Telechargé par fiacrebass

Cours de Mathématiques Financières Institut des Sciences et de Management 2018-2019

publicité
ISM-AFRICA
Institut des Sciences et de Management
Licence 1 Professionnelle_Comptabilité-Contrôle-Audit
et Sciences de Gestion
SYLLABUS DE COURS
MATHEMATIQUES FINANCIERES
ENSEIGNANT : Aimé Fiacre LIKA INGASSO
ANNEE ACADEMIQUE 2018-2019
CHAPITRE 0 : RAPPELS MATHEMATIQUES
I.
LES PROGRESSIONS ARITHMETIQUES
1. Définition
Soient n termes a1, a2, a3, ………………., an. Ces termes sont dits en progression
arithmétique si chacun d’eux est obtenu en ajoutant au précédent un même
nombre réel constant r appelé raison de la progression.
a2 = a1+r
a3 = a2+r =a1+2r
.
.
.
.
an = an-1+r = a1+ (n-1)r
an+1 = an+r = a1+nr
a2-a1 = a3-a2 =………………= an-an-1 = r
Exemple : les nombres 17, 15, 13, 11, 9, 7 sont en progression arithmétique de
raison r = -2. Le premier terme de cette progression est 17 et le dernier terme est
7. Cette progression comporte 6 termes.
2. Propriétés
a. Expression d’un terme quelconque en fonction d’un autre
k et p étant deux nombres entiers naturels. Les termes a k et ap d’une progression
arithmétique de raison r sont liés par :
ak = ap + (k-p)r
Exemple :
a8 = a3+(8-3)r = a3+5r
a2 = a6+(2-6)r = a6-4r
b. Somme des n termes consécutifs d’une progression arithmétique
Considérons n termesa1, a2, a3, ………………., an en progression arithmétique de
raison r. La somme des termes de cette progression est :
Sn = a1+a2+a3+ ………………. +an.
(1)
Or
(2)
En remplaçant l’équation (2) dans l’équation (1) on a :
Support de Cours préparé par : Aimé Fiacre LIKA INGASSO, Auditeur et Contrôleur de Gestion
Consultant au Projet Londo/AGETIP-CAF
L2CCA_ISM – AFRICA, 2018-2019
[
]
[
]
APPLICATION
Pour s’acheter une voiture dans 2 ans Exaucée verse à la fin de chaque mois des
intérêts des sommes en progression arithmétiques de raison 10.000FCFA. Le
versement effectué à la fin de la première année s’élevait à 1.000.000FCFA.
TAF :
1er.
Déterminer le versement effectué par Exaucée à la fin du premier mois
2e.
Quelle est la valeur de la voiture
3e.
Déterminer la somme des 5 derniers versements.
II.
LES PROGRESSIONS GEOMETRIQUES
1. Définition
Soient n termes a1, a2, a3, ………………., an. Ces termes sont dits en progression
géométrique si chacun d’eux est obtenu en multipliant le précédent par un même
nombre réel constant q appelé raison de la progression.
a2 = a1 x q
a3= a2 x q =a1 x q2
.
.
.
.
an = an-1 x q = a1 x qn-1
an+1 = an x q = a1 x qn
Exemple : les nombres 16, 8, 4, 2, 1 sont en progression géométrique de raison
2. Propriétés
a. Expression d’un terme quelconque en fonction d’un autre
k et p étant deux nombres entiers naturels. Les termes a k et ap d’une progression
géométrique de raison q sont liés par :
ap = ak x qp-k
Exemple :
a10 = a15 x q10-15= a15 x q-5
a5 = a3 x q5-3= a3 x q2
Support de Cours préparé par : Aimé Fiacre LIKA INGASSO, Auditeur et Contrôleur de Gestion
Consultant au Projet Londo/AGETIP-CAF
L2CCA_ISM – AFRICA, 2018-2019
b. Somme des n termes consécutifs d’une progression géométrique
Considérons n termes a1, a2, a3, ………………., an en progression géométrique de
raison q. La somme des termes de cette progression est :
Sn = a1+a2+a3+ ………………. +an.
avec q ≠ 1
III.
