ALGÈBRE

J.-P. DAX
ALGÈBRE
par Jean-Pierre DAX
Professeur à l'Université de Metz
Maîtrise de Mathématiques
Agrégation de Mathématiques
1997-98
Département de Mathématiques
Université Paul Verlaine de Metz
 copyright : DAX Jean-Pierre, 2007
tous droits de reproduction réservés
2007 Aoû 22 a ALGÈBRE page 1

J.-P. DAX
Université de Metz , U.F.R. M.I.M.
Département de Mathématiques
Cours de J-P DAX
Chapitre 1 : Les groupes.
§1.Lois de composition interne.
On appelle loi de composition interne ou opération interne sur un ensemble E une application f:E×E→E .
Pour x,y∈E on utilise une notation du type f(x,y)= x ∗ y . x ∗ y s'appelle le composé de x et de y pour la loi ∗ .
On considère dorénavant un ensemble E muni d'une loi ∗ .
On dit que la loi est associative si ∀x,y,z∈E on a (x ∗ y) ∗ z = x ∗ (y ∗ z) .
On dit que la loi est commutative si ∀x,y∈E on a x ∗ y = y ∗ x .
On appelle élément neutre un élément e∈E tel que ∀x∈E on ait e ∗ x = x ∗ e = x ; un tel élément, s'il existe,
est unique. On l'appelle élément unité si la loi est notée multiplicativement.
On suppose que la loi possède un élément neutre e . On appelle inverse (resp. opposé si la loi est notée
additivement) d'un élément x de E, un élement x' de E tel que x ∗ x' = x' ∗ x = e . Si x possède un inverse, on dit que x
est inversible. Si la loi est associative, un tel élément x' , s'il existe, est unique et on le note x-1 ; de plus si x et y sont
inversibles alors x y est inversible et l'on a la relation (x ∗ y)-1 = y-1 ∗ x-1 .
Une partie F de E est dite stable pour la loi si ∀x,y∈F on a x ∗ y ∈ F . Dans ce cas la loi ∗ de E
induit une loi de composition interne sur F .
Soient un ensemble G muni d'une loi ∗ et un ensemble H muni d'une loi ⊥ . On appelle homomorphisme de
G dans H une application f : G → H telle que ∀ x,y ∈ G on ait f(x ∗ y) = f(x) ⊥ f(y) . Un homomorphisme est appelé
un monomorphisme s'il est injectif, un épimorphisme s'il est surjectif, un isomorphisme s'il est bijectif, un
endomorphisme si G=H , un automorphisme s'il est bijectif et si G=H .
§2.Relations d'équivalence et ensemble quotient.
On appelle relation R sur un ensemble E la donnée d'une partie G de E × E . La partie G s'appelle le graphe
de la relation R . Pour x,y∈E on utilise la notation x R y caractérisée par (x R y ) ⇔ (x,y)∈G .
Une relation R sur un ensemble E est dite
réflexive si ∀x∈E on a x R x ,
symétrique si ∀x,y∈E on a : (x R y ) ⇒ (y R x) ,
antisymétrique si ∀x,y∈E on a : ((x R y) et (y R x)) ⇒ (x = y) ,
transitive si ∀x,y,z∈E on a : ((x R y) et (y R z)) ⇒ (x R z) .
On appelle relation d'équivalence sur E une relation sur E à la fois réflexive, symétrique et transitive.
On considère un ensemble E muni d'une relation d'équivalence R . Soit x∈E . On appelle classe d'équivalence
de x suivant R la partie de E notée C(x) ou [x] et définie par C(x) = [x] = { y | y∈E, xRy } . Toute partie de E
de la forme [x] pour un certain x∈E est appelée classe d'équivalence suivant R . On dit aussi que x est un
représentant de la classe d'équivalence [x] .
On a l'équivalence : x R y ⇔ [x]=[y] (1)
En effet supposons que l'on ait x R y ; si z∈[y] on a y R z d'où x R z et par suite z∈[x] ; on a donc [x] ⊂ [y] ; de
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même si t∈[x] on a x R t d'où y R t et par suite t∈[y] ; on a donc [x]=[y] . Inversement supposons que [x]=[y] ;
comme y∈[y] on a y∈[x] d'où x R y .
On appelle partition de E un ensemble de parties non vides de E , 2 à 2 disjointes et recouvrant E .
Les classes d'équivalence suivant R forment une partition de E . En effet x∈[x] d'où (i) et (iii) ;
si [x]∩[y] ≠ ∅, soit z∈[x]∩[y] ; on a x R z et y R z d'où x R y et par suite d'après (1) on a[x]=[y] , d'où (ii).
L'application entre l'ensemble des relations d'équivalence sur E et l'ensemble des partitions
sur E que l'on vient de définir est une bijection, l'application réciproque associant à une partition donnée la
relation R définie par x R y ssi x et y appartiennent à une même partie de la partition.
