐜𝐨𝐬 𝝋 𝒊 + 𝐬𝐢𝐧 𝜽 𝐬𝐢𝐧 𝝋 𝒋 + 𝐜𝐨𝐬 𝛉 𝒌
𝒖
Relations sur les vecteurs : {𝒖
⃗ 𝜽 = 𝐜𝐨𝐬 𝜽 𝐜𝐨𝐬 𝝋 𝒊 + 𝐜𝐨𝐬 𝜽 𝐬𝐢𝐧 𝝋 𝒋 − 𝐬𝐢𝐧 𝛉 ⃗𝒌
⃗ 𝝋 = − 𝐬𝐢𝐧 𝝋 𝒊 + 𝐜𝐨𝐬 𝝋 𝒋
𝒖
Différentielle d’un vecteur en coordonnées sphériques
M se déplace de :
𝒅𝒓 quand il passe de 𝒓 à 𝒓 + 𝒅𝒓 ;
𝒓𝒅𝜽 quand il passe de 𝜽 à 𝜽 + 𝒅𝜽 ;
𝒓𝒔𝒊𝒏𝜽𝒅𝝋 quand il passe de 𝝋 à 𝝋 + 𝒅𝝋
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ graphiquement:
Il est plus facile de déterminer 𝒅𝑶𝑴
26
Chapitre I
Rappels mathématiques
Dr Benhalima Nadia
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝒅𝒓 𝒖
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗′ = 𝒅𝑶𝑴
𝒅𝑴𝑴
⃗ 𝒓 + 𝒓𝒅𝜽 𝒖
⃗ 𝜽 + 𝒓𝒔𝒊𝒏𝜽𝒅𝝋 𝒖
⃗𝝋
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ est appelé déplacement élémentaire, noté 𝒅𝒍
𝒅𝑶𝑴
𝒙 = 𝒓𝒔𝒊𝒏𝜽𝒄𝒐𝒔𝝋 → 𝒅𝒙 = 𝒔𝒊𝒏𝜽𝒄𝒐𝒔𝝋 𝒅𝒓 + 𝒓𝒄𝒐𝒔𝜽𝒄𝒐𝒔𝝋 𝒅𝜽 − 𝒓𝒔𝒊𝒏𝜽𝒔𝒊𝒏𝝋 𝒅𝝋
{ 𝒚 = 𝒓𝒔𝒊𝒏𝜽𝒔𝒊𝒏𝝋 → 𝒅𝒚 = 𝒔𝒊𝒏𝜽𝒔𝒊𝒏𝝋 𝒅𝒓 + 𝒓𝒄𝒐𝒔𝜽𝒔𝒊𝒏𝝋 𝒅𝜽 + 𝒓𝒔𝒊𝒏𝜽𝒄𝒐𝒔𝝋 𝒅𝝋
𝒛 = 𝒓 𝒄𝒐𝒔𝜽 → 𝒅𝒛 = 𝒄𝒐𝒔𝜽 𝒅𝒓 − 𝒓 𝒔𝒊𝒏𝜽 𝒅𝜽
En remplaçant dans
⃗
