re ch3

1
GEL-15216 Électrotechnique
CORRIGÉ DES EXERCICES DU CHAPITRE 3
3.1
µr = 3000
3 cm
Entrefer
0.5 mm
3 cm
N = 250
12 cm
Longueur moyenne
du circuit magnétique
3 cm
3 cm
30 cm
3 cm
9 cm
a) Réluctance du circuit magnétique:
–3
0.5 ×10
0.3
l
e
5 = 5 Fer + 5air = ------+
------------------------------------------------+ ---------- = --------------------------------------------------------------–7
–4
–7
–4
µA
µ0 A
3000 ( 4π ×10 ) ( 9 ×10 )
( 4π ×10 ) ( 9 ×10 )
5 = 8.842 ×104 + 4.42 ×105 = 5.305 ×105
2
2
( 250 )
N
L = ------- = --------------------------5- = 0.1178 H
5
5.305 ×10
L’inductance de la bobine:
–4
b) Flux magnétique dans le noyau: φ = BA = 1.2 × 9 ×10
On a:
Ni
φ = -----R
Alors:
5.305 ×10 × 1.08 ×10
Rφ
i = ------- = ------------------------------------------------------------ = 2.29 A
250
N
5
= 1.08 ×10
–3
Wb
–3
3.2
Entrefer 2.5 mm
e
Entrefer 1 mm
A
a
B
C
I = 2.5 A
a = 2 cm
b = 4 cm
c = 10 cm
N = 200 tours
c
d = 14 cm
b
e = 5 cm
a
a
a
F
µ = 3000µ0
a
E
a
D
d
a) Circuit équivalent du système électromagnétique:
2
GEL-15216 Électrotechnique
RAB
RBC
φe1
φe1
φe2
φ
φe2
φ
Re1
Re2
REFAB
RFA
RY
RX
RCD
+
NI
REF
(RBE + Re1)
+
NI
RBE
-
(RBCDE + Re2)
RDE
On calcule les valeurs des réluctances.
–3
e1
6
2.5 ×10
- = 0.9947 ×10 A.t/Wb
R e1 = ---------- = ------------------------------------------------–7
–3
µ0 A
( 4π ×10 ) ( 2 ×10 )
–3
e2
5
1 ×10
- = 7.9577 ×10 A.t/Wb
R e2 = ---------- = ------------------------------------------------–7
–3
µ0 A
( 4π ×10 ) ( 1 ×10 )
l EFAB
4
0.2
R EFAB = --------------- = --------------------------------------------------------------- = 5.3052 ×10 A.t/Wb
7
3
–
–
µA
3000 ( 4π ×10 ) ( 1 ×10 )
4
R BCDE = R EFAB = 5.3052 ×10 A.t/Wb
l BE
4
0.08
R BE = -------- = --------------------------------------------------------------- = 1.061 ×10 A.t/Wb
–7
–3
µA
3000 ( 4π ×10 ) ( 2 ×10 )
4
6
6
R X = R BE + R e1 = 1.061 ×10 + 0.9947 ×10 = 1.005 ×10 A.t/Wb
4
5
6
R Y = R BCDE + R e2 = 5.3052 ×10 + 7.9577 ×10 = 0.8488 ×10 A.t/Wb
b) L’inductance de la bobine est égale à:
2
N
L = ---------R eq
On a:
où Req est la réluctance vue par la bobine.
