ANJOUMI Nourddin-DAOUZI Hamza École Normale Supérieure 2016/2017 ANJOUMI Nourddin-DAOUZI Hamza École Normale Supérieure 2016/2017 Licence d’Enseignement en Sciences Physiques Projet de fin d’étude Électrocinétique et électronique Réalisé par : + ANJOUMI Nourddin Encadré par le professeur : + MY DRISS MOUNJID + DAOUZI Hamza Soutenu le 16 juin 2017, devant la commission d’examen : MY Driss MOUNJID, Professeur à l’ENS, Marrakech, Directeur du mémoire. MY Abdelaziz KOUMINA, Professeur à l’ENS, Marrakech, Examinateur. Mohamed LOTFI, Professeur à l’ENS, Marrakech, Examinateur. ANJOUMI Nourddin-DAOUZI Hamza École Normale Supérieure 2016/2017 ANJOUMI Nourddin-DAOUZI Hamza École Normale Supérieure 2016/2017 ANJOUMI Nourddin-DAOUZI Hamza École Normale Supérieure 2016/2017 ANJOUMI Nourddin-DAOUZI Hamza École Normale Supérieure Dédicace Nous avons le grand plaisir de dédier notre travail : À nos très chers parents, pour leur soutien, leur amour, et pour tout le bonheur qu’ils nous procurent À nos adorables frères et sœurs. À tous nos chers amis et ceux qui nous aiment, pour leurs encouragement et leurs soutiens moraux. À tous nos professeurs de l’ENS. Enfin veuillez accepter nos meilleurs vœux de réussite et de prospérité 2016/2017 ANJOUMI Nourddin-DAOUZI Hamza École Normale Supérieure 2016/2017 REMERCIEMENT Nous remercions en premier lieu ALLAH qui nous a donné ce bien pour qu’on vive ce jour et la force, la patience, le courage et la volonté pour terminer ce travail. Nous tenons également à remercier tout particulièrement M.MOUNJID My Driss, professeur de l’Université Cadi Ayyad, École Normale Supérieure, Marrakech, qui nous a encadré le long de ce travail, et aussi pour sa disponibilité, sa confiance qu’il nous a accordé, les conseils qu’il nous a prodigué et aussi pour les grandes aides qu’il nous a apportés pour finir ce travail. Nous exprimons nos sincères remerciements aux membres du jury, les professeurs M.KOUMINA My Abdelaziz et M.LOTFI Mohamed, d’avoir accepté de juger ce mémoire. Nous remercions également tous ceux qui ont contribué de près ou de loin à notre formation et à l’élaboration de ce modeste mémoire. ANJOUMI Nourddin-DAOUZI Hamza École Normale Supérieure 2016/2017 Avant propos Cet ouvrage s'adresse aux étudiants de licence professionnelle à l’École Normale Supérieure, aux étudiants de première année des Classes Préparatoires aux Grandes Écoles d’ingénieur, et de la faculté des sciences et principalement à tous les étudiants scientifiques entrant dans un établissement d'enseignement supérieur. Il pourra être aussi utile à tous les gens intéressés par la science. L’objectif recherché par ce glossaire est d’approfondir les connaissances acquises par les étudiants, pendant leurs études secondaires en électricité, et de les initier à l’enseignement de l’électrocinétique et de l’électronique en langue française, moyennant des définitions usant d’un vocabulaire simple et compréhensible par la majorité des étudiants. Espérant être à la hauteur des attentes de ces étudiants, nous leurs souhaitons le plein succès dans leurs études. ANJOUMI Nourddin-DAOUZI Hamza École Normale Supérieure 2016/2017 Sommaire Introduction générale……………………………………………...………………………………………………………....4 Première partie Historique……………………………………………...…………………………………………...……………………………........3 Chapitre I : COURANT ET TENSION ÉLECTRIQUE ................................................................. 7 1. Grandeur physique ...................................................................................................................................... 7 2. Courant électrique ....................................................................................................................................... 7 3. Intensité de courant .................................................................................................................................... 7 4. Densité volumique de courant électrique ................................................................................................... 8 5. Potentiel et Tension électrique ................................................................................................................... 8 6. Différente type de régimes.......................................................................................................................... 9 Chapitre II : DIPOLES ÉLECTROCINÉTIQUES ....................................................................... 10 1. Notions de dipôle et définitions ................................................................................................................ 10 1.1. Définition ................................................................................................................................. 10 1.2. Caractéristique d’un dipôle ...................................................................................................... 10 1.3. Droite de charge et point de fonctionnement ........................................................................... 10 1.4. Linéarité d’un dipôle ................................................................................................................ 10 1.5. Classification des dipôles électriques ....................................................................................... 10 1.6. Conventions.............................................................................................................................. 11 1.7. Énergie et Puissance Électrique ............................................................................................... 11 2. Dipôles passifs usuels ................................................................................................................................ 12 2.1. Conducteurs ohmiques ou résistors (résistance R) ................................................................... 12 2.2. Condensateurs .......................................................................................................................... 18 2.3. Bobine ...................................................................................................................................... 22 3. Dipôles actifs usuels .................................................................................................................................. 23 3.1. Générateurs de tension ............................................................................................................. 23 3.2. Générateurs de courant ............................................................................................................. 26 3.3. Récepteur actif.......................................................................................................................... 26 Chapitre III : CIRCUITS LINÉAIREs (LOIS ET THÉORÉMES FONDAMENTEAUX) ................. 27 1. Définitions.................................................................................................................................................. 27 1.1. Réseau linéaire ......................................................................................................................... 27 1.2. Fil de connexion ....................................................................................................................... 27 1.3. Nœud ........................................................................................................................................ 27 1.4. Branche..................................................................................................................................... 28 1 ANJOUMI Nourddin-DAOUZI Hamza École Normale Supérieure 2016/2017 1.5. Maille ....................................................................................................................................... 28 2. Lois de l’électrocinétique........................................................................................................................... 28 2.1. Montages diviseurs ................................................................................................................... 28 2.2. Lois de Kirchhoff ..................................................................................................................... 30 2.3. Théorème de superposition ...................................................................................................... 30 2.4. Théorème de Thévenin ............................................................................................................. 31 2.5. Théorème de Norton................................................................................................................. 33 2.6. Équivalence Thévenin-Norton ................................................................................................. 33 2.7. Théorème de Millmann ............................................................................................................ 34 2.8. Théorème de Kennelly ............................................................................................................. 36 Deuxième partie Chapitre I : Quadriôles Linéaires .......................................................................................... 38 1. Définition ................................................................................................................................................... 38 2. Matrices représentatives des quadripôles ................................................................................................ 38 2.1. Matrice impédance Z ................................................................................................................ 38 2.2. Matrice admittance Y ............................................................................................................... 40 2.3. Matrice hybrides H ................................................................................................................... 41 2.4. Matrice de transfert T ............................................................................................................... 42 3. Association des quadripôles ...................................................................................................................... 42 3.1. Quadripôles en série ................................................................................................................. 42 3.2. Quadripôles en parallèle ........................................................................................................... 43 3.3. Quadripôles en cascade ............................................................................................................ 44 4. Caractéristiques d’un quadripôle .............................................................................................................. 44 4.1. Impédance d’entrée .................................................................................................................. 44 4.2. Impédance de sortie .................................................................................................................. 45 5. Fonctions de transferts ou transmittances ............................................................................................... 45 Chapitre II : RÉGIMES DE FONCTIONNEMENT DES CIRCUITS LINÉAIRES ....................... 46 1. Circuits linéaires......................................................................................................................................... 46 1.1. Équation différentielle vérifiée par un circuit linéaire ............................................................. 46 1.2. Résolution de l’équation différentielle ..................................................................................... 46 2. Étude du régime libre ................................................................................................................................ 47 2.1. Régime libre ............................................................................................................................. 47 2.2. Régime libre de quelques circuits linéaire ............................................................................... 47 3. Étude du régime Sinusoïdal forcé .............................................................................................................. 51 3.1. Régime forcé ............................................................................................................................ 