cours-d-electr

Cours d’électromagnétisme
Ibrahim El Aouadi
Plan
•
•
•
•
Introduction à l’électromagnétisme
Les régimes variables et les équations de Maxwell
Les équations de Maxwell dans le vide
Ondes électromagnétiques dans le vide. Ondes plans
progressives
• Etude des ondes plans progressives monochromatiques
• Polarisation des ondes plans progressives
• Energie électromagnétique et vecteur de Poynting
REF
• Electromagnétisme: Fondements et Applications,
J. P. Perez, R. Carles, R. Fleckinger. DUNOD, PARIS 2002
• Le cours de physique de Feynman: mécanique 1 & 2
(éditions DUNOD 1999)
• Comprendre et Appliquer l’électromagnétisme, J.P.
Longchamp (éditions MASSON 1990)
• Travaux dirigés de physique, M. Denizart, R. Jagut et
G. Soum. Hachette Université
• dans l’univers il y a des charges électriques qui interagissent entre elles.
• des charges en mouvement génèrent des courants électriques.
• ces charges engendrent des champs électrique et magnétique.
• toutes ces grandeurs, plus quelques constantes fondamentales (c, eo, mo),
sont reliées entre elles par un ensemble cohérent d’équations
• l’interaction magnétique = l’interaction entre les charges en mouvement
• L’interaction électrique + magnétique = électromagnétique
la théorie électromagnétique
structure & propriétés de la matière (physique, chimie, vivant…)
électrotechnique : production & acheminement d’énergie,
conversion énergie mécanique  électromagnétique
télécommunication : stockage et transmission de l’information
RAPPELS: Définition des opérateurs
différentiels.
Espace rapporté à des coordonnées cartésiennes (O, u x , u y , u z )
Le gradient : champ de vecteur attaché à un champ scalaire f
f
f
f
grad ( f )  f  u x  u y  u z
x
y
z
 Le vecteur Nabla :



  ux  u y  uz
x
y
z
La divergence : champ scalaire attaché à un champ de vecteur
Ax Ay Az
div( A)  . A 


x
y
z
A
Le rotationnel : champ de vecteur attaché à un
champ de vecteur A
 Az Ay 
 Ay Ax 
 Ax Az 
rot ( A)    A  


uy  

 ux  
 uz

 z x 
 y z 
 x y 
Le laplacien scalaire ; le laplacien vectoriel
2
2
2

f

f

f
2
f   f  2  2  2
x
y
z
A  2 A  (Ax )ux  (Ay )u y  (Az )uz
Application


div grad ( f )  .(f )  f
rot ( grad ( f ))    (f )  0


div(rotA)  .   A  0
rot (rot ( A))    (  A)
 grad (div( A))  A
( fg )  f g  2f .g  g f
Div ( A  B )  B.rot ( A)  A.rot ( B )
1
r
grad (  ) 
r
r
3
Chapitre I: Introduction à l’électromagnétisme
L'interaction entre charges électriques fixes a permis de
définir le champ électrostatique à partir de la force F qui
s'exerce sur une charge témoin de valeur q : F  qE
L'expérience montre cependant que l'interaction entre
charges en mouvement ne peut se réduire à une force
électrostatique. Il convient donc de généraliser ce champ en
analysant les forces qui s'exercent sur les charges en
mouvement.
Dans un référentiel galiléen, la force qui s'exerce
sur une charge en mouvement peut être séparée en
deux parties. L'une, indépendante de la vitesse, est
une généralisation de la force électrostatique que
l'on appelle la force électrique. L'autre dépend de
la vitesse de la particule et lui est orthogonale; on
l'appelle la force magnétique.
I Magnétostatique dans le vide
I.1 définition: Lorsque deux circuits parcourus par des courants
électriques constants sont placés au " voisinage " l'un de l'autre,
ils sont soumis à des actions. L'étude de ces actions est le
domaine de la magnétostatique.
La densité volumique de charges dans un conducteur parcouru
par un courant constant est nul si bien que l'origine des forces ne
peut être attribué à l'existence de champs électriques.
Enfin ce phénomène ne se limite pas aux circuits électriques, les
substances aimantées sont le siège d'interactions de même
nature.(c’est un courant dont les paramètres électrique ne dépend
pas du temps)
I.2 Interaction entre deux charge électrique en
mouvement
- V1
C
et
V2

