fiches cours physique

✩
✬
L'essentiel du
✫
ours en
PHYSIQUE
Ly ée Gustave
Eiffel Spé PT
✪
Table des matières
Mé anique
1.
2.
3.
4.
5.
6.
Cinématique
Prin ipes de la dynamique
Énergie d'un point matériel
Mouvement d'une parti ule hargée dans un hamp éle trique ou magnétique
Théorèmes du moment inétique
Mouvement dans un hamp de for e newtonien
Optique géométrique
1. Bases de l'optique géométrique
2. Lentilles min es sphériques
Physique quantique
1. Introdu tion au monde quantique
Éle tro inétique Éle tronique
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
Bases de l'éle tro inétique
Cir uits linéaires en régime libre
Cir uits linéaires en régime sinusoïdal for é
Filtres
Ampli ateur linéaire intégré en régime linéaire
ALI en régime saturé Montages omparateurs
Os illateurs éle triques
Éle tronique numérique
Thermodynamique
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
Bases de la thermodynamique
Premier prin ipe
Se ond prin ipe
Changement d'état d'un orps pur
Ma hines thermiques
Diagrammes d'état des uides purs réels
Thermodynamique industrielle
Condu tion thermique
Éle tromagnétisme
1.
2.
3.
4.
5.
6.
Champ magnétique
Indu tion
Éle trostatique
Magnétostatique
Équations lo ales de l'éle tromagnétisme
Ondes éle tromagnétiques
Mé anique des uides
1. Statique des uides
2. Fluide en é oulement stationnaire dans une onduite
Optique ondulatoire
1. Interféren es
2. Dispositifs interférentiels
Mé anique
1 Cinématique
L'essentiel du
ours
Ve teur-position, ve teur-vitesse, ve teur-a
élération dans un référentiel
Le mouvement d'un orps dépend du solide de référen e (réel ou tif) dans lequel l'observateur se situe.
À e solide, on asso ie un référentiel R tel que
• (Oxyz) est un trièdre xe par rapport au solide (on hoisit un trièdre dire t) ;
• t est une date permettant de repérer les événements dans le temps.
Propriété : en mé anique lassique (6= mé anique relativiste), le temps t est identique dans tous les référentiels (hypothèse du temps absolu).
Dans un référentiel R d'étude,
−→
♥ −
OM ve teur-position
−−→
d OM
−
→
v =
ve teur-vitesse
dt
→
d−
v
−
→
a =
ve teur-a élération
dt
Repères d'espa e
Un repère d'espa e est la donnée, dans un référentiel (Oxyz), d'un système de trois oordonnées (pour
repèrer la position du point M) et d'une base (dire te) de trois ve teurs unitaires et orthogonaux deux à deux.
Ne pas onfondre référentiel et repère : on peut utiliser diérents repères dans un même référentiel.
•
Repère artésien
• (x, y, z) oordonnées artésiennes
→
−
→
• (−
u ,→
u ,−
u ) base artésienne
x
y
z
−→
→
→
→
♥ −
OM = x(t)−
u x + y(t)−
u y + z(t)−
uz
Propriété : base xe = indépendante de la position M(t) :
→
→
→
d−
uy
d−
uz
d−
ux
→
−
=
=
= 0
dt
dt
dt
−
→
→
→
→
v = ẋ−
u x + ẏ−
u y + ż −
uz
−
→
→
→
→
a = ẍ−
u x + ÿ −
u y + z̈ −
uz
ve teur-vitesse
Propriété : le ve teur-dépla ement élémentaire s'é rit
•
ve teur-a élération
−−→
→
→
→
d OM = dx −
u x + dy −
u y + dz −
uz
Repère ylindrique
−→ −→
• r = OH = distan e de M à l'axe (Oz), θ = (Ox, OH), z = HM
−→ →
→
→
• −
u selon OH, −
u dans le plan (Oxy), −
u dirige (Oz).
r
θ
z
→
u z sont les mêmes dans les repères artésien et ylindrique.
NB : z et −
−→
→
→
♥ −
OM = r(t)−
u r + z(t)−
uz
Propriété : base mobile = dépendante de la position M(t) :
→
−
→
♥ d u r = θ̇ −
uθ
dt
→
d−
uθ
→
= −θ̇ −
ur
dt
→
→
→
→
u r et −
u θ selon −
u x et −
uy .
NB : démonstration basée sur la proje tion de −
En dérivant le ve teur-position deux fois par rapport au temps, on obtient (à savoir faire)
−
→
→
→
→
v = ṙ −
u r + r θ̇ −
u θ + ż −
uz
et
→
→
→
−
→
u r + r θ̈ + 2 ṙ θ̇ −
u θ + z̈ −
uz
a = r̈ − r θ̇2 −
Propriété : le ve teur-dépla ement élémentaire s'é rit
−−→
→
→
→
d OM = dr −
u r + r dθ −
u θ + dz −
uz
NB : le se ond terme est un dépla ement élémentaire selon un ar de er le de rayon r et d'angle dθ.
•
Repère sphérique
−→ −−→
−→ −−→
• r = OM, θ = Oz, OM , ϕ = Ox, Om) ;
NB : sur le globe terrestre, θ est la olatitude ( omplémentaire de la
latitude) et ϕ est la longitude.
r du repère sphérique 6= r du repère ylindrique !
En SI, les oordonnées θ et ϕ sont inversées !
−−→ →
−
• →
u r unitaire selon OM, −
u θ selon le méridien lo al (dans
→
le sens de θ), −
u ϕ selon le parallèle lo al.
→
→
u r est suivant la verti ale, −
u θ est vers le
NB : sur le globe terrestre, −
→
sud et −
u ϕ est vers l'est.
Propriété : le ve teur dépla ement élémentaire s'é rit
−−→
→
→
→
d OM = dr −
u r + r dθ −
u θ + r sin θ dϕ −
uϕ
NB : le dernier terme est un dépla ement élémentaire le long du parallèle lo al = er le de rayon r sin θ.
Cas du mouvement
ir ulaire
Utiliser le repère polaire = repère ylindrique restreint à z = 0, ave O le entre du er le.
• θ̇ = ω vitesse angulaire de rotation
(rad.s−1 )
−
→
• →
v = R θ̇ −
u θ soit en norme v = Rω
→
−
→
−
u r + R θ̈ →
uθ
• a = −R θ̇2 −
aN = −R θ̇2 omposante normale et aT = R θ̈ omposante tangentielle
Cas du mouvement ir ulaire uniforme :
• ω = 2π/T ave T la période de rotation ;
→
−
u r ve teur-a élération entripète = orienté vers le entre de la traje toire.
• →
a = −R θ̇2 −
Propriétés générales valables quelle que soit la traje toire plane :
• le ve teur-a élération est toujours orienté vers l'intérieur de la on avité de la traje toire ;
• la omposante tangentielle s'é rit aT = dv/dt (ave v la norme de la vitesse).
Cinématique du solide
Un solide est un orps matériel indéformable. ( 'est un modèle)
NB : la distan e entre deux points quel onques A et B du solide est onstante au ours du temps (propriété ara téristique).
•
Mouvement de translation
Un solide a un mouvement de translation si quels que soient les points A et B du solide, le
−→
ve teur AB est onstant au ours du temps.
NB : les axes (Ox), (Oy) et (Oz) du trièdre lié au solide gardent don des dire tions xes au ours du temps.
• Translation re tiligne : les points du solide dé rivent des droites ;
• translation ir ulaire : les points du solide dé rivent des er les.
NB : la translation urviligne orrespond au as général où les points du solide dé rivent des traje toires quel onques.
♥ Tous les points d'un solide en translation ont même ve teur-vitesse et même ve teur-a élération à tout
instant.
•
Mouvement de rotation autour d'un axe xe
Propriété : tous les points M du solide dé rivent des traje toires ir ulaires de même vitesse angulaire ω .
Conséquen e :
v = rω vitesse d'un point M situé à la distan e r de l'axe de rotation.
Mé anique
2 Prin ipes de la dynamique
L'essentiel du
ours
For es Prin ipe des a tions ré iproques et prin ipe d'inertie
For es usuelles :
→
−
→
• poids P = m−
g appliqué au entre d'inertie G, g = 9, 8 m.s−2 hamp (ou a élération) de pesanteur ;
→
−
→
v ave h = Cte (valable aux faibles vitesses) ;
• résistan e de l'air, exemple de modèle : f = −h−
• réa tion exer ée par un support (plan, tige. . .), normale au support en l'absen e de frottement ;
−
→
• tension T exer ée par un l, olinéaire au l (in onnue a priori) ;
−
→
−
→
−
→
T = −k ∆ℓ ave ∆ℓ ve teur allongement, ∆ℓ = ℓ − ℓ0
ave ℓ longueur du ressort et ℓ0 longueur à vide du ressort, et k onstante de raideur (N.m−1 ) ;
→
−
→
• poussée d'
Π = −m uide−
g ave m uide la masse de uide dépla é par le orps ;
•
tension élastique exer ée par un ressort
Ar himède
NB : m uide = ρ uide × V ave ρ uide la masse volumique du uide et V le volume du orps immergé dans le uide.
♥
: si A et B sont deux points matériels en intera tion, les for es
→
−
→
−
d'intera tion entre les deux points sont opposées : F A→B = − F B→A
Prin ipe des a tions ré iproques
NB : le prin ipe des a tions ré iproques est aussi appelé troisième loi de
♥
Newton ou prin ipe de l'a tion et de la réa tion.
Prin ipe d'inertie : il existe des référentiels privilégiés, dits galiléens, dans lesquels un point matériel
qui est soumis à une résultante de for e nulle est soit immobile, soit en mouvement re tiligne uniforme.
NB : le prin ipe d'inertie est aussi appelé première loi de
Newton.
:
• référentiel terrestre RT = lié à la Terre ;
• référentiel géo entrique Rgéo : origine le entre de la Terre, axes de dire tions xes par rapport à
des étoiles lointaines (dans Rgéo , RT est en rotation uniforme autour de l'axe polaire) ;
• référentiel hélio entrique (aussi appelé référentiel de Kepler) RK : origine le entre du Soleil,
axes de dire tions xes par rapport à des étoiles lointaines (dans RK , Rgéo est en translation quasi ir ulaire).
Référentiels
lassiques
(à onnaître)
Il n'existe pas de référentiel galiléen absolu : un même référentiel peut être
suivant les
onsidéré
omme galiléen ou non,
onditions d'expérien e.
Loi de la quantité de mouvement dans un référentiel galiléen
P
−
→
→
Par dénition, →
p = i mi −
v i }.
v i quantité de mouvement d'un système matériel {masses mi de vitesses −
→
→
→
v,−
p = m−
v.
NB : pour un point matériel de masse m et de vitesse −
•
♥
Loi de la quantité de mouvement dans un référentiel galiléen
−
X−
d→
p
→
F ext
=
dt
Les for es
:
−
→
F ext for e extérieure appliquée sur le système
intérieures
au système n'interviennent pas
(par exemple, les tensions exer ées par les ls ou les ressorts dans
un système onstitué de plusieurs masses reliées entre elles).
•
Propriété
−
→
p = Mtot −
vG
: →
Mtot =
P
i
mi masse totale du système et G entre d'inertie du système
Conséquen e : pour un système fermé = pas d'é hange de matière ave l'extérieur, Mtot = Cte d'où
→
aG =
Mtot −
•
♥
X−
→
F ext = théorème du entre d'inertie (TCI)
Cas parti ulier
X−
→
→
F
m−
a =
: pour un point matériel M de masse m,
= prin ipe fondamental de la dynamique
(PDF) = se onde loi de Newton
NB : la distin tion for e intérieure/for e extérieure n'a pas de sens pour un point matériel : toutes les for es sont extérieures.
Méthode
:
omment utiliser le PFD pour mettre en équation le mouvement d'un point matériel ?
➀ dénir le système mé anique (indispensable s'il y a plusieurs points matériels) ;
➁ dénir le référentiel d'étude et vérier (ou supposer) qu'il est onsidéré omme galiléen ;
➂ faire le bilan des for es exer ées sur le système et
représenter
es for es sur un dessin
;
➃ é rire le PFD sous forme ve torielle ;
hoisir un repère d'espa e adapté ; exprimer les omposantes du ve teur-a élération dans e
repère (voir leçon de inématique) et projeter les for es dans la base du repère ;
➅ é rire le PFD en proje tion selon les ve teurs de la base du repère hoisi ;
➆ exploiter la (ou les) équation(s) diérentielle(s) obtenue(s).
➄
NB : dans ertains as, on sait résoudre analytiquement ; sinon, on utilise un logi iel de résolution numérique.
•
: l'équation diérentielle vériée par le paramètre x(t) s'é rit
ω0 = Cte pulsation de l'os illateur [ ω0 ] = s−1
Cas de l'os illateur harmonique
♥ ẍ + ω0 2 x(t) = 0
NB : x(t) peut être un signal physique quel onque : un dépla ement, un angle, une tension, une intensité. . .
Exemple : système masse-ressort sans frottement.
solution générale de l'équation diérentielle
♥ x(t) = A cos (ω0 t) + B sin (ω0 t) = X cos (ω0 t + ϕ)
NB : pour déterminer les onstantes (A, B) ou (X, ϕ), on utilise les onditions initiales.
ave X = amplitude, ϕ = phase, T0 = 2π/ω0 = période, f = 1/T = fréquen e (Hz).
Appli ation au mouvement d'un point matériel dans le hamp de pesanteur
→
→
, on obtient par proje tion selon −
u x et −
uz :
ẍ = 0
et
z̈ = −g
Dans le repère
artésien
Primitiver ensuite deux fois, en tenant ompte des onditions initiales,
pour obtenir les équations horaires x(t) et z(t).
NB : on suppose le hamp de pesanteur uniforme.
:
• la traje toire est une parabole (à savoir démontrer, en ombinant x(t) et z(t) de manière à éliminer t) ;
→
→
→
→
• le mouvement est à ve teur-a élération onstant (m−
a = m−
g ⇔−
a =−
g ).
Propriétés
Appli ation au pendule simple
Dans le repère
θ̈ +
•
g
sin θ = 0
ℓ
→
, on obtient par proje tion selon −
uθ :
polaire
→
(proje tion selon −
u r non exploitable ar T est une in onnue)
Cas des os illations de faible amplitude
: θ ≪ 1 rad don sin θ ≃ θ
d'où θ̈ + (g/ℓ) θ = 0
du type θ̈ + ω0 2 θ = 0 don le pendule simple
p se omporte omme un
os illateur harmonique de pulsation ω0 =
g/ℓ
NB : la période T0 des os illations vérie ω0 = 2π/T0 .
•
Portrait de phase
• (1) : os illation de faible amplitude ;
• (2) : os illation de grande amplitude ;
• (3) : révolution autour de O.
Propriété : pour des os illations de faible amplitude, la
traje toire de phase est une ellipse (à savoir démontrer).
NB : on onsidère i i un pendule rigide : le l est rempla é par une tige
(de masse négligeable par rapport à m).
Mé anique
3 Énergie d'un point matériel
L'essentiel du
ours
Puissan e et travail d'une for e
→
−
• Par dénition, le travail élémentaire d'une for e F s'é rit
→
−
→
−
→
→
→ −
−
♥ δW(−
d ℓ ve teur dépla ement élémentaire du point d'appli ation de F
F ) = F · dℓ
NB : en mé anique du point matériel, le point d'appli ation est
♥ Le travail d'une for e est une énergie.
Cas parti uliers
don
on note aussi
−
→
−−→
d ℓ = dOM.
[δW] = J (joule)
:
− −
→
→
• F · d ℓ > 0 : la for e
→
→ −
−
• F · d ℓ < 0 : la for e
NB : si
M
−
→
F est
→
−
F est
motri e
(à
résistante
= elle a tendan e à a élérer le point M ;
et instant) = elle a tendan e à ralentir le point M.
et instant)
(à
→
−
−
→
→
−
F ⊥ d ℓ , δW( F ) = 0.
→
−
Le travail de la for e F entre deux positions A et B du point M s'é rit par sommation
RB
RB−
→
→
−
→
−
→ −
WA→B ( F ) = A δW( F ) = A F · d ℓ
• Par dénition, la puissan e est reliée à l'énergie par
♥ puissan e =
énergie é hangée
durée d'é hange
d'où
1 W = 1 J.s−1
Formule importante ar générale en physique.
Cas d'une for e
→
→ →
−
♥ P(−
F) = F ·−
v
:
(démonstration immédiate :
−
→
−
→ −
→
−
→ →
P = δW( F )/dt = F · d ℓ /dt = F · −
v)
Le travail et la puissan e dépendent du référentiel d'étude.
Théorèmes énergétiques dans un référentiel galiléen
Par dénition,
1
2
♥ E = mv2
•
énergie inétique d'un point matériel de masse m et de vitesse v
Théorème de l'énergie
♥ E (B) − E (A) =
•
X
inétique
→
−
WA→B ( F )
Théorème la puissan e
(TEC)
A et B deux positions du point M
inétique
(TPC)
X −
→
♥ dE =
P( F )
dt
NB : les théorèmes de l'énergie et de la puissan e
Cas parti ulier
inétique se démontrent à partir du prin ipe fondamental de la dynamique.
→
−
−
→
−
→
→
: si F ⊥ d ℓ ou F ⊥ −
v , l'énergie inétique du point n'est pas modiée.
For es onservatives, énergie potentielle Théorème de l'énergie mé anique
Une for e est onservative si son travail entre deux points A et B est indépendant de la traje toire
suivie de A à B.
NB : si un point est soumis à des for es
onservatives, l'énergie mé anique se
onserve (voir suite), d'où leur nom.
Une for e de frottement est non onservative.
(le travail de la for e de frottement entre deux points dépend évidemment de la longueur du tra jet par ouru)
Propriété
♥
:
−
→
→
−
F est onservative ⇔ WA→B ( F ) = Ep (A) − Ep (B) ave Ep l'énergie
→
→
−
Autres é ritures : WA→B (−
F ) = −∆A→B (Ep ) ou δW( F ) = −dEp
→
−
potentielle
asso iée à F
Propriété : une énergie potentielle est dénie à une onstante près (seule sa variation a un sens physique).
Attention à l'ordre des points A et B dans la diéren e d'énergie potentielle.
♥ Epp = mgz + Cte
énergie potentielle de pesanteur
→
asso iée au poids (−
g supposé uniforme)
z est l'altitude sur un axe verti al as endant.
♥ Epe = (1/2) k ∆ℓ2 + Cte
énergie potentielle élastique
NB : pour exprimer le travail d'une for e
asso iée à une for e de rappel élastique
onservative, on a tout intérêt à utiliser son énergie potentielle asso iée.
Par dénition,
♥ Em = E +
•
P
Ep énergie mé anique d'un point matériel
Théorème de l'énergie mé anique
♥ dEm =
dt
X
→
−
P( F non
onservatives )
Cas parti uliers de
Em = Cte
NB : dans le
⇔ ∆A→B (Em ) =
X
→
−
WA→B W( F non
onservation de l'énergie mé anique
onservatives )
= mouvement onservatif :
• soit si le point M n'est soumis qu'à des for es onservatives ;
• soit si les for es non onservatives ont un travail ou une puissan e nulle.
as d'un mouvement ave
Intérêt
dans un référentiel galiléen :
frottement,
Pfrot < 0
don
Em (t)
dé roît au
ours du temps.
: dans e as, l'é riture dEm /dt = 0 peut fournir l'équation diérentielle du mouvement.
Exemple : mise en équation du mouvement du pendule simple (à savoir faire)
•
Cas d'un mouvement
onservatif à une dimension
selon X : Ep (X) 6 Em
( ar
E > 0)
: onnaissant Em = Cte , le graphe Ep (X) permet d'obtenir
• le domaine a essible au mouvement = ensemble des valeurs de X
qui vérient l'inégalité (le domaine peut être borné ou non) ;
• la valeur de l'énergie inétique E = Em − Ep (X) ;
• les positions de vitesse nulle (telles que Em = Ep (X)).
Intérêt
Positions d'équilibre Stabilité
• Un point M0 est une
position d'équilibre
for es appliquées est nulle ;
NB : autrement dit, si on pla e le point en
M0
si lorsque le point matériel M est en M0 , la résultante des
sans vitesse initiale, il reste immobile en
M0 .
• Une position d'équilibre M0 est stable si lorsqu'on é arte légèrement M de ette position, la résultante
des for es appliquées tend à faire revenir le point M vers M0 ; dans le as ontraire, la position
d'équilibre est instable.
Propriété
♥
: dans le as d'un mouvement onservatif,
• M0 est une
position d'équilibre stable
• M0 est une
position d'équilibre instable
NB : penser à un ballon sur une plaine ave
des
⇔ l'énergie potentielle est
en M0 ;
⇔ l'énergie potentielle est maximale en M0 .
reux et des bosses : dans un
minimale
reux, l'énergie potentielle de pesanteur est minimale.
Intérêt : pour un mouvement onservatif à une dimension selon X,
le graphe Ep (X) permet d'obtenir
• les positions d'équilibre et leur stabilité ;
• de visualiser les puits de potentiel et les barrières de potentiel ;
• de al uler l'énergie minimale ∆E à fournir pour fran hir une
barrière de potentiel à partir d'une position d'équilibre stable.
♥
Un point matériel en petit mouvement autour d'une position d'équilibre stable se omporte omme un
os illateur harmonique.
Démonstration : lo alement, on peut approximer un puits de potentiel par une fon tion parabolique.
Mé anique
4 Mouvement d'une parti ule hargée
dans un hamp éle trique ou magnétique
L'essentiel du
ours
For e de Lorentz
→
Une parti ule de harge q et de ve teur-vitesse −
v est soumise, en présen e d'un hamp éle tromagné→ −
−
→
tique ( E , B ), à une for e éle tromagnétique appelée for e de Lorentz donnée par
→
− → −
→
→
♥ −
v ∧B
F em = q E + −
Unités
−
→
→
−
→
−
→
−
→
F e = q E for e éle trique, F m = q −
v ∧ B for e magnétique
: [ q ] = C ( oulomb), [ E ] = V.m−1 (voir ours d'éle tromagnétisme), [ B ] = T (tesla).
Exemples (ordres de grandeur des valeurs numériques à
• éle tron de harge −e = −1, 6 · 10
−19
onnaître) :
C et de masse me = 9, 1 · 10−31 kg,
• proton de harge +e = 1, 6 · 10−19 C et de masse mp = 1, 67 · 10−27 kg
NB : e est appelée la harge élémentaire ; le neutron porte une harge nulle.
Ordres de grandeur
à onnaître :
• tube au néon : E ≃ 10 V.m−1 , photo opieur : E ≃ 105 V.m−1 , foudre : E ≃ 3 · 106 V.m−1 ;
• hamp magnétique terrestre : B ≃ 5 · 10−5 T, aimant permanent B ≃ 1 T, éle troaimant pour l'IRM
B ≃ 10 T.
: dans des situations usuelles ,
♥ Le poids d'une parti ule hargée est négligeable par rapport à la for e éle trique et à la for e magnétique.
Propriété
NB : il sut de faire les al uls en ordre de grandeur pour le vérier. . .
→
−
→
−
Dans toute la suite, le hamp éle trique E et le hamp magnétique B sont supposés
: même valeur en tout point de la zone de hamp ;
(= statiques) : même valeur à tout instant.
•
uniformes
•
stationnaires
Mouvement dans un hamp éle trostatique uniforme
→
−
Un hamp éle trique E quasi uniforme peut être obtenu entre les armatures d'un ondensateur
plan (en négligeant les eets de bord), soumises à une tension (= diéren e de potentiel) U et distantes de d.
♥ E = U/d
Propriété
•
(formule homogène puisque [ E ] = V.m−1 , voir ours d'éle tromagnétisme pour la démonstration)
→
−
−→
→
−
a = q E (poids négligé) d'où →
a = te
: le PFD s'é rit m−
Cas d'un ve teur-vitesse initial
olinéaire à
−
→
E : le mouvement est re tiligne uniformément a éléré.
