Bond Graphs

Bond Graphs
Modélisation des systèmes avec
les Bond Graphs
Modélisation
• Comprendre les liens entre les grandeurs
physiques propres au système
• Prédéterminer le dimensionnement des
composants du système
• Prévoir l’influence d’une entrée sur une sortie
• Prédire le rôle d’une modification d’une partie
du système
• Effectuer des simulations
2
Ivan Francois
1
Bond Graphs
Le modèle
• Structure mathématique qui reproduit le
comportement du système soumis aux mêmes
actions
• Il est établi dans le cadre d’hypothèses
simplificatrices
• Il doit reproduire la réalité physique le plus
précisément possible avec une structure
mathématique la plus simple possible
• Le modèle exacte n’existe pas
3
Présentation des Bond Graphs
• Le Bond Graph (graphe de liaison) est un outil
de modélisation graphique pluridisciplinaire
(électrique, mécanique, hydraulique, thermique,
chimique)
• Il adopte un langage unifié
• C’est un outil évolutif qui permet aisément
d’ajouter ou supprimer de nouveaux éléments
4
Ivan Francois
2
Bond Graphs
Historique
• Défini initialement en 1959 au MIT de Boston
par Henry M. Paynter.
• Le principe repose sur une approche
énergétique
• Le système se décompose en sous systèmes
qui échangent de la puissance
• La terminologie est unifiée pour tous les
domaines de la physique et fondée sur les
analogies
5
Représentation et utilisation
• La représentation graphique permet de
visualiser les transferts de puissance et de
causalité
• Le modèle aboutit à une écriture systématique
des équations mathématiques
6
Ivan Francois
3
Bond Graphs
Concepts et définitions
7
Liens de puissance
• Les liens de puissance connectent les
multiports et représentent la puissance
échangée entre eux
• Ce lien (Bond) est désigné par le symbole
d’une demi flèche
• La direction de la puissance positive est
représentée par le sens de la demi flèche
8
Ivan Francois
4
Bond Graphs
Variables d’effort et de flux
• La puissance s’exprime comme le produit de
deux variables complémentaires
• La variable d’effort e
• La variable de flux f
• Le lien porte les deux variables
e
f
• Par convention, le flux est toujours représenté
du coté de la demi flèche
9
Variables généralisées d’effort et de
flux
Domaine physique
Effort
Flux
Electrique
Tension u(V)
Courant i(A)
Mécanique de
translation
Force F(N)
Vitesse de translation
v(m/s)
Mécanique de
rotation
Couple Γ(N.m)
Vitesse angulaire
ω(rad/s)
Hydraulique
Pression P(Pa)
Thermique
Température T(K)
Chimique
(transformation)
Potentiel chimique
µ(J/mol)
Chimique
(cinétique)
Affinité chimique
Débit volumique
V& (m3/s)
Flux d’entropie
S& (J/(K.s))
Flux molaire
n& (mol/s)
Vitesse de réaction
ζ& (mol/s)
10
Ivan Francois
5
Bond Graphs
Variables d’énergie
• Moment généralisé ou impulsion
t
p(t) = ∫ e(τ )dτ ⇒ e(t) =
0
dp(t)
dt
e = p&
dq(t)
dt
f = q&
• Déplacement généralisé
t
q(t) = ∫ f(τ)dτ ⇒ f(t) =
0
t
∫
11
Energie(1)
t
∫
E(t) = P(τ )dτ = e(τ ).f(τ )dτ
Soit, en remplaçant avec l’équation précédente
t
∫
t
∫
E(t) = e(τ ).dq(τ ) = f(τ )dp(τ )
12
Ivan Francois
6
Bond Graphs
Energie(2)
• Les variables d’effort et de flux peuvent être
exprimées en fonction des variables de
déplacement e=e(q) et d’impulsion f=f(p)
• Donc l’énergie E peut s’exprimer en fonction
de p et q
q
E p (q) = ∫ e(q)dq
p
E c (p) = ∫ f(p)dp
13
Exemple d’énergie
• L’énergie potentielle Ep stockée dans un
ressort de raideur k
• Déplacement x (variable d’énergie q)
• Force F (effort) F=kx
q1
Ep =
∫
e(q ) dq =
q0
x1
∫
x0
k .x.dx =
1
(kx12 − kx02 )
2
14
Ivan Francois
7
Bond Graphs
Variables généralisées en bond graph
Domaine physique
Effort
Flux
Moment
Déplacement
Charge q(C)
Electrique
Tension u(V)
Courant i(A)
Flux magnétique
Φ(Wb)
Mécanique de
translation
Force F(N)
Vitesse de
translation v(m/s)
Moment J(N.s) ou
quantité de
mouvement
Elongation x(m)
Mécanique de
rotation
Couple Γ(N.m)
Vitesse angulaire
ω(rad/s)
Moment angulaire
Ω(N.m.s) ou
moment cinétique
Angle θ(rad)
Hydraulique
Pression P(Pa)
Débit volumique
Q (m3/s)
Impulsion de
pression pp(N.s/m2)
Volume V(m3)
Thermique
Température T(K)
Flux d’entropie
S& (J/(K.s))
-
Entropie S(J/K)
Chimique
(transformation)
Potentiel chimique
µ(J/mol)
Flux molaire
n& (mol/s)
-
Nombre de moles
n
Chimique
(cinétique)
Affinité chimique
Vitesse de réaction
(mol/s)
15
Complément sur le moment généralisé
• Dans le domaine de la
chimie et de la
thermique, les variables de moment ne sont pas
définies
• Il n’est pas possible d’exprimer la température
ou le potentiel chimique en fonction de la
dérivée du flux d’entropie ou du flux molaire
16
Ivan Francois
8
Bond Graphs
Eléments constitutifs d’un Bond
Graph
17
Elément résistif R
Cet élément est défini comme une relation
statique entre l’effort et le flux
e
f
R
e(t)=R.f(t)
En électricité u=Re.i Re: résistance en ohms
En mécanique F=Rm.v Rm: frottements visqueux
18
Ivan Francois
9
Bond Graphs
Elément inertiel I
• Cet élément est défini comme une relation statique
entre le flux f et le moment p
p(t)=I.f(t)
• Soit
f(t) =
1
I
∫ e( τ ) d τ
• Ou
e(t) = I.
t
0
df
dt
19
Exemple d’éléments inertiels I
• En mécanique de translation I est la masse m
– F=m.dv/dt
• En mécanique de rotation I est l’inertie J
– Γ=J.dω/dt
• En électricité I est une bobine d’inductance L
– U=L.di/dt
20
Ivan Francois
10
Bond Graphs
Elément capacitif C
• Cet élément est défini comme une relation statique
entre le effort f et le déplacement q
q(t)=C.e(t)
• Soit
e(t) =
1
C
t
∫ f(τ ) d τ
0
• Ou
f(t) = C.
de
dt
21
Exemple d’élément capacitif en
électricité
• En électricité C est la capacité d’un condensateur
• q représente la charge, q=Cu
• e étant la tension et f le courant, la relation
f(t) = C.
de
dt
i(t) = C.
du
dt
Devient
22
Ivan Francois
11
Bond Graphs
Exemple d’élément capacitif en
mécanique
• En mécanique, C matérialise un ressort de raideur