C
z
cas classique
V2
V1
q1
r12
q2
y
x
Soient 2 charges q1 et q2 animées respectivement des
vitesses V1 et V2, puisque on travail dans le cas classique
( V1 C et V2 C avec C vitesse de la lumière). Entre les
2 charges existe deux types d’interactions:
• Interaction électrostatique:
1 q1q2
Fe12 
r
3 12
4e 0 r12
F
e12
 q2 E1
Avec r12 la distance entre les 2 charges
E : champ électrique créé dans le référentiel R par la charge q1 au
point où se trouve q2
• Interaction magnétique:
Fm12
 1
r12 
 q2V2  
q V  3   q2V2  B1
2 1 1
r 
 4e 0c
r12
B1 
qV  3
2 1 1
4e 0 c
r
1
Avec
On pose
m0 
1
e 0c 2
perméabilité du vide ( e 0 permittivité
du vide) donc:
m0
r12
B1 
q1V1  3
4
r
Toute charge en mouvement crée dans le vide un champ
magnétique :
F  Fe  Fm
 q2 E1  q2V2  B

 q2 E1  V2  B

D’une manière générale
F  q( E  V  B)
C’est la force de Lorentz
Force de LAPLACE
Considérons un tronçon de circuit filiforme de longueur dl,
vecteur dont le sens définit l’orientation positive de l’intensité
I qui parcourt le fil, ce tronçon étant placé dans un champ
magnétostatique B, le tronçon de circuit est alors soumis à
une force résultante, appelée force de Laplace, dont
l’expression est:
dF  Idl  B
Rq: l’origine de cette force est la force de Lorentz qui s’applique aux porteurs de
charge contenus dans le fil ( la force de Laplace apparait comme la forme «
macroscopique » de la force de Lorentz)
I.3 Champ magnétique créé par un courant
stationnaire
Considérons un matériau conducteur formant
un circuit fermé parcouru par des charges mobiles
de densité  m et de vitesse moyenne v au point P
En un point M suffisamment éloigné de P, la
charge m .d ( d� élément de volume de ce
matériau) apparaît comme une charge
ponctuelle mobile avec la vitesse v ; cette charge
en mouvement crée le champ magnétique
élémentaire :
m0
PM
Bm 
J
d
3

4  PM
m0
rr'
soit : B(r) =
J (r ')
d
3

4 
rr'
I.4 Loi de Biot et Savart
Soient:
- (C) : circuit filiforme orienté, définissant le courant I.
- M est un point de l’espace.

- Un élément dl en P du fil crée en M un champ
magnétique :
(C)
I
m0 Idl  PM
dB( M ) 
3
4 PM
Avec
m0  4 107 N . A2

dl
P
M
+
• (C) crée en M un champ magnétique:
m0
B(M ) 
4
Idl  r
 (C ) r 3
Il s’agit de la loi de Biot et Savart. Dans le système international le champ
magnétique s’exprime en Tesla (T), le courant électrique en ampères (A) et
les longueurs en mètres (m). La constante mo vaut alors 4 10-7.
!
Le vecteur r donne la position de l’endroit où on calcule le champ, par rapport
à l’élément de circuit qui est la source de ce champ. (r = PM)
II Equations locales de la magnétostatique
II.1- Divergence de B
m j r
B
d

4 r
0

Alors:
3
m j r
m
j r
DivB  Div
d 
)d

 Div (
4 r
4
r
m
1

 Div ( j  grad (  )) d
4
r

m
1
1

grad ( ).rot ( j )
 j . rot ( grad (  )) d

4
r
r
0
0

3

3
0

0

regime stationnaire  0
¨
0
Div( B)  0
II.2 Flux de du champ magnétique B
 Div( B)d  0
Div( B)  0

 div ( B ) d
0
En utilisant le théorème de Green-Ostrogradski
- Pour une surface fermée S :



S ( B)   B(M )  dS  0
S
B est un champ à flux conservatif
soit S  S1  S 2  S lat est une surface fermée

nlat

n2

n1
S1
Slat
S2




 S ( B)  0   S2 ( B)   Slat ( B)   S1 ( B)  0

En tout point de S lat , nlat est perpendiculaire
au

champ magnétique. Donc  S ( B)  0


Donc:
lat
  S1 ( B)   S2 ( B)
II.3 Potentiel vecteur
div(rotA)  0 
 alors B peut s'écrire comme un rotA
divB  0

