Machines

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Rappels d’Électrotechnique
I. Matériaux constitutifs des machines électriques
Les machines électriques, selon leur principe de fonctionnement, sont essentiellement
constituées de deux ou trois matériaux (Bobines (cuivre), Fer (feuilleté ou massif),
Aimants permanents).
Tableau I
Type de machine
Matériaux utilisés
Bobines
(cuivre) Fer Aimants
Machine à Courant Continu
DC machine
x x x
Machine Synchrone
Synchronous machine
(Brushless DC, Brushless AC)
x x x
Machine Asynchrone
Asynchronous machine
Induction machine
x x
Machine à Réluctance Variable
Switched Reluctance machine
x x
II. Circuits magnétiques – Notions de dimensionnement
Considérons un circuit magnétique (figure suivante) possédant une partie déplaçable.
La bobine est alimentée sous la tension ( voltage ) u et traversée par un courant
( current ) i .
(Bobine : coil ou winding , entrefer : airgap )
Fig. 1. Électro-aimant

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La tension u aux bornes de la bobine est égale à la variation du flux magnétique Φ .
dt
)
Li
(
d
Ri
dt
Φ
d
Riu +=+= (1)
L étant l’inductance de la bobine.
L’énergie électromagnétique Wem s’évalue en étudiant les échanges d’énergie à x
constant (position fixe), en négligeant les pertes Joule.
iLdi)Li(iddt
dt
)
Li
(
d
dt
dt
Φ
d
iidtRi)-u(dWem ===== ⇒
2
Li
2
1
Wem
= (2)
La force s’évalue, par exemple, au cours d’un déplacement dx pendant un temps dt . La
variation de l’énergie totale Wt pendant le laps de temps dt est égale à :
iLdidLi)Li(iddt
dt
)
Li
(
d
dt
dt
Φ
d
iuidtdWt
2
+===== (3)
Sachant que la variation de l’énergie électromagnétique pendant ce déplacement est
égale à :
dLi
2
1
LididWem
2
+= (4)
il est possible de déduire la variation de l’énergie mécanique Wmec :
FdxdLi
2
1
dWemdWtdWmec
2
=== - (5)
La force est donc égale à :
tete
S
µ
Be
SHeµ
dx
dL
iF
0
2
2
0
2
2
1
-=
2
1
-=
2
1
= (6)
Avec
Be
Induction dans l’entrefer (
airgap flux density
)
He
Champ magnétique dans l’entrefer (
magnetic field
)
S
te
Sectio
n totale d’entrefer
µ
0
Perméabilité du vide (=4
π 10
-
7
H/m)
On retrouve l’expression de la pression magnétique :
BeHe
µ
Be
Heµ
S
F
P
te
2
1
=
2
1
=
2
1
==
0
2
2
0
(7)
Dans une démarche de dimensionnement ( design ), ayant pour but d’améliorer les
performances du dispositif de la figure 1, nous allons étudier la possibilité
d’augmenter la force produite.

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II.1. Notions de dimensionnement :
Toute démarche de dimensionnement se base sur un cahier des charges
( specifications ou specification sheet ). Le cahier des charges assigne des objectifs à
atteindre et décrit les contraintes auxquelles est soumis le système. Il s’agit en
général d’atteindre des performances optimales compte tenu de certaines limitations.
Exemple de limitations :
Contraintes de coût : enveloppe disponible pour la R&D et coût global du dispositif
final.
Contraintes mécaniques : espace disponible, vitesse de fonctionnement, vibrations et
bruit, … etc.
Contraintes thermiques : température de fonctionnement, augmentation maximale de
la température.
Les limitations auront des effets sur le dimensionnement d’un dispositif, ainsi que sur
les choix technologiques lors de la réalisation de ce dispositif (choix des matériaux
par exemple).
Remarque : La contrainte thermique se traduit généralement par une densité de
courant ( current density ) J limite. On tolère généralement un certain niveau de
pertes par volume. Prenons par exemple une bobine de résistance R , traversée par un
courant I , les pertes Joule sont données par :
2
2
=
=
VJ
ρ
RI
P
J
(8)
Avec
Ρ
Résistivité du matériau constituant la bobine (cuivre)
V
Volume du cuivre de la bobine
L’expression du rapport pertes Joule sur volume est alors égal à :
2
= Jρ
V
P
J
(9)
Pour un matériau donné (avec une résistivité donnée), on voit que cette limitation se
traduit par une limitation sur la densité de courant.
II.1.a. Augmentation de la force :
On peut voir qu’il est possible d’augmenter la force en accroissant la section totale
d’entrefer ou en augmentant l’induction dans l’entrefer (équation (7)).
A volume donné (section d’entrefer constante), l’augmentation de la force ne peut se
faire qu’en augmentant l’induction magnétique.

