Machines

Rappels d’Électrotechnique
I. Matériaux constitutifs des machines électriques
Les machines électriques, selon leur principe de fonctionnement, sont essentiellement
constituées de deux ou trois matériaux (Bobines (cuivre), Fer (feuilleté ou massif),
Aimants permanents).
Tableau I
Matériaux utilisés
Type de machine
Bobines
Fer
Aimants
(cuivre)
Machine à Courant Continu
x
x
x
DC machine
Machine Synchrone
Synchronous machine
x
x
x
(Brushless DC, Brushless AC)
Machine Asynchrone
Asynchronous machine
x
x
Induction machine
Machine à Réluctance Variable
x
x
Switched Reluctance machine
II. Circuits magnétiques – Notions de dimensionnement
Considérons un circuit magnétique (figure suivante) possédant une partie déplaçable.
La bobine est alimentée sous la tension (voltage) u et traversée par un courant
(current) i.
(Bobine : coil ou winding, entrefer : airgap)
Fig. 1. Électro-aimant
1
La tension u aux bornes de la bobine est égale à la variation du flux magnétique Φ.
u = Ri +
dΦ
d ( Li )
= Ri +
dt
dt
(1)
L étant l’inductance de la bobine.
L’énergie électromagnétique Wem s’évalue en étudiant les échanges d’énergie à x
constant (position fixe), en négligeant les pertes Joule.
dWem = ( u - Ri) idt = i
dΦ
d ( Li )
1
dt =
dt = id ( Li ) = iLdi ⇒ Wem = Li 2
dt
dt
2
(2)
La force s’évalue, par exemple, au cours d’un déplacement dx pendant un temps dt. La
variation de l’énergie totale Wt pendant le laps de temps dt est égale à :
dWt = uidt = i
dΦ
d ( Li )
dt =
dt = id ( Li ) = i 2 dL + iLdi
dt
dt
(3)
Sachant que la variation de l’énergie électromagnétique pendant ce déplacement est
égale à :
dWem = Lidi +
1 2
i dL
2
(4)
il est possible de déduire la variation de l’énergie mécanique Wmec :
dWmec = dWt - dWem =
La force est donc égale à :
Avec
Be
He
Ste
µ0
1 2
i dL = Fdx
2
1 2 dL
1
1 Be 2
2
F = i
= - µ 0He Ste = S
2 dx
2
2 µ 0 te
(5)
(6)
Induction dans l’entrefer (airgap flux density)
Champ magnétique dans l’entrefer (magnetic field)
Section totale d’entrefer
Perméabilité du vide (=4π 10-7 H/m)
On retrouve l’expression de la pression magnétique :
F
1
1 Be 2 1
2
P =
= µ He =
= BeHe
Ste 2 0
2 µ0
2
(7)
Dans une démarche de dimensionnement (design), ayant pour but d’améliorer les
performances du dispositif de la figure 1, nous allons étudier la possibilité
d’augmenter la force produite.
2
II.1. Notions de dimensionnement :
Toute démarche de dimensionnement se base sur un cahier des charges
(specifications ou specification sheet). Le cahier des charges assigne des objectifs à
atteindre et décrit les contraintes auxquelles est soumis le système. Il s’agit en
général d’atteindre des performances optimales compte tenu de certaines limitations.
Exemple de limitations :
Contraintes de coût : enveloppe disponible pour la R&D et coût global du dispositif
final.
Contraintes mécaniques : espace disponible, vitesse de fonctionnement, vibrations et
bruit, … etc.
Contraintes thermiques : température de fonctionnement, augmentation maximale de
la température.
Les limitations auront des effets sur le dimensionnement d’un dispositif, ainsi que sur
les choix technologiques lors de la réalisation de ce dispositif (choix des matériaux
par exemple).
Remarque : La contrainte thermique se traduit généralement par une densité de
courant (current density) J limite. On tolère généralement un certain niveau de
pertes par volume. Prenons par exemple une bobine de résistance R, traversée par un
courant I, les pertes Joule sont données par :
PJ = RI 2 = ρVJ 2
Avec
Ρ
V
(8)
Résistivité du matériau constituant la bobine (cuivre)
Volume du cuivre de la bobine
L’expression du rapport pertes Joule sur volume est alors égal à :
PJ
= ρJ 2
V
(9)
Pour un matériau donné (avec une résistivité donnée), on voit que cette limitation se
traduit par une limitation sur la densité de courant.
II.1.a. Augmentation de la force :
On peut voir qu’il est possible d’augmenter la force en accroissant la section totale
d’entrefer ou en augmentant l’induction dans l’entrefer (équation (7)).
A volume donné (section d’entrefer constante), l’augmentation de la force ne peut se
faire qu’en augmentant l’induction magnétique.
3
Considérons le cas d’un matériau magnétique linéaire (pas de saturation magnétique) :
B = µ0 µ r H , avec µ r = Cte
(8)
µr étant la perméabilité relative du fer,
à partir de la forme intégrale des équations de Maxwell, il est possible de déterminer
l’expression de l’induction dans l’entrefer. En vertu du théorème d’Ampère :
Hf lf + He 2x = Ni
Avec
Hf
Lf
N
Ni
(9)
Champ magnétique dans le fer
Parcours moyen du flux dans le fer
Nombre de spires de la bobine (number on turns)
Force magnétomotrice FMM (magnetomotive force MMF)
Par ailleurs, la loi de conservation de flux, en négligeant les fuites, permet d’écrire :
BeSe = BfSf
Avec
Bf
Sf
Se
(10)
Induction magnétique dans le fer
Section du fer
Section d’entrefer (Ste/2)
Par (9) et (10), et en supposant Sf = Se, on obtient :
Be =
µ0 Ni
( Lf µ r + 2 x )
(11)
L’équation (11) permet de déterminer les paramètres dimensionnants, sur lesquels il
est possible d’agir afin d’augmenter l’induction et par suite la force.
Ces paramètres sont :
Le courant i
L’entrefer x
La perméabilité relative du fer µr (choix du matériau)
Pour augmenter la force on peut augmenter le courant i (les autres paramètres étant
fixes). L’augmentation du courant sera cependant limitée par les contraintes
thermiques. Il existe donc un courant maximum admissible compte tenu des
contraintes thermiques.
Supposons que le courant imposé est maximal, il reste possible d’augmenter la force
en réduisant l’entrefer x.
4
Admettons que x = 0 mm. Le dernier paramètre sur lequel il est possible d’agir est la
perméabilité relative du fer µr. L’augmentation de la force passe par le choix d’un
matériau ayant une perméabilité relative élevée (le cas idéal serait d’avoir µr = +∞).
II.1.b. Saturation magnétique :
Dans le paragraphe précédent, le matériau magnétique était supposé linéaire (pas de
saturation magnétique). Dans la réalité, tous les matériaux magnétiques possèdent une
caractéristique B-H non linéaire (BH curve) (fig. 2).
Pour simplifier, on modélise souvent la courbe B(H) par des segments de droites. Un
premier segment de droite modélise la caractéristique à champ faible (H faible), et un
second segment modélise la caractéristique à champ fort (H élevé). L’intersection de
ces deux droites est appelé "coude de saturation".
À champ faible, la pente de la courbe B(H) (pente = µ0 µr) est relativement élevée. Dès
l’apparition du coude de saturation, on constate qu’une augmentation minime du niveau
d’induction magnétique correspond à une forte augmentation du champ magnétique.
Fig. 2. Courbe de première aimantation d’un matériau ferromagnétique.
Le champ magnétique est proportionnel au courant, une forte augmentation du champ
magnétique H correspondra à une forte augmentation du courant i. Donc, après le
coude de saturation, si l’on désire augmenter la force en augmentant l’induction, il
faudra augmenter le courant de manière importante tout en tenant compte des
contraintes thermiques.
Supposons, par exemple, que le dispositif étudié doit fournir une force constante, le
dimensionnement optimal, du point de vue du coût de production, correspondra à une
convergence des contraintes au point de fonctionnement. Avec un dimensionnement
optimal, ce point de fonctionnement correspondra à un état magnétique du fer autour
du coude de saturation.
5
II.1.b.1. Explication :
Prenons le cas d’un électroaimant pour lequel le point de fonctionnement sur la courbe
B(H) se trouve au delà du coude de saturation (Fig. 3). Ce point de fonctionnement
correspond au courant maximal (densité de courant maximale) satisfaisant la
contrainte thermique.
Fig. 3. Point de fonctionnement B(H) dans la zone fortement saturée (cas 1).
Il est clair, en observant la figure 3, que le niveau d’induction correspondant au
courant maximal, est très proche du niveau d’induction au coude de saturation ; il en
est de même concernant la force produite. Cela signifie qu’il serait plus intéressant,
de diminuer le courant i de manière à ce que le point de fonctionnement se place dans
la zone du coude de saturation.
Un courant plus faible implique une réduction de la consommation et un coût
d’exploitation plus faible également (Fig. 4, cas 2). Cette diminution du courant
permet d’avoir une certaine marge par rapport à la contrainte thermique.
(a) cas 2 et 4
(b) cas 3
Fig. 4. Point de fonctionnement B(H) dans la zone du coude de saturation.
6
Il serait également possible d’utiliser un matériau (fer), moins cher, avec une
perméabilité relative plus faible à faible champ (Fig. 4, cas 3, courbe 2), pour lequel le
point de fonctionnement se trouverait dans la zone du coude de saturation. Cette
deuxième possibilité ne permet pas de réduire le coût d’exploitation, puisque les
pertes Joule sont identiques au cas 1.
Une troisième possibilité serait de réduire le courant, pour que le point de
fonctionnement se cale sur la zone du coude de saturation, et de réduire en même
temps le volume de cuivre, de manière à avoir la même densité de courant qu’au cas 1,
et ainsi faire coïncider la contrainte thermique avec ce point de fonctionnement (dans
la zone du coude de saturation). Cette solution permet de réduire le coût de
production tout en respectant la limite thermique. Cependant la réduction du coût
d’exploitation serait moindre que dans le cas 2.
III. Pertes dans les machines électriques
Une fraction de la puissance active que convertissent les machines électriques est
perdue sous forme calorifique (chaleur). Ces pertes (losses) peuvent être divisées en
deux groupes :
1) Pertes mécaniques (mechanical loss)
2) Pertes électromagnétiques (electromagnetic loss)
III.1. Pertes mécaniques
Les pertes mécaniques sont essentiellement dues aux frottements : frottements des
parties mobiles avec l’air (pertes aérodynamiques (aerodynamic loss ou windage loss)),
ou frottements des pièces mécaniques entre elles (pertes par frottement (friction
loss)).
Les pertes aérodynamiques ne sont significatives que pour des fonctionnements à
hautes vitesses.
Les pertes par frottement correspondent en général aux pertes dans les roulements
(bearings).
III.2. Pertes électromagnétiques
Les pertes électromagnétiques peuvent être classées en deux catégories :
1) Pertes Joule ou pertes cuivre (Joule loss ou copper loss)
2) Pertes fer (iron loss ou core loss)
7
III.2.a. Pertes cuivre
Les pertes cuivre correspondent aux pertes par effet Joule. Les pertes Joule, dans
une bobine de résistance R, s’expriment par :
PJ = RI 2
(12)
I étant la valeur du courant continu ou efficace dans la bobine.
En courant alternatif, lorsque la fréquence est assez élevée et que la section des
conducteurs est assez importante, la résistance de la bobine est plus élevée que la
résistance en courant continu Rcc.
Rcc = ρ
Avec
Rcc
Ρ
S
L
L
S
(13)
Résistance en courant continu
Résistivité du matériau constituant la bobine
Section d’un conducteur
Longueur totale du fil conducteur
Cela est dû au fait que la distribution de la densité de courant n’est plus homogène en
courant alternatif (effet de peau ou effet pelliculaire (skin effect)).
Pour un conducteur de section circulaire, soumis seulement au champ magnétique créé
par le courant le traversant, la densité de courant est plus élevée vers l’extérieur
(périphérie) du conducteur. Cette distribution non homogène résulte de la circulation
de "courants de Foucault" induit par le champ magnétique créé par le courant
traversant le conducteur.
Il est à noter que la résistivité varie en fonction de la température.
Afin de réduire ces pertes (pertes Joule) il est plus intéressant d’utiliser des
matériaux à faible résistivité (le cuivre est le matériau le plus utilisé pour les
bobines).
III.2.b. Pertes fer
Les pertes fer sont dues à la variation du flux dans les parties magnétiques. Elles
englobent deux types de pertes :
III.2.b.1. Pertes par hystérésis (hysteresis loss)
Les matériaux ferromagnétiques sont divisés en domaines magnétiques, appelés
domaines de Weiss, qui sont spontanément aimantés (Fig. 5.a). Si le matériau n’a pas
été soumis à un champ magnétique, les domaines de Weiss le constituant s’orienteront
de manière à minimiser l’énergie magnétique totale du matériau. Lorsqu’un champ
magnétique est appliqué pour la première fois, les domaines vont commencer à
s’orienter dans la direction de ce champ. Si le champ appliqué augmente, de plus en
plus de domaines vont s’orienter dans sa direction. Lorsque le champ magnétique est
8
assez élevé et que tous les domaines sont orientés dans le sens du champ, le matériau
magnétique est saturé. À partir de là, si le champ magnétique diminue, on constate que
l’induction, à même valeur de champ, est plus élevée que lors de la première application
du champ ; c’est le phénomène d’hystérésis (Fig. 5.b).
a) domaines de Weiss
b) cycle d’hystérésis
Fig. 5. Pertes par hystérésis.
Si le champ magnétique appliqué est alternatif, la variation sur une période permet de
décrire un cycle complet, représentant l’énergie perdue par hystérésis. Ces pertes
correspondent à un "frottement magnétique" des domaines de Weiss les uns contre
les autres qui tendent à suivre la direction du champ à chaque alternance.
III.2.b.2. Pertes par courants de Foucault (eddy current loss)
Tout matériau conducteur massif soumis à un flux variable est le siège d’un
dégagement de chaleur dû aux pertes Joule, de courants dits de Foucault (eddy
currents). Les variations de flux engendrent des f.e.m. qui donnent naissance à des
courants se formant dans la masse. Pour diminuer ces pertes, on peut choisir d’utiliser
des matériaux à résistivité élevée ou bien feuilleter le matériau parallèlement au flux
(tôles) de manière à réduire les sections de passage des courants (Fig. 6). Les tôles
magnétiques sont généralement recouvertes d’un isolant si bien que les courants de
Foucault ne peuvent pas circuler d’une tôle à l’autre.
Fig. 6. Pertes par courants de Foucault.
9
Les courants de Foucault ont tendance à s’opposer au flux leur donnant naissance.
On trouve dans la littérature plusieurs expressions pour les pertes fer. Ces
expressions sont toujours fonction de paramètres empiriques.
IV. Champs tournants – Systèmes triphasés alternatifs
Pour créer un champ tournant à une vitesse donnée Ω, il suffit d’alimenter une bobine
en courant continu et de la faire tourner à la vitesse voulue (Fig. 7.a). Il est également
possible d’utiliser un aimant permanent et de le faire tourner à la vitesse Ω (Fig. 7.b).
Considérons un point M dans l’entrefer (Fig. 7.b), et supposons que la répartition de
l’induction créée par l’aimant (ou la bobine (Fig. 7.a), à un instant t, est sinusoïdale (en
réalité la répartition spatiale de l’induction est périodique mais pas parfaitement
sinusoïdale (présence d’harmoniques)). On repère le point M par l’angle θ que fait l’axe
passant par ce point et le centre de la roue polaire et l’axe de référence lié au stator.
Le champ magnétique créé par la roue polaire au point M est donné par :
H ( θ ,t ) = H M cos( θ - Ωt )
(14)
HM est la valeur maximale du champ magnétique.
a) bobine d’excitation
b) excitation par aimant permanent
Fig. 7. Champ tournant circulaire.
L’équation (14) représente l’expression d’un champ magnétique à répartition spatiale
sinusoïdale et tournant dans le sens direct (sens trigonométrique, ou sens antihoraire). Le sens horaire est dit sens inverse.
10
Une autre solution, pour créer un champ tournant, consiste à disposer trois bobines
décalées entre elles d’un angle de 2π/3 (système triphasé) et de les alimenter avec
des courants sinusoïdaux équilibrés, formant, par exemple, un système direct (Fig. 8) :
iA = I M cos( Ωt )

