CH5-Série entiéres- analyse 3

Chapitre5
Séries entières
Sommaire
1 Généralités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
2Rayon de convergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
2.1 Existence du rayon de convergence .................... 3
2.2 Calcul du rayon de convergence ...................... 4
3 Propriétés des séries entières . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
3.1 Continuité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
3.2 Dérivation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
3.3 Intégration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
3.4 Opérations sur les séries entières . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
4 Fonctions développables en série entière . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
4.1 Série de Taylor ............................... 9
5 Séries entières et équations di§érentielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1

1. Généralités
1Généralités
Définition 1
On appelle série entière toute série de fonctions Pfndont le terme général est de la forme
fn(x)=anxn,où(an)désigne une suite réelle et x2R.
Une série entière est notée Panxn.
Comme pour les séries de fonctions, on cherche le domaine de convergence
D=(x2Rtel que la série
+1
X
n=0
anxnconverge).
Si la série Panxnest convergente sur un domaine D,celapermetdedéfinirunefonction
x7!
+1
P
n=0
anxnsur DàvaleursdansR.
Exemple 1
Considérons la série entière
+1
P
n=0
xn
n!.
Posons fn(x)=xn
n!et appliquons le critère de D’Alembert
lim
n!+1%%%%
fn+1 (x)
fn(x)%%%%= lim
n!+1%%%%%
xn+1
(n+1)!
xn
n!%%%%%= lim
n!+1%%%%
x
n+1%%%%=0.
La série entière
+1
P
n=0
xn
n!est alors absolument convergente pour tout x2R,doncD=R.
Exemple 2
Soit la série entière
+1
P
n=1
xn
n2.Posonsfn(x)=xn n2,ona
lim
n!+1%%%%
fn+1 (x)
fn(x)%%%%= lim
n!+1%%%%%%
xn+1
(n+1)2
xn
n2%%%%%%
= lim
n!+1%%%%%&n
n+1'2
x%%%%%=|x|.
Si |x|<1,lasérieestabsolumentconvergenteetsi|x|>1la série diverge.
Pour le cas où |x|=1,ona|fn(x)|=|x|n
n2=1 n2qu’est le terme général d’une série de
Riemann convergente. Par suite, la série
+1
P
n=1
xn
n2est absolument convergente dans [−1,1] et
alors D=[−1,1].
Exemple 3
Soit la série entière
+1
P
n=1
n!xn.Cettesérieneconvergequesix=0car
lim
n!+1%%%%
fn+1 (x)
fn(x)%%%%= lim
n!+1|(n+1)x|
et cette limite n’existe que si x= 0.D’oùD={0}.
2

2. Rayon de convergence
Exemple 4
Considérons la série entière
+1
P
n=1
xn
n.Posonsfn(x)=xn n,ona
lim
n!+1
"
"
"
"
fn+1 (x)
fn(x)
"
"
"
"= lim
n!+1
"
"
"
"
"
xn+1
n+1
xn
n
"
"
"
"
"= lim
n!+1
"
"
"
"
n
n+1x"
"
"
"=|x|.
Si |x|<1,lasérieestabsolumentconvergenteetsi|x|>1la série diverge.
Pour le cas où x=1,ona
+1
P
n=1
xn
n=
+1
P
n=1
1
n,c’estlasérieharmoniquequ’estdivergente.
Si x=−1,ona
+1
P
n=1
xn
n=
+1
P
n=1
(−1)n
n,c’estlasérieharmoniquealternéequ’estconvergente.
D’où D=[−1,1[.
!
"
#
$
Proposition 1(Lemme d’Abel)
Soit Panxnune série entière. On suppose qu’il existe x02Rtel que la suite (anxn
0)nsoit
bornée. Alors :
•La série Panxnest absolument convergente pour |x|<|x0|.
•La série Panxnest normalement convergente pour |x|<ravec 0<r<|x0|.
2Rayon de convergence
2.1 Existence du rayon de convergence
Pour les séries entières, la notion de convergence prend une forme assez simple.
!
"
#
$
Théorème 1
Soit Panxnune série entière; alors il existe un unique nombre réel R≥0(éventuellement
infini) tel que
•Panxnconverge absolument dans ]−R, R[.
•Panxndiverge si |x|>R.
Définition 2
Le nombre R=sup{r2R+tel que P|an|rnconverge}2R+[{+1}est appelé rayon de
convergence de la série Panxn.
3