A : potentiel vecteur
Calculons A
rot ( j )  0
j 1
1 avec: 
rot ( )  rot ( j )  j  grad ( )

1
j

r
r
r
r
 j  grad ( )  

r
r
3
Alors:
j
j r
rot ( ) 
r
r
3
m j r
m
j
B
d 

 rot ( ) d
4 r
4
r
0
0


3
m j

d
 B  rot 
4 r

 B  rotA

m j
 A
d
4 r
0

Exemple:
-Fil filiforme: A 
- charge discrète:
0

m Idl
dz

4 r
0
L
m qv
A
4 r
0
On montre que:
A  m j
0
Alors:
rotB  rot (rotA)  grad (divA)  A
divA  0
(régime stationnaire)
rotB  A
m j
0
Le champ magnétique B est définie en tout point de l’espace par:
 divB  0

 rotB  m j
0
II.4 Circulation de B , théorème d’Ampère
On considère un contour Γ orienté.
I1

C ( B)  m0 I S

n
+

n
I2

B ne dérive donc pas d’un potentiel, car sinon
C ( B)  0




C ( B)   B(M )  dM

Où: dM est dans le même sens que le sens positif de Γ .
Is est la somme algébrique des courants qui traversent S dans
le sens positif associé à Γ
Dans notre cas
I I I
S
1
2
Enoncé du théorème d’Ampère:
Dans le vide, la circulation du champ magnétique B le long d’une
courbe fermée Γ est égale au produit par m0 de la somme algébrique
des intensités I des courants qui traversent la surface S définie par Γ.
Le signe de I est lié au sens de parcours sur Γ, c’est-à-dire au sens
de n qui est donné par la règle du tire-bouchon
II.5 Dipôle magnétique:
C’est toute boucle parcouru par un courant I et de
dimension très faibles par rapport aux distance ou on
calcule son effet
I
x
r
x << r
M
Idl m0
A( M )  
r 4
On montre que A( M ) 
m0
4

i
ds  r
r3
On appelle le moment magnétique dipolaire la quantité:
m   ids
Alors:
m0
r
A( M ) 
m 3
4
r
m0
r
B  rotA( M ) 
rot (m  3 )
4
r
m0 3m.r
B
( 2 r  m)
3
4 r
r
Méthodes de calcul du champ magnétique
I- calcul direct par la loi de Biot et Savart
+ cas général
Soit un circuit C parcouru par un courant I. le
champ magnétique élémentaire dB crée en un
point P par un élément dl du circuit est:
m0 I
r
dB 
dl  3
4
r
• Cas particulier: en fait dans certains cas,
lorsque les systèmes de courants possèdent
un axe ou un plan de symétrie, on peut
déterminer la direction de B, son module
s’obtient alors par une intégrale unique
• II- application du théorème d’Ampère.
• Parmi tous les courbes fermées on choisi celle
qui permet un calcul simple de la circulation
de B. pour cela il faut connaitre à priori la
symétrie du champ magnétique.
• Bien que le théorème d’Ampère soit général,
on ne peut l’utiliser que pour des systèmes de
courant possédant un haut degré de symétrie
• III a partir du potentiel vecteur A
• Connaissant A , on déduit B de la relation
B  rotA
avec
m0 I dl
A 
( C ) 4
r
Chapitre II: Les régimes variables et
les équations de Maxwell
Induction électromagnétique
I- données expérimentales de base:
L’induction électromagnétique est un phénomène
multiforme dans les différents aspects ont étés découverte est
étudiées par le physicien « Faraday » au début de 19eme cycle.
• Production d’un courant électrique dans un circuit fermé ne
comprenant pas de pile, à partir de champs magnétiques.
• Loi de Lenz (Heinrich Lenz 1804-1865)
• Loi de Faraday (Michael Faraday 1791-1867)
Expériences typiques qui font intervenir l’induction
 Expérience 1: La figure ci dessous illustre une boucle conductrice
reliée à une multimètre. Puisqu’il n’y a pas de pile ou
d’autre source de f.e.m., il n’y a pas de courant dans le circuit.
Pourtant, si on approche un barreau aimanté de la boucle, un
courant apparait dans le circuit.
Le courant disparait lorsque le barreau aimanté s’immobilise. Si
on éloigne ensuite le barreau aimanté de la boucle, un courant
réapparait, mais dans le sens opposé.
 Experience 2: Dans cette experience, on utilise un dispositif
comprennant deux boucles conductrices rapprochees l’une de l’autre sans
se toucher.
Si on ferme l’interrupteur S pour etablir un courant dans la boucle de
droite, l’amperemetre enregistre un courant induit de façon soudaine et
brève dans la boucle de gauche. Si on ouvre ensuite l’interrupteur, un
autre courant apparait brièvement dans la boucle de gauche, mais cette
fois dans le sens opposé.
On obtient un courant induit seulment lorsqu’il y a une variation de
courant dans la boucle de droite (en fermant et en ouvrant l’interrupteur),
et non lorsque le courant est constant –meme dans le cas d’un courant
intense.
Applications
• Transformateurs
• Générateurs / moteurs
• Plaque à induction
Comment cela fonctionne ?
 l’induction électromagnétique: Production d’un courant électrique
dans un circuit fermé ne comprenant pas de pile, à partir d’un champ
magnétique.
C’est la mise en mouvement d’électrons dans un circuit
conducteur mis en présence d’un champ magnétique.