Pour déterminer la vitesse v a quise par une parti ule a élérée par une tension U, utiliser le théorème
inétique (à savoir faire absolument) :
de l'énergie
→
−
E (B) − E (A) = WA→B ( F e ) ave
• E (A) = 0 (parti ule de vitesse initiale nulle), E (B) = (1/2) mv 2
Z B
→
→
−
− −
→
→ −→
−
−
→
• WA→B ( F e ) =
q E · d ℓ = q E · AB ( hamp E uniforme) = q E d = qU
A
d'où (1/2) mv = qU
2
NB : on peut aussi utiliser l'équation diérentielle obtenue par proje tion du PFD, mais 'est bien plus long !
→
−
• Cas d'un ve teur-vitesse initial non olinéaire à E : la traje toire est une parabole.
NB : voir ours de inématique sur les mouvements à a élération onstante.
Appli ation : déviation éle trostatique d'un fais eau de parti ules
hargées.
Mouvement dans un hamp magnétostatique uniforme
Un hamp magnétique quasi uniforme peut être obtenu à l'intérieur d'un solénoïde (en négligeant les
eets de bord)
→
−
→ −
−
−
→
→
−
→
Propriété : F m ⊥ v don P( F m ) = F m · v = 0 : la for e magnétique a une puissan e nulle.
Conséquen es : d'après le TPC (théorème de la puissan e inétique), v = Cte .
♥ L'a tion d'un hamp magnétique est de ourber la traje toire d'une parti ule, sans modier sa vitesse
NB : seule la for e éle trique peut modier la norme de la vitesse.
•
(seul as au programme) :
mv
de rayon R =
(à savoir retrouver)
|q|B
Cas d'un ve teur-vitesse initial perpendi ulaire au
la parti ule dé rit une
traje toire
ir ulaire
hamp magnétique
NB : dans le as d'un ve teur-vitesse initial quel onque, la traje toire est une héli e (hors-programme).
Pour retrouver le rayon de la traje toire ir ulaire, utiliser un PFD en proje tion dans le repère polaire :
→
−
→
Le PFD s'é rit m−
a = F m ave
→
u r (voir ours de inématique) ;
• ar = −v 2 /R omposante d'a élération selon −
→
−
→
−
→
−
→
−
→
−
→
−
• F m = q v ∧ B = qv u θ ∧ B u z = −qvB u r
→
u , on obtient mv 2 /R = qvB d'où R = mv/(qB)
En proje tion selon −
r
L'orientation de la for e magnétique dépend du signe de la
trois doigts de la main droite
−
→
−
→
a ∧ b =
pou e
index
Appli ations : déviation d'un fais eau de parti ules
harge
q.
Pour la déterminer, utiliser la
règle des
:
−c
→
majeur
hargées, séparation isotopique, y lotron. . .
Limites relativistes
Si la vitesse des parti ules est pro he de la vitesse de la lumière, la mise en équation du mouvement se
anique relativiste.
♥ fait dans le adre de la mé
Les résultats pré édents ne sont alors plus appli ables (seule l'expression de la for e de
Lorentz est in
hangée).
Dans e as (expressions non exigibles = ne pas les apprendre par ÷ur),
• E = (γ − 1) mc2 énergie inétique relativiste
• p = γ mv quantité de mouvement relativiste
1
où γ = p
v vitesse de la parti ule et c = 3 · 108 m.s−1 vitesse de la lumière dans le vide.
1 − (v/c)2
NB : si v ≪ c, on retrouve E = (1/2) mv2 (pas immédiat. . .) et p = mv (immédiat).
Mé anique
5 Théorèmes du moment inétique
L'essentiel du
ours
Théorème du moment inétique ve toriel pour un point matériel
moment inétique ve toriel par rapport à O d'un point matériel M de
−
v (grandeur dépendant du référentiel d'étude)
masse m et de vitesse →
−
−−→
→
♥ →
L O = OM ∧ m−
v
→
−
−−→ →
→
→
p ave −
p = m−
v la quantité de mouvement du point M.
NB : on peut aussi é rire L O = OM ∧ −
− −
→
−−→ −
→
♥ →
MO ( F ) = OM ∧ F
moment ve toriel par rapport à
−
→
−
→
−→
→
−
O de la for e F appliquée en M
−
→
−
→
NB : dans le as d'un système matériel quel onque, M O ( F ) = OA ∧ F ave A le point d'appli ation de la for e F .
−−→
Propriétés : [MO ] = N.m ; le moment d'une for e est nul si la for e est olinéaire au ve teur OM.
•
♥
Théorème du moment inétique ve toriel par rapport à un point xe O :
→
−
X→
− −
dLO
→
=
MO ( F )
dt
TMC ve toriel
for es
Il faut impérativement que le point
O
soit
xe dans le référentiel d'étude supposé galiléen.
Intérêt : le TMC ve toriel est une alternative au PFD pour la mise en équation du mouvement d'un
point matériel ; avantage : les for es dont le moment est nul n'interviennent pas.
Appli ation lassique : mise en équation du mouvement du pendule simple (à savoir faire).
Théorème du moment inétique s alaire pour un point matériel
→
Dans e qui suit, ∆ est une axe orienté par un ve teur unitaire −
u ∆ et passant par O.
→ −
♥ L∆ = −
LO ·→
u∆
moment inétique s alaire par rapport à ∆ d'un point matériel M
−
→ −
→
→ →
♥ M∆ (−
F ) = MO ( F ) · −
u∆
moment s alaire par rapport à
→
−
∆ de la for e F
NB : autrement dit, les moments s alaires sont les proje tions des moments ve toriels selon l'axe ∆.
→
−
Propriété : pour une for e F ⊥ ∆,
→
−
→
♥ M∆ (−
F ) = ± d × F d bras de levier de la for e F
→
−
d = distan e entre ∆ et le support de F = droite passant par le point
→
−
d'appli ation et dirigée par F .
Règle d'algébrisation du moment s alaire d'une for e :
→
u ∆ dénit un sens de rotation positif autour de ∆ grâ e à la règle du tire-bou hon (ou
• le sens de −
grâ e à la règle de la main droite) ;
• si la for e a tendan e à faire tourner le point M dans le sens positif, son moment s alaire est positif ;
négatif sinon (sur le dessin représenté, le moment est négatif).
→
−
→
−
M∆ ( F ) mesure la apa ité de la for e F à mettre en rotation le point M autour de l'axe ∆.
Propriété :
•
♥
→
−
M∆ ( F ) = 0 si le bras de levier est nul ou si la for e est parallèle à ∆.
Théorème du moment inétique s alaire par rapport à un axe xe ∆ :
X
dL∆
→
−
M∆ ( F )
=
dt
for es
TMC s alaire
Il faut impérativement que l'axe
∆
soit
xe dans le référentiel d'étude supposé galiléen.
Intérêt du TMC ve toriel par rapport au TMC s alaire : on ne manipule que des s alaires ; le al ul du
moment des for es est fa ilité par la notion de bras de levier.
Avant d'appliquer le TMC s alaire, il faut
hoisir un sens d'orientation de l'axe =
NB : le TMC s alaire se généralise à un système de points matériels et à un solide.
hoisir un sens pour
−
→
u ∆.
Cas d'un solide en rotation autour d'un axe xe
• ∆ axe xe autour duquel le solide est en rotation,
• ω(t) vitesse angulaire de rotation du solide autour de ∆.
♥ L∆ = J ∆ ω
moment inétique s alaire du solide par rapport à ∆ ave J∆ le moment d'inertie
du solide par rapport à ∆.
NB : le moment inétique s alaire d'un solide est déni omme la somme (intégrale) des moments inétiques s alaires des masses
élémentaires dm onstituant le solide.
t
Propriété : J∆ = M ∈ solide dm(M) × r2 (M) ave r(M) la distan e de M à l'axe ∆
NB : les al uls de moment d'inertie sont hors-programme : les expressions de J∆ seront toujours fournies.
Exemple : J∆ = (1/2) mR2 pour un ylindre (homogène) de masse m, de rayon R et d'axe de révolution ∆.
Propriété : le TMC s alaire se réé rit (il sut de rempla er L∆ ave
dω
X
→
−
J∆ = Cte )
TMC s alaire pour un solide en rotation autour d'un axe xe
M∆ ( F ext )
♥ J∆ dt =
for es
Analogue au PFD pour un point matériel ave les équivalen es J∆ ↔ m et ω ↔ v
• La liaison mé anique entre le solide et l'axe de rotation est appelée liaison pivot (6= liaison pivot glissant : le solide ne peut pas glisser selon la dire tion de l'axe de rotation). Elle entraîne l'existen e d'une a tion de
→
−
onta t R axe exer ée par l'axe sur le solide.
→
♥ M∆ (−
R axe ) = 0 si la liaison pivot est parfaite = absen e de frottement
−
→
NB : ave frottement solide ou uide, diérentes modélisations possibles ; exemple : M∆ ( R ) = −C ω ave C = Cte .
•
Propriétés énergétiques :
1
énergie inétique d'un solide en rotation autour de l'axe xe ∆
2
NB : analogie ave l'énergie inétique d'un point matériel E = (1/2) mv2 ave les équivalen es J∆ ↔ m et ω
→
−
→
→
−
♥ P(−
F ) = M∆ ( F ) × ω puissan e de la for e F exer ée sur le solide en rotation
♥ E = J∆ ω 2
↔ v.
−
→
−
→ →
NB : démonstration basée sur la formule P( F ) = F · −
v.
•
Appli ation à la mise en équation du mouvement du pendule pesant
= solide en rotation autour d'un axe xe ∆ horizontal
1re méthode : utilisation du TMC s alaire ave
→
−
M∆ ( P ) = −d × mg = −OG sin θ × mg (utilisation du bras de levier)
→
−
M∆ ( R axe ) = 0 (liaison pivot supposée parfaite)
d'où J∆ θ̈ = −OG sin θ × mg ⇔ θ̈ +
OG mg
sin θ = 0
J∆
2e méthode : utilisation du TEM (même énon é que pour le point matériel)
dEm
=
dt non
X
−
→
P ( F ext )
ave
onservatives
1
• Em = E + Epp = J∆ θ̇2 − mg OG cos θ (z = zG dans Epp )
2
→
−
−−→
• P (Raxe ) = M∆ ( R axe )×ω = 0 (liaison pivot supposée parfaite)
Par dérivation par rapport au temps de Em (t), on retrouve l'équation du mouvement pré édente.
NB : pour des os illations de faible amplitude, on retrouve l'équation d'un os illateur harmonique.
•
Couple de for e
→
−
On appelle ouple de for e un ensemble de for es de résultante R ouple telle que
−
→
R
ouple
→
−
→
−
= 0 et M∆ ( R
ouple )
6= 0
Exemples : ouple moteur (moteur de per euse sur le mandrin, moteur de voiture sur l'arbre moteur, batteur de uisine
sur les fouets. . .), ouple de freinage, ouple de torsion exer é par un l torsadé. . .
Mé anique
6 Mouvement dans un hamp de for e
newtonien
L'essentiel du
ours
Propriétés de la for e d'attra tion gravitationnelle
→
−
B →
−
♥ FA→B = − G mA m
u AB
2
AB
for e exer ée par la masse mA pla ée en A sur la masse mB pla ée en B
−
G = 6, 67 · 10−11 m3 .kg−1 .s−2 onstante universelle de gravitation et →
u AB ve teur unitaire de A vers B
On note pour la suite A = O de masse M et B = S ( omme satellite) de masse m.
Exemples :
• O = le Soleil et S = la Terre ou une planète ;
• O = la Terre et S = un satellite terrestre (la Lune ou un satellite arti iel).
:
• La for e gravitationnelle est une for e entrale si O est xe dans le référentiel d'étude : la for e
exer ée sur S est onstamment dirigée vers le point xe O.
→
−
k−
ur
• La for e gravitationnelle est un hamp de for e newtonien 'est-à-dire du type F = 2 →
r
→
−
→
−
ave k = −GMm, r = OS et u r = u OS (ve teur de la base sphérique).
Propriétés
NB : la for e d'intera tion éle trostatique est également une for e newtonienne.
•
Propriétés liée au fait que la for e est
entrale
:
♥ Le moment inétique du point S par rapport à O se onserve.
Il faut que le point
O
soit
xe dans le référentiel d'étude supposé galiléen :
•
si
O=
le Soleil, on se pla e dans le référentiel hélio entrique (supposé galiléen) ;
•
si
O=
la Terre, on se pla e dans le référentiel géo entrique (supposé galiléen).
Démonstration (à savoir faire) : appli ation du théorème du moment
inétique (TMC).
:
♥ La traje toire est ontenue dans un plan passant par O.
Conséquen es
♥
Loi des aires
: le ve teur-position balaie des aires égales pendant des durées égales.
Autre formulation : C = r2 θ̇ = Cte ( onstante des aires)
ave (r, θ) les oordonnées polaires de S dans le repère de entre O.
•
Propriétés liées au fait que la for e est newtonienne
♥ Ep = − GMm
:
énergie potentielle asso iée à la for e gravitationnelle
r
→
NB : de manière générale, pour une for e newtonienne en k/r2 −
u r , l'énergie potentielle s'é rit Ep = k/r .
♥ Em = Cte
•
Lois de
(à ondition qu'il n'y ait pas de for e non onservative omme des frottements)
Kepler pour les planètes :
• Les planètes dé rivent des orbites elliptiques dont le Soleil o upe l'un des foyers (1re loi) ;
♥
• Les ve teurs-positions balaient des aires égales pendant des durées égales (2e loi = loi des aires) ;
• Les arrés des périodes de révolution sont proportionnels aux ubes des demi-grands axes (3e loi).
NB : la 3e loi se formule aussi T2 /a3 = Cte pour toutes les planètes.
Propriété
: lois généralisables aux satellites terrestres (la Terre o upant alors l'un des foyers).
•
Cas parti ulier du mouvement
ir ulaire
Propriétés
v = Cte
mouvement uniforme
Démonstrations (à savoir faire) : utiliser la onstante des aires C = R2 θ̇ et l'expression v = Rθ̇ ou projeter
→
le PFD dans le repère polaire selon −
u r ou appliquer le théorème de la puissan e inétique (TPC).
v=
r
GM
R
vitesse de révolution
→
Démonstration (à savoir faire) : projeter le PFD dans le repère polaire selon −
u θ sa hant que v = Rθ̇.
Em = −
GM
2R
énergie mé anique
Démonstration (à savoir faire) : rempla er v dans E , utiliser l'expression de Ep puis simplier Em.
Propriété
4π 2
T2
=
3
R
GM
: formule généralisable à une traje toire elliptique en remplaçant R par a le demi-grand axe.
troisième loi de Kepler dans le as d'un mouvement ir ulaire
Démonstrations (à savoir faire) : utiliser l'expression de v et l'égaler à v = 2πR/T
→
dans le repère polaire selon −
u θ sa hant que θ̇ = 2π/T.
Dans les appli ations numériques, T est en se onde et R est en mètre.
•
ou
projeter le PFD
Cas d'un satellite en orbite basse
Pour une altitude h ≪ RT = 6 400 km (rayon de la Terre), v = 7, 9 km.s−1 (ordre de grandeur à onnaître)
NB : ette vitesse, orrespondant à un satellite en orbite rasante, est appelée première vitesse osmique.
•
Cas du satellite géostationnaire = xe dans le référentiel terrestre = immobile pour un observateur
xe sur la Terre
• Cal ul de l'altitude h
Utiliser la 3e loi de Kepler ave T = T0 = 23 h 56 min 4 s période de révolution sidérale de la Terre.
Appli ation numérique : h ≃ 36 000 km (ordre de grandeur à onnaître).
• Orbite ir ulaire
ontenue dans le plan équatorial
entre de la Terre.
ar le plan de la traje toire doit ontenir O =
NB : onséquen e : un satellite géostationnaire est situé sous l'horizon (don invisible) au-delà d'une ertaine latitude.
Nature générale des traje toires
♥ Dans un hamp de for e newtonien, les traje toires sont des oniques.
NB : les oniques sont les ourbes obtenues par interse tion d'un ne et d'un plan.
• Em < 0 ⇔ traje toire elliptique ou ir ulaire (état lié) ;
♥
• Em = 0 ⇔ traje toire parabolique (état de diusion limite) ;
• Em > 0 ⇔ traje toire hyperbolique (état de diusion).
NB : propriétés déduites du tra é de l'énergie potentielle ee tive Epe (r) telle que Em = Epe (r) + (1/2) mṙ2
Propriété
•
: O o upe l'un des foyers (ou le foyer) de la traje toire.
Vitesse de libération = vitesse minimale à ommuniquer à un orps situé sur la Terre pour qu'il
s'éloigne à l'inni de la Terre (2e vitesse osmique)
Utiliser le ritère Em > 0.
Appli ation numérique : vlib = 11, 4 km.s−1 (ordre de grandeur à onnaître)
Optique géométrique
1 Bases de l'optique géométrique
L'essentiel du
ours
Cadre de l'optique géométrique :
La lumière est omposée de rayons lumineux indépendants entre eux (= pas d'interféren e).
NB : dans la pratique, il est impossible d'isoler un rayon lumineux à ause du phénomène de dira tion.
Prin ipe de retour inverse de la lumière :
♥
Le trajet suivi par un rayon lumineux ne dépend pas du sens de propagation de la lumière.
Autre formulation : si on inverse le sens de propagation de la lumière, les trajets des rayons lumineux
restent identiques.
Sour es de lumière
On distingue deux types de sour es :
• sour es primaires : elles émettent par elles-mêmes la lumière ;
• sour es se ondaires : elles diusent la lumière émise par une autre sour e (la Lune, les planètes, la plupart
des objets du quotidien. . .).
Une sour e lumineuse primaire est ara térisée par son spe tre d'émission, qui peut être
• ontinu : Soleil, étoiles, lampe à lament (= lampe à in andes en e), diode éle trolumines ente (DEL) ;
• dis ontinu ou dis ret = onstitué de raies : lampes spe trales (à vapeur de sodium, de mer ure. . .) ;
• quasi mono hromatique = onstitué d'une seule raie (de très faible largeur spe trale) : laser.
Modèle de la sour e lumineuse pon tuelle mono hromatique : les dimensions de la sour e sont
très faibles par rapport à l'é helle d'étude ; le spe tre est réduit à une raie de fréquen e f .
NB : une sour e lumineuse étendue peut être onsidérée omme un ensemble de sour es pon tuelles.
Propagation de la lumière
La vitesse de propagation de la lumière dépend du milieu de propagation.
NB : de manière générale, la vitesse d'une onde, quelle qu'elle soit, dépend (a priori) du milieu de propagation.
indi e de réfra tion d'un milieu transparent
v vitesse de la lumière dans le milieu et c = 3 · 108 m.s−1 vitesse de la lumière dans le vide.
♥ n = c/v
NB : la vitesse de la lumière vaut o iellement c = 299 792 458 m.s−1 (valeur exa te arbitraire).
Propriétés : [ n ] = 1, n > 1 ; n(air) = 1, 00, n(verre) ≃ 1, 5, n(eau) ≃ 1, 3.
NB : v dépend de la longueur d'onde λ pour une lumière mono hromatique don n est fon tion de λ (propriété utilisée pour
dé omposer la lumière grâ e à un prisme).
•
Cas d'une onde mono hromatique
longueur d'onde (m), v vitesse dans le milieu (m.s−1 ), T période (s)
Démonstration : pendant une durée égale à T, l'onde se dépla e à la vitesse v de la distan e λ.
♥ λ = vT
λ
NB : formule à retrouver par analyse dimensionnelle en as de doute.
Propriété :
♥
La fréquen e (don la période) d'une onde mono hromatique est une ara téristique propre à la sour e
émettri e, indépendante du milieu de propagation.
Conséquen e :
λ = λ0 /n
λ0
longueur d'onde dans le vide et λ longueur d'onde dans le milieu d'indi e n
NB : démonstration simple à savoir faire : ombiner λ0 = cT, λ = vT et n = c/v.
É helle des ouleurs (à
onnaître)
Longueur d'onde λ0 dans le vide !
:
•
♥
Réexion et réfra tion
Dénitions :
• dioptre = surfa e de séparation (frontière) entre deux milieux d'indi es diérents ;
• point d'in iden e I = point d'interse tion entre un rayon in ident et un dioptre ;
• plan d'in iden e = plan ontenant le rayon in ident et la normale (N) en I au dioptre.
Lois de SnellDes artes (1637)
Le rayon réé hi et le rayon réfra té sont dans le plan d'in iden e.
♥ i = r (loi de la réexion)
♥ n1 sin i = n2 sin j (loi de la réfra tion)
angle d'in iden e, j angle de réfra tion, r angle de réexion, n1
indi e du milieu de départ, n2 indi e du milieu d'arrivée.
i
Tous les angles sont dénis par rapport à la normale.
NB : les formules restent identiques si on inverse le sens de propagation de la lumière : elles respe tent le prin ipe de retour
inverse de la lumière.
Propriété : le rayon réfra té se rappro he de la normale si
l'indi e du milieu d'arrivée est supérieur à l'indi e du milieu
de départ (et inversement).
NB : un milieu d'indi e supérieur à un autre est dit plus réfringent.
•
♥
Phénomène de réexion totale
Réexion totale si i > i orrespondant à
un angle de réfra tion limite égal à 90.
Dans le as limite, n1 sin i = n2 sin 90d'où
lim
lim
ilim = arcsin (n2 /n1 )
(à savoir retrouver)
Appli ations : bre optique à saut d'indi e,
prisme à réexion totale.
La réexion totale ne peut avoir lieu que si n2 < n1 .
Miroir plan
Dénitions : un point (objet ou image) est
• réel si e sont des rayons réels qui on ourent en e point ;
• virtuel si 'est par prolongement tif de rayons réels que les rayons on ourent en e point.
NB : un point image réel peut être visualisé par proje tion sur un é ran, un point image virtuel non.
♥
L'image d'un objet donnée par un miroir plan est le
symétrique de l'objet par rapport au plan du miroir.
Propriété : pour un objet réel, l'image est virtuelle
(et inversement).
NB : dans la pratique, 'est l'image donnée par un autre système optique (une lentille par exemple) qui joue le rle d'objet virtuel
pour le miroir.
Optique géométrique
2 Lentilles min es sphériques
L'essentiel du
ours
Dénitions générales
Une lentille sphérique est un milieu transparent (en verre le plus souvent) délimité par deux dioptres sphériques ; elle est min e si l'épaisseur de la lentille est faible devant les rayons des dioptres.
• axe optique noté ∆ = axe de révolution de la lentille (axe passant par les entres des dioptres sphériques) ;
• entre optique noté O = interse tion de la lentille et de l'axe optique.
Convention d'é riture : AB est un ouple de point qui modélise un objet orthogonal à l'axe optique,
tel que A ∈ ∆ et B ∈/ ∆.
Un système optique S est stigmatique si les rayons issus d'un point P, appelé point objet, on ourent,
après traversée du système optique, en un unique point P′ appelé point image.
S
On note alors P −→
P′ et on dit que P et P′ sont onjugués par S.
NB : un miroir plan est rigoureusement stigmatique pour tous les points de l'espa e.
♥
Dans les onditions de Gauss, une lentille min e sphérique est stigmatique appro hée.
Conditions de Gauss : les rayons doivent être peu in linés et peu é artés par rapport à ∆.
♥ F′
foyer prin ipal image
lentille
= onjugué d'un point objet à l'inni sur l'axe soit
L
A∞ −→ F′
lentille divergente
onvergente
( entre plus épais que le bord)
(bord plus épais que le entre)
NB : F′ est réel pour une lentille onvergente ; F′ est virtuel pour une lentille divergente.
♥ f ′ = OF′
distan e fo ale
L'axe optique doit être
v = 1/f ′
algébrisé
vergen e
.
(arbitrairement)
Propriétés : [ v ] = δ (dioptrie) (unité utilisée par les opti iens) ; plus | v | est grande, plus la lentille a un fort
pouvoir ( onvergent ou divergent) ; si l'axe optique est orienté dans le sens de la lumière, v > 0 pour une
lentille onvergente, v < 0 pour une lentille divergente.
L
♥ F foyer prin ipal objet = onjugué d'un point image à l'inni sur l'axe soit F −→
A′∞
NB : en inversant le sens de la lumière sur les dessins pré édents, F′ devient F et A∞ devient A′∞ .