4
6
6
5
R eq = R EFAB + ( R X || R Y ) = 5.3052 ×10 + ( 1.005 ×10 || 0.8488 ×10 ) = 5.1321 ×10 A.t/Wb
2
200
L = ------------------------------ = 77.9 mH
5
5.1321 ×10
c) On calcule les flux magnétiques circulant dans le circuit magnétique:
200 × 2.5
NI
–4
- = 9.7426 ×10 Wb
φ = -------------------------------------------------- = -------------------------------------------------------------------------------------------------------4
6
6
R EFAB + ( R X || R Y )
5.3052 ×10 + ( 1.005 ×10 || 0.8488 ×10 )
Donc:
Les flux magnétiques dans les entrefers sont calculés à l’aide de la loi du diviseur de courant:
6
RY
0.8488 ×10
–4
–4
- × 9.7426 ×10 = 4.4608 ×10 Wb
φ e1 = --------------------- × φ = --------------------------------------------------------------6
6
RX + R Y
1.005 ×10 + 0.8488 ×10
φ e2 = φ – φ e1 = 9.7426 ×10
–4
– 4.4608 ×10
Les densités de flux dans les entrefers sont:
–4
φ e1
4.4608 ×10
B e1 = --------- = -------------------------------- = 0.223 T
–3
A1
2 ×10
–4
= 5.2818 ×10
–4
Wb
3
GEL-15216 Électrotechnique
–4
φ e2
5.2818 ×10
B e2 = --------- = --------------------------------- = 0.528 T
–3
A2
1 ×10
3.3
a) Le flux maximal (valeur crête) dans le noyau magnétique est égal à:
Vm
240 × 2
φ m = -------- = ----------------------------- = 0.0012 Wb
Nω
750 × 120π
φm
0.0012
La densité maximale de flux dans le noyau magnétique est: B m = ------- = ------------------------------------------ = 1.0 T
–2
–2
A
3 ×10 × 4 ×10
b)
La réluctance du noyau magnétique est égale à:
5
0.42
l
- = 1.114 ×10 At/Wb
R = ------- = --------------------------------------------------------------------------------------7
2
2
–
–
–
µA
2500 ( 4π ×10 ) ( 3 ×10 × 4 ×10 )
2
3.4
L’inductance de la bobine est:
N
750 × 750
L = ------- = --------------------------5- = 5.05 H
R
1.114 ×10
La réactance de la bobine à 60 Hz est:
X L = ωL = 120π × 5.05 = 1903 Ω
Le courant dans la bobine est:
V
240
I L = ------ = ------------- = 0.126 A
XL
1903
a) Le flux maximal (valeur crête) dans le noyau magnétique est égal à:
Vm
200 × 2
φ m = -------- = ----------------------------- = 0.0038 Wb
Nω
200 × 120π
φm
0.0038
La densité maximale de flux dans le noyau magnétique est: B m = ------- = ------------------------------------------ = 1.5 T
–2
–2
A
5 ×10 × 5 ×10
b)
I0
Ic
Vs
Ic
Im
+
Vs
Rc
Xm
200 V
60 Hz
Im
I0
Le courant d’excitation est égal à:
S
500
I 0 = ---- = ---------- = 2.5 A
V
200
La composante active du courant I0:
50
I c = ---------- = 0.25 A
200
La composante réactive du courant I0:
Im =
Le facteur de puissance à l’entrée:
P
50
fp = ---- = ---------- = 0.1
S
500
La résistance Rc (pertes Fer) est:
Vs
200
R c = ------ = ----------- = 800 Ω
Ic
0.25
La réactance magnétisante Xm est:
V
X m = ------ = 80.4 Ω
Q
2
2
I0 – I c =
2
2
2
2.5 – 0.25 = 2.4875 A
4
GEL-15216 Électrotechnique
3.5
4
0.56
l
La réluctance du noyau magnétique: R = ------- = --------------------------------------------------------------------------------------- = 7.4272 ×10 At/Wb
–7
–2
–2
µA
2500 ( 4π ×10 ) ( 4 ×10 × 6 ×10 )
2
L’inductance de la bobine:
N
218 × 218
L = ------- = -----------------------------4- = 0.6399 H
R
7.4272 ×10
La réactance magnétisante:
X m = ωL = 120π × 0.6399 = 241.22 Ω
La résistance du fil de cuivre:
r = 218 × 0.2 × 0.0338 = 1.474 Ω
I0
r
Im
Ic
V
Ic
+
Rc
V
jXm
Im
Courant magnétisant:
V – rI 0
240 – 1.474
I m ≈ ---------------- = ------------------------------- = 0.9888 A
Xm
241.22
Courant Ic:
Ic =
La résistance Rc:
V
240
R c = ---- = --------------- = 1610 Ω
Ic
0.149
2
2
I0 – Im =
2
I0
2
1 – 0.9888 = 0.149 A
2
b) Pertes Cuivre:
P Cu = rI 0 = 1.474 W
Pertes Fer
P Fer = V × I c = 240 × 0.149 = 35.78 W
P
1.474 + 35.78
c) Le facteur de puissance à l’entrée: fp = ---- = ------------------------------------ = 0.155
S
240 × 1
On a:
fp = cos φ = 0.155
On déduit:
φ = 81°
3.6
Remarque: Il n’y a pas de solution unique pour ce problème
On peut commencer par écrire différentes relations entre les paramètres de la bobine.