 Création d’une f.e.m induite
Le déplacement de charge qui entraine l’induction électromagnétique
est dû à la force de Lorentz:

FL  FB  FE
ind
La force électromotrice: le travail qui est fourni au circuit par unité de charge pour faire circuler
ces charges dans le circuit
W ( FL )
e
q
Comment cela fonctionne ?
• Le déplacement de charge qui entraine
l’induction électromagnétique est dû à la force
de Lorentz
𝑭𝑳 = 𝒒 𝒗 × 𝑩 + 𝒒 𝑬𝒊𝒏𝒅
1. Il y a création d’un courant électrique induit dans un conducteur en
mouvement dans un champ magnétique: les charges se déplacent
avec le conducteur, avec une vitesse 𝒗 dans un champ magnétique
(Induction de Lorentz).
2. Il y a création d’un champ électrique induit dans un circuit quelconque,
dû à un champ magnétique variable dans le temps. Ce champ
électrique induit entraine, à son tour, un courant induit(Induction de
Description du phénomène électromagnétique
Expérimentalement, il a été constaté la création
d’un courant électrique induit :
1. dans un circuit conducteur fixe placé dans un
champ magnétique variable dans le temps.
2. dans un circuit conducteur dont les propriétés
spatiales varient dans le temps, placé dans un
champ magnétique constant dans le temps :
a) l’orientation du circuit varie dans le temps,
b) l’aire du circuit varie dans le temps,
c) la position du circuit varie dans le temps.
1. Variation du champ magnétique
• La variation du champ magnétique 𝐵 dans la
boucle conductrice produit un courant induit 𝐼
sur cette boucle.
2a. Variation de l’aire
• La variation d’aire d’un anneau conducteur
dont la surface est traversée par un champ
magnétique produit un courant induit 𝑰 sur
l’anneau.
2b. Variation de l’angle
• Le changement d’orientation de la surface
d’un anneau conducteur dans un champ
magnétique produit un courant 𝑰 sur l’anneau.
2c. Variation de position
• Lorsqu’une boucle se déplace dans un champ
magnétique non uniforme, il y a création d’un
courant induit 𝐼.
Le flux magnétique
• Il y a création d’un courant induit si le
nombre de lignes de champs qui traversent la
surface délimitée par le conducteur varie
dans le temps :
• Variation du champ magnétique B
• Variation de l’aire A
• Variation de l’angle θ
• ⇒ Définir le flux magnétique, 𝛷𝐵 , à travers
Le flux magnétique
• Le flux magnétique dans un champ uniforme
est défini par : 𝜱 = 𝑩 ∙ 𝑨 = 𝑩𝑨 𝒄𝒐𝒔 𝜽 𝑾𝒃
𝑩
• 𝐴 = 𝐴𝑖𝑟𝑒 . 𝑛𝑠𝑢𝑟𝑓𝑎𝑐𝑒
• Unité: le Weber (Wilhelm Weber 1804-1891)
1 𝑊𝑏 = 1 𝑇. 𝑚2
Le flux magnétique
• Le flux magnétique dans un champ non uniforme
est défini par :
𝜱𝑩 =
𝒅𝜱𝑩 =
𝑩 ∙ 𝒅𝑨 𝑾𝒃
𝑺
• 𝑑 𝐴 est un élément de surface
Sur une surface fermée, le flux est nul
(2e loi de Maxwell )
Loi de Faraday
• La loi de Faraday:
« La force électromotrice induite dans un circuit fermé est
proportionnelle au taux de variation du flux du champ
magnétique traversant la surface délimitée par le circuit par
rapport au temps »
𝑑𝜱𝑩
E =−
𝑉
𝑑𝑡
E
• La f.é.m. induite sur une
𝒅𝜱𝑩
= −𝑵
𝑽
boucle
conductrice
𝒅𝒕
Loi de Faraday
• Si le champ magnétique est uniforme ∶
𝛷𝐵 = 𝐵𝐴 𝑐𝑜𝑠 𝜃
et
E = −𝑁
𝑑𝛷𝐵
𝑑𝑡
𝑑𝐵de flux 𝑑𝜃
• Alors la𝑑𝜱variation
est
: 𝑑𝐴
𝑩
= 𝐴 cos 𝜃
− 𝐴𝐵 sin 𝜃
+ 𝐵 cos 𝜃
𝑑𝑡
𝑑𝑡
Paramètre
A
BB
𝑑𝑡
𝑑𝑡
f.é.m. induite
Loi de Faraday
𝑰𝒊𝒏𝒅 =
E
𝑹𝒃𝒐𝒖𝒄𝒍𝒆
𝑷 = 𝑹𝒃𝒐𝒖𝒄𝒍𝒆 (𝑰𝒊𝒏𝒅 )𝟐
Loi de Lenz
Loi de Lenz selon Maxwell :