iB = I M cos( Ωt - 2 π / 3 )

iC = I M cos( Ωt - 4 π / 3 )
(15)
Fig. 8. Champ tournant circulaire créé par des courants triphasés.
Chaque bobine ou enroulement va créer un champ magnétique au point M. Comme
précédemment, on suppose que l’induction (ou le champ) créée par chaque bobine est à
répartition spatiale sinusoïdale. Les expressions des champs magnétiques créés par
chaque bobine, au point M, sont donnés par :
H A = H M cos(Ωt ) cos θ
H B = H M cos(Ωt - 2π / 3) cos(θ - 2π / 3)
(15)
H C = H M cos(Ωt - 4π / 3) cos(θ - 4π / 3)
Le champ total créé au point M est la somme (superposition) des champs créés
séparément par chacune des bobines :
HT = H A + H B + H C =
3
H cos( θ - Ωt )
2 M
(16)
L’expression de ce champ est identique à celle de l’équation (14) à un facteur près.
(Dans ce qui a précédé nous n’avons considéré que le cas d’une paire de pôles. Dans le
cas de plusieurs paires de pôles, il faut multiplier la vitesse de rotation Ω et l’angle θ
par le nombre de paires de pôles p).
11
VI.1. Théorème de Ferraris
Une armature multipolaire (p paires de pôles) polyphasée (q phases) d’espace et
parcourue par des courants sinusoïdaux polyphasés (q phase) équilibrés de pulsation ω
permet de créer un champ tournant à la vitesse ±ω/p (+ pour le sens direct et – pour
le sens inverse, avec ω = pΩ).
VI.2. Parenthèse (Pourquoi le triphasé alternatif)
VI.2.a. Pourquoi le courant alternatif ?
Les premiers systèmes de production et de distribution de la puissance électrique
étaient basés sur le courant continu (DC current) (Thomas Alva Edison, fin du 19ème
siècle). Aujourd’hui la production et la distribution de la puissance électrique se fait
par des courants alternatifs. L’idée d’utiliser le courant alternatif (AC current) a été
suggérée par Nikola Tesla (fin du 19ème siècle).
Le transport de la puissance électrique sur de très longues distances nécessite
l’utilisation de tensions très élevées, qui permettent de réduire les pertes dans les
lignes de transport.
Prenons l’exemple d’une centrale générant de la puissance électrique monophasé Pg. En
admettant que la ligne de transport du courant puisse être assimilée à une résistance,
la puissance au niveau du récepteur Pc (consommateur) sera égale à :
Pc = Pg - Pl
(17)
Pl étant la puissance dissipée par la ligne.
Si U est la tension de référence au niveau de l’utilisateur, on peut montrer que le
rapport entre la puissance dissipée dans la ligne de transport sur la puissance
consommée est égale à :
Pl ρJl
=
Pc
U
Avec
L
Ρ
J
(18)
Longueur de la ligne
Résistivité du matériau utilisé pour la ligne
Densité de courant maximale admissible
L’on comprend bien qu’il est plus intéressant d’avoir une tension U très élevée. Les
pertes en ligne sont d’autant plus faibles que la tension est élevée. Il en est de même
pour le volume du matériau utilisé pour la ligne :
V =
Pcl
UJ
(19)
Le transport du courant continu était trop onéreux compte tenu de la difficulté
d’obtenir des tensions continues élevées. L’obtention de tensions alternatives élevées
se fait très facilement en utilisant des transformateurs (power transformer).
12
IV.2.b. Pourquoi le triphasé ?
Pourquoi pas le monophasé ?
Considérons un réseau triphasé alimentant un récepteur triphasé (trois récepteurs)
absorbant un courant i par phase (Fig. 9). On suppose que la densité de courant
correspondant au courant i est la densité maximale admissible J. S’ il avait fallu
alimenter les récepteurs en monophasé, on aurait besoin de trois fois deux
conducteurs (aller et retour) transmettant chacun le courant i, ou de deux
conducteurs transmettant le courant 3i, et donc de section trois fois plus grande que
les précédents. L’économie sur le volume des conducteurs est évidente. La même
démarche permet de montrer que le réseau triphasé est plus économique que le
réseau biphasé.
Fig. 9. Réseau triphasé et monophasé.
Par ailleurs on peut montrer que le triphasé fait disparaître la puissance fluctuante
dans l’expression de la puissance instantanée.
Remarque : Quoique nous n’ayons parlé que du triphasé, tout ce qui vient d’être dit
s’applique aussi à un système à q phases (q > 3). Il n’est, par contre, pas nécessaire
d’aller au-delà du triphasé pour en trouver les avantages.
13
Modélisation des Machines Électriques
I. Machines synchrones (synchronous machines)
La machine synchrone est le plus souvent utilisée en génératrice, on l’appelle alors
"alternateur". Les centrales de production de l’électricité sont équipées
d’alternateurs triphasés. Il s’agit d’applications de fortes puissances à vitesse
constante (pour maintenir la fréquence du réseau).
En France, des moteurs synchrones autopilotés ont été utilisés pour la traction du
T.G.V. Atlantique. Il s’agissait également d’une application de forte puissance.
Pour les applications de fortes puissances, l’inducteur (circuit d’excitation permettant
de créer le flux d’excitation) est généralement bobiné, alimenté par un courant
continu. Dans le domaine des faibles puissances, on trouve une excitation par aimants
permanents.
Les moteurs synchrones peuvent également être utilisés en "compensateur synchrone"
pour améliorer le facteur de puissance des installations électriques.
I.1. Constitution des machines synchrones
Comme dans toutes les machines tournantes, on distingue la partie fixe appelée stator
(induit), de la partie tournante appelée rotor (inducteur). Le stator permet de créer
un champ tournant au moyen de courants alternatifs alors que le rotor va créer un
champ continu qui va tourner lors de la rotation de la machine. L’interaction entre ces
deux champs permet de créer le couple.
Le stator est formé par un empilage de tôles, il porte sur la face tournée vers
l’entrefer un bobinage triphasé, placé dans des encoches.
Le rotor est également formé par un empilement de tôles magnétiques, et il porte un
enroulement inducteur alimenté en continu. Pour les alternateurs de forte puissance
le rotor est également équipé d’enroulements amortisseurs à sa surface. Les
amortisseurs sont des enroulements en court-circuit, ils ont un double rôle : ils
permettent l’amortissement des oscillations du rotor autour de sa position d’équilibre,
lors des régimes transitoires, et le démarrage, en régime asynchrone, des moteurs
synchrones. Ils permettent également d’atténuer les harmoniques du flux d’entrefer.
Il existe deux types de machines synchrones correspondant à deux types de rotor :
1) Machines synchrones à pôles lisses (Fig. 11)
2) Machines synchrones à pôles saillants (Fig. 12)
Pour les machines à pôles lisses, les enroulements statoriques ne voient aucune
variation de la réluctance magnétique lorsque le rotor tourne. Pour les machines à
pôles saillants, ces enroulements voient une réluctance variant avec la position du
rotor.
14
Fig. 11. Rotor à pôles lisses.
Fig. 12. Machine à pôles saillants.
Les alternateurs à pôles saillants sont utilisés à basse vitesse (entraînement par
turbine hydraulique) et les alternateurs à pôles lisses à haute vitesse (entraînement
par turbine à gaz).
Pour l’alimentation des enroulements inducteurs en courant continu, il existe deux
solutions :
1) le courant d’excitation peut être fourni par une génératrice à courant continu
(excitatrice) accouplée à l’alternateur. L’excitatrice débite par deux lignes de
contacts bagues-balais (Fig. 13).
2) Le plus souvent, pour éviter les contacts glissants, on préfère accoupler à
l’alternateur l’induit d’un alternateur inversé (induit tournant interne ou
externe) qui débite dans l’inducteur par l’intermédiaire d’un redresseur
tournant lui aussi. On règle le courant d’excitation par l’inducteur fixe de
l’alternateur d’excitation (Fig. 14).
Fig. 13. Excitation par une génératrice à c.c. (alternateur de 500 MW).
15
Fig. 14. Excitation sans balais.
