pi
a
tr
h
e
C
5
Séries entières
Sommaire
1
Généralités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2
2
Rayon de convergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
3
2.1
Existence du rayon de convergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
2.2
Calcul du rayon de convergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
Propriétés des séries entières . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.1
5
Continuité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
3.2
Dérivation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
3.3
Intégration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
3.4
Opérations sur les séries entières . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
4 Fonctions développables en série entière . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
4.1
Série de Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
5 Séries entières et équations di§ érentielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1
1. Généralités
1
Généralités
Définition 1
On appelle série entière toute série de fonctions
P
fn dont le terme général est de la forme
fn (x) = an xn , où (an ) désigne une suite réelle et x 2 R.
Une série entière est notée
P
an x n .
Comme pour les séries de fonctions, on cherche le domaine de convergence
(
)
+1
X
D = x 2 R tel que la série
an xn converge .
n=0
P
Si la série
an xn est convergente sur un domaine D, cela permet de définir une fonction
+1
P
x 7!
an xn sur D à valeurs dans R.
n=0
Exemple 1
Considérons la série entière
Posons fn (x) =
+1
P
xn
.
n=0 n!
xn
et appliquons le critère de D’Alembert
n!
% xn+1 %
%
%
%
%
%
%
% fn+1 (x) %
% x %
(n+1)!
%
%
% = lim % n % = lim %
% = 0.
lim %
n!+1 % fn (x) %
n!+1 % x
n!+1 % n + 1 %
%
n!
+1
P
xn
La série entière
est alors absolument convergente pour tout x 2 R, donc D = R.
n=0 n!
Exemple 2
+1
P
xn
xn
.
Posons
f
(x)
=
, on a
n
2
n2
n=1 n
% n+1 %
%&
%
%
% x
%
'2 %%
%
% fn+1 (x) %
% (n+1)2 %
n
%
% = lim % n % = lim %%
lim %
x% = |x| .
n!+1 % fn (x) %
n!+1 % x 2 %
n!+1 % n + 1
%
% n %
Soit la série entière
Si |x| < 1, la série est absolument convergente et si |x| > 1 la série diverge.
|x|n
1
Pour le cas où |x| = 1, on a |fn (x)| = 2 = 2 qu’est le terme général d’une série de
n
n
+1
P xn
Riemann convergente. Par suite, la série
est absolument convergente dans [−1, 1] et
2
n=1 n
alors D = [−1, 1].
Exemple 3
Soit la série entière
+1
P
n=1
n!xn . Cette série ne converge que si x = 0 car
%
%
% fn+1 (x) %
%
% = lim |(n + 1) x|
lim
n!+1 % fn (x) %
n!+1
et cette limite n’existe que si x= 0. D’où D= {0}.
2
2. Rayon de convergence
Exemple 4
+1
P
xn
xn
Considérons la série entière
. Posons fn (x) =
, on a
n
n=1 n
" n+1 "
"
"
"
"
"x "
" fn+1 (x) "
" n
"
"
"
n+1
" = lim " n " = lim "
" = |x| .
lim ""
x
x
n!+1
fn (x) " n!+1 " n " n!+1 " n + 1 "
Si |x| < 1, la série est absolument convergente et si |x| > 1 la série diverge.
+1
P xn +1
P 1
Pour le cas où x = 1, on a
=
, c’est la série harmonique qu’est divergente.
n=1 n
n=1 n
+1
P xn +1
P (−1)n
Si x = −1, on a
=
, c’est la série harmonique alternée qu’est convergente.
n
n=1 n
n=1
D’où D = [−1, 1[.
!
Proposition 1 (Lemme d’Abel)
P
Soit
an xn une série entière. On suppose qu’il existe x0 2 R tel que la suite (an xn0 )n soit
#
bornée. Alors :
• La série
• La série
"
2
P
P
an xn est absolument convergente pour |x| < |x0 |.
an xn est normalement convergente pour |x| < r avec 0 < r < |x0 |.
$
Rayon de convergence
2.1
Existence du rayon de convergence
!
Pour les séries entières, la notion de convergence prend une forme assez simple.