k
• x représente le déplacement
• e étant la force F et f la vitesse v
t
∫
F(t) = k.x(t) = k v(τ ) dτ
0
t
En identifiant avec
1
e = f(τ) dτ
C
∫
C=1/k
0
23
Résumé des éléments passifs
Le tétraèdre de Paynter regroupe les 4 variables
généralisées et les 3 éléments passifs
e
∫ dt
C
p
R
q
∫dt
I
f
24
Ivan Francois
12
Bond Graphs
Les éléments actifs: les sources
• Les éléments dits actifs sont ceux qui
fournissent de la puissance au système
• Les sources d’effort: Se
Se
• Les sources de flux: Sf
Sf
25
Convention pour les sources
• L’orientation de la demi flèche est fixée sortante de la
source
• La variable d’effort ou de flux fournie par la source
est supposée indépendante de la variable
complémentaire flux (pour Se) ou effort (pour Sf)
• Si les sources appliquées sont indépendantes (gravité,
tension d’alimentation, pompe...) on les présente par
Se ou Sf, si en revanche elles sont modulées par des
variables externes (pompe commandée par exemple)
on les désigne par Mse ou MSf (« M » pour modulée)
26
Ivan Francois
13
Bond Graphs
Les détecteurs
• Ce sont des éléments qui ne consomment pas de
puissance placés dans le modèle bond graph
• Ils indiquent la présence d’un capteur ou d’un
instrument de mesure
• Le lien est représenté par une flèche entière
De
détecteur d’effort
Df
détecteur de flux
27
Récapitulatif des éléments actifs, passifs et détecteurs
Elément
Eléments
actifs
Symbole
Se
Sf
R
Eléments
passifs
C
I
Détecteurs
De
Df
Loi
Exemple
e indépendant de f
Pesanteur, générateur de
tension, pompe à pression
constante
f indépendant de e
Générateur de courant,
pompe à débit constant
e=R.f
f=(1/R)e
Amortisseur, frottement,
résistance électrique,
restriction hydraulique,
e(t) =
f(t) =
t
1
C
∫ f(τ ) d τ
1
I
∫ e( τ ) d τ
0
t
Ressort, élasticité,
réservoir, condensateur
Masse, inertie, bobine
0
Voltmètre, manomètre
Ampèremètre, débitmètre, tachymètre
28
Ivan Francois
14
Bond Graphs
Eléments de jonction
• Ces éléments, notés 0, 1, TF et GY servent à
coupler les éléments R, C et I pour construire
l’architecture du système à modéliser
• Ils sont tous conservatifs de puissance
29
Jonction 0
• La jonction 0 permet de coupler des
éléments soumis à un même effort
• Les
efforts
sont
identiques:
e1=e2=e3=e4
• La somme des flux entrant est égale à la
somme des flux sortants:
f1=f2+f3+f4
• Le bilan des puissances est nul:
e1f1-e2f2-e3f3-e4f4=0
e2 f2
e1
f1
0
e3
f3
e4 f4
30
Ivan Francois
15
Bond Graphs
Jonction 1
• La jonction 1 permet de coupler des
éléments soumis à un même flux
• Les flux sont identiques: f1=f2=f3=f4
• La somme des efforts entrants est égale
à la somme des efforts sortants:
e1=e2+e3+e4
• Le bilan des puissances est nul:
e1f1-e2f2-e3f3-e4f4=0
e2 f2
e1
f1
1
e3
f3
e4 f4
31
Le Transformateur TF
• Cet élément à 2 liens permet un changement
des flux et des efforts tout en étant conservatif
en puissance
e1
TF
f1
m
e2
f2
• m est le coefficient de transformation ou
module de transformation:
m =
e1
f2
=
e2
f1
32
Ivan Francois
16
Bond Graphs
Exemple de Transformateur
33
Complément sur le Transformateur
• Le module de transformation peut être variable
• Dans ce cas, on utilise la notation MTF (M signifie modulé)
• Considérons une tige qui pivote autour de O
y
F
a
A
θ
V
x
• La vitesse de A projetée sur y est notée V=a.ω.cosθ
• La figure suivante utilise les flèches pleines qui portent le
signal par opposition aux demi flèches qui indiquent la
puissance
∫
1:ω
Ivan Francois
θ
cos
a
m=a.cosθ
e1=τ
f1=ω
MTF
e2=F
f2=V
1:V
34
17
Bond Graphs
Le Gyrateur GY
• Cet élément à 2 liens permet un changement
des flux en efforts ou inversement tout en étant
conservatif en puissance
e1
GY
e2
f1
r
f2
• r est le coefficient de gyrateur:
r =
e1
e2
=
f2
f1
35
Exemple de Gyrateur:
Le moteur à courant continu
• Le moteur transforme une puissance électrique
en puissance mécanique
• Le couple moteur est proportionnel au courant
d’induit: Cm=k.Φ.Is
• La vitesse de rotation est proportionnelle à la
tension d’induit: E= k.Φ.ω
Domaine
e1=E
électrique
f1=Is
GY
r= k.Φ
e2=Cm
f2= ω
Domaine
Mécanique de
rotation
36
Ivan Francois
18
Bond Graphs
Règles de simplifications des Bond
Graphs(1)
• Si une jonction (1 ou 0) n’a qu’un lien en
entrée et un lien en sortie, on peut éliminer
cette jonction
0
Ou
• Attention
=
1
0
Ou
≠
1
37
Règles de simplifications des Bond
Graphs (2)
• Si 2 jonctions 1 sont reliées par 1 seul lien, on
peut les réduire à une seule jonction traduisant
le flux commun
• Si 2 jonctions 0 sont reliées par 1 seul lien, on
peut les réduire à une seule jonction traduisant
l’effort commun
38
Ivan Francois
19
Bond Graphs
Règles de simplifications des Bond
Graphs (3)
1
a
3
3
0
1
EQUIVALENT A
b
1
1
c
1
2
4
3
1
EQUIVALENT A
b
0
0
c
0
2
1
a
e1-e2
f3+f4
d
0
3
1
4
d
4
0
e3+e4
1
f1-f2
2
4
1
2
39
Procédure de construction des modèles
Systèmes électriques
• 1- Fixer un sens de circulation pour le courant qui sera pris
comme sens de transfert de la puissance
• 2- Rechercher tous les nœuds de potentiels différents, placer
une jonction 0 par nœud
• 3- Placer une jonction 1 entre deux jonctions 0 et y attacher les
éléments soumis à la différence de potentiels correspondants
• 4- Relier les jonctions par des liens, en respectant le sens de
transfert de la puissance.
• 5- Choisir un nœud de référence (ou plusieurs suivant les cas)
et supprimer la (ou les) jonction(s) 0 qui y est (sont)
associée(s), ainsi que tous les liens qui y sont attachés.
Simplifier si possible
40
Ivan Francois
20
Bond Graphs
Exemple de système électrique
R:R2
R:R3
R:R1
1
0a
1
0b
0c
0e
1
1
Se
1
1
1
0f
TF
1
C:C1
0g
I:L1
0d
0h
1
I:L2
41
Bond graph associé après
simplifications
42
Ivan Francois
21
Bond Graphs
Procédure de construction des modèles
Systèmes mécaniques
• 1- Fixer un axe de référence pour les vitesses.
