Travailler en groupe 1 2 Mot secret sur le tableau 1 re Partie 1) 2) 3) 4) 5) 6) 7) 8) Somme des chiffres Lettre associée Expression Résultat Calcul n° a. Recopiez le tableau sur votre cahier : (7 – 5) × (16 –9) (3 × 2 × 30 + 14) ÷ 2 (4 × 2 × 9) ÷ (17 – 3 × 5) (11× (98 + 2) + 11) × 5 (97 + 4) × 9 × (6 – 1) (23 × 5 – 1) × (6 + 4) ÷ 4 (40 × 4 × 2 + 4) ÷ (6 + 3) (101 × 3 – 2) × 9 × 3 b.Calculez chacune des huit expressions qui sont écrites dans ce tableau (en notant le détail des calculs) puis reportez les résultats dans votre tableau. c.Pour chaque résultat, calculez la somme de ses chiffres et reportez-la dans votre tableau. d.Chaque somme obtenue est associée à une lettre de l'alphabet (A pour 1, B pour 2, C pour 3, ...). Écrivez les huit lettres obtenues dans le tableau. e.Reconstituez alors un mot qui vous est familier, en remettant les lettres dans le bon ordre. 2 e Partie f.Vous allez désormais faire le travail dans le sens contraire. Pour cela, reproduisez le tableau de la 1 re partie et placez-y les lettres du mot "MATHS" dans la dernière colonne. g.Pour chaque lettre, trouvez la valeur qui lui est associée et inscrivez-la dans la colonne « somme des chiffres » de votre tableau. h.Pour chaque lettre, inventez un calcul dont la somme des chiffres du résultat est la valeur de la lettre (au total, il faudra avoir utilisé au moins deux fois des parenthèses et tous les signes opératoires). 3 e Partie i. Choisissez un mot du vocabulaire mathématique contenant huit lettres puis inventez huit expressions qui permettent de retrouver les huit lettres de ce mot. j. Recopiez ce tableau sur une feuille (et ce tableau uniquement) afin qu'un autre groupe puisse décoder le mot caché en effectuant les calculs. Notation Polonaise Inverse La Notation Polonaise Inverse (NPI), également connue sous le nom de notation post-fixée, permet de noter les formules arithmétiques sans utiliser de parenthèses. Cette notation est utilisée par certaines calculatrices, ordinateurs ou logiciels. Pour la suite, « Entrée » signifiera qu'on appuie sur la touche entrée d'une calculatrice utilisant cette notation. 1 re Partie : découverte Nathalie a une calculatrice qui utilise la notation Polonaise Inverse. Pour effectuer le calcul 5 × (7 + 3), elle tape : 7 Entrée 3 Entrée + 5 Entrée × Voici ce qui s'inscrit calculatrice : sur l'écran de sa 7 7 10 3 10 5 50 a. Essayez de trouver ce qu'il faut taper en NPI pour calculer : • A = 8 × (7 – 5) • B = (3,7 + 8) × 9 • C = 5 + 3 × 7 b. Recherchez à quels calculs correspondent les saisies suivantes puis effectuez-les : • 4 Entrée 1 Entrée • 25 Entrée 8 – 12 Entrée × Entrée 1,5 Entrée × – 2 e Partie : Pour aller plus loin c. Recherchez à quels calculs correspondent les saisies suivantes puis effectuez-les : • 7 Entrée 2 Entrée • 8 Entrée Entrée – 4 Entrée – 3 Entrée × + 9 Entrée 4 × 3 Entrée × d. Essayez de trouver ce qu'il faut taper en NPI pour calculer : • D = (18 + 3) × (17 – 5) ; • E = (((5 – 2) × 3) – 4) × 8 ; • F = (25 – 4) × 5 + 8 ÷ 4. e. Inventez cinq calculs différents contenant chacun au moins un couple de parenthèses. Sur votre cahier, effectuez ces calculs puis écrivez sur une feuille la saisie en NPI qui correspond à chacun d'eux afin qu'un autre groupe puisse les effectuer. C HAPITRE N1 – P RIORITÉS , D ISTRIBUTIVITÉ 17 MathenPoche Un logiciel pour travailler au rythme des élèves UN Le logiciel MathenPoche 5 e propose des centaines d’activités : découvertes, démonstrations, QCM, exercices d’application, géométrie avec instruments virtuels, géométrie dynamique, travaux de synthèse… LOGICIEL RICHE EN Le logiciel MathenPoche l'adresse : CONTENU 5 e est libre, gratuit et téléchargeable à http://mathenpoche.net/ Le logiciel MathenPoche 5 e couvre intégralement le niveau 5 e avec 358 exercices comportant