Théorème 1
P
Soit
an xn une série entière; alors il existe un unique nombre réel R ≥ 0 (éventuellement
#
infini) tel que
•
•
"
P
P
an xn converge absolument dans ]−R, R[.
an xn diverge si |x| > R.
$
Définition 2
Le nombre R = sup {r 2 R+ tel que
P
convergence de la série
an x n .
P
|an | rn converge} 2 R+ [ {+1} est appelé rayon de
3
2. Rayon de convergence
Remarque 1
Le rayon de convergence d’une série
1. |x| < R )
2. |x| > R )
P
P
P
an xn est caractérisé par :
an xn est absolument convergente.
an xn diverge.
3. |x| = R est le cas douteux où on ne peut rien dire sur la nature de la série.
4. |x|≤r<R pour r>0, la série est normalement convergente.
2.2
Calcul du rayon de convergence
La proposition suivante permet la détermination pratique du rayon de convergence dans certains
!
cas.
Proposition 2 (Lemme d’Hadamard)
P
Soit
an xn une série entière. Le rayon de convergence R est donné par la relation :
"
"
p
" an+1 "
1
" = lim n |an |.
= lim ""
"
n!+1
R n!+1 an
"
Exemple 5
1. Considérons la série
On a an =
+1
P
xn
.
n=0 n!
1
, utilisons le critère de D’Alembert :
n!
" 1 "
"
"
"
"
" an+1 "
1
1
" (n+1)! "
"
"
= lim "
= lim " 1 " = lim
= 0.
"
n!+1 "
" n!+1 n + 1
R n!+1 an
n!
Alors, le rayon de convergence est R = +1. La série est absolument convergente pour
tout x 2 R.
+1
P
xn
.
2
n=1 n
" 1 "
"
"
"
"
"
"
1
1
an+1 "
n2
" (n+1)2 "
"
On a an = 2 , et donc
= lim "
=
lim
=
lim
= 1. Le
"
"
1
n!+1
n!+1 "
n!+1 (n + 1)2
"
n
R
an "
n2
rayon de convergence est R = 1. La série est absolument convergente pour tout |x| < 1
2. Soit la série
et divergente si |x| > 1. Pour |x| = 1 la série converge.
4
#
$
3. Propriétés des séries entières
+1
P
xn
.
n
n=0 2
# $ n1
p
1
1
1
1
On a an = n . Le critère de Cauchy donne :
= lim n |an | = lim
= .
n
n!+1
n!+1
2
R
2
2
Le rayon de convergence est donc R = 2. La série est absolument convergente pour tout
3. Soit la série
|x| < 2 et divergente si |x| > 2. Pour |x| = 2 la série diverge.
Cas des séries lacunaires
Soit ' une application de N dans N, la série
P
an x'(n) est une série entière. Pour trouver son
rayon de convergence, on commence par calculer la limite suivante :
%
%
%
%
% an+1 x'(n+1) %
% an+1 %
%
%
%
% lim |x|'(n+1)−'(n) ,
l = lim %
= lim
n!+1
an x'(n) % n!+1 % an % n!+1
puis on cherche le domaine de x où l < 1; R est donc le rayon de domaine où notre série
converge.
Exemple 6
Trouver le rayon de convergence de la série
+1
P
3n x2n+5 .
n=0
Dans notre cas ' (n) = 2n + 5 et
% n+1 2(n+1)+5 %
% n+1 %
%3 x
%
%3 %
%
%
%
% lim |x|2(n+1)+5−(2n+5) = 3 |x|2 .
l = lim %
=
lim
%
%
n
2n+5
n
n!+1
n!+1
3 x
3 % n!+1
p
3
2
La série converge si 3 |x| < 1, qu’est équivalente à |x| <
, d’où le rayon de convergence est
3
p
3
R=
.
3
p
p
3
3
La série est absolument convergente pour tout |x| <
et divergente si |x| >
.
3
3
3
3.1
!
