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COURS ET TD TORSION

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L A T ORSION SIMPLE
I­ M ISE E N SITUATION :
On donne le dessin d’ensemble partiel ci­dessous à l’échelle 1:3 de la boite des vitesses d’un tour (L­180).
35
1 4 2 3 6 34 64 7
32
30
21
23
9
5
10
8
NB: En négligeant les forces normales à l’axe, l’arbre (1) est modélisé comme suit :
S0
Ligne moyenne
MA
S
MB
Fig.1
II.1­ Déduire le type de la sollicitation à la quelle est soumis l’arbre (1) : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ;
II­ DEFORMATION ANGULAIRE DUE A LA T ORSION :
II.1­ Expér ience :
­ Placer une éprouvette à travers les éléments de fixation et la bloquée dans la porté fixe.
­ Fixer l’autre bout au levier monté dans des roulements à billes (à la
longueur désirée).
­ Régler le dispositif de mesure de telle sorte que le palpeur du
comparateur est exactement en face de l’entaille du levier.
­ Baisser le comparateur et régler l’aiguille à zéro.
Remar que: 1 tour de l’aiguille de comparateur correspond à 1°.
­ Pour une charge donnée (10N) ; Compléter le tableau ci­dessous :
l (en mm)
a (en degr é)
600
..........
500
..........
400
..........
II.2­ Constatation :
Sous l’action de la torsion, les fibres d’un cylindre, parallèle à son axe géométrique, s’enroulent suivant des hélices autour de cet
axe. Seule la fibre axiale reste droite : c’est la fibre neutre.
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l1
F1
l
S
S0
d
m0
x
S1
m1
m
L’épr ouvette est un cylindr e d’axe xx’, de section constante S.
Soient S0 et S deux sections dr oites distantes de l et [m 0 m] une
génér atr ice. Sous
F
a1
x'
a
O0
O1
O
Fig 1
l’action des couples ( F, F’) ( F 1 , F’1 ) de sens contr air es S a tour né
d’un angle a par r appor t à S0 pr ise comme r éfér ence.
L’expér ience montr e que pour un moment et une section donnés :
a = a 1 = q en [ rd/mm ] : Angle unitaire de torsion
=
l l1
a en (r d) (angle de r otation entr e deux sections)
F'
F'1
II.3­ Etude des contr aintes :
y
Section droite S
M G0
df1/2
Considér ons le tr onçon (2) de la poutr e r epr ésentée ci­contre;
Mt
G0
l’équilibr e de se tr onçon implique que les effor ts de cohésions
G1
(2)
x
(1)
déduisent un moment M tx .
z
x
y
ds
M
Au point M, l’effor t élémentair e df, r elatif à l’élément de sur face dS est
r
z
dans le plan de la section (S) et per pendiculair e au r ayon GM = ρ :(r ho).
df 1/2
G
Le r appor t :
df
τ = dS
(1)
(Taux) est la contr ainte tangentiel au point M.
II.4­ Relation contr ainte ­ défor mation :
On démontr e que la contr ainte de tor sion en un point M d’une section est per pendiculair e
t = Grq
à la distance ρ du point m à l’axe de cylindr e et de l’angle unitair e de tor sion θ .
(2)
G étant le module d’élasticité tr ansversal.
La contr ainte t est maximale pour ρ = r .
Y
r
Z
t
t max = Gr q
M
(3)
Maxi
Diagr amme de r épar tition des contr aintes
G
t
dans une section dr oite.
Maxi
Répartition des contraintes
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II.5­ Relation contr ainte – moment de tor sion :
τmax = v
Mt
I
=
0
Mt
I
(I 0 / v ) est le module de tor sion de la section considér ée en (mm 3 )
0
v
Dans l’hypothèse d’une défor mation élastique, le moment du couple de tor sion est donné par la r elation :
Avec : M t : le moment du couple de tor sion en (N.mm).
G : le module d’élasticité tr ansversale en (N/mm²).
Mt = GθI o
(4)
4
I 0 : le moment quadr atique polair e d’une section dr oite en (mm ).