51 2 ANJOUMI Nourddin-DAOUZI Hamza École Normale Supérieure 2016/2017 3.2. Régime sinusoïdal .................................................................................................................... 51 3.3. Impédance complexe ................................................................................................................ 55 3.4. Exemple : Circuit RLC série en régime sinusoïdal forcé ................ Erreur ! Signet non défini. Chapitre III : CIRCUIT RLC SÉRIE EN RÉGIME SINUSOÏDAL FORCÉ ................................... 58 1. Équation différentielle ............................................................................................................................... 58 1.1. Régime libre ............................................................................................................................. 59 1.2. Régime forcé (phénomène de résonance) ................................................................................ 65 Chapitre IV : SEMI-CONDUCTEURS ...................................................................................... 72 1. Notions sur les semi-conducteurs ............................................................................................................. 72 1.1. Introduction .............................................................................................................................. 72 1.2. Semi-conducteurs ..................................................................................................................... 72 1.3. Semi-conducteurs purs ou intrinsèques .................................................................................... 72 1.4. Semi-conducteurs dopés ou extrinsèques ................................................................................. 73 1.5. Jonction P-N ............................................................................................................................. 74 2. Diode à jonction......................................................................................................................................... 76 2.1. Polarisation de la diode ............................................................................................................ 77 2.2. Caractéristique statique courant-tension d’une diode à jonction ............................................. 77 2.3. Schémas équivalents d’une diode à jonction............................................................................ 78 3. Exemples d’utilisation des diodes à jonction ............................................................................................ 80 3.1. Redresseur simple alternance ................................................................................................... 80 3.2. Redressement double alternance à pont de Graetz ................................................................... 80 4. Diode Zener ............................................................................................................................................... 81 4.1. Caractéristique statique courant-tension d’une diode Zener .................................................... 82 Conclusion générale………………………………………………..……………………………..84 Bibliographique webographique………………………………..….……………………….…..85 3 ANJOUMI Nourddin-DAOUZI Hamza École Normale Supérieure 2016/2017 Introduction générale Dans ce mémoire, on donnera des aperçus très fins sur le contenu de ses chapitres : Après avoir défini les bases de l'électrocinétique (tension, intensité), et abordé les trois régimes : permanent, quasi-stationnaire et variable, on a traité les différentes lois et notions permettant d'étudier les circuits électriques : loi des nœuds, des mailles, notion de puissances, caractéristique d'un dipôle, théorème de Thévenin et de Norton, ...etc. On a étudié aussi les conducteurs ohmiques, les condensateurs et les bobines. L'étude de ces composants passifs s'effectue de la même manière : après une description de leur constitution, on a étudié la relation tension-intensité puis le comportement de ces composants sous différents régimes. Enfin on s’est intéressé à leurs énergies caractéristiques. Dans un deuxième temps, on s’est intéressé, d’une manière générale, aux quadripôles linéaires et, en particulier, aux circuits RC et RL qui sont des circuits linéaires du premier ordre que l'on soumet à un échelon de tension. On a étudié également la réponse du circuit en tension aux bornes d’un condensateur pour le circuit RC et en intensité électrique pour le circuit RL. Ensuite, on a abordé l’étude d’un circuit RLC série qui donne naissance à des oscillations électriques dans des conditions particulières. Ce circuit conduit à une équation différentielle du deuxième ordre, dont la solution dépend du polynôme caractéristique. On a accès à trois régimes qui dépendent des valeurs des dipôles R, L et C : régime apériodique, critique et pseudopériodique. Le régime sinusoïdal est particulièrement important dans le sens où, d'après la transformée de Fourier, tout signal périodique peut se décomposer en somme de signaux sinusoïdaux. Après avoir présenté ce type de signal et ses caractéristiques, on a introduit la notation complexe qui facilite l’étude des circuits et des équations linéaires dans ce régime établi. On a ainsi, étudié deux types de résonance du circuit RLC, une résonance en tension, aux bornes du condensateur, et une résonance en intensité. Enfin, on a dégagé l’essentiel des semi-conducteurs et leurs applications aux diodes normales et aux diodes Zener. 4 ANJOUMI Nourddin-DAOUZI Hamza École Normale Supérieure 2016/2017 Partie 1 ÉLECTROCINÉTIQUE 5 ANJOUMI Nourddin-DAOUZI Hamza École Normale Supérieure 2016/2017 Les phénomènes d’origine électrique et magnétique sont connus depuis l’Antiquité. THALES DE MILET avait, dès le VIe siècle avant J.-C., observé et décrit quelques phénomènes d’électrisation et quelques phénomènes magnétiques : des morceaux d’ambre jaune frottés attirent de petits objets légers et la pierre de magnésie (oxyde de fer Fe3O4) attire des anneaux de fer. Le mot électricité vient du mot grec ambre. Pendant vingt et un siècles, ces expériences n’ont eu qu’un caractère anecdotique. Ce n’est qu’au XVII e siècle que les phénomènes électriques ont été scientifiquement étudiés. Stephen Gray (1666-1736) découvre la conduction de l’électricité. Charles-François De Cisternay Du Fay (1698-1739) distingue électricité positive et négative. Benjamin Franklin (1706-1790) donne une théorie des condensateurs et réalise des paratonnerres. En 1800, Alexandre Volta (1745-1827) réalise la première pile. Cette découverte révolutionne la physique : l’électricité jusque-là statique devient dynamique. L’étude des courants électriques permet d’établir le lien entre l’électricité et le magnétisme. S’illustrent dans ces travaux André-Marie Ampère (1775-1836), François Arago (1786-1853), Michael Faraday (1791-1862), Georg Simon Ohm (1787-1854) et Gustav Robert Kirchhoff (1824-1887). En 1864, James Clarke Maxwell (1831-1879) propose une théorie reliant les champs magnétique et électrique, et prédit la propagation des ondes électromagnétiques. Aujourd’hui, L’électricité se divise en plusieurs branches : l’électrostatique, qui s’intéresse aux corps électrisés immobiles; l’électrocinétique , l’électrodynamique, qui traite plus particulièrement des actions dynamiques entre courants électriques ; l’électromagnétisme, qui analyse les actions réciproques des aimants et des courants ; l’électronique, qui utilise la structure granulaire de l’électricité pour échanger de l’information, ou encore l’électrochimie, qui s’intéresse aux transformations d’énergie électrique en énergie chimique et réciproquement. L’électrocinétique est le domaine de la physique qui étudie le mouvement d’ensemble des porteurs de charges mobiles (p.c.m) dans un conducteur que l’on appelle courant. Il s’agit ainsi d’étudier la circulation des courants électriques dans des circuits électriques assez simples, composés de sources, résistance, bobine, condensateur, etc. À ne pas confondre avec l’Électrostatique qu’est l’étude des phénomènes liés aux charges électriques immobiles (dans le référentiel d’étude). L’électrocinétique est partout présente dans la vie courante : maisons individuelles, installation industrielles, appareils vidéo, ordinateurs, téléphones … 6 ANJOUMI Nourddin-DAOUZI Hamza École Normale Supérieure 2016/2017 Chapitre I COURANT ET TENSION ÉLECTRIQUE 1. Grandeur physique Une grandeur physique est une quantité qui peut se calculer ou se mesurer. Elle peut être décrite par un nombre réel, un nombre complexe, un vecteur, etc., parfois accompagne d’une unité de mesure (mais pas toujours). Certaines grandeurs physiques sont liées par une relation mathématique, dite loi physique. Une grandeur algébrique est une grandeur physique affectée d’un signe plus ou moins. 2. Courant électrique Un courant électrique est la grandeur algébrique correspondant au déplacement macroscopique des porteurs de charges mobiles dans un conducteur*. * Un conducteur est un milieu où il existe un grand nombre des porteurs de charge libres (électrons, ions, etc.) susceptibles de se déplacer dans tout le milieu sous l’action d’une force aussi petite qu’elle soit. Dans le cas contraire, le milieu est dit isolant ou diélectrique. Différents types de porteurs de charges : -19 • Dans les métaux : électrons libres q = -e (charge élémentaire e 1,6021710 C ). Chaque atome du métal libère un ou plusieurs électrons qui se déplacent librement dans le métal. • Dans les semi-conducteurs : électrons libres (charge q = -e) et trous (charge q = +e). • Dans les liquides : cations (ions +), anions (ions -). • Dans les gaz : porté à très haute température, il peut y avoir ionisation d’une partie d’un gaz dans certaines conditions comme une décharge électrique, on parle de plasma. 3. Intensité de courant On définit l’intensité du courant électrique i comme étant les charges qui traverse la section (S) d’un conducteur par unité de temps. Soit i(t) dq dt L’intensité i(t) est une grandeur algébrique, elle s’exprime dans le S.I en Ampère (A=C/s). 7 ANJOUMI Nourddin-DAOUZI Hamza École Normale Supérieure 2016/2017 Elle se mesure au moyen d’un ampèremètre. Par convention, le sens positif du courant est celui des charges positives et opposé à celui des charges négatives. 4. Densité volumique de courant électrique Soit un matériau conducteur dans lequel tous les porteurs de charge sont de même type : c.-à-d. ils portent la même charge q et animés de la même vitesse v . On cherche à déterminer le courant élémentaire dI qui circule dans un élément de surface dS de conducteur. On note n le nombre de porteurs de charges mobiles par unité de volume. Les porteurs de charges mobiles parcourent pendant le temps dt une distance égale v.dt, donc les charges qui traversent la surface dS pendant dt sont ceux qui se trouvent dans le cylindre de section dS et de longueur v.dt et alors de volume v.dt.ds. La charge totale traversant dS pendant dt est donc : dQ = nqvdtdS dQ Par définition dI nqvdS dt On pose J nqv qu’on appelle vecteur densité de courant. Fig.1 : Portion d’un conducteur de section S L’intensité qui traverse la surface dS est égale au flux du vecteur densité de courant à travers S : dI = JdS Le vecteur densité de courant J défini alors comme la quantité de charge traversant l’unité de surface du conducteur par unité de temps. S’exprime alors en A.m2 . 5. Potentiel et Tension électrique Dans un conducteur, le mouvement des porteurs de charges mobiles est dû à la force électrique : F qE P E P le champ électrique au point P du conducteur. Généralement, le champ électrique est imposé par un générateur. La connaissance de E P permet de déterminer, à une constante Avec près, le potentiel électrique V : V(P) = - E P .dl Le potentiel électrique n’a pas de sens physique. C’est la différence de potentiel (tension électrique) entre deux points A et B qui a un sens physique. Pour cela, on calcule le potentiel électrique en un point du circuit par rapport à un autre point de celui-ci appelé masse dont le potentiel électrique est considéré nul. On peut schématiser la masse par : 8 ANJOUMI Nourddin-DAOUZI Hamza École Normale Supérieure 2016/2017 L’unité internationale de la tension électrique U AB V A V B est le volt (V). On la mesure à l’aide d’un voltmètre. 