Propriétés des séries entières
Continuité
Proposition 3 Soit P
n
anx
une série entière de rayon de convergence R et soit f sa somme
qu’est définie
par
+1
P
f (x) =
an xn sur ]−R, R[. La fonction f est alors continue.
"
n=0
5
#
$
3. Propriétés des séries entières
Remarque 2
Par la seule connaissance du rayon de convergence, on ne peut rien dire a priori sur la définition
et l’éventuelle continuité de f en ±R.
Exemple 7
(−1)n n
x .
n
n=1
Le rayon de convergence de cette série entière est R = 1.
+1
P (−1)n n
La fonction f définie par f (x) =
x est donc continue sur ]−1, 1[.
n
n=1
Cas de x = −1
+1
+1
P (−1)n
P 1
On a
(−1)n =
, qu’est divergente. Donc f n’est pas définie en x = −1.
n
n=1
n=1 n
Cas de x = 1
+1
+1
P (−1)n
P (−1)n
n
On a
(1) =
, qu’est une série harmonique alternée convergente.
n
n
n=1
n=1
Donc f est définie en x = 1. Ainsi, elle est continue en x = 1 par la convergence uniforme de
+1
P (−1)n n
la série
x sur [0, 1].
n
n=1
Considérons la série entière
3.2
+1
P
Dérivation
Définition 3
Une fonction f : R ! R est dite dérivable en x0 2 R si lim
x!x0
0
Si cette limite existe on la note f (x0 ).
f (x) − f (x0 )
existe.
x − x0
Définition 4
Une fonction f est dite de classe C n sur un intervalle I de R, si sa dérivée d’ordre n est une
fonction continue sur I.
!
Proposition 4
P
Soit an xn une série entière de rayon de convergence R, et soit f la fonction définie sur ]−R, R[
+1
P
par f (x) =
an xn . Alors f est dérivable et sa dérivée s’obtient en dérivant terme à terme :
f 0 (x) =
"
+1
P
#
n=0
nan xn−1 .
n=1
Définition 5
+1
+1
P
P
La série
nan xn−1 est appelée série entière dérivée de la série
an xn .
n=1
n=0
6
$
3. Propriétés des séries entières
Remarque 3
Série entière et série entière dérivée ont le même rayon de convergence.
Exemple 8
(−1)n n
Considérons à nouveau la série entière f (x) =
x de rayon de convergence R = 1,
n
n=1
qu’est définie et continue sur ]−1, 1].
+1
P
Pour tout x 2 ]−1, 1[, on a
+1
+1
+1
X
X
(−1)n n−1 X
−1
n−1
f (x) =
n
x
=
− (−x)
=−
(−x)n =
.
n
1+x
n=1
n=1
n=0
0
Donc pour tout x 2 ]−1, 1[, f (x) = f (0) +
On retient
x
0
−1
dt = − Log (1 + x).
1+t
+1
X
(−1)n−1
8x 2 ]−1, 1]
3.3
Z
n
n=1
xn = Log (1 + x) .
Intégration
Définition 6
Une fonction f : D ! R admet une primitive s’il existe une fonction F : D ! R vérifiant
F 0 = f ; (D étant le domaine de définition de f ).
'
Proposition 5
P
Soit an xn une série entière de rayon de convergence R, et soit f la fonction définie sur ]−R, R[
Z x +1
+1
P
P
n
par f (x) =
an x . Alors pour tout intervalle [0, x] ⊂ ]−R, R[, on peut calculer
an tn dt
n=0
0
$
n=0
en intégrant terme à terme :
Z
0
+1
xX
n
an t dt =
n=0
+1
X
an
&
de f s’annulant en 0.
x
n
t dt =
0
n=0
La série entière F (x) =
Z
+1
X
n=0
an
$
tn+1
n+1
%x
0
+1
X
an n+1
=
x .
n+1
n=0
+1
P
an n+1
x
est de rayon de convergence R ; qu’est aussi une primitive
n=0 n + 1
%
Exemple 9
Considérons la série entière f (x) =
+1
P
n=0
On a
Z
0
+1
xX
n=0
n
t dt =
+1 Z
X
n=0
0
x
xn =
1
de rayon de convergence R = 1.