En utilisant les r elations (2) et (4) l’expr ession de la contr ainte de
t =r
glissement en un point d’une section dr oite située à une distance r de la
fibr e neutr e a pour expr ession :
Mt
I
(5)
0
Avec: Mt en (N.mm), I 0 en (mm 4 ) et r en (mm)
Cette contr ainte est maximale pour un point de la fibr e la plus éloignée de la fibr e neutr e ; soit en désignant r Mai par
v
sa distance à cet axe :
II.6­ La condition de r ésistance à la tor sion :
Pour qu’un cylindr e r ésiste en toute sécur ité à un couple de torsion donné, il faut que la r elation suivante soit vér ifiée :
tmax £ R pg
avec R pg : la résistance pr atique au glissement en (N/mm²)
Re g
s
Rpg : r ésistance pr atique au glissement. . . . . . . .en [MPa]
Avec
Rpg =
Reg : limite appar ente d’élasticité au glissement en [MPa]
s : coefficient de sécur ité . . . . . . . . . . . . . . . . [sans unité]
II.7­ Moment quadr atique polair e :
Ä VALEUR DU M OMENT Q UADRATIQUE P OLAIRE DE SURFACES É LEMENTAIRES
Io
SURFACES
IO
V
v
p .d 4
d
p .d 3
32
2
16
p .(D 4 - d 4 )
D
32
2
p .(D 4 - d 4 )
16.D
A retenir:
a
q=
L
tMaxi = G.q . r
Mt = G.q .Io
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t Maxi = Mt avec v=r
Io
v
Condition de r ésistance
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t Maxi £ Rpg
Condition de r igidité
q £ q lim avec q =
Mt
G.Io
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III­ APPLICATION :
III.1­ Agitateur pour peintur e
700
Une tige d’agitateur pour peinture est montée en bout de mandrin sur une perceuse de bricolage. La longueur de la tige est de
700mm . La puissance transmise est de 500watts à 1500tr /mn . La résistance pratique au glissement du matériau de la tige est de
R pg = 5daN/mm².
1­ Déterminer le diamètre minimal de la tige. d min :
..........................................................................................................
..........................................................................................................
..........................................................................................................
..........................................................................................................
..........................................................................................................
2­ Calculer l’angle de torsion entre les deux extrémités de la tige (G = 8000daN/mm²) : a
..........................................................................................................
..........................................................................................................
..........................................................................................................
..........................................................................................................
3­ Calculer le diamètr e de la tige dans le cas ou l’angle unitaire de torsion ne doit pas dépasser la valeur de 0,1 degr é par mètr e .
..........................................................................................................
..........................................................................................................
..........................................................................................................
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III.2­ Ar br e Inter médiair e :
Recepteur
d
Moteur
A
B
L = 2000
Un ar bre plein de diamètr e d et de longueur L égale à 2m transmet une puissance de 20kw à la vitesse de 1500tr /mn entre un
récepteur et un moteur. L’arbre repose sur deux paliers A et B.
La résistance pratique au glissement du matériau de l’arbre est de R pg = 8daN/mm².
1­ Calculer le couple de torsion agissant sur l’arbre (Mt )
..........................................................................................................
..........................................................................................................
..........................................................................................................
..........................................................................................................
2­ Déterminer le diamètr e mini de l’arbre et calculer l’angle de torsion entre A et B sachant que G = 8000 daN/mm².
..........................................................................................................
..........................................................................................................
..........................................................................................................
..........................................................................................................
..........................................................................................................
3­ Si l’on impose à l’angle de tor sion la valeur maximale de 0,1 degr é par mètr e, déterminer le diamètre d dans ce cas.
..........................................................................................................
..........................................................................................................
..........................................................................................................
..........................................................................................................
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AUTRES APPLICATIONS
E XERCICE .1
Un arbre moteur tête est assimilé à une poutre cylindrique pleine de diamètre ( d ) , est sollicité à la torsion simple sous l’action
des couples
C et C appliqués aux extrémités d’intensité C = C = 10 m.N.
A
B
A
Données
— La résistance élastique au glissement : Reg = 180 N/mm 2.
Diamètre d
B
C
C
A
A
— Le coefficient de sécurité s = 3.
B
B
68
a­ Déterminer le diamètr e minimal de l’arbre pour qu’il résiste en toute sécurité.
b­ Calculer l’angle de torsion unitair e q , sachant que d = 12 mm et G = 80000 N/mm 2 .
c­ Déduire l’angle de tor sion a en degr é entre les sections extrêmes A et B.
E XERCICE .2
Un arbre AB de longueur L , de diamètr e constant d , doit
A
B
transmettre une puissance P d’un moteur électrique à un manchon
L
d’accouplement à la vitesse N tr /mn .
On donne : Reg = Re et un coefficient de sécurité s = 5 (par rapport à Reg)
2
a­ Calculer son diamètr e minimal.
b­ Calculer sa déformation angulaire de A à B (G = 8 10 4 N/mm 2 ).
c­ Calculer d pour que la défor mation angulair e unitair e q ne dépasse pas 0,25 °/m .
Application numérique : L = 1 m ; P = 22 KW ; N = 1500 tr /mn ; Re = 400 N/mm 2
E XERCICE .3
Un arbre de sortie d’un réducteur est supposé sollicité à la torsion simple. Il est considéré cylindrique plein de diamètr e 28 mm
et supporte un couple de tor sion de 160 m.N.
a­ Calculer la valeur de la contrainte tangentielle maximale de torsion t en N/mm 2 .
b­ Indiquer pour chaque nuance de matériau du tableau ci­dessous la valeur de la résistance pr atique au glissement Rpg
correspondante sachant que Reg = 0,5.Re et s = 3.