On appelle ensemble quotient de l'ensemble E suivant la relation d'équivalence R l'ensemble noté E/R des
classes d'équivalences de E suivant R . E/R est donc une partie de (E) , ensemble des parties de E : E/R ⊂ (E).
La surjection π : E → E/R définie par π(x) = [x] s'appelle la surjection canonique de E sur E/R ; d'après (1) on a
x R y ssi π(x)=π(y) .
§3.Relation d'équivalence compatible avec une loi interne.
Soit E un ensemble muni d'une relation d'équivalence R et d'une loi ∗ . On dit que la relation d'équivalence R est
compatible avec la loi ∗ ( ou que la loi ∗ est stable vis-à-vis de la relation d'équivalence R ) si l'on a
∀ x,y,z,t ∈ E on a : ( x R z et y R t ) ⇒ (x ∗ y) R (z ∗ t) .
Dans ce cas la loi ∗ de E induit sur l'ensemble quotient E/R une loi notée encore ∗ ( par abus de
notation ) et définie par [x] ∗ [y] = [ x ∗ y ] pour x,y∈E . Cette définition est cohérente vu la définition de la
compatibilité. La relation précédente peut s'écrire π(x ∗ y) = π(x) ∗ π(y) , de sorte que la surjection canonique π de E sur
E/R est un épimorphisme appellé épimorphisme canonique de (E,∗) sur (E/R,∗) .
Si la loi de E est associative, alors la loi de E/R est associative.
Si E possède un élément neutre e , alors π(e) est l'élément neutre de E/R . En effet ∀ x∈E on a e∗x = x∗e = x
d'où π(e∗x) = π(x∗e) = π(x) d'où π(e)∗π(x) = π(x)∗π(e) = π(x) et l'on conclut en utilisant la surjectivité de s .
Si x∈E admet pour inverse y∈E , alors π(x) admet pour inverse π(y). En effet on a x ∗ y = y ∗ x = e d'où
π(x ∗ y) = π(y ∗ x) = π(e) d'où π(x) ∗ π(y) = π(y) ∗ π(x) = π(e) . Si la loi de E est associative, les inverses sont uniques
et l'on peut écrire π(x-1) = π(x)-1 pour tout élément inversible x de E .
§4.Groupes.
Définition 1. On appelle groupe un ensemble G muni d'une loi de composition interne ∗ telle que
(i) la loi est associative
(ii) la loi possède un élément neutre e
(iii) tout élément de G est inversible.
On dit qu'un groupe G est abélien ( ou commutatif) si la loi est commutative. Dans ce cas la loi est en général
notée additivement (c'est-à-dire avec le symbole + ). On appelle ordre d'un groupe G le cardinal de G ; on le note | G | .
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Proposition 1. Soit G un groupe et x,y,z∈G. Alors si x∗y = x∗z , on a y=z , et si y∗x = z∗x , on a y=z.
Preuve. Multiplier par x-1 à gauche ou à droite.
Proposition 2. Soit G un groupe et x,y,z∈G. Alors ( x = y ∗ z ) ⇔ ( z = y-1 ∗ x ) ⇔ ( y = x ∗ z-1 ) .
Exemple 1 : le groupe additif des entiers relatifs. Pour construire ce groupe, on part de l'ensemble produit E = ×
muni de la loi (m,n) + (p,q) = (m+p,n+q) et de la relation d'équivalence R définie par (m,n) R (p,q) ⇔ m+q = n+p .
La relation R est compatible avec la loi + . On pose = (E/R,+) et l'on vérifie que est un groupe abélien.
En associant à n∈ la classe [(n,0)], on identifie à une partie de ; cette identification est compatible avec les
lois + de et de . Un élément de n'appartenant pas à s'écrit de façon unique sous la forme -n où n est un
entier ≥ 1.
Exemple2. Soit E un ensemble. On appelle permutation de E une bijection de E sur lui-même. On notera E
l'ensemble des permutations de E ; muni de la composition des applications, E est un groupe ; ce groupe n'est pas abélien
si E a au moins 3 éléments.
Exemple 3 : Soit n≥2 un entier. On considère dans 2 le polygône Pn régulier à n côtés, centré en O et admettant le
point (0,1) pour sommet. Le groupe diédral est le groupe n des isométries u∈2 telle que u(Pn)=Pn . On a | n| = 2n .
Exemple 4. Soit E un ensemble et G un groupe. On considère l'ensemble (E,G) des applications de E dans G .
On munit cet ensemble de la loi définie par ∀ f,g ∈ (E,G) , ∀ x∈E , (f ∗ g)(x) = f(x) ∗ g(x) .
Muni de cette loi, (E,G) est un groupe [les cas G = ( ,+) et G = ( ,+) sont utilisés en Analyse].
Exemple 5. On appelle monoïde un ensemble M muni d'une loi interne associative et possédant un élément neutre. Dans
ce cas l'ensemble U(M) des éléments inversibles de M est une partie stable de M et U(M) muni de la loi induite de celle
de M est un groupe. On l'appelle le groupe des éléments inversibles de M . [Dans la suite du cours, on utilisera
en particulier cet exemple lorsque M est un anneau, en prenant comme loi la multiplication de l'anneau].
