Courants de Foucault

UE PHY2
Pertes par courants de Foucault et hystérésis
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Introduction
Lorsqu’une pièce métallique est soumise à un champ magnétique variable, elle est le siège de
courants conformément à la loi de Faraday-Lenz (3ème équation de Maxwell1) et à la loi d’Ohm.
Étant donné la résistivité finie du métal, ces courants, appelés courants de Foucault (eddy2
currents an anglais), provoquent des pertes par effet Joule. C’est notamment le cas dans les
transformateurs, les moteurs et les actuateurs électromagnétiques.
Les pertes par hystérésis concernent les matériaux ferromagnétiques et ont pour origine
l’énergie qu’il faut fournir pour changer le sens de la magnétisation.
L’étude de ces phénomènes est utile pour bien choisir les matériaux selon l’application et
prendre les mesures adéquates pour les minimiser ces pertes.
1 Pertes par courants de Foucault
1.1 Cas d’une pièce massive
Soit un cylindre métallique soumis à un champ
r
d’induction magnétique B homogène, alternatif et
dirigé parallèlement à l’axe du cylindre.
z
θ
r
B
Soit ω = 2πf la pulsation.
r
La composante de B selon z s’écrit : Bz = B cos ωt .
r
E
h
Pour trouver le champ électrique responsable des
courants de Foucault, il faut en principe résoudre :
r
r r
∂B
∇× E= −
∂t
r
Vu la symétrie cylindrique du problème, le champ
r
alternatif E ne doit dépendre que de la coordonnée
radiale r ; de plus, seule sa composante azimutale, notée
ici Eθ , intervient.
a
Fig. 1 – Cylindre de métal dans un
r
champ B vertical
En appliquant3 l’équation de Faraday sous forme intégrale à un contour circulaire centré sur
l’axe z, il vient :
∫
C
v r
∂
E ⋅ dr = −
∂t
∫∫
r r
B ⋅ dS
S
⇒
Eθ (2πr ) = (ωB sin ωt )πr 2
⇒
1
Eθ = ωBr sin ωt
2
1
Voir cours PHY2.
Eddy = tourbillon ; eddy currents = courants tourbillonnaires.
3
On néglige ici le champ B induit, ce qui revient à supposer que le rayon du cylindre est plus petit que l’épaisseur
de peau (voir § 3).
2
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Courants_de_Foucault.doc /APD
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La densité de courant se calcule en appliquant la loi d’Ohm sous forme locale.
r
r
J = σE
où σ est la conductivité du métal en S/m.
r r
La puissance dissipée localement4, en W/m3, vaut pF = E ⋅ J = σE 2 .
2
⎞
⎛1
Avec la valeur de champ calculée précédemment : pF = σ ⎜ ωBr sin ωt ⎟ .
⎠
⎝2
On constate que les pertes par courant de Foucault sont proportionnelles au carré du
r
champ magnétique B appliqué et au carré de sa fréquence.
Pour avoir la perte totale dans le cylindre, il faut encore intégrer sur le volume du cylindre et
prendre la moyenne sur une période, ce qui donne un facteur ½ .
1
PF =
2
a
σω B
πσ 2 2 4
⎛ ωBr ⎞
2πh r 3 dr =
σ⎜
ω B ha
⎟ r dr dθ dz =
2 ⎠
8
16
⎝
Cylindre
0
2
∫∫∫
2
2
∫
Soit Vcyl = πa 2 h le volume du cylindre.
Pertes par courant de Foucault :
PF =
σ
16
ω 2 B 2Vcyl a 2
On remarque que les pertes croissent plus vite, d’un
facteur a 2 , que le volume du cylindre. Ceci suggère
l’idée que l’on peut réduire les pertes en fragmentant le
cylindre, par exemple en baguettes plus petites.
[W]
z
(1)
N baguettes
isolées
Effectuons une estimation.
Soit N le nombre de baguettes. Négligeant le facteur de
remplissage, la section des baguettes vaut πa 2 / N , donc
leur rayon est approximativement a′ = a / N .
Les pertes valent alors :
⎛ πσ 2 2 ′ 4 ⎞ PF
PF′ = N ⎜
ω B h(a ) ⎟ =
⎝ 16
⎠ N
Ordre de grandeur, avec a = 1 cm, B = 1 T, N = 100 :
4
a
Fig. 2 – Faisceau de baguettes
À 50 Hz :
(0,01) 2
PF′ σ fer 2 2 a 2 1,03 ⋅ 107
=
ω B
=
(2π ⋅ 50) 212
= 6,4 ⋅ 104 W/m3
16
16
100
Vcyl
N
Perte massique :
6,4 ⋅ 104
≅ 8 W/kg
7850
Expression locale de puissance dissipée dans une résistance, P = UI.