« L’effet de la f.é.m. induite est tel qu’il s’oppose à la
variation de flux qui le produit »
Plus pratique:
« Le courant induit circule de manière à produire un champ magnétique induit
dont l’effet est de contrer la variation de flux du champ extérieur qui produit ce
courant ».
Les Générateurs
• Soit une boucle en rotation dans un champ
magnétique uniforme, à la vitesse angulaire 𝜔.
Le flux magnétique à travers la boucle est :
𝛷𝐵 = 𝐵 ∙ 𝐴 = 𝐵𝐴 𝑐𝑜𝑠(𝜃 𝑡 )
• Si 𝜃 = 0 à 𝑡 = 0 ⇒ 𝜃 𝑡 = 𝜔. t
⇒ 𝛷𝐵 = 𝐵𝐴 𝑐𝑜𝑠(𝜔t)
• La f.é.m. induite est
Les Générateurs
• La f.é.m. induite est
E = 𝑵𝑩𝑨𝝎 𝒔𝒊𝒏(𝝎𝐭)
= E𝟎 𝒔𝒊𝒏(𝝎𝐭)
E0 est l’amplitude maximum du courant
(E0 𝛼 𝜔)
La f.é.m. dans un conducteur en mouvement
Cas 2c (induction de Neumann)
 Champ magnétique constant dans le temps => 𝐸𝑖𝑛𝑑 = 0
 La position du circuit varie dans le temps.
• Le long de la portion en mvt, la force est
𝐹𝐿 = 𝑞 𝑣 × 𝐵 = − 𝑞 𝑣𝑏 (𝑗)
• Le travail de cette force est
𝑊 = 𝐹𝐿 ∙ 𝑑𝑙 = 𝑞𝑣𝑏 𝑙
Mvt
𝒆−
• La f.é.m. induite est :
e
q
 vbl
𝐼
𝑊(𝐹 )
𝑞L
EW
= ( F 𝐿) = 𝑣𝑏 𝑙
𝑦
𝑥
La f.é.m. dans un conducteur en mouvement
Cas 2c (induction de Neumann)
• Le flux au travers S est
𝑦
𝑥
𝛷𝐵 = 𝐵 ∙ 𝐴 = 𝐵𝐴 = 𝐵𝑙𝑥(𝑡)
• Loi de faraday
𝑑𝛷𝐵
𝑑𝑥
E =−
= −𝐵𝑙
= −𝐵𝑙𝑣
𝑑𝑡
𝑑𝑡
Dans cet exemple, le signe (-) dans l’expression signifie que
le champ magnétique induit associé au courant induit est
dans la direction inverse du champ magnétique extérieur.
Cela permet de déterminer la direction du courant induit.
La f.é.m. dans un conducteur en mouvement
Cas 2c (induction de Neumann)
• Le courant induit est
E
𝐵𝑙𝑣
𝐼𝑖𝑛𝑑 =
=
𝑅𝑏𝑜𝑢𝑐𝑙𝑒
𝑅
• La puissance induite est
2
E
(𝐵𝑙𝑣)2
𝑃𝑖𝑛𝑑 =
=
𝑅𝑏𝑜𝑢𝑐𝑙𝑒
𝑅
La f.é.m. dans un conducteur en mouvement
application
• À𝑡 =0
– 𝐼𝑖𝑛𝑑 = 0
–𝑣=0
–
𝑑Φ
𝑑𝑡
=0
–𝐼=
E
𝑅
• la force magnétique qui agit sur la tige est
alors :
La f.é.m. dans un conducteur en mouvement
application
– Sous l’action de , la 𝑣 augmennte, un courant
induit apparait qui s’oppose au courant en
circulation
E 𝐵𝑙𝑣
𝑭𝑩 = (𝑰 − 𝑰𝒊𝒏𝒅 ) 𝒍 × 𝑩 ⇒ 𝑭𝑩 = ( −
)𝑙𝐵
𝑅
𝑅
– Vitesse limite atteinte lorsque
0
E 𝐵𝑙𝑣
𝑭𝑩 =
−
𝑙𝐵=0
𝑅
𝑅
𝐹𝑥 = 0 ⇒ 𝑭𝑩 =
application
• Le moteur linéaire : Un moteur linéaire est essentiellement un
moteur électrique qui « a été déroulé » de sorte qu'au lieu de
produire un couple (rotation), il produise une force linéaire sur sa
longueur en installant un champ électromagnétique de
déplacement.
• Exemple :
– Le skytrain : métro de Vancouver
– Le canon électrique/RailGun
Courant de Foucault
• On appelle courants de Foucault les courants électriques
créés dans une masse conductrice, soit par la variation au
cours du temps d'un champ magnétique extérieur
traversant ce milieu, soit par un déplacement de cette
masse dans un champ magnétique constant.
• Inconvénients :
– pertes par courant de Foucault (perte par effet Joules)
• Applications
– Système de freinage
– Chauffage (plaque à induction)
– Etc.
Applications
• rotor d’une génératrice du barrage Hoover (les
17 génératrices peuvent fournir 2000 MW)
Chapitre III: Les équations de Maxwell
dans le vide
Equations de Maxwell dans le vide
Les équations de Maxwell régissent les phénomènes faisant intervenir des champs électrique
E et magnétique B.
Elles s’écrivent dans un espace vide de matière mais où il y a une densité de charge électrique
 et une densité de courant j comme suit :