Propriété
(admise)
:
F
et F′ sont symétriques par rapport au entre optique O
• Φ′ foyer se ondaire image = onjugué d'un point objet à l'inni en-dehors de l'axe B∞
• Φ foyer se ondaire objet = onjugué d'un point image à l'inni en-dehors de l'axe B′∞
: les foyers se ondaires image (resp. objets) sont situés dans le plan fo
fo al objet Π) = plan orthogonal à l'axe optique passant par F′ (resp. par F).
Propriété
al image
Π′ (resp. plan
•
Constru tions géométriques
Rayons remarquables
Tout rayon passant par O
n'est pas dévié
Méthode :
Tout rayon // à ∆
émerge en passant par F′
Tout rayon passant par F
émerge // à ∆
omment onstruire l'image d'un objet AB à distan e nie ?
onstruire les trajets d'au moins deux des trois rayons remarquables issus du point B ;
➁ par interse tion des rayon émergents, on obtient B′ (par stigmatisme) ;
➂ abaisser la perpendi ulaire à ∆ passant par B′ pour obtenir A′ .
Cas parti ulier : proje tion de l'image d'un objet réel sur un é ran
➀
Proje tion possible ⇔ D > 4f ′
Démonstration (à savoir faire) : utiliser la formule de onjugaison
de Des artes (voir suite).
′
Cas parti ulier : si D = 4f , l'image a même taille que l'objet
(en étant renversée). On parle d'un montage de proje tion 4f ′ .
Méthode :
➀
➁
➂
omment onstruire l'image d'un objet A∞ B∞ à l'inni ?
le point image A′ est onfondu ave le foyer prin ipal image F′ (par dénition de F′ ) ;
tra er le rayon issu de B∞ qui passe par le entre optique O (qui n'est pas dévié) ;
l'interse tion de e rayon ave le plan fo al image donne B′ (puisque l'image est dans le plan fo al image).
Formules de onjugaison et de grandissement transerval
1
1
1
−
= ′
′
f
OA
OA
formule de Des artes
F′ A′ × FA = F′ O × FO
formule de Newton
grandissement transversal (AB ⊥ ∆)
Propriétés : image agrandie si | γ | > 1 (rétré ie sinon) ; image droite si γ > 0 (renversée sinon).
♥ γ = A′ B′ /AB
γ=
OA′
F′ A′
FO
= ′ =
OA
FO
FA
NB : au une de es formules ne doit être apprise par ÷ur ; les formules de grandissement se retrouvent en utilisant le théorème
de Thalès dans une onstru tion géométrique.
Toutes es formules font intervenir des grandeurs
algébriques
( ause fréquente d'erreur !)
.
Modèle optique de l'÷il
•
•
•
•
ristallin → lentille onvergente ave v variable (pouvoir d'a
rétine → é ran xe.
limite de résolution angulaire (ou pouvoir de résolution) : angle apparent
minimal ε qui doit séparer deux points objets pour qu'ils puissent être
distingués (ou résolus ) par l'÷il.
Ordre de grandeur : ε ≃ 1′ d'angle = (1/60)
plage d'a
ommodation : intervalle de distan e dans lequel doit être
situé un objet pour qu'il puisse être vu net (en a ommodant).
Ordres de grandeur (pour un ÷il sans défaut) : PP = 25 cm (borne inférieure = pun tum proximum ), PR = +∞ (borne supérieure = pun tum
remotum ).
ommodation) ;
Physique quantique
1 Introdu tion au monde quantique
L'essentiel du
ours
Dualité onde- orpus ule pour la lumière
À toute onde lumineuse mono hromatique de longueur d'onde λ et de fréquen e ν , on peut asso ier une
parti ule appelée photon.
Propriétés :
• le photon a une masse nulle, une harge nulle et se dépla e dans le vide à la vitesse de la lumière
c = 3 · 108 m.s−2
•
Relations de Plan kEinstein :
♥ E = h ν énergie du photon
p=
h
λ
quantité de mouvement du photon
ave h = 6, 63 · 10−34 J.s la onstante de Plan k.
Grâ e à la relation λ = c/ν , on peut aussi é rire E = hc/λ et p = hν/c
La quantité de mouvement du photon ne peut pas se
al uler ave
la formule
p = mv
puisque le photon
a une masse nulle !
Dualité onde- orpus ule pour la matière
À toute parti ule matérielle de masse m et de vitesse v , on peut asso ier une onde appelée onde de
matière.
• Relation de Louis de Broglie :
♥ λ=
h
p
longueur d'onde de l'onde de matière
ave p = mv la quantité de mouvement de la parti ule matérielle.
La relation
p = h/λ ⇔ λ = h/p
est identique pour la lumière et pour la matière mais la relation
ne peut pas s'appliquer à une parti ule matérielle (on ne peut pas asso ier de fréquen e
ν
E = hν
à une onde
matérielle).
Fon tion d'onde Interprétation probabiliste
La probabilité dP de trouver à la date t une parti ule dans un volume dτ = dx dy dz autour d'un
point M(x, y, z) est donnée par
♥ dP = |Ψ|2 dτ
ave Ψ(x, y, z, t) la fon tion d'onde asso iée à la parti ule.
Propriété : la probabilité de présen e de la parti ule dans tout l'espa e étant égale à 1,
y
|Ψ|2 dτ = 1
espa e
Inégalités de Heisenberg
•
Inégalité position-quantité de mouvement
Il est impossible de onnaître simultanément et ave pré ision la position et la quantité de mouvement
(ou la vitesse) d'une parti ule.
Dans le as d'un dépla ement unidimensionnel selon (Ox),
♥ ∆px × ∆x > ~
ave ∆px la pré ision sur la quantité de mouvement px , ∆x la pré ision sur la position x et ~ = h/(2π)
la onstante de Plan k réduite.
NB :
ette limitation ne provient pas des appareils de mesure : elle est due à la nature quantique des parti ules.
•
Inégalité durée-énergie
Il est impossible de onnaître simultanément et ave pré ision la durée d'une onde et son énergie.
♥ ∆t × ∆E > ~
ave ∆t la durée de l'onde et ∆E la pré ision sur l'énergie E.
NB : on peut aussi formuler
ette inégalité pour une parti ule matérielle. Dans
e
as,
∆t représente
la durée de vie de la parti ule.
Quanti ation de l'énergie pour une parti ule onnée spatialement
Le onnement spatial d'une parti ule entraîne une quanti ation de l'énergie de la partiule, 'est-à-dire l'existen e de niveaux d'énergie dis ontinus.
Exemple : éle tron onné au voisinage d'un atome.
Éle tro inétique
1 Bases de l'éle tro inétique
L'essentiel du
ours
Courant éle trique Charge éle trique
• Un ourant éle trique est un mouvement d'ensemble ordonné de porteurs de harge dans un ondu teur.
Exemples : ir ulation d'éle trons dans un ondu teur métallique ; ir ulation d'ions dans un éle trolyte.
• La harge éle trique est mesurée en oulomb (C).
La plus petite harge éle trique qui existe, appelée harge élémentaire, est e = 1, 6 · 10−19 C
NB : un éle tron porte une harge −e, un proton porte une harge +e, un ion porte une harge Z × e ave Z ∈ Z∗ .
Intensité et tension Lois des n÷uds et loi des mailles
• L'intensité i d'un ourant éle trique à travers une se tion S, mesurée en ampère (A), est le débit de
harge éle trique à travers ette se tion :
♥ i = δq/dt
δq harge éle trique élémentaire traversant S pendant la durée élémentaire dt
NB : on a don 1 A = 1 C.s−1 (l'ampère fait partie des sept unités de base du Système International).
Ordres de grandeur : DEL ≃ 10 mA, lampe ≃ 1 A, radiateur éle trique ≃ 10 A, moteur de TGV ≃ 103 A.
NB : par onvention, le sens de la è he
indique (si i > 0) le sens de dépla ement des porteurs de harges positives.
Les éle trons, de harge négative, ir ulent don en sens inverse de la è he i.
• La tension u entre deux points A et B d'un ir uit éle trique, mesurée en volt (V), est la diéren e de
potentiel éle trique entre es deux points :
♥ u = VA − VB
tension entre les points A et B (représentée par une è he)
Ordres de grandeur : piles et batteries ≃ 1 V à 24 V, tension du se teur 230 V (valeur e a e), ligne de
transport à haute tension ≃ 105 V.
On peut xer (arbitrairement) un point de potentiel nul dans un ir uit, appelé la masse et notée
• Loi des n÷uds
Un n÷ud N est un point de jon tion entre plusieurs ls éle triques dans un ir uit.
P
P
iarrivant vers N = ipartant de N loi des n÷uds
♥
NB : 'est une onséquen e dire te de la onservation de la harge éle trique.
X
± ik = 0
Autre é riture :
± selon que la è he ik arrive ou part de N
La loi des n÷uds n'est vraie que dans l'
approximation des régimes quasi stationnaires (ARQS)
NB : l'ARQS est valable si d ≪ c × τ ave d la dimension du ir uit, c la vitesse des ondes éle triques (≃ vitesse de la lumière
dans le vide) et τ une durée ara téristique de variation des grandeurs éle triques ( ≃ T pour des signaux périodiques).
• Loi des mailles
Une maille est un ensemble de bran hes (portions de ir uit entre deux n÷uds onséutifs) formant un ir uit fermé.
P
± uk = 0 ± selon le sens de la è he tension par rapport au sens de la maille
♥
NB : 'est une onséquen e dire te de la dénition d'une tension omme une diéren e de potentiels.
Diples éle triques passifs = qui ne produisent pas d'énergie éle trique
Un diple éle trique est un omposant possédant deux bornes.
• onvention ré epteur : è hes u et i de sens opposés ;
• onvention générateur : è hes u et i de même sens.
NB : le hoix de la onvention d'étude est arbitraire mais doit être pré isé.
• Diples usuels :
ondu teur ohmique
bobine
ondensateur
♥ u = Ri
loi d'Ohm
♥ u = L di
R résistan e en ohm (Ω)
L indu tan e en henry (H)
Relations
♥ i = C du
dt
en onvention ré epteur.
En
dt
C apa ité en farad (F)
onvention générateur, ajouter un
−
dans l'un des membres.
Ordres de grandeur : R ≃ 1 Ω à 10 Ω, C ≃ 10 F à 1 F, L ≃ 10 H à 1 H.
Autre é riture de la loi d'Ohm : i = Gu ave G=1/R la ondu tan e en siemens (S).
6
−9
−3
• Lois d'asso iation de deux résistan es Diviseur de tension, diviseur de ourant
Asso iation série
Asso iation parallèle
♥ Réq = R1 + R2
♥
Diviseur de tension
♥ u1 =
1
1
1
+
=
Réq
R1
R2
Diviseur de ourant
R1
U
R1 + R2
♥ i1 =
G1
I
G1 + G2
• Loi des n÷uds en terme de potentiels (théorème de Millman)
É rire
P
ik = 0 en un n÷ud N et utiliser la loi d'
ik = uk /Rk en remplaçant uk = Vk − VN :
V2 − VN
V3 − VN
V1 − VN
+
+
=0
R1
R2
R3
Ohm sous la forme
(à savoir retrouver)
Diples éle triques a tifs (sour es) = qui produisent de l'énergie éle trique
Une sour e idéale délivre une tension u = E indépendante de l'intensité i débitée ; une sour e réelle délivre
une tension u = E − ri (en onvention générateur) ave E la for e éle tromotri e et r la résistan e interne.
NB : la modélisation sous la forme d'une sour e idéale en série ave une résistan e est appelée représentation de
Exemples de sour es réelles : GBF générateur basse fréquen e (r = 50 Ω), pile (r ≃ 1 Ω). . .
Thévenin.
Puissan e éle trique Énergie éle trique
♥ P(t) = u(t) × i(t) puissan e algébriquement reçue par un diple ave (u, i) en onvention ré epteur
• si P(t) > 0, le diple reçoit de la puissan e (don de l'énergie) à la date t ;
• si P(t) < 0, le diple ède de la puissan e (don de l'énergie) à la date t.
Si
(u, i)
est en
onvention générateur,
u(t) × i(t)
est la puissan e algébriquement
fournie
par le diple.
NB : pour un ondu teur ohmique, P(t) = u(t) × i(t) = Ri2 (t) > 0 don le ondu teur ohmique reçoit onstamment de l'énergie
éle trique, onvertie en haleur par eet Joule.
Z t
énergie élémentaire é hangée δE
⇔ δE = P dt ⇔ E(t) =
P dt
Propriété : puissan e =
=
durée élémentaire
dt
0
♥ EC (t) = (1/2) Cu2(t)
♥ EL (t) = (1/2) Li2(t)
énergie éle trique emmagasinée à la date t dans un ondensateur de apa ité C
énergie éle trique emmagasinée à la date t dans une bobine d'indu tan e L
Éle tro inétique
2 Cir uits linéaires en régime libre
L'essentiel du
ours
Généralités
• Un ir uit éle trique est linéaire s'il est omposé de diples linéaires = diples pour lesquels la relation (u, i) est linéaire (relation linéaire ou équation diérentielle linéaire). Exemples : résistan e, bobine,
ondensateur. . .
: omment déterminer les grandeurs éle triques au début du régime transitoire ?
➀ Utiliser les propriétés de ontinuité suivantes :
Méthode
•
la tension
u(t)
aux bornes d'un
ondensateur est une fon tion
ontinue de
t;
• l'intensité i(t) à travers une bobine est une fon tion ontinue de t.
NB : onséquen es immédiates des expressions d'énergie EC = (1/2) C u2 et EL = (1/2) L i2 .
➁ rempla er les ondensateurs et les bobines en onséquen e (interrupteur fermé si u = 0, interrupteur ouvert si i = 0) et étudier le ir uit simplié.
Il est indispensable de distinguer les grandeurs à t = 0− et à t = 0+
(t
= 0 début du régime transitoire) !
: omment déterminer les grandeurs éle triques à la n du régime transitoire ?
➀ Rempla er dans le ir uit les ondensateurs et les bobines par leur diple équivalent en régime
permanent = régime ontinu :
• un ondensateur peut être rempla é par un interrupteur ouvert ;
• une bobine peut être rempla ée par un interrupteur fermé.
Méthode
NB : onséquen es immédiates des relations i = C du/dt et u = L di/dt.
➁ étudier le ir uit simplié (il ne reste en général plus que des résistan es).
: omment déterminer l'équation diérentielle vériée par une grandeur éle trique ?
➀ Simplier si possible le ir uit sans perdre la grandeur éle trique re her hée (utilisation
des lois d'asso iations série ou parallèle notamment) ;
➁ introduire un nombre minimal d'in onnues éle triques (tensions et intensités) dans le ir uit ;
É rire dire tement les lois des n÷uds et les lois d'Ohm sur le ir uit.
➂ é rire autant d'équations éle triques qu'il y a d'in onnues : lois des mailles, relations (u, i) aux
bornes des ondensateurs et des bobines.
En onvention générateur, il faut é rire u = −R i, i = −C du/dt et u = −L di/dt.
Méthode
➃ traiter le système d'équations diérentielles ( ouplées souvent) pour se ramener à une équation
diérentielle à une seule in onnue.
NB : pour un ir uit linéaire, l'équation diérentielle est né essairement linéaire !
: omment résoudre une équation diérentielle linéaire vériée par x(t) ?
➀ résoudre l'équation diérentielle sans se ond membre = équation homogène asso iée, pour trouver
une solution générale xEH (t) faisant intervenir des onstantes d'intégration ;
Ce n'est pas la solution de l'équation diérentielle omplète don les onditions initiales ne s'appliquent pas à xEH (t) : pour l'instant, laisser les onstantes indéterminées.
Méthode
➁ déterminer une solution parti ulière xSP (t) à l'équation diérentielle omplète ;
Cher her une solution de la même forme mathématique que le se ond membre : si le
se ond membre est onstant, re her her xSP = Cte .
➂ é rire que la solution générale de l'équation diérentielle omplète est x(t) = xEH (t) + xSP (t) ;
➃ utiliser la (ou les) ondition(s) initiale(s) pour déterminer les onstantes d'intégration.
• Le
portrait de phase d'une grandeur éle trique x(t) est la représentation graphique (ẋ(t), x(t)). Il
apporte des informations sur la nature du régime transitoire.
Cir uits du 1er ordre
Dans un ir uit du 1er ordre, l'équation diérentielle homogène (= sans se ond membre) vériée par une
grandeur éle trique x(t) est du 1er ordre et peut se mettre sous la forme
♥ dx + 1 x(t) = 0
dt
τ
Exemple
• τ durée ara téristique du régime transitoire (= onstante de temps)
: harge d'un ir uit (R, C) série par un é helon de tension ( ondensateur initialement dé hargé).
NB : noter que l'intensité i(t) n'est pas ontinue à t = 0 (elle l'aurait été s'il y avait eu une bobine en série).
La durée ara téristique pour un ir uit (R, C) série est τ = RC
Propriété : la onstante de temps se lit graphiquement à la date d'interse tion entre la tangente à la
ourbe à t = 0+ et l'asymptote à la ourbe en t = +∞.
Cir uits du 2e ordre
Dans un ir uit du 2e ordre, l'équation diérentielle homogène (= sans se ond membre) vériée par une
grandeur éle trique x(t) est du 2e ordre et peut se mettre sous la forme
• ω0 pulsation propre (T0 = 2π/ω0 période propre)
d2 x ω0 dx
♥
+
+ ω0 2 x(t) = 0
2
• Q fa teur de qualité (sans dimension)
dt
Q dt
♥ La valeur du fa teur de qualité indique le type de régime transitoire.
Exemple
: ir uit (R, L, C) série soumis à un é helon de tension ( ondensateur initialement dé hargé).
:
• L'établissement du régime permanent est le plus rapide dans le régime ritique ;
• en régime pseudo-périodique, on peut dénir une pseudo-pulsation ω et une pseudo-période T. La
pseudo-période (en général pro he de la période propre T0 ) et donne l'ordre de grandeur de la durée
du régime transitoire.
Propriétés
♥ Un ir uit RLC série est analogue à un système mé anique masse-ressort ave frottement.
NB : la résistan e éle trique est l'analogue des frottements mé aniques ; la bobine (inertie éle trique) est l'analogue de la masse
(inertie mé anique) ; le ondensateur (a umulation de harge sous l'eet d'une tension) est l'analogue du ressort (dépla ement sous l'eet d'une for e).
Éle tro inétique
3 Cir uits linéaires
en régime sinusoïdal for é
L'essentiel du
ours
Régime sinusoïdal for é
À la mise en mar he d'une sour e de tension sinusoïdale, à
une phase transitoire su ède un régime sinusoïdal appelé
régime sinusoïdal for é.
NB : la durée du régime transitoire, liée à une onstante de temps dépendant
des ara téristiques du ir uit, est en général très faible à l'é helle
humaine.
♥
En régime sinusoïdal for é, toutes les grandeurs physiques sont des fon tions sinusoïdales du temps, de
pulsation égale à elle imposée par la sour e.
Notation
omplexe d'un signal sinusoïdal
À tout signal x(t) sinusoïdal de pulsation ω , on asso ie un signal omplexe x(t) ( tif) tel que
jϕ
C
♥ x(t) = X cos (ωt + ϕ) −→
l'amplitude omplexe du signal
x(t) = X e j(ωt+ϕ) = X e jωt ave X = X e
NB : en physique, on préfère noter j le nombre omplexe tel que j 2 = −1, pour éviter la onfusion ave i l'intensité.
Propriétés
♥
: X = |X| et ϕ = arg X
dx
= jω × x
dt
Z
x dt =
x
jω
(X permet don de retrouver l'amplitude et la phase à l'origine de x(t))
(démonstrations immédiates en utilisant les propriétés de la fon tion e() )
x(t) = Re x(t) don par linéarité de Re (), les relations linéaires vériées par x(t) se généralisent à x(t).
Cas parti ulier de l'éle tro inétique :
P
P
± ik = 0 loi des n÷uds
± uk = 0 loi des mailles
♥
Impédan e d'un diple linéaire
♥ Z = u/i
impédan e
omplexe d'un diple linéaire soumis à u(t) et par ouru par i(t)
[Z] = Ω
Dénition pour un ouple (u, i) en onvention ré epteur ; en onvention générateur, Z = −u/i
♥ ZR = R ZL = jLω ZC =
1
jCω
pour une résistan e, une bobine (idéale) et un ondensateur
NB : démonstrations immédiates en partant des relations (u, i) pour haque diple et en passant en notation omplexe.
Y = 1/Z
admittan e
du diple [ Y ] = S (siemens)
NB : l'admittan e d'une résistan e est 1/R = G sa ondu tan e.
Intérêt
: tous les diples linéaires vérient une relation du type loi d'Ohm u = Z i don
l'éle tro inétique faisant intervenir des résistan es se généralisent en régime sinusoïdal for é
Zéq =
P
Lois d'asso iation
•
Diviseur de tension
•
Loi des n÷uds en terme de potentiels
u1 =
Zk
en série
•
Z1
U
Z1 + Z2
Y éq =
P
Diviseur de
(théorème de
Yk
en parallèle
ourant
Millman)
i1 =
Y1
I
Y1 + Y2
XV −V
k
N
=0
Zk
.
les lois de
Appli ation au
ir uit R,L,C série
(les al uls ne sont pas à mémoriser mais il faut savoir les refaire)
C
Le ir uit est alimenté par une sour e idéale de tension de fém e(t) = E cos (ωt) −→ E e jωt (don
•
E = E)
Résonan e en intensité
Asso ier les diples en série puis é rire la loi d'Ohm.
Zéq = ZR + ZL + ZC = R + jLω +
e = Zéq i ⇔ I =
1
jCω
E
1 R + j Lω −
Cω
NB : penser à utiliser l'astu e 1/j = −j .
Propriétés
1 .0
:
L'amplitude de l'intensité passe par un maximum
0 .8
.
résonan e en intensité
Le pi de résonan e est d'autant plus étroit que le
I / Im a x
♥ à la pulsation de résonan e ω = 1/√LC.
0
= phénomène de
♥ fa teur de qualité Q est grand.
Q = 1/R
Q= 5
Q= 2
Q= 1
p
L/C (expression non exigible)
0 .6
0 .4
0 .2
NB : on dit que la résonan e est plus aigüe.
0 .0
0
•
Surtension aux bornes du
50
100
150
200
f (Hz)
250
300
350
400
ondensateur
Utiliser un diviseur de tension après avoir asso ié R et L.
ZC
uC =
e=
ZC + Zéq
1
jCω
1
+ R + jLω
jCω
e=
e
(1 − LCω 2 ) + jRCω
NB : en très basse fréquen e (ω → 0), U ≃ E
Propriétés
60
L'amplitude de la tension aux bornes du ondensateur peut devenir supérieure à elle de la sour e.
= phénomène de surtension.
√
La surtension a lieu si Q > 1/ 2 ≃ 0, 707
NB : la surtension a lieu à une fréquen e pro he de elle de la résonan e.
♥
La surtension est d'autant plus marquée que Q est
grand.
NB : si Q est susamment grand, U
max ≃ Q E
Q= 5
Q= 2
50
Q= 1
40
Uc (V)
♥
:
30
20
10
0
0
50
100
150
200
f (Hz)
250
300
350
400
Éle tro inétique
4 Filtres
L'essentiel du
ours
Types de ltres
Un ltre permet de séle tionner dans un signal éle trique les omposantes sinusoïdales omprises dans
un ertain intervalle de fréquen e, appelé bande passante.
Un ltre se présente sous la forme d'un quadriple. L'étude théorique se fait en régime sinusoïdal for é
de pulsation ω = 2πf .
♥ G(f ) = S/E gain du ltre
S et E amplitudes des tensions de sortie et d'entrée à la pulsation ω
On distingue 4 types de ltres lassiques :
√
♥ La bande passante BP est l'intervalle de fréquen e tel que G(f ) > Gmax / 2
NB : en terme de puissan e, ela revient à dire qu'au moins la moitié de la puissan e en entrée se retrouve en sortie.