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝒅𝒙𝒊 + 𝒅𝒚𝒋 + 𝒅𝒛𝒌
𝒅𝑶𝑴
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = (𝒔𝒊𝒏𝜽𝒄𝒐𝒔𝝋 𝒅𝒓 + 𝒓𝒄𝒐𝒔𝜽𝒄𝒐𝒔𝝋 𝒅𝜽 − 𝒓𝒔𝒊𝒏𝜽𝒔𝒊𝒏𝝋 𝒅𝝋)𝒊
𝒅𝑶𝑴
+ (𝒔𝒊𝒏𝜽𝒔𝒊𝒏𝝋 𝒅𝒓 + 𝒓𝒄𝒐𝒔𝜽𝒔𝒊𝒏𝝋 𝒅𝜽 + 𝒓𝒔𝒊𝒏𝜽𝒄𝒐𝒔𝝋 𝒅𝝋)𝒋
⃗
+ (𝒄𝒐𝒔𝜽 𝒅𝒓 − 𝒓 𝒔𝒊𝒏𝜽 𝒅𝜽)𝒌
⃗
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝒅𝒙𝒊 + 𝒅𝒚𝒋 + 𝒅𝒛𝒌
𝒅𝑶𝑴
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝒔𝒊𝒏𝜽𝒄𝒐𝒔𝝋 𝒅𝒓𝒊 + 𝒓𝒄𝒐𝒔𝜽𝒄𝒐𝒔𝝋 𝒅𝜽𝒊 − 𝒓𝒔𝒊𝒏𝜽𝒔𝒊𝒏𝝋 𝒅𝝋𝒊 + 𝒔𝒊𝒏𝜽𝒔𝒊𝒏𝝋 𝒅𝒓𝒋
𝒅𝑶𝑴
⃗ − 𝒓 𝒔𝒊𝒏𝜽 𝒅𝜽𝒌
⃗
+ 𝒓𝒄𝒐𝒔𝜽𝒔𝒊𝒏𝝋 𝒅𝜽𝒋 + 𝒓𝒔𝒊𝒏𝜽𝒄𝒐𝒔𝝋 𝒅𝝋𝒋 + 𝒄𝒐𝒔𝜽 𝒅𝒓𝒌
⃗ )𝒅𝒓
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = (𝒔𝒊𝒏𝜽𝒄𝒐𝒔𝝋 𝒊 + 𝒔𝒊𝒏𝜽𝒔𝒊𝒏𝝋 𝒋 + 𝒄𝒐𝒔𝜽 𝒌
𝒅𝑶𝑴
⃗ )𝒅𝜽(−𝒓𝒔𝒊𝒏𝜽𝒔𝒊𝒏𝝋 𝒊
+ (𝒓𝒄𝒐𝒔𝜽𝒄𝒐𝒔𝝋 𝒊 + 𝒓𝒄𝒐𝒔𝜽𝒔𝒊𝒏𝝋 𝒋 − 𝒓 𝒔𝒊𝒏𝜽 𝒌
+ 𝒓𝒔𝒊𝒏𝜽𝒄𝒐𝒔𝝋 𝒋)𝒅𝝋
⃗ )𝒅𝒓 + (𝒄𝒐𝒔𝜽𝒄𝒐𝒔𝝋 𝒊 +
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = (𝒔𝒊𝒏𝜽𝒄𝒐𝒔𝝋 𝒊 + 𝒔𝒊𝒏𝜽𝒔𝒊𝒏𝝋 𝒋 + 𝒄𝒐𝒔𝜽 𝒌
𝒅𝑶𝑴
⃗ )𝒓𝒅𝜽 + (−𝒔𝒊𝒏𝝋 𝒊 + 𝒄𝒐𝒔𝝋 𝒋) 𝒓𝒔𝒊𝒏𝜽𝒅𝝋
𝒄𝒐𝒔𝜽𝒔𝒊𝒏𝝋 𝒋 − 𝒓 𝒔𝒊𝒏𝜽 𝒌
27
Chapitre I
Rappels mathématiques
{
on obtient:
Dr Benhalima Nadia
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝒅𝒓 𝒖
