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AP - Analyse dimensionnelle

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PC - AP TS - Séance 4
ANALYSE DIMENSIONNELLE - CORRECTION
I - GRANDEURS DU SYSTEME INTERNATIONAL
1) Retrouver l’expression en unité de base du joule, unité de l’énergie sachant que l’énergie cinétique est
1
telle que : Ec = mv 2
2
Ec =
1
 J = kg × (m.s-1)2
v
soit J = kg × m2 × s-2
J = kg.m2.s-2
d’où
2) Quelle est l’unité légale de la résistance électrique ? Retrouver son expression en unités de base.
 L’unité légale dans le systè e SI de la résistance électrique est le ohm ().
 La loi d’Oh
per et d’écrire que : U = R ×I
R=
I
 =
=
soit
donc R =
g
-1
I
s-
.
d’où
 = kg.m2.A-2.s-3
III - ANALYSE DIMENSIONNELLE
 Dimension d’une grandeur quelconque :
asse volu ique  sachant que  =
) Retrouver la di ension et l’unité de la
Analyse dimensionnelle
[] =
[ ]
soit [] =
 a la di ension d’une
L
d’où
m
.
V
Analyse des unités
[] = M.L-3
asse divisée par un volu e

g
= kg.m-3
L’unité de  est le kg.m-3.
4) Trouver l’équation des gaz parfaits qui lie la constante R des gaz parfaits, la pression P, la quantité
de matière n, le volume V et la te pérature T du gaz sachant que l’unité de R est : Pa.m3.K-1.mol-1.
Analyse dimensionnelle
[R] =
[P]
L
Analyse des unités
P
soit R = T n
Pa.m3.K-1.mol-1  R =
P
T n
 L’équation d’état des gaz parfait est : PV = nRT
 Homogénéité d’une expression ou relation mathématique :
5) On exprime la vitesse d’un corps par l’équation v = At3 - Bt où t représente le temps.
Trouver les dimensions des coefficients A et B et en déduire leurs unités SI.
 Par conséquent, At3 et Bt doivent être également homogène à une longueur divisée par un temps.
3
 [A]×T = L.T
-1
d’où [ ] =
 [B]×T = L.T-1 d’où [B] =
L T-1
T
L T-1
T
donc la dimension de A est [A] = L.T2 et
s’expri e en m.s2.
donc la dimension de B est [B] = L.T-2 et B s’expri e en m.s-2.
6) Voici trois équations horaires décrivant le ouve ent d’un corps dans lesquelles x désigne la
distance parcourue ( ), a l’accélération (m.s-2), t le temps (s) et l’indice 0 indique la valeur de la
grandeur à l’instant t = 0 s. Parmi ces équations, lesquelles sont possibles ?
1
(a) x = v0t2
(b) x = v0t + at2
(c) x = v0t + 2at2
2
 Pour que la relation soit possible, il faut qu’elle soit ho ogène
[x] = L  x est ho ogène à une longueur donc le second e bre de l’équation doit être aussi
homogène à une longueur.
(a)
[v0t2] = L.T-1 × T2 = L.T  L  relation impossible car non homogène.
(b)
[v0t] +
(c)
[v0t] + 2at2] = L.T-1 × T + L.T-2 × T2 = L + L = L  relation possible car homogène.
at2] = L.T-1 × T + L.T-2 × T2 = L + L = L  relation possible car homogène.
 Remarque : une relation non ho ogène est toujours fausse ais une relation ho ogène n’est pas
toujours bonne Ici l’analyse de l’ho ogénéité ne per et pas de choisir entre les relations (b) et (c).
7) Voici trois expressions pour la période de révolution d’une sonde en orbite autour de la planète
Mercure où représente la asse de ercure et r le rayon de l’orbite circulaire de la sonde
(a) T  2
r
GM
(b) T  2 GM
3
(c)
r
3
-1
T  2
r3
GM
-2
Sachant que G a pour dimension L .M .T et s’expri e donc en 3.kg-1.s-2, déterminer par deux
méthodes (analyse dimensionnelle et analyse des unités) la bonne expression pour la période.
 La période est une durée donc doit avoir la di ension d’un te ps et s’expri e en seconde.
Cherchons quelle expression à la di ension d’un te ps
(a) Analyse dimensionnelle
√
r
(
L
L
-1 -
T
1
)1/2
L
=
L
-1
T
= L-1.T  T  expression incorrecte
1
-
Analyse des unités
√
r
(
-1 -
1
)1/2 =
-1
= m-1.s  s  expression incorrecte
1
g
-
(b) Analyse dimensionnelle
√
r
(
L
-1 -
T
L
)1/2
=
)1/2
=
)1/2
=
L
-1
T
1
-1
= T–1  T  expression incorrecte
L
Analyse des unités
√
r
-1 s-
(
-1
g
s-1
= s-1  s  expression incorrecte
(a) Analyse dimensionnelle
√r
(
L
L
-1 -
T
L
L
-1
T
= T  expression correcte
1
--
Analyse des unités
√r
(
-1 -
)1/2
=
-1
-
1
g
= s  expression correcte
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