NATURE DES PROGRESSIONS
Des termes en progression arithmétique de raison r sont croissants si r>0,
décroissant si r<0 et constant si r = 0.
Des termes en progression géométrique de raison q sont croissants si q>1,
décroissant si 0<q<1 et constants si q = 1 et alternés si q<0.
Support de Cours préparé par : Aimé Fiacre LIKA INGASSO, Auditeur et Contrôleur de Gestion
Consultant au Projet Londo/AGETIP-CAF
L2CCA_ISM – AFRICA, 2018-2019
CHAPITRE 1 : INTERETS SIMPLES
I.
NOTION D’INTERETS SIMPLES
1. Définition
L’intérêt peut être défini comme la rémunération d’un placement (ou d’un prêt)
ou comme le prix payé par un emprunteur pour utiliser un capital pendant un
temps donné. L’intérêt peut donc être considéré comme le loyer de l’argent prêté.
L’intérêt est dit simple lorsqu’il est calculé une seule fois à la fin de la dernière
période.
Lorsque la durée d’un placement est courte (en général moins d’une année), on
calcule un intérêt simple. Celui-ci est directement proportionnel au capital placé,
à la durée du placement et au taux d’intérêt.
L’intérêt simple ne tient donc pas compte de la capitalisation des intérêts,
contrairement à l’intérêt composé qu’on utilise lors de placement à plus longue
échéance (plus d’une année).
2. Calcul
Soit C un capital placé au taux t (taux pour 100F) pendant une durée n. l’intérêt
I produit par ce capital est :
Les intérêts peuvent aussi être calculés par la méthode des nombres et
diviseurs.
Posons N = Cn et
Support de Cours préparé par : Aimé Fiacre LIKA INGASSO, Auditeur et Contrôleur de Gestion
Consultant au Projet Londo/AGETIP-CAF
L2CCA_ISM – AFRICA, 2018-2019
N = Cn est appelé le nombre. Pour plusieurs capitaux le nombre total
N=∑
est appelé le diviseur.
APPLICATION
Quel est l’intérêt produit par un capital de 900.000FACFA, placé au taux de 6%
pendant :
a. 2 ans
b. 1 an 3 mois et 18 jours
En utilisant la méthode des nombres et diviseurs, déterminer au taux de 4%
l’intérêt total produit par les capitaux suivants :
Capitaux
Durée en mois
120.000
8
340.000
7
100.000
10
230.000
4
3. Valeur acquise
La valeur acquise par un capital est la valeur nominale augmentée de l’intérêt
acquis pendant le temps couru au-delà de la date origine.
VA = C + I
APPLICATION
Quelle est la valeur acquise par un capital de 300.000FCFA placé au taux de 3%
du 15 mars au 25 juin ?
4. Taux moyen de placement (tm)
Considérons trois capitaux C1, C2, C3 placés respectivement aux taux t 1, t2, t3
pendant respectivement n1, n2, n3 périodes.
Support de Cours préparé par : Aimé Fiacre LIKA INGASSO, Auditeur et Contrôleur de Gestion
Consultant au Projet Londo/AGETIP-CAF
L2CCA_ISM – AFRICA, 2018-2019
On appelle taux moyen de placement le taux unique auquel ces capitaux
produisent ensemble un intérêt et gagne à la somme des intérêts produit par les
mêmes capitaux chacun à son propre taux de placement.
∑
II.
NOTION D’INTERET PRECOMPTE
1. Définition
L’intérêt est dit précompté lorsqu’il est calculé et prélevé par anticipation.
2. Calcul
Soit C le nominal d’un emprunt, t le taux d’intérêt précompté, n la durée de
remboursement. L’intérêt Ip est :
3. Somme effectivement placée (S)
C’est la différence entre le nominal de l’emprunt et les intérêts précomptés.