Les bornes de la bande passante sont appelées les fréquen es de oupure f (en ex luant les bornes nulles).
√
Elles vérient don la relation G(f ) = Gmax / 2
(relation utile pour les déterminer par le al ul)
NB : un ltre passe-bas ou passe-haut possède une fréquen e de oupure ; un ltre passe-bande ou oupe-bande en possède deux.
Méthode :
omment déterminer la nature d'un ltre d'après son s héma éle trique ?
➀ redessiner le ltre en très basse fréquen e (f → 0) et en très haute fréquen e (f → +∞) en
remplaçant ondensateurs et bobines par leurs diples équivalents :
NB : on retrouve fa ilement les diples équivalents en utilisant l'impédan e du diple dans les as limites.
➁ dans ha un des deux as, déterminer s(t) et en déduire G = S/E.
Aux bornes d'un interrupteur ouvert, l'intensité est nulle mais pas né essairement la tension.
➂ en déduire la nature probable du ltre parmi les quatre types de ltres lassiques.
Fon tion de transfert
♥ H = s(t)/e(t)
Propriétés :
fon tion de transfert du ltre (sans dimension)
|H| = S/E = G et arg H = ϕs − ϕe
L'ordre du ltre est le plus haut degré des deux polynomes en jω présents au numérateur et au dénominateur de la fon tion de transfert.
Formes anoniques usuelles (non exigibles) :
Passe-bas du 1er ordre
H=
Passe-haut du 1er ordre
H0
ω
1+j
ω0
H=
Passe-bande du 2e ordre
H0
ω0
1+
jω
H=
H
0
ω0
ω
−
1 + jQ
ω0
ω
H0 gain maximal, ω0 pulsation de oupure (de résonan e pour le passe-bande), Q fa teur de qualité
♥ Plus le fa teur de qualité Q d'un ltre passe-bande est grand, plus sa bande passante est étroite.
= plus il est séle tif (qualité en prin ipe re her hée pour un passe-bande)
Méthode :
omment déterminer la fon tion de transfert d'un ltre à partir de son s héma éle trique ?
➀ représenter tous les diples sous forme d'impédan es, en notation omplexe ;
➁ en présen e de deux diples en série (ou en s'y ramenant), utiliser un diviseur de tension ;
➂ à défaut, utiliser une ou plusieurs lois des n÷uds en terme de potentiels (théorème de
).
Millman
Diagramme de Bode
Le diagramme de Bode d'un ltre est la représentation graphique, ave pour abs isse la fréquen e en
é helle logarithmique, de deux ourbes :
• GdB = 20 log G le gain en dé ibel ;
• ϕ = ϕs − ϕe le déphasage.
Exemple : ltre passe-bas d'ordre 1
Courbe de réponse en gain
Courbe de réponse en phase
Un intervalle de fréquen e [f1 , f2 ] dans un rapport de 10 (f2 /f1 = 10) est appelé une dé ade.
♥ Les fréquen es de oupure se situent aux interse tions des ourbes GdB (f ) et GdBmax − 3, 0 dB
(sur la ourbe en exemple, GdBmax = 0 dB et f = 400 Hz)
Propriétés :
• les pentes des asymptotes obliques pour la ourbe GdB (f ) dépendent de l'ordre du ltre : pentes de
±20 dB/dé ade pour un ltre d'ordre 1, pentes de ±40 dB/dé ade pour un ltre d'ordre 2 ;
•
pour un ltre d'ordre 1, les asymptotes en haute et en basse fréquen e se oupent à la fréquen e
de oupure.
Éle tro inétique
5 Ampli ateur Linéaire Intégré
en régime linéaire
L'essentiel du
ours
Propriétés de l'ALI idéal
Deux entrées + (non inverseuse) et − (inverseuse), une sortie S, deux bornes
d'alimentation à +V et −V .
NB : les bornes d'alimentation ne sont pas représentées sur les s hémas.
s = VS tension de sortie, iS ourant de sortie
♥ ε = V+ − V−
tension diérentielle d'entrée (= ddp entre les entrées + et −)
♥ i+ = i− = 0 pour un ALI idéal
♥ | s | 6 Vsat
= les ourants d'entrée sont nuls
Vsat tension de saturation de l'ALI
En régime linéaire, s = µ0 × ε ave µ0 ≃ 105 .
Pour un ALI de gain inni (impli ite sauf mention
ontraire), µ0 → +∞ d'où ε = 0.
♥ Pour un ALI idéal en régime linéaire, ε = 0 ⇔ V+ = V−
♥ Dans un montage, l'ALI est en régime linéaire s'il existe une bran he reliant sa sortie à l'entrée −
NB : ette bran he est aussi appelée bou le de rétroa tion positive.
Lorsque s = ±Vsat , l'ALI sature. Con rètement, ela se traduit par un é rêtage de la tension de sortie.
Montages
lassiques utilisant un ALI en régime linéaire
Ampli ateur inverseur
s=−
R2
e
R1
Intégrateur
s(t) = −
1
RC
Z
e(t) dt
Ampli ateur non inverseur
s=
R2
e
1+
R1
Dérivateur
s(t) = −RC
de
dt
NB : il existe aussi des montages sommateur, soustra teur, onvertisseur tension- ourant ou ourant-tension. . .
Méthode
:
omment déterminer la fon tion réalisée par un montage ave
ALI en régime linéaire ?
➀ Vérier la présen e d'une bou le de rétroa tion positive pour valider le régime linéaire ;
➁ Exprimer les potentiels V+ et V− au niveau des n÷uds en entrée
• soit par appli ation de la loi des n÷uds en terme de potentiels (en utilisant les impédan es
omplexes en présen e de bobines ou de ondensateurs)
• soit dire tement en égalant à 0 si le n÷ud est relié à la masse par un l.
NB : l'ALI est supposé idéal don les intensités dans les bran hes reliant les n÷uds aux entrées + et − sont nulles.
➂ É rire que ε = 0 (ALI de gain inni) don que V+ = V− , en déduire la relation entre s(t) et e(t).
NB : en notation omplexe, revenir en réels sa hant que ×jω ≡ d()/dt et que ÷jω ≡
R
dt
Impédan es d'entrée et de sortie d'un montage linéaire à une entrée et une sortie
Tout montage linéaire peut être modélisé par le s héma équivalent i- ontre.
• e = Z e × i e dénit l'impédan e d'entrée Z e (analogue à la loi d'Ohm),
• s = H × e − Z s × i s dénit l'impédan e de sortie Z s
(H fon tion de transfert du montage).
NB : Z s = impédan e du générateur de Thévenin équivalent au diple de sortie du montage.
Cas parti uliers intéressants :
♥
• si Z e = +∞, le montage ne prélève pas de ourant au montage situé en amont ;
• si Z s = 0, la tension de sortie est indépendante du ourant de sortie.
NB : dans le 2e as, le montage en sortie est une sour e idéale de tension = tension indépendante du diple pla é en sortie.
Appli ation aux quatre montages ALI pré édents
Z e = R1 , +∞, R et 1/(jCω) respe tivement.
Méthode
:
: Z s = 0 (immédiat d'après les relations entre
omment déterminer l'impédan e d'entrée d'un montage ave
s et e)
et
ALI ?
➀ si ie = 0 ( as où le ourant d'entrée du montage est égal à un ourant d'entrée de l'ALI), Z e = +∞,
➁ sinon, é rire la loi d'
Ohm généralisée aux bornes du diple situé entre l'entrée du montage et le
n÷ud d'entrée de l'ALI.
Cas du montage suiveur
♥ Dans un montage suiveur, s(t) = e(t) ave Z e = +∞ et Z s = 0
Démonstrations
(à onnaître) :
• ε = 0 ⇔ V = V− d'où s = e don Z s = 0
• ie = i+ = 0 ar ALI idéal d'où Z e = +∞
+
Intérêt : relier deux ir uits en as ade sans que le montage en amont
ne soit perturbé par le montage en aval (exemple : ltres).
ALI réel
• | is | < Isat
Isat ourant de saturation ≃ 100 mA
Conséquen es : on utilise des résistan es de l'ordre du kΩ pour éviter la saturation du ourant ; l'ALI
ne permet pas d'obtenir une grande puissan e en sortie (P = s × is ).
• | ds/dt | < σ
σ vitesse limite de balayage en sortie ≃ 1 V.µs−1 =
slew-rate
en anglais
Conséquen e : en haute fréquen e, le signal de sortie peut être déformé lorsque la pente limite est
atteinte = phénomène de triangularisation.
Modélisation de la relation entrée/sortie en régime linéaire variable
Le gain d'un montage ave ALI diminue ave la fréquen e ar l'ALI possède un ara tère passe-bas.
s=
Dans
µ0
ds
ε ⇔ s(t) + τ
= µ0 ε(t)
1 + jωτ
dt
ette relation,
'est
ε(t)
• µ0 gain statique de l'ALI ≃ 105
• τ temps ara téristique de l'ALI ≃ 10−2 s
qui intervient et non la tension de sortie
e(t)
NB : en régime statique, ω → 0 et on retrouve la relation s = µ0 × ε du régime linéaire.
du montage ave
ALI.
Éle tro inétique
6 ALI en régime saturé Comparateurs
L'essentiel du
ours
Dans toute la leçon, on onsidère le modèle de l'ALI idéal de gain inni.
Généralités
Dans un montage ave ALI en régime saturé, la valeur de la tension de
sortie dépend du signe de ε :
♥
• s = +Vsat ⇔ ε > 0
• s = −Vsat ⇔ ε < 0
On ne peut don jamais é rire ε = 0 dans e as.
♥ Dans un montage, l'ALI est en régime saturé s'il n'existe pas de bou le de rétroa tion positive.
Comparateur simple
But : omparer une tension e(t) à une tension seuil E0 ; le résultat de la omparaison sera donné par le
signe de la tension de sortie s(t) de l'ALI.
• ε = V+ − V− = e(t) − E0
• si e(t) > E0 , ε > 0 don s(t) = +Vsat ; si e(t) < E0 , ε < 0 don s(t) = −Vsat
Limitation du omparateur simple : si la tension d'entrée e(t) u tue autour de la tension seuil E0,
la tension de sortie bas ule onstamment entre ± Vsat .
NB : omportement préjudi iable lorsqu'on souhaite réaliser un thermostat, un système automatique d'allumage. . .
Créer une marge de dé len hement autour de E0 , e que réalisent les omparateurs à hystérésis.
Comparateurs à hystérésis
Comparateur à hystérésis inverseur
E1 = −E2 =
R1
Vsat
R1 + R2
Comparateur à hystérésis non inverseur
E1 = −E2 =
R1
Vsat
R2
NB : en permutant les entrées + et −, on retrouve les montages ampli ateurs ave ALI en régime linéaire.
Propriétés
: es deux omparateurs bas ulent autour de la tension seuil moyenne E0 = 0 V (on peut
fa ilement faire en sorte que E0 6= 0 V en modiant légèrement les montages). Les marges de dé len hement sont
ajustables en modiant les résistan es R1 et R2 .
Méthode :
➀
➁
➂
➃
➄
➅
omment tra er le y le d'hystérésis d'un omparateur à hystérésis ?
Exprimer les potentiels d'entrée V+ et V− de l'ALI (utiliser la loi des n÷uds en terme de potentiels) ;
En déduire l'expression de la tension diérentielle d'entrée ε = V+ − V− ;
Considérer le as où e(t) est très négative , en déduire le signe de ε don la valeur de s ;
Augmenter e(t) et déterminer pour quelle valeur seuil de e(t) la tension diérentielle ε hange de
signe : 'est la 1re tension de bas ulement E1 ;
Reprendre les deux étapes pré édentes en onsidérant le as où e(t) est très positive et en
diminuant e(t) pour déterminer la se onde tension de bas ulement E2 ;
Traduire les résultats sous forme graphique.
Ne pas oublier de é her les sens de bas ulement sur le graphe.
NB : pour le omparateur à hystérésis inverseur, on peut trouver V+ en appliquant un diviseur de tension aux bornes de R1 .
Étude de la stabilité des montages ave ALI
But : démontrer le fait que la saturation de la tension de sortie s(t) dans un montage ave
ALI en régime
saturé est liée à la divergen e de la solution de l'équation diérentielle vériée par s(t), établie en se
servant de la relation
τ
ds
+ s(t) = µ0 ε(t)
dt
ave µ0 ≃ 105 gain statique de l'ALI et τ ≃ 10−2 s onstante de temps de l'ALI.
NB : ette relation traduit le ara tère passe-bas d'un ALI (voir leçon sur l'ALI en régime linéaire).
La relation fait intervenir la tension diérentielle d'entrée ε(t) de l'ALI 6= tension d'entrée e(t) du montage.
Méthode :
➀
➁
➂
➃
omment démontrer la saturation de la tension de sortie d'un montage ave ALI ?
Exprimer la tension diérentielle d'entrée ε(t) en fon tion de e(t), s(t) et des omposants ;
Rempla er ε(t) dans l'équation diérentielle liant ε(t) et s(t) pour l'ALI (qui sera rappelée) ;
Simplier l'équation diérentielle vériée par s(t) en tenant ompte du fait que µ0 ≫ 1 ;
Déterminer la forme de la solution de l'équation diérentielle homogène ;
e(t), à pla er dans le se ond membre, ne fait pas partie de l'équation homogène.
➄ Si la solution diverge lorsque t → + ∞, le régime est instable don la tension s(t) diverge et sature
à ± Vsat .
Éle tro inétique
7 Os illateurs éle triques
L'essentiel du
ours
But : réaliser un montage éle trique ave
des os illations spontanées et sans amortissement.
: générer un signal d'horloge par exemple.
Utiliser un ALI où l'alimentation servira à ompenser les pertes d'énergie (par eet Joule notamment).
Intérêt
Os illateur quasi sinusoïdal
Coupler un montage ampli ateur de tension et un ltre passe-bande :
• l'ampli ateur de tension sert à ompenser les pertes éle triques et l'atténuation due au ltre,
• le ltre sert à séle tionner une fréquen e d'os illation, qui sera sa fréquen e de résonan e.
NB : plus le ltre sera séle tif, plus grande sera la stabilité en fréquen e de l'os illateur.
Exemple : os illateur à ltre de Wien
Dans e système bou lé, la tension de sortie s(t) de l'ampli ateur est la tension d'entrée du ltre, et la tension
d'entrée e(t) de l'ampli ateur est la tension de sortie du ltre.
• Appro he fréquentielle = utilisation de la notation omplexe en régime sinusoïdal for é
En notant H1 et H2 les fon tions de transfert de l'ampli ateur et du ltre, le bou lage impose
H1 × H2 = 1
Le passage aux modules |H1 | × |H2 | = 1 et aux arguments arg H1 + arg H2 = 0 fournit des relations utiles.
•
Appro he temporelle = utilisation des équations diérentielles
Utiliser le système des deux équations diérentielles vériées par e(t) et s(t), dues aux deux montages,
pour déterminer l'équation diérentielle vériée par s(t) ou e(t).
Suivant les as de gure, la solution peut os iller ( as intéressant i i ), être amortie ou diverger.
Rappel : pour une équation diérentielle linéaire d'ordre 2, ela dépend du signe du dis riminant de
l'équation ara téristique ou de la valeur du fa teur de qualité Q.
Appli ation de l'appro he fréquentielle
H1 = 1 +
(à savoir refaire) :
R2
= G (ampli ateur non inverseur)
R1
H2 =
A
0
ω0
ω
−
1 + jQ
ω0
ω
(forme anonique)
• arg H1 = 0 d'où arg H2 = 0 ⇔ ω = ω0 : la fréquen e est égale à la fréquen e de résonan e f0 du ltre ;
• |H1 |×|H2 | = G×A0 = 1 : le gain de l'ampli ateur doit ompenser l'atténuation A0 < 1 due au ltre.
Cet os illateur est quasi sinusoïdal (et non parfaitement sinusoïdal) dans la mesure où l'ALI doit fon tionner
à la limite de saturation = eet non linéaire.
Os illateur de relaxation
Coupler un montage omparateur à hystérésis et un montage intégrateur :
• le omparateur à hystérésis possède deux états de sortie à ± Vsat entre lesquels la tension va os iller ;
• les bas ulements de la tension de sortie du omparateur seront dues au montage intégrateur.
Exemple :
Dans e système bou lé, la tension de sortie s(t) du omparateur est la tension d'entrée de l'intégrateur, et la
tension d'entrée e(t) du omparateur est la tension de sortie de l'intégrateur.
Méthode :
➀
➁
➂
➃
➄
omment analyser le fon tionnement d'un os illateur de relaxation ?
Représenter le y le d'hystérésis du omparateur ;
Partir d'un état quel onque du omparateur = d'un point quel onque sur le y le ;
En utilisant la fon tion réalisée par l'intégrateur, montrer que la tension d'entrée varie et que le
omparateur bas ule ;
En repartant de l'état après bas ulement, montrer de même en utilisant la fon tion réalisée par
l'intégrateur que la tension d'entrée varie et que le omparateur rebas ule en sens inverse ;
Le raisonnement reprend à l'identique don le système évolue de manière périodique.
Exemple (à savoir refaire) :
• Partant du point A tel que s = −Vsat et e = E2 ,
Z
Z
1
1
1
• L'intégrateur réalise la fon tion e(t) = −
Vsat × t + Cte
s(t) dt = −
−Vsat dt = +
RC
RC
RC
qui fait que e(t) augmente (linéairement) jusqu'à atteindre E1 ;
• Après bas ulement = au point B, s = +Vsat et e = E1 ;
Z
Z
1
1
1
Vsat × t + Cte
s(t) dt = −
+Vsat dt = −
• L'intégrateur réalise la fon tion e(t) = −
RC
RC
RC
qui fait que e(t) diminue (linéairement) jusqu'à atteindre E2 ;
• On se retrouve au point A et le raisonnement reprend.
Propriété : la tension e(t), de type triangle, os ille entre E2 = −E1 et E1 ave
des pentes ±
NB : il est fa ile à partir de là de trouver l'expression de la période T des os illations, en é rivant que la pente est
E1 − E2
1
Vsat =
RC
T/2
1
Vsat .
RC
Éle tro inétique
8 Éle tronique numérique
L'essentiel du
ours
Passage d'un signal analogique à un signal numérique
analogique = ontinu dans le temps et prenant des valeurs ontinues (signaux physiques réels) ;
numérique = déni à ertaines dates et prenant des valeurs dis ontinues.
La onversion d'un signal analogique en un signal numérique est réalisée dans un onvertisseur analogique numérique = CAN ( arte son d'un ordinateur. . .). Elle se fait en deux étapes : l'é hantillonnage et
• signal
• signal
la quanti ation.
NB : l'opération inverse (né essaire par exemple pour é outer de la musique numérisée) est réalisée dans un CNA.
•
É hantillonnage = dis rétisation temporelle ave un pas Te appelé période d'é hantillonnage
Critère de NyquistShannon : pour é hantillonner un signal analogique sans perte d'information,
♥ la fréquen e d'é hantillonnage doit au moins être égale au double de la fréquen e maximale ontenue
dans le signal analogique.
♥ f e > 2f max
f e = 1/Te fréquen e d'é hantillonnage, f max fréquen e maximale du signal analogique
Appli ation : la fréquen e d'é hantillonnage f e = 44 100 Hz d'un CD respe te le ritère puisque la fréquen e sonore maximale audible pour un être humain est f max = 20 000 Hz.
NB : la fréquen e d'é hantillonnage se note aussi en Sa/s pour sample (é hantillon) par se onde.
Propriété : le nombre d'é hantillons né essaires pour é hantillonner un signal de durée ∆t s'é rit
nb é hantillons =
•
∆t
= ∆t × f e
Te
Quanti ation = dis rétisation des valeurs é hantillonnées ave un pas de quanti ation p
NB : la quanti ation est dite uniforme si le pas p est le même pour tout l'intervalle des valeurs é hantillonnées.
Chaque valeur dis rétisée est odée en binaire sur N bits. Conséquen es :
2N valeurs possibles
et
p = ∆s/2N
∆s amplitude de valeurs du signal analogique
NB : l'erreur de quanti ation (diéren e maximale entre la valeur é hantillonnée et la valeur quantiée) est égale à p/2.
Propriété : l'espa e mémoire o upé en o tets par un signal numérique orrespondant à un signal
analogique de durée ∆t s'é rit (à savoir retrouver)
espa e mémoire en o tets =
nb d'é hantillons × nb de bits par é hantillon ∆t × f e × N
=
nb de bits par o tet
8
Exemple : 2 h de musique sur un CD (quanti ation sur 16 bits) o upe un espa e mémoire de
2 × 3 600 × 44 100 × 16 ÷ 8 = 605 Mo (megao tet)
En informatique, 1 ko = 210 = 1 024 ≃ 103 o tets et 1 Mo = 220 = 1 048 576 ≃ 106 o tets.
Repliement de spe tre
Si le ritère de NyquistShannon n'est pas respe té (= si la fréquen e d'é hantillonnage est insusante),
♥ le spe tre du signal numérisé fait apparaître de fausses fréquen es, plus faibles que les fréquen es
réellement ontenues dans le signal analogique = phénomène de repliement de spe tre.
Justi ation expérimentale : dans un expérien e de
strobos opie ave un disque en rotation uniforme, si
la fréquen e des é lairs lumineux n'est pas susante,
on observe un mouvement apparent du disque à une
vitesse plus faible que la vitesse réelle.
NB : on observe le même eet pour les roues de voiture qui semblent ralentir ou tourner à l'envers au inéma ou à la télévision,
où les images sont elles aussi é hantillonnées (24 images par se onde au inéma).
Pour éviter le repliement de spe tre, une solution onsiste à supprimer les hautes fréquen es du signal
analogique avant numérisation, de manière à respe ter le ritère de NyquistShannon. On parle de
ltre (passe-bas) anti-repliement (antialiasing en anglais).
•
Cas de l'os illos ope numérique
L'algorithme (le plus utilisé) pour al uler le spe tre à partir des tensions numérisées est la FFT = Fast
Fourier Transform (transformée de Fourier rapide).
Pour éviter le repliement de spe tre sur l'os illos ope numérique, il faut lire la valeur de la fréquen e
♥ d'é hantillonnage utilisée et vérier que le ritère de NyquistShannon est respe té.
La valeur de la fréquen e d'é hantillonnage d'un os illos ope numérique n'est pas xe, elle dépend de la base
de temps hoisie.
Filtrage passe-bas numérique
But : réaliser le ltrage passe-bas d'ordre 1 d'un signal numérique.
Soit s[ i ] les valeurs des é hantillons, tels que s[ i ] = s(ti = i × Te ) ave s(t) le signal analogique et i ∈ N.
Utiliser l'équation diérentielle liant l'entrée et la sortie du ltre et approximer la dérivée première
temporelle par la pente entre deux é hantillons onsé utifs.
1
s
1
1 ds
⇔ s + jω s / ω0 = e ⇔ s(t) +
= e(t) ⇔ s[ i ] +
H= =
e
1 + jω/ω0
ω0 dt
ω0
ave
d'où l'on déduit
ds
dt
≃
ti
ds
dt
= e[ i ]
ti
s[ i + 1 ] − s[ i ]
s(ti + Te ) − s(ti )
=
Te
Te
s[ i + 1 ] = s[ i ] + ω0 Te e[ i ] − s[ i ]
Il reste à programmer le al ul su essif des valeurs de s ave une bou le for.
NB : pour un ltre d'ordre 2, l'algorithme de al ul est plus ompliqué ar il faut approximer une dérivée temporelle d'ordre 2.
Thermodynamique
1 Bases de la thermodynamique
L'essentiel du
ours
Vo abulaire de la thermodynamique
Un système thermodynamique est la matière ontenue dans une surfa e fermée réelle (= délimitée
par des parois) ou tive (= surfa e de ontrle). Tout e qui n'appartient pas au système est appelé
milieu extérieur.
NB : un système thermodynamique ontient un très grand nombre de parti ules e qui ex lut d'étudier toutes les parti ules
indépendamment. Exemple : 18 g d'eau soit 1 mol d'eau ontient 6, 02 · 1023 molé ules d'eau (nombre d'Avogadro).