6. Différente type de régimes On distingue trois régimes : - Régime stationnaire (ou régime permanent) Dans ce régime les grandeurs électriques i(t), u(t) . . . sont indépendantes du temps : G 0 , On note i(t) = I et u(t) = U. t Mfixé - Régime quasi-variable (ou quasi-stationnaire) Dans ce régime les grandeurs électriques sont lentement variables dans le temps. On parle alors de l’approximation des régimes quasi-stationnaires (ARQS) ou approximation du régime quasi-permanent (ARQP) : G 0 t Mfixé L’ARQS est valable en électrocinétique lorsque les dimensions des circuits sont très inférieures à la longueur d’onde cT avec c : célérité de la lumière dans le vide par rapport à tout référentiel galiléen, et T : période de la tension ou courant électrique considéré. Au laboratoire, les générateurs basses fréquences (GBF) donnent des signaux de fréquence f variant de 0 à 1 MHz donc λ min c f max . 300m aux dimensions des circuits 1m Par conséquent, on peut utiliser l’ARQS au laboratoire. Dans ce cas : L‘intensité du courant est la même en tout point d’une branche d’un circuit. - Régime variable Les grandeurs électriques dépendent du temps i(t), u(t). . . Elles sont en général notées par des lettres minuscules : i, u, v, etc. Dans tous les chapitres qui suivent, on se placera dans l’ARQS. 9 ANJOUMI Nourddin-DAOUZI Hamza École Normale Supérieure 2016/2017 Chapitre II DIPÔLES ÉLECTROCINÉTIQUES 1. Notions de dipôle et définitions 1.1. Définition Un dipôle est un composant électrique accessible par 2 bornes ou 2 pôles. UAB 1.2. Caractéristique d’un dipôle La fonction liant UAB à I (et réciproquement) imposée par le dipôle est appelée caractéristique du dipôle. Par extension ce terme désigne aussi la représentation graphique de cette fonction. On a ainsi la caractéristique tension-courant : U AB f (I), et la caractéristique courant-tension I g U AB . On distingue : • la caractéristique statique en régime stationnaire • la caractéristique dynamique en régime variable 1.3. Droite de charge et point de fonctionnement La droite de charge est une deuxième relation entre la tension et le courant, cette droite est fixée par l’utilisateur en fonction des composantes du circuit. Le point de fonctionnement est le point M de coordonnées (UAB, I) qu’est l’intersection de la caractéristique et la droite de charge. 1.4. Linéarité d’un dipôle Un dipôle est dit linéaire si sa caractéristique tension-courant ou courant-tension est assimilé à une droite ou si ses grandeurs électriques vérifient une équation différentielle linéaire à coefficients constantes. Pour vérifier expérimentalement la linéarité d’un dipôle on excite un signal sinusoïdal de fréquence f et on trouve à la sortie -si le dipôle et linéaire-le même signal sinusoïdal de même fréquence f. 1.5. Classification des dipôles électriques Il y a 2 classes de dipôles : • dipôle passif : s’il ne peut fournir de l’énergie électrique de façon permanente. Sa caractéristique passe par l’origine (i.e. à I = 0, UAB = 0) 10 ANJOUMI Nourddin-DAOUZI Hamza École Normale Supérieure 2016/2017 • dipôle actif : s’il est capable de fournir de l’énergie électrique de façon permanente (i.eà I 0 UAB 0) . Remarque : Tout composant électrique nécessite une alimentation est un dipôle actif 1.6. Conventions Il existe deux possibilités pour le choix des sens conventionnels de la tension et du courant. Selon que U et I sont de même sens ou non, nous avons : Convention générateur Le courant et la tension sont orientés dans le même sens Convention récepteur Fig.2 Le courant et la tension sont orientés en sens inverse. Les grandeurs électriques courant et tension sont des grandeurs algébriques : leurs signes dépendent de la convention utilisée. 1.7. Énergie et Puissance Électrique En physique, la puissance est la quantité d’énergie par unité de temps fournie par un système à un autre. Elle s’exprime en watt (W) dans le SI. p = dE(t) dt Considérons un dipôle AB parcouru par un courant I circulant de A vers B. Pendant un intervalle de temps t une charge q I t "entre" en A avec une énergie potentielle E A et "sort" en B avec une énergie EB : e L'énergie électrique reçue par le dipôle correspond à la différence entre l'énergie potentielle apportée en A et emportée en B : dE EA EB EA qVA et EB qVB Alors E q(VA - VB ) = I t(VA - VB ) = I t.U AB Avec La puissance électrocinétique instantanée reçue par le dipôle a donc pour expression : 11 ANJOUMI Nourddin-DAOUZI Hamza École Normale Supérieure 2016/2017 p = dE(t) E(t) I.UAB dt t Remarque : En convention Récepteur : Un dipôle a un comportement récepteur, à l’instant t, si la puissance reçue à cet instant est positive, P(t) = u AB (t)i(t) > 0 Un dipôle a un comportement générateur, à l’instant t, si la puissance reçue à cet instant est négative, P(t) = u AB (t)i(t) < 0 Un dipôle peut avoir un comportement récepteur à certains moments et un comportement générateur à d’autres moments. 2. Dipôles passifs usuels 2.1. Conducteurs ohmiques ou résistors (résistance R) Le terme résistance d’un matériau, désigne 2 notions : l'aptitude du matériau à s'opposer au passage d'un courant électrique sous une tension donnée. Transformation de l’énergie électrique en chaleur par ce matériau. Les résistances sont bidirectionnelles, c.-à-d. il n’y a pas de sens obligatoire de passage du courant. Fig.3 : Résistances 2.1.1. Origine du phénomène Le courant électrique est un déplacement macroscopique de charges. Ces charges peuvent être des ions, trous ou bien des électrons. Les porteurs de charge sont donc des particules matérielles. Leur mouvement peut être gêné par d'autres particules matérielles ; c'est en particulier le cas des ions dans une solution saline, donc les ralentir. Les charges peuvent être également ralenties par les variations locales du champ électrostatique, c'est notamment le cas de la conduction électrique dans les solides : si la différence de potentiel impose un champ électrique global, l'hétérogénéité du milieu crée des variations locales. 2.1.2. Différents types de résistances La résistance est le composant le plus utilisé en électronique.On en fabrique plusieurs dizaines de milliards par an. Nous classerons les résistances en fonction de la technologie utilisée pour leur fabrication. Élément résistant (Mélange de carbone moulé et de résine Les résistances agglomérées : sont formées d’un thermoplastique isolante) mélange de carbone conducteur, de matière Fil de isolante et de liant (par exemple de la bakélite). Connexion Le pourcentage de carbone détermine la valeur Revêtement isolant de la résistance (Fig.4). (Bakélite) Fig.4 : Structure d’une Résistance 12 agglomérée ANJOUMI Nourddin-DAOUZI Hamza École Normale Supérieure 2016/2017 Les résistances à couche : formées par un dépôt de carbone ou de métal ou encore d’oxyde métallique autour d’un bâtonnet isolant de céramique (Doc.5). Les résistances Bobinées : Ce sont deux types de puissance ou de précision. Elles sont constituées par un bobinage de fil résistif en alliage à base de nickel (nickel-chrome ,nickel-Cuivre ou nickelAl) sur un support cylindrique isolant ayant une bonne tenue en température(Doc.6). Fig.5 : Structure d’une résistance à couche Fig.6 2.1.3 Aspect physique La résistance d’un conducteur dépend de la nature de ce conducteur et de sa géométrie. Dans le cas d’un conducteur cylindrique homogène, de section S et de longueur L, on montre que R L : S Avec R est la résistance du résistor s’exprimé en ohm (dans le S.I est la résistivité électrique du matériau et Ces grandeurs dépendent de la température. 2.1.4 Symboles d'une résistance Symbole européen : Symbole américain : 13 1 est sa conductivité. ANJOUMI Nourddin-DAOUZI Hamza École Normale Supérieure 2016/2017 2.1.5 Loi d’OHM Grâce à ses expériences, Georg Simon Ohm a établi une relation mathématique entre la résistance, l’intensité du courant électrique et la tension . En convention récepteur et à température constante, La loi d’Ohm est : UAB R.I Dans un circuit, une résistance électrique provoque une diminution de l’intensité du courant électrique. Fig.7 Représentation schématique d'une Résistance parcourue par un courant. 2.1.6 Effet Joule Le générateur fournit de l’énergie électrique à la résistance qui la transfère essentiellement à l’extérieur sous forme de chaleur (transfert thermique). C’est ce qu’on appelle l’effet Joule. Ce phénomène trouve de nombreuses applications dans notre vie quotidienne, qu’il s’agisse de nous chauffer, de nous éclairer, et même de nous protéger. C’est par exemple l’augmentation de température des fils de désembuage sur la vitre arrière des voitures qui provoque l’évaporation de la buée ou la fusion du givre. Cet effet Joule se manifeste aussi dans les lampes à incandescence : l’énergie électrique porte le filament à plus de 2200°C : on dit qu’il est chauffé à blanc. Il émet alors de la lumière et produit de la chaleur qui est inutile. Dans une installation électrique, pour protéger les appareils d’une trop forte intensité du courant et éviter les risques d’incendie en cas de court-circuit, on utilise des fusibles. Chaque fusible est calibré à partir d’une valeur d’intensité choisie par le fabricant. Il s’échauffe grâce à l’effet Joule puis fond. Le circuit est alors ouvert : le courant ne circule plus et tout danger est écarté. 2.1.7 Aspect énergétique L’énergie reçue par le résistor est dE = p.dt et la puissance consommée est p UAB I avec la loi d’Ohm U AB R.I il vient : p R.I2 0 Cette énergie est entièrement dissipée sous forme de chaleur, c’est l’effet Joule. 14 ANJOUMI Nourddin-DAOUZI Hamza École Normale Supérieure 2.1.8 Caractéristique statique d’une résistance D’après la loi d’ohm U R.I la caractéristique est la droite ci-contre : La caractéristique passe par l’origine donc le dipôle est passif. La caractéristique est symétrique donc le composant non polarisé. 2016/2017 U Pente R I Doc.8 Caractéristique statique d’une résistance 2.1.9 Code des couleurs Certaines caractéristiques des résistances telles que la valeur nominale, la tolérance et le coefficient de température. Peuvent être identifiées à partir d’un code des couleurs. La résistance est souvent composée de 4, 5 ou 6 anneaux ; Pour lire la valeur il suffit de positionner la résistance de façon à avoir l'anneau le plus à l'extérieur du corps de la résistance sur sa gauche (ou mettre la couleur dorée ou argentée sur sa gauche). Pour le code à 4 anneaux/couleurs, les deux premiers représentent les chiffres significatifs de la résistance, le troisième est un multiplicateur en puissance de 10 et le quatrième représente la tolérance. Pour le code à 5 anneaux/couleurs, les 3 premiers représentent les chiffres significatifs, le quatrième est me multiplicateur (en puissance de 10) et le cinquième représente la tolérance. Le code à 6 anneaux/couleurs est semblable à celui à 5 anneaux, à la différence que le sixième anneau représente le coefficient de température. Remarque : - La tolérance d’une résistance est l’incertitude sur la valeur réelle de la résistance donnée par le constructeur. Le coefficient de température est correspondant à la variation de la conductivité électrique avec la température. Astuce : Ne Manger Rien Ou Je Vous Brûle Votre Grande Barbe N : noir (0) M : marron (1) R : rouge (2) O : orange (3) J : jaune (4) V : vert (5) B : bleu (6) V : violet (7) G : gris (8) B : blanc (9) La place des mots dans la phrase indique le chiffre correspondant à la couleur de l'anneau. 15 ANJOUMI Nourddin-DAOUZI Hamza École Normale Supérieure 2016/2017 Voila le tableau des codes couleurs ppm : Partie par million Doc.9 Code de couleurs pour les résistances 2.1.10 Association des résistances Dans les circuits électriques ,nous rencontrons des conducteurs associés de différentes manières. Nous pouvons alors, au lieu d’étudier le comporetement individuel de chacun, les remplacer par un conducteur équivalent pour simplifier les calculs. Inversement, si on désire utiliser un conducteur de caractéristique bien donnée et on ne dispose pas de conducteurs unique pouvant réaliser cela,on peut alors le remplacer par une association équivalente dont nous disposons. On distingue deux associations : association en série et association en parallèle. 