S = C - Ip
Support de Cours préparé par : Aimé Fiacre LIKA INGASSO, Auditeur et Contrôleur de Gestion
Consultant au Projet Londo/AGETIP-CAF
L2CCA_ISM – AFRICA, 2018-2019
4. Taux effectif de placement (te)
C’est le taux auquel la somme effectivement placée produit un intérêt égal à
l’intérêt précompté.
Or
(
)
(
=Cxt
)
(
(
=t
)
)
APPLICATION
On négocie à la CBCA des bons de trésor du nominal 2.800.000FCFA. Sachant
que les intérêts sont précomptés au taux de 5%. Déterminer :
1er.
La somme effectivement placée
2e.
Le taux effectif de placement
N.B : échéance 8 mois.
TRAVAUX DIRIGES
Confère Planche d’exercice !
III. NOTION D’ESCOMPTE D’EFFET DE COMMERCE
1. Définition
L’escompte est une opération de crédit par laquelle le banquier met à la
disposition de son client une certaine somme contre remise d’effet de commerce
moyennant des agios.
Support de Cours préparé par : Aimé Fiacre LIKA INGASSO, Auditeur et Contrôleur de Gestion
Consultant au Projet Londo/AGETIP-CAF
L2CCA_ISM – AFRICA, 2018-2019
Un commerçant qui a dans son portefeuille un effet de commerce a la possibilité
de le négocier auprès d’une banque commerciale avant sa date d’échéance.
Lorsque l’effet est accepté par le banquier, ce dernier se chargera de calculer un
intérêt en tenant compte de la valeur nominale de l’effet et le nombre de jour
restant à courir par l’effet. Un tel intérêt est appelé Escompte Commercial.
2. Calcul de l’escompte commercial
Soit V la valeur nominale d’un effet, t le taux d’escompte et n le nombre de jour
restant à courir par l’effet de la date de négociation à la date d’échéance.
L’escompte commercial e prélevé est :
3. Valeur actuelle commerciale
C’est la différence entre la valeur nominale de l’effet et l’escompte commercial
prélevé.
Soit v cette valeur actuelle commercial. On a :
v=V-e
APPLICATION
On négocie à la BSIC le 14/02/2016 un effet de commerce de nominal 720.000
créé le 08/01/2016 au taux de 6%. Sachant que l’effet échoit le 19/06/2016.
Déterminer l’escompte commercial prélevé et la valeur actuelle commerciale.
4. Notion d’agio
Lors de la négociation d’un effet de commerce en plus de l’escompte commercial
prélevé, le banquier prélève d’autres commissions et une taxe spéciale pour le
compte de l’Etat appelée Taxe sur Activités Financières (TAF).
i.
Les commissions
Il existe trois grandes catégories de commission :
 Les commissions dépendantes à la fois de la valeur nominale et du temps :
elles se calculent comme l’escompte commercial.
Exemple : commissions d’endossement
 Les commissions dépendantes uniquement de la valeur commerciale : elles
se calculent par simple pourcentage de la valeur nominale.
Exemple : commissions de bordereau, commission de manipulation,
commission de présentation à l’acceptation
 Les commissions fixes : leurs montants ne varient pas.
 Exemple : commissions de services
Support de Cours préparé par : Aimé Fiacre LIKA INGASSO, Auditeur et Contrôleur de Gestion
Consultant au Projet Londo/AGETIP-CAF
L2CCA_ISM – AFRICA, 2018-2019
ii.
La taxe (TAF)
Elle est calculée sur toutes les commissions sans exception.
L’agio est donc l’ensemble des prélèvements opérés par le banquier.
On distingue : l’agio hors taxe (HT) et l’agio toutes taxes comprises (TTC).
Agio HT = Escompte + Commissions
Agio TTC = Agio HT + Taxes
5. Valeur nette négociée
C’est la différence entre la valeur nominale de l’effet et le total des agios.