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1.2 Cas du fer feuilleté
On peut faire des raisonnements analogues au précédent pour d’autres géométries. À l’instar du
fractionnement en tiges, l’utilisation de fer feuilleté diminue aussi les courants de Foucault.
Dans les transformateurs, les circuits magnétiques sont faits de tôles empilées, isolées
électriquement les unes des autres. À masse égale, les pertes sont proportionnelles au carré de
l’épaisseur des tôles. L’estimation des pertes se fait par la formule :
2
⎛ f ⎞ ⎛B⎞
PF = CF ⎜⎜ ⎟⎟ ⎜⎜ ⎟⎟
⎝ f 0 ⎠ ⎝ B0 ⎠
2
2
⎛e⎞
⎜⎜ ⎟⎟ m
⎝ e0 ⎠
[W]
(2)
Avec :
f0
B0
e0
m
CF
fréquence de référence, généralement 50 Hz ;
champ d’induction magnétique de référence, 1 ou 1,5 T ;
épaisseur de référence, généralement 0,5 mm ;
masse du fer [kg] ;
coefficient en W/kg, dépendent du matériau (typiquement de 1,5 à 8 W/kg)
Fig. 3 – Principe de l’assemblage de tôles de transformateur
L’adjonction de quelques pourcents de silicium dans le fer permet d’augmenter sa résistivité
d’un facteur 4 et donc de diminuer substantiellement les pertes.
À haute fréquence, le feuilletage ne suffit plus. Afin de limiter les pertes, et aussi pour que le
flux champ B passe uniformément (voir § 3), il faut utiliser des poudres de fer agglomérées ou
des ferrites, qui sont des sortes de céramiques obtenues à partir d'oxyde de fer et/ou d'oxyde ou
carbonate de nickel, de manganèse, de zinc.
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2 Pertes par hystérésis
Dans un matériau ferromagnétique, on observe un phénomène d’hystérésis entre le champ
magnétique appliqué et l’induction magnétique.
B [T] = [Vs/m2]
Courbe
de première
aimantation
Br
H [A/m]
-Hc
-Br
Fig. 4 – Hystérésis
L’énergie volumique qu’il faut dépenser par cycle est égale à la surface du cycle parcouru. Pour
autant que l’on n’atteigne pas la saturation, cette énergie est proportionnelle au carré de la
valeur crête du champ B. Pour obtenir la puissance, il faut encore multiplier par la fréquence,
c’est-à-dire le nombre de fois que le cycle est parcouru par seconde. Tout compte fait, on peut
mettre la perte par hystérésis sous la forme :
2
⎛ f ⎞⎛ B ⎞
PH = CH ⎜⎜ ⎟⎟ ⎜⎜ ⎟⎟ m
⎝ f 0 ⎠ ⎝ B0 ⎠
[W]
(2)
Avec :
f0
B0
m
CH
fréquence de référence, généralement 50 Hz ;
champ d’induction magnétique de référence, 1 ou 1,5 T ;
masse du fer [kg] ;
coefficient en W/kg, dépendent du matériau.
Pour limiter les pertes, il faut donc choisir des matériaux magnétiquement doux présentant un
cycle le plus étroit possible, donc de faibles valeurs de la rémanence (Br) et du champ coercitif
(Hc).
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3. Effet de peau
Les calculs des pertes vus aux § 1 et 2 sont légitimes pour autant que le champ magnétique
pénètre dans le métal, ce qui est correct à basse fréquence. En revanche, à haute fréquence, les
courants induits tendent à se répartir seulement à la surface du métal : c’est l’effet pelliculaire
(skin effect en anglais). En fait, le champ décroît exponentiellement au fur et à mesure qu’il
pénètre dans le métal. Pour calculer ce qu’on appelle la profondeur de peau, il faut étudier la
propagation d’une onde électromagnétique dans un métal, en tenant compte de sa conductivité.