• 2- Rechercher toutes les vitesses différentes. Placer une
jonction 1 par vitesse différente. Y attacher les éléments
correspondants.
• 3- Exprimer les relations entre vitesses. Placer une jonction 0
par relation entre les jonctions 1 associées aux vitesses
intervenant dans la relation
• 4- Relier les jonctions par des liens, en respectant le sens de
transfert de la puissance.
• 5- Supprimer les jonctions 1 associées à une vitesse nulle,
ainsi que tous les liens qui y sont attachés.
• Simplifier si possible.
43
Exemple de système mécanique
Le système est composé de:
Une masse m
3 ressorts de raideur C1, C2, C3
3 amortisseurs R1, R2, R3
Les vitesses sont fixées positivement vers
la droite
L’entrée de ce système est la force F(t)
L’amortisseur R2 est soumis à la vitesse V13=V1-V3
Le ressort C3 est aussi soumis à la vitesse V13=V1-V3
On pose une jonction 1 pour cette vitesse V13
44
Ivan Francois
22
Bond Graphs
Placement des jonctions 1 par vitesses avec les
éléments correspondant
R2
1:V13
C3
I:m
Se
1:V1
1:V2
1:V3
1:V12
1:V23
R1
C1
R3
1:V4
1:V34
C2
45
Placement de jonctions 0 par relations entre jonctions 1
R2
1:V13
C3
0
I:m
Se
1:V1
0
1:V2
0
1:V12
1:V23
R1
C1
1:V3
0
R3
1:V34
1:V4
C2
46
Ivan Francois
23
Bond Graphs
Simplification 1
R2
1:V13
C3
0
Se
1:V1
0
V2
1:V3
0
V12
V23
R1
C1
0
I:m
V4
V34
R3
C2
47
Simplification 2
R2
1:V13
C3
0
Se
1:V1
0
1:V3
V23
0
I:m
V4
V34
V12
R1
C1
R3
C2
48
Ivan Francois
24
Bond Graphs
Causalité
49
Causalité
• Le modèle bond Graph permet aussi de faire
apparaitre les relations de cause à effet
• Lorsqu’un système A transmet de la puissance au
système B, nous avons le BG suivant
A
e
f
B
• Un trait causal est placé perpendiculairement au lien
du coté ou l’effort est transmis
• La position du trait causal est indépendante du
sens de la demi flèche
50
Ivan Francois
25
Bond Graphs
A impose un effort e à B qui réagit en
renvoyant un flux f à A
e
A
B
f
e
A
B
f
e
A
B
f
51
A impose un flux f à B qui réagit en
renvoyant un effort e à A
f
A
B
e
e
A
B
f
e
A
f
B
52
Ivan Francois
26
Bond Graphs
Causalité des éléments actifs
• Source d’effort
– L’effort étant imposé par la source, le trait causal
se trouve donc du coté de la flèche
Se
B
• Source de flux
– Le flux étant imposé par la source, le trait causal se
trouve donc du coté opposé à la flèche
Sf
B
53
Elément R
• La causalité de cet élément est indifférenciée
e
R
e=R.f dans ce cas c’est le
flux qui impose l’effort
R
f=e/R dans ce cas c’est
l’effort qui impose le flux
f
e
f
54
Ivan Francois
27
Bond Graphs
Elément C
• Causalité intégrale
e
C
f
1
e(t) =
C
t
∫ f(τ ) dτ
0
L’effort est imposé
l’intégrale du flux
• Causalité dérivée
e
C
f(t) = C
par
de
dt
Le flux est imposé par la
dérivée de l’effort
La causalité intégrale sera préférentiellement choisie
55
pour l’élément C
f
Elément I
• Causalité intégrale
t
e
I
f
1
f(t) =
e(τ ) dτ
I
∫
0
Le flux est imposé par
l’intégrale de l’effort
• Causalité dérivée
e
I
e(t) = I
df
dt
L’effort est imposé par la
dérivée du flux
La causalité intégrale sera préférentiellement choisie
56
pour l’élément I
f
Ivan Francois
28
Bond Graphs
Jonction 0
• La jonction 0 correspond à l’égalité des efforts
• Par conséquent, un seul lien peut imposer son
effort à la jonction
• Un seul lien avec barre de causalité auprès
de la jonction 0
• Exemple
Le lien 1 impose son effort à la jonction 0
e2 f2
e1
f1
0
e3
f3
e4 f4
e2={e1} e3 ={e1} e4={e1}
f1=f2+f3+f4
57
Jonction 1
• La jonction 1 correspond à l’égalité des flux
• Par conséquent, un seul lien peut imposer son
flux à la jonction
• Un seul lien sans barre de causalité auprès
de la jonction 1
• Exemple
Le lien 4 impose son flux à la jonction 1
e2 f2
e1
f1
1
e4 f4
Ivan Francois
e3
f3
f2={f4} f1={f4} f3={f4}
e4=-e1+e3+e2
58
29
Bond Graphs
Transformateur
• Si le flux f1 est imposé en entrée
e1
f1
TF:m
e2
f2
e1=m.e2
f2=m.f1
• Si l’effort e1 est imposé en entrée
e1
f1
TF:m
e2
f2
e2=(1/m).e1
f1=(1/m).f2
59
Gyrateur
• Si le flux f1 est imposé en entrée
e1
f1
GY:r
e2
f2
e1=r.f2
e2=r.f1
• Si l’effort e1 est imposé en entrée
e1
f1
GY:r
e2
f2
f2=(1/r).e1
f1=(1/r).e2
60
Ivan Francois
30
Bond Graphs
Procédure d’affectation de la causalité
• 1- Affecter la causalité (obligatoire) aux sources et
aux R non linéaires et répercuter sur l’environnement.
• 2- Mettre les I et C en causalité intégrale
préférentielle et répercuter sur l’environnement.
• 3- Affecter les causalités aux éléments R linéaires en
respectant les restrictions de causalité aux jonctions.
• 4- En cas de conflit à une jonction, rechercher
l’élément I ou C cause du conflit et le mettre en
causalité dérivée. Boucler en 3.
61
Exemple du BG p.57
R2
1
C3
0
Se
1
0
1
V23
0
I:m
V4
V34
V12
R1
C1
R3
C2
62
Ivan Francois
31
Bond Graphs
Exemple
R2
1
Causalité
obligatoire
source
d’effort
Se
1
C3
0
Causalité
intégrale
élément C
0
1
V23
0
I:m
V4
V34
V12
R1
Causalité
intégrale
élément I
C1
R3
C2
63
Exemple
R2
1
C3
0
Se
1
0
1
V23
Un seul lien avec
barre de causalité
auprès de la
jonction 0
0
V34
I:m
V4
V12
R1
C1
R3
C2
64
Ivan Francois
32
Bond Graphs
Exemple
Un seul lien sans
barre de causalité
auprès de la
jonction 1
Se
R2
1
C3
0
1
0
1
V23
0
V34
I:m
V4
V12
R1
C1
R3
C2
65
Exemple
R2
1
C3
0
Se
1
0
Un seul lien avec
barre de causalité
auprès des
jonctions 0
1
V23
0
V34
I:m
V4
V12
R1
C1
R3
C2
66
Ivan Francois
33
Bond Graphs
Exemple
R2
1
C3
Un seul lien avec
barre de causalité
auprès des
jonctions 0
0
Se
1
0
1
0
V23
V34
I:m
V4
V12
Un seul lien sans
barre de causalité
auprès de la
jonction 1
R1
C1
R3
C2
67
Causalité dérivée
I:M1
Se:F
1:V1
Causalité
dérivée
TF:
I:M2
1:V2
b/a
C:1/k
• Si l’élément M1 est en causalité intégrale,
l’élément M2 est obligatoirement en causalité
dérivée
68
Ivan Francois
34
Bond Graphs
Exercice 1
Affecter les causalités
69
Exercice 2
Affecter les causalités
I:L
Se:U
1:i
R:R
I:J
GY:K
1:ω
R:f
70