VNette= V - Agio
APPLICATION
Un effet de nominal de 630.000 échéant dans 54 jours est négocié dans les
conditions suivantes :
Taux d’escompte 3%, commission d’endos 1,5%, commission d’acceptation 10/00,
commission de services 1500F par effet, commission de manipulation 0,25%, TAF
17,5%.
Déterminer le montant de l’agio prélevé et en déduire la valeur nette négociée.
REMARQUE : JOURS DE BANQUE
Ce sont des jours fictifs fixés par le banquier pour les opérations. Le nombre de
jours définitivement retenus pour les calculs est égal au nombre de jours réels à
courir par l’effet augmenté des jours de banque.
6. Escompte rationnel – Valeur actuelle rationnelle
L’escompte rationnel est l’intérêt produit par la valeur actuelle rationnelle.
Soit e’ l’escompte rationnel et v’ la valeur actuelle rationnelle. On a :
v’ = V - e’(2)
En remplaçant l’équation (2) dans l’équation (1), on a :
Vtn – e’tn = 36000e’
Support de Cours préparé par : Aimé Fiacre LIKA INGASSO, Auditeur et Contrôleur de Gestion
Consultant au Projet Londo/AGETIP-CAF
L2CCA_ISM – AFRICA, 2018-2019
Vtn = 36000e’ + e’tn
Vtn = e’(36000 + tn)
APPLICATION
On escompte rationnellement un effet de nominal 800.000 échéant dans 7 mois
au taux de 4%. Déterminer l’escompte rationnel et la valeur actuelle rationnelle.
7. Taux annexes
a. Taux réel d’escompte (T)
Encore appelé taux d’agio, le taux réel d’escompte est le taux directement
applicable à la valeur nominale et compte tenu du nombre de jours permet
d’obtenir l’agio.
Ce taux peut être calculé hors taxe HT (pour le banquier) et toutes taxes
comprises TTC (pour le client).
b. Taux d’aggravation (Ta)
C’est la différence entre le taux réel d’escompte et la somme des taux d’escompte
et d’endos.
Ta = T – (tendos + tescompte)
c. Taux de placement pour le banquier
C’est le taux auquel la valeur actuelle commerciale produit un intérêt égal à
l’escompte commercial.
Support de Cours préparé par : Aimé Fiacre LIKA INGASSO, Auditeur et Contrôleur de Gestion
Consultant au Projet Londo/AGETIP-CAF
L2CCA_ISM – AFRICA, 2018-2019
d. Taux de revient de l’opération pour le client (tr)
C’est le taux directement appliqué sur la valeur nette négociée et compte tenu du
nombre de jour permet d’obtenir l’agio TTC.
IV.
Equivalence des effets de commerce
1. Equivalence de deux effets de commerce
Les effets de nominales V1 et V2 échéants respectivement dans n1 et n2 période
sont dits équivalents si et seulement si escomptés au même taux et à une même
date (appelée date d’équivalence) ils ont même valeur actuelle à cette date.
Date d’équivalence
0
n1
V1
V2
n2
2. Equivalence de deux groupes d’effets
Deux groupes d’effets pourraient âtre équivalent si et seulement si escomptés au
même taux à une même date la somme des valeurs actuelles des effets à
remplacer est égale à la somme des valeurs actuelles des effets de
remplacements.
3. Remplacement de plusieurs effets par un effet
Les effets de nominales V1, V2, …………………………….,Vk échéants respectivement
dans n1, n2, ……………………………nk période pourraient être remplacés par un
effet unique de nominale V échéant dans n période si et seulement si escomptés
au même taux et à une même date la valeur actuelle de l’effet unique de
remplacement est égal à la somme des valeurs actuelles es effets à remplacer.
Deux cas peuvent être observés :
1er cas : si V1+V2+………………………………………………….Vk ≠ V alors l’échéance
de l’effet unique est appelée échéance commune.