B
rot E  
t

 
B
E 
t
ou
Equation de Maxwell-Faraday







E ou
E
rot B  m0 j  m0e 0
  B  m0 j  m0e 0
t
t
 
div E 
e0

div B  0
ou
  
E 
ou
 
B  0
e0
e0 Permittivité électrique du vide
Equation de Maxwell-Ampère
Equation de Maxwell-Gauss
Conservation du flux
m 0 Perméabilité magnétique du vide
On trouve aussi souvent la notation suivante :

 
B
E 
t

  
E
  H  j  e0
t
 
D  
 
B  0
En définissant des nouveaux champs :


D  eE

 B
H
m
Pour le vide :


D  e0E

 B
H
m0
e0 et m0 sont des constantes.
Remarque : Les équations de Maxwell montrent qu’un champ électrique oscillant génère
un champ magnétique oscillant et réciproquement
Si maintenant on se place loin des zones de charges (=0) et des sources de courant (j=0) :

 
B
E 
t 
 
E
  B  m0e 0
t
 
E  0
 
B  0
Les deux premières équations sont couplées et sont comparables aux équations obtenues pour
les ondes acoustiques. Essayons de la même façon de découpler ces équations, prenons par
exemple le rotationnel de la première équation :

     B
    E      
 t

  
     B 
t

A l’aide de la deuxième équation de Maxwell on peut écrire :

 
E
  B  m0e 0

t
2
  
 E
    E    m0e 0 2
  
t
  
    E      B 
t
Si maintenant on utilise les relations existantes entre les différents opérateurs vectoriels :
    2
 