Ivan Francois
35
Bond Graphs
Exercice 3
Affecter les causalités
71
Passage du Bond Graph au bloc
de transfert
72
Ivan Francois
36
Bond Graphs
Principe de base
• Transformer chaque élément du BG en un
schéma fonctionnel élémentaire
• Nous noterons toujours p la variable de
Laplace
• Les variables de flux et d’effort seront ici en
flèches pleines
73
Sources
• Source d’effort
f
Se
B
Se
B
e
• Source de flux
e
Sf
B
Sf
B
f
74
Ivan Francois
37
Bond Graphs
Elément R
• 2 possibilités
e
R
e=R.f
f
e
R
f
e
R
f=e/R
f
f
1/R
e
75
Elément I
• 2 possibilités
e
I
f
e=I.p.f
A éviter
e
I
f
f=
e
Ip
e
I.p
f
f
1/I.p
e
A préférer
76
Ivan Francois
38
Bond Graphs
Elément C
• 2 possibilités
e
C
f
e
f
e=
Cp
1/C.p
f
A préférer
e
C
f
f
C.p
f=C.p.e
A éviter
e
77
Transformateur
• Si le flux f1 est imposé en entrée
e1
f1
TF:m
e1=m.e2
e2
f2
e1
m
e2
f1
m
f2
f2=m.f1
• Si l’effort e1 est imposé en entrée
e1
f1
TF:m
e2
f2
e1
f1
1/m
1/m
e2
f2
e2=(1/m).e1
f1=(1/m).f2
Ivan Francois
78
39
Bond Graphs
Girateur
• Si le flux f1 est imposé en entrée
e1
f1
e2
f2
GY:r
e1=r.f2
e1
r
f2
f1
r
e2
e2=r.f1
• Si l’effort e1 est imposé en entrée
e1
f1
e1
e2
f2
GY:r
f1
1/r
1/r
f2
e2
f2=(1/r).e1
79
f1=(1/r).e2
Jonction 0
• Exemple
Le lien 1 impose son effort à la jonction 0
e2 f2
e1
f1
e2={e1} e3={e1} e4={e1}
e3
f3
0
f1=-f2+f3+f4
e4 f4
e2
e3
e1
e2
e1
f1
f2
-
e3
0
e4
e4
f2
f4
f3
f1
f4
f3
80
Ivan Francois
40
Bond Graphs
Jonction 1
• Exemple
Le lien 4 impose son flux à la jonction 1
e2 f2
e1
f1
f1={f4} f3={f4} f2={f4}
e3
f3
1
e4=-e1+e3+e2
e4 f4
f2
f3
f1
e2
e1
f1
e2
e3
1
e4
f4
f2
f4
f3
e1
e4
e3
81
Méthode d’obtention du transfert
• Changer les liens BG en deux signaux (flèche pleine) flux et
effort
• Remplacer chaque jonction 1 en une somme algébrique
d’efforts
• Remplacer chaque jonction 0 en une somme algébrique de flux
• En tenant compte de la causalité, remplacer chaque composant
par la fonction de transfert correspondante
• Réorganiser le schéma fonctionnel obtenu pour placer la
variable d’entrée à gauche et la variable de sortie à droite
• Simplifier le schéma fonctionnel
• Calculer la fonction de transfert
82
Ivan Francois
41
Bond Graphs
Exemple mécanique (1)
F
Vx
1
M
2
1:Vx
Se:F
I:M
4
k
3
R:b
C:1/k
b
On néglige la gravité
f1=f2=f3=f4 (caractéristique d’une jonction 1)
e1=e2+e3+e4 (bilan de puissance)
Avec la causalité:
e2=e1-e3-e4
et
f1={f2} f3={f2} f4={f2}
83
Exemple mécanique (2)
I:M
e2
Se:F
e1
f1
f2
f2
- e3
1
e4
f4
f3
f1
R:b
f4
e1
C:1/k
Se:F
e1
-
e2
1
Mp
e4
k
p
f4
f2
-
e4
e3
Vx
f3
b
e3
Ivan Francois
e2
f3
84
42
Bond Graphs
Exemple mécanique (3)
• Simplification du schéma fonctionnel
F
Vx
1
Mp
-
k
p
+ b
• Fonction de transfert
1
Vx (p)
p
Mp
=
=
F(p) 1 + ( k + b)( 1 ) Mp2 + bp + k
p
Mp
85
Exemple mécanique (4)
• Cette fonction de transfert est équivalente à
Mp 2 Vx + bpVx + kVx = pF(p)
Soit
d 2 Vx
dVx
dF
+ kVx =
dt
dt
dt 2
Après intégration :
M
M
d 2x
dt 2
+b
+b
dx
+ kx = F
dt
86
Ivan Francois
43
Bond Graphs
Exemple électrique (1)
Vs
Jonction 1:
I:L
f2
e2
e1
e3
e5
- e4
1
Se:E
f1
C:C1
f4
f3
e2=e1-e3-e4
f5
f1=f3=f4={f2}
0
e6
R:R1
Jonction 0:
f6
f5=f4-f6
e4=e6={e5}=Vs
R:R2
87
Exemple électrique (2)
• Schéma fonctionnel
Se:E
e1
-
e2
e3
R1
1
Lp
f2
f4
f5
-
f3
f6
e5
1
C1p
1
R2
e6
e4
Se:E
-
1
R1 + Lp
R2
1 + R2C1p
e5
88
Ivan Francois
44
Bond Graphs
Exemple électrique (3)
• Après simplification:
Se:E
-
R2
(R1 + Lp)(1 + R2C1p)
E5=Vs
• Conclusion
Vs
R2
=
E
R2 + (R1 + Lp)(1 + R2C1p)
89
Passage du Bond Graph à la
représentation d’état
90
Ivan Francois
45
Bond Graphs
Vecteur d’état
• Le vecteur d’état est composé des variables d’énergie p et q
associées aux éléments I et C du BG
p
x= 
q 
p&  e 
&x =   =  
q&  f 
Rappel
:
q
C
p
f =
I
e =
• Si tous les éléments sont en causalité intégrale, la
dimension de x est égale au nombre d’éléments I et C
• Si parmi les n éléments I et C il en existe nd en causalité
dérivée, alors la dimension du vecteur d’état est n-nd
91
Représentation d’état
• Si tous les I et C sont en causalité intégrale, alors l’équation
d’état est sous forme d’équations différentielles ordinaires :
Cas général
 x& = f(x, u)
:
 y = g(x, u)
Cas linèaire
 x& = Ax + Bu
:
 y = Cx + Du
• avec u et y les vecteurs d’entrée et de sortie.
• A matrice d’état, B matrice de commande
• C matrice d’observation, D matrice de liaison directe
92
Ivan Francois
46
Bond Graphs
Méthode systématique pour obtenir la
représentation d’état
• Ecrire les lois de structure aux jonctions en
tenant compte de la causalité
• Ecrire les lois associées aux éléments en tenant
compte de la causalité
• Combiner ces différentes lois pour expliciter
les dérivées des variables d’état en fonction
des variables d’état (x) et des entrées (u)
• Définir le vecteur des variables mesurées y
93
Conversion état-transfert
On utilise l’opérateur de dérivation p=d /dt
px=Ax+Bu
(pI-A)x=Bu
x=(pI-A)-1Bu
L’équation de sortie y=Cx+Du donne:
y=[C(pI-A)-1B+D]u
Soit
H(p)=C(pI-A)-1B+D
94
Ivan Francois
47
Bond Graphs
Exemple mécanique
F
Vx
1
Se:F
M
4
k
2
1:Vx
I:M
3
R:b
C:1/k
b
Jonction1:Vx
f1=f3=f4={f2}
e2=e1-e3-e4
(1)
Elément C:1/k
(3)
Elément I:M
p& 2 = e2
(2)
1
.p2
M
Elément R:b
(4)
e3=b.f3
f2 =
q& 4 = f4
e4 = k.q4
95
Expression du vecteur d’état (1)
• 2 éléments en causalité intégrale donc
p2
x= 
q4
• Il faut exprimer p& 2 et q& 4
et F
en fonction de p2,q4
• Méthode: Démarrer avec l’expression de p& 2 puis, en
utilisant les équations du tableau, effectuer plusieurs
substitutions jusqu’à ne faire apparaitre dans le membre de
droite que des composante de x ou de F
96
Ivan Francois
48
Bond Graphs
Expression du vecteur d’état (2)
(2) ⇒ p& 2 = e2
• En utilisant (1): p& 2 = e1 - e3 - e4
• En remplçant avec (4) et (3): p& 2 = F - bf2 - kq4
• (2) donne
p& 2 = F - b
p2
- kq4
M
• L’équation (3) donne
q& 4 = f4 = f2 =
p2
M
97
Représentation d’état
 b
 p& 2   − M
 q& 4  =  1
  