2ème cas : si V1+V2+………………………………………………….Vk =
l’échéance de l’effet unique est appelée échéance moyenne.
V
Support de Cours préparé par : Aimé Fiacre LIKA INGASSO, Auditeur et Contrôleur de Gestion
Consultant au Projet Londo/AGETIP-CAF
L2CCA_ISM – AFRICA, 2018-2019
alors
∑
APPLICATION
Exercice 1
Un effet de nominal 8000 échéant le 03 Mars doit être remplacé par un effet de
nominal 8200 à une certaine date d’échéance.
Quel est au taux de 6% la date d’échéance du second effet ?
Exercice 2
Un débiteur retrouve dans son portefeuille les dettes suivantes :
180.000 échéant dans 54 jours, 260.000 échéant dans 74 jours et 320.000
échéant dans 60 jours.
1) Le débiteur négocie et obtient de son créancier de rembourser ces dettes
par deux versements bimensuels qui sont entre eux comme le nombre 5 et
2. Déterminer au taux de 9% la valeur nominale des versements
bimensuels.
2) Quelle est l’échéance moyenne des trois dettes ?
TRAVAUX DIRIGES
Confère Planche d’exercice !
Support de Cours préparé par : Aimé Fiacre LIKA INGASSO, Auditeur et Contrôleur de Gestion
Consultant au Projet Londo/AGETIP-CAF
L2CCA_ISM – AFRICA, 2018-2019
CHAPITRE 2 : INTERETS COMPOSES
I.
NOTION
Lorsqu’on a un capital à placer, deux cas peuvent être observés en ce qui
concerne le calcul des intérêts :
 Soit le capital est retiré augmenter les intérêts calculés une seule fois à la
fin de la dernière période (Intérêts Simple).
 Soit le capital est retiré augmenter des intérêts calculés à la fin de chaque
période (Intérêts Composés).
Dans ce deuxième cas, l’intérêt calculé à la date d’une période est incorporé au
capital de début de la période pour être replacé pour le compte de la période
suivante.
Ainsi ce sont les valeurs acquises obtenues à la fin de chaque période qui sont
replacées pour le compte de la période suivante.
Dans ces conditions les intérêts contenus dans ces valeurs acquises produisent à
leur tour d’autres intérêts : on parle de capitalisation des intérêts.
II.
GENERALISATION DE LA NOTION : FORMULE FONDAMENTALE
Soit un capital C placé au taux i (taux pour 1F :
a:
Période
1
2
3
.
.
.
k
.
.
.
n
Capital début de période
C
C(1+i)
C(1+i)2
.
.
.
C(1+i)k-1i
.
.
.
C(1+i)n-1
Intérêt
Ci
C(1+i)i
C(1+i)2i
.
.
.
C(1+i)k-1i
.
.
.
C(1+i)n-1i
) pendant une durée n. On
Capital fin de période
C+Ci = C(1+i)
C(1+i)+ C(1+i)i= C(1+i)2
C(1+i)2+C(1+i)2i= C(1+i)3
.
.
.
C(1+i)k
.
.
.
C(1+i)n
La formule fondamentale en intérêts composés est C(1+i)n.
REMARQUES
 Cn= C(1+i)n est la valeur acquise en intérêts composés par un capital C
placé au taux i pour une durée n.
 L’expression (1+i)n se lit dans la table financière n°1. C’est un coefficient de
capitalisation.
Exemple : i = 0,06 ; (1,06)8=1,593848
Support de Cours préparé par : Aimé Fiacre LIKA INGASSO, Auditeur et Contrôleur de Gestion
Consultant au Projet Londo/AGETIP-CAF
L2CCA_ISM – AFRICA, 2018-2019

Contrairement aux intérêts simples, la formule fondamentale en intérêts
composés débouche sur la valeur acquise. Pour trouver l’intérêt il faut donc
faire la différence entre la valeur acquise et le capital placé.