chacun 5 ou 10 questions. L'élève travaille à son rythme et différents outils sont mis à sa disposition pour progresser : UN • un didacticiel intégré permet d 'apprendre à utiliser les fonctionnalités du logiciel ; • une aide animée, par exercice, reprend les notions de base du cours et les applique sur un exemple ; • les exercices sont auto-correctifs et peuvent être refaits à volonté (les données sont aléatoires) ; ESPACE DE TRAVAIL POUR L ' ÉLÈVE • l'élève est encouragé à chaque bonne réponse, et la correction est affichée dans tous les cas ; • l'élève est guidé dans sa progression. À la fin de chaque exercice, on lui conseille de recommencer ou de passer à l'activité suivante. En s'inscrivant sur l'interface réservée aux professeurs, l'enseignant programme une séance sur mesure en sélectionnant des exercices ou en créant ses propres activités à l'aide des outils TracenPoche et CasenPoche. Les avantages sont multiples : • Une fois la séance programmée, l'enseignant consacre davantage de temps aux élèves. U NE INTERFACE SPÉCIFIQUE POUR L ' ENSEIGNANT • L'enseignant suit à distance le travail des élèves en temps réel. • Les scores sont enregistrés et sont consultables par l'élève et par l'enseignant. • L'enseignant récupère et exploite le bilan de chaque séance sous forme de fichiers tableurs. U NE VERSION SUR CD-ROM 18 M ATHEN P OCHE : Génération 5 propose également une version sur CD-ROM du logiciel MathenPoche 5 e . Pour plus de renseignements consulter le site : http://www.generation5.fr/mathenpoche/. UN LOGICIEL AU RYTHME D E S ÉLÈV ES N OMBRES EN ÉCRITURE FRACTIONNAIRE N2 Activités : pages 20 à 24 Méthodes : pages 25 à 27 S'entraîner : pages 28 à 31 Approfondir : page 32 Travailler en groupe : page 33 Énigme : Bio, mais pas vert Pour son devoir d'arts plastiques, Rose doit créer une couleur personnalisée. Elle dispose des trois couleurs primaires (rouge, bleu et jaune) et de deux des trois couleurs secondaires : l'orange, constitué à parts égales d e rouge et de jaune, et le violet constitué pour moitié de rouge et pour moitié de bleu. Enfin, elle a aussi un tube d'indigo, une couleur tertiaire constituée à parts égales de bleu et de violet. Elle crée alors la couleur BIO, composée d'un tiers de bleu, d'un tiers d'indigo et d'un tiers d'orange. Mais quelles sont (sous forme de fractions) les proportions de rouge, de bleu et de jaune dans cette nouvelle couleur ? 19 Activités Activité 1 : Une ribambelle de fractions égales... M o h a m e d , Robert et Marion ont colorié l a m ê m e s u r f a c e d ' u n r e c t a n g le qu'ils ont e n s u it e d é c o u p é e d e m a n i è r e s différentes. Mohamed Robert Marion a. Pour c h a q u e é l è v e , q u e l l e fraction d u r e c t a n g le e s t coloriée e n rose ? b. À l ' a i d e d e l a q u e s ti o n a., c o m p lè t e l' é g a lit é s u i v a n t e : 2 ..... ..... = = . 3 ..... ..... c. E n utilisant u n e m é t h o d e s i m i l a ir e , écris trois fractions é g a l e s à d. Est-il p o s s i b l e d e trouver u n e fraction é g a l e à 10 . 12 7 a y a n t pour d é n om in a t e u r 8 1 ? A y a n t 9 pour d é n o m i n a t e u r 1 1 ? c. Marcel a choisi l a fraction 3 . Il a choisi 1 6 c m c o m m e u n it é . Trace u n s e g m e n t [AB] d e 8 3 l o n g u e u r u n e u n i t é p u i s r e p a s s e e n r ou g e le s d e c e s e g m e n t . L a lon g u e u r d u s e g m e n t 8 3 r o u g e est-elle s u p éri e ure ou inférieure à l'unité ? L a fraction est-elle s u p ér ieur e ou 8 inférieure à 1 ? 