 M

− k   p2  1 
.  +  .F
0   q4   0 

• Si on mesure la sortie Vx
1 
y = Vx= 
0 .x
M 
98
Ivan Francois
49
Bond Graphs
Fonction de transfert
La fonction de transfert se calcule par
H(p)=C.(pI-A)-1.B+D
− b
p 0   M
pI − A = 
−
0 p   1
M
b

p + M
 1
−
 M
b
 
− k  p +
M
= 1
0  −
  M

k

p

−1

k
 p
M
 1
 =
2
Mp + bp + k −
p
 M

H(p) =
M
1
Mp + bp + k  M
H(p) =
Vx
p
=
F
Mp 2 + bp + k
2
k

b
p+ 
M
 p

0. 1
 −
 M
k

b
p+ 
M
1
0
 
99
Exemple avec causalité mixte
5
2
1
3
4
6
• 2 éléments en causalité intégrale donc
p2
x= 
q6
100
Ivan Francois
50
Bond Graphs
Equations associées aux jonctions et
aux éléments
Jonction 1: V1
e2=e1-e3
f1=f3={f2}
(1)
Transformateur TF
f4=(b/a)f3
e4=(a/b)e3
(4)
Jonction 1: V2
e4=e5+e6
f6=f5={f4}
(2)
Elément I:M1
(5)
p& 2 = e2
f2 =
Elément C:1/k
(3)
Elément I:M2
(6)
p& 5 = f5
q& 6 = f6
e6 =
1
p2
e2 =
M1p
M1
k
f6 = k.q6
p
f5 =
1
p5
e5 =
M2p
M2
101
Expression de p5
• M2 est en causalité dérivée. Il faut exprimer p5
en fonction des composantes du vecteur d’état:
p2 et q6
p5 = M2.f5 = M2.f4
b
b
p5 = M2. .f3 = M2. .f2
a
a
b p2
b M2
p5 = M2. .
= p2. .
a M1
a M1
p5 dépend de p2
102
Ivan Francois
51
Bond Graphs
Expression de p2 et q6
p& 2 = e2 = e1 - e3
b
b
.e4 = F − .e4
a
a
b
b
p& 2 = F − .(e5 + e6) = F − .( p& 5 + kq6)
a
a
b
b M2
p& 2 = F − .( p& 2. .
+ kq6)
a
a M1
1
b


p& 2 =
F − .k.q6 
2 
M2 b 
a

1+
. 2
M1 a
p& 2 = e1 -
q& 6 = f6 = f4 =
b
b
f3 = f2
a
a
b p2
q& 6 = .
a M1
103
Expression de l’équation d’état
b