I = Cn – C
I = C(1+i)n – 1
I = C[(1+i)n – 1]
L’intérêt au cours d’une période p quelconque est :
Ip = C(1+i)p-1 x i

Les valeurs acquises obtenues à la fin de chaque période de même que les
intérêts contenus dans ces valeurs acquises sont en progression
géométrique de raison q = (1+i).
III.
PROBLEME SUR LA FORMULE
Exercice 1
Quelle est la valeur acquise par un capital de 200.000 placé au taux de 6%
pendant 8 ans ?
Exercice 2
Pendant combien de temps un capital donné placé au taux de 9% peut-il
s’accroître de 25% de sa valeur ?
Exercice 3
A quel taux doit-on placer un capital de 900.000 pour obtenir à la fin de la 10ème
année un capital de 1.812.239,1F ?
Exercice 4
Quel capital doit-on placé au taux de 8% pour obtenir une valeur acquise de
925.465F à la fin de la huitième année ?
 La valeur actuelle
Conventionnellement la valeur actuelle en intérêts composés d’un capital C au
taux i pour une durée n est :
C0 = C(1+i)-n
Déterminer donc une valeur actuelle c’est actualiser la valeur acquise.
L’expression (1+i)-n se lit dans la table financière n°2. C’est un coefficient
d’actualisation.
Support de Cours préparé par : Aimé Fiacre LIKA INGASSO, Auditeur et Contrôleur de Gestion
Consultant au Projet Londo/AGETIP-CAF
L2CCA_ISM – AFRICA, 2018-2019
IV.
TAUX PROPORTIONNELS – TAUX EQUIVALENTS
Deux taux correspondant à des périodes de capitalisation différentes sont
proportionnels lorsque leur rapport est égal au rapport de leur période de
capitalisation respective.
Si ia est le taux annuel, is le taux semestriel proportionnel à ia, ip le taux
trimestriel proportionnel à ia, im le taux mensuel proportionnel à ia. Alors on a :
N.B : les taux proportionnels sont utilisés en intérêts simples.
Deux taux correspondant à des périodes de capitalisation différente sont
équivalents si et seulement si pour un capital et pour une même durée ils
conduisent à une même valeur acquise.
Un capital C placé au taux ia pendant 1 an a pour valeur acquise C(1+ia).
Divisons l’année en k période.
Soit ik le taux associé à chaque période. Le même capital C placé au taux i k
pendant 1 an a pour valeur acquise C(1+ik)k.
ik équivalent à ia, implique que :
C(1+ia) = C(1+ik)k
(1+ia) = (1+ik)k
ia = (1+ik)k– 1
ik = √
N.B : les taux équivalents sont utilisés en intérêts composés.
APPLICATION
Quel est le taux bimestriel proportionnel au taux semestriel de 5% ?
Quel est le taux bisannuel équivalent au taux trimestriel de 2% ?
V.
EQUIVALENCE EN INTERETS COMPOSES
1. Escompte à intérêts composés
Soit V la valeur nominale d’un effet, v sa valeur actuelle commerciale et e
l’escompte commercial prélevé.
On sait que v = V – e, ce qui implique que e = V –v
Support de Cours préparé par : Aimé Fiacre LIKA INGASSO, Auditeur et Contrôleur de Gestion
Consultant au Projet Londo/AGETIP-CAF
L2CCA_ISM – AFRICA, 2018-2019
Or v = V(1+i)-n
Donc e = V – v(1+i)-n
e = V[(1-(1+i)-n]
2. Problèmes sur les équivalences
P1 : une dette contractée il y a 4 ans au taux annuel de 7% doit être remboursée
dans 2 ans par un capital de 2.400.000. Quel est la valeur de la dette
contractée ?