Un système est
• fermé s'il n'y a pas d'é hange de matière entre le système et le milieu extérieur ;
• ouvert s'il y a des é hanges de matière (entrée ou sortie) entre le système et le milieu extérieur ;
• isolé s'il n'y pas d'é hange d'énergie (mé anique et thermique) entre le système et le milieu extérieur.
Au ours d'une transformation, le système é hange ave le milieu extérieur de l'énergie sous deux formes :
• travail mé anique W des for es pressantes extérieures appliquées au système ;
• transfert thermique Q é hangé par ondu tion, par onve tion ou par rayonnement.
♥ Une énergie (W ou Q) est omptée positivement si elle est reçue par le système, négativement sinon.
Un système à l'équilibre est ara térisé par des paramètres d'état : pression P, température T, volume V, quantité de matière n. . . Une relation mathématique entre les paramètres d'état est appelée
équation d'état.
Une transformation est
• isotherme si la température T du système reste • monotherme si la température extérieure Text
reste onstante ;
onstante ;
• isobare si la pression P du système reste onstante ; • monobare si la pression extérieure Pext reste
onstante ;
• iso hore si le volume V du système reste onstant ;
• quasi statique si le système passe par une suite • réversible si la transformation est quasi statique et
qu'on peut revenir à l'état initial en repassant par
ontinue d'états d'équilibre ;
les mêmes états antérieurs ;
• adiabatique s'il n'y a pas d'é hange thermique ave
l'extérieur.
Une transformation adiabatique n'est pas né essairement isotherme : on peut faire varier la température d'un
orps sans au un transfert thermique, en le omprimant ou en le dilatant
.
NB : des parois imperméables à la haleur sont dites alorifugées ou athermanes. Dans e as, la transformation est adiabatique.
(une détente adiabatique d'un gaz le
refroidit)
Un thermostat ou une sour e de haleur est un système qui peut é hanger de la haleur sans que sa
température ne varie (exemple : l'atmosphère, un four. . .).
Travail W des for es pressantes extérieures
Lors d'une transformation entre deux états A et B, le travail mé anique é hangé par le système est
♥ WAB = −
Z
B
A
Pext dV
(démonstration simple en onsidérant le as d'un gaz dans un ylindre)
:
R
• transformation iso hore : W = 0
• transformation quasistatique : W = − P dV
• transformation monobare : W = −Pext ∆V
• transformation isobare quasi statique : W = −P ∆V
Propriétés :
• W > 0 au ours d'une ompression, W < 0 au ours d'une détente ;
Cas parti uliers
•
•
pour une transformation quasi statique, W est l'aire sous la ourbe dans un diagramme (P, V) =
diagramme de Clapeyron.
Transfert thermique Q
:
apa ité thermique du système à volume onstant (J.K−1)
Cas d'une transformation à volume
♥ Qv =
RB
A
Cv
Cv dT
onstant
:
♥ Qp = A Cp dT Cp apa ité thermique du système à pression onstante (J.K−1 )
Si les apa ités thermiques sont indépendantes de la température ( as usuel),
Qv = Cv ∆T transfert thermique iso hore
Qp = Cp ∆T transfert thermique isobare
Propriétés :
• Cp ≃ Cv = C apa ité thermique pour une phase ondensée (= liquide ou solide) ;
• c = C/m est la apa ité thermique massique, cm = C/n est la apa ité thermique molaire.
Exemple : ceau = 4 180 J.K−1 .kg−1 (pour élever de 1C une masse de 1 kg d'eau, il faut fournir 4 180 J).
•
Cas d'une transformation à pression
onstante
RB
Cas du gaz parfait
Dans le modèle du gaz parfait,
• les parti ules du gaz n'interagissent pas à distan e (les seules intera tions sont les ho s),
• les parti ules n'ont pas de dimension propre ( e sont des point).
• L'équation d'état du gaz parfait est
♥ PV = nRT R = 8, 31 J.K−1 .mol−1 onstante des gaz parfaits (indépendante de la nature du gaz)
•
P est en pas
10−3 m3 ).
al
(1 bar = 105 Pa), T est en kelvin (T(K) = T(C) + 273), V est en mètre-
Appli ation : le volume molaire d'un gaz parfait, à 20C et sous 1 bar, est
On pose
•
Loi de
γ = cp /cv
γ = 7/5 = 1, 40
ube
(1 L =
Vm = 24 L.mol−1
pour un gaz parfait diatomique ( as appro hé de l'air).
Lapla e :
♥ PV = Cte
γ
pour une transformation adiabatique, quasi statique et pour un gaz parfait
Bien vérier (et onnaître) les trois onditions d'appli ation !
NB : la loi de Lapla e se démontre à partir du 1er prin ipe.
: la loi de Lapla e peut se réé rire TVγ−1 = Cte ou P1−γ Tγ = Cte en utilisant l'équation
d'état du gaz parfait (à savoir faire).
Propriété
•
•
•
•
= as intermédiaire entre isotherme et adiabatique :
te
k = 1 : PV = C don transformation isotherme,
k = γ : PVγ = Cte don transformation adiabatique quasi statique.
Transformation polytropique
Diagramme de
PVk = Cte
Clapeyron :
•
•
Les isothermes sont des bran hes d'hyperboles ; plus la température est élevée, plus l'isotherme est haute ;
les adiabatiques sont plus pentues que les isothermes.
Diagramme valable uniquement dans le domaine gazeux : au-delà d'une ertaine pression (qui dépend de la
température), le gaz se liquée
.
(voir leçon sur les
hangements d'état)
Thermodynamique
2 Premier prin ipe
L'essentiel du
ours
Énergie totale, énergie interne d'un système thermodynamique
♥ E = U + Em énergie totale d'un système thermodynamique
énergie interne = somme des énergies inétiques d'agitation thermique des parti ules (à l'é helle
mi ros opique) et des énergies potentielles d'intera tion entre les parti ules du système ;
• U
P
Ep somme de l'énergie inétique du système (à l'é helle ma ros opique) et des énergies potentielles liées aux for es extérieures (énergie potentielle de pesanteur notamment).
• Em
énergie mé anique
=E +
Rappels
: E = (1/2) mvG2 ave m la masse du système et vG la vitesse du entre d'inertie, Epp =
mgzG + Cte énergie potentielle de pesanteur ave zG l'altitude du entre d'inertie.
Propriétés
:
• U est une fon tion d'état (don sa variation ne dépend pas du hemin suivi) ;
• U est extensive (proportionnelle à la quantité de matière ou à la masse) et additive (si on réunit deux
systèmes, leurs énergies internes s'additionnent).
Énon é du premier prin ipe pour un système fermé
C'est l'é riture en thermodynamique de la onservation de l'énergie :
la variation de l'énergie d'un
système = somme des énergies (algébriques) é hangées par le système ave
l'extérieur
soit
♥ ∆E = W + Q + W pour un système fermé
′
• W travail des for es pressantes appliquées sur le système,
• Q transfert thermique é hangé par le système ave l'extérieur,
• W′ autres travaux é hangés par le système ave l'extérieur (exemples : for es de frottement ave les
parois si le système est un uide visqueux, travail é hangé ave les parties mobiles. . .).
Pour un système
•
, il existe une formulation spé ique
ouvert
(voir
Cas d'un système fermé ma ros opiquement au repos
.
ours de 2e année)
(Em = Cte ) et tel que W′ = 0 :
( as essentiellement au programme en 1re année)
♥ ∆U = W + Q
W et W sont des
termes d'é hange et non des fon tions d'état : leur valeur dépend (a priori) du hemin
suivi et n'ont de sens qu'au ours d'une transformation.
Fon tion enthalpie
fon tion enthalpie (J)
• H est une fon tion d'état (sa variation ne dépend don pas du hemin suivi) additive (si on réunit deux
systèmes, leurs enthalpies s'additionnent).
♥ H = U + PV
:
♥ ∆H = Qp pour une transformation monobare entre deux états d'équilibre mé anique
Propriété fondamentale
Démonstration (à savoir faire) : é rire le premier prin ipe ave
Conséquen e
W = −Pext∆V = −P2 V2 + P1 V1
: pour une transformation isobare quasi statique, dH = δQp = Cp dT d'où
♥ Cp = (∂H/∂T)P
•
Cas d'une phase
ondensée
PC
♥ ∆U PC
= ∆H = C ∆T
(= liquide ou solide) : H = H(T), U = U(T) et Cv ≃ Cp = C d'où
pour une phase ondensée de apa ité thermique C indépendante de T
•
Cas du gaz parfait
Première loi de
Joule :
♥ L'énergie interne d'un gaz parfait ne dépend que de sa température
soit
GP
U = U(T)
Gaz parfait monoatomique : U = (3/2) nRT (résultat issu du al ul de la pression inétique et de la dénition de la
température inétique).
•
Joule :
Se onde loi de
♥ L'enthalpie d'un gaz parfait ne dépend que de sa température
soit
GP
H = H(T)
NB : onséquen e dire te de la première loi de Joule sa hant que H = U + PV = U + nRT pour un gaz parfait.
Conséquen es
:
• La variation d'énergie interne d'un gaz parfait s'é rit,
,
indépendamment de la transformation
♥ ∆U GP
= Cv ∆T
• La variation d'enthalpie d'un gaz parfait s'é rit,
♥ ∆H GP
= Cp ∆T
• Relation de
Mayer (déduite par dérivation par rapport à T de H = U + PV = U + nRT) :
♥ Cp − Cv GP
= nR
En utilisant γ = Cp /Cv , on en déduit
=
♥ Cv GP
nR
γ−1
et Cp =
GP
γ nR
γ−1
,
indépendamment de la transformation
Thermodynamique
3 Se ond prin ipe
L'essentiel du
ours
Énon é
Pour tout système thermodynamique fermé subissant une transformation au ours de laquelle il é hange
des transferts thermiques Qi ave des sour es de haleur (= thermostats) à des températures Ti , il existe
une fon tion d'état S appelée entropie, extensive, dont la variation est telle que
• Sé
♥
∆S = Sé
h
+S
réée
• S
h
=
X Qi
Ti
i
entropie é hangée
réée entropie
réée
ave
(
S
S
réée
réée
ave
=0
>0
Ti
en kelvin
si la transformation est réversible
si la transformation est irréversible
: le se ond prin ipe impose S réée > 0 au ours d'une transformation don il
impose un sens d'évolution : le se ond prin ipe est un prin ipe d'évolution thermodynamique.
Conséquen es :
• la variation de S est indépendante du hemin suivi puisque S est une fon tion d'état ;
• S est dénie à une onstante près puisque seule ∆S est dénie dans le se ond prin ipe ;
• [ S ] = J.K−1 ar S a même unité que Sé h ;
• pour un système de masse m et de quantité de matière n, S étant extensive, on peut poser s = S/m
l'entropie massique en J.K−1 .kg−1 ou sm = S/n l'entropie molaire en J.K−1.mol−1 .
Cas parti uliers :
• ∆S > 0 pour un système thermiquement isolé ar Sé h = 0 dans e as ;
Interprétation physique
NB : 'est par exemple le as pour le système formé par l'Univers. . .
pour une transformation adiabatique (Sé h = 0) réversible (S réée = 0) :
Une transformation adiabatique réversible est une transformation isentropique
• ∆S = 0
:
les frottements, qui onvertissent de l'énergie mé anique en énergie thermique ; la transformation
inverse ne réalisant pas la onversion inverse, elle est irréversible ;
des inhomogénéités de température : le phénomène de diusion thermique est par nature irréversible
(diusion du haud vers le froid et non l'inverse) ;
une absen e d'équilibre mé anique du système ave l'extérieur (P 6= Pext) au ours d'une transformation brutale : la transformation n'étant pas quasi statique, elle ne peut pas être réversible (voir la
dénition de la réversibilité).
Causes d'irréversibilité
•
•
•
Expressions de l'entropie d'un système
NB : L'établissement de es expressions est hors-programme ; elles seront systématiquement fournies par les énon és.
•
Cas d'un gaz parfait
S=
:
γ nR
nR
γ nR
nR
ln T + nR ln V + Cte =
ln T − nR ln P + Cte =
ln P +
ln V + Cte
γ−1
γ−1
γ−1
γ−1
Propriété
: pour une transformation adiabatique réversible = isentropique, ∆S = 0 d'où
nR
γ nR
nR
ln P +
ln V + Cte = Cte ⇔
ln PVγ = Cte ⇔ PVγ = Cte
γ−1
γ−1
γ−1
•
Cas d'une phase
ondensée
(= liquide ou solide) de apa ité thermique C :
S = C ln T + Cte (T en kelvin)
: loi de Lapla e
Bilan entropique
Méthode
➀
➁
➂
➃
:
omment faire un bilan entropique pour une transformation ?
dénir lairement le système fermé onsidéré ;
déterminer ∆S du système en utilisant l'expression de S fournie ;
déterminer les transferts thermiques Qi ave les thermostats de températures Ti et en déduire Sé h ;
é rire que S réée = ∆S − Sé h et vérier que S réée > 0.
: on pla e un solide de température initiale θ1 = 20C ave un four thermostaté à θ2 =
Le solide a pour apa ité thermique C = 100 J.K−1 . Faire le bilan entropique.
1. S = {solide}
2. ∆S = C ln T2 −C ln T1 = C ln (T2 /T1 ) (la température nale du solide est θ2 ) soit ∆S = 29, 4 J.K−1
Appli ation
120C.
Températures à
3.
onvertir en kelvin.
S = phase ondensée évoluant de manière isobare
Q/T2 = 25, 4 J.K−1 (un seul thermostat i i) ;
don
Q = ∆H = C ∆T = 10 000 J
d'où Sé h =
4. S réée = ∆S − Sé h = 4, 0 J.K−1 > 0 don la transformation est irréversible.
I i, la ause d'irréversibilité est l'inhomogénéité de température dans le solide au ours
transformation (le température n'est uniforme qu'au début et à la n de la transformation).
de la
Thermodynamique
4 Changement d'état d'un
L'essentiel du
Vo abulaire
Un
orps pur
orps pur
ours
est un système thermodynamique onstitué d'une seule espè e himique.
NB : l'air n'est pas un orps pur : 'est un mélange de O2 (20 %) et N2 (80 %).
On distingue trois états physiques (ou phases) pour la matière : solide, liquide et gaz (ou vapeur).
vaporisation 6= évaporation = passage des parti ules de la phase liquide à la phase vapeur par
un phénomène de diusion (eau qui s'évapore dans
un ré ipient, linge qui sè he. . .).
NB : il existe un quatrième état de la matière : le plasma
= mélange d'ions et d'éle trons, qu'on trouve dans les
é rans à plasma, les étoiles. . .
Étude des riptive
♥
La température de hangement d'état d'un orps pur dépend de la pression.
NB : par exemple, la température d'ébullition de l'eau est supérieure à 100C dans une o otte-minute (pression élevée) et
inférieure à 100C en altitude (pression faible). On peut même faire bouillir de l'eau à température ambiante sous une
lo he à vide.
•
Diagramme d'équilibre
(P, T)
•
•
III = point triple : oexisten e à l'équilibre des
trois états de la matière ;
C = point ritique : point au-delà duquel les
états liquide et gaz ne sont plus distinguables =
uide super ritique.
: la pente de la ourbe
d'équilibre solide ↔ liquide est négative.
Cas parti ulier de l'eau
NB : lorsqu'on omprime de la gla e de manière isotherme, on fait
don fondre la gla e.
NB : par hauage isobare à une température supérieure à TIII , on passe du solide au liquide puis au gaz (moyen mnémote hnique).
•
Diagramme
(P, v)
pour un équilibre diphasé liquide-vapeur
Le domaine diphasé liquide-vapeur est situé sous la ourbe
(sommet = point ritique C) :
• la frontière liquide/liq+vap est la ourbe d'ébullition ;
• la frontière liq+vap/vapeur est la ourbe de rosée.
de saturation
Une isotherme est
• quasi verti ale dans le domaine liquide ( ar le liquide est quasi in ompressible) ;
• horizontale dans le domaine diphasé liq+vap ( ar à T = Cte , l'équilibre diphasé a lieu à P = Cte ) ;
• en forme d'hyperbole dans le domaine gazeux si le modèle du gaz parfait s'applique (voir leçon sur les
bases de la thermodynamique).
•
Théorème des moments
♥ x=
:
LM
v(T) − v liq (T)
=
v vap (T) − v liq (T)
LV
ave
x = mvap /m
titre massique en vapeur dans le domaine diphasé liq+vap
égal par dénition au rapport de la masse de vapeur sur la masse totale.
NB : démonstration basée sur l'extensivité du volume : le volume total est égal à la somme du volume de phase liquide et du
volume de phase vapeur.
Les trois volumes massiques doivent être pris à la même température (= sur la même isotherme).
Cas parti uliers
•
: x = 0 si M ≡ L, x = 1 si M ≡ V (bon moyen pour retrouver la relation !)
Étude thermodynamique
Enthalpie massique de
♥ ℓ12 (T) = ∆h12 (T)
NB :
ℓ12 (T)
hangement d'état
enthalpie massique de hangement d'état 1 → 2 à la température T
est aussi appelée haleur latente massique de hangement d'état.
: puisque ∆h = q pour une transformation isobare (voir leçon sur le 1er prin ipe),
ℓ12 (T) = q12 transfert thermique pour le hangement d'état 1 → 2 isobare à la température T
Propriété
Au ours d'un hangement d'état isobare, le système é hange de la haleur sans variation de température.
Exemples : sous 1 bar,
• ℓfus (0C) = 334 kJ.kg−1 enthalpie massique de fusion de l'eau,
• ℓvap (100C) = 2 250 kJ.kg−1 enthalpie massique de vaporisation
de l'eau.
NB : les valeurs des enthalpies de hangement d'état dépendent de la température à laquelle on réalise le hangement d'état
(don dépendent de la pression).
•
Entropie massique de
♥ ∆s12 (T) = ∆h12 (T)
T
hangement d'état
entropie massique de hangement d'état 1 → 2 à la température T
NB : démonstration basée sur le se ond prin ipe ∆s = sé h + s réée en onsidérant le as d'un hangement d'état 1 → 2 réversible,
isobare et isotherme à la température T (s étant une fon tion d'état, on peut hoisir un hemin arbitraire) : s réée = 0 et
sé h = q12 /T ave q12 = ∆h12 ar la transformation est isobare.
Propriété
NB :
: ∆h12 (T) = ℓ12 (T) don on peut aussi é rire
∆s12 (T) =
ℓ12 (T)
T
pour les hangements d'état solide → liquide et liquide → vapeur don ∆s12 > 0 aussi : es hangements d'état
s'a ompagnent d'une augmentation de l'entropie = du désordre du système (interprétation statistique de l'entropie).
ℓ12 (T) > 0
Méthode : omment traiter un problème de alorimétrie ave
➀
➁
➂
hangement d'état ?
dénir omme système thermodynamique le alorimètre et son ontenu ;
é rire que ∆H = Q (transformation isobare) et que Q = 0 ( alorimètre alorifugé), d'où ∆H = 0 ;
P
dire que par additivité de l'enthalpie, ∆H = i ∆Hi pour tous les onstituants i ;
NB : ne pas oublier d'in lure le alorimètre si sa apa ité thermique est prise en ompte.
➃
si le onstituant i est une phase ondensée qui ne hange pas d'état, ∆Hi = Ci ∆Ti ;
NB : on peut mettre les températures en C puisqu'il s'agit d'une diéren e.
➄
➅
si le onstituant i hange d'état, utiliser le fait que H étant une fon tion d'état, sa variation
ne dépend pas du hemin suivi : dénir des états tifs intermédiaires et utiliser le fait que
∆H12 (T) = mi ℓ12 (T) au ours du hangement d'état ;
rempla er les ∆Hi dans Pi ∆Hi = 0 et en déduire la grandeur re her hée (une apa ité thermique
massique ou une température la plupart du temps).
Il faut dans ertains as faire une hypothèse sur l'état physique nal (entièrement liquide, entièrement
solide ou diphasé). Dans e as, ne pas oublier de vérier l'hypothèse à la n !
Thermodynamique
5 Ma hines thermiques
L'essentiel du
ours
Généralités
Une ma hine thermique est un dispositif dans lequel un uide dé rit un y le en é hangeant
• des transferts thermiques Qi ave des sour es de haleur (= thermostats) à des températures Ti ,
• un travail mé anique W ave l'extérieur (travail total sur le y le).
Σ = le uide don les é hanges énergétiques (Qi et W) sont algébrisés par rapport au uide : positifs s'ils
sont reçus par le uide, négatifs s'ils sont édés par le uide.
Propriétés :
• ma hine motri e ⇔ W < 0 ⇔ y le dé rit dans le sens horaire dans (P, V)
• ma hine ré eptri e ⇔ W > 0 ⇔ y le dé rit dans le sens anti-horaire dans (P, V)
NB : moyen mnémote hnique : un moteur qui fon tionne bien tourne omme une horloge .
♥ e a ité e ou rendement r =
énergie utile
puissan e utile
=
énergie dépensée puissan e dépensée
NB : un rendement est toujours < 1, une e a ité peut être > 1.
Ma hines thermiques dithermes
Une ma hine thermique est ditherme si le uide é hange de la haleur uniquement ave deux sour es de
haleur (polytherme = é hanges ave plusieurs sour es, monotherme = é hange ave une seule sour e).
•
Moteur thermique
♥ Un moteur thermique fournit un travail mé anique grâ e à la haleur apportée par la sour e haude.
NB : l'apport de haleur se fait en général grâ e à une réa tion himique de ombustion exothermique.
rmoteur =
−W
QC
Propriété : r < 1
Ordre de grandeur : r ≃ 50 % pour un moteur thermique.
•
Ma hine frigorique
♥ Une ma hine frigorique prélève de la haleur à la sour e froide grâ e à un travail mé anique.
NB : la sour e froide est par exemple l'intérieur d'un réfrigérateur ; la sour e haude est l'air ambiant. Le travail mé anique est
apporté par un ompresseur.
Exemples : un réfrigérateur, un ongélateur, un limatiseur.
efrigo =
QF
W
NB : une ma hine frigorique inverse le sens naturel de l'é hange thermique qui
a lieu spontanément de la sour e haude vers la sour e froide. De l'énergie
thermique est édée à la sour e haude : une ma hine frigorique ré haue la
sour e haude (la piè e par exemple).
•
Pompe à haleur
♥ Une pompe à haleur (PAC) ré haue la sour e haude en prélevant de la haleur à la sour e froide,
grâ e à un travail mé anique.
NB : la sour e haude peut être l'intérieur d'une habitation, la sour e froide étant alors l'air froid extérieur.
ePAC =
−QC
W
Propriétés :
• s héma de fon tionnement identique à elui d'une ma hine fri-
gorique (seul le but hange) ;
• ePAC > 1 : l'énergie utile est supérieure à l'énergie dépensée.
Les expressions du rendement ou de l'e a ité d'une ma hine ne sont pas à onnaître par ÷ur : il faut savoir
les expliquer en identiant le but de la ma hine = énergie utile et l'énergie qui permet de réaliser le but =
énergie dépensée.
Appli ation des prin ipes de la thermodynamique
Appliquer les prin ipes sur un y le : les variations des fon tions d'état sur un y le sont alors nulles.
•
Premier prin ipe appliqué au uide sur un y le :
∆U y le = 0 = W + QF + QC
NB : le uide est un système fermé onsidéré omme étant immobile à l'é helle ma ros opique : on néglige les variations d'énergie
inétique et d'énergie potentielle de pesanteur dans le premier prin ipe.
•
Se ond prin ipe appliqué au uide sur un y le :
∆S y le = 0 =
ave S réée > 0 (= 0 pour un y le réversible).
•
QF
QC
+
+ S réée
TF
TC
Théorème de Carnot
♥ Le rendement ou l'e a ité d'une ma hine thermique est maximal lorsque le y le est réversible.
NB : démonstration liée au fait que S
réée
> 0.
En utilisant les deux prin ipes et en remplaçant dans l'expression de r ou e, on obtient (à savoir faire)
rmax (moteur) = 1 −
Expressions uniquement valables
Méthode :
TF
TC
emax (frigo) =
TF
TC − TF
emax (PAC) =
TC
TC − TF
pour un y le réversible.
omment al uler le rendement ou l'e a ité d'un y le quel onque ?