− .k 

1


a
 0
2 
2 

M2
b
M2
b
x& = 
1+
.  x + 1 +
. 2 F

M1 a 2 
 M1 a 
 b

0


0
 a.M1

p2
x= 
q6
Si on mesure V2:
 b

y=
0 x
 aM1 
104
Ivan Francois
52
Bond Graphs
Systèmes mécaniques
105
Translation horizontale
V1
F
k1
m1
V2
k2
m2
b
Le ressort k1 et le frottement
visqueux b sont soumis à la même
différence de vitesse V1-V2
106
Ivan Francois
53
Bond Graphs
Simplification
V13=V1-V3
Plaçons les causalités
et numéros de liens
107
Passage au schéma bloc et équations de
chaque jonction
e4=e5+e6
f5=f6={f4}
I:m1
e2
e1
Se:F
f3
-
e3
e6
1:V13
f5
f4
f2
1:V1
Ivan Francois
C:1/k1
e5
f6
R:b
e4
0
I:m2
e8
e7
-
e2=e1-e3
f4=f3-f7
f3=f1={f2}
e3=e7={e4}
f7
f8
1:V2
e9
e8=e7-e9
f7=f9={f8}
f9
C:1/k2
108
54
Bond Graphs
Simplification du schéma bloc (1)
f5
e5
k1/p
e6
b
f6
f4
e4
1/m1.p
1/m2.p
f2
e2
e8
e1=F
e7
- e3
-
f3
f1
f8
e9
f7
f9=V2
k2/p
109
Simplification du schéma bloc (2)
f5
e2
e1=F
1/m1.p
f4 f6
f2
-
e3 -
k1/p
b
e5
e6
e7
e4
e8
e9
1/m2.p
f8
k2/p
f7
f9=V2
e2
e1=F
e3 -
1/m1.p
f2
f7
-
b+ k1/p
p/(m2.p2+k2)
f9=V2
110
Ivan Francois
55
Bond Graphs
Fonction de transfert
F
-
1/m1.p
b+ k1/p
p/(m2.p2+k2)
V2
m1.p
F
-
b.p + k1
m1.p 2 + b.p + k1
V2
p/(m2.p2+k2)
m1.p
V2(p)
p(k 1 + b.p)
=
2
F(p)
(m 1 .p + b.p + k 1 )(m 2 .p 2 + k 2 ) + m1 .p 2 (k 1 + b.p)
111
Pendule à bras élastique
x
r = x 2 + y2
r
Se:mg
y
mg
Les vitesses Vx, Vy, Vr sont
reliées entre elles
Ivan Francois
1:Vx
I:m
1:Vy
I:m
1:Vr
C:1/k
dr ∂r ∂x ∂r ∂y
= . + .
dt ∂x ∂t ∂y ∂t
x
y
Vr =
Vx+
Vy
2
2
2
112
x +y
x + y2
56
Bond Graphs
BG du pendule à bras élastique
• Les gains des MTF notés mx et my:
Vr=mx.Vx+my.Vy
∫
x
∫
y
Fx
1:Vx
1:Vy
MTF:mx
Fy
MTF:my
Fr
mxVx
0:Fr
Fr
myVy
Fr
Vr
1:Vr
• x et y sont indispensables pour obtenir mx et my
• Les liaisons sont de type signal d’où les flèches
pleines
113
BG global (intégrateurs non
représentés)
I:m
C:1/k
I:m
1
4
7
1:Vx
2
MTF:mx
3
0:Fr
5
MTF:my
6
1:Vy
8
Se:mg
• 3 variables d’état:
– les moments liés aux liens 1 et 7:
px=p1 et py=p7
– Le déplacement lié au lien 4:
q4=qr
Ivan Francois
114
57
Bond Graphs
Équations d’état
• Les équations d’état s’obtiennent en appliquant la
méthode systématique:
x
p& x = −
py
p
y
q& 4 = q& r =
. x+
.
x 2 + y2 m
x 2 + y2 m
x
p& y = −
x 2 + y2
y
2
x + y2
.k.q r
.k.q r + mg
• De plus, nous avons besoin de x et y comme
variables d’état pour les utiliser dans les MTF
x& =
px
m
y& =
py
m
115
Remarques sur la représentation d’état
• Il y a 5 équations d’état or le système possédant 2
degrés de liberté, il aurait suffi 4 composantes au
vecteur d’état
• Nous avons donc une représentation redondante, le
couple x, y aurait suffi à modéliser le système
• Les non-linéarités géométriques imposent l’usage
de MTF ou de MGY
• Ces non-linéarités conduisent à des représentations
d’état non linéaires
116
Ivan Francois
58
Bond Graphs
Engrenage
J1
ω1 Γ2 r2 1
= = =
ω2 Γ1 r1 m
Γ1
ω1
ω2
Γ2
J2
I:J1
Se:Γ1
1:ω1
R:b1
J2 est en causalité dérivée
Une seule des 2 vitesses fera partie du
vecteur d’état
I:J2
TF:m
1:ω2
R:b2
R:b
117
Systèmes électriques
118
Ivan Francois
59
Bond Graphs
Rappels
Effort e
U: tension (V)
Flux f
i: courant (A)
Moment p
Φ: flux magnétique (Wb)
Déplacement q
q: charge (C)
Élément R
R: Résistance (Ω)
Élément I
L: inductance (H)
Élément C
C: capacité (F)
119
Circuits actifs
• Schéma de l’amplificateur opérationnel avec entée +
à la masse
i1
-
Ve
+
i2
Energie
externe
is
Vs
Vs=-G.Ve
• Les courants i1 et i2 sont pratiquement nuls
• Le gain G est très élevé (104 à 106)
120
Ivan Francois
60
Bond Graphs
Représentation
• Le schéma simplifié est le suivant:
i1
is
-
Ve
G
Vs
• L’intensité i1 étant très faible, elle n’apparait pas dans leBG
• L’AO est représenté par une source d’effort (Vs) modulée par
un signal Ve
Ve
MSe:-G
Vs
is
121
Exemple: montage inverseur
i2
R2
i1
R1
Ve
U
+
Vs
MSe:-G
7
Se:Ve
1
1:i1
2
R:R1
Ivan Francois
3
0:U
4
1:i2
6
0:Vs
8
Se:Vs
5
R:R2
122
61
Bond Graphs
Schéma fonctionnel
• f8=0
-G
e1=Ve
e3=U=e4
-
-
e6
e2
f7
R1
1/R2
f2
f1
f3
f4
f5
f6
-
f8=0
-G
e1=Ve
U
- e6
Vs
R1/R2
123
Fonction de transfert de l’inverseur
e1=Ve
Vs
-
-G
-
Ve
-
Vs
-
-G
-1/G
R1/R2
Ve
-
Vs
-G
R1/R2
R1/R2
Vs
−G
− G .R 2
=
=
Ve 1 + ( − G )( − 1 + G . R1 ) 1 + (1 + G ) R1
G R2
(-1/G)-1
• Lorsque G est très élevé, Vs/Ve=-(R2/R1)
124
Ivan Francois
62
Bond Graphs
Magnétisme
• Soit un conducteur de longueur L situé
dans un champ magnétique B
• S’il est parcouru par le courant i, il sera
soumis à la force:
r r r
F = iL ∧ B
e
B
i
F
• Si on lui applique la force F, il fournira la
tension
dϕ
dx
e=−