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Considérons le cas d’un matériau magnétique linéaire (pas de saturation magnétique) :
H
µ
µ
B
r
0
=
, avec
Cte
µ
r
=
(8)
µ
r
étant la perméabilité relative du fer,
à partir de la forme intégrale des équations de Maxwell, il est possible de déterminer
l’expression de l’induction dans l’entrefer. En vertu du théorème d’Ampère :
Ni
2x
He
lf
Hf
=
+
(9)
Avec
Hf
Champ magnétique dans le fer
Lf
Parcours moyen du flux dans le fer
N
Nombre de spires d
e la bobine (
number on turns
)
Ni
Force magnétomotrice FMM (
magnetomotive force MMF
)
Par ailleurs, la loi de conservation de flux, en négligeant les fuites, permet d’écrire :
f
e
BfS
BeS
=
(10)
Avec
Bf
Induction magnétique dans le fer
S
f
Section du fer
S
e
Section d’entrefer (
S
te
/2)
Par (9) et (10), et en supposant S
f
= S
e
, on obtient :
)x2µLf(
Ni
µ
Be
r
0
+
= (11)
L’équation (11) permet de déterminer les paramètres dimensionnants, sur lesquels il
est possible d’agir afin d’augmenter l’induction et par suite la force.
Ces paramètres sont :
Le courant i
L’entrefer x
La perméabilité relative du fer µ
r
(choix du matériau)
Pour augmenter la force on peut augmenter le courant i (les autres paramètres étant
fixes). L’augmentation du courant sera cependant limitée par les contraintes
thermiques. Il existe donc un courant maximum admissible compte tenu des
contraintes thermiques.
Supposons que le courant imposé est maximal, il reste possible d’augmenter la force
en réduisant l’entrefer x .

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Admettons que x = 0 mm. Le dernier paramètre sur lequel il est possible d’agir est la
perméabilité relative du fer µ
r
. L’augmentation de la force passe par le choix d’un
matériau ayant une perméabilité relative élevée (le cas idéal serait d’avoir µ
r
= + ∞ ).
II.1.b. Saturation magnétique :
Dans le paragraphe précédent, le matériau magnétique était supposé linéaire (pas de
saturation magnétique). Dans la réalité, tous les matériaux magnétiques possèdent une
caractéristique B-H non linéaire ( BH curve ) (fig. 2).
Pour simplifier, on modélise souvent la courbe B(H) par des segments de droites. Un
premier segment de droite modélise la caractéristique à champ faible (H faible), et un
second segment modélise la caractéristique à champ fort (H élevé). L’intersection de
ces deux droites est appelé "coude de saturation".
À champ faible, la pente de la courbe B(H) (pente = µ
0
µ
r
) est relativement élevée. Dès
l’apparition du coude de saturation, on constate qu’une augmentation minime du niveau
d’induction magnétique correspond à une forte augmentation du champ magnétique.
Fig. 2. Courbe de première aimantation d’un matériau ferromagnétique.
Le champ magnétique est proportionnel au courant, une forte augmentation du champ
magnétique H correspondra à une forte augmentation du courant i . Donc, après le
coude de saturation, si l’on désire augmenter la force en augmentant l’induction, il
faudra augmenter le courant de manière importante tout en tenant compte des
contraintes thermiques.
Supposons, par exemple, que le dispositif étudié doit fournir une force constante, le
dimensionnement optimal, du point de vue du coût de production, correspondra à une
convergence des contraintes au point de fonctionnement. Avec un dimensionnement
optimal, ce point de fonctionnement correspondra à un état magnétique du fer autour
du coude de saturation.