Il faut donc repartir des équations de Maxwell et des relations constitutives du métal.
r r
∇⋅ D= ρ = 0
r r
∇⋅B = 0
r
r r
∂B
∇× E= −
∂t r
r r r ∂D
∇× H = J +
∂t
r
v
J = σE
(pas de charges libres)
(M.1)
(M.2)
(M.3)
(M.4)
r
r
D = ε 0ε r E
ε 0 μ0c 2 = 1
r
r
B = μ0 μ r H
(matériau, M.5)
μ0 = 4π ⋅ 10−7 V·s/A·m
(constantes du SI)
On obtient l’équation d’onde comme suit :
Éqs M.4 et M.5 Æ
r
r r r ∂D ∂
r
r
∇× H = J +
=
ε 0ε r E + σE
∂t ∂t
(
)
(
)
(
)
r r r r r r
r
Prendre le rotationnel de cette équation et se souvenir que ∇ × ∇ × H = ∇ ⋅ ∇ ⋅ H − ∇ 2 H
r
r
r r
∂B
∂H
∇× E = −
= − μ0 μr
∂t
∂t
Éqs M.3 et M.5 Æ
Finalement :
r
r
r
∂2H
∂H
∇ H = ε 0ε r μ0 μ r 2 + σμ0 μ r
∂t
∂t
2
[A/m3]
(3.1)
[V/m3]
(3.2)
r
Pour E , une démarche similaire donne :
r
r
r
∂2E
∂E
∇ E = ε 0ε r μ0 μ r 2 + σμ0 μ r
∂t
∂t
2
Maintenant, considérer une onde plane se propageant selon z, passant du vide ( z < 0 ) au métal
( z > 0 ). En notation complexe, avec une polarisation selon x, le champ électrique s’écrit :
E x = E0e j (ωt − kz )
(k = nombre d’onde, selon z.)
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r ⎛ ∂2
r
∂2
∂2 ⎞ r
∇ 2 E = ⎜⎜ 2 + 2 + 2 ⎟⎟ E = − k 2 E
∂y
∂z ⎠
⎝ ∂x
r
r
r
r
∂2E
∂E
ε 0ε r μ0 μ r 2 + σμ0 μr
= −ω 2ε 0ε r μ0 μ r E + jωσμ0 μ r E
∂t
∂t
r
Après substitution des expressions ci-dessus dans (3.2) et simplification par E :
k 2 = ω 2ε 0ε r μ0 μr − jωσμ0 μ r
(3.3)
Dans le vide : σ = 0 , ε r = μ r = 1 , donc k02 = ω 2ε 0 μ0 = ω 2 / c 2 , k0 = ω / c
Dans un métal, la partie imaginaire de k 2 domine si ω 2ε 0ε r μ0 μr << ωσμ0 μ r , autrement dit si
ω <<
σ
107
, donc typiquement si ω <<
, ou bien f << 1,8 ⋅ 1017 Hz.
−12
ε 0ε r
8,85 ⋅ 10
Donc, même à quelques MHz, k 2 est quasi imaginaire pur.
k 2 = − jωσμ0 μr
δ=
Poser :
2
ωσμ0 μ r
k=
Æ
alors
1− j
ωσμ0 μ r
2
1− j
k=
δ
L’onde plane E x = E0e j (ωt − kz ) s’amortit comme e − z / δ dans le métal. (Effet pelliculaire).
δ=
Épaisseur de peau
1
Fréquence
f [Hz]
0.01
0.1
1
10
50
100
1000
[S/m]
(3.4)
Cu
1.68E-08
5.95E+07
Fe
9.70E-08
1.03E+07
Al
2.70E-08
3.70E+07
Magmim
FeSi
5.00E-07
2.00E+06
Ferrite
Mn - Zn
1
1.00E+00
Ferrite
Ni - Zn
1.00E+08
1.00E-08
1
500
1
10000
500
500
delta
[m]
6.52E-01
2.06E-01
6.52E-02
2.06E-02
9.23E-03
6.52E-03
2.06E-03
delta
[m]
7.01E-02
2.22E-02
7.01E-03
2.22E-03
9.91E-04
7.01E-04
2.22E-04
delta
[m]
8.27E-01
2.62E-01
8.27E-02
2.62E-02
1.17E-02
8.27E-03
2.62E-03
delta
[m]
3.56E-02
1.13E-02
3.56E-03
1.13E-03
5.03E-04
3.56E-04
1.13E-04
delta
[m]
2.25E+02
7.12E+01
2.25E+01
7.12E+00
3.18E+00
2.25E+00
7.12E-01
delta
[m]
2.25E+06
7.12E+05
2.25E+05
7.12E+04
3.18E+04
2.25E+04
7.12E+03
Effet de peau
ρ [Ω·m]
σ = 1/ ρ
μr
[m]
πfσμ0 μ r
Table 1 – Épaisseur de peau
On constate que l’épaisseur de peau du Fer à 50 Hz n’est que de 1 mm. Pour que le flux
magnétique pénètre bien, l’épaisseur des tôles de transformateurs doit donc être inférieure à
cette valeur.
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