➀ identier le type de ma hine thermique et en déduire l'expression de son e a ité ;
➁ utiliser le 1er prin ipe pour rempla er W = −QC − QF , e qui évite d'avoir à al uler W.
➂ déterminer QF et QC en utilisant les ara téristiques des transformations orrespondantes ;
Penser à la loi de Lapla e haque fois que les trois onditions d'appli ation sont réunies.
➃ rempla er QF et QC pour al uler l'e a ité ou le rendement.
Exemple de modélisation d'un
y le réel : moteur à essen e
• 0 → 1 : admission,
• 1 → 2 : ompression,
• 2 → 3 : explosion,
• 3 → 4 : détente,
• 4 → 0 : é happement.
NB : dans le y le modélisé, on ne tient pas ompte des phases d'admission et d'é happement ar les travaux mé aniques se
ompensent lors de es phases.
I i, QC = Q23 = Cv (T3 − T2 ) et QF = Q41 = Cv (T1 − T4 )
ar les transformations sont iso hores.
Thermodynamique
6 Diagrammes d'état d'un uide pur réel
L'essentiel du
ours
Diagramme de Clapeyron (P, v)
Les ourbes isothermes sont
•
quasi verti ales dans la partie liquide
très peu ompressible
ar un liquide est
horizontales dans la partie liquide-vapeur ar pour un
état d'équilibre diphasé, T = Cte implique P = Cte
• des bran hes d'hyperboles dans la partie gazeuse si le gaz
est supposé parfait ar P = nRT/V = (RT/M) × 1/v
•
La frontière qui délimite la partie liquide-vapeur est la ourbe de saturation, dont le sommet est le
ritique ; au-delà de e point, le uide est dans un état super ritique.
• La portion de la ourbe de saturation à gau he de C est la ourbe d'ébullition ; les points sur ette
ourbe sont dans un état de liquide saturant ;
• la portion de la ourbe de saturation à droite de C est la ourbe de rosée ; les points sur ette
ourbe sont dans un état de vapeur saturante.
point
La pression d'équilibre liquide-vapeur à la température T est la pression de vapeur saturante Psat (T).
♥ x=
LM
vM − v liq
=
LV
v vap − v liq
théorème des moments ave x =
mvap
le titre massique en vapeur en M
m
Diagramme entropique (T, s)
Les ourbes isobares sont
•
quasi
onfondues ave
la
ourbe d'ébullition dans la
partie liquide (admis)
ar pour un
état d'équilibre diphasé, P = Cte implique T = Cte
• des bran hes d'exponentielles dans la partie gazeuse
si le gaz est supposé parfait. Démonstration (à onnaître) :
utiliser l'identité thermodynamique dh = T ds + v dP ave
dh = cp dT pour un gaz parfait.
•
♥ x=
LM
sM − sliq
=
LV
svap − sliq
horizontales dans la partie liquide-vapeur
théorème des moments
Diagramme de Mollier (h, s)
•
Dans la partie liquide-vapeur, les
ourbes isobares et
ar pour un état d'équilibre
diphasé, P = Cte implique T = Cte et forment des portions de droites de pente positive.
Démonstration : utiliser dh = T ds + v dP.
isothermes sont
•
Les
onfondues
ourbes isothermes tendent vers des droites ho-
rizontales dans la partie vapeur
dh = cp dT.
♥ x=
LM
hM − hliq
sM − sliq
=
=
LV
svap − sliq
hvap − hliq
théorème des moments
ar pour un gaz parfait,
Diagramme des frigoristes (Plog, h)
Les ourbes isothermes sont
•
•
horizontales dans la partie liquide-vapeur ar pour un
état d'équilibre diphasé, T = Cte implique P = Cte
tendent vers des droites verti ales dans la partie ga-
ar dans e as, le modèle du gaz
parfait s'applique ave dh = cp dT.
zeuse à faible pression
♥ x=
LM
hM − hliq
=
LV
hvap − hliq
théorème des moments
Propriétés générales
Soit G une grandeur physique ara téristique du système (paramètre d'état ou fon tion d'état), additive
et extensive, et g la grandeur massique asso iée.
Exemples : volume V, enthalpie H, entropie S. . .
Méthode :
omment démontrer un théorème des moments pour une grandeur massique g ?
➀ utiliser l'additivité de la grandeur G pour é rire G = Gliq + Gvap où Gliq et Gvap sont les grandeurs G pour la phase liquide et pour la phase vapeur ;
➁ utiliser l'extensivité de la grandeur G pour é rire
G=m×g
Gliq = mliq × g liq
Gvap = mvap × g vap
ave g , g liq et g vap les grandeurs massiques pour le système, la phase liquide et la phase vapeur ;
Les grandeurs g , g liq et g vap doivent être dénies à la même pression et à la même température que
elles du système.
➂ rempla er mvap = x × m et mliq = (1 − x) × m puis isoler x.
♥ g = x g vap + (1 − x) g liq
Démonstration : voir he méthode pré édente.
: la variation d'enthalpie lors d'un hangement isotherme à T
points A et B appartenant au domaine diphasé liquide-vapeur s'é rit
Appli ation
(don
isobare)
∆ h = hB − hA = xB hvap + (1 − xB ) hliq − xA hvap + (1 − xA ) hliq
= (xB − xA ) hvap − hliq
A→B
= (xB − xA ) ℓvap (T)
entre deux
Thermodynamique
7 Thermodynamique industrielle
L'essentiel du
ours
Prin ipes de la thermodynamique pour un système ouvert en régime stationnaire
Dans toute la suite, ∆ x signie variation de la grandeur x entre l'entrée et la sortie.
e→s
•
♥
1 prin ipe pour un dispositif à 1 entrée et 1 sortie
er
∆ h + (1/2) c2 + gz = wi + q
e→s
(formulation du 1er prin ipe en terme d'énergies massiques)
• h enthalpie massique du uide, c vitesse du uide, z altitude du uide,
• wi travail indiqué massique = travail é hangé par le uide ave les parties mobiles,
• q transfert thermique massique é hangé par le uide ave l'extérieur.
NB : (1/2) c2 est l'énergie inétique massique, gz est l'énergie potentielle de pesanteur massique.
Démonstration (à onnaître absolument) :
Appliquer le 1er prin ipe entre t et t + dt au système
fermé Σ tel que
• Σ(t) = Σ0 (t) + dme
• Σ(t + dt) = Σ0 (t + dt) + dms
NB : le système ouvert Σ0 est appelé volume ou surfa e de ontrle.
•
♥
1 prin ipe pour un dispositif à plusieurs entrées et/ou plusieurs sorties
er
X
sorties
X
Dms hs + (1/2) cs2 + gz s −
Dme he + (1/2) ce2 + gz e = Pi + Pth
entrées
Pi puissan e indiquée, Pth puissan e thermique é hangée par le uide ave l'extérieur
X
X
Dme =
Dms
(équivalent à la loi des n÷uds en éle tro inétique)
:
Propriété
entrées
sorties
Cas parti ulier : pour un système à 1 entrée et 1 sortie, Dme = Dms = Dm d'où
h + (1/2) c2 + gz = Pi + Pth
♥ Dm e∆
→s
Pi = Dm wi et Pth = Dm q
•
♥
(formulation du 1er prin ipe en terme de puissan es)
(démonstrations utilisant la relation puissan e = énergie / durée)
2 prin ipe pour un dispositif à 1 entrée et 1 sortie
e
∆s=
e→s
q
+s
Text
Méthode :
réée
omment exprimer la variation d'enthalpie d'un uide ?
➀ si le uide est assimilé à un gaz parfait et qu'il reste gazeux, ∆h = cp ∆T
NB : cp =
Cp
γ nR
γR
=
=
ave M la masse molaire du gaz.
m
m(γ − 1)
M (γ − 1)
➁ si le uide reste liquide, ∆h = c ∆T (si c apa ité thermique massique du liquide indépendante de T)
➂ si le uide subit un hangement d'état omplet, ∆h = ℓ (enthalpie massique de hangement d'état)
➃ si le uide subit un hangement d'état in omplet, utiliser h(M) = x hv + (1 − x) hℓ
➄ si on dispose d'un diagramme des frigoristes, on peut lire graphiquement ∆h
•
Dispositifs ouverts usuels
Détendeur alorifugé
∆ c ≃ ∆ z ≃ 0, wi = 0 (absen e de partie mobile) et q = 0 ( alorifugé)
e→s
e→s
d'où ∆ h = 0
e→s
•
détente isenthalpe
Tuyère alorifugée
∆ z ≃ 0, ∆ c = c2 − c1 ≃ c2 , wi = 0 (absen e de partie mobile) et q = 0 ( alorifugé)
e→s
e→s
d'où ∆ h + (1/2) c2 2 = 0
e→s
•
Mélangeur ou séparateur alorifugé
c ≃ Cte , z ≃ Cte , Pi = 0 (absen e de partie mobile) et Pth = 0 ( alorifugé)
d'où Dm3 h3 − Dm2 h2 − Dm1 h1 = 0
•
É hangeur thermique globalement alorifugé
c ≃ Cte , z ≃ Cte , Pi = 0 (absen e de partie mobile) et Pth = 0 ( alorifugé)
d'où Dm1 hs1 + Dm2 hs2 − Dm1 he1 + Dm2 he2 = 0
soit Dm1 ∆h + Dm2 ∆h = 0
e1→s1
•
e2→s2
Turbine alorifugée
∆ c ≃ ∆ z ≃ 0, q = 0 ( alorifugé)
e→s
e→s
d'où ∆ h = wi < 0
e→s
•
(travail édé par le uide aux parties mobiles don négatif)
Compresseur alorifugé
∆ c ≃ ∆ z ≃ 0, q = 0 ( alorifugé)
e→s
e→s
d'où ∆ h = wi > 0
e→s
(travail reçu par le uide de la part des parties mobiles don positif)
Exemple de y le frigorique
Des ription du y le
• 1 → 2 : passage dans le ompresseur, le uide gazeux s'é haue ;
NB : si la ompression est adiabatique et réversible, elle est isentropique ; et si le gaz est supposé parfait, on peut appliquer
les lois de Lapla e.
• 2 → 3 : passage dans l'é hangeur thermique isobare ( ondenseur) en onta t ave la sour e haude =
l'extérieur du frigo ; le uide ède de la haleur et se liquée ;
• 3 → 4 : passage dans le détendeur isenthalpe ; la pression diminue et le uide se refroidit ;
• 4 → 1 : passage dans l'é hangeur thermique isobare (évaporateur) en onta t ave la sour e froide =
l'intérieur du frigo ; le uide reçoit de la haleur et se vaporise.
Expression de l'e a ité
♥ e a ité ou rendement =
énergie ou puissan e utile
énergie ou puissan e dépensée
NB : un rendement est inférieur à 1, une e a ité peut être > 1.
=
q41
w12
pour la ma hine frigorique
Thermodynamique
8 Condu tion thermique
L'essentiel du
ours
Il existe trois modes de transferts thermiques :
• ondu tion : l'agitation thermique se transmet de pro he en pro he à ause des ho s à l'é helle
atomique, sans dépla ement ma ros opique du milieu : as des solides. Exemples : mur d'habitation,
paroi d'un radiateur.
• onve tion : la haleur est transportée grâ e au mouvement du uide (naturel ou for é). Exemples :
ourants thermiques dans l'atmosphère, onve tion de la haleur des radiateurs dans une piè e.
• rayonnement : la haleur est transportée par l'onde éle tromagnétique émise par un orps. Exemples :
rayonnement solaire, rayonnement infrarouge.
Lois de la
♥ ΦS = δQ
ondu tion thermique
ux thermique à travers S
dt
[ ΦS ] = W
δQ transfert thermique à travers S pendant dt
• Cas où le transfert thermique est uniformément réparti sur la surfa e S :
♥ jQ = ΦS ⇔ ΦS = jQ × S
S
NB : on rètement,
jQ
densité (surfa ique) de ux thermique
[ jQ ] = W.m−2
est la puissan e thermique par unité de surfa e.
• Cas où le transfert thermique n'est pas réparti uniformément sur la surfa e S :
x
→
−
→
 Q · dS
♥ ΦS = S −
(prin ipe de dé oupage/sommation : le ux thermique élémentaire à travers dS est δΦ = jQ × dS)
−→
− = −λ −
♥ →
grad T
Q
Loi de Fourier (loi empirique) ave
λ la ondu tivité thermique du milieu
Propriétés :
• le signe − indique que le transfert thermique se fait vers les températures dé roissantes (grad T est
orienté vers les T roissants) don du haud vers le froid −−→
→
• grad T = ∂T/∂x −
u x dans le as d'une diusion thermique unidire tionnelle selon (Ox)
−−→
• [ λ ] = W.K−1 .m−1 (par analyse dimensionnelle de la loi de Fourier)
Ordres de grandeur : λ(air) ≃ 0, 02 W.K−1 .m−1 , λ(verre) ≃ 1 W.K−1 .m−1 , λ( uivre) ≃ 390 W.K−1 .m−1 .
•
Équation de diusion thermique dans le as d'une diusion selon (Ox) et en l'absen e de produ tion
de haleur dans le milieu (à savoir refaire)
Bilan de onservation de l'énergie appliqué à Σ = tran he du milieu de se tion S omprise entre x et x+dx.
dHΣ =
P
δQ = δQe − δQs (1er prin ipe pour une transformation monobare)
δQe
δQs
dHΣ
=
−
= Φe − Φs = Φ(x, t) − Φ(x + dx, t)
dt
dt
dt
dHΣ = dm c dT (phase ondensée) ave dm = ρ dV = ρ S dx
En faisant apparaître
∂Φ
Φ(x + dx, t) − Φ(x, t)
∂T
=
et en utilisant Φ = jQ × S = −λ , on obtient
dx
∂x
∂x
∂T
λ ∂2T
=
∂t
ρc ∂x2
Dans le
as d'un milieu ave
faut ajouter dans
P
δQ
produ tion interne de
un terme supplémentaire
haleur
δQp > 0
(par eet
Joule, à ause de réa tions nu léaires. . .),
orrespondant à
ette
haleur produite.
il
Cas du régime stationnaire
On se pla e dans le as d'une diusion unidire tionnelle selon (Ox).
•
Propriétés
T(x, t) = T(x) don l'équation de diusion devient
♥
d2 T
de solution du type T(x) = ax + b
dx2
En régime stationnaire et dans le as d'une diusion unidire tionelle sans produ tion de haleur dans
le milieu, la température suit une loi ane dans le milieu.
Le ux thermique se onserve à travers toute se tion d'un même tube de ourant thermique.
•
Résistan e thermique
Par analogie ave l'éle tri ité, on pose
♥ T1 − T2 = Rth Φ
Rth résistan e thermique du milieu [ Rth ] = K.W−1
NB : le milieu ondu teur peut avoir une forme quel onque : ou he plane,
ylindrique, sphérique. . .
♥ Rth =
e
λS
(dans le as d'une diusion unidire tionnelle et sans produ tion de haleur dans le milieu)
e épaisseur du milieu, λ ondu tivité thermique du milieu, S surfa e du milieu.
NB : de même, la résistan e éle trique d'un ondu teur de longueur e, de se tion s et de ondu tivité éle trique λ s'é rit Réle
=
e
γs
Intérêt : les résistan es thermiques suivent les mêmes lois d'asso iation que les résistan es éle triques.
Exemple : dans le as d'un mur onstitué de ou hes formées de diérents matériaux, la résistan e
thermique du mur est la somme des résistan es thermiques des ou hes (loi d'asso iation série ar ou hes
traversées par le même ux).
Transfert thermique par
ondu to- onve tion
La ondu to- onve tion a lieu quand un uide en mouvement ( onve tion) é hange de la haleur ave un
solide ( ondu tion). Exemples : l'air qui ir ule ontre les parois d'un radiateur.
Loi de Newton : le ux thermique ondu to- onve tif s'é rit
Φ
=
δQ
= h S (TS − TF )
dt
h oe ient d'é hange ondu to- onve tif, S surfa e du solide
TS température de surfa e du solide, TF température du uide
NB : la valeur de h dépend de la nature du uide et du solide, et de la vitesse du uide par rapport
au solide (plus la vitesse est grande, meilleur est l'é hange thermique don plus grand est h).
♥ R =
1
hS
résistan e thermique ondu to- onve tive
[ R ] = K.W−1
(démonstration immédiate en réé rivant la loi de Newton sous la forme TS − TF = R Φ .)
Éle tromagnétisme
1 Champ magnétique
L'essentiel du
ours
Sour es de hamp magnétique Cartes de hamp magnétique
♥ Les sour es de hamp magnétique sont les ourants éle triques.
(expérien e d'Ørsted, 1820)
NB : dans un aimant, au un ourant n'existe à l'é helle ma ros opique mais des mouvements mi ros opiques de harges sont à
l'origine du hamp magnétique.
Bterrestre ≃ 5 · 10−5 T
unité : tesla (T)
( hamp réé par des mouvements de onve tion du magma)
Une ligne de hamp magnétique est une ourbe tangente en tous ses points au hamp magnétique lo al,
orientée dans le sens du hamp. L'ensemble des lignes de hamp onstitue la arte de hamp d'une
sour e de hamp magnétique.
NB : on peut visualiser expérimentalement les lignes de hamp magnétique ave des boussoles ou ave de la limaille de fer.
Exemple
no 1 : spire ir ulaire
Exemple
no 2 : solénoïde
Exemple
no 3 : aimant
♥ Les lignes de hamp s'enroulent (= tourbillonnent) autour des ourants éle triques.
NB : ritère qui permet de situer les ourants éle triques sur une arte de hamp.
♥
• Lignes de hamp parallèles = zone où le hamp magnétique est uniforme ;
• lignes de hamp qui se resserrent = zone où le hamp magnétique augmente.
NB : propriétés démontrées en 2e année, liées à la onservativité du ux magnétique.
Lien entre le hamp magnétique et l'intensité du ourant
Les expressions (qui seront fournies) font intervenir la onstante µ0 = perméabilité magnétique du vide
µ0 = 4π · 10−7 H.m−1
•
Champ magnétique
−
→
µ0 I
→
sin3 α −
uz
B =
2R
réé par une spire
ir ulaire en un point de son axe
R rayon de la spire et α angle sous lequel est
vu le rayon
NB : il est possible d'exprimer B en fon tion de z puisque sin α = √
R
R2 + z 2
Le hamp est maximal au entre de la spire (α = π/2) :
Bmax ≃ 10−5 T pour I ≃ 1 A et R ≃ 0, 1 m
NB : hamp faible qu'il est possible d'augmenter en superposant un
grand nombre N de spires = en formant une bobine plate.
•
Champ magnétique
−
→
−
B = µ0 nI →
uz
réé à l'intérieur d'un long solénoïde
(voir ours de 2e année pour la démonstration)
n nombre de spires par unité de longueur = densité linéique de spires
En négligeant les eets de bord (= si on n'est pas trop près des bords),
le hamp magnétique intérieur est uniforme.
B ≃ 10−3 T pour n = 1 000 spire/m = 1 spire/mm et I ≃ 1 A
Moment magnétique
→
−
−
♥ →
m=i S
moment magnétique asso ié à une bou le de ourant plane de surfa e S
−
→
→
S = S−
n ve teur-surfa e de la bou le (normal au plan de la bou le), orienté en fon tion
du sens de i d'après la règle du tire-bou hon (ou règle de la main droite).
♥ À tout aimant on peut asso ier un moment magnétique.
NB : à l'é helle mi ros opique, un aimant est modélisable par un ensemble de bou les de ourant ordonnées.
A tions d'un hamp magnétique For es de Lapla e
Tout ondu teur éle trique par ouru par un ourant et pla é dans un hamp magnétique extérieur subit
→
−
une for e magnétique FL appelée for e de Lapla e.
NB : la for e de Lapla e est due aux for es de Lorentz exer ées à l'é helle mi ros opique sur les porteurs de harge mobiles
♥
du ondu teur (voir leçon sur le mouvement d'une parti ule hargée dans un hamp éle trique ou magnétique).
♥
•
−
→
FL =
Z
−
→
→
−
i d ℓ (M) ∧ B ext (M)
M ∈ ondu teur
Barre
−
→
NB : ne pas onfondre le hamp magnétique extérieur B ext et le hamp magné−
→
tique B réé par le ondu teur ( hamp propre).
ondu tri e en translation re tiligne sur deux rails parallèles
→ −
−
−
→
→
F L = i ℓ ∧ B ext
Ve teur longueur
−
→
ℓ
−
→
B ext supposé uniforme
(appliquée au milieu de la barre)
orienté dans le sens de
i.
NB : il y a onversion d'énergie éle trique en mouvement : les rails de
•
Cadre
(rails de Lapla e)
Lapla e sont un moteur éle
ondu teur re tangulaire en rotation dans un
trique rudimentaire.
hamp magnétique extérieur uniforme
Les for es de Lapla e exer ent sur le adre un ouple (résultante nulle) de
moment ve toriel par rapport à O ∈ ∆ axe de rotation
−
→
−
→
♥ →
ML = −
m ∧ B ext
−
→
m moment magnétique du adre
→
−
NB : hamp B ext ⊥ à l'axe de rotation, supposé uniforme et stationnaire.
Ne pas
onfondre le moment ve toriel du
ouple et le moment magnétique du
adre !
Rappel
•
→
−
→
u∆
: le moment s alaire du ouple s'é rit M∆ = ML · −
Généralisation : a tion d'un
hamp magnétique extérieur sur un moment magnétique
−
→
→
−
→
→
m.
m ∧ B ext se généralise à tout ir uit de moment magnétique −
La formule ML = −
→
−
→
−
Propriété : le ouple est nul (= position d'équilibre) si m et B
sont olinéaires.
ext
:
♥ Un ir uit (ou un aimant) libre de tourner tend à aligner son moment magnétique sur la ligne lo ale de
hamp magnétique extérieur.
Conséquen e
NB : 'est le prin ipe de la boussole !
Appli ation
: en réalisant un
à l'aide de plusieurs bobines (par ourues
on peut faire tourner un aimant ou une
hamp magnétique tournant
par des ourants périodiques déphasés les uns par rapport aux autres),
bobine = prin ipe des moteurs éle triques.
NB : le moteur tourne alors à la même vitesse angulaire que elle du hamp tournant, d'où le nom de moteurs syn hrones.
Éle tromagnétisme
2 Indu tion
L'essentiel du
ours
Le phénomène d'indu tion
L'indu tion éle tromagnétique est le phénomène qui onsiste en l'apparition d'un ourant éle trique
♥ (dit induit) ou d'une tension éle trique (dite induite) dans un ir uit ondu teur sous l'a tion d'un hamp
magnétique.
L'indu tion se produit dans deux as de gure :
• ir uit ondu teur xe dans un hamp magnétique variable dans le temps,
• ir uit ondu teur mobile dans un hamp magnétique indépendant du temps = stationnaire.
NB : une même situation peut orrespondre à la fois à es deux as de gure, selon le référentiel dans lequel on se pla e. Exemple :
un aimant qu'on bouge par rapport à une bobine xe ≡ une bobine qu'on bouge par rapport à un aimant xe.
Appli ations : transformateur, alternateur, haut-parleur, plaque à indu tion, freinage par indu tion. . .
♥ Loi de modération de Lenz : les eets (= onséquen es) du phénomène d'indu tion s'opposent aux
auses qui lui ont donné naissan e.
Loi de Faraday
Elle s'applique uniquement pour un
♥
Loi de
ir uit
ondu teur
liforme et fermé.
B
Faraday : e = − dΦ
dt
• e tension induite dans le ir uit
s →
− −
→
• ΦB (t) ux du hamp magnétique à travers la surfa e S formée par le ir uit : Φ = S B · d S
→
−
→−
NB : 'est la formulation intégrale de l'équation lo ale de MaxwellFaraday rot E = −
−
→
∂B
∂t
: on hoisit arbitrairement un sens positif sur le ir uit fermé qui détermine
• le sens de la è he tension pour la fém induite e,
→
−
• le sens du ve teur surfa e élémentaire d S en suivant la règle du tire-bou hon.