7 . Il a choisi 2 c m c o m m e unité. Trace u n s e g m e n t [CD] d e 4 l o n g u e u r u n e unité. Trace e n b l e u u n s e g m e n t d e lon g u e u r s e p t fois l a lon g u e u r d u s e g m e n t [CD] p u i s c o u p e le s e g m e n t b l e u e n q u a t r e s e g m e n t s d e m ê m e lon g u e u r . L a lon g u e u r d u 7 s e g m e n t o b t e n u est-elle inférieure ou s u p ér ieur e à l'unité ? L a fraction est-elle s u p é rieur e 4 ou inférieure à 1 ? d. Roger a choisi l a fraction e. À partir d e s différents e x e m p l e s c i - d e s s u s , peux -tu énoncer u n e r è g le pour c om p a r e r u n e fraction à 1 ? 20 NOMBRES E N ÉCRITURE FRACTIONNAIRE – C HAPITRE N2 Activités Activité 3 : Comparaisons dans les cas simples 0 1 2 3 4 Lola l a tortue et J e a n no t le l a p i n d é c id e n t d e faire u n e course sur l a demi-droite g r a d u é e 7 c i - d e s s u s . Le point d e d é p a r t e s t l'origine d e l a demi-droite. Lola parcourt d ' u n it é et 5 12 J e a n no t parcourt d'unité. 5 a. Reproduis l a demi-droite g r a d u é e c i - d e s s u s p u is p la c e s - y le s points L et J pour indiquer l e s positions d e Lola et d e J e a n no t . b. L e q u e l d e s d e u x a parcouru le p lu s g r a n d trajet ? P a r m i le s fractions 7 12 et , q u e lle 5 5 est la plus g r a n de ? c. E n t ' a i d a n t d e l a q u e st i o n b., é n on c e u n e r è g le q u i p e r m e t d e c om p a r e r d e s fractions d e m ê m e dénominateur. d. Applique l a r è g l e q u e tu a s trouvée pour c om p a r e r Activité 4 25 38 7,9 7,09 et p u is et . 109 109 23 23 : Comparaisons dans les cas complexes 0 1m 2m Zouzou le k a n g o u r o u et Charlotte l a p u c e d é c id e n t d e faire u n e course sur l a demi-droite g r a d u é e c i - d e s s u s . Le point d e d é p a r t e s t l'origine d e l a demi-droite. Zouzou fait d e s b on d s 2 1 de d e m è t r e ( e n vert) t a n d i s q u e Charlotte fait d e s b on d s d e d e m è t r e ( e n rose). 3 9 a. Charlotte a fait 1 1 b o n d s t a n d is q u e Zouzou n ' e n a fait q u e 2 . Reprodu is l a d emi-droite g r a d u é e c i - d e s s u s p u i s p l a c e s - y l e s points C et Z pour indiquer le s positions d e Charlotte et d e Zouzou. b. Complète l e s p h r a s e s s u i v a n t e s : .... de mètre. » 9 .... .... • « Zouzou a parcouru de mètre, ce qui équivaut à de mètre. » 3 9 • « Charlotte a parcouru c . E n t ' a i d a n t d e l a q u e st i o n b., i n d iq u e le q u el d e s d e u x a parcouru le p lu s g r a n d trajet. 11 4 P a r m i l e s fractions et , q u e l l e e s t l a p lu s g r a n d e ? 9 3 d. É n o n c e u n e r è g l e q u i p e r m e t d e c om p a r e r d e s fractions d e d é n om in a t e u r s différents. e. Applique l a r è g l e q u e tu a s trouvée pour c om p a r e r 8 39 et p u is 3 15 C HAPITRE N2 – N O M B R E S 2,1 6,03 et . 12 36 E N ÉCRITURE FRACTIONNAIRE 21 Activités Activité 5 : Additions et soustractions dans les cas simples 0 1 2 3 4 Lola l a tortue et J e a n no t le l a p i n d é c id e n t d e faire u n e course sur l a demi-droite g r a d u é e 9 c i - d e s s u s . Le point d e d é p a r t e s t l'origine d e l a demi-droite. Lola parcourt d ' u n it é et 5 4 J e a n n o t parcourt d ' u n i t é d e p l u s q u e Lola. 5 a. Reproduis l a demi-droite g r a d u é e c i - d e s s u s p u is p la c e s - y le s points L et J pour indiquer l e s positions d e Lola et d e J e a n no t . b. Écris l e c a l c u l à effectuer pour trouver l a position d e J e a n not p u is , à l' a id e d e l a d e m i droite g r a d u é e , d o n n e l e résultat d e c e c a lc u l. Lola, r e v a n c h a r d e , propose à J e a n not d e r e c om m e n c e r l a course. Lors d e cette s e c on d e 11 2 é p r e u v e , Lola parcourt d ' u n i t é et J e a n not parcourt d ' u n it é d e m oin s q u e Lola. 5 5 c. Reproduis l a demi-droite g r a d u é e c i - d e s s u s p u is p la c e s - y le s points L et J pour indiquer l e s positions d e Lola et d e J e a n no t . d. Écris l