16 ANJOUMI Nourddin-DAOUZI Hamza École Normale Supérieure 2016/2017 a- Association en série C’est-à-dire les résistances traversées par la même intensité de courant. Nous avons v A v D v A v B v B vC vC v D R1I R 2I R 3I R éq I Soit donc R éq R1 R 2 R 3 Dans le cas général,pour des résistances R i en série la résistance équivalente est donnée par : R éq R i b- Association en Parallèle C’est-à-dire les résistances ayant la même tension à leurs bornes. O na vA vB R1I1 R 2I2 R 3I3 R éq I Donc d’ou et I I1 I2 I3 vA vB vA vB vA vB vA vB R éq R1 R2 R3 1 1 1 1 R éq R1 R 2 R 3 Dans le cas général,pour des résistances R i montées en paralléle la résistance équivalente est donnée par : 1 1 R éq Ri 17 ANJOUMI Nourddin-DAOUZI Hamza École Normale Supérieure 2016/2017 2.2. Condensateurs 2.2.1 Définition - Le condensateur est un composant électronique capable d’emmagasiner une charge électrique. - Il est constitué de deux conducteurs en influence totale séparées par un matériau isolant (diélectrique).Les deux conducteurs sont appelés armatures du condensateur. Ils peuvent être plans, cylindriques ou sphériques. - Lorsqu’on applique une différence de potentiel (d.d.p) u(t) sur les bornes du condensateur, des charges opposées q1 qetq 2 q s’accumulent sur les deux armatures. Le rapport C q est appelé capacité du condensateur. S’exprime dans le SI en Farad (F). u Remarque : La capacité électrique d’un condensateur se détermine essentiellement en fonction de la géométrie des armatures et de la nature du ou des isolants. Dans le cas où les armatures sont planes on a : C S e Fig.10 condensateur plan Avec est la permittivité du milieu ente les deux armatures. 2.2.2 Symboles d'un condensateur On symbolisera ainsi le condensateur de la manière suivante (Fig 11) : Fig.11 Symbole du condensateur 2.2.3 Équation caractéristique (Relation tension-intensité) La charge d’un condensateur est proportionnelle à la tension u à ses bornes : q = Cu Dans le cadre de l’ARQS (conservation de la charge), la relation courant-tension d’un condensateur s’écrit en convention récepteur : i= dq du C dt dt Si u t cste alors i(t) = 0, C le condensateur se comporte comme un circuit ouvert. 18 ANJOUMI Nourddin-DAOUZI Hamza École Normale Supérieure 2016/2017 2.2.4 Énergie emmagasinée par un condensateur La puissance reçue par un condensateur : p i.u = C du dE (t) .u = e dE e (t) C.u.du dt dt Alors l’énergie emmagasinée par le condensateur entre le temps t=0 où u=0 et le temps t où u(t)=u est donnée par : u 1 E e (t) C.u.du Cu 2 0 2 2.2.5 Différents types de condensateurs Après les résistances, les condensateurs sont les composants les plus répandus en électronique. Comme pour les résistances, nous les classerons en fonction de la technologie utilisée : Les condensateurs enroulés Les armatures de ces condensateurs sont isolées soit par un papier spécial, soit par un film plastique (Fig. 12). Les condensateurs au papier, qui datent du début de l’électricité, gardent encore aujourd’hui toute leur importance en électricité industrielle. Cependant, en électronique, ils ont été supplantés par les condensateurs à film plastique. Fig.12 Condensateur enroulé au papier Les condensateurs multicouches Ces condensateurs sont réalisés par empilement de couches (Fig.13) avec alternance de couches métalliques et de couches isolantes (diélectriques) en céramique, mica ou verre. Les valeurs courantes de leurs capacités varient de quelques picofarads (pF) quelques microfarads (μF). 19 ANJOUMI Nourddin-DAOUZI Hamza École Normale Supérieure 2016/2017 Fig.13 Condensateur multicouches Les condensateurs électrolytiques L’armature positive est réalisée avec une feuille d’aluminium recouverte, par oxydation anodique, d’une couche d’alumine constituant le diélectrique (doc. 14). L’électrolyte, retenu par un papier spécial, est conducteur et réalise, de ce fait, la seconde armature. Les condensateurs électrolytiques sont des condensateurs polarisés dont les capacités plus importantes ils sont essentiellement utilisés en tension continue (réservoir d’énergie, flashes photographiques, etc.) ou en basses fréquences (filtrage, liaison B.F., etc.). Il est possible de réaliser des condensateurs électrolytiques non polarisés avec une technique différente. Ces derniers peuvent alors être utilisés en alternatif et servent au démarrage des moteurs. Des condensateurs plus performants peuvent être réalisés en remplaçant l’aluminium par du tantale. Fig.14 Condensateur électrolytique 2.2.6 Association des condensateurs a- Association en série Dans ce groupement tous les condensateurs portent la même charge q. Le Condensateur équivalent aura la même charge q sous la d.d.p U de l'ensemble en série. 20 ANJOUMI Nourddin-DAOUZI Hamza On a VA - VC (VA - VB ) + (VB - VC ) École Normale Supérieure q Céq 2016/2017 q q q 1 1 1 + + Céq C1 C2 Céq C1 C2 donc Dans le cas général, pour des condensateurs de capacités Ci en série la capacité du condensateur équivalent est donné par : 1 1 Céq Ci On utilise le groupement en serie pour avoir un condensateur de capacité inférieur et capable de supporter les d.d.p élevées, b- Association en Parallèle Dans ce groupement tous les condensateurs ont la même d.d.p à leurs bornes. Le Condensateur équivalent aura la charge q q1 q 2 q q éq Céq (VA - VC ) On a q1 q 2 donc Céq C1 C2 C1 (VA - VC ) C2 (VA - VC ) Dans le cas général, pour des condensateurs de capacités Ci en paralléles la capacité du condensateur équivalent est donné par : Céq Ci On utilise le groupement en Parallèle pour avoir un condensateur de capacité plus grande. 2.2.7 Condensateur avec diélectrique En réalité entre les armatures d’un condensateur il y’a un isolant (solide, liquide ou l’air). L’expérience montre que l’utilisation de l’isolant permet d’augmenter la capacité du condensateur suivante la relation: C r C0 , Où C est la capacité du condensateur avec un isolant entre les armatures, et C0 sa capacité lorsqu’il n’y a rien entre les armatures « du vide », 21 r sans unité, est la permittivité relative de ANJOUMI Nourddin-DAOUZI Hamza École Normale Supérieure l’isolant ou constante diélectrique, elle ne dépend que de la nature de l’isolant permittivité absolue de l’isolant, 0 est la permittivité absolue du vide. 2016/2017 0 r est la r pour quelques isolants : Verres : r de 4 à 7, mica : r 8 , air : r 1,00058 Exemples : Valeurs de 2.3. Bobine 2.3.1 Définition Les bobines (selfs, solénoïdes) linéaires sont réalisées par enroulement d’un fil bon conducteur en cuivre sans support ou sur un support non magnétique (verre, bakélite, polystyrène,…). Les bobines non linéaires sont constituées d'un bobinage ou enroulement d'un fil conducteur éventuellement autour d'un noyau en matériau ferromagnétique. Ce noyau est également appelé dans la langue courante "noyau de ferrite (oxyde de fer)". 2.3.2 Symboles d'une Bobine Les bobines sont symbolisées en convention récepteur de la manière suivante : 2.3.3 Équation caractéristique (Relation tension-intensité) Modèle de la bobine réelle : La bobine idéale est modélisée par une auto-inductance notée généralement L. Mais la bobine réelle (particulièrement si elle est bobinée autour d'un matériau ferromagnétique) est un dipôle complexe possédant de nombreux paramètres et aussi le siège de phénomènes physiques dont certains sont la cause de non-linéarité. La tension 𝑢𝐵 aux bornes de la bobine et l'intensité 𝑖 du courant sont reliés par l'équation différentielle : uB L di ri dt Où 𝑳 est l'inductance de la bobine qui s’exprime en Henry (H). Et 𝒓 sa résistance propre (dans le cas d'une bobine parfaite, 𝑟 = 0 ). 2.3.4 Comportement d’une bobine sous différents régimes La bobine n’est "intéressante" qu’en régime variable, c’est à dire lorsque i varie. En effet, en régime permanent, l’intensité étant constante, on a : 22 ANJOUMI Nourddin-DAOUZI Hamza École Normale Supérieure uL 2016/2017 di ri ri dt La bobine se comporte donc en régime permanent comme un conducteur ohmique de faible résistance (10 r 12 ). 2.3.5 Énergie emmagasinée par une bobine En convention récepteur : Pour une bobine idéale, la puissance instantanée fournie à l'inductance est égale à : P u.i L di dE (t ) .i m dt dt 𝒅𝑬 𝒎 𝒕 = 𝑳. 𝒊. 𝒅𝒊 Alors l’énergie emmagasinée dans une bobine traversée par le courant 𝑖 entre le temps t=0 où 𝑖 =0 et le temps t où 𝑖 (t)=𝑖 est donnée par : i 1 E m t L.i.di Li 2 2 0 2.3.6 Association des bobines Les lois d’association en série et en parallèle des bobines sont les mêmes que celles pour les conducteurs ohmiques. 3. Dipôles actifs usuels On adopte dans cette partie la convention générateur. 3.1. Générateurs de tension 3.1.1 Définition Un générateur est un dipôle qui transforme une forme d’énergie (chimique, mécanique, lumineuse) en énergie électrique. On dit que le générateur est une source de tension s’il est capable de créer un courant dans un circuit, il doit alors être capable de maintenir une différence de potentielle entre ses bornes, les bornes du générateur sont appelé pôles : la borne positive souvent noté pôle + est celle ayant le potentiel le plus élevé et la borne négative noté pôle - est l’autre borne. 23 ANJOUMI Nourddin-DAOUZI Hamza École Normale Supérieure 2016/2017 3.1.2 Champ électromoteur Considérons une résistance R branchée aux bornes d’un générateur et présentant à ses bornes une d.d.p VA - VB 0 . Générateur Dans la résistance R les porteurs de charge mobile (q>0) se déplacent de A vers B. Dans le générateur ces porteurs se déplacent de B vers A donc le champ électrostatique ne peut être responsable de leur déplacement dans le générateur.il existe alors dans le générateur un champ de nature différente du champ électrostatique qui déplacent les porteurs de charges c’est ce qu’on appelle le champ électromoteur, le champ électromoteur peut être d’origine mécanique, magnétique ou chimique… . 3.1.3 Force électromotrice (f.é.m.) a- Générateur à vide Un Générateur est dit à vide si aucun circuit n’est branché entre ses bornes. Dans ce cas aucun courant ne circule. Les porteurs de charges sont immobiles en principe. Ces porteurs sont soumis à la force du champ électrostatique et à la force du champ électromoteur qui se neutralise, nous pouvons donc écrire : Fes + Fem ouqEes + qEem Or le champ électrostatique dérive du potentiel et nous avons : A A A dV E es dl E em dlet dV E em dlVA V E em dl B B B Cette quantité est appelée force électromotrice du générateur notée e. C’est aussi la d.d.p aux bornes du générateur à vide, son unité est le Volt. b- Générateur en charge Un Générateur est dit en charge si un circuit conducteur est branché entre ses bornes. Un courant permanent apparaît donc dans le circuit ainsi fermé. Dans ce cas et à l’intérieur du générateur les charges auront eu une vitesse V = cte alors il y a apparition de forces de frottement donc l’apparition d’une résistance qui caractérise ce frottement, c’est la résistance interne du générateur notée r. Cette résistance provoque une chute de tension aux bornes du générateur par rapport à sa valeur à vide. Ainsi la différance de potentiel aux bornes du générateur est : Avec rI VA - VB e rI la chute ohmique de tension à l’intérieur du générateur. 3.1.4 Caractéristique d’un générateur La caractéristique d’un générateur est une droite passant par e pour I=0, C’est donc un dipôle linéaire actif (linéaire car sa caractéristique est une droite, actif car sa caractéristique ne passe pas par l’origine). Fig.15 caractéristique d’un générateur 24 ANJOUMI Nourddin-DAOUZI Hamza École Normale Supérieure 2016/2017 3.1.5 Générateur idéale de tension Un générateur de tension supposé idéal est un générateur qui fournit, entre ses bornes, une différence de potentiel constante, quelle que soit l’intensité du courant qui le traverse, donc sa résistance interne est nulle(r=0) : i,u = e Où e désigne la force électromotrice (f.é.m.) 3.1.6 Représentation d’un générateur Un générateur réel peut être schématisé de trois façons : Fig.16 schéma d’un générateur 3.1.7 Association des générateurs a- Association en série Soient n générateurs mises en série, de forces électromotrices e1, e2, e3,…..en et de résistances internes r1, r2, r3,…..rn : On a VA VB e1 e2 ..... en (r1 r2 ..... rn )I eéq réq I Le générateur équivalent a donc pour f.é.m. e éq et de résistance interne réq : Avec eéq e1 e2 ..... en in e i 1 i Et réq r1 r2 ..... rn b- Association en parallèle Soient n générateurs mises en parallèles, de forces électromotrices e 1, e2, e3,…..en et de résistances internes r1, r2, r3,…..rn : 25 ANJOUMI Nourddin-DAOUZI Hamza École Normale Supérieure 2016/2017 Dans ce cas Le générateur équivalent a pour f.