Ce n’est que pour les machines à faible puissance qu’on crée le flux inducteur à l’aide
d’aimants permanents. Les figures suivantes donnent une idée des dimensions des
alternateurs utilisés dans les centrales de production d’électricité.
a) Stator d’un alternateur.
a) Rotor à pôles saillants.
c) Insertion du rotor dans le stator.
Fig. 15. Alternateur à pôles saillants.
16
I.2. Fonctionnement en régime permanent
Compte tenu des dimensions des alternateurs et du niveau des puissances mises en
jeu, l’étude de leur fonctionnement en charge par des mesures directes est
pratiquement impossible. Il faudrait disposer de récepteurs capables d’absorber la
pleine charge d’un alternateur.
La prédétermination des conditions de fonctionnement d’un alternateur en charge par
des méthodes indirectes, ne nécessitant que des essais à faible puissance (n’obligeant
pas une mise en charge), présente donc un intérêt particulier.
La prédétermination des conditions de fonctionnement en charge se présente sous
deux formes :
1) Données U, I, φ. Trouver Ie.
2) Données Ie, I, φ. Trouver U.
Avec
I
U
φ
Ie
Courant de charge débité
Tension en charge
Déphasage courant-tension
Courant d’excitation
Dans le passé, quand les moyens de calculs informatiques n’existaient pas, les
méthodes indirectes à partir d’essais à faible puissance étaient basées sur un graphe
communément appelé diagramme. Trois principales méthodes existent :
1) Diagramme de Behn-Eschenburg (diagramme de la réactance synchrone)
2) Diagramme de Potier
3) Diagramme de Blondel (diagramme de la double réaction)
I.2.a. Diagramme de Behn-Eschenburg
Cette méthode fait l’hypothèse de la linéarité du circuit magnétique (pas de
saturation). Ce diagramme convient bien aux machines synchrones à pôles lisses non
saturées. La figure suivante montre le schéma électrique équivalent correspondant au
diagramme de Behn-Eschenburg (Fig. 16).
Fig. 16. Schéma électrique équivalent de Behn-Eschenburg.
17
Trois essais de faible puissance permettent de déterminer les paramètres de ce
schéma :
1) Une mesure de la résistance statorique en continu.
2) Un essai à vide permettant de relever la caractéristique à vide E(Ie).
3) Un essai en court circuit permettant de calculer la valeur de la réactance
synchrone Lω.
Cette méthode ne s’applique pas aux cas des machines synchrones à pôles saillants
qu’elles soient saturées ou non, et aux machines synchrones à pôles lisses saturées.
I.2.b. Diagramme de Potier
Cette méthode s’applique aux machines synchrones à pôles lisses en régime linéaire ou
saturé. Quatre essais à faible puissance sont nécessaires pour la détermination des
paramètres permettant de tracer le diagramme de Potier :
1) Une mesure de la résistance statorique en continu.
2) La caractéristique à vide E(Ie).
3) La caractéristique en court-circuit Icc(Ie).
4) Un point en débit réactif (essai en déwatté) (la tension et le courant pour cet
essai doivent être égales respectivement à U et I donnés).
En régime linéaire ce diagramme est semblable au diagramme de Behn-Eschenburg.
I.2.c. Diagramme de Blondel (ou de la double réaction)
Le diagramme de Blondel dit "diagramme de la double réaction" (two reaction theory)
permet d’étudier le comportement en régime permanent des machines synchrones à
pôles saillants. Il est essentiellement utilisé pour la détermination du courant
d’excitation correspondant à un point de fonctionnement donné (tension U, courant I,
et facteur de puissance φ donnés). Dans cette méthode, la réaction magnétique
d’induit est décomposée en une réaction directe ou longitudinale et une réaction
transversale.
Pour déterminer les paramètres permettant de tracer le diagramme de Blondel, cinq
essais sont nécessaires :
1) Une mesure de la résistance statorique en continu.
2) La caractéristique à vide E(Ie).
3) La caractéristique en court-circuit Icc(Ie).
4) Un point en débit réactif (essai en déwatté) (la tension et le courant doivent
être égales respectivement à U et I donnés).
5) Un essai à faible glissement, le circuit inducteur étant ouvert.
Ces essais permettent de déterminer les réactances d’axe direct et transversal.
La méthode s’applique aux machines synchrones à pôles saillants en régime linéaire ou
saturé.
18
I.3. Machine synchrone triphasée idéalisée
Avant de présenter le modèle de la machine synchrone idéalisée lui-même, il faut
noter que ce modèle découle d’hypothèses simplificatrices dites "de Park ".
Ces hypothèses stipulent que :
1) les enroulements créent des F.M.M. à répartition sinusoïdale (modèle premier
harmonique) ;
2) la saturation magnétique et les pertes fer sont négligeables.
Ces hypothèses permettent d’obtenir un modèle relativement simple décrivant le
comportement de la machine synchrone, tant en régime permanent qu’en régime
transitoire.
La machine synchrone dont nous allons étudier la mise en équations correspond à la
structure de principe représentée à la figure suivante (Fig. 17).
Fig. 17. Représentation des différents enroulements d’une machine synchrone
triphasée.
L’enroulement statorique comporte trois phases identiques décalées entre elles dans
l’espace d’un angle électrique égal à 2π/3. Ces trois phases seront indicées
respectivement A, B, et C.
Outre l’enroulement d’excitation (indice e), monophasé, distribué suivant les axes
polaires successifs, le rotor est équipé au voisinage de l’entrefer d’un enroulement en
court-circuit dit enroulement amortisseur (damping windings), constitué soit par des
barres de cuivre court-circuitées par des anneaux comme la cage d’un moteur
19
asynchrone, soit par les pièces en acier massif constituant le cylindre rotorique ou les
pôles inducteurs (Fig. 17).
Pour l’analyse du comportement, l’enroulement amortisseur est décomposé en deux
enroulements en court-circuit agissant respectivement dans l’axe polaire (indice D) et
dans l’axe interpolaire (indice Q), donc magnétiquement en quadrature (Fig. 18). Ces
deux axes correspondent respectivement aux axes longitudinal et transverse définis
dans le diagramme de Blondel (Fig. 18). Les deux enroulements possèdent des
paramètres caractéristiques différents.
a) enroulement amortisseur longitudinal
b) enroulement amortisseur transversal
Fig. 18. Enroulements amortisseurs
La figure suivante (Fig. 19) montre une représentation schématique de la machine
synchrone, les enroulements amortisseurs étant assimilés à deux enroulements en
court-circuit.
Fig. 19. Machine synchrone triphasée ; amortisseurs assimilés à deux enroulements en
court-circuit, en quadrature l’un de l’autre.
20
I.3.a. Équations électriques et magnétiques
Tous les enroulements sont considérés comme récepteurs d’énergie électrique
(convention moteur). Les enroulements amortisseurs sont eux en court-circuit.
Compte tenu des conventions précédentes, les six enroulements de la figure 19
obéissent aux équations suivantes :
dΦA

v A = dt + Rs iA

dΦB

+ Rs iB
Équations des enroulements statoriques : v B =
dt

dΦC

+ Rs iC
vC =
dt

(20)
dΦe

v e = dt + Re ie

dΦ

Équations des enroulements rotoriques : 0 = D + RD iD
dt


dΦQ
+ RQ iQ
0 =
dt

(21)
En passant à une représentation matricielle et en explicitant les expressions des flux,
on obtient :
d
{ [L ][i ] + [MSR ] [iR ] }
dt SS S
[v R ]= [RR ] [iR ] + d { [MRS ] [iS ] + [LRR ][iR ] }
dt
[vS ]= [RS ] [iS ] +
(22)
Avec
vA 
ve 


[vS ] = vB  ; [vR ] = 0  ; [iS ] =
vC 
0 
ie 
iA 
RS
 
 

iB  ; [iR ] = iD  ; [RS ] =  0
i 
i 
 0
C 
Q 
 Le
0 


0  ; [LRR ] = MeD
 0
RQ 

0
RS
0
0 
0  ;
RS 
Re
[RR ] =  0
0

0
RD
0
L
[LSS ] = M
M
M M
cos(2pθ )
cos(2pθ − 2 π/3) cos(2pθ + 2 π/3) 


 ;

cos(2pθ )
L M  + Lv cos(2pθ − 2 π/3) cos(2pθ + 2 π/3)

cos(2pθ + 2 π/3)
cos(2pθ )
cos(2pθ − 2 π/3) 
M L 

MeS cos(pθ )

[MSR ] = MeS cos(pθ − 2 π/3)
M cos(pθ + 2 π/3)
 eS
[MRS ] = [MSR ] t
MeD
LD
0
0 

0  ;
LQ 

MDS cos(pθ )
- MQS sin(pθ )