Règles d'orientation
Auto-indu tion Indu tan e propre d'un ir uit
→
−
Un ir uit liforme fermé par ouru par un ourant i(t) rée un hamp magnétique propre B p (t). Le ux
magnétique variable de e hamp à travers le même ir uit, appelé ux propre Φp , rée une fém induite
d'après la loi de Faraday, dite fém autoinduite.
♥ Φp = Li
• Φp ux propre à travers le ir uit, i intensité à travers le ir uit,
• L indu tan e propre du ir uit, [L] = H (henry).
Conséquen e
: e = −L
di
aux bornes d'une bobine
dt
en
onvention générateur
(démonstration immédiate en remplaçant Φp = Li dans la loi de Faraday)
La fém induite e s'oppose aux variations du ourant : 'est une onséquen e de la loi de Lenz.
Indu tion mutuelle Coe ient d'indu tion mutuelle
Deux ir uits liformes fermés 1 et 2, par ourus par des intensités i1 (t) et i2 (t), réent des hamps
→
−
→
−
magnétiques propres B 1 (t) et B 2 (t).
→
−
• Le ux Φ1→2 du hamp B 1 à travers le ir uit 2 rée une fém induite dans le ir uit 2,
→
−
• Le ux Φ2→1 du hamp B 2 à travers le ir uit 1 rée une fém induite dans le ir uit 1.
Il y a indu tion mutuelle entre les deux ir uits.
♥ Φ1→2 = M i1
Φ2→1 = M i2
M oe ient de mutuelle indu tan e entre les deux ir uits, [M] = H.
NB : il est remarquable que le oe ient soit le même pour exprimer les deux ux : 'est le théorème de Neumann.
Éle tromagnétisme
3 Éle trostatique
L'essentiel du
ours
Généralités
Il existe deux types de harges éle triques : positive et négative. Deux harges de même signe se repoussent,
deux harges de signes opposés s'attirent. Une harge éle trique a pour unité de mesure le oulomb (C).
La plus petite harge existante, appelée harge élémentaire, est e = 1, 6 · 10−19 C.
NB : un éle tron porte une harge −e, un proton porte une harge +e et un neutron est neutre.
Pro édés de
harge d'un objet
: par frottement (fri tion), par onta t ou par inuen e.
NB : sur un isolant éle trique, les harges restent xes à l'endroit où elles ont été réées.
Appli ations pratiques : ma hine de Wimshurst, éle tros ope, photo opieuse à toner, pistolet à peinture
éle trostatique, lm alimentaire, haut-parleur éle trostatique. . .
Propriétés du hamp éle trostatique Cal ul intégral
Toute harge pon tuelle q0 pla ée en M et en intera tion ave une distribution de harge D est soumise
à une for e éle trostatique donnée par
→
−
−
♥ →
F e = q0 E (M)
→
−
−
→
E (M) hamp éle trostatique réé par D en M
q
→
u OM
♥ E (M) = 4πε OM2 −
0
hamp éle trostatique réé en M par une harge pon tuelle q pla ée en O
ε0 permittivité éle trique du vide (= 8, 85 · 10−12 F.m−1 )
→
−
Il est plus intéressant pour les al uls de réé rire E (M) =
Propriété
→
−
[ E ] = V.m−1
−
→
q
−−→
OM
4πε0 OM3
→
−
: E diverge à partir de q si q > 0, E onverge vers q si q < 0.
D'après le prin ipe de superposition,
x
→
−
• E (M) =
X
→
−
−−→
qi
• E (M) =
Pi M pour D = {qi en Pi }
3
4πε0 Pi M
i
Z
→
−
λ(P) dℓ −−→
• E (M) =
PM pour D linéique
3
P∈D 4πε0 PM
σ(P) dS −−→
PM pour D surfa ique
4πε0 PM3
P∈D
y ρ(P) dτ −−→
→
−
• E (M) =
PM pour D volumique
4πε0 PM3
P∈D
dq(P)
dq(P)
dq(P)
, σ(P) =
, ρ(P) =
densités de harge linéique, surfa ique et volumique.
dℓ
dS
dτ
−
→
NB : pour un modèle volumique = qui orrespond à la réalité, le hamp E est ontinu et déni en tout point de l'espa e.
ave λ(P) =
Si Π est un
♥
plan de symétrie pour les
,
→
−
• en deux points symétriques par rapport à Π, les hamps E sont symétriques par rapport à Π,
→
−
• en un point appartenant à Π, le hamp E est ontenu dans Π.
Si Π∗ est un
♥
harges
plan d'antisymétrie pour les
harges
,
→
−
• en deux points symétriques par rapport à Π∗ , les hamps E sont antisymétriques par rapport à Π∗ ,
→
−
• en un point appartenant à Π∗ , le hamp E est orthogonal à Π∗ .
→
−
Le hamp E est un ve teur-vrai = il respe te es propriétés de symétrie.
Cal ul d'un hamp éle trostatique par le théorème de Gauss
♥
{→
− −
→
E · d S = Qint /ε0
Le ux du hamp éle trostatique à travers une surfa e fermée est égal à la
harge éle trique à l'intérieur de la surfa e divisée par ε0 .
→
−
Dans le al ul du ux, d S doit être orienté vers l'
extérieur à la surfa e.
Méthode :
omment utiliser le théorème de
Gauss pour déterminer −→E ?
→
−
➀ étudier les symétries pour déterminer la dire tion de E et les invarian es pour déterminer les
→
−
variables d'espa e dont ne dépendent pas les omposantes de E ,
➁ dénir une surfa e fermée Σ adaptée à la situation,
→
−
➂ exprimer indépendamment le ux du hamp E à travers ette surfa e et la harge éle trique
intérieure à ette surfa e,
➃ é rire la relation entre le ux et la harge intérieure, donnée par le théorème de
Gauss.
Appli ations lassiques (à savoir faire) :
• boule pleine uniformément hargée de entre O : Σ = sphère de entre O
• l re tiligne inni uniformément hargé : Σ = ylindre de hauteur arbitraire et d'axe le l
• plan inni uniformément hargé : Σ = ylindre de se tion arbitraire, symétrique par rapport au plan
•
Théorème de
Gauss
pour le
hamp gravitationnel
qA qB −
→
−
−GmA mB −
→
→
u AB (for e éle trostatique) ↔ F g =
u AB (for e gravitationnelle)
2
4πε0 AB
AB2
{−
→ −
→
harge ↔ masse et 1/ε0 ↔ −4πG d'où par transposition
G · d S = −4πG Mint
−
→
Utiliser l'analogie F e =
don
Potentiel éle trostatique
Toute harge pon tuelle q0 pla ée en M et en intera tion ave une distribution de harge D possède une
énergie potentielle éle trostatique donnée par
♥ Epe = q0 × V(M)
q
♥ V(M) = 4πε OM
0
V(M) potentiel éle trostatique réé par D en M
potentiel éle trostatique réé en M par une harge pon tuelle q pla ée en O
Par additivité des potentiels,
X
qi
pour D = {qi en Pi }
4πε
Pi M
0
i
Z
λ(P) dℓ
• V(M) =
pour D linéique
4πε
0 PM
P∈D
• V(M) =
Méthode :
➀ par
[V] = V
x σ(P) dS
4πε0 PM
P∈D
y ρ(P) dτ
• V(M) =
4πε0 PM
• V(M) =
pour D surfa ique
pour D volumique
P∈D
omment al uler un hamp éle trostatique ?
si la distribution de harge présente susamment de symétrie et d'invarian es,
Gauss
−−→
→
−
➁ par la relation lo ale E = −grad V en al ulant d'abord le potentiel V (par un al ul intégral s alaire),
➂ par un al ul intégral ve toriel (somme, intégrale simple, double ou triple).
Dans e dernier as, sommer les omposantes ve torielles
utiles =
elles selon la dire tion du hamp.
Appli ation aux ondensateurs
Un ondensateur est formé de deux armatures en vis-à-vis, séparées par un isolant éle trique, soumises à une tension (diéren e de potentiel) et portant des harges opposées.
dénit la apa ité C (en farad) du ondensateur
♥ Q = CU
NB : la harge Q est elle portée par l'armature vers laquelle pointe la è he tension U
♥ Cplan = ε0 S
e
Méthode :
apa ité d'un ondensateur plan de surfa e S et d'espa ement e entre les armatures
omment déterminer l'expression de la apa ité d'un ondensateur ?
→
−
➀ exprimer le hamp E entre les armatures ave le théorème de
Gauss (en négligeant les eets de bords)
➁ exprimer la tension U aux bornes des armatures grâ e à la relation lo ale
➂ rempla er U dans la dénition C = Q/U (la harge Q doit s'éliminer)
NB : vérier la dimension du résultat, sa hant que [ ε0 ] = F.m−1
RB−
→
→ −
A E ·d ℓ = VA −VB = U
Éle tromagnétisme
4 Magnétostatique
L'essentiel du
ours
Généralités
♥ Un hamp magnétique est réé par un ourant éle trique.
Ørsted
Exemples : expérien e d'
(déviation d'une boussole par un ourant éle trique dans un l), éle troaimant. . .
NB : dans le as des aimants permanents (naturels ou arti iels), on admet que le hamp magnétique est dû à des mi ro- ourants
qui ir ulent à l'é helle atomique (mi ro- ourants ampériens).
→
♥ Un hamp magnétique −
B se mesure en tesla (T)
: B(terrestre) ≃ 5 · 10−5 T, B(aimant puissant) ≃ 1 T
NB : dans la pratique, on mesure un hamp magnétique ave une sonde à eet Hall.
Ordres de grandeurs
•
Propriétés du
hamp magnétique
Prin ipe de superposition
Le hamp magnétique réé par plusieurs ourants est égal à la somme des hamps magnétiques réés
♥ par ha un des ourants.
•
♥
Propriétés de symétrie
Si Π est un plan de symétrie pour les ourants,
→
−
• en deux points symétriques par rapport à Π, les hamps B sont antisymétriques par rapport à Π,
→
−
• en un point appartenant à Π, le hamp B est orthogonal à Π.
Si Π∗ est un plan d'antisymétrie pour les ourants,
♥
→
−
• en deux points symétriques par rapport à Π∗ , les hamps B sont symétriques par rapport à Π∗ ,
→
−
• en un point appartenant à Π∗ , le hamp B est ontenu dans Π∗ .
→
−
Le hamp B est un pseudo-ve teur = il respe te es propriétés de symétrie.
Cas d'une spire
ir ulaire
:
Pour l'étude des symétries, il faut tenir ompte
ve torielle.
•
♥
du sens du ourant = traiter l'intensité
omme une è he
Conservativité du ux magnétique
{→
− −
→
B · dS = 0
le hamp magnétique est à ux onservatif
Conséquen es :
• le ux magnétique se onserve sur toute se tion d'un même tube de hamp magnétique,
• le hamp magnétique devient plus intense lorsque les lignes de hamp se resserrent
♥
Théorème d'Ampère pour le
I
Γ
hamp magnétostatique
La ir ulation du hamp magnétostatique le long d'un ontour fermé Γ est égale
à l'intensité du ourant enla é par le ontour multipliée par µ0 .
→
− −
→
B · d ℓ = µ0 Ienl
µ0 perméabilité magnétique du vide = 4π · 10−7 H.m−1
Énon é valable uniquement pour un hamp magnétique
statique = indépendant du temps.
Le ontour doit être orienté arbitrairement, ette orientation dénissant
→
−
• l'orientation du ve teur-dépla ement élémentaire d ℓ
• l'algébrisation de l'intensité des ourants enla és d'après la règle du tire-bou hon :
Méthode :
omment utiliser le théorème d'Ampère pour déterminer B ?
→
−
→
−
➀ étudier les symétries pour déterminer la dire tion de B et les invarian es pour déterminer les
→
−
variables d'espa e dont ne dépendent pas les omposantes de B ,
−
→
NB : la re her he d'un plan de symétrie pour les ourants donne dire tement la dire tion de B (orthogonal à e plan).
➁ dénir un ontour fermé Γ adapté à la situation et l'orienter,
NB : si possible, hoisir l'orientation pour que le ourant enla é soit ompté positivement.
→
−
➂ exprimer indépendamment la ir ulation du hamp B le long de e ontour et l'intensité enla ée,
➃ é rire la relation entre la ir ulation et le ourant enla é, donnée par le théorème d'
Appli ations
•
lassiques
Ampère.
(à savoir faire) :
Fil re tiligne inni par ouru par un ourant linéique permanent
µ0 I −
→
u θ dans le repère ylindrique.
2πr
ar dans e as, il faut tenir ompte de l'épaisseur du l.
→
−
Choisir un ontour ir ulaire d'axe le l, on trouve B =
NB : expression non valable si r → 0
•
Fil ylindrique inni par ouru par un ourant volumique uniforme et permanent
Utiliser un ontour ir ulaire d'axe le l et exprimer l'intensité enla ée à l'intérieur du l en faisant
intervenir la densité surfa ique de ourant volumique
♥ j = I/S
I intensité totale à travers la se tion S
[ j ] = A.m−2
x
→
−
→
−
 ·dS
Cas général d'un ourant volumique non uniforme : I =
S
− ve teur densité de ourant
→
− pour des ourants autres que volumiques (don linéiques ou surfa iques).
Il n'est pas possible de dénir →
•
Solénoïde inni (= on néglige les eets de bords)
→
→
♥ −
B int = µ0 n I−
uz
• n densité linéique de spires = nombre de spires par unité de longueur
→
• −
u z ve teur unitaire selon l'axe du solénoïde
Utiliser un ontour re tangulaire à heval sur le bord du solénoïde, en supposant le hamp magnétique
extérieur nul.
NB : le hamp magnétique est don uniforme à l'intérieur du solénoïde.
Éle tromagnétisme
5 Équations lo ales
de l'éle tromagnétisme
L'essentiel du
ours
→ −
−
→
−
−
→
− . . . au lieu de →
→
E (M, t), B (M, t), ρ(M, t), −
 (M, t). . .
Dans toute la he, on note les hamps E , B , ρ, →
Équations de Maxwell
ρ
→
−
équation de
♥ div E = ε
0
Sens physique : le
Maxwell-Gauss
(MG)
hamp éle trique diverge (ou onverge) à partir des harges.
(MG) permet de retrouver le théorème de Gauss (à savoir faire) en utilisant
♥
{ →
→
−
− −
→ y
div F × dτ
F · dS =
S
théorème de GreenOstrogradski (V volume intérieur à S fermée)
V
équation de
→
♥ div −
B =0
Maxwell-ux
(MΦ) ou de Maxwell-Thomson (MT)
Sens physique
: on ne peut isoler un ple nord ou un ple sud magnétique (expérien e de l'aimant brisé) = le
→
−
hamp B ne peut diverger (ou onverger) à partir d'un point de l'espa e.
(MΦ) permet de retrouver la onservativité du ux magnétique (ave le théorème de GreenOstrogradski).
→
−
équation de Maxwell-Faraday (MF)
→
∂B
→−
♥ −
rot E = −
∂t
Sens physique : il existe une dépendan
→
−
→
−
e spatio-temporelle entre E et B .
(MF) permet de retrouver la loi de Faraday de l'indu tion e = −dΦB /dt (à savoir faire) en utilisant
♥
I
Γ
→ x
− −
→
F · dℓ =
→ −
→
−→ −
rot F · d S
S
→
−
→
∂E
→−
→
♥ −
 + µ0 ε 0
rot B = µ0 −
∂t
théorème de Stokes (S surfa e délimitée par Γ fermé)
équation de
Sens physique : en régime statique, le
Maxwell-Ampère
(MA)
hamp magnétique s'enroule = tourbillonne autour des ourants.
(MA) permet de retrouver le théorème d'Ampère en régime statique (à savoir faire ave le théorème de Stokes).
→
− = ε ∂ −
→
D
0 E /∂t
•
→
ve teur ourant de dépla ement (homogène à −
 , assurant la onservation de la harge)
Cas du régime statique
ρ
♥ ∆V + ε = 0
0
équation de Poisson
∆V = 0
Démonstration (à savoir faire) : utiliser (MG) ave
−→ ♥ ∆f = div −
grad f
•
équation de Lapla e dans le as parti ulier où ρ = 0
−−→
−
→
E = −grad V sa hant que par dénition
lapla ien s alaire
Cas de l'approximation des régimes quasi statiques (ARQS)
→
−
→
→
♥ Dans l'ARQS, le ourant de dépla ement −
 D = ε0 ∂ E /∂t est négligé par rapport à −

−
→
→
NB : l'ARQS n'a de sens qu'en présen e de ourants éle trique (sinon −
 = 0 ) ; notamment, elle n'a pas de sens dans le vide.
Conséqen e : le théorème d'Ampère reste appli
•
→
→
rot B = µ0 −
)
able dans l'ARQS (puisque (MA) s'é rit −
Expression des opérateurs ve toriels dans le repère artésien
−→
→
−
♥ −
grad f = ∇ f
→ −
−
→ −
→
div F = ∇ · F
→ −
→ −
→
−→ −
rot F = ∇ ∧ F
→
−
→
−
∆f = ∇ 2 f
→
→
→
u x + ∂/∂y −
u y + ∂/∂z −
uz
en utilisant l'opérateur symbolique nabla ∇ = ∂/∂x−
Équation de
∂ρ
→
♥ div −
 +
=0
∂t
onservation de la
harge éle trique
équation lo ale de onservation de la harge éle trique
Démonstration dans un as unidimensionnel (à onnaître) : bilan de harge dans
une portion de milieu de se tion S et omprise entre x et x + dx, ontenant une
harge éle trique q(t), sous la forme dq = δq e − δq s
Propriété : les équations de Maxwell permettent de retrouver ette équation lo ale (à savoir faire).
−→ −
→
−→
•
−
→
−
→
Utiliser (MA) sous la forme div rot B = div · · · ave div rot () = 0
−
→
( ar ∇ · ∇ ∧ F = 0)
Cas d'un ondu teur ohmique
→
− = γ −
♥ →
E
loi d'Ohm lo ale γ ondu tivité du milieu ≃ 106 S.m−1 pour un métal (unité à savoir retrouver)
NB : dans un ondu teur ohmique, le ourant ir ule en suivant les lignes de hamp éle trique.
Conséquen es (démonstrations à
onnaître) :
• un ondu teur ohmique suit la loi d'Ohm U = RI ave
R = ℓ/(γS)
(S se tion et ℓ longueur)
• un ondu teur ohmique est neutre : ρ = 0 (en utilisant (MG), on montre que ρ(t) = ρ0 exp (−t/τ ) ave τ ≪ 1 s)
• l'ARQS est vériée dans un bon ondu teur ohmique en régime périodique pour f ≪ 1017 Hz
(utiliser le fait que ||∂ E /∂t|| ODG
= || E ||/T)
→
−
−
→
Équations liées à l'énergie et à la puissan e éle tromagnétiques
1
2
♥ w e = ε0 E 2 w m =
1 2
B densités volumiques d'énergie éle trique et magnétique [we ] = [wm ] = J.m−3
2µ0
Démonstrations dans des as parti uliers
(à savoir faire) :
• ondensateur plan de se tion S et d'épaisseur e : We = (1/2) CU2 ave C = ε0 S/e et U = E × e
• bobine de se tion S et de longueur ℓ : Wm = (1/2) LI2 ave L = µ0 N2 ℓ/S et B = µ0 (N/ℓ)I
♥ Pem =
x −
→ −
→
Π · dS
S
→
−
→
−
puissan e éle tromagnétique traversant la surfa e S = ux de Π à travers S
→
−
E∧B
−
♥ →
Π =
µ0
→
−
→
♥ pv = −
 ·E
ve teur de Poynting [ Π ] = W.m−2
puissan e édée par le hamp éle tromagnétique à la matière [ pv ] = W.m−3
Démonstration : exprimer la puissan
→
−
→
−
−
→
→
v ∧ B + E exer ée sur
e de la for e de Lorentz δ F em = δq m −
→
→
 = ρm −
v
la harge élémentaire δq m des porteurs de harge mobiles (éle trons dans un métal) sa hant que −
−
→
−
→
2
NB : dans le as d'un ondu teur ohmique,  = γ E d'où pv = γ E > 0 onvertie en haleur dans la matière = eet Joule.
→ →−
−
→
∂ (we + wm )
= −div Π − −
 ·E
∂t
équation de Poynting = onservation de l'énergie éle tromagnétique
Démonstration (à savoir faire) : bilan ma ros opique sur un volume V ontenant
une énergie éle tromagnétique Wem (t), é rit sous la forme
dWem = −δWs − δW édée à la matière
Éle tromagnétisme
6 Ondes éle tromagnétiques
L'essentiel du
ours
Dans toute la he, on suppose que la dire tion de propagation de l'onde (lorsqu'elle se propage) est (Ox).
Ondes éle tromagnétiques dans le vide
→
−
→
 = 0 (absen e de ourant)
Dans le vide, ρ = 0 (absen e de harge) et −
2
♥ ∆( ) = 12 ∂ (2)
équation de d'Alembert
c ∂t
Démo (à bien
→
−
→
−
vériée par E et B dans le vide ave ε0 µ0 c2 = 1
−→ −→ −−→ onnaître) : ombiner (MF) et (MA) en utilisant rot rot ( ) = grad div ( ) − ∆( )
Existen e de solutions en ondes
E(x, t) = E0 cos (ωt ± kx + ϕ)
planes progressives harmoniques
(OPPH) de élérité c, du type
• −kx si propagation vers les x ր • +kx si propagation vers les x ց
NB : il existe d'autres types de solutions : ondes stationnaires, sphériques, non harmoniques. . .
♥ k = ω/c
pour une OPPH dans le vide
Double périodi ité temporelle et spatiale : ω = 2π/T et k = 2π/λ d'où λ = cT = c/f
Spe tre magnétique :
Notation
♥
omplexe
∂ C
≡ iω ×
∂t
−
→
→
k = k−
u
C
: E(x, t) = E0 cos (ωt − kx + ϕ) →
E(x, t) = E0 ei(ωt−kx) ave E0 = E0 eiϕ
→
−
− C
→
∇ ≡ −i k
ve teur d'onde
pour une OPPH é rite en onvention cos (ωt − kx)
−
→
(en onvention cos (kx − ωt), il faut inverser les signes dans ∂/∂t et ∇ .)
−
ave →
u ve teur unitaire orienté selon le sens de propagation
→
−
→
−
→
→
u et B ⊥ −
u
♥ Une OPPH dans le vide est transverse éle trique et magnétique = E ⊥ −
Démo (à onnaître) : é riture de (MG) et (MΦ) en notation omplexe puis passage dans R.
− −
→
→
→
−
−
→
−
k ∧E
u ∧E
♥ →
=
B =
relation de stru ture
pour une OPPH dans le vide
c
ω
(à onnaître) : é riture de (MF) en notation omplexe puis passage dans R.
Démo
Conséquen es :
• B(M, t) = E(M, t)/c
• we = wm
(passage aux normes dans la relation de stru ture)
(équipartition des densités volumiques d'énergie éle trique et magnétique)
→
−
→
• Π = ε 0 E 2 c−
u
en utilisant le double produit ve toriel
−
− →
→
→
→ →
−
−
→
−
→
−
a ∧ b ∧−
c = →
a ·−
c ×b − →
a · b ×−
c
États de polarisation d'une OPPH : re tiligne, ir ulaire ou elliptique
La lumière naturelle n'est pas polarisée ; un polariseur permet d'obtenir une polarisation re tiligne.
♥ I = I0 cos2 α loi de Malus
I0 intensité in idente, I intensité transmise, α =
angle entre la dire tion de polarisation in idente
et l'axe du polariseur
Polarisation re tiligne
→
Π || i
Démo (à onnaître) : utiliser le fait que I = h ||−
•
Polarisation ir ulaire
Réexion d'une onde éle tromagnétique sur un ondu teur parfait
♥ Un ondu teur est dit parfait si sa ondu tivité tend vers l'inni : γ → +∞
→
−
→
−
−
→
→
: dans un ondu teur parfait, E ≃ 0 ( ar −
 = γ E ne peut diverger)
→
Hypothèses : ondu teur o upant le demi-espa e x > 0, onde in idente progressive selon +−
u x = en
in iden e normale, onde in idente polarisée re tilignement.