P2 : un débiteur retrouve dans son portefeuille les dettes suivantes :
2.000.000 impayés depuis 15 mois, 1.500.000 payable dans 42 mois, 3.400.000
payable dans 30 mois et 2.800.000 payable dans 4 ans.
1) Le débiteur négocie et obtient de son créancier de rembourser ces dettes
par deux versements bisannuels égaux. Quel est au taux de 8% la valeur
commune des versements bisannuels ?
2) En réalité les dettes devraient être remboursées par un versement unique
dans 3 ans. Quelle est la valeur de ce versement unique ?
3) Déterminer l’échéance moyenne des 4 dettes.
Support de Cours préparé par : Aimé Fiacre LIKA INGASSO, Auditeur et Contrôleur de Gestion
Consultant au Projet Londo/AGETIP-CAF
L2CCA_ISM – AFRICA, 2018-2019
CHAPITRE 3 : LES ANNUITES
I.
NOTION
Les annuités sont des versements effectués à intervalles de temps régulier. Il
s’agit donc de versements périodiques.
Elle peut être chaque mois (mensualité), chaque deux mois (bimestrialité), chaque
trois mois (trimestrialité), chaque six mois (semestrialité), chaque année
(annualité), chaque deux ans (bisannualité).
Ces versements sont effectués soit pour constituer un capital (annuités de
capitalisation) soit pour rembourser une dette (annuités de remboursement). Le
montant de ces versements peut être constant (annuités constantes) ou variable
(annuités variables).
II.
ANNUITES CONSTANTES
Soit n annuité placée à intérêts composés au taux i valant chacune aF.
1. Valeur acquise
La valeur acquise par ces placements est égal à la somme Vn des valeurs acquises
de chaque versement immédiatement après le dernier versement.
Vn
a
a
a
a
a
a
0
1
2
3………………………………n-2
n-1
n
a
a(1+i)
a(1+i)2
a(1+i)n
Vn = a + a(1+i) + a(1+i)2 + ………………………………………………………+ a(1+i)n
= a[1+(1+i)+(1+i)2+……………………………………………………………+(1+i)n-1]
Vn = a[1
]
REMARQUES

L’expression
se lit dans la table financière n°3.
Support de Cours préparé par : Aimé Fiacre LIKA INGASSO, Auditeur et Contrôleur de Gestion
Consultant au Projet Londo/AGETIP-CAF
L2CCA_ISM – AFRICA, 2018-2019
Elle permet d’évaluer la valeur acquise d’une suite d’annuité à la date du dernier
versement.

La lettre n contenue dans cette expression n’exprime pas la durée mais un
nombre de versement (qui ne peut donc être décimal).
APPLICATION
Exercice 1
Quelle est la valeur acquise par une suite de 8 versements de 40.000 placés au
taux de 5% ?
Exercice 2
Pour constituer un capital un épargnant verse à la fin de chaque semestre et
pendant 6 ans des sommes constantes de 50.000F au taux annuel de 10,25%.
Sachant le premier versement a lieu immédiatement.
Déterminer le capital constitué par l’épargnant 18 mois après le dernier
versement.
Exercice 3
A quel taux doit-on effectuer 10 versements de 500.000 pour disposer de
8.600.000 à la date du dernier versement ?
Exercice 4
Combien de versement de 500.000doit-on effectuer au taux de 9% pour obtenir à
la date du dernier versement une valeur acquise de 5.000.000 ?
2. Valeur actuelle
Déterminer la valeur actuelle c’est actualiser la valeur acquise.
0
a
a
a
1
2
3………………………………n-2
V0 = Vn(1+i)-n
a
a
Vn
a
n-1
n
or
Donc
Support de Cours préparé par : Aimé Fiacre LIKA INGASSO, Auditeur et Contrôleur de Gestion
Consultant au Projet Londo/AGETIP-CAF
L2CCA_ISM – AFRICA, 2018-2019
REMARQUE

L’expression
se lit dans la table financière n°4. Elle permet
d’obtenir la valeur actuelle des annuités une période avant le premier
versement. Ce qui suppose que toute les fois que l’on écrit
on doit
dire instinctivement qu’on est déjà à une période avant le premier
versement.