§5.Sous-groupes.
Définition 1. On appelle sous-groupe d'un groupe G une partie H de G telle que
(i) e∈H
(ii) ∀x,y∈H on a x∗y-1∈H.
Ceci entraîne que H est une partie stable de G et que H muni de la loi induite de la loi de G est un groupe.
Définition 2. Soit A une partie d'un groupe G . On appelle sous-groupe de G engendré par A le plus petit sous-
groupe <A> de G contenant A . Autrement dit <A> est le plus petit élément de l'ensemble des sous-groupes de G
contenant A, ensemble ordonné par l'inclusion. Cela revient à dire que
(i) <A> est un sous-groupe de G tel que A ⊂ <A> ;
(ii) pour tout sous-groupe K de G tel que A ⊂ K , on a <A> ⊂ K .
Si un tel sous-groupe <A> existe, il est donc unique. Et un tel sous-groupe <A> existe toujours : il suffit en effet
de prendre pour <A> l'intersection de tous les sous-groupes de G contenant A ( il en existe au moins un, à savoir G ).
On peut aussi prouver l'existence de <A> en considérant <A> = {a1∗a2∗…∗ar | r∈, ai ou ai-1 ∈A } .
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Si A = {x1,…,xn} , on utilise aussi la notation <A> = < x1,…,xn >. Lorsque A est réduit à un élément a de
G, on parle du sous-groupe engendré par a . On dit que a est un générateur du sous-groupe < a > .
Proposition 1. Les sous-groupes de sont les parties de de la forme n = { ni | i∈} où n∈.
Preuve. Pour n∈, n est un sous-groupe de . Inversement soit H≠{0} un sous-groupe de . On a H∩*≠∅
(car si x∈H, alors -x∈H ) ; on note n = min(H∩*). On a n∈H∩* ⊂ H , d'où n ⊂ H .
Soit k∈H . Effectuons la division euclidienne de k par n : ∃ q,r∈ , k = q n + r , 0 ≤ r < n .
Alors r = k - q n ∈ H (car k,n∈H ). Vu la définition de n , on a donc r = 0, d'où k = q n∈n .
On a donc H ⊂ n et par suite H = n .
§6.Homomorphismes de groupes.
On considère deux groupes G et H . Par abus de notation, on note e aussi bien l'élément neutre de G que celui de
H [lorsque l'on voudra préciser, on notera eG et eH ces éléments]. On notera les lois en utilisant le symbole espace.
Proposition 1. Pour tout homomorphisme de groupes f : G → H on a f(e) = e et f(x-1) = f(x)-1 pour tout x∈G .
Preuve. On a e e = e d'où f(e) f(e) = f(e) et par suite f(e) = e. Soit x∈G . On a x x-1= x-1x = e d'où
f(x) f(x-1) = f(x-1) f(x) = f(e) = e et par suite f(x-1) = f(x)-1.
Proposition 2. Soit f : G → H un homomorphisme de groupes. Si K est un sous-groupe de H , alors f-1(K) est un
sous-groupe de G . Et si L est un sous-groupe de G, alors f(L) est un sous-groupe de H.
Preuve. On a f(e)=e∈K d'où e∈f-1(K) . Soient x,y∈f-1(K) ; on a f(xy-1)=f(x) f(y)-1 ∈K d'où xy-1∈f-1(K).
Par ailleurs e∈L donc e=f(e)∈f(L) ; et si x,y∈L, on a f(x) f(y)-1 = f(xy-1)∈f(L) .
Définition 1. Soient G et H deux groupes et f : G → H un homomorphisme de groupes. On appelle noyau de f la
partie de G notée Ker(f) et définie par Ker(f)={x∈G | f(x) = e} = f-1({e}) .
Proposition 3. Soit f : G → H un homomorphisme de groupes. Alors Le noyau Ker(f) est un sous-groupe de G et
l'image Im(f) un sous-groupe de H .
Preuve. Cela résulte de la Prop 2 car Ker(f) = f-1({e}) et Im(f) = f(G) .
Proposition 4. Pour tout homomorphisme de groupes f : G → H , f est injectif ssi Ker(f)={e}.
Preuve. ⇒ Soit x∈Ker(f) ; alors f(x) = e d'où f(x) = f(e) et x = e ; on a donc Ker(f) = {e}.
⇐ Soient x,y∈G tels que f(x) = f(y) . Alors f(xy-1)=e d'où xy-1∈Ker(f). Par suite xy-1=e, x = y .
Proposition 5. Soit f : G → H un homomorphisme de groupes. Alors si K est un sous-groupe de H , f-1(K) est un
sous-groupe de G contenant Ker(f). Si L est un sous-groupe de G, f(L) est un sous-groupe de H contenu dans
Im(f). De plus ces deux applications induisent des bijections réciproques entre l'ensemble des sous-groupes de H contenus
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