é.m. e éq et de résistance interne réq : n n ei 1 1 Avec eéq réq Et réq i1 ri i 1 ri 3.2. Générateurs de courant 3.2.1 Définition On dit que le générateur est une source de courant s’il impose la valeur du courant qui le traverse quel que soit la tension (d.d.p.) entre ses bornes. I I0 U r 3.2.2 Générateur idéale de courant Une source de courant est idéale si quelle que soit la tension à ses bornes, l’intensité du courant qui la traverse reste constante : I I0 3.2.3 Représentation d’un générateur de courant Un générateur de courant idéal peut être schématisé de deux façons : Fig.17 : schématisation d’un générateur de courant 3.3. Récepteur actif Un générateur branché dans le sens inverse se comporte comme un récepteur : c’est un récepteur actif car en l’absence de courant entre ses bornes la d.d.p est non nulle (générateur à vide U=E).L’exemple type est celui d’une batterie d’accumulateurs que l’on recharge elle transforme de l’énergie électrique en énergie chimique. Les borne d’un récepteur actif ne change pas avec le sens de courant. Cependant, selon que le courant est imposé par le dipôle alors il fonctionne en générateur ou bien en récepteur si le courant lui est imposé par un autre générateur. Dans le cas où un générateur fonctionne en récepteur, sa force électromotrice s’oppose au déplacement des porteurs mobiles et par suite devient une force contre-électromotrice. 26 ANJOUMI Nourddin-DAOUZI Hamza École Normale Supérieure 2016/2017 Chapitre III CIRCUITS LINÉAIRES LOIS ET THÉORÈMES FONDAMENTAUX L’étude des circuits ne comprenant que des dipôles linéaires constitue la base de l’électrocinétique. Les théorèmes étudiés dans ce chapitre permettent de déterminer totalement le fonctionnement d’un circuit linéaire. 1. Définitions 1.1. Réseau linéaire Définition Un réseau électrique est l’association de plusieurs composants (dipôles, diodes, transistors, Amplificateurs Opérationnelles …) reliés entre eux par des fils conducteurs. Un circuit (ou réseau) électrique est dit linéaire s’il est constitué uniquement de composants linéaires comme Les résistances, les capacités, les inductances et les sources de tension et de courant. 1.2. Fil de connexion Un fil de connexion est un fil conducteur dont la faible résistance est négligeable devant les autres résistances du montage. On montre théoriquement que la résistance d’un fil est proportionnelle à sa longueur L et inversement proportionnelle à sa section S : R Avec L S est la résistivité du matériau et 1 est sa conductivité. Ces grandeurs dépendent de la température. Le tableau ci-dessous donne quelques valeurs de et . Ainsi un fil de cuivre de 2,5 mm2 de section et de longueur 100 mètres a une résistance de 0,67 Ω. (m) Ag Cu 8 1,59.10 1 (Sm ) 6,29.107 1.3. Nœud Au 8 1,67.10 5,98.107 Al 8 2,35.10 4,26.107 Fe 8 2,65.10 3,77.107 verre 8 9,7.10 1,00.107 Fig.18 Quelque valeurs de conductivité et de résistivité à température ambiante (20°C)) Un Nœud est un point d’interconnexion au moins de trois fils de connexion 27 106 106 ANJOUMI Nourddin-DAOUZI Hamza École Normale Supérieure 2016/2017 1.4. Branche Une branche est une portion de circuit située entre deux nœuds consécutifs et constituées par un ensemble de dipôles montée en série (traversés par le même courant). 1.5. Maille Une maille est un ensemble de branches formant une boucle fermée Dans le circuit du Figure19, nous avons quatre nœuds G et E, C et H, six branches GC, GH, HC, GE, EC, HE, sept mailles : ABCDEFGA, ABCHGA, GHEFG, HCDEH, GHCDEFG, ABCDEHGA, ABCHEFGA. Fig.19 Circuit ne comprenant que Des dipôles linéaires 2. Lois de l’électrocinétique 2.1. Montages diviseurs 2.1.1. Diviseur de tension On appelle diviseur de tension un montage dans lequel une tension est appliquée aux bornes de deux réssistances montées en série (Fig 20). d’aprés la loi d’ohm on a : U 2 R 2 I et U1 R1 R 2 I d’où U2 R 2I R2 U 2 U U1 R1 R 2 I R1 R 2 1 la tension U2 n’est qu’une fraction de U1,d’où le nom de diviseur de tension 28 Doc.20 Pont diviseur de tension ANJOUMI Nourddin-DAOUZI Hamza École Normale Supérieure 2016/2017 2.1.2. Diviseur de courant On appelle diviseur de courant un montage(Fig.21) dans lequel un courant d’intensité I traverse deux résistances, R1 et R2 montées en paralléle. Soin U la d.d.p aux bornes communes des deux résistances, et soit I2 l’intensité du courant traversant la résistance R2. Soit Réq la résistance équivalente de R1 et R2 On a 1 1 1 1 R éq R i R1 R 2 Fig.21 Pont diviseur de courant U R1I1 R 2I2 et U R éq I Et nous avons Donc I I1 R éq 1 I1 1 1 I R1 R1 R R 1 2 R2 I1 I R1 R 2 Remarque : si les résistances de document 21 remplacés par des : 1- Bobines : nous avons les relations di1 u di 2 u et dt L1 dt L 2 donc di di1 di 2 (L1 L 2 )u (L L 2 ) di 2 1 dt dt dt L1L 2 L1 dt di L 2 dt i2 di (L1 L2 ) dt 1 en intégrant : L1 i + i0 oùi 0 estuneconstanted 'int égration (L1 L2 ) Donc la formue i 2 L1 i n’est valable que si i0 est nulle (L1 L 2 ) 2 -Condensateurs : nous avons la relation Alors Alors i = i1 i 2 dq1 du dq du C1 eti 2 2 C2 dt dt dt dt C2 i 2 i C1 C2 q Cu donc i1 dq1 dq 2 du (C1 C2 ) dt dt dt Cette formue est semblable à celle de la relation de diviseur de la tension 29 ANJOUMI Nourddin-DAOUZI Hamza École Normale Supérieure 2016/2017 2.2. Lois de Kirchhoff Le physicien allemand Gustav Robert Kirchhoff a établi en 1845 deux lois qui fondent tous les calculs de réseaux électriques :-la loi des nœuds -la loi des mailles 2.2.1. Loi des nœuds En régime permanent dans un réseau,la conservation de la charge éléctrique se traduit par la conservation du courant ;en aucun point du circuit il ne peut y avoir d’accumulation ou perte de charge.Ceci nous permet d’énoncer la loi des nœuds comme suit : la somme des intensités des courants entrants d’un nœud est égal à la somme des intensités des courants sortants. I entrant Doc.22 Ientrant 2.2.2. Loi des mailles Pour la maille ABCDA on écrit : VB - VA VC - VB VC - VD VA VD 0 Soit encore u 2 u 3 - u 4 u1 0 D’où la loi des malles : Lorsqu’on parcourt une maille dans un sens déterminé, la somme des d.d.p est nulle lorsqu’on effectue un tour complet. 2.3. Théorème de superposition Fig.23 Théoréme Dans un réseau linéaire, l’intensité du courant (ou la tension) dans chaque branche est la somme algébrique des intensités (ou des tensions) créées dans cette branche lorsqu’on éteint tous les générateurs libres sauf un (à tour de rôle). Les autres générateurs libres étant remplacés par leurs résistances internes. Pour appliquer ce théorème, on procède comme suit : - On supprime successivement tous les générateurs sauf un - On calcul pour une branche tous les courants partiels obtenu à chaque fois - L’intensité de courant dans une branche donnée du circuit est la somme de toutes les intensités partielles dans cette branche. Exemple : Calculer l’intensité du courant I3 qui traverse R3 dans le circuit ci-contre. On donne : E1 = 5V, r1 =2Ω, E2 = 14 V, r2 = 1 Ω, R3 = 15 Ω 30 ANJOUMI Nourddin-DAOUZI Hamza École Normale Supérieure En utilisant le diviseur de courant o na : I3 I1 D’autre part nous avons : De même I3 r2 I1 r2 R 3 E1 r1 + R 3 / /r2 DncI3 2016/2017 r2 E1 r2 R 3 r1r2 r1R 3 r1E 2 r2 R 3 r1r2 r1R 3 Alors d’après le théorème de superposition I3 I3 I3 r2E1 r1E 2 0,70A r2 R 3 r1r2 r1R 3 2.4. Théorème de Thévenin Théoréme Tout circuit électrique linéaire à deux bornes (dipôle linéaire), est équivalent à une source de tension idéale de force électromotrice ETh, dite générateur de Thévenin, en série avec une résistance RTh. Lorsqu’on veut calculer l’intensité de courant dans une branche déterminée d’un réseau, on peut modéliser le reste du réseau à l’aide du théorème de Thévenin : on fractionne le réseau initial en deux dipôles : - Un dipôle actif constitué par un générateur de tension de f.é.m. ETh (VB VA )àvide et de résistance interne R Th ; c’est la ―résistance équivalente‖ vue entre les deux bornes du dipôle lorsque toutes ses sources indépendantes sont éteintes. On a alors : VA – VB ETh R Th .I - Un dipôle quelconque dans lequel on veut calculer l’intensité de courant. On calcul ensuite R Th , E Th et on en déduit I. 31 ANJOUMI Nourddin-DAOUZI Hamza École Normale Supérieure 2016/2017 Exemple : En appliquant le théorème de Thévenin, Calculer l’intensité de courant dans la branche du récepteur E 2 de la figure ci contre. On garde la branche où on veut calculer le courant, et on remplace le reste par un dipôle actif (E Th R Th ) Calculons R Th : On supprime toutes les f.é.m. et les f.c.é.m. contenues à l’intérieur du dipôle actif en gardant les résistances internes des générateurs et des récepteurs, le dipôle est transformé en dipôle passif dont la résistance totale entre les bornes A et B est RTh. R Th R éq (r1 + R1 ) / /R 2 (r1 + R1 )R 2 r1 + R1 +R 2 Calculons E Th : La f.é.m. d’un générateur est la tension entre ses bornes lorsqu’il ne débite aucun courant. E Th est donc la d.d.p du dipôle actif lorsqu’il n’est pas relié à un circuit extérieur. On supprime la branche extérieure et l’on calcule la d.d.p E Th : i E Th ETh R 2i Et d’après la loi de Pouillet : i E1 E1 Donc E Th R 2 r1 + R1 +R 2 r1 + R1 +R 2 32 ANJOUMI Nourddin-DAOUZI Hamza École Normale Supérieure 2016/2017 Calculons I : I I E Th E 2 R Th + r2 (Loi de Pouillet) 2.5. Théorème de Norton Une autre méthode pour calculer l’intensité de courant dans une branche déterminée d’un réseau, est de modéliser le reste du réseau à l’aide du théorème de Norton. Théoréme Tout circuit électrique linéaire à deux bornes (dipôle linéaire), est équivalent à une source de courant idéale IN, dite générateur de Norton, en parallèle avec une résistance RN. Étapes d’application : On procède en deux étapes : - On remplace le dipôle par un court-circuit (c.-à-d. on met un fil entre A et B) et on calcul le courant Icc. - On calcul la résistance équivalente du réseau ;RN. - On calcul l’intensité de courant I dans le dipôle. 2.6. Équivalence Thévenin-Norton 33 ANJOUMI Nourddin-DAOUZI Hamza IN École Normale Supérieure 2016/2017 E Th etE Th I N R N etR Th R N R Th Remarques : - Lorsque la tension (ou le courant) délivrée par une source dépend de la tension aux bornes d’un des composants du circuit (ou du courant le parcourant), la source est dite ―liée‖. Dans le cas contraire la source est dite ―indépendante‖. - Lorsqu’on éteint les sources (théorèmes de superposition, de Thévenin, de Norton, etc.) on éteint UNIQUEMENT les sources INDEPENDANTES, et JAMAIS les sources LIÉES. 2.7. Théorème de Millmann Le théorème de millmann n’est que la loi des nœuds vue en termes de potentiels Soit la portion de circuit du Doc.24 Fig.24 La loi des nœuds appliqués au point A : Avec i1 i1 i3 i 4 i 2 vA 0 (v v D ) e3 v vB et i3 A et i 4 A R1 R3 R4 Donc v A (v A v D ) e3 v A v B i2 R1 R3 R4 v A v A v D + e3 v A v B i2 R1 R 3 R3 R4 R4 1 1 1 vB v +e 0 v A i2 D 3 R3 R1 R1 R 3 R 4 R 4 vB v +e 0 i2 D 3 R R3 R1 v A 4 1 1 1 R1 R 3 R 4 34 ANJOUMI Nourddin-DAOUZI Hamza École Normale Supérieure 2016/2017 D’où la forme générale du théorème : v A i j v i ei ij Ri j n 1 i j R i Avec les f.e.m. et f.c.e.m comptées positivement quand elles sont dirigées vers le nœud d’étude et i j le courant délivré par un générateur de courant j (comptés positivement quand il est dirigé vers le nœud d’étude) Exemple : La tension v NM d’un réseau électrique comportant n branche en parallèle : En appliquant le théorème de millmann au point N o na : v M e1 v M e2 v en .. M R1 R2 Rn v N 1 1 1 .. R1 R 2 Rn 1 1 1 e1 e 2 e vM .. .. n R R2 R n R1 R 2 Rn v N 1 1 1 1 .. R1 R 2 Rn e1 e2 e .. n Rn v R1 R 2 M 1 1 1 .. R1 R 2 Rn Alors v NM e1 e2 e .. n R R2 Rn v N - vM 1 1 1 1 .. R1 R 2 Rn 35 ANJOUMI Nourddin-DAOUZI Hamza École Normale Supérieure 2016/2017 2.8. Théorème de Kennelly Le théorème de Kennelly, ou transformation triangle-étoile, est une technique mathématique qui permet de simplifier l’étude de certains réseaux électriques. Transformation triangle vers étoiles : Transformation étoiles vers triangle : R at R AB R AC R AB + R BC + R AC R AB R at R bt R bt R ct R ct R at R ct R bt R AB R BC R AB + R BC + R AC R BC R at R bt R bt R ct R ct R at R at R ct R AC R BC R AB + R BC + R AC R AC R at R bt R bt R ct R ct R at R bt 36 ANJOUMI Nourddin-DAOUZI Hamza École Normale Supérieure Partie 2 ELECTRONIQUE 37 2016/2017 ANJOUMI Nourddin-DAOUZI Hamza École Normale Supérieure 2016/2017 Chapitre I QUADRIPÔLES LINEAIRES 1. Définition Un Quadripôle électrique est une boite noire à quatre bornes dans laquelle des courants électriques peuvent circuler ; cette boite ayant deux bornes d'entrée et deux bornes de sortie, Le Quadripôle se caractérise par deux grandeurs ( i e , ve ) à l’entrée et deux grandeurs ( is , vs ) à la sortie. La condition pour que cette boite noire soit un quadripôle est que le courant entrant par une des bornes d'entrée (resp.de sortie) soit égal au courant sortant par l'autre borne d'entrée (resp.de sortie). 2. Matrices représentatives des quadripôles Il existe six combinaisons pour exprimer deux quelconque des courants ou tensions en fonction des deux autres. Ces relations seront linéaires et les coefficients qui découlent ne dépendront que des éléments constituants le quadripôle et définissent ainsi les paramètres du quadripôle. Nous définissons ici quelque paramètre. 