 
A  .A   A  grad div A      A

2
  
 2 
 E
    E   grad div E    E   m0e 0 2
t
 
On sait que :   E  0


 2 E On obtient finalement une
E  m0e 0 2
équation ne contenant que E.
t
Equation de Propagation

 1  2E
E  2 2  0
C t
Avec
C
1
e 0 m0
Le même raisonnement peut être appliqué au champ magnétique B :

    
E 
  
    B      m0e 0   m0e 0   E 
t 
t


 
B
E 
t

2
  
 B
    B    m0e 0 2
t

2
  
 2 
 B
    B   grad div B    B   m0e 0 2
t
 
On sait que :   B  0

2

 B
B  m0e 0 2
t
Equation de Propagation

 1  2B
B  2 2  0
C t
Avec C 
1
e 0 m0
Ondes planes sinusoïdales
En ce plaçant suffisamment loin de sa source, une onde peut être
considérée comme plane. Du fait de la linéarité des équations de
propagation on cherchera des solutions de la forme d’ondes planes
harmoniques. Dans le cas d’une onde progressive on écrira :

Ex  x, y, z , t   E0 x cos t  k .r  x

E y  x, y, z , t   E0 y cos t  k .r   y



Ez x, y, z , t  E0 z cos t  k .r  z



Avec
  kC et C 
1
m0e 0



Les composantes du champ
magnétique sont déterminées à
l’aide des équations de Maxwell.
La constante C est fondamentale en physique. Par
définition du mètre, elle est égale à 299 792 458 m/s.
On prend généralement 300 000 km/s. Elle représente
la limite absolu de la vitesse de déplacement.
V.3.1 Relations entre les champs
Pour simplifier les calculs nous allons ici aussi utiliser la notation complexe.
Champ E:

 j t k.r 



j 


E x, y, z, t  E0e
avec E0  E0 x e jx u x  E0 y e y u y  E0 z e jz u z
Champ B:

 j t k.r 
B x, y, z, t   B0e
avec
Pour les opérateurs de dérivation on a:



j 
B0  B0 x e jx u x  B0 y e y u y  B0 z e jz u z



 j et    jk
t
En injectantdans les équations de Maxwell, on obtient :
 



jk  E  j B
k E
B

Partie réelle

 
uniquement
j 
 
2
jk  B   2 E

C k B
C
E

 
 
 jk .E  0
k .E  0
 
 
 j k .B  0
k .B  0
Champ véritable
= partie réelle




Les deux champs sont en phase
Les deux champs sont orthogonaux au vecteur d’onde k  Onde transversale
  

k , E, B  forme un trièdre directe
E
Les modules des champs sont proportionnels    C
B
V.3.2 Polarisation
La polarisation définit l’orientation du champ électrique dans le temps.
 Polarisation elliptique
 Polarisation rectiligne
 Sans polarisation : La lumière naturelle
On sait que le champ électrique est
transversale :
E0 x cost  kz 

E  E0 y cost  kz   
0
avec
   y  x
Polarisation circulaire
C’est un cas particulier de la
polarisation elliptique, on a ici :


2
E0 x  E0 y
+ : polarisation droite
- : polarisation gauche
Polarisation rectiligne
C’est un cas particulier de la
polarisation elliptique, on a ici :
0
ou
 
V.4 Aspect energétique
La puissance P transportée par un champ électromagnétique à travers une surface S est le
flux du vecteur de Poynting :
 1  
 EB
m0
 
P   .dS
S
Exemple d’une onde plane
E0 x cost  kz   x 

E  E0 y cost  kz   y 
et
0
avec
 E0 y cost  kz   y 

 uz  E 1
B
 E0 x cost  kz  x 
C
C
0


k  ku
Déterminons maintenant l’expression du vecteur de Poynting
E0 x cost  kz  x   E0 y cost  kz   y 

1  
1
 EB
E0 y cost  kz   y   E0 x cost  kz  x 
m0
Cm 0
0
0
0

1

0
Cm 0
E0 x cost  kz  x 2  E0 y cost  kz   y 2



1


E 02x cos2 t  kz  x   E 02y cos2 t  kz   y  u z
Cm0
La moyenne temporelle est égale à :
 E 02x  E 02y 
E2 

uz 
uz
2Cm0
Cm 0
ou encore

B2 
  C uz
m0
Deux ondes polarisées dans des directions
orthogonales n’interfèrent pas. La puissance total est donc
obtenue par la somme des carrés des amplitudes des
composantes
Remarque :
Polarisation des ondes plans
progressives