e c a l c u l à effectuer pour trouver l a position d e J e a n not p u is , à l' a id e d e l a d e m i droite g r a d u é e , d o n n e l e résultat d e c e c a lc u l. e. E n t ' a i d a n t d e s q u e s ti o n s b. et d., é n on c e u n e r è g le q u i p e r m e t d'additionner ou d e soustraire d e s fractions d e m ê m e d é n om in a t e u r . Activité 6 : Additions et soustractions dans les cas complexes a. Complète p a r d e s fractions l e s p h r a s e s s u i v a n t e s : • L'aire d e l a région verte représente 3 d e l'aire totale. .... • L'aire d e l a r é g i o n rose r e p r é sent e 1 d e l'aire totale. .... b. Écris l e c a l c u l à effectuer pour obtenir l'aire q u e r e p r és ente l a r é g i o n coloriée p a r rapport à l'aire totale. c. Reproduis le carré ci-contre p u is e f f e c tu e d e s t r a cés jud ic ieux pour obtenir c e q u e représente l'aire d e s d e u x rég ions verte et rose p a r rapport à l'aire totale . d. Complète l ' é g a l i t é s u i v a n t e : 3 1 .... + = . 16 4 .... e. Que faudrait -il faire pour retrouver c e résultat p a r le c a lc u l ? f. É n o n c e u n e r è g l e q u i p e r m e t d'additionner ou d e soustraire d e s fractions d e d é n o m i n a t e u r s différents. g. Applique l a r è g l e q u e tu a s trouvée pour effectuer le c a lc u l s u i v a n t : 22 NOMBRES E N ÉCRITURE FRACTIONNAIRE – C HAPITRE N2 2 1 + . 5 30 Activités : Multiplication de 2 fractions On c on s i d è r e la fig u r e ci-contre. On v e u t ca lc uler l'aire d u r e c t a n g l e vert p a r deux méthodes différentes a f i n d e trouver u n e r è g l e sur la mult ipl ic ati on d e d e u x fractions . 10 cm 4 cm Activité 7 1 ère méthode a. Pour le r e c t a n g l e vert, q u e r e p r ésent e : • l a fraction 10 ? 7 • l a fraction 4 ? 3 b. Écris l'opération q u i p e r m e t d e c a lc u le r l'aire d u r e c t a n g le vert. 2 ème méthode c. Pour le r e c t a n g l e rose, q u e représente : • le produit 1 0 × 4 ? • le produit 7 × 3 ? • le quotient 10×4 ? 7 ×3 Bilan d. À partir d e s d e u x m é t h o d e s , q u e lle é g a l i t é peut-on écrire ? e. É n o n c e u n e r è g l e pour multiplier d e u x fractions entre e lle s . Activité 8 : Fractions et calculatrice L u c a i m e r a i t c o m p a r e r l e s d e u x fractions s u i v a n t e s 14 575 125 896 29 150 251 793 et . 1 421 2 842 a. Peux -tu c o m p a r e r c e s fractions e n le s c o m p a r a n t a u n om b r e 1 ? b. C o m m e L u c a d o r e s a calculatrice, il s e dit qu'il lui suffit d e calculer le s q u ot ient s pour trouver l a p l u s petite d e s d e u x . M a is il n ' y p a r v ie n t p a s , pourquoi ? c. S o n voisin a d é c i d é d e c o m p a r e r le s fractions s a n s utiliser l a calculatrice m a i s e n utilisant l a r è g l e d o n n é e e n cours. Que trouve-t-il ? d. Il e s t q u a n d m ê m e p o s s i b l e d e c om p a r e r le s d e u x n om b r e s à l' a id e d e l a calculatrice d e Luc. Pour c e l a , voici l a d é m a r c h e à s u iv r e pour c h a c u n d e s quotients : À l ' a i d e d e t a m a c h i n e , c a l c u l e le s quotients et retranche à c h a c u n s a partie entière. Que trouves-tu c o m m e résultats ? Compare alors le s d e u x quotients. C HAPITRE N2 – N O M B R E S E N ÉCRITURE FRACTIONNAIRE 23 Activité 2 : Comparer une fraction au nombre 1 Le professeur Sésamatheux demande à ses élèves de comparer une fraction à 1. Voici la démarche de plusieurs élèves. a. Julie a choisi le nombre en écriture 4fractionnaire décimale de ce nombre ? La fraction ou inférieure à 1 ? 3 3 . Quelle est l'écriture est-elle supérieure ci-dessous et places-y le point A d'abscisse 5 b. Ibrahim a choisi la fraction 5 et décide d'utiliser un axe gradué. Reproduis l'axe gradué . La fraction