2.1. Matrice impédance Z 2.1.1. Coefficients zij Si on choisit (ie ,is ) comme variable on peut écrire : ve z11ie z12is vs z 21ie z 22is Les coefficients zij ont la dimension d’une impédance. Ou encore en écriture matricielle : ve z11 v z s 21 z12 ie z 22 is Avec z z Z 11 12 C’est la matrice impédance z 21 z 22 38 ANJOUMI Nourddin-DAOUZI Hamza École Normale Supérieure 2016/2017 On mesure la valeur des éléments zij de cette matrice en imposant une source à un accès et laissant l’autre en circuit ouvert. Ainsi par exemple si la sortie est à circuit ouvert, le coefficient z11 de la matrice Z est égal : v z11 e C’est l’impédance d’entrée à circuit ouvert i e is 0 v v v z12 e etz 21 s etz 22 s i s i e 0 i e is 0 i s i e 0 De même : 2.1.2. Schéma équivalent Le schéma équivalent d’un quadripôle décrit par ces paramètres zij est le suivant : Fig.25 Si on applique les lois de Kirchhoff on retrouve le système d’équation ve z11ie z12is vs z 21ie z 22is 2.1.3. Exemple Soit le quadripôle en T suivant : Par application de la loi des mailles on peut écrire : ve R1ie R 3 i e is v R1 + R 3 i e R 3is Soit e vs R 2is R 3 ie is vs R 3i e R 2 + R 3 is D’où R + R3 Z 1 R3 R3 R 2 + R 3 Dans ce cas on a : Z 11 R1 R 3 Z 12 R 3Z 21 R 3etZ 22 R 2 R 3 39 ANJOUMI Nourddin-DAOUZI Hamza École Normale Supérieure 2016/2017 2.2. Matrice admittance Y 2.2.1. coefficients yij Dans ce cas se sont les tensions qui sont considérées comme variable, les relations sont donc : ie y11ve y12 vs is y 21ve y 22 vs i y e 11 is y 21 y12 ve y 22 vs Avec y Y 11 y 21 y12 y 22 C’est la matrice admittance Les coefficients yij ont la dimension d’une admittance 1 . 1 La matrice Y est évidemment l’inverse de la matrice Z, c.-à-d. Y Z . Elle n’existe donc pas toujours (il faut que Z, si elle existe, soit inversible). On mesure la valeur des éléments de cette matrice en imposant une source à un accès et en mettant l’autre en court-circuit (Doc 26). Fig.26 Ainsi par exemple si la sortie est en court-circuit, on aura : i y11 e C’est l’admittance d'entrée en court-circuit v e vs 0 Et ainsi de suite pour les autres éléments. 2.2.2. Schéma équivalent Fig.27 2.2.3. Exemple Soit le quadripôle en suivant : 40 ANJOUMI Nourddin-DAOUZI Hamza École Normale Supérieure 2016/2017 Soit v 2 la tension aux bornes de résistance R2 ve vs v2 v2 ve vs Par application de la loi des mailles on peut écrire : ie La loi des nœuds donne : v e v e vs 1 1 1 + vs ve R1 R2 R2 R1 R 2 y11 Donc y22 De même on trouve 1 1 1 + ety12 R1 R 2 R2 1 1 1 + ety21 R2 R3 R2 2.3. Matrice hybrides H 2.3.1. coefficients hij Les matrices hybrides correspondent au cas où les variables indépendantes sont de nature différente, un courant et une tension, relatives à des accès différents : ve h11ie h12 vs is h 21ie h 22 vs v h uencre e 11 is h 21 h12 ie h 22 vs Avec h H 11 h 21 h12 h 22 Contrairement aux matrices d'impédance et d'admittance, les éléments des matrices hybrides ne sont évidemment pas homogènes. Deux éléments n'ont pas de dimensions et sont des coefficients de transfert en courant ou en tension. Les deux autres ont l'un la dimension d'une impédance, l'autre celui d'une admittance. On a par exemple v v h11 e eth12 e i e vs 0 v s i e 0 2.3.2. Schéma équivalent Les paramétres hybrides sont très utilisés dans l’étude des transistors bipolaires,et le schéma équivalent d’un quadripôle décrit par ces paramétres est le suivant : 41 ANJOUMI Nourddin-DAOUZI Hamza École Normale Supérieure 2016/2017 2.4. Matrice de transfert T En prenant pour variable les grandeurs de sorties v s et -is , on pourra écrire : v t e 11 ie t 21 Avec t12 vs t 22 -is Avec t T 11 t 21 t12 t 22 v v i i t11 e ett12 e t 21 e t 22 e v s is 0 i s vs 0 v s is 0 i s vs 0 3. Association des quadripôles Nous avons vu précédemment que tout quadripôle (passif ou actif, quel que soit le nombre d’éléments qu’il comprenne) est complètement caractérisé par les 4 éléments d’une de ses matrices représentatives. L’intérêt du quadripôle réside essentiellement dans la compacité de ces représentations matricielles. Il est alors facile de construire des quadripôles plus évolués, en associant des quadripôles plus simples. 3.1. Quadripôles en série La mise en série de deux quadripôles Q’ et Q’’ est illustrée à la figure Doc.28. Le courant sortant de la borne 1’ (2’) de Q’’ est celui entrant dans la borne 1 (2) de Q’ (ce qui caractérise bien la mise en série d’éléments). Fig.28 Mise en série de quadripôles Chaque quadripôle est caractérisé par ses équations, par exemple : u1 z11 u z 2 21 I1 z12 u1 z11 et u z z22 I2 2 21 42 I1 z12 z22 I2 ANJOUMI Nourddin-DAOUZI Hamza École Normale Supérieure u1 = u1 u1 et I1 = I1 = I1 Et comme on a : Alors u1 u1 u1 z11 u u u z 2 2 2 21 z 11 z21 D’où z11 u1 z11 u z z 2 21 21 u 2 = u2 u2 I2 = I2 = I2 I1 z11 z12 z22 I2 z21 I1 z11 z12 z22 I2 z21 2016/2017 I1 z12 z22 I2 I1 z12 z22 I2 z12 I1 z12 z22 z22 I2 Zéq Z Z Il vient alors Cette dernière relation n’est applicable que si Z’ et Z’’ existent. 3.2. Quadripôles en parallèle La mise en parallèle de deux quadripôles Q’ et Q’’ est illustrée à la figure Doc.29.Les tensions aux accès des deux quadripôles sont imposées égales (ce qui caractérise une mise ne parallèle d’éléments). Chaque quadripôle est caractérisé par ses équations : I1 y11 I y 2 21 Et comme on a : On trouve u1 y12 I1 y11 et I y y22 u2 2 21 u1 y12 y22 u2 u1 = u1 u1 u 2 = u2 u2 et I1 = I1 + I1 I2 = I2 + I2 Yéq Y Y A nouveau cette dernière relation n’est applicable que si Y’ et Y’’ existent. Fig.29Mise en parallèle de quadripôles 43 ANJOUMI Nourddin-DAOUZI Hamza École Normale Supérieure 2016/2017 3.3. Quadripôles en cascade On remarquera que l'inversion de signe d'un des courants dans la matrice hybride de transfert permet d'obtenir aisément la matrice résultant d'une mise en cascade de deux quadripôles, c'està-dire de la connexion de l'entrée de l'un à la sortie de l'autre selon la figure Doc.30.Grâce à ce choix de signe, il vient en effet I2 I1etu2 u1 et donc : u1 t11 I t 1 21 t11 t12 t22 t21 u2 t12 t22 I2 Fig.30 Mise en cascade de quadripôles La matrice de chaîne de deux quadripôles en cascade est donc le produit des matrices de chaînes partielles. Comme la multiplication matricielle n'est pas une opération commutative, il faut prendre garde à l'ordre dans lequel les quadripôles sont connectés. 4. Caractéristiques d’un quadripôle Considérons un quadripôle linéaire assurant la liaison entre un dipôle actif (générateur de f.é.m. E g et d’impédance interne Zg ) et un dipôle passif linéaire D. Fig.31 4.1. Impédance d’entrée ve , Ze dépend généralement ie de la charge D. Ainsi vu du générateur le quadripôle chargé est équivalent à une impédance Ze : L’impédance d’entée du montage précédent est définie par Ze Fig.32 44 ANJOUMI Nourddin-DAOUZI Hamza École Normale Supérieure 2016/2017 4.2. Impédance de sortie Vu de la charge, le quadripôle est un dipôle actif qui peut être remplacé par son modèle équivalent de Thévenin ou de Norton. L’impédance de sortie du quadripôle est donc l’impédance interne du générateur équivalent (de Thévenin ou Norton) vu des bornes de sortie. Pour calculer Zs ou ( ZTh ), on peut procéder de deux façons : a)-On éteint les générateurs indépendants (en les remplaçants par leur impédance interne). On place une source de tension parfaite à la sortie du Q et l’impédance de sortie est donc Zs Es Is Fig.33 b)-Après avoir déterminé la tension de Thévenin (égale à v s pour Is 0 ) ainsi que le courant de court-circuit ( I N Icc ) du quadripôle vu de la sortie. On écrit Zs ZTh Z N E Th , d’où le schéma équivalent du quadripôle : Icc 5. Fonctions de transferts ou transmittances La fonction de transfert est définie comme le rapport d’une grandeur de sortie sur une grandeur d’entrée H = S (en notation complexe). E On définit aussi le gain en tension A v = vs I et le gain en courant A i = s ve Ie Remarque : H n’est pas toujours sans dimension : elle peut être en Ω ou Ω−1 . 45 ANJOUMI Nourddin-DAOUZI Hamza École Normale Supérieure 2016/2017 Chapitre II RÉGIMES DE FONCTIONNEMENT DES CIRCUITS LINÉAIRES Jusqu’à maintenant nous avons étudié les réseaux électriques en régime continu où les circuits alimentés par des sources de tension ou de courant continues. Par contre la présence de condensateur(s) et de bobine(s) est généralement liée à un courant (ou une tension) variable dans le temps. Nous allons voir ici comment se comporte le signal en fonction du temps dans un tel cas. 1. Circuits linéaires 1.1. Équation différentielle vérifiée par un circuit linéaire Un système linéaire, à une entrée e e t et une sortie s s t k.e t , est un système possédant les propriétés de proportionnalité et d’additivité ; c’est-à-dire tel que si la sortie s1 t est la réponse du système à l’entrée e1 t , et la sortie s 2 t la réponse à l’entrée e2 t , alors la réponse du système à l’entrée 1e1 t 2e2 t est 1s1 t 2s 2 t . Le réseau étant linéaire, l’évolution de toute grandeur électrique (intensité, tension, charge d’un condensateur. . .) est d´écrite par une équation différentielle linéaire à coefficients constants de la forme : d ns(t) d 2s(t) ds(t) d me(t) d 2e(t) de(t) + · · · + a + a a s(t)= b + · · · + b + b1 b 0e(t) 2 1 0 m 2 n 2 m 2 dt dt dt dt dt dt Avec les ai etbi sont des constantes. an Le nombre sup(n,m) définit l’ordre du circuit (Nous étudierons les circuits d’ordre 1 et d’ordre 2.) 1.2. Résolution de l’équation différentielle La réponse du système à l’entrée e (t), solution de l’équation différentielle précédente, est du type : s t sP t s h t Où : - s h t est la Solution Générale de l’Équation Sans Second Membre (SGESSM), qui ne dépend que du système et des conditions initiales. Cette partie de la réponse est appelée réponse libre ou naturelle. - s P t est une solution particulière de l’équation avec second membre (SPEASM) de même nature que l’entrée e (t). Cette partie de la réponse est appelée réponse forcée. Pour les cas simples, on détermine s P t par identification à une fonction de même nature que e (t). 46 ANJOUMI Nourddin-DAOUZI Hamza École Normale Supérieure 2016/2017 2. Étude du régime libre 2.1. Régime libre Le régime libre, (ou régime propre) est le régime observé quand toutes les sources sont éteintes. Des composants passifs et linéaires forment un circuit dans lequel se trouve initialement de l’énergie sous forme de tension (dans un condensateur) ou de courant (dans une bobine). Ce régime est caractérisé par un temps de relaxation qui permet d’évaluer sa durée. Dans le régime libre te t donc l’équation différentielle devient : an d ns(t) d 2s(t) ds(t) + · · · + a + a1 a 0s(t)=0 2 n 2 dt dt dt 2.2. Régime libre de quelques circuits linéaire 2.2.1. Circuit libre du premier ordre Premier ordre implique n=1, d’où : a1 ds(t) a 0s(t)=0 dt s(t)=s0e La solution Générale de cette équation est : On pose a1 a0 a0 t a1 t s(t)=s0e : Le temps caractéristique ou constante de temps ou temps de relaxation, son unité est la seconde s. 2.2.2. Exemples d’un Circuit d’ordre 1 en régime libre a- Circuit RC série Soit un circuit (Doc.34) composé d’une résistance, d’un condensateur et d’un interrupteur. Les conditions initiales sont les suivantes : Avant l’instant t=0, l’interrupteur K est ouvert et le condensateur est chargé avec une charge q0 telle que q 0 Cu 0 , fermons l’interrupteur à l’instant t=0. Une intensité i(t) parcourut le circuit et le condensateur se décharger. Nous pouvons écrire les relations suivantes : u t Ri t q (t ) dq et i t C dt Les deux équations se combinent pour donner : 47 du u 0 dt RC ANJOUMI Nourddin-DAOUZI Hamza École Normale Supérieure 2016/2017 C’est une équation différentielle linéaire du 1er ordre à coefficients constants et sans seconde membre donc le circuit RC est un circuit linéaire du premier ordre. Le terme RC est homogène à un temps. C’est le temps caractéristique / constante de temps du circuit RC série. i La solution de l’équation différentielle est : u t Ae t A est une constante, s’obtient à l’aide des conditions initiales. À t=0, u(t 0 ) q0 q A donc A = 0 C C La solution est donc finalement : Fig.34circuit RC série ( 0 l’instant juste après l’instant t=0) q 0 t u t e C q0 C Doc.35 Décharge du condensateur Remarques : - La tangente à l’origine de la courbe coupe l’axe des abscisses en t - Le signal . u t tend vers 0 quand le temps tend vers l’infini (le condensateur se décharge). On peut considérer que le condensateur est quasiment déchargé à l’instant t quand il ne