MDS cos(pθ − 2 π/3) - MQS sin(pθ − 2 π/3)  ;
MDS cos(pθ + 2 π/3) - MQS sin(pθ + 2 π/3) 
21
Dans les deux paragraphes suivants, nous allons étudier la manière de retrouver les
expressions des inductances propres des différents enroulements, et les inductances
mutuelles entre enroulements.
I.3.b. Expressions des inductances propres
Étant donné que le stator ne présente pas de saillance magnétique, les inductances
propres des enroulements rotoriques sont constantes (pas de variation avec l’angle θ).
Par contre les inductances propres des enroulements statoriques sont fonction de
l’angle θ. La saillance du rotor entraîne une variation de l’inductance propre d’une
phase du stator entre deux valeurs extrêmes correspondant à deux positions
particulières. En général, l’inductance propre d’une phase est maximale quand son axe
est en phase avec l’axe direct (ou longitudinal ou polaire) (Fig. 20.a), et elle est
minimale lorsque son axe est en phase avec l’axe en quadrature (ou transversal ou
interpolaire) (Fig. 20.b).
Remarque importante : Ceci n’est pas vérifié pour la totalité des machines synchrones.
a) axe d coïncidant avec l’axe de la phase
b) axe q coïncidant avec l’axe de la phase
Fig. 20. Positions particulières du rotor par rapport à une phase.
L’inductance propre d’une phase statorique se décompose en deux termes :
LA = LAp + LAf
(23)
Avec, LA inductance propre
LAp inductance principale de la phase A
LAf inductance de fuite
La figure suivante illustre les notions de flux de fuite et de flux principal (Fig. 21).
22
Fig. 21. Illustration du flux de fuite et du flux principal.
La F.M.M. est une grandeur scalaire. Cependant étant donné qu’elle est créée par un
courant traversant une bobine, et que la bobine possède un axe, on peut lui associer un
vecteur colinéaire avec cet axe. Le module de ce vecteur est égal à la valeur de la
F.M.M.
La F.M.M. peut être décomposée en deux composantes, l’une sur l’axe direct d et
l’autre sur l’axe transversal q (Fig. 22) :
FMMd = FMM cos( pθ )

FMMq = - FMM sin( pθ )
(25)
Les flux correspondants dans l’axe direct et transversal créés par ces deux
composantes de la F.M.M. sont égaux à :
FMMd

FMM
φ
=
=
cos(pθ )
 Ad
ℜd
ℜd


FMMq
FMM
φ
=
=−
sin(pθ )
Aq

ℜ
ℜ
q
q

Avec
ℜd
ℜq
Réluctance dans l’axe direct d
Réluctance dans l’axe transversal q
23
(25)
Fig. 22. Décomposition de la F.M.M. principale.
Pour obtenir les composantes du flux total principal embrassant la phase A, dans l’axe
direct et transversal, il est nécessaire de multiplier les expressions données à
l’équation (25) par le nombre de spires Ns et un coefficient kb dit coefficient de
bobinage.
ΦAd = N s kb φAd

ΦAq = Ns kb φAq
(26)
Il s’ensuit que le flux total principal ΦA embrassant la phase A est égal à :
ΦA = ΦAd cos( pθ ) − ΦAq sin( pθ )
FMM
FMM
= Ns kb
cos 2 ( pθ ) + Ns kb
sin 2 (pθ )
ℜd
(27)
ℜd
En posant :
FMM

Lpd = Ns kb i ℜ
A d


Lpq = N s kb FMM

iA ℜ q
(28)
Il s’ensuit que l’inductance propre de la phase A s’exprime comme :
Φ
LA = LAf + A = L + Lv cos( 2 pθ )
iA
avec,
Lpd + Lpq
2
Lpd - Lpq
Lv =
2
L = LAf +
24
(29)
De la même manière il est possible de démontrer que :
LB = L + Lv cos( 2 pθ + 2 π / 3 )
LC = L + Lv cos( 2 pθ - 2 π / 3 )
(30)
Le flux de fuite est le même pour toutes les phases.
I.3.c. Expressions des inductances mutuelles
I.3.c.1. Inductances mutuelles entre bobinages statoriques
De même que le flux total principal embrassant la phase A est obtenu par la
projection de ses composantes sur l’axe A, le flux mutuel créé par la phase A et
embrassant la phase B est obtenu par la projection de ces mêmes composantes sur
l’axe de la phase B. On peut écrire :
ΦBA = ΦAd cos( pθ − 2π / 3) − ΦAq sin( pθ − 2π / 3)
(31)
L’inductance mutuelle entre la phase A et B est alors égale à :
Lpd + Lpq
Φ
+ Lv cos( 2 pθ + 2 π / 3 )
MBA = BA = iA
4
(32)
L’expression du paramètre M défini à l’équation (22) s’exprime par :
M =-
Lpd + Lpq
4
(33)
De la même manière il est possible d’obtenir les autres paramètres de la matrice
[LSS].
I.3.c.2. Inductances mutuelles entre bobinages rotoriques
Le flux créé par une bobine ayant un axe donné, noté b1, n’engendre aucun flux dans
une bobine dont l’axe est en quadrature avec l’axe b1. C’est pourquoi il n’y a pas
d’inductance mutuelle entre les bobines rotoriques dans l’axe direct d et la bobine se
trouvant dans l’axe transversal q.
Il existe par contre un couplage magnétique entre les deux bobines (bobine
d’excitation et amortisseur d’axe direct) se trouvant dans l’axe direct. L’inductance
mutuelle traduisant ce couplage ne dépend pas de la position respective.
I.3.c.2. Inductances mutuelles entre bobinages rotoriques et statoriques
Comme précédemment, il est très aisé de retrouver les paramètres des matrices
inductances mutuelles stator-rotor et vice versa. Ces paramètres dépendent tous de
la position du rotor.
25
I.4. Transformation de Park
À partir des expressions des matrices des inductances propres du rotor et des
inductances mutuelles stator-rotor, il est possible d’exprimer les flux dans les
différentes bobines du rotor (bobine d’excitation et enroulement amortisseur D sans
l’axe direct, et enroulement amortisseur Q dans l’axe transversal), comme suit :
Φe = Le ie + MeD iD + MeS ( iA cos( pθ ) + iB cos( pθ - 2 π/3 ) + iC cos( pθ + 2 π/3 ))

ΦD = LD iD + MeD ie + MDS ( iA cos( pθ ) + iB cos( pθ - 2 π/3 ) + iC cos( pθ + 2 π/3 )) (33)

ΦQ = LQ iQ - MQS ( iA sin( pθ ) + iB sin( pθ - 2 π/3 ) + iC sin( pθ + 2 π/3 ))
Si l’on pose
id = iA cos( pθ ) + iB cos( pθ - 2 π/3 ) + iC cos( pθ + 2 π/3 )
iq = -iA sin( pθ ) - iB sin( pθ - 2 π/3 ) - iC sin( pθ + 2 π/3 )
(34)
on obtient un système d’équations avec des paramètres ne dépendant pas de la
position du rotor :
Φe = Le ie + MeD iD + MeS id

(35)
ΦD = LD iD + MeD ie + MDS id
Φ = L i + M i
QQ
QS q
 Q
La transformation de Park consiste à décrire les équations des six enroulements dans
un repère où les paramètres seront constants.
L’équation (34) qui a permis de définir deux nouvelles grandeurs et qui a permis de
simplifier les équations des flux des bobinages rotoriques correspond en fait à une
projection des vecteurs courants triphasés sur l’axe direct et transversal.
On peut montrer que la projection de la somme des vecteurs flux statoriques sur ces
deux axes permet aussi d’obtenir deux équations dont les paramètres sont constants.
Φd = ΦA cos( pθ ) + ΦB cos( pθ - 2 π/3 ) + ΦC cos( pθ + 2 π/3 )
Φq = -ΦA sin( pθ ) - ΦB sin( pθ - 2 π/3 ) - ΦC sin( pθ + 2 π/3 )
3
3
3
Lv )id + MeS ie + MDS iD
2
2
2
3
3
Φq = ( L - M - Lv )iq + MQS iQ
2
2
Φd = ( L - M+
(36)
(37)
Aux deux équations, correspondant à la projection des vecteurs flux statoriques sur
les axes direct et transversal, il faut adjoindre une troisième équation afin d’obtenir
une matrice de passage carrée et inversible. Pour cela on ajoute une composante dite
homopolaire (précédemment définie par Fortescue) :
io = iA + iB + iC
Φo = ΦA + ΦB + ΦC = ( L + 2 M ) io
26
(38)
Dans le cas des machines sans neutre (système à trois fils) la composante homopolaire
du courant est nul. La transformation de Park permet dans ce cas d’obtenir des
paramètres constants, ne dépendant pas de la position du rotor, et de réduire l’ordre
du système.
La transformation, précédemment définie, fait correspondre aux variables réelles
leurs composantes :
homopolaire (indice o)
d’axe direct (indice d)
d’axe en quadrature (indice q)
Le passage d’un système d’équation à l’autre se fait à travers des matrices de
passages :
io

id
i
q
 
1
 
 =  cos( pθ )
 − sin( pθ )
 
iA 
1 / 2
  2
iB  = 3 1 / 2
iC 
1 / 2
 
 iA 
 
cos( pθ + 2 π / 3 )  iB 
− sin( pθ + 2 π / 3 )  iC 
1
1
cos( pθ − 2 π / 3 )
− sin( pθ − 2 π / 3 )
cos( pθ )
cos( pθ − 2 π / 3 )
cos( pθ + 2 π / 3 )
 io

− sin( pθ − 2 π / 3 )  id
− sin( pθ + 2 π / 3 )  iq

− sin( pθ )





(39)
(40)
Remarque : cette transformation ne permet pas la conservation de la puissance
électrique instantanée :
v AiA + v B iB + vC iC + v e ie = vo io + vd id + v q iq + v e ie
(41)
Pour assurer la conservation de la puissance électrique instantanée, il faudrait que la
matrice de passage soit orthogonale :
[P ]−1 = [P ]T
(42)
[P] est la matrice de passage du système (ABC) vers le système (odq) :
Go

Gd
G
 q

GA 

 
 = [P ] GB 

G 
 C

(43)
Go, Gd et Gq représentent les grandeurs dans le repère de Park (système d’équation
(odq)). GA, GB et GC représentent les grandeurs réelles (système d’équation (odq))
Démonstration :
Si l’on veut conserver la puissance instantanée, il faudrait que :
v A 
[iA iB iC ] vB  = io id iq
vC 
[
27
]
vo

vd
v
q





(44)
En utilisant l’équation (43) pour remplacer les vecteurs des composantes (odq) on
arrive à :
vo 
v A 
 