1−x
+1 $ n+1 %x
+1
+1 n
X
X
X
t
xn+1
x
t dt =
=
=
.
n
+
1
n
+
1
n
0
n=0
n=0
n=1
n
7
4. Fonctions développables en série entière
On en déduit que pour tout x 2 ]−1, 1[,
+1 n
X
x
n=1
3.4
#
n
=
Z
x
0
1
dt = − Log (1 − x) .
1−t
Opérations sur les séries entières
Proposition 6
P
P
Soit
an xn ,
bn xn deux séries entières ayant respectivement R1 et R2 pour rayon de convergence.
1. Si R1 6= R2 , le rayon de convergence R3 de la série entière
min {R1 , R2 }.
2. Si R1 = R2 , le rayon de convergence de la série entière
"
P
P
(an + bn ) xn est R3 =
(an + bn ) xn est R3 ≥ R1 .
Exemple 10
+1
P
!
+1
P
1 − 2n n
x . Les deux séries ont pour
2n
n=0
n=0
+1
P 1 n
rayon de convergence R1 = R2 = 1. Par contre la série somme (f + g) (x) =
x , a pour
n
n=0 2
rayon de convergence R3 = 2.
Soient les deux séries entières f (x) =
4
xn et g (x) =
Fonctions développables en série entière
Définition 7
Soit f une fonction réelle à variable réelle x. On dit que f est développable en série entière
au voisinage de x0 s’il existe une suite réelle (an )n et R > 0 tels que
f (x) =
+1
X
n=0
an (x − x0 )n
8x 2 ]x0 − R, x0 + R[ .
%
'
Proposition 7
Pour qu’une fonction f soit développable en série entière au voisinage d’un point x0 2 R, il est
nécessaire qu’elle soit de classe C 1 dans un voisinage ]x0 − ", x0 + "[ de x0 et dans ce cas on
+1
P
a : f (x) =
an (x − x0 )n .
&
n=0
8
(
4. Fonctions développables en série entière
Exemple 11
Considérons la fonction f définie sur ]−1, 1[ par f (x) =
1
.
1−x
La fonction f est développable en série entière sur ]−1, 1[ car on sait
Exercice 1
+1
P n
1
=
x .
1 − x n=0
Donner le développement en série entière de la fonction f définie par f (x) =
de x0 = 1 .
1
au voisinage
2−x
Remarque 4
Il existe des fonctions de classe C 1 qui ne sont pas développables en série entière.
Exercice 2
Montrer que la fonction f définie sur R par
8
< 0
f (x) =
: e− x12
si x ≤ 0
si x > 0
est de classe C 1 mais non développable en série entière au voisinage de 0.
4.1
Série de Taylor
Définition 8
On appelle série de Taylor d’une fonction f : ]−R, R[ ! R de classe C 1 la série entière
+1
P f (n) (0) n
x .
n!
n=0
#
Proposition 8
Soit f : ]−R, R[ ! R une application de classe C 1 dans un voisinage de 0.
%
%
On suppose qu’il existe M > 0 tel que pour tout n 2 N, et pour tout x 2 ]−R, R[, %f (n) (x)% ≤
M.
Alors la série de Taylor
+1
P
f (n) (0) n
x de f est simplement convergente dans ]−R, R[ et on a :
n!
n=0
f (x) =
+1 (n)
X
f (0)
n=0
"
n!
9
xn 8x 2 ]−R, R[ .
!
4. Fonctions développables en série entière
Séries de Taylor des fonctions élémentaires
1. La fonction exponentielle : f (x) = ex .
Cette fonction est de classe C 1 sur R, et on a 8n 2 N, f (n) (x) = ex et donc f (n) (0) = 1.
Alors
X xn
x
x2 x3
8x 2 R, e = 1 + +
+
+ ... =
,
1!
2!
3!
n!
n=0
+1
x
R = +1.
2. Les fonctions hyperboliques :
+1
P x2n
ex + e−x
2
4
6
= 1 + x2! + x4! + x6! + ... =
, R = +1.
2
n=0 (2n)!