La tension appliquée est sinusoïdale. Par conséquent, le flux est aussi sinusoïdal avec une valeur crête de
Vm
φ m = -------- , avec V m = 170 V, N = nombre de tours, et ω = 120π rad/s.
Nω
La densité de flux maximale (valeur crête) est donnée par:
φm
Vm
où A est la section effective du circuit magnétique.
B m = ------- = ------------A
NAω
Cette valeur doit être inférieure ou égale à 1.4 T. On choisit donc Bm = 1.4 T.
La relation entre le champ magnétique H et le courant I peut être écrite comme:
NI eff
où Heff = valeur efficace de H, Ieff = valeur efficace de I, et l = longueur moyenne
H eff = -----------l
du parcours magnétique = 0.44 m.
5
GEL-15216 Électrotechnique
14 cm
Parcours moyen = 44 cm
8 cm
8 cm
14 cm
3 cm
3 cm
V eff
Le courant efficace est donné par: I eff = ----------------------- , avec Veff = 120 V, L = inductance de la bobine = 100
120π × L
mH.
120
Alors:
I eff = ----------- = 3.183 A
37.7
La forme d’onde de H est obtenue à l’aide de la caractéristique de magnétisation CC.
H eff = 385 A/m.
La valeur efficace de H peut être estimée graphiquement:
On peut déduire N:
H eff × l
385 × 0.44
N = ------------------ = ---------------------------- = 53 tours
I eff
3.183
On déduit la section du circuit magnétique:
Vm
170
A = ----------------- = ------------------------------------- = 60.8 cm2
53 × 1.4 × 377
NB m ω
2
L’épaisseur du circuit magnétique est égale à:
60.8cm
----------------------- = 20.27 cm.
3cm
6
GEL-15216 Électrotechnique
20.27cm
--------------------------------------------------- = 600 laminations
( 0.3556mm ) × 0.95
Le nombre de laminations est:
3.183
Avec une densité de courant de 4 A/mm2, la section du fil de cuivre sera: s = --------------- = 0.796 mm2.
4
Donc, le fil no. 18 (section = 0.821 mm2) peut être utilisé.
3.7
a)
12 cm
Longueur du parcours magnétique moyen = 0.56 m
16 cm
Réluctance de la bobine 1:
4
0.56
l
R 1 = ------- = --------------------------------------------------------------------------------------- = 6.6315 ×10 At/Wb
–7
–2
–2
µA
2800 ( 4π ×10 ) ( 4 ×10 × 6 ×10 )
L’inductance de la bobine 1:
2
N1
125
L 1 = ------- = ------------------------------ = 0.2356 H = 235.6 mH
4
R1
6.6315 ×10
2
Réluctance de la bobine 2:
–3
5
e
l
0.56
1 ×10
R 2 = ------- + ---------- = ---------------------------------------------------------------------------------------- + -------------------------------------------------------------------------- = 3.9789 ×10 At/Wb
–7
–2
–2
–7
–2
–2
µA µ 0 A
2800 ( 4π ×10 ) ( 4 ×10 × 6 ×10 ) ( 4π ×10 ) ( 4 ×10 × 6 ×10 )
2
L’inductance de la bobine 2:
2
N2
125
L 2 = ------- = -----------------------------5- = 0.0471 H = 47.1 mH
R2
3.9789 ×10
b)
I0
1.375 A
+
Vs
Ic
Ic
Vs
Im
Xm
Rc
120 V
60 Hz
Im
I0
La réactance de la bobine 1:
X m = ωL 1 = 120π × 0.2356 = 88.83 Ω
Le courant magnétisant:
Vs
120
I m = -------- = --------------- = 1.3509 A
Xm
88.83
Le courant dans Rc:
Ic =
Les pertes Fer dans le noyau:
P Fer = V s × I c = 120 × 0.256 = 30.72 W
2
2
I 0 – I m = 0.256 A
7
GEL-15216 Électrotechnique
3.8
2.5 cm
10 cm
A
B
C
2.5 cm
5 cm
2.5 cm
5 cm
AB = BC = DE = EF = 8.75 cm
AF = BE = CD = 12.5 cm
5 cm
e = 0.025 cm
2.5 cm
E
F
D
a) Circuit équivalent du système électromagnétique:
RAB
RBC
RBE
+
RAF
N1I1
-
φe
RCD
N2I2
+
Re
REF
RDE
Épaisseur réelle du noyau magnétique:
d = 120 × 0.5 × 0.95 = 57 mm
On calcule la réluctance des parcours magnétiques:
–2
l AB
4
8.75 ×10
- = 2.4432 ×10 At/Wb
R AB = R BC = R DE = R EF = -------- = ------------------------------------------------------------------------------------------------–7
–2
–2
µA
2000 ( 4π ×10 ) ( 2.5 ×10 × 5.7 ×10 )
–2
l AF
4
12.5 ×10
R AF = R CD = -------- = ------------------------------------------------------------------------------------------------- = 3.49 ×10 At/Wb
–7
–2
–2
µA
2000 ( 4π ×10 ) ( 2.5 ×10 × 5.7 ×10 )
–2
l BE
4
12.5 ×10
R BE = ---------- = -------------------------------------------------------------------------------------------- = 1.745 ×10 At/Wb
–7
–2
–2
µA 1
2000 ( 4π ×10 ) ( 5 ×10 × 5.7 ×10 )
La réluctance de l’entrefer:
–2
4
e
0.025 ×10
R e = ---------- = ------------------------------------------------------------------------------- = 6.9805 ×10 A.t/Wb
–7
–2
–2
µ0 A
( 4π ×10 ) ( 5 ×10 × 5.7 ×10 )
b)
2
N1
L’inductance propre de la bobine no. 1 est L 1 = ------------- avec Req1 = réluctance équivalente vue par la
R eq1
bobine no.1.
On a:
( R BC + R CD + R DE ) ( R AB + R AF + R EF )
5
R eq1 = R BE + R e + -------------------------------------------------------------------------------------------------------------- = 1.2914 ×10 At/Wb
( R BC + R CD + R DE ) + ( R AB + R AF + R EF )
8
GEL-15216 Électrotechnique
100 × 100
L 1 = -----------------------------5- = 0.0774 H = 77.4 mH
1.2914 ×10
Alors:
2
N2
L’inductance propre de la bobine no. 2 est L 2 = ------------- avec Req2 = réluctance équivalente vue par la
R eq2
bobine no.2.
( R BE + R e ) ( R AB + R AF + R EF )
5
R eq2 = R BC + R CD + R DE + --------------------------------------------------------------------------------------- = 1.265 ×10 At/Wb
( R BE + R e ) + ( R AB + R AF + R EF )
On a:
125 × 125
L 2 = --------------------------5- = 0.1235 H = 123.5 mH
1.265 ×10
On calcule l’inductance mutuelle entre la bobine 1 et la bobine 2 en calculant le flux injecté dans la bobine
2 par la bobine 1 (avec I1 ≠ 0 et I2 = 0).
RAB
RBC
Alors:
RBE
+
RAF
RCD
φ1
-
N1I1
φ21
Re
REF
RDE
N1 I1
Le flux créé par la bobine 1est φ 1 = ------------- , avec Req1 = réluctance équivalente vue par la bobine 1.
R eq1
Le flux injecté dans la bobine 2 est calculé à l’aide de la loi du diviseur de courant:
( R AB + R AF + R EF )
φ 21 = -------------------------------------------------------------------------------------------------------------- × φ 1 = 0.5φ 1
( R AB + R AF + R EF ) + ( R BC + R CD + R DE )
Alors:
N1 I1
50
–4
φ 21 = 0.5 × ------------- = -----------------------------5- × I 1 = 3.8718 ×10 × I 1
R eq1
1.2914 ×10
–4
L’inductance mutuelle est:
On a aussi:
M 12 = M 21
M 21
N 2 φ 21
125 × 3.8718 ×10 × I 1
= ---------------- = ------------------------------------------------------------ = 0.0484 H = 48.4 mH
I1
I1
9
GEL-15216 Électrotechnique
c) On fait circuler des courants continus dans les bobines: I1 = 0.5 A et I2 = 1 A.
RAB
RBC
RBE
RCD
+
RAF
N1I1 = 50 At
N2I2= 125 At
-
N1I1
N2I2
-
+
φe
Re
REF
RDE
On calcule le flux dans l’entrefer en appliquant le principe de superposition.