= BL
= BLV
dt
dt
F
V
GY:B.L
e
i
125
Moteur à courant continu
• Soit un moteur à courant continu de résistance d’induit r et
d’inductance l
• Il entraine une charge matérialisée par l’inertie J et le
frottement visqueux b
• if est le courant d’inducteur
126
Ivan Francois
63
Bond Graphs
BG associé au moteur à courant
continu en charge
127
Systèmes hydrauliques
128
Ivan Francois
64
Bond Graphs
Procédure systématique de
construction du Bond Graph
• Fixer un sens de circulation pour le fluide. Il sera pris comme
sens de transfert de la puissance.
• Rechercher tous les nœuds de pressions différentes. Placer une
jonction 0 par nœud.
• Placer une jonction 1 entre deux jonctions 0 et y attacher les
éléments R, I, C soumis à la différence de pressions
correspondantes.
• Relier les jonctions par des liens, en respectant le sens de
transfert de la puissance.
• Choisir une pression de référence (pression atmosphérique en
général) et supprimer les jonctions 0 qui y sont associées, ainsi
que tous les liens qui y sont attachés. Simplifier si possible
129
Elément R
• Il traduit une dissipation d’énergie à travers une
restriction
• Elle est différente selon que l’écoulement est
laminaire ou turbulent
• La classification se fait en fonction du nombre de
Reynold
– v: vitesse moyenne du fluide
– d: diamètre de la section de passage
– ν: viscosité du fluide (m2/s)
• Si Re<1000, l’écoulement est laminaire, si Re>1000
l’écoulement est turbulent
130
Ivan Francois
65
Bond Graphs
Cas d’un écoulement turbulent
• L’expression liant débit et pression est
Q = k. Pa− Pb
Pa
Pb
R =
Q
Pa − Pb
Q
Soit R =
•Le BG utilise un
élément R variable. Il
est représenté par une
bulle
Pa − Pb
k
R(Pa-Pb)
e=Pa-Pb Q
Pa
Q
1
Pb
Q
131
Cas d’un écoulement laminaire
• L’expression liant débit et pression est
Q = k.(Pa− Pb)
R:1/k
e=Pa-Pb Q
Pa
Pb
Q
Pa
Q
1
Pb
Q
132
Ivan Francois
66
Bond Graphs
L’élément inertiel en hydraulique
•
•
•
•
Considérons une conduite de longueur l et de section S
Isolons une masse m de ce fluide m=ρ.l.S
Soit v la vitesse de ce fluide Q le débit v=Q/S(1)
La force motrice F appliquée à la masse m de ce fluide est
proportionnelle à la différence de pression
F=S(P1-P2)
l
• En appliquant le PFD:
P1
P2
ρ.S.l
Q
d(Q/S)
S
= S(P1- P2)= S.P⇒ Q =
P.dt
dt
ρ.l
∫
S
P=P1-P2
t
1
e(τ ) dτ Soit
• À identifier avec f(t) =
I
∫
I=
ρ.l
S
0
(1) v=Q/S est la vitesse unidimensionnelle moyenne d’un fluide incompressible
133
L’élément capacitif en hydraulique
Considérons une cuve fermée de section constante S
alimentée par un débit volumique Q(t)
Le niveau H(t) vérifie la relation
S.
t
Soit
dH
=Q
dt
1
H(t)=
Q(τ ) dτ
S
∫
0
Q
Effort P(t) pression P=ρ.g.H
H
S
Soit
Flux Q(t) débit volumique
t
1
P(t) = ρ .g .
Q(τ ) dτ
S
∫
0
t
et
1
e=
f(τ ) dτ
C
∫
0
1 ρ.g
=
C S
134
Ivan Francois
67
Bond Graphs
Principe de Pascal
F1
• Gravité
et
accélération
négligée
• Conservation de la matière:
V1S1=V2S2
• Conservation de la puissance:
F1V1=F2V2
• Conclusion
F2
V2
V1
S1
S2
m =
e1:F1
S1
S2
F1
F2
=
S1
S2
TF:m
1:V1
1:V2
e2:F2
135
Piston vérin
Fluide incompressible, masse
piston négligée
Q
V
P
P=F/S
F
S
Conservation de puissance:
P.Q=F.V
F
V
TF:S
P
Q
136
Ivan Francois
68
Bond Graphs
Pompe
Rendement = 1, Vo= cylindrée de la pompe
ω = vitesse de rotation fournie par moteur externe
Puissance conservée: P.Q=P.Vo.ω=Γ.ω
Γ
ω
TF:Vo
P
Q
137
Systèmes thermiques
138
Ivan Francois
69
Bond Graphs
Vrai Bond graphs
Effort
T: température
Flux
dS/dt : flux d’entropie
Moment
Non utilisé
Déplacement
S: entropie
Puissance
T(t).dS/dt
Energie
E = ∫ T dS
139
Limite des vrais BG en thermique
• Les BG construits avec ces conventions sont des vrais
BG
• Ces graphes sont utilisables pour représenter des
transformations complexes qui apparaissent dans
certaines machines industrielles
• Cependant, ces conventions présentent l’inconvénient
d’utiliser des éléments spéciaux comme les capteurs
d’entropie qui ne sont pas très courants
• Dans ce cours, nous utiliserons les pseudo-Bond
Graphs
140
Ivan Francois
70
Bond Graphs
Pseudo-Bond graphs
Effort
T: température (K)
Flux
dQ/dt : flux thermique (J/s)
Moment
Non utilisé
Déplacement
Q: quantité de chaleur (J)
Puissance
Le produit e.f n’est pas une
puissance
Pas de notation
Energie
141
Conséquences sur l’utilisation des
Pseudos-Bond Graph (PBG)
• Il n’est pas possible d’utiliser des TF pour
représenter des changements de type énergie
• Tous les phénomènes thermodynamiques ne
peuvent pas se représenter avec ces
conventions