+1
P x2n+1
ex − e−x
3
5
7
Sh x =
= x + x3! + x5! + x7! + ... =
, R = +1.
2
n=0 (2n + 1)!
Ch x =
3. Les fonctions circulaires :
• La fonction sinus : f (x) = sin x.
On a f 0 (x) = cos x, f 00 (x) = − sin x, f 000 (x) = − cos x, f (4) (x) = sin x.... et donc
f (0) = 0, f 0 (0) = 1, f 00 (0) = 0, f 000 (0) = −1, f (4) (0) = 0....
X (−1)n
x3 x5 x7
+
−
+ ... =
x2n+1 ,
3!
5!
7!
(2n + 1)!
n=0
+1
sin x = x −
R = +1.
• La fonction cosinus : f (x) = cos x.
On a f (x) = cos x = (sin x)0 , alors
X (−1)n
x2 x4 x6
cos x = (sin x) = 1 −
+
−
+ ... =
x2n ,
2!
4!
6!
(2n)!
n=0
+1
0
R = +1.
4. La série du binôme : f (x) = (1 + x)α , α 2 R.
On a f 0 (x) = α (1 + x)α−1 , f 00 (x) = α (α − 1) (1 + x)α−2 , ...
f (n) (x) = α (α − 1) ... (α − n + 1) (1 + x)α−n et donc
f (0) = 1, f 0 (0) = α, f 00 (0) = α (α − 1) , ... f (n) (0) = α (α − 1) ... (α − n + 1).
Alors
α
(1 + x) = 1 +
+1
X
α (α − 1) (α − 2) ... (α − n + 1)
n!
n=1
1
1
et α = − on a :
2
2
p
1
• f (x) = (1 + x) 2 = 1 + x.
xn ,
R = 1.
En particulier pour α =
p
1+x=1+
+1
X
n=1
(−1)n−1
+1
X
(2n − 3)!! n
1 × 3 × 5... × (2n − 3) n
x =1+
(−1)n−1
x
(2n)!!
2
×
4
×
6...
×
2n
n=1
1
1
1
5 4
= 1 + x − x2 + x 3 −
x + ....
2
8
16
128
10
4. Fonctions développables en série entière
1
• f (x) = (1 + x)− 2 = p
1
.
1+x
+1
+1
X
X
1
1 × 3 × 5... × (2n − 1) n
n (2n − 1)!! n
p
=1+
(−1)
x =1+
(−1)n
x
(2n)!!
2
×
4
×
6...
×
2n
1+x
n=1
n=1
1
3 2
5 3
35 4
=1− x+ x − x +
x + ....
2
8
16
128
• En remplaçant x par −x2 il vient
p
+1
+1
X
X
1
(2n − 1)!! 2n
1 × 3 × 5... × (2n − 1) 2n
=1+
x =1+
x
(2n)!!
2
×
4
×
6...
×
2n
1 − x2
n=1
n=1
1 2 3 4
5 6
35 8
=1+ x + x + x +
x + ....
2
8
16
128
• Par intégration on obtient
Z
+1
X
1
(2n − 1)!!
p
arcsin x =
dt = x +
x2n+1
2
(2n
+
1)
(2n)!!
1
−
t
0
n=1
1 3
3 5
5 7
35 9
=x+ x + x +
x +
x + ....
6
40
112
1152
5. La fonction f (x) =
x
1
. On a pour |x| < 1
1−x
X
1
= 1 + x + x2 + x3 + x4 + ... =
xn ,
1−x
n=0
+1
R = 1.
• En remplaçant x par −x on obtient
X
1
= 1 − x + x2 − x3 + x4 − ... =
(−1)n xn ,
1+x
n=0
+1
R = 1.
• Par intégration il vient
Log (1 + x) =
Z
0
x
X
1
x2 x3 x4 x5
xn
dt = x −
+
−
+
− ... =
(−1)n+1 ,
1+t
2
3
4
5
n
n=1
• En remplaçant x par −x2 dans
+1
R = 1.
1
on aura
1−x
X
1
2
4
6
8
=
1
−
x
+
x
−
x
+
x
−
...