 
(45)
io id iq vd  = [iA iB iC ] [P ] t [P ] v B 
v 
vC 
q
[
]
t
t
en notant que : ([A] [B]) = [B] [A]
t
Pour satisfaire l’équation (44), il faudrait que :
[P
1
P ] = 0
0
]t [
0 0
1 0  ⇒ [P ] t = [P ]−1
0 1 
(46)
(Fin de la démonstration)
Pour trouver la matrice de passage permettant de conserver la puissance instantanée,
on multiplie chaque ligne de la matrice de passage dans l’équation (38) par un
coefficient :
io

id
i
q
 
x
 
 =  y cos( pθ )
 − z sin( pθ )
 
x
y cos( pθ − 2 π / 3 )
− z sin( pθ − 2 π / 3 )
x
 iA 
 
y cos( pθ + 2 π / 3 )  iB 
− z sin( pθ + 2 π / 3 )  iC 
(47)
pour obtenir ces trois coefficients permettant de rendre la matrice de passage
initiale (équation 38) orthogonale, il faut calculer la matrice transposée de la nouvelle
matrice de passage (équation 47) et résoudre l’équation (46).
[P
[P ] t =
[P ]
−1
]t
x
= x
x
y cos( pθ )
y cos( pθ − 2 π / 3 )
y cos( pθ + 2 π / 3 )
− z sin( pθ )

− z sin( pθ − 2 π / 3 ) 
− z sin( pθ + 2 π / 3 ) 
(48)
1
0 0
1 0 

0 0 1 
⇒ [P ][P ] t = 0
3 x 2 = 1


⇒ y 2 (cos 2 ( pθ ) + cos 2 ( pθ − 2 π / 3 ) + cos 2 ( pθ + 2 π / 3 )) = 3 y 2 / 2 = 1
 2
2
2
2
2
z (sin ( pθ ) + sin ( pθ − 2 π / 3 ) + sin ( pθ + 2 π / 3 )) = 3 z / 2 = 1
(49)
On a donc :
x = ± 1 / 3

y = ± 2 / 3

z = ± 2 / 3
28
(50)
On choisit en général :
x = 1 / 3

y = 2 / 3

z = 2 / 3
(51)
Les nouvelles matrices de passage entre les deux systèmes (ABC) et (odq) sont alors
égales à :
[P ] = 2
3
 1/ 2

 cos( pθ )
− sin( pθ )

1 /
2
[P ]−1 = 1 /
3
1 /
2
2
2
1/ 2
cos( pθ − 2 π / 3 )
− sin( pθ − 2 π / 3 )
cos( pθ )
cos( pθ − 2 π / 3 )
cos( pθ + 2 π / 3 )

1/ 2

cos( pθ + 2 π / 3 ) 
− sin( pθ + 2 π / 3 ) 

− sin( pθ )

− sin( pθ − 2 π / 3 ) 
− sin( pθ + 2 π / 3 ) 
(52)
I.4.a. Décomposition de la transformation de Park
La transformation de Park peut être décomposée en deux transformations :
1) Transformation de Clarke-Concordia
2) Une rotation
La matrice de passage définie par l’équation (52) sera donc le produit de deux
matrices de passages correspondant à ces deux transformations.
I.4.a.1. Transformation de Clarke-Concordia
L’idée de Clarke repose sur le fait qu’un champ tournant créé par un système triphasé
peut l’être aussi, à l’identique, par un système biphasé de deux bobines en quadrature
dans l’espace, alimentées par des courants en qudrature dans le temps (déphasés de
π/2) (Fig. 23).
Fig. 23. Représentation graphique de la transformation de Clarke.
29
La projection des courants triphasés sur les axes α et β permet d’écrire :
iα  1
i  = 
 β  0
−1 / 2
3/2
iA 
−1 / 2   
 i
− 3 / 2 B 
i 
C 
(53)
Comme précédement, il faudrait définir une troisième composante afin de rendre
cette transformation reversible. On rajoute en fait la composante homopolaire :
io  1
  
iα  = 1
i  0
β 
1
−1 / 2
3/2
1
 iA 
 
− 1 / 2  iB 
− 3 / 2  iC 
(54)
Cette transformation ne permet pas de conserver la puissance instantanée. Comme
précédemment, il est possible de rendre la matrice de passage orthogonale de
manière à ce que la puissance instantanée soit conservée. La transformation s’appelle
alors transformation de Concordia.
io 
 
iα  =
i 
β
1 / 2
2
1
3 
 0
1/ 2
−1 / 2
3/2
1 / 2  iA 
 
− 1 / 2  iB 
− 3 / 2  iC 
(55)
I.4.a.2. Transformation de Park
Pour passer des composantes de Concordia (oαβ) aux composantes de Park (odq), il
suffit de projeter les composantes (αβ) du repère de Concordia sur les axes tournant
(dq) (Fig. 24).
Fig. 24. Passage des composantes de Concordia aux composantes de Park.
La matrice de passage permettant de passer des composantes de Concordia à celles
de Park est la matrice rotation (équation (56)).
30
id  cos( pθ ) sin(pθ )  iα 
 =
 
iq  - sin(pθ ) cos(pθ )  i β 
(56)
En incluant la composante homopolaire, on peut écrire :
i0

id
i
q
 1
 
 = 0
 0
 
0
0
 io 
 
cos( pθ ) sin( pθ )  iα 
− sin( pθ ) cos( pθ )  iβ 
(57)
On vérifie que :
1

0
0
2
3
1 / 2
0
0


2
1
cos( pθ ) sin( pθ ) 
3 
− sin( pθ ) cos( pθ ) 
 0
 1/ 2

 cos( pθ )
− sin( pθ )

1/ 2
cos( pθ − 2 π / 3 )
− sin( pθ − 2 π / 3 )
1/ 2
−1 / 2
3/2
1/ 2 

−1 / 2  =
− 3 / 2 

1/ 2

cos( pθ + 2 π / 3 ) 
− sin( pθ + 2 π / 3 ) 
I.5. Équations dans le repère de Park
Les équations des flux dans le repère de Park sont données par :
Φo = Lo io

Flux statoriques : Φd = Ld id + Me ie + MD iD
Φ = L i + M i
q q
QQ
 q
Avec Lo = L + 2 M ; Ld = L − M +
MQ =
(58)
3
3
3
3
Lv ; Lq = L − M − Lv ; Me =
MeS ; MD =
M ;
2
2
2
2 DS
3
M
2 QS

3
MeS id
Φe = Le ie + MeD iD +
2


3
Flux rotoriques : ΦD = LD iD + MeD ie +
MDS id
2


3
M iq
ΦQ = LQ iQ +
2 QS

31
(59)
Les équations des tensions rotoriques peuvent s’écrire :
dΦe

v e = Re ie + dt

dΦD

0 = RD iD +
dt


dΦQ
0 = RQ iQ +
dt

(60)
Les équations des tensions statoriques sont, elles, données par :
[vodq ] = [P ][vS ]= [P ] [RS ] [iS ] + [P ]dtd [ΦS ]
d
{
[P ]−1 [Φodq ] }
= [P ] [RS ] [iS ] + [P ]
dt
[ ] [ ]
(61)
d Φodq
d [P ]−1
Φodq +
= [P ] [RS ] [iS ] + [P ]
dt
dt
Il faut calculer la matrice [P ]
d [P ]−1
dt
0
2
d [P ]−1
0
= pΩ
3
dt
0
− sin( pθ )
− sin( pθ − 2 π / 3 )
− sin( pθ + 2 π / 3 )
0 0
d [P ]−1
[P ]
= pΩ 0 0
dt
0 1
− cos( pθ )

− cos( pθ − 2 π / 3 ) 
− cos( pθ + 2 π / 3 ) 
(62)
0 
− 1 
0 
(63)
On obtient alors :
dΦo

vo = RS io + dt

dΦd

vd = RS id − pΩΦq +
dt


dΦq
v q = RS iq + pΩΦd +
dt

Avec
p
Ω
(64)
Nombre de paires de pôles
Vitesse de rotation du rotor
On voit bien que cette transformation (transformation de Park) permet de passer
d’un système d’équations avec des paramètres dépendant de la position du rotor à un
système d’équations avec des paramètres ne dépendant pas de sa position. Le système
d’équations obtenu après transformation est plus facile à manier. Il est largement
utilisé dans la commande des machines synchrones. Il est cependant nécessaire de
connaître la position du rotor afin d’effectuer le changement de variables.
32
I.5.a. Expressions de la puissance et du couple
La puissance instantanée de la machine vaut :
Pi = v AiA + v B iB + vC iC + v e ie = vo io + vd id + v q iq + v e ie
(65)
Les enroulements amortisseurs étant en court-ciruit, ils ne participent pas au bilan de
puissance. Cette dernière se décompose en trois termes qui correspondent
respectivement (équation (66)) : aux pertes Joule, à la puissance électromagnétique
échangée, et à la puissance mécanique.
[
]
Pi = Rs ( io2 + id2 + iq2 ) + Re ie2
(pertes Joule)
dΦq
 dΦo
dΦd
dΦe 
+ io
+ id
+ iq
+ ie
 (puissance électromagnétique échangée) (66)
dt
dt 
dt
 dt
+ pΩ ( Φd iq − Φq id )
(puissance mécanique)
[
]
L’expression du couple électromagnétique est alors donnée par :
Tem = p( Φd iq − Φq id )
(67)
En substituant les expressions des flux (58), cette expression devient :
Tem = p( Ld − Lq ) id iq + p( MD iD iq − MQ iQ id ) +
144
42444
3 1444424444
3
couple réluctant
couple asynchrone
pMe ie iq
1424
3
(68)
couple synchrone
I.5.b. Modèle sans amortisseurs
L’effet des amortisseurs est essentiellement pris en compte lors de l’étude des
alternateurs synchrones de forte puissance. Pour les machines de plus faible
puissance (machines à aimants permanents par exemple), l’effet amortisseur est
négligé. Si l’on néglige les enroulements amortisseurs, il n’y a plus que quatre équations
de flux, et ces équations sont plus simples :
Φo = Lo io