reste plus que 1% de la tension initiale à ses bornes donc : 1 1 q 0 q 0 t u t u t = 0 e 100 100 C C 48 ANJOUMI Nourddin-DAOUZI Hamza École Normale Supérieure 2016/2017 t 1 t e ln t 2 ln(10) 4,60 100 Il faut presque de 5 pour que le condensateur se décharge. - Dans l’intervalle du temps 0,5 le circuit est dans un régime s’appelé régime transitoire. Étude énergétique : La méthode consiste à faire apparaître une grandeur homogène à une énergie ou une puissance. On sait qu’une puissance est homogène à u i : on peut donc obtenir simplement une égalité entre les différentes puissances soit en écrivant une loi des mailles (avec u ) que l’on multiplie par i, soit une loi des nœuds (avec i) que l’on multiplie par u . On écrit ici la loi des mailles appliquée à l’unique maille présente : u + Ri = 0 La multiplication par le courant i donne donc un bilan de puissance : u.i + Ri 2 = 0 Cu Soit du + Ri 2 = 0 dt d 1 2 2 Cu = -Ri dt 2 Cette équation s’interprète de la manière suivante : l’énergie 1 Cu 2 perdue par le 2 2 condensateur par unité de temps est égale à la puissance dissipée par la résistance ( -Ri ), Sous forme de chaleur par effet Joule. Remarque : La tension aux bornes d’un condensateur est toujours continue dans le temps puisqu’on a toujours continuité de l’énergie. Dans notre cas, ici il s’agit de l’énergie 1 2 Cu emmagasinée dans le condensateur 2 b- Circuit RL série Soit un circuit (Doc.36) composé d’une résistance et d’une bobine. On part des conditions initiales suivantes : un générateur de courant i0 a été placé aux bornes de la bobine : un courant i0 circule alors dans la bobine. à t = 0, l’interrupteur est ouvert, ce qui revient à enlever le générateur du circuit. Le courant de la bobine va alors passer dans la résistance et être ‖freiné‖ par cette résistance. L’énergie contenue dans la bobine au départ va progressivement être dissipée dans la résistance. Établissement de l’équation différentielle : Le circuit RL ne comporte qu’une maille. La tension est identique aux bornes de la résistance et de la bobine. Il vient donc : 49 ANJOUMI Nourddin-DAOUZI Hamza École Normale Supérieure 2016/2017 À t=0 Fig.36 Circuit RL u t R.i(t) L di L di i(t) 0 dt R dt C’est une équation différentielle linéaire du 1er ordre à coefficients constants et sans seconde membre donc le circuit RL est un circuit linéaire du premier ordre. R/L est homogène à l’inverse d’un temps. On pose L / R . Ce temps intervient dans l’équation différentielle comme grandeur caractéristique. On appelle L / R le temps caractéristique du circuit RL (ou temps de relaxation). di 0 est : La solution de l’équation différentielle i(t) dt i t Be t Il reste à déterminer B qui est donnée par les conditions initiales : Puisqu’on a continuité du courant traversant une bobine on aura : À t = 0, i t 0 i t 0 i 0 donc B = i0 La solution est finalement : Fig.37Courant en fonction du temps 50 i t i 0 e t ANJOUMI Nourddin-DAOUZI Hamza École Normale Supérieure 2016/2017 Remarques : - La tangente à l’origine de la courbe coupe l’axe des abscisses en t . - Comme pour le circuit RC, il faut 4 à 5 pour que le courant devienne quasi-nul. - La courbe (Fig.37) est continue ; à t < 0 ; i = i0 puis décroît de cette valeur après t = 0. Ceci était prévisible : l’intensité du courant dans une bobine est toujours continue dans le temps. Étude énergétique : Comme pour le circuit RC l’équation du circuit (loi des mailles) est multipliée par le courant i : La multiplication par le courant i donne donc un bilan de puissance : di i L = -Ri dt d 1 2 2 Li = -Ri dt 2 Soit Cette équation s’interprète de la manière suivante : l’énergie unité de temps ( 1 Cu 2 perdue par la bobine par 2 1 2 Li ) est égale à la puissance dissipée par la résistance ( -Ri 2 ), Sous forme 2 de chaleur par effet Joule. 3. Étude du régime Sinusoïdal forcé 3.1. Régime forcé Le régime forcé est le régime observé quand le circuit linéaire est soumis à une excitation sinusoïdale. Par exemple lorsqu'on allume un générateur de courant (ou de tension) variable aux bornes du circuit. te t donc, si on va limiter à circuit linéaire d’ordre 2, l’équation différentielle vérifiée par s (t) et e(t) devient : Dans le régime forcé b2 d 2e(t) de(t) d 2s(t) ds(t) + b b e(t) a + a1 a 0s(t) 1 0 2 2 2 dt dt dt dt 3.2. Régime sinusoïdal Les sources de tension ou de courant sont très souvent périodiques : citons la tension aux bornes d’une « prise de courant » qui a une fréquence de 50 Hz, ou les signaux électriques qui transmettent une voix ou de la musique qui sont approximativement périodiques pendant une certaine durée. 51 ANJOUMI Nourddin-DAOUZI Hamza École Normale Supérieure 2016/2017 Parmi les signaux périodiques, le signal sinusoïdal (ou harmonique) occupe une place particulière pour plusieurs raisons. En particulier, il est possible de montrer que tout signal périodique peut se mettre sous la forme d’une somme de signaux sinusoïdaux. On appelle régime sinusoïdal (ou régime harmonique) l'état d'un système pour lequel la variation dans le temps des grandeurs le caractérisant est sinusoïdale. 3.2.1. Grandeurs électriques en régime sinusoïdal a- Signal sinusoïdal Graphiquement, on peut dessiner les signaux sinusoïdaux ainsi : Fig.38 signal sinusoïdal Mathématiquement on écrit ce type de signal de la forme suivante : x( t ) Xm cos t Ou x(t) X msin t , avec Xm : amplitude du signal (toujours positif) 2 1 : Pulsation en rad.s ; T Elle représente la vitesse de périodicité du signal (vitesse que met le signal à reprendre la forme qu’il avait avant). t : phase instantanée T : phase à l'origine des dates en rad : la période en s b- Valeur moyenne et valeur efficace Un signal x(t) est dit périodique si sa courbe représentative se reproduit identique à ellemême pendant des intervalles de temps successifs égaux. Le plus petit intervalle de répétition est appelé période T. 52 ANJOUMI Nourddin-DAOUZI Hamza École Normale Supérieure 2016/2017 Soit x(t) une grandeur périodique de période T .On note x(t) oux(t) sa valeur moyenne. T 1 x(t) x(t).dt T0 Propriété : la valeur moyenne d’un signal sinusoïdal est nulle. Soit x(t) une grandeur périodique de période T .On note x eff sa valeur efficace. x eff x(t) 2 1 T t 0 T x(t) 2 dt t0 Propriété : La valeur efficace du signal sinusoïdal x(t) X m cos t vaut x eff Xm 2 Attention : Les valeurs moyennes et les valeurs efficace sont indépendantes du temps. c- Déphasage entre deux signaux sinusoïdaux Soit deux signaux sinusoïdaux synchrones (c.-à-d. de même fréquence ou de même période), x1 (t) X1 cos t 1 et x 2 (t) X2 cos t 2 Le déphasage est la différence de phase à l’origine des signaux étudiés noté . Ce déphasage est déterminé au signe près et est généralement compris entre 2 1 et : C’est l’avance du signal x 2 par rapport au signal x1 Doc.39 signaux sinusoïdaux déphasés 53 ANJOUMI Nourddin-DAOUZI Hamza École Normale Supérieure 2016/2017 Dans ce figure, le signal x1 est en avance de phase sur x 2 , car il atteint son maximum avant x 2 Dans ce cas 2 1 est négatif. Le décalage temporel t entre ces courbes correspond à un déphasage 2 t T d- Représentation complexe d’une grandeur sinusoïdale Par la suite, nous désignerons un nombre complexe z par : z a + jb = ze j où a et b sont respectivement la partie réelle et la partie imaginaire de z et z complexe z et sont argument, défini par : cos( ) a a 2 + b2 a 2 + b2 le module du nombre et sin( ) En particulier, j est le nombre complexe de module 1 et d’argument égal à 2 b a 2 + b2 . vérifiant j2 1 . Le j est la notation complexe utilisée en physique pour ne pas confondre le nombre complexe classique avec l’intensité du courant. À une grandeur sinusoïdale réelle d’expression mathématique : x(t) Xm cos t est associée une grandeur complexe : x(t) Xme j(t+ ) Xe jt . On pourra également définir une amplitude complexe : X X me j Remarque : La notation complexe est une astuce mathématique qu’on utilise en physique pour simplifier les calculs. Après, on reviendra à la notation réelle. Mais attention, on n’a le droit d’utiliser la notation complexe que si on est en régime sinusoïdal établi et qu’on a des équations et des grandeurs linéaires. e- Représentation de Fresnel d’une grandeur sinusoïdale Il s’agit d’une représentation vectorielle qui permet une visualisation géométrique de la grandeur sinusoïdale. Soit x(t) X m cos t une grandeur sinusoïdale à laquelle on associé la grandeur complexe x(t) X me j(t+ ) d’amplitude complexe X m X me j . La représentation de Fresnel de x(t) Xm cos t est la représentation géométrique de son amplitude complexe dans le plan complexe c.-à-d. la représentation d’un vecteur de longueur X m et dont l’angle avec l’axe horizontal est . 54 ANJOUMI Nourddin-DAOUZI Hamza École Normale Supérieure 2016/2017 Doc.40 Représentation de Fresnel Remarque : - La dérivée d’un signal complexe est obtenue en multipliant le signal complexe par j . Pour une dérivée seconde se sera une multiplication par (j ) 2 .... dx(t) j.x(t) dt - même principe pour l’intégration, la primitive d’un signal complexe est obtenue en multipliant celui-ci par 1 j 3.3. Impédance complexe En régime sinusoïdal forcé, l’impédance complexe d’un dipôle est le rapport de la tension complexe par l’intensité complexe : 3.3.1. Définition Z Le module Z Z u i u de l’impédance complexe est l’impédance du dipôle. i La partie réelle de l’impédance complexe d’un dipôle est la résistance de ce dipôle et la partie imaginaire en est la réactance. 55 ANJOUMI Nourddin-DAOUZI Hamza École Normale Supérieure 2016/2017 3.3.2. Exemples des composants R, L et C a- Impédance pour un conducteur ohmique u(t) aux bornes d’un conducteur ohmique de résistance R parcouru par un courant i(t) est : u(t) Ri(t) Nous en déduisons qu’en régime harmonique l’impédance complexe du u Ri R conducteur ohmique est : Z i i La tension b- Impédance pour un condensateur L’intensité du courant qui traverse une capacité C est liée à la tension la relation : Donc Z i(t) = C du(t) dt En notation complexe on a : u u i jCu Z u(t) entre ses bornes par du(t) i(t) = C jCu(t) dt 1 jC Cette impédance nous permet de définir le comportement du condensateur à basses et hautes fréquences : En basses fréquences ( 2 f 0 ), l’impédance du condensateur tend vers l’infini, celle-ci étant homogène à une résistance, on peut dire que le condensateur se comporte comme un interrupteur ouvert. En hautes fréquences ( ), l’impédance du condensateur tend vers zéro, on peut dire que le condensateur se comporte comme un interrupteur fermé. c- Impédance pour une bobine di u jLi Z dt i i i L L’impédance complexe d’une inductance est imaginaire pure : Z jL 56 ANJOUMI Nourddin-DAOUZI Hamza École Normale Supérieure 2016/2017 Cette impédance nous permet de définir le comportement de la bobine à basses et hautes fréquences : Remarque : u u donc arg Z arg 2 ou bien arg Z arg u arg i 2 i i Z est imaginaire pure donc arg Z 2 on peut écrire : On a Z 2 arg u arg i 2 ou arg u arg i 2 2 2 D’où la tension est en retard de 2 par rapport à l’intensité du courant. 3.3.3. Lois de l’électrocinétique en notation complexe L’ensemble des théorémes et lois vus aux chapitre 3 pour le régime continu demeurent valables en régime sinusoidal forcé,en remplacant les grandeurs continues par leurs amplitides complexes et les résistances par des impédances.Les conseils et remarques données dans ce chapitre peuvent étre transposés à l’identique. 57 ANJOUMI Nourddin-DAOUZI Hamza École Normale Supérieure 2016/2017 Chapitre III CIRCUIT RLC SÉRIE EN RÉGIME SINUSOÏDAL FORCÉ Dans le chapitre précédent, nous avons étudié le régime libre des circuits du premier ordre RC et RL dont on a résolu les équations différentielles pour trouver les expressions des tensions et d’intensités. On étudie dans ce chapitre la réponse d’un circuit RLC série soumis à une excitation sinusoïdale en entrée c’est-à-dire soumis à une tension du type e( t ) Ecos(t ) . Dans la présente étude du régime sinusoïdal forcé, on va mettre en évidence un phénomène de résonance et puisque le montage RLC série peut-être étudié en tension ou en intensité il y a donc existence de deux types de résonances aux caractéristiques différentes. Ce chapitre est aussi l’occasion d’utiliser pour la première fois la notation complexe. Cette nouvelle représentation mathématique des grandeurs sinusoïdale nous sera très utile ; elle permet de ramener la résolution d’équations différentielles à second membre variable (compliquée !) à la résolution d’une équation algébrique complexe (simple !). Attention ! Toujours cette étude n’est valable que dans le cadre de l’ARQS 1. Équation différentielle Considérons un circuit (R, L, C) série soumis à l’excitation sinusoïdale délivrée par un générateur de basse fréquence. Nous supposerons, par exemple, que le générateur délivre, à partir de l’instant t = 0, la tension e(t) Ecos(t) . Pour ce circuit, nous pouvons écrire (en appliquant la loi des mailles) : e = u R u C u L e(t) Ri + u C L Comme i di dt dq(t) du C C dt dt d2u C du LC 2 RC C u C Ecos( t) dt dt Fig.41 circuit (R, L, C) série Cette équation différentielle est une équation du deuxième ordre avec second membre variable, le circuit RLC série est appelé circuit du second ordre. 