N 1 I1
Le flux d’entrefer créé par la bobine 1 seule est φ e1 = ------------- , avec R eq1 = réluctance équivalente vue par
R eq1
la bobine 1.
–4
50
φ e1 = -----------------------------5- = 3.8718 ×10 Wb
1.2914 ×10
N 2 I2
( R AB + R AF + R EF )
Le flux d’entrefer créé par la bobine 2 seule est φ e2 = ------------- × --------------------------------------------------------------------------------------- , avec
R eq2 ( R AB + R AF + R EF ) + ( R BE + R e )
Req2 = réluctance équivalente vue par la bobine 2.
4
8.3766 ×10
125
–4
- = 4.8398 ×10 Wb
φ e2 = --------------------------5- × -----------------------------------------------------------------4
4
8.3766 ×10 + 8.7256 ×10
1.265 ×10
Le flux d’entrefer total (créé par bobine 1 et bobine 2) est égal à:
φ e = φ e1 + φ e2 = 3.8718 ×10
–4
–4
+ 4.8398 ×10
= 8.7116 ×10
–4
Wb
–4
φe
8.7116 ×10
B e = ------ = ---------------------------------------------- = 0.306 T
–2
–2
A
5 ×10 × 5.7 ×10
La densité de flux dans l’entrefer est:
3.9
e
Entrefers 0.5 mm
A
C
B
a
a = 2 cm
b = 4 cm
N1 = 100
N2 =150
c
a
c = 10 cm
d = 14 cm
e = 3 cm
a
a
b
F
b
a
E
d
D
µ = 2500µ0
10
GEL-15216 Électrotechnique
Circuit équivalent du système électromagnétique:
Re = réluctance de l’entrefer
Re
Re
REFAB
RY
RBCDE
+
N1I1
RX
-
+
RBE
N2I2
–3
5
e
0.5 ×10
R e = ---------- = ------------------------------------------------------------------------- = 6.6315 ×10 At/Wb
–7
–2
–2
µ0 A
( 4π ×10 ) ( 2 ×10 × 3 ×10 )
Réluctances des parcours en fer:
l EFAB
5
0.2
R EFAB = R BCDE = ------------------------ = ------------------------------------------------------------------------------------------ = 1.061 ×10 At/Wb
–7
–2
–2
2500µ 0 A
2500 × 4π ×10 × 2 ×10 × 3 ×10
Réluctance de l’entrefer:
l BE
4
0.08
R BE = ------------------------ = ----------------------------------------------------------------------------------------- = 4.244 ×10 At/Wb
–7
–2
–2
2500µ 0 A
2500 × 4π ×10 × 2 ×10 × 3 ×10
On calcule RX et RY:
4
5
5
R X = R BE + R e = 4.244 ×10 + 6.6315 ×10 = 7.0559 ×10 At/Wb
5
5
5
R Y = R BCDE + R e = 1.061 ×10 + 6.6315 ×10 = 7.6925 ×10 At/Wb
REFAB
RY
RX
+
+
N1I1
N2I2
-
-
La réluctance équivalente vue par la bobine 1:
5
R eq1 = R EFAB + ( R X || R Y ) = 4.7413 ×10 At/Wb
2
2
N1
100
L 1 = ------------- = -----------------------------5- = 0.0211 H = 21.1 mH
R eq1
4.7413 ×10
La réluctance équivalente vue par la bobine 2:
L’inductance de la bobine 1:
5
R eq2 = R Y + ( R X || R EFAB ) = 8.6148 ×10 At/Wb
2
2
N2
150
L 2 = ------------- = -----------------------------5- = 0.0261 H = 26.1 mH
L’inductance de la bobine 2:
R eq2
8.6148 ×10
On calcule l’inductance mutuelle entre la bobine 1 et la bobine 2 en calculant le flux injecté dans la bobine
11
GEL-15216 Électrotechnique
2 par la bobine 1 (avec I1 ≠ 0 et I2 = 0).
φ1
REFAB
RY
RX
+
φ21
-
N2
N1I1
N1 I1
Le flux créé par la bobine 1est φ 1 = ------------- , avec Req1 = réluctance équivalente vue par la bobine 1 =
R eq1
5
R eq1 = 4.7413 ×10 .