• Nous nous limiterons aux solides ou liquides
incompressibles: dQ=dU=dH
• Nous supposerons les températures homogènes
à l’intérieur des corps considérés
142
Ivan Francois
71
Bond Graphs
Procédure systématique de
construction d’un PBG
• Affecter une jonction 0 à chaque température
• Relier un élément C si nécessaire
• Choisir un sens de circulation des échanges
thermiques
• Insérer un jonction 1 entre chaque jonction 0 si
un élément R est situé entre 2 températures
correspondantes
• Affecter le sens de transmission de la
puissance en reliant les jonctions par des liens
143
Élément C
• L’élément C se rencontre essentiellement pour
modéliser l’accumulation d’énergie
• Considérons une enceinte contenant un liquide
incompressible à pression P constante
F
P
dx
• Le travail élémentaire reçu par la masse unité de
fluide est:
δW=- Pdv
144
Ivan Francois
72
Bond Graphs
Élément C représentation en PBG avec
jonction 0
• Par convention, le travail reçu par le fluide est positif s’il s’agit
d’une compression
• La quantité de chaleur échangée avec l’extérieur est notée δQ
• Si le fluide est incompressible, nous avons dQ=du=dh
• La variation de quantité de chaleur interne vérifie le bilan
dQi dQe dQs
=
−
dt
dt
dt
Qi = Qe − Qs
C
T
Sf:dQe/dt
T
dQi/dt
0:T
dQe/dt
T
dQs/dt
145
Élément C: équation
• L’élément C est en causalité intégrale donc
1 dQi
T= ∫
.dt
C dt
• Nous avons dQi=M.c.dT avec
– M: masse du liquide
– c: chaleur massique (J/Kg/°C)
– Qi : quantité de chaleur reçue ou cédée par le liquide (en J)
• Soit
C=M.c
146
Ivan Francois
73
Bond Graphs
Élément R
• Il traduit le phénomène de conduction thermique
• Considérons une paroi mince de température T
T
T2
T1
• T1: température de la face chaude, T2 celle de la face
froide de la paroi
e
• La résistance thermique est donnée par R =
– e: épaisseur de la paroi (m)
– λ: conductibilité thermique (J/s)/(m.°C)
– A: surface d’échange (m2)
λ.A
147
Élément R représentation en PBG avec
jonction 1
• Le flux thermique traversant la paroi est donné
par
dQ 1
dt
=
R
.(T1− T2)
• Cette paroi transmet la quantité de chaleur de
sorte que
dQ dQ1 dQ2
=
=
dt
dt
dt
R:e/λA
T
Se:T1
Ivan Francois
T1
dQ/dt
dQ/dt
1
T2
dQ/dt
148
74
Bond Graphs
Chauffage par conduction
• Pour chauffer un liquide (à température T2)
nous le plaçons dans une enceinte dont les
parois sont portées à température T3 par
circulation d’un liquide chaud (température
T4)
• Hypothèse: T4 constant et T1 (air) constant
T1
T4
T2
T3
149
Notations
•
•
•
•
•
•
•
m2 et m4 masse des liquides chauffé et chauffant
m3: masse des parois
c2, c4: chaleurs massiques des liquides (J/Kg.K)
C2: capacité calorifique du liquide 2 C2=m2.c2 (J/K)
C3: capacité calorifique du liquide 3 C3=m3.c3 (J/K)
R3: résistance thermique (conduction de la paroi)
R2: résistance thermique associée à l’échange entre le
liquide 2 et l’air
150
Ivan Francois
75
Bond Graphs
Représentation du PBG
•
•
•
•
•
•
•
•
Température des parois et du liquide chauffé: jonction 0:T3 et 0:T2
Air extérieur: Se:T1
Liquide chauffant: Se:T4
Evolution de T3: C3 relié à 0:T3
Evolution de T2: C2 relié à 0:T2
Conduction entre liquide chauffant et paroi: jonction 1 avec R3
Conduction entre paroi et liquide 2 : jonction 1 avec R3
Conduction entre liquide 2 et l’air ambiant : jonction 1 avec R2
Se:T4
1
R:R3
0:T3
1
0:T2
C:C3
R:R3
C:C2
Se:T1
1
R:R2
151
Equations
Se:T4
1
0:T3
10
11
12
R:R3
1
0:T2
13
15
Se:T1
1
17
19
14
16
18
20
C:C3
R:R3
C:C2
R:R2
e12=e10-e11
f10=f11={f12}
f14=f11-f13
e11=e13={e14}
e16=e13-e15 f18=f15-f17
f13=f15={f16} e17=e15={e18}
e20=e17-e19
f17=f19={f20}
e12=R3.f12
e14=(1/C3)q14
d(q14)/dt=f14
e16=R3.f16
e20=R2.f20
e18=(1/C2)q18
d(q18)/dt=f18
152
Ivan Francois
76
Bond Graphs
Variable d’état
• Les 2 éléments C2 etC3 sont en causalité intégrale
donc dim(x)=2
q18
x= 
q14
q& 18 = f 18 = f 15 − f 17
q& 18 = f 16 − f 20 =
e 16 e 20
−
R3 R2
q& 14 = f14 = f11 − f13
q& 14 = f12 − f16 =
e12 e16
−
R3 R3
q& 18 =
1
1
(e 13 − e15 ) −
(e 17 − e19 )
R3
R2
q& 14 =
1
(T4 − e14 - e14 + e15 )
R3
q& 18 =
1
1
(e 14 − e 18 ) −
(e 18 − T1)
R3
R2
q& 14 =
1
(−2e14 + e18 + T4)
R3
q& 18 =
1
1
1
1
e 14 + ( −
−
)e 18 +
T1
R3
R3 R2
R2
153
Représentation d’état
Les 2 températures d’entrées sont T1 (considérée
comme une perturbation) et T4. La température de
sortie est T2
T2=e18=(1/C2)q18
 −1  1
1 
1 
 1


+


R
&
q
18
  C R
R 2  C2 R 3 
x& =   =  2  3
.x +  2
1
−2 
 0
q& 14 



R 3C3
R 3C3 

1

T2 = 
0 x
 C2


0 
.u
1 
R 3 
 T1
u= 
T4
154
Ivan Francois
77