Flux statoriques : Φd = Ld id + Me ie
Φ = L i
q q
 q
(69)
Flux rotorique :Φe = Le ie + Me id
(70)
Les expressions des tensions statoriques et de la tension aux bornes de l’enroulement
d’excitation, dans le repère de Park restent les mêmes (équations (60) et (64)) à cela
près qu’il faut remplacer les flux par leurs nouvelles expressions (équations (69) et
(70)).
33
I.6. Régime permanent
En régime permanent les tensions et courants statoriques forment des sytèmes
triphasés équilibrés. Les valeurs efficaces des tensions et des courants sont
constantes.
v A = 2V cos( ωt )
iA = 2 I cos( ωt − α )


v B = 2V cos( ωt - 2 π / 3 ) et iB = 2 I cos( ωt − α − 2 π / 3 )


vC = 2V cos( ωt - 4 π / 3 )
iC = 2 I cos( ωt − α − 4 π / 3 )
(71)
La vitesse de rotation est constante et égale à la vitesse de synchronisme (Ω = ω/p),
et le courant d’excitation est constant (ie = cte).
Si l’on désigne par θ0 l’angle que fait l’axe d avec l’axe de la phase A à l’instant t = 0 s,
l’angle θ s’exprime :
θ = Ωt + θ0
(72)
Il s’ensuit que les composantes (odq) des tensions et courants statoriques,
s’expriment comme suit :
io = 0
vo = 0


vd = 3V cos θ0 , et id = 3 I cos( θ0 + α )


v q = − 3V sin θ0
iq = − 3 I sin( θ0 + α )
(71)
Les équations des tensions dans le repère de Park, sont alors données par :

vo = 0

di

Tensions statoriques : vd = RS id − pΩLq iq − pΩMQ iQ + MD D
dt


diQ
v q = RS iq + pΩLd id + pΩMD iD + pΩMe ie + MQ
dt

diD

v e = Re ie + MeD
dt

di

Tensions rotoriques : 0 = RD iD + LD D
dt


diQ
0 = RQ iQ + LQ
dt

(72)
(73)
En régime établi, les deux dernières équations admettent comme solution :
iD = 0 A et iQ = 0 A
(74)
En régime permanent synchrone, aucun courant n’est induit dans les enroulements
amortisseurs.
34
Les équations décrivant le fonctionnement se réduisent alors à trois équations :
vd = RS id − Lq ωiq
Tensions statoriques : 
v q = RS iq + Ld ωid + Me ωie
Tension rotorique :v e = Re ie
(75)
(76)
I.6.a. Schémas électriques équivalents
À partir des équations précédentes (équations (75) et (76)), on peut définir des
schémas électriques équivalents pour le fonctionnement en régime permanent.
I.6.a.1. Machines à excitation bobinée
Trois schémas électriques équivalents permettent de rendre compte du
fonctionnement des machines synchrones à excitation bobinée en régime permanent.
Ces schémas sont donnés par les figures suivantes (Fig. 25, Fig. 26, et Fig. 27).
Fig. 25. Schéma équivalent dans l’axe d.
Fig. 26. Schéma équivalent dans l’axe q.
Fig. 27. Schéma équivalent du circuit d’excitation.
I.6.a.2. Machines à aimants permanents
Dans le cas des machines à aimants permanents, le flux d’excitation est fourni par les
aimants permanents. Deux schémas électriques équivalents permettent de rendre
compte du fonctionnement en régime permanent. Ces schémas sont donnés par les
figures suivantes (Fig. 28 et Fig. 29).
La prise en compte des pertes fer se fait par l’introduction d’une résistance Rf, dans
les schémas équivalents dans l’axe d et q, comme le montrent les figures Fig. 30 et
Fig. 31. La modélisation des pertes fer se fait de la même manière pour les machines
synchrones à excitation bobinée.
35
Fig. 28. Schéma équivalent dans l’axe d.
Fig. 29. Schéma équivalent dans l’axe q.
Avec Φa = 3 Φe , et où Φe est la valeur efficace du flux par phase créé par les
aimants permanents.
Fig. 30. Schéma équivalent dans l’axe d.
Fig. 31. Schéma équivalent dans l’axe q.
II. Machines asynchrones (induction machines)
La machine asynchrone est le plus souvent utilisée en moteur. Le terme asynchrone
renvoie au fait que le rotor ne tourne pas à la vitesse du synchronisme. C’est la
machine la plus utilisée, dans l’industrie, pour les entraînements électriques. La
machine asynchrone est d’une construction très simple et très robuste, sans balais ni
aimant permanent, mettant en jeu des matériaux ”standards” (fer, aluminium, cuivre).
Elle ne nécessite pas de maintenance particulière et son coût de fabrication est très
faible. Tous ces facteurs font qu’elle est, de nos jours, la machine électrique la plus
économique.
Les machines asynchrones sont utilisées dans de nombreux dispositifs domestiques
(machines à laver, sèche linge, tondeuse électrique…etc.), ainsi que dans des
dispositifs industriels (machine-outil…etc.). Elles sont également utilisées pour la
traction ferroviaire dans les derniers modèles de TGV (TGV Eurostar). La machine
asynchrone est également utilisée, en génératrice, dans les éoliennes.
II.1. Constitution des machines asynchrones
La machine asynchrone comporte une partie fixe constituée d’une carcasse à
l’intérieur de laquelle sont logés le circuit magnétique et le bobinage du stator (Fig.
32), et une partie mobile appelée rotor. Le stator est analogue à celui des machines
synchrones.
36
Fig. 32. Stator d’une machine asynchrone.
Le rotor se compose également d’un circuit magnétique et d’un enroulement. Il existe
selon le type d’enroulement deux types de rotors : les rotors bobinés (Fig. 33) et les
rotors à cage (Fig. 34).
Fig. 33. Rotor bobiné.
Fig. 34. Rotor à cage.
Les rotors bobinés possèdent un système bagues-balais donnant accès, aux
enroulements rotoriques, de l’extérieur. L’enroulement des rotors à cage est
constitué de barres en nombre convenable, conductrices (cuivre, laiton, aluminium,
…etc.), réunies à leurs extrémités par deux anneaux conducteurs, appelés couronnes
de court-circuit (Fig. 35).
Fig. 35. Cage (appelée également cage d’écureuil).
Pour les machines asynchrones à cage le nombre de phases au rotor sera égal au
nombre de phases du stator. La figure suivante (Fig. 36) montre une vue écorchée
d’une machine asynchrone à cage.
37
Fig. 36. Machine asynchrone à cage d’écureuil.
II.2. Principe de fonctionnement (glissement)
Les courants statoriques, de fréquence f ou de pulsation ω, créent un flux tournant à
la vitesse synchrone Ωs.
Ωs =
ω
p
(77)
Ce flux balayant les enroulements rotoriques y induit des F.E.M. Ces enroulements
étant en court-circuit, ces F.E.M y produisent des courants. C’est l’action du flux
tournant sur ces courants qu’il a lui-même induits qui crée le couple.
C’est pour cela que la machine asynchrone est souvent appelée machine à induction
(induction machine).
À partir de là, on comprend bien que si le rotor tournait à la vitesse de synchronisme
Ωs, donc à la même vitesse que le champ tournant créé par les courants statoriques,
le flux à travers les enroulements rotoriques serait constant. Par suite il n’y aurait
pas de F.E.M induites, et donc plus de courants et pas de couple.
Le moteur asynchrone ne produit de couple que si la vitesse de rotation mécanique Ω
est différente de la vitesse de synchronisme Ωs. On définit alors un paramètre
caractéristique du fonctionnement des machines asynchrones appelé glissement g.
g =
Ωs − Ω
Ωs
(78)
Si le rotor tourne à la vitesse Ω, les flux traversant les enroulements rotoriques va
varier à une fréquence différente de f. Les grandeurs électromagnétiques liées au
rotor varient en fait à la fréquence fr, donnée par :
fr = g f et ωr = g ω
ωr est la pulsation des grandeurs rotoriques.
38
(79)
II.3. Fonctionnement en régime permanent
Comme pour les machines synchrones, il est intéressant de pouvoir prédire les
caractéristiques des machines asynchrones en régime permanent pour différents
points de charge. Par régime permanent, on entend que la machine asynchrone est
alimentée par un système de tensions triphasé équilibré ; les tensions ayant une valeur
efficace et une fréquence données.
Il existe plusieurs types de machines asynchrones (machines à rotor bobiné, machines
à cage d’écureuil, machines à double cage, …etc.). Le phénomène de base permettant
d’expliquer la production du couple dans toutes ces machines est identique, c’est
l’induction de courants de Foucault au rotor. Cependant selon le type de machine
certains phénomènes physiques peuvent être plus ou moins influent (par exemple
l’effet de peau (skin effect) qui est plus marqué pour les machines à cages). Les
modèles utilisés pour l’étude des machines asynchrones seront donc différents selon
le type de machine. Par ailleurs selon le degré de finesse souhaité (prise en compte
des pertes fer ou non, prise en compte des harmoniques des grandeurs
électromagnétiques), ces modèles seront plus ou moins compliqués. On trouve dans la
littérature plusieurs schémas équivalents pour les machines asynchrones.
Les figures suivantes (Fig. 37) montrent quelques schémas équivalents rencontrés
dans la littérature.
a) avec inductances de fuites au stator et b) avec inductance de fuites totalisées au
au rotor.
stator.
c) avec inductance de fuites totalisées au rotor.
Fig. 37. Schémas équivalents en régime permanent.
Bien souvent on utilise une version simplifiée de ces schémas en mettant la branche
magnétisante (inductance Lµ) directement en parallèle avec la tension V1 (Fig. 38).
Cette procédure n’est valable que si l’impédance en amont de cette branche
39
magnétisante est négligeable devant l’impédance en aval de la branche et de
l’impédance de la branche elle même.
Fig. 38. Schéma équivalent simplifié.
La prise en compte des pertes fer se fait par l’adjonction d’une résistance Rf en
parallèle avec l’inductance Lµ (Fig. 39).
Fig. 39. Schéma équivalent avec prise en compte des pertes fer.
Comme il est délicat de séparer les fuites de flux au stator et au rotor on préfère
utiliser les schémas comportant deux inductances (fuites totalisées au stator ou au
rotor, ou le schéma simplifié).
La détermination des paramètres de ces schémas se fait à travers des essais simples
à faibles puissances.
1) Une mesure de la résistance statorique en continu.
2) Un essai à vide à tension nominale (rotor ouvert pour les machines asynchrones
à rotor bobiné, ou à faible glissement pour les machines à cage).
3) Un essai en court-circuit à rotor bloqué (g = 1) (le terme court-circuit renvoie
aux machines asynchrones à rotor bobiné, pour lesquelles on court-circuite les
enroulements rotor ; pour les machines à cage le rotor est toujours en courtcircuit).
Une fois les paramètres des schémas équivalents connus, il est possible de les utiliser
pour prédire le fonctionnement des machines asynchrones correspondantes, pour
différents points de fonctionnement. Il faut cependant s’assurer que les hypothèses
ayant permis d’établir ces modèles restent valables pour les points de fonctionnement
étudiés. Au moyen de calculs informatiques il est très aisé de prédire ainsi le
fonctionnement des machines asynchrones.
40
On peut également préférer une résolution graphique des équations liées aux schémas
équivalents précédents. Un outil souvent utilisé, que l’on trouve dans la plupart de la
littérature dédiée aux machines asynchrones, est le "diagramme du cercle" ou
"diagramme circulaire". Le schéma équivalent de la figure Fig. 39 est souvent utilisé
comme base pour tracer les diagrammes circulaires.
II.4. Machine asynchrone triphasée idéalisée
Comme pour la machine synchrone, le modèle de la machine asynchrone idéalisée
découle d’hypothèses simplificatrices.
On considère que la machine possède un enroulement triphasé au stator et au rotor.
Pour les machines à cage, on considère un bobinage triphasé équivalent.
On suppose également que :
1) l’entrefer est d’épaisseur uniforme en négligeant l’effet de l’encochage (pas
d’effet de variation de la réluctance) ;
2) les différents enroulements créent des F.M.M. à répartition sinusoïdale
(modèle premier harmonique) ;
3) la saturation magnétique et les pertes fer sont négligeables.
Ces hypothèses permettent d’obtenir un modèle relativement simple décrivant le
comportement de la machine asynchrone, tant en régime permanent qu’en régime
transitoire.
La figure suivante (Fig. 40) présente le schéma de principe des machines asynchrones.
Fig. 40. Représentation schématique d’une machine asynchrone.
41
Les phases statoriques et rotoriques sont respectivement repérées par les indices
A, B, C et a, b, c. Le stator comporte trois phases identiques espacées entre elles
dans l’espace d’un angle électrique égal à 2π/3. Il en est de même pour le rotor (Fig.
40).
II.4.a. Équations électriques et magnétiques
Tous les enroulements (enroulements statoriques et rotoriques) sont considérés
comme récepteurs d’énergie électrique (convention moteur). Pour la plupart des
fonctionnements des machines asynchrones, les enroulements rotoriques sont en
court-circuit. Pour les machines asynchrones à cage, c’est tout le temps le cas. Il
existe cependant certains fonctionnements des machines asynchrones pour lesquels
les enroulements rotoriques ne sont pas en court-circuit (cascades hyposynchrone et
hypersynchrone).
Compte tenu des conventions précédentes, les six enroulements de la figure 40
obéissent aux équations suivantes :
dΦA