Le flux injecté dans la bobine 2 est calculé à l’aide de la loi du diviseur de courant:
RX
RX
N 1 I1
φ 21 = --------------------- × φ 1 = --------------------- × ------------RX + R Y
R X + R Y R eq1
7.0559
100
–4
φ 21 = ------------------------------------------- × -----------------------------5- × I 1 = 1.009 ×10 × I 1
7.0559 + 7.6925 4.7413 ×10
Alors:
–4
M 21
L’inductance mutuelle est:
N 2 φ 21
150 × 1.009 ×10 × I 1
= ---------------- = --------------------------------------------------------- = 0.0151 H = 15.1 mH
I1
I1
M 12 = M 21
On a aussi:
b)
I1
I2
X 1 = ωL 1 = 800π × L 1 = 53Ω
+
+
V1
Vs
-
100 V
400 Hz
+
V2
-
X 2 = ωL 2 = 800π × L 2 = 65.64Ω
Z2
X m = ωM = 800π × M = 38.04Ω
Circuit équivalent:
I1
+
Vs
100 V
400 Hz
j(X1-Xm)
j(X2-Xm)
+
V1
-
I2
X 1 – X m = 14.968Ω
+
jXm
V2
-
Z2
X 2 – X m = 27.6Ω
X m = 38.04Ω
12
GEL-15216 Électrotechnique
Cas où Z2 = 100 Ω
I1
+
j14.968
j27.6
I2
+
+
Vs
V1
100 V
400 Hz
-
j38.04
Z2=100
V2
-
Impédance équivalente vue par la source Vs:
( j38.04 ) ( 100 + j27.6 )
Z 1 = j14.968 + -------------------------------------------------------- = 47.46 ∠77.7° Ω
j38.04 + 100 + j27.6
Vs
100 ∠0°
I 1 = ------ = ---------------------------------- = 2.107 ∠– 77.7° A
Z1
47.46 ∠77.7°
Le courant I1 est:
Le courant I2 est calculé par la loi du diviseur de courant:
j38.04
I 2 = ---------------------------------------------------- × I 1 = 0.67 ∠–21° A
j38.04 + 100 + j27.6
La tension V2 est:
V 2 = 100I 2 = 67 ∠– 21° V
Cas où Z2 = condensateur 10 µF
I1
+
j14.968
j27.6
+
Vs
V1
100 V
400 Hz
-
I2
j
Z 2 = – ---------------------------------------- = – j39.789Ω
–6
10 ×10 × 800π
+
j38.04
V2
-
Z2= -j39.789
Impédance équivalente vue par la source Vs:
( j38.04 ) ( – j39.789 + j27.6 )
Z 1 = j14.968 + ----------------------------------------------------------------------- = – j2.966 Ω
j38.04 – j39.789 + j27.6
Le courant I1 est:
Vs
100 ∠0°
I 1 = ------ = --------------------- = 33.71 ∠90° A
Z1
– j2.966
Le courant I2 est calculé par la loi du diviseur de courant:
j38.04
I 2 = -------------------------------------------------------------- × I 1 = 49.61 ∠90° A
j38.04 – j39.789 + j27.6
La tension V2 est:
V 2 = – j39.789 × I 2 = – j39.789 × 49.61 ∠90° = 1973.8 V
13
GEL-15216 Électrotechnique
3.10
Structure du circuit magnétique:
B
A
2.5 cm
7.5 cm
2.5 cm
C
2.5 cm
2.5 cm
5 cm
2.5 cm
AB = BC = DE = EF = 6.25 cm
AF = BE = CD = 10 cm
2.5 cm
E
F
D
a) Circuit équivalent du système électromagnétique:
RAB
RBC
RBE
+
RAF
N1I1
-
REF
RBE
RCD
N2I2
+
RBAFE
+
N1I1
-
RBCDE
N2I2
+
RDE
On calcule la réluctance des parcours magnétiques:
l BAFE
4
0.225
R BAFE = R BCDE = --------------- = -------------------------------------------------------------------------------------------- = 7.162 ×10 At/Wb
–7
–2
–2
µA
2500 ( 4π ×10 ) ( 2.5 ×10 × 4 ×10 )
l BE
4
0.1
R BE = ---------- = ---------------------------------------------------------------------------------------- = 1.5915 ×10 At/Wb
–7
–2
–2
µA 1
2500 ( 4π ×10 ) ( 5 ×10 × 4 ×10 )
2
N1
L’inductance propre de la bobine no. 1 est L 1 = ------------- avec Req1 = réluctance équivalente vue par la
R eq1
bobine no.1.