Propriété
Méthode
: omment déterminer l'onde éle tromagnétique réé hie ?
−
→
→
→
➀ Cher her une onde réé hie du type E r (x, t) = Ey cos (ωt + kx + ϕy )−
u y +Ez cos (ωt + kx + ϕz )−
uz
→
−
L'onde réé hie se propage selon − u d'où le cos (ωt + kx + · · · )
x
→
−
→
−
→
u x pour identier Ey , Ez , ϕy et ϕz .
➁ Utiliser la relation de passage E (0+ , t) − E (0− , t) = (σ/ε0 )−
Dans ette relation, il est question en x = 0− du hamp éle trique
total
= in ident + réé hi.
♥ L'onde réé hie est déphasée de π par rapport à l'onde in idente.
NB : en optique ondulatoire, ela revient à un ajout de λ0 /2 au hemin otpique.
Connement d'une onde éle tromagnétique dans une avité à une dimension
♥ Dans une avité, les ondes éle tromagnétiques sont né essairement de type stationnaire.
Propriétés :
• les fréquen es de l'onde sont quantiées,
• la largeur de la avité est un multiple entier de la demi-longueur d'onde : L = n × λ/2 ave n ∈ N∗ ,
→ −
−
→
• il existe des n÷uds et des ventres pour les hamps E et B .
Méthode
: omment étudier l'onde éle tromagnétique dans une avité à une dimension ?
→
−
→
uy
➀ Cher her le hamp éle trique sous forme stationnaire E = E0 cos (ωt) cos (kx + ϕ)−
➁ Montrer que l'équation de
impose k = ± ω/c (en inje tant le hamp dans l'équation)
➂ É rire les onditions aux limites sur les deux parois délimitant la avité, sa hant que sur un
→
−
ondu teur parfait, la omposante tangentielle de E doit s'annuler (d'après la relation de passage).
➃ En déduire la quanti ation de k , don de ω = 2πf .
d'Alembert
Onde éle tromagnétique dans un ondu teur ohmique Eet de peau
♥
Dans un ondu teur ohmique en régime sinusoïdal for é, le ourant se répartit en surfa e sur une
épaisseur moyenne δ , appelée épaisseur de peau, qui diminue ave la fréquen e.
Conséquen es
:
• la résistan e d'un l augmente ave la fréquen e ( ar la se tion ee tive par ourue par le ourant diminue),
• dans un four à indu tion, il faut dimensionner orre tement les piè es métalliques à faire fondre,
• on a intérêt à rempla er un l de grande se tion par plusieurs ls de petite se tion (ls de Litz).
NB : l'eet de peau n'existe qu'en régime variable ; en régime permanent, le ourant se répartit uniformément sur la se tion.
→
−
→
 = γ E , l'ARQS est vériée (f ≪ 107 Hz), le
Hypothèses : le ondu teur suit la loi d'Ohm lo ale −
ondu teur o upe le demi-espa e x > 0.
L'équation de
Méthode
d'Alembert
n'est pas vériée ar
.
on n'est pas dans le vide
: omment déterminer l'expression de l'épaisseur de peau ?
➀ Obtenir ∆~ = µ0 γ ∂~/∂t en ombinant les équations de
−
→ −
→ −−→ utiliser rot rot ( ) = grad div ( ) − ∆( ) et
Maxwell
et la loi d'Ohm lo ale.
−
→
div E = 0 par
le fait que
neutralité éle trique d'un ondu teur ohmique.
→
→
 = J(x) eiωt −
u z et résoudre l'équation diérentielle du
➁ Inje ter une solution sous forme omplexe −
se ond ordre vériée par J(x).
NB :
Cher her les ra ines de l'équation ara téristique en utilisant i = eiπ/2 et utiliser la ondition à
la limite en x = +∞ pour annuler l'une des onstantes d'intégration.
➂ Faire apparaître une dé roissan e exponentielle en e−x/δ et identier δ =
p
2/(µ0 γ ω)
Mé anique des uides
1 Statique des uides
L'essentiel du
ours
Notion de pression
→
−
Si dF est une for e normale appliquée à la surfa e élémentaire dS, la pression P sur la surfa e vérie
→
→
−
♥ P = dF ou d−
F = P dS
dS
→
−
ave d S le ve teur-surfa e élémentaire normal à dS
−
→
NB : ne pas onfondre la pression P ave le poids P (la pression n'est pas un ve teur).
• Unité SI : le pas al, 1 Pa = 1 N.m−2
• Unité usuelle : le bar, 1 bar = 105 Pa
NB : dans un uide (liquide ou gaz), la pression a pour origine, à l'é helle mi ros opique, les ho s entre les parti ules de uide
et la paroi ( f ours de 1re année sur la pression inétique).
Ordre de grandeur : pression atmosphérique P0 ≃ 1 bar
Cas parti ulier : si la for e F est répartie uniformément sur la surfa e S,
P = F/S
Pression dans un uide au repos dans un référentiel galiléen
NB : le hamp de pesanteur est supposé uniforme.
•
Relation fondamentale de la statique des uides :
♥ dP = −µg
dz
ave z altitude sur un axe verti al as endant, µ masse volumique lo ale du uide.
NB : démonstration à partir d'un PFD appliqué à un élément ylindrique de uide de hauteur dz (à l'é helle mésos opique).
Si l'axe verti al est
des endant
, la relation devient
dP/dz = +µg
Propriété : la pression est ontinue à l'interfa e entre deux uides au repos.
•
Cas d'un uide in ompressible : µ = Cte
♥ ∆P = −µg∆z ⇔ ∆(P + µgz) = 0
NB : démonstration immédiate à partir de la relation fondamentale de la statique.
Appli ation : la pression dans un uide à la profondeur h s'é rit
(à savoir retrouver)
P = P0 + µgh
Ordre de grandeur : dans l'eau, la pression augmente d'environ 1 bar tous les 10 m.
•
Cas d'un uide ompressible : µ 6= Cte
Exemple de l'atmosphère isotherme à la température T et assimilée à un gaz parfait (à savoir traiter) :
• l'équation d'état des gaz parfaits donne µ(P, T),
• par intégration, P(z) dé roît exponentiellement, sur une hauteur ara téristique de l'ordre de 8 km.
Résultante des for es pressantes exer ées par un uide au repos
Méthode
: dé oupage/sommation
➀ en utilisant la relation fondamentale de la statique des uides, déterminer la pression P en tout
point M de la surfa e ;
➁ dé ouper la surfa e en surfa es élémentaires dS en hoisissant un repère d'espa e adapté ( arté-
siennes, ylindriques ou sphériques) ;
→
−
→
−
➂ é rire que la for e élémentaire exer ée sur dS est dF = P(M) d S ;
➃ déterminer la dire tion ∆ de la résultante des for es pressantes ;
Utiliser les éventuelles symétries si la surfa e n'est pas plane.
→
−
➄ intégrer sur la surfa e la omposante de dF selon ette dire tion ∆ ( omposante utile).
Exemple : sur un mur de barrage de hauteur H et de largeur L,
F = µgLH2 /2
(à savoir refaire)
NB : si le uide est en mouvement par rapport à la surfa e, il faut ajouter une omposante tangentielle liée aux frottements ( f
leçon sur les uides en é oulement).
Mé anique des uides
2 Fluide en é oulement stationnaire
dans une onduite
L'essentiel du
ours
Grandeurs ara téristiques
débit massique Dm (kg.s−1 ) est la masse de uide qui traverse une se tion de la onduite par unité
de temps ; le débit volumique Dv (m3 .s−1 ) est le volume de uide qui traverse une se tion de la onduite
• Le
par unité de temps.
Propriété :
♥ Dm = µ × Dv ave µ la masse volumique lo ale du uide.
• Tout uide en é oulement est ara térisé en tout point M et à toute date t par la donnée de grandeurs
→
v (M, t), le hamp de pression P(M, t),
lo ales x(M, t) appelées hamps eulériens : le hamp des vitesses −
le hamp de masse volumique µ(M, t). . .
→
v (M, t) à une date t donnée ;
• Une ligne de ourant est une ourbe tangente en tout point aux ve teurs −
un tube de ourant est un ensemble de lignes de ourant s'appuyant sur un ontour fermé donné.
Conséquen e : la onduite onstitue un tube de ourant.
• Il existe deux types d'é oulement ara térisés par un nombre sans dimension appelé
nolds Re :
•
•
•
nombre de Rey-
régime laminaire : les lignes de ourant sont régulières et bien dénies (Re < 103)
régime turbulent : les lignes de ourant ne sont pas dénies, l'é oulement est haotique au ours
du temps (Re ≫ 103 ).
Cas du régime stationnaire : le régime est dit stationnaire si les hamps eulériens sont indépendants
du temps.
♥ En régime stationnaire, il y a onservation du débit massique à travers toute se tion d'un même tube
de ourant.
NB : 'est une tradu tion de la onservation de la masse pour un système fermé.
Conséquen e :
♥
Pour un uide de masse volumique onstante en é oulement stationnaire, il y a onservation du débit
volumique à travers toute se tion d'un même tube de ourant.
Cas d'un uide parfait
• Un uide est dit parfait si on néglige les for es de frottements entre parti ules de uide (et don entre les
parti ules de uide et les parois).
Propriété ara téristique : dans un uide parfait, le hamp des vitesses est uniforme dans toute se tion
droite d'un tube de ourant.
Conséquen e : le débit volumique s'é rit
♥ Dv = v × S ave S la se tion de la onduite et v la vitesse du uide sur la se tion.
Relations de Bernoulli pour un uide parfait in ompressible en é oulement stationnaire :
♥
1
• ∆A→B P + µgz + µv 2 = 0 en l'absen e de piè es mé aniques mobiles dans la onduite ;
2
1
• Dv ∆A→B P + µgz + µv 2 = Pi en présen e de piè es mé aniques mobiles dans la onduite.
2
ave A et B deux points sur la même ligne de ourant et Pi la puissan e indiquée = puissan e é hangée
par le uide ave les parties mobiles.
NB : 'est la tradu tion de la onservation de l'énergie mé anique : µgz est le terme d'énergie potentielle de pesanteur, (1/2)µv2
est le terme d'énergie inétique (P est lié au travail des for es pressantes).
Relations valables en l'absen e d'é hange thermique entre le uide et l'extérieur (sinon, il faut
appliquer le premier prin ipe à un système ouvert, f ours de thermo).
Propriété : Pi > 0 pour une pompe ou un ompresseur ; Pi < 0 pour une turbine.
(signes liés à la onvention d'algébrisation des é hanges énergétiques : on algébrise du point de vue du uide).
Appli ations (à savoir expliquer et retrouver) :
• eet Venturi : la pression diminue lorsque la onduite rétré it ;
Exemples : eet d'aspiration utilisé dans une trompe à eau, un arburateur de voiture, le tirage des
heminées. . .
•
formule de
Torri elli
: v =
√
2gh est la vitesse de sortie d'un uide retenu dans un grand
réservoir sur une hauteur h.
Exemples : hâteau d'eau, barrage. . .
Cas d'un uide réel
Dans un uide réel, on tient ompte des for es de frottement internes au uide.
Propriétés :
• le hamp des vitesses n'est pas uniforme sur une se tion droite de la onduite. Le débit volumique se
al ule par dé oupage/sommation sur la se tion :
Dv =
x
→
−
−
→
v (M) · d S (M)
M ∈ se tion
• le hamp des vitesses est né essairement nul au niveau des parois (xes) de la onduite.
♥
La prise en ompte des frottements dans un uide réel se traduit par une diminution de pression dans
la onduite, appelée perte de harge.
On distingues les pertes de harges
• régulières : diminution de pression proportionnelle à la longueur de la onduite ;
• singulières : diminution de pression brutale due à un oude, un rétré issement. . .
NB : les pertes de harge régulières peuvent être mises en éviden e et mesurées en plaçant des tubes verti aux le long de la
onduite : la hauteur de uide dans les tubes diminue régulièrement.
Relations de Bernoulli pour un uide réel in ompressible en é oulement stationnaire :
♥
1
• ∆A→B P + µgz + µv 2 = −∆Pperte en l'absen e de parties mobiles dans la onduite ;
2
1
• Dv ∆A→B P + µgz + µv 2 = Pi − Dv ∆Pperte en présen e de parties mobiles dans la onduite.
2
ave ∆Pperte la perte de harge (régulière ou singulière).
•
Cas d'un uide newtonien
Un uide est dit newtonien si les for es de frottements exer ées par le uide sur un objet sont propor-
tionnelles à la vitesse de dépla ement de l'objet.
Il existe des uides non newtoniens : mélange d'eau et de maïzena, boues, moutarde. . .
Propriété : dans un uide newtonien, la for e de isaillement (= omposante tangentielle de l'a tion de
onta t) exer ée sur une paroi de surfa e S s'é rit
♥ F is = ± η S dv
dz
• η vis osité dynamique du uide (Pa.s),
• dv/dz gradient de vitesse selon la dire tion (Oz) normale à la paroi.
NB : ± selon le hoix d'algébrisation de l'axe (Oz).
Ordres de grandeur : η(air) ≃ 10−5 Pa.s, η(eau) ≃ 10−3 Pa.s, η(huile) ≃ 1 Pa.s.
Optique ondulatoire
1 Interféren es
L'essentiel du
ours
Propriétés générales des ondes lumineuses
• Modèle s alaire de la lumière : en optique ondulatoire, on restreint l'onde éle tromagnétique a une
omposante s alaire éle trique E(M, t).
fréquen e f (Hz) et période T (s) d'une sour e lumineuse mono hromatique
♥ f = 1/T
NB : toute sour e de lumière, ara térisée par son spe tre, peut être vue omme une superposition de sour es mono hromatiques.
La période T et la fréquen e f sont propres à la sour e, indépendamment du milieu de propagation.
longueur d'onde (m) dans un milieu où l'onde a pour vitesse v
♥ λ = vT
NB : la longueur d'onde est la distan e dont se dépla e l'onde pendant une période.
Propriété :
λ = v/f
longueur d'onde dans un milieu d'indi e n, λ0 la longueur d'onde dans le vide
♥ λ = λ0 /n
♥ 400 nm (bleu) 6 λ0 6 800 nm (rouge)
•
gamme du visible (longueur d'onde dans le vide)
Intensité lumineuse
♥ I(M) = K h E2(M, t) i
intensité lumineuse en un point M
[ I ] = W.m−2
(K = Cte > 0)
NB : tout ré epteur lumineux (rétine, apteur CCD, photodiode) al ule la valeur moyenne sur une durée d'intégration τ ≫ T.
C=
•
Imax − Imin
Imax + Imin
ontraste d'une image
[ C ] = 1, 0 6 C 6 1
Déphasages
♥ ϕB − ϕA =
♥ (AB) =
Z
2π
(AB)
λ0
déphasage entre A et B appartenant au même rayon lumineux
B
n(M) dℓ(M)
hemin optique de A à B
[ (AB) ] = m
A
Propriété : dans un milieu homogène,
(AB) = n × AB
Une onde lumineuse subit une dis ontinuité de phase égale à π lors d'une réexion sur un miroir ou sur
♥ un milieu d'indi e supérieur (milieu plus réfringent).
Propriété : du point de vue du hemin optique, ela équivaut à ajouter
λ0 /2 au hemin optique.
Une surfa e d'onde relative à une sour e pon tuelle S est un ensemble de points qui vibrent en
phase.
Propriété : (SM) = Cte pour tous les points M sur une même surfa e d'onde relative à S
♥ Théorème de
entre eux.
Malus : les surfa es d'onde relatives à S et les rayons issus de S sont orthogonaux
Ondes planes : les surfa es d'onde sont des plans ; ondes sphériques : les surfa es d'onde sont des
sphères.
Condition de stigmatisme : deux points A et A′ sont onjugués par un système optique
optiques de tous les rayons allant de A à A′ sont égaux.
⇔ les hemins
Modèle d'émission de la lumière
La lumière est émise sous forme de trains d'onde de longueur
♥
moyenne L appelée longueur de ohéren e de la sour e.
•
Propriété :
∆f × ∆t ≃ 1 ave ∆f la largeur spe trale moyenne de la sour e et ∆t la durée moyenne
d'émission d'un train d'onde.
Interféren es à deux ondes
♥ I(M) = I1 + I2 + 2 I1 I2 cos ∆ϕ(M) formule de Fresnel
ave I1 et I2 les intensités en M et ∆ϕ(M) le déphasage en M.
√
Conditions d'appli ation = ondition de ohéren e entre les deux ondes :
• ondes de même fréquen e (don de même pulsation) : ω1 = ω2 = ω
• ondes issues de la même sour e pon tuelle S (mono hromatique),
• diéren e de mar he très faible devant la longueur de ohéren e de la sour e : δ ≪ L
Cas parti ulier usuel : I1 = I2 = I0 donne I(M) = 2 I0 1 + cos ∆ϕ(M)
NB : dans e as, le ontraste de la gure d'interféren e prend la valeur maximale égale à 1.
♥ p(M) = ∆ϕ(M)
ordre d'interféren e en M
2π
p(M) ∈ Z ⇔ interféren es onstru tives
♥ ∆ϕ(M) =
Propriété :
2π
δ(M)
λ0
ave
p(M) = δ(M)/λ0
Méthode :
[p] = 1
p(M) ∈ Z + 0, 5 ⇔ interféren es destru tives
δ(M) = (SM)2 − (SM)1
la diéren e de mar he en M
(déduite des deux relations pré édentes)
omment exprimer une diéren e de mar he ?
➀ dé omposer haque rayon en passant par des points remarquables (points d'in iden e, de réfra tion. . .) ;
➁ essayer d'utiliser le théorème de
pour simplier la diéren e des hemins optiques, éventuellement en utilisant le prin ipe de retour inverse de la lumière ;
➂ en utilisant des relations géométriques et de trigonométrie, déterminer l'expression de δ .
En as de réexion sur un miroir ou sur un milieu plus réfringent, ne pas oublier d'ajouter λ0 /2 au
hemin optique.
Malus
Interféren es à N ondes Cas du réseau
Un réseau optique plan est formé d'un très grand nombre de fentes nes parallèles équidistantes de a =
pas du réseau ; haque fente dira te la lumière.
♥
En sortie du réseau, l'intensité lumineuse est non nulle à l'inni uniquement dans les dire tions orrespondant à des interféren es totalement onstru tives entre les rayons.
NB : dans la pratique, on peut observee les interféren es dans le plan fo al image d'une lentille onvergente.
Cas d'une sour e mono hromatique à l'inni et d'interféren es à l'inni :
♥ sin θp − sin θi = p λ
a
formule des réseaux
(à savoir démontrer)
• θi angle d'in iden e du fais eau sur le réseau
• θp angle de sortie du fais eau pour l'ordre d'interféren e p ∈ Z
NB : λ est la longueur d'onde dans le milieu de propagation 6= λ0 longueur d'onde dans le vide.
Intérêt : la déviation dépend de λ don on peut utiliser un réseau pour faire de la spe tros opie.
Optique ondulatoire
2 Dispositifs interférentiels
L'essentiel du
•
ours
Fentes de Young
Prin ipe
Les fentes F1 et F2 , distantes de a, dira tent la lumière
émise par une sour e pon tuelle mono hromatique.
Les deux ondes dira tés interfèrent.
NB : les deux ondes qui interfèrent sont bien issues de la même sour e.
•
É ran pla é à distan e nie D
♥ δ=
nax
D
ave D ≫ a et D ≫ x
Démonstration (à savoir faire) : développement limité des
distan es
S1 M = D (1 + · · · ) et S2 M = D (1 + · · · )
•
É ran pla é dans le plan fo al image
d'une lentille onvergente de fo ale f ′
nax
♥ δ = f′
Démonstration (à savoir faire) : utilisation du
plan d'onde ΠM relatif à M par retour inverse
de la lumière d'où δ = (S2 H) puis utilisation
de l'angle θ.
ΠM
•
n'est pas un plan d'onde relatif à
Figure d'interféren
e
I(M) = 2 I0 1 + cos
2π
δ(x)
λ0
S.
(formule de
Fresnel)
NB : le fait d'avoir I1 = I2 = I0 maximise le ontraste de la gure d'interféren e.
Les franges sont re tilignes (à x = Cte ) et équidistantes de i = interfrange
Méthode
:
omment exprimer l'interfrange dans le dispositif des fentes de
➀ mettre le osinus sous la forme cos
2π
i
Young
?
x + Cte et identier i
➁ é rire que lorsque ∆x = i, l'argument dans le osinus varie de 2π
➂ utiliser le fait que l'ordre d'interféren e varie d'une unité entre deux franges onsé utives de même
nature : p(x + i) = p(x) ± 1 ave p(x) = δ(x)/λ0
Appli ation :
i = λD/a ou i = λf ′ /a ave λ = λ0 /n la longueur d'onde dans le milieu.
élargissement spatial (transverse) ou un élargissement spe tral de la sour e provoque une perte
de ontraste.
La gure d'interféren e reste bien ontrastée si la modi ation de la sour e entraîne une variation ∆p
♥ de l'ordre d'interféren e inférieure à 1/2.
• Un
NB : le as ∆p = 1/2 orrespond au as où une frange brillante devient superposée ave une frange sombre.
♥
Young
Les fentes de
sont un dispositif à division du front d'onde : les deux rayons qui interfèrent
sont issus de deux rayons distin ts émis par la sour e.
•
Interféromètre de Mi helson
Prin ipe
Un fais eau lumineux issu d'une sour e est séparé
en deux par une lame semi-réé hissante appelée séparatri e ; ha un des fais eaux est réé hi par un
miroir et les deux fais eaux réé his interfèrent en
sortie.
L'un des miroirs peut être translaté (on dit harioté) et
pivoter.
•
Réglage en lame d'air
L'interféromètre est réglé en lame d'air lorsque les deux miroirs sont orthogonaux.
♥ En lame d'air, les interféren es sont lo alisées à l'inni.
NB : on projette souvent la gure d'interféren e sur un é ran pla é dans le plan fo al d'une lentille.
♥ δ = 2 ne cos i
i in linaison des rayons par rapport à l'axe de sortie (= angle d'in iden e sur les miroirs)
Démonstration (à
NB :
onnaître) : utiliser le s héma optique équivalent et un plan d'onde relatif au point
d'interféren e par prin ipe de retour inverse de la lumière.
variante
: utiliser les sour es se ondaires tives S1 et S2 , symétriques de S′ par rapport à M1 et M′2 , distantes de e.
♥ En lame d'air, la gure d'interféren e est onstituée d'anneaux on entriques.
NB : anneaux
d'égale in linaison
ar ils orrespondent à des rayons qui interfèrent à i = Cte .
Ces anneaux ne sont pas équidistants (ils sont plus resserrés sur les bords).
Propriété : l'ordre d'interféren e est maximal au entre de la gure
maximal pour i = 0)
•
( ar δ
Réglage en oin d'air
L'interféromètre est en oin d'air lorsque les deux miroirs forment un angle π/2 + α ( oin d'air d'angle α).
♥ En oin d'air, les interféren es sont lo alisées à proximité des miroirs.
NB : pour les observer, on peut projeter leur image sur un é ran grâ e à une lentille.
♥ δ = 2 nα × x
(fa teur 2 dû à l'aller-retour dans le oin d'air)
En oin d'air, la gure d'interféren e est onstituée de franges re ti♥ lignes équidistantes.
NB : pour déterminer l'interfrange i, on utilise les mêmes méthodes que pour les fentes de
Young.
•
Au onta t optique, les miroirs M1 et M′2 sont onfondus (= lame d'air d'épaisseur nulle =
nul) et on observe un disque uniformément lumineux appelé teinte plate.
oin d'air d'angle
NB : au onta t optique, δ = 0 en tout point d'interféren e don les interféren es sont totalement onstru tives partout.
♥
Mi helson
L'interféromètre de
est un dispositif à division d'amplitude : les deux rayons qui interfèrent sont issus du même rayon émis par la sour e.