⃗ 𝒓 + 𝒓𝒅𝜽 𝒖
⃗ 𝜽 + 𝒓𝒔𝒊𝒏𝜽𝒅𝝋 𝒖
⃗𝝋
𝒅𝑶𝑴
⃗
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝒅𝒙𝒊 + 𝒅𝒚𝒋 + 𝒅𝒛𝒌
𝒅𝑶𝑴
⃗ 𝒓 = 𝐬𝐢𝐧 𝜽 𝐜𝐨𝐬 𝝋 𝒊 + 𝐬𝐢𝐧 𝜽 𝐬𝐢𝐧 𝝋 𝒋 + 𝐜𝐨𝐬 𝛉 ⃗𝒌
𝒖
⃗
{𝒖
⃗ 𝜽 = 𝐜𝐨𝐬 𝜽 𝐜𝐨𝐬 𝝋 𝒊 + 𝐜𝐨𝐬 𝜽 𝐬𝐢𝐧 𝝋 𝒋 − 𝐬𝐢𝐧 𝛉 𝒌
⃗ 𝝋 = − 𝐬𝐢𝐧 𝝋 𝒊 + 𝐜𝐨𝐬 𝝋 𝒋
𝒖
I.4.5. Exercices
Exercice 1
⃗ 𝒓 = 𝐜𝐨𝐬 𝜽 ⃗𝒆𝒙 + 𝐬𝐢𝐧 𝜽 ⃗𝒆𝒚
Soient le vecteur 𝒖
⃗ 𝒓 est un vecteur unitaire
a) montrer que le vecteur 𝒖
b) calculer ⃗𝒖𝜽 =
⃗𝒓
𝒅𝒖
𝒅𝒕
et
⃗𝜽
𝒅𝒖
𝒅𝒕
⃗𝜽
c) calculer l'angle entre ⃗𝒖𝒓 et 𝒖
⃗)
⃗ 𝒓∧𝒖
⃗ 𝜽 ) et (𝒖
⃗ 𝜽∧𝒌
b) calculer les produits (𝒖
Exercice 1 – Solution
⃗ 𝒓 = 𝐜𝐨𝐬 𝜽 ⃗𝒆𝒙 + 𝐬𝐢𝐧 𝜽 ⃗𝒆𝒚
𝒖
a)
b)
c)
⃗𝜽=
𝒖
⃗ 𝒓 = √(𝐜𝐨𝐬 𝜽 )𝟐 + (𝐬𝐢𝐧 𝜽 )𝟐 = 𝟏
𝒖
⃗𝒓
𝒅𝒖
𝒅
=
(𝐜𝐨𝐬 𝜽 ⃗𝒆𝒙 + 𝐬𝐢𝐧 𝜽 ⃗𝒆𝒚 ) = − 𝐬𝐢𝐧 𝜽 ⃗𝒆𝒙 + 𝐜𝐨𝐬 𝜽 ⃗𝒆𝒚
𝒅𝒕
𝒅𝒕
⃗𝜽
𝒅𝒖
𝒅
⃗𝒓
=
(− 𝐬𝐢𝐧 𝜽 ⃗𝒆𝒙 + 𝐜𝐨𝐬 𝜽 ⃗𝒆𝒚 ) = − 𝐜𝐨𝐬 𝜽 ⃗𝒆𝒙 − 𝐬𝐢𝐧 𝜽 ⃗𝒆𝒚 = −𝒖
𝒅𝒕
𝒅𝒕
⃗ 𝒓. 𝒖
⃗ 𝜽 = ‖𝒖
⃗ 𝒓 ‖ ‖𝒖
⃗ 𝜽 ‖ 𝐜𝐨𝐬 𝜽 = 𝐜𝐨𝐬 𝜽
𝒖
⃗ 𝒓. 𝒖
⃗ 𝜽 = 𝐜𝐨𝐬 𝜽 → (𝐜𝐨𝐬 𝜽 ⃗𝒆𝒙 + 𝐬𝐢𝐧 𝜽 ⃗𝒆𝒚 )(− 𝐬𝐢𝐧 𝜽 ⃗𝒆𝒙 + 𝐜𝐨𝐬 𝜽 ⃗𝒆𝒚 ) = 𝟎
𝒖
d)
𝐜𝐨𝐬 𝜽 = 𝟎 → 𝜽 =
(𝒖
⃗ 𝒓∧𝒖
⃗ 𝜽 ) = ⃗𝒌
𝝅
𝟐
⃗ =𝒖
⃗ 𝜽∧𝒌
⃗𝒓
𝒖
28