2. Rayon de convergence
Remarque 1
Le rayon de convergence d’une série Panxnest caractérisé par :
1. |x|<R)Panxnest absolument convergente.
2. |x|>R)Panxndiverge.
3. |x|=Rest le cas douteux où on ne peut rien dire sur la nature de la série.
4. |x|≤r<R pour r>0,la série est normalement convergente.
2.2 Calcul du rayon de convergence
La proposition suivante permet la détermination pratique du rayon de convergence dans certains
cas.
!
"
#
$
Proposition 2(Lemme d’Hadamard)
Soit Panxnune série entière. Le rayon de convergence Rest donné par la relation :
1
R= lim
n!+1
"
"
"
"
an+1
an
"
"
"
"= lim
n!+1
n
p|an|.
Exemple 5
1. Considérons la série
+1
P
n=0
xn
n!.
On a an=1
n!,utilisonslecritèredeD’Alembert:
1
R= lim
n!+1
"
"
"
"
an+1
an
"
"
"
"= lim
n!+1
"
"
"
"
"
1
(n+1)!
1
n!
"
"
"
"
"= lim
n!+1
1
n+1 =0.
Alors, le rayon de convergence est R=+1.Lasérieestabsolumentconvergentepour
tout x2R.
2. Soit la série
+1
P
n=1
xn
n2.
On a an=1
n2,etdonc 1 R= lim
n!+1
"
"
"
"
an+1
an
"
"
"
"= lim
n!+1
"
"
"
"
"
1
(n+1)2
1
n2
"
"
"
"
"= lim
n!+1
n2
(n+1)
2=1.Le
rayon de convergence est R=1.Lasérieestabsolumentconvergentepourtout|x|<1
et divergente si |x|>1.Pour|x|=1la série converge.
4

3. Propriétés des séries entières
3. Soit la série
+1
P
n=0
xn
2n.
On a an=1
2n.LecritèredeCauchydonne: 1 R= lim
n!+1
n
p|an|= lim
n!+1#1
2n$1
n
=1
2.
Le rayon de convergence est donc R=2.Lasérieestabsolumentconvergentepourtout
|x|<2et divergente si |x|>2.Pour|x|=2la série diverge.
Cas des séries lacunaires
Soit 'une application de Ndans N,lasériePanx'(n)est une série entière. Pour trouver son
rayon de convergence, on commence par calculer la limite suivante :
l= lim
n!+1%%%%
an+1x'(n+1)
anx'(n)%%%%= lim
n!+1%%%%
an+1
an%%%%lim
n!+1|x|'(n+1)−'(n),
puis on cherche le domaine de xoù l<1;Rest donc le rayon de domaine où notre série
converge.
Exemple 6
Trouver le rayon de convergence de la série
+1
P
n=0
3nx2n+5.
Dans notre cas '(n)=2n+5et
l= lim
n!+1%%%%
3n+1x2(n+1)+5
3nx2n+5 %%%%= lim
n!+1%%%%
3n+1
3n%%%%lim
n!+1|x|2(n+1)+5−(2n+5) =3|x|2.
La série converge si 3|x|2<1,qu’estéquivalenteà|x|<p3
3,d’oùlerayondeconvergenceest
R=p3
3.
La série est absolument convergente pour tout |x|<p3
3et divergente si |x|>p3 3.
3Propriétés des séries entières
3.1 Continuité
!
"
#
$
Proposition 3 Soit Panx
nune série entière de rayon de convergence Ret soit fsa somme
qu’est définie par
f(x)=
+1
P
n=0
anxnsur ]−R, R[.Lafonctionfest alors continue.
5