APPLICATION
Exercice 1
Une dette a été contractée au taux semestriel de 8,16% pour être remboursée en
3 ans. L’emprunteur verse à la fin de chaque trimestre des sommes constantes de
100.000F. Quelle est la valeur de la dette contractée ?
Exercice 2
Combien de versement de 400.000 doit-on effectuer au taux de 12% pour
rembourser une dette de 2.320.000 contractée une période avant le premier
versement.
III.
EQUIVALENCE DES ANNUITES
Exercice
Une dette contractée il y a 19 mois au taux de 6% doit être remboursée par 10
bisannualités constantes de 1.000.000. la première dans 2 mois. Immédiatement
après le versement de la sixième bisannualité le débiteur négocie et obtient de
son créancier de rembourser le reste de sa dette par un versement de 1.500.000
dans un an et le reste par 8 semestrialités constantes. La première 10 mois plus
tard.
Consigne :
1) Déterminer la valeur de la dette contractée.
2) Déterminer le capital restant dû après paiement de la sixième bisannualité.
Support de Cours préparé par : Aimé Fiacre LIKA INGASSO, Auditeur et Contrôleur de Gestion
Consultant au Projet Londo/AGETIP-CAF
L2CCA_ISM – AFRICA, 2018-2019
3) Déterminer la valeur commune des semestrialités.
4) L’échéance moyenne des 8 semestrialités.
IV.
LES ANNUITES VARIABLES
1. Les annuités en progression arithmétique
Considérons une suite de n annuités en progression arithmétique de raison r et
de premier terme a1, placé à intérêts composés au taux i.
a1
0
a1+r
1
2
a1+2r……………………………….…………….a1+(n-1)r
3………………………………………………………n
a. Valeur acquise
La valeur acquise par ces annuités est égale à la somme Vn des valeurs acquises
de chaque annuité immédiatement après le dernier versement.
[
]
On démontre que :
(
)
b. Valeur actuelle
Déterminer une valeur actuelles c’est actualiser la valeur acquise.
(
)
2. Les annuités en progression géométrique
Considérons une suite de n annuités en progression géométrique de raison q et
de premier terme a1, placé à intérêts composés au taux i.
a. Valeur acquise
a1
a1q
0
1
2
a1q2……………………………a1qn-3
3………………………………n-2
a1qn-2
n-1
a1qn-1
n
V’n
Support de Cours préparé par : Aimé Fiacre LIKA INGASSO, Auditeur et Contrôleur de Gestion
Consultant au Projet Londo/AGETIP-CAF
L2CCA_ISM – AFRICA, 2018-2019
V’n = a1qn-1+a1qn-2(1+i)+ a1qn-3(1+i)2+…………………………………….+ a1(1+i)n-1
Si q = 1+i
alors
(1)
indétermination à lever. Pour lever
l’indétermination on remplace q par son expression dans la relation (1). On
obtient alors :
b. Valeur actuelle
Déterminer la valeur actuelle c’est actualiser la valeur acquise.
a1
a1q
1
2
0
a1q2……………………………a1qn-3
3………………………………n-2
a1qn-2
n-1
a1qn-1
n
V’n
Si q = 1+i
alors
APPLICATION
Confère planche d’exercice et TD!
Support de Cours préparé par : Aimé Fiacre LIKA INGASSO, Auditeur et Contrôleur de Gestion
Consultant au Projet Londo/AGETIP-CAF
L2CCA_ISM – AFRICA, 2018-2019
Support de Cours préparé par : Aimé Fiacre LIKA INGASSO, Auditeur et Contrôleur de Gestion
Consultant au Projet Londo/AGETIP-CAF
L2CCA_ISM – AFRICA, 2018-2019
Téléchargement
Explore flashcards