On donne : Reg : limite apparente d’élasticité au glissement.— Re : limite apparente d’élasticité à l’extension.— s: coefficient de sécurité.
S185
NUANCE DE M ATERIAU
S235
C25
C55
Re N/mm2
185
235
285
420
650
Rpg N/mm2
.........
.........
.........
.........
.........
16 Cr Ni 6
c­ En déduire toutes les nuances de matériau du tableau précédent qui garantissent la résistance de l’arbre de sortie du
réducteur.
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E XERCICE .4
Une poutr e cylindr ique creuse de diamètre extérieur D= 30 mm et de diamètre intérieur d=20 mm , est sollicitée à la torsion
simple par un couple de moment Mt .
Ê Déterminer la contrainte de torsion maximale.
Application numérique : Mt = 25 Nm
E XERCICE .5
Un arbre est assimilé à une poutre à section cir culair e pleine de longueur L = 0,160 m et de diamètr e d . Il est sollicité à la
torsion simple de moment de torsion Mt = 12,8 Nm . Cet arbre est en acier de r ésistance pr atique au glissement Rpg = 20 N/mm 2
et de module d’élasticité tr ansversale G = 80000 N/mm 2 .
a­ Calculer le diamètr e minimum (d ) pour qu’il résiste en toute sécurité.
b­ Calculer l’angle r elatif de tor sion a des sections extrêmes de l’arbre.
E XERCICE .6
Le schéma ci­dessous représente un réducteur d’une chaîne d’entraînement d’un tapis roulant.
Arbre du cylindre
2
d3
3
T3/4
Arbre moteur
d4
1
4
1­ On donne :
Z 1 = 20 dents ; Z 2 = 50 dents ; Z 3 = 30 dents ; Z 4 = 40 dents (avec m = 2mm) et Nmoteur = 730 tr /mn
1.a­ Calculer le rappor t de r éduction r entre l’arbre moteur et l’arbre du cylindre.
1.b­ Calculer la vitesse de r otation N4 de l’arbre du cylindre.
2­ L’effort tangentiel T3 / 4 est de 1000 N. Calculer le moment de tor sion Mt appliqué à l’arbre du cylindre.
3­ Cet arbre de diamètre d =18 mm , est en acier C 45 . Sa résistance à la limite élastique par extension est Re = 350 N/mm2.
3.a­ Calculer la contrainte maximale de torsion tMa x sur cet arbre.
3.b­ Vérifier si l’arbre résiste en toute sécurité sachant que : Reg = Re/2 et le coefficient de sécurité adopté est s = 4 .
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E XERCICE .7
Une poutr e cylindr ique pleine de diamètr e d est sollicitée à la torsion simple par un couple de moment Mt .
Déterminer la contr ainte de tor sion maximale.
Application numérique: d = 20 mm ; Mt = 20 Nm
E XERCICE .8
Un ar bre creux de diamètr e D = 50 mm et de diamètr e d = 40 mm a une longueur L = 1,5 m .
a­ Calculer le module de tor sion de la section dr oite .
b­ Sachant que la contr ainte tangentielle est de 30 N/mm 2 , calculer le couple moteur tr ansmis par cet arbre.
c­ Déduire du résultat précédent la puissance tr ansmise sachant que la vitesse de r otation est de 1200 tr /mn .
d­ De quel angle tournent les sections extr êmes, l’un par rapport à l’autre ?
(On prendra G = 80000 N/mm 2 )
E XERCICE .9
Un ar bre de tr ansmission cylindr ique en acier est sollicité à la torsion simple par un couple de moment Mt . L’angle
unitair e de tor sion q de cet arbre ne doit pas dépasser q Maxi.
Ä Calculer le diamètre de cet arbre.
Application numériqu : G = 80000 N/mm 2 , Mt = 20Nm , q Maxi = 1,6 10­5 r d/mm
E XERCICE .9
L’ar br e de tr ansmission d’un camion est principalement constitué d’un arbre télescopique et de deux joints de cardan (Fig.1)
L’ensemble est assimilé à un ar br e cr eux supportant deux couples de torsion à ses deux extrémités.
Ä On donne :
ü Diamètre intérieur de l’arbre
d = 24 mm
ü Diamètre extérieur de l’arbre
D = 28 mm
ü Couple transmissible
Ct = 230 m.N
ü Module d’élasticité transversale
G = 80000 N/mm2
Fig.1
a­ Modéliser l’arbre.
b­ Calculer la valeur de la contrainte de torsion maximale.
c­ Calculer la valeur de l’angle unitaire de torsion.
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