v A = dt + Rs iA

dΦB

+ Rs iB
Équations des enroulements statoriques : v B =
dt

dΦC

+ Rs iC
vC =
dt

(80)
dΦa

v a = dt + Rr ia

dΦb

+ Rr ib
Équations des enroulements rotoriques : v b =
dt

dΦc

+ Rr ic
vc =
dt

(81)
En passant à une représentation matricielle et en explicitant les expressions des flux,
on obtient :
d
{ [L ][i ] + [MSr ] [ir ] }
dt SS S
[v r ] = [Rr ] [ir ] + d { [MrS ][iS ] + [Lrr ][ir ] }
dt
[vS ]= [RS ] [iS ] +
(82)
avec
iA 
v a 
vA 
[vS ] = vB  ; [v r ] = v b  ; [iS ] = iB  ; [ir ] =
i 
v c 
vC 
C 
i a 
RS
 

ib  ; [RS ] =  0
ic 
 0
42
0
RS
0
0 
0  ;
RS 
Rr
[Rr ] =  0
 0
0
Rr
0
0 
0  ; [Lrr ] =
Rr 
Mcos(pθ )


[MSr ] = Mcos(pθ 2 π/3)
Mcos(pθ + 2 π/3)
 Lr
M
 r
Mr
Mr
Lr
Mr
Mr 
 LS

Mr  ; [LSS ] = MS
MS
Lr 
Mcos(pθ + 2 π/3)
Mcos(pθ )
Mcos(pθ − 2 π/3)
MS
LS
MS
MS 
MS  ;
LS 
Mcos(pθ − 2 π/3) 
Mcos(pθ + 2 π/3)  ; [MrS ] = [MSr ] t

Mcos(pθ )
Compte tenu des hypothèses précédentes les expressions des inductances propres
des différentes phases et mutuelles entre phases, au rotor ou au stator, sont
constantes. La mutuelle inductance entre une phase statorique et une phase rotorique
ne dépend que de l’angle entre ces deux phases. La valeur maximale M de cette
mutuelle est constante quelles que soit les phases statorique et rotorique en cause.
II.5. Transformation de Park
La transformation de Park permet, comme nous l’avons déjà vu avec la machine
synchrone, de passer de trois enroulements triphasés à trois enroulements
orthogonaux. Dans le cas de la machine asynchrone, nous avons deux systèmes
d’enroulements triphasés : les enroulements triphasés statoriques, et les
enroulements triphasés rotoriques. Deux systèmes d’enroulements orthogonaux
équivalents peuvent alors être définis (Fig. 41). Les axes correspondants aux
enroulements (composantes) homopolaires ne sont pas représentés (axes
perpendiculaires au plan de la machine).
Fig. 41. Transformation des enroulements réels en enroulements équivalents.
43
Les angles portés sur la figure 41, désignent respectivement :
•
•
•
•
pθ l’angle entre les axes A et a ;
θS l’angle entre l’axe A et l’axe dS ;
θr l’angle entre l’axe a et l’axe dr ;
µ l’angle entre les axes dS et dr.
Ces angles sont liés par la relation suivante :
θS + µ = θr + pθ
•
•
•
(83)
Le repère (dS, qS) tourne à la vitesse ωS (= dθS/dt) par rapport à l’axe A du
stator ;
le repère (dr, qr) tourne à la vitesse ωr (= dθr/dt) par rapport à l’axe a du rotor
(à ne pas confondre avec ωr la pulsation des courants rotoriques) ;
le rotor tourne à la vitesse Ω par rapport au stator (en passant à une
modélisation à deux paires de pôles, l’axe a du rotor tourne à la vitesse pΩ par
rapport à l’axe A du stator).
II.5.a. Équations dans le repère de Park
Avant de recalculer les équations électriques et magnétiques dans un nouveau repère,
il faut rappeler la présence de deux systèmes triphasés auxquels peuvent
correspondre deux systèmes d’axes orthogonaux (Fig. 41). A chaque système triphasé
correspond une matrice de transformation différente.
Dans le cas général d’un système triphasé (x, y, z) auquel on fait correspondre un
système d’axes orthogonaux (o, d, q), les composantes dans les deux repères sont
liées par les relations suivantes :
Go

Gd
G
 q

Gx


 = [P ] Gy


Gz


Gx


 , et Gy



Gz


t
 = [P ]


Go

Gd
G
 q





(84)
avec ;
 1/ 2

1/ 2
1/ 2
2
[P] =  cos(θ) cos(θ − 2π / 3) cos(θ + 2π / 3) 
3

− sin(θ) − sin( θ − 2π / 3) − sin(θ + 2π / 3)
1 / 2

cos( θ)
− sin( θ)

2
[P] 1 = [P]t = 1 / 2 cos(θ − 2π / 3) − sin(θ − 2π / 3)
3

1 / 2 cos(θ + 2π / 3) − sin(θ + 2π / 3)
La matrice de transformation de Park sera différente selon le système auquel on
l’applique. Pour le système triphasé au stator, il faudrait remplacer l’angle θ par l’angle
θS. Pour le système triphasé au rotor, il faudrait remplacer l’angle θ par l’angle θr.
44
En effectuant les changements de variables adéquats :
[vS ] = [P ( θS ) ]t [v PS ] [v r ] = [P ( θr ) ]t [v Pr ]
, et
[iS ] = [P ( θS ) ]t [iPS ]
[ir ] = [P ( θr ) ]t [iPr ]
(85)
avec ;
voS
[v PS ] = vdS
v
 qS


 ; [iPS ] =


ioS

idS
i
 qS


 ; [v Pr ] =


vor 


vdr  ; et [iPr ] =
v 
 qr 
ior 
 
idr 
i 
 qr 
on obtient :
[v PS ]= [RS ] [iPS ] + [P ( θS ) ] d {[LSS ] [P ( θS ) ]t [iPS ] + [MSr ] [P ( θr ) ]t [iPr ] }
dt
[v Pr ]= [RPr ] [iPr ] + [P ( θS ) ] d [MrS ] [P ( θS ) ]t [iPS ] + [Lrr ] [P ( θr ) ]T [iPr ]
dt
{
}
(86)
L’équation finale est la suivante :
RS + sLPSo
[v PS ]=  0

0
0

+ 0
0


− LPS ωS  [iPS ]
RS + sLPS 
0
0
0

MP [− ( pΩ + ω r ) sin µ + s cos µ ] − MP [( pΩ + ω r ) cos µ + s sin µ ] [iPr ]
MP [( pΩ + ω r ) cos µ + s sin µ ] MP [− ( pΩ + ω r ) sin µ + s cos µ ]
Rr + +sLPr o
0
[v Pr ]= 

0
0

+ 0
0
0
RS + sLPS
LPS ωS
0
Rr + sLPr
LPr ω r


− LPr ω r  [iPr ]
Rr + sLPr 
0
0
0

MP [( ωS − pΩ ) sin µ + s cos µ ] − MP [( ωS − pΩ ) cos µ − s sin µ ] [iPS ]
MP [( ωS − pΩ ) cos µ − s sin µ ] MP [( ωS − pΩ ) sin µ + s cos µ ] 
(87)
avec ;
LPSo = LS + 2MS LPr o = Lr + 2Mr
3
;
; MP = M
LPS = LS − MS
LPr = Lr − Mr
2
s est l’opérateur de Laplace ( s =
(88)
d
).
dt
Où l’on remarque que si µ = 0 rad, ces équations se simplifient (Fig. 42).
µ = 0 rad ⇒ θS = θr + pθ ⇒ ωS = ω r + pΩ
45
(89)
La condition précédente (équation (89)) correspond à la superposition des repères
(dS, qS) et (dr, qr). Le repère résultant, commun au stator et au rotor, sera appelé le
repère (d, q).
Fig. 42. Superposition des repères de Park statorique (dS, qS) et rotorique (dr, qr).
L’équation (87) devient dans ce cas :
RS + sLPSo
[v PS ]=  0

0
0

+ 0
0


− LPS ωS  [iPS ]
RS + sLPS 
0
RS + sLPS
LPS ωS
0
sMp
MP ( pΩ + ω r )
0
0


− MP ( pΩ + ω r )  [iPr ]

sMP
(90)
Rr + sLPr o
[v Pr ]=  0

0
0

+ 0
0
0
Rr + sLPr
LPr ω r
0
sMP
MP ( ωS − pΩ )


− LPr ω r  [iPr ]
Rr + sLPr 
0
0


− MP ( ωS − pΩ )  [iPS ]

sMP
Les équations des flux qui n’ont pas été détaillées précédement se simplifient
également du fait de la superposition des repères (dS, qS) et (dr, qr).
46
Les expressions des composantes des flux statoriques et rotoriques dans le repère
(d, q) sont données par le système d’équations suivant :
ΦoS

ΦdS
Φ
 qS


=


LPSo

 0
 0
0
LPS
0
Φor 


Φdr  =
Φ 
 qr 
LPr o

 0
 0
0
LPr
0
0 
0

0  [iPS ] + 0
0
LPS 
0 
0

0  [iPr ] + 0
0
LPr 
0
Mp
0
0
MP
0
0 
0  [iPr ]
MP 
0 
0  [iPS ]
MP 
(91)
Les équations suivantes donnent une autre représentation des équations des
composantes des tensions statoriques et rotoriques, dans laquelle les composantes
des flux sont explicitées :
dΦoS

voS = RSioS + dt

dΦdS

− ωS ΦqS
vdS = RSidS +
dt


dΦqS
+ ωS ΦdS
vqS = RSiqS +
dt

dΦor

vor = Rrior + dt

dΦdr

− (ωS − pΩ)Φqr
vdr = Rridr +
dt


dΦqr
+ ( ωS − pΩ)Φdr
vqr = Rriqr +
dt

(92)
La superposition des repères (dS, qS) et (dr, qr) permet de simplifier les équations
décrivant le fonctionnement de la machine asynchrone idéalisée. Le choix de la vitesse
de rotation du repère (d, q) est un autre paramètre permettant de simplifier plus ou
moins le système d’équations (90).
Les solutions (vitesses de rotation) que l’on retrouve le plus souvent dans la
littérature sont au nombre de trois :
•
•
•
référentiel lié au stator (ωS = 0 rad/s) ;
référentiel lié au rotor (ωr = 0 rad/s) ;
référentiel lié au champ tournant (ωS = ω).
Les deux premières solutions permettent de réduire le nombre de coefficients non
nuls dans les matrices liant les composantes des tensions et des courants. Ce n’est pas
le cas de la troisième solution.
47
La troisième solution est intéressante dans le cas d’une alimentation par un système
de tensions triphasées équilibrées au stator, le rotor étant en court-circuit (c’est le
cas de la plupart des machines asynchrones en régime permanent). Cette solution
permet alors d’avoir des composantes (odq) constantes pour les tensions statoriques ;
le rotor étant en court-circuit, les composantes (odq) des tensions rotoriques sont
nulles.
II.5.a.1 Équations dans les trois référentiels
Pour le référentiel lié au stator (ωS = 0 rad/s), on obtient :
RS + sLPSo
[v PS ]=  0