On a:
( R BAFE ) ( R BCDE )
4
R eq1 = R BE + ----------------------------------------------- = 5.1725 ×10 At/Wb
R BAFE + R BCDE
Alors:
180 × 180
L 1 = -----------------------------4- = 0.626 H
5.1725 ×10
2
N2
L’inductance propre de la bobine no. 2 est L 2 = ------------- avec Req2 = réluctance équivalente vue par la
R eq2
bobine no.2.
On a:
( R BAFE ) ( R BE )
4
R eq2 = R BCDE + --------------------------------------- = 8.464 ×10 At/Wb
R BAFE + R BE
150 × 150
L 2 = --------------------------4- = 0.266 H
8.464 ×10
On calcule l’inductance mutuelle entre la bobine 1 et la bobine 2 en calculant le flux total couplé à la
Alors:
14
GEL-15216 Électrotechnique
bobine 2 par la bobine 1 (avec I1 ≠ 0 et I2 = 0).
φ1
RBE
RBAFE
φ1
φ 21 = -----2
RBCDE
+
φ21
-
N2
car RBCDE = RBAFE
N1 I1
φ 1 = ------------R eq1
N1I1
N1 I1
Le flux créé par la bobine 1 est φ 1 = ------------- , avec Req1 = réluctance équivalente vue par la bobine 1.
R eq1
Le flux injecté dans la bobine 2 est calculé à l’aide de la loi du diviseur de courant:
R BAFE
φ 21 = ------------------------------------------- × φ 1 = 0.5φ 1
R BAFE + R BCDE
N1 I1
90
φ 21 = 0.5 × ------------- = -----------------------------4- × I 1 = 0.0017 × I1
R eq1
5.1725 ×10
Alors:
N 2 φ 21
150 × 0.0017 × I 1
M 21 = ---------------- = --------------------------------------------- = 0.261 H
I1
I1
L’inductance mutuelle est:
On a aussi:
M 12 = M 21
Le coefficient de couplage est égal à:
M
0.261
k = ----------------- = ---------------------------------------- = 0.64
L 1 L2
0.626 × 0.266
b) Circuit équivalent du système:
I1
L1-M
L2-M
I2
+
+
M
V1
-
V2
-
L 1 – M = 0.365H
L 2 – M = 0.005H
M = 0.261H
c) Une source de tension sinusoïdale 120 V /60 Hz est connectée à la bobine no. 1:
I1
+
Vs
120 V
60 Hz
+
V1
-
j137.6 Ω
j1.885 Ω
j98.39 Ω
I2
+
V2
-
Z2 = (20+j10) Ω
Le courant I1 est égal à:
Vs
120 ∠0°
I 1 = ---------------------------------------------------------------------------------------------- = ------------------------------------- = 0.79 ∠–81.2° A
( j98.39 ) ( j1.885 + 20 + j10 )
151.78 ∠81.2°
j137.6 + ----------------------------------------------------------------------j98.39 + j1.885 + 20 + j10
Le courant I2 est calculé par la loi du diviseur de courant:
j98.39
I 2 = ------------------------------------------------------------------- × I 1 = 0.69 ∠– 73.9° A
j98.39 + j1.885 + 20 + j10
La tension V2 est égale à: V 2 = Z 2 I 2 = ( 20 + j10 ) ( 0.69 ∠– 73.9° ) = 15.52 ∠– 47.3° V
15
Chapitre 3 - Circuits magnétiques et inductance
d) Les bornes de la bobine no. 2 sont court-circuitées:
I1cc
+
Vs
120 V
60 Hz
+
V1
-
j137.6 Ω
j1.885 Ω
j98.39 Ω
I2cc
+
V2 = 0
-
Le courant I1cc est égal à:
120 ∠0°
120 ∠0°
I 1cc = ------------------------------------------------------------------ = --------------------- = 0.86 ∠– 90° A
( j98.39 ) ( j1.885 )
j139.45
j137.6 + ------------------------------------------j98.39 + j1.885
Le courant I2cc est égal à:
j98.39
I 2cc = --------------------------------------- × I 1cc = 0.844 ∠–90° A
j98.39 + j1.885