=
(−1)n x2n ,
1 + x2
n=0
+1
R = 1.
• Par intégration on obtient
Arctg x =
Z
0
x
X (−1)n
1
x 3 x5 x7 x9
dt
=
x
−
+
−
+
−
...
=
x2n+1 ,
1 + t2
3
5
7
9
2n
+
1
n=0
+1
11
R = 1.
5. Séries entières et équations di§érentielles
5
Séries entières et équations di§ érentielles
Les séries entières peuvent être utilisées pour résoudre des équations di§érentielles linéaires à
coe¢cients non constants développables en séries entières.
Cette méthode est illustrée par les exemples suivants.
Exemple 45
Considérons l’équation di§érentielle 2x (1 + x) y 00 + (5x + 3) y 0 + y = 0.
On cherche une solution de cette équation di§érentielle qu’est développable en série entière sur
+1
P
un intervalle ]−R, R[. Posons y (x) =
an xn . On a
n=0
0
y (x) =
00
y (x) =
+1
X
n=1
+1
X
n=2
nan x
n−1
=
+1
X
(n + 1) an+1 xn ,
n=0
n (n − 1) an x
xy 0 (x) =
xy 00 (x) =
x2 y 00 (x) =
n−2
+1
X
n=0
+1
X
n=0
+1
X
n=0
=
+1
X
n (n + 1) an+1 xn−1 ,
n=1
nan xn ,
n (n + 1) an+1 xn
n (n − 1) an xn .
Il vient, en remplaçant dans notre équation di§érentielle
+1
X
n=0
[2n (n + 1) an+1 + 2n (n − 1) an + 5nan + 3 (n + 1) an+1 + an ] xn = 0,
qu’est équivalente à
+1
X
(n + 1) [(2n + 3) an+1 + (2n + 1) an ] xn = 0,
n=0
encore équivalent à dire que la suite (an )n est solution de l’équation de récurrence suivante :
(2n + 3) an+1 + (2n + 1) an = 0, n 2 N.
Par récurrence, on en déduit que
an =
(−1)n
a0 , n 2 N.
2n + 1
Alors
p
+1
+1
X
(−1)n n
a0 X (−1)n #p $2n+1
Arctg ( x)
p
y (x) =
an x = a0
x =p
x
= a0
.
2n
+
1
2n
+
1
x
x
n=0
n=0
n=0
+1
X
n
12
5. Séries entières et équations di§érentielles
Exercice 3
Soit f la fonction définie sur ]−1, 1[ par f (x) = (1 + x)α où α est un réel non entier naturel.
1. Vérifier que f est une solution sur ]−1, 1[ de l’équation di§érentielle avec condition initiale
suivante :
8
< (1 + x) y 0 − αy = 0,
: y (0) = 1.
2. Retrouver le développement en série entière de f ainsi que son rayon de convergence.
Solution.
1. On a bien f (0) = 1 et pour tout x 2 ]−1, 1[ :
(1 + x) f 0 (x) − αf (x) = (1 + x) α (1 + x)α−1 − α (1 + x)α = 0.
2. Supposons que la solution f de cette équation di§érentielle est développable en série
entière sur un intervalle ]−R, R[ :
f (x) =
+1
X
an xn .
n=0
On a
f 0 (x) =
xf 0 (x) =
+1
X
n=1
+1
X
nan xn−1 =
+1
X
(n + 1) an+1 xn ,
n=0
nan xn ,
n=0
et f est solution de cette équation di§érentielle si, et seulement si
+1
X
n=0
encore équivalent à
[(n + 1) an+1 + nan − αan ] xn = 0,
an+1 =
α−n
an , n 2 N,
n+1
avec a0 = f (0) = 1, ce qui donne par récurrence
an =
α (α − 1) (α − 2) ... (α − n + 1)
n 2 N∗ .
n!
Alors
α
f (x) = (1 + x) = 1 +
+1
X
α (α − 1) (α − 2) ... (α − n + 1)
n=1
Par le critère de D’Alembert R = 1.
13
n!
xn .