0
0
RS + sLPS
0
0

0


0
 [iPS ] + 0
0
RS + sLPS 
0
sMp
0
0 
0  [iPr ]
sMP 
(93)
Rr + sLPr o
[v Pr ]=  0

0
0
Rr + sLPr
− LPr pΩ
0

0

LPr pΩ  [iPr ] + 0
0
Rr + sLPr 
0 
MP pΩ  [iPS ]
sMP 
0
sMP
− MP pΩ
Pour le référentiel lié au rotor (ωr = 0 rad/s), on obtient :
RS + sLPSo
[v PS ]=  0

0
0
RS + sLPS
LPS pΩ


− LPS pΩ  [iPS ] +
RS + sLPS 
0
0

0
0
0


− MP pΩ  [iPr ]
sMP 
0
sMp
MP pΩ
(94)
Rr + sLPr o
[v Pr ]=  0

0
0
Rr + sLPr
0
0

0


0
 [iPr ] + 0
0
Rr + sLPr 
0
sMP
0
0 
0  [iPS ]
sMP 
Pour le référentiel lié au champ tournant (ωS = ω), on obtient :
RS + sLPSo
[v PS ]=  0

0
0
RS + sLPS
LPS ω
0

0


− LPS ω  [iPS ] + 0
0
RS + sLPS 
0
sMp
MP ω
0 

− MP ω  [iPr ]
sMP 
(95)
Rr + sLPr o
[v Pr ]=  0

0
0
Rr + sLPr
LPr gω

− LPr gω  [iPr ] +
Rr + sLPr 
0
0
0

0
0
sMP
MP gω
0

− MP gω  [iPS ]
sMP 
Le systèmes d’équations liant les composantes des flux statoriques et rotoriques aux
composantes des courants dans le repère (d, q) n’est pas modifié par le choix de la
vitesse de rotation du repère.
48
II.5.b. Expressions de la puissance et du couple
Les expressions de la puissance et du couple ne dépendent pas du choix de la vitesse
de rotation du repère (d, q). La puissance instantanée fournie à la machine vaut :
Pi = v AiA + v B iB + vC iC + v a ia + v b ib + vc ic
= voS ioS + vdS idS + v qS iqS + vor ior + vdr idr + v qr iqr
(96)
La puissance instantanée se décompose en trois termes qui correspondent (comme
pour les machines synchrones) : aux pertes Joule, à la puissance électromagnétique
échangée, et à la puissance mécanique.
[
]
2
2
2
2
2
2
Pi = RS ( ioS
) + Rr ( ior
) (pertes Joule)
+ idS
+ iqS
+ idr
+ iqr
+ ( ΦdS iqS − ΦqS idS ) ωS + ( Φdr iqr − Φqr idr ) ω r (puissance mécanique)
[
]
dΦqS
dΦqr 

dΦdS
dΦdr
dΦoS
dΦor
+ ioS
+ idS
+ iqS
+ ior
+ idr
+ iqr

dt
dt
dt
dt
dt
dt 

(puissance électromagnétique échangée)
(97)
On peut montrer que :
( Φdr iqr − Φqr idr ) = −( ΦdS iqS − ΦqS idS )
(98)
Il s’ensuit que l’expression de la puissance mécanique devient :
Pméc = ( ΦdS iqS − ΦqS idS )( ωS − ω r )
= ( ΦdS iqS − ΦqS idS ) pΩ
(99)
L’expression du couple est alors donnée par :
Tem = p( ΦdS iqS − ΦqS idS )
(100)
L’expression donnée par l’équation (100) n’est pas unique, on peut trouver dans la
littérature plusieurs autres expressions. L’équation (101) donne deux expressions qui
différent de celle donnée par l’équation (100).
Tem = p( Φqr idr − Φdr iqr )
= pMp ( iqS idr − idS iqr )
(101)
Dans le livre "Machines Électriques" (de Jean Chatelain), l’auteur présente une
méthode permettant de déterminer l’expression du couple pour une machine
asynchrone avec rotor en court-circuit. Cette méthode permet de bien expliciter les
échanges énergétiques entre les enroulements statoriques et rotoriques.
49
La puissance fournie aux enroulements stator a pour expression :
PiS = v AiA + v B iB + vC iC = voS ioS + vdS idS + v qS iqS
(102)
Cette puissance se décompose en trois termes qui correspondent : aux pertes Joule
statoriques, à la puissance électromagnétique échangée, et à la puissance transmise au
rotor.
[
2
2
2
PiS = RS ( ioS
)
+ idS
+ iqS
]
(pertes Joule statoriques)
dΦqS 

dΦdS
dΦoS
+ ioS
+ idS
+ iqS
 (puissance électromagnétique échangée) (103)
dt
dt
dt 

+ ( ΦdS iqS − ΦqS idS ) ωS (puissance transmise au rotor)
[
]
Étant donné que les enroulements rotoriques sont en court-circuit, le bilan des
puissances pour le rotor est nul.
Pir = 0
[
]
2
2
2
= Rr ( ior
+ idr
+ iqr
) (pertes Joule rotoriques)
(104)
dΦqr 
 dΦor
dΦdr
+ ior
+ idr
+ iqr
(puissance
électromag
nétique
échangée)

dt
dt 
dt

+ ( Φdr iqr − Φqr idr ) ω r (puissance transmise au rotor + puissance mécanique)
[
]
À partir des équations (89) et (98) on peut réécrire le bilan des puissances du rotor
sous la forme suivante :
( ΦdS iqS − ΦqS idS ) ωS ( puissance transmise au rotor)
[
]
2
2
2
= Rr ( ior
+ idr
+ iqr
) (pertes Joule rotoriques)
dΦqr 
 dΦor
dΦdr
+ ior
+ idr
+ iqr
 (puissance électromagnétique échangée)
dt 
dt
dt

+ ( ΦdS iqS − ΦqS idS ) pΩ ( puissance mécanique)
[
(105)
]
où l’on retrouve l’expression de la puissance mécanique identique à celle donnée par
l’équation (99). L’expression du couple ainsi obtenue sera donc identique à celle donnée
par l’équation (100).
II.4. Régime permanent
Pour la plus part des fonctionnements des machines asynchrones les enroulements
rotoriques sont en court-circuit. Pour les machines asynchrones à cage c’est tout le
50
temps le cas. Il existe cependant certains fonctionnements des machines asynchrones
pour lesquels les enroulements rotoriques ne sont pas en court-circuit (cascades
hyposynchrone et hypersynchrone). Nous ne traitons dans cette partie que les
machines pour lesqelles le rotor est en court-circuit.
En régime permanent la machine asynchrone est alimentée par un système de tensions
triphasées équilibrées et elle absorbe des courants triphasés équilibrés.
v A = 2V cos( ωt )
iA = 2 I cos( ωt − α )


=
et
v
2
V
cos(
ω
t
2
π
/
3
)
B
iB = 2 I cos( ωt − α − 2 π / 3 )


vC = 2V cos( ωt - 4 π / 3 )
iC = 2 I cos( ωt − α − 4 π / 3 )
(106)
Comme il a été indiqué auparavant, dans le cas du repère (d, q) tournant à la vitesse de
synchronisme (référentiel lié au champ tournant), les composantes (odq) des
différentes grandeurs en régime permanent seront constantes.
Le modèle de la machine asynchrone dans ce repère sera donc utilisé pour aborder
l’étude du régime permanent des machines asynchrones.
Si l’on désigne par θ0 l’angle que fait l’axe d avec l’axe de la phase A à l’instant t = 0 s,
l’angle θS s’exprime :
θS = ΩS t + θ0
(107)
Il s’ensuit que les composantes (odq) des tensions et courant statoriques, s’expriment
comme suit :
voS = 0
ioS = 0


vdS = 3V cos θ0 , et idS = 3 I cos( θ0 + α )


iqS = − 3 I sin( θ0 + α )
v qS = − 3V sin θ0
(108)
Les équations des tensions dans le repère (d, q), sont alors données par :
v
=0
 oS
Tensions statoriques : vdS = RS idS − LpS ωiqS − Mp ωiqr

v qS = RS iqS + LpS ωidS + Mp ωidr
v = 0
 or
Tensions rotoriques : 0 = Rr idr − Lpr gωiqr − Mp gωiqS

0 = Rr iqr + Lpr gωidr + Mp gωidS
(109)
(110)
II.4.a. Schémas électriques équivalents
Nous allons, dans cette partie, établir un schéma équivalent des machines asynchrones
basé sur les équations (109) et (110). Ce shéma électrique équivalent n’est pas unique,
il découle, comme on va le voir, d’un changement de variable particulier. D’autres
51
schémas existent, et vous êtes encouragés à consulter la litératture électrotechnique
afin d’approfondir vos connaissances à ce sujet.
En posant :
VS = vdS + jv qS


I S = idS + jiqS

I r = idr + jiqr
(111)
Les équations (109) et (110) se résument à deux équations :
VS = RS I S + jLpS ωIS + jMp ωI r


0 = Rr I r + jLpr ωI r + jMp gωI S
(112)
Á partir de ces deux équations (112), en effectuant le changment de variable suivant :

− Mp
I ' =
Ir
r

LpS

2

 LpS 
 '
 R
Rr = 
 r
M

 p 

2

 LpS  
Mp2
'


Lpr =
L −
 Mp   pr LpS





(113)




et en appelant :
I m = I S − I r'
(114)
le courant magnétisant ramené au stator, on peut écrire :
VS = RS I S + jLpS ωI m


R'r '
0
=
I r + jL'pr ωI r' − jLpS ωI m


g
(115)
Ce système d’équation se traduit par le schéma électrique équivalent donné par la
figure suivante (Fig. 43).
Fig. 43. Schéma électrique équivalent.
52
Comme dans le cas des transformateurs, les pertes fer peuvent être introduites dans
le schéma équivalent par une résistance Rpfe en parallèle avec la branche magnétisante
(Fig. 44).
Fig. 44. Schéma équivalent avec prise en compte des pertes fer.
53