58 ANJOUMI Nourddin-DAOUZI Hamza École Normale Supérieure 2016/2017 La solution générale de cette équation s’écrit de la forme : u C t u ch t u Cp t u ch est la Solution homogène de l’équation différentielle c'est-à-dire la solution de l’équation sans second membre. - u Cp est la solution particulière de cette équation avec second membre. - Remarques : - lorsque u ch n’est pas négligeable devant u Cp alors u C t u ch t u Cp t on parle du régime transitoire. - Lorsque u ch devient négligeable devant u Cp , alors u C t u Cp on parle du régime établi ou forcé. - Lorsque le second membre de l’équation différentielle est nul (dans notre cas E=0) alors, on u C t u ch parle du régime libre. 1.1. Régime libre 1.1.1. Établissement de l’équation différentielle sans seconde membre Nous allons nous intéresser dans un premier temps au comportement du circuit lorsque le condensateur à été préalablement chargé sous la tension E du générateur, et lorsqu’il se décharge dans la bobine et la résistance. L’équation différentielle correspondant à ce régime libre (appelé aussi régime propre) est la suivante : d 2u C du LC 2 RC C u C 0 dt dt Son équation caractéristique, est : R 1 r 2 r r0 L LC Cette dernière équation est appelée polynôme caractéristique de l’équation différentielle . Trouver les solutions de ce polynôme permet de trouver les solutions de l’équation différentielle. Pour trouver les solutions de l’équation caractéristique, nous allons utiliser des variables dites "réduites" : 1.1.2. Définitions des variables réduites a- Pulsation propre Celle-ci correspond à la pulsation des oscillations en l’absence de "frottements" (amortissement par effet Joule ici) : 0 Elle exprimée en rad.s-1 59 1 LC ANJOUMI Nourddin-DAOUZI Hamza École Normale Supérieure 2016/2017 b- Facteur d’amortissement Il va être lié à la résistance globale du circuit. Plus ce facteur sera grand, plus l’amortissement sera élevé : - R 2L -1 Le facteur d’amortissement exprimé en s L : inductance de la bobine exprimée en Henry (H) R : résistance totale du circuit exprimée en Ohm ( ) c- Coefficient d’amortissement Il peut être intéressant de travailler avec une grandeur sans dimension. On définit alors le coefficient d’amortissement par : R C 0 2 L d- Facteur de qualité Pour caractériser un circuit, on utilise souvent une autre grandeur appelée facteur de qualité. Elle est reliée à toutes les grandeurs dont on vient de parler : Q 1 0 1 2 2 RC0 En utilisant ces variables réduites, on peut donc écrire le polynôme caractéristique [37] de la manière suivante : r 2 2 r 02 0our 2 20r 02 0 1.1.3. Résolution de l’équation différentielle sans seconde membre Soit l’équation caractéristique : r 2 2 r 02 0 Le polynôme caractéristique acceptant plusieurs solutions selon la valeur de son discriminant , il en est de même pour l’équation différentielle. Vu la forme du polynôme, nous allons utiliser le discriminant réduit. 60 ANJOUMI Nourddin-DAOUZI Hamza École Normale Supérieure 2016/2017 Rappel mathématique Lorsqu’une équation du second degré est de la forme ax discriminant réduit pour en trouver les solutions. 2bx c 0 , on peut utiliser le b2 ac Ce discriminant réduit a pour expression Ici, le discriminant réduit a pour expression : 2 2 0 2 Selon son signe on distingue trois régimes : a- Régime apériodique : 0 Si 0alors 0 1 2 1 1 2 donc Q 1 2 0 Le polynôme admet deux racines : r1 b + + 2 0 2 a r2 b 2 0 2 a La solution de l’équation différentielle s’écrit donc : u C (t) A1er1t A2er2t On peut utiliser les conditions initiales pour expliciter les constantes A1 et A2. C’est parce que le circuit est du deuxième ordre qu’existent ces deux constantes et qu’il faut deux conditions initiales pour les déterminer. La continuité de la tension aux bornes du condensateur implique que u C t 0 E . La continuité de l’intensité dans la bobine implique que i t 0 0 . On obtient alors deux équations à deux inconnues qui nous permettent de déterminer A1 et A2 u C t 0 A1 A 2 E du C (0) i t 0 C dt r1A1 r2A 2 0 r2 A 2 - r A 2 E 1 A = - r2 A 2 1 r1 A1 A 2 E r2 A 2 A = 1 r1 61 ANJOUMI Nourddin-DAOUZI Hamza École Normale Supérieure Er1 A2 r r 1 2 A = - Er2 1 r1 r2 Donc u C (t) Finalement : 2016/2017 Er2 r1t Er1 r2t e e r2 r1 r2 r1 Tracé de 𝑈𝑐 (𝑡) en fonction de t pour différentes valeurs de λ : Fig.42 Tension aux bornes du condensateur en régime apériodique libre du circuit RLC série b- Régime critique : 0 Si 0alors 0 1 2 1 1 2 donc Q 1 2 0 Le polynôme admet une racine double négative : r = r1 r2 0 La solution de l’équation différentielle [36] s’écrit donc : u C (t) A1t A2 ert A1t A 2 e-t Pour la détermination des constantes on utilise les mêmes conditions que précédemment : uC t 0 A2 E du C (0) i t 0 C dt A 2 A1 0 A2 E A1 = A 2 E 62 ANJOUMI Nourddin-DAOUZI Hamza École Normale Supérieure 2016/2017 u C (t) E t 1 e-t La solution s’écrit donc : Le régime critique étant le premier régime apériodique, l’allure de la courbe est identique à celle du régime apériodique, le "retour à l’équilibre" se fait plus rapidement. Fig.43 Tension aux bornes du condensateur en régime critique libre du circuit RLC série c- Régime pseudo-périodique : 0 Si 0alors 0 1 2 1 1 2 donc Le polynôme admet deux racines complexes conjuguées. Si on pose r1 + j 2 r2 j La solution de l’équation différentielle vérifiée par u C (t) est donc : u C (t) c1er1t c2er2t On peut écrire aussi u C (t) comme suit u C (t) et A1cos(t) A2sin(t) Avec A1 C1 C2 et A2 j C1 C2 des constantes réelles. Et ceci, parce que : e jωt cos ωt jsin (ωt ) et e -jωt cos ωt jsin (ωt ) Pour calculer A1 et A2 on utilise les conditions initiales u C t 0 A1 E : 63 Q 1 2 , on a : ANJOUMI Nourddin-DAOUZI Hamza École Normale Supérieure 2016/2017 i t 0 C A1+ A2 0 A2 Donc A1 E La solution s’écrit donc : u C (t) E cos(t) sin(t) et Cette solution se découpe en deux parties : – Une partie oscillante à la pulsation E – Une amplitude décroissance de manière exponentielle. Fig.44 Tension aux bornes du condensateur en régime pseudopériodique libre du circuit RLC série On observe donc des oscillations électriques à la pulsation , donc de pseudo-période : T 2 2 0 1 2 On parle de pseudo-période car l’amplitude décroît. La pseudo-période est voisine mais plus grande que la période propre du circuit (celle qui correspond à un circuit non amorti (R=0)). Plus l’amortissement est fort ( ), plus la pseudo-période s’éloigne de la période propre. Le décrément logarithmique : On définit le décrément logarithmique par : 1 u C (t) ln n u C (t + nT) Cette quantité mesure la décroissance des amplitudes. Remarque : le décrément logarithmique n’a de sens que si le régime est pseudo périodique. 64 ANJOUMI Nourddin-DAOUZI Hamza École Normale Supérieure 2016/2017 1.2. Régime forcé (phénomène de résonance) Ce paragraphe est l’occasion d’utiliser la notation complexe 1.2.1. Équation différentielle, régime transitoire, régime permanent Si on étudie classiquement le circuit de la figure(Doc.40), on établit l’équation différentielle vérifiée par uC(t) à l’aide de la loi des mailles ; on obtient l’équation différentielle : d2u C du LC 2 RC C u C Ecos( t) dt dt La solution de cette équation différentielle est la somme de la solution de l’équation homogène (équation différentielle sans second membre) et d’une solution particulière. On rappelle que : — La solution de l’équation homogène correspond au régime transitoire ; — La solution particulière correspond au régime permanent. Nous connaissons la forme du régime transitoire puisqu’il a été étudié dans le paragraphe de plus celui-ci est souvent bref. Le but étant ici d’étudier le régime forcé (c’est dans celui-ci que l’on peut observer un phénomène appelé résonance), on ne s’intéressera qu’à la solution particulière. 1.1, 1.2.2. Solution particulière et notation complexe Pour exprimer cette solution, on utilise le diviseur de tension en notation complexe sur la figure (Doc.40). On a ainsi : 1 jC Ee j u C (t) e(t) e(t) 1 ZC Z L Z R 1 LC2 jRC jC R jC ZC Toutes les informations pour caractériser le signal réel sont contenues dans l’amplitude complexe définie par : UC E 1 LC2 jRC Intéressons-nous à l’amplitude du signal réel et à son déphasage (déphasage de uC(t) par rapport à e(t)). a- Amplitude L’amplitude de uC(t) est donnée par le module de l’amplitude complexe : UC UC E 1 LC RC 2 65 2 2 ANJOUMI Nourddin-DAOUZI Hamza École Normale Supérieure 2016/2017 b- Déphasage Pour obtenir , on prend l’argument de U C . Celui-ci vaut : si 1 > LC𝜔2 E Arg(U C ) Arg 2 1 LC jRC Arg(E) - Arg 1 LC2 jRC Arg 1 LC2 jRC D’où : φ = -arctan 𝑅𝐶𝜔 1−𝐿𝐶𝜔 2 si 1 > LC𝜔2 et φ = -arctan 𝑅𝐶𝜔 1−𝐿𝐶𝜔 2 si 1 < LC𝜔2 Pour obtenir , on prend l’argument de U C . Celui-ci vaut : E Arg(U C ) Arg 2 1 LC jRC Arg(E) - Arg 1 LC2 jRC Arg 1 LC2 jRC Arg 1 LC2 jRC Arg j j(1 LC2 ) + RC Arg j Arg RC j(1 LC2 ) 1 LC2 Arctan 2 RC 1 LC2 + Arctan 2 RC Ici on fait apparaître l’argument d’un nombre complexe dont la partie réelle est positive, donc le cosinus de l’argument de ce complexe est positif et on peut écrire arctan() . 1.2.3. Étude du phénomène de résonance en tension uc Cette étude consiste à tracer, en fonction de la pulsation d’excitation en fonction de notre variable réduite x (ou de la fréquence) ou , le comportement de l’amplitude du signal uC(t) et 0 de son déphasage par rapport à e(t). 66 ANJOUMI Nourddin-DAOUZI Hamza École Normale Supérieure 2016/2017 a- Étude de l’amplitude UC Rappelons l’expression de celle-ci : E 1 LC2 jRC On peut introduire dans cette expression les variables réduites, vues en partie 1.1.2 de ce chapitre : soit 0 1 la pulsation propre du circuit, on définit une grandeur sans dimension LC ; on utilise également le facteur de qualité : 1 L Ce qui donne : x Q R C 0 UC E 1 x2 j x Q E U C 1 x 2 2 x Q 2 E g(x) Conseil : Lorsqu’une fonction g se présente sous la forme d’une racine il est toujours préférable de dérivé g2. Donc on étude la fonction f (x) g(x) 2 Pour étudier celle-ci, il nous faut sa dérivée : f (x) 4x 1 x 2 2x 1 4x x 2 1 2 Q 2Q2 Cette dérivée s’annule pour x 0 et pour x 1 2 Cette deuxième condition implique que x 1 Q 1 2 Q 2 1 1 1 0 soit donc 2 si et seulement si 2Q 2Q2 1 . On distingue alors deux cas : 2 Cas d’un petit facteur de qualité : Q 1 2 La dérivée f x ne s’annule que pour x 0 , f (x) est croissante (4x croissant et x 2 1 croissant) dans ]0, [ . Donc la fonction d’amplitude UC est décroissante sur] ]0, [ . Ces limites sont : lim UC (x) 0et lim UC (x) 0 x 0 x 67 1 2Q2 ANJOUMI Nourddin-DAOUZI Hamza École Normale Supérieure 2016/2017 L’allure de cette fonction est donc dessinée ci-contre. Pas de résonance en tension aux bornes 1 2 du Condensateur lorsque Q Fig.45 Tension aux bornes du condensateur en fonction de x Cas d’un grand facteur de qualité : Q 1 2 1 , racine du polynôme du second 2Q2 Cette fois f’(x) possède deux racines, x 0 et x 1 degré contenu dans f’(x). f’ x est du signe du polynôme du second degré, donc du signe du "a" de ce polynôme partout sauf entre les racines. On sait aussi que UC (x) varie de façon inverse à f x . On peut dresser le tableau de variation suivant : x x 1 0 1 2Q 2 - f (x) + f (x) U C,Max UC (x) 2Q2 E 4Q2 1 0 E Il y a donc un maximum d’amplitude pour x x r 1 appelle résonance en tension. 68 1 , c’est ce phénomène que l’on 2Q2 ANJOUMI Nourddin-DAOUZI Hamza École Normale Supérieure 2016/2017 A la résonance, UC (x) est maximum et est supérieure à E : c’est ce que l’on appelle la surtension. Dessinons l’allure de l’amplitude UC en fonction de x pour plusieurs valeurs de facteur de qualité Doc.46 Résonance de la tension aux bornes du condensateur en fonction de la pulsation et du facteur de qualité Nous observons que : - La résonance est d’autant plus aigüe (pic étroit) que le facteur de qualité est grand ; -Plus ce facteur est grand, plus la pulsation de résonance tend vers la pulsation propre du circuit (puisque x tend vers 1) en restant toujours inférieure à elle ; 0 - La surtension est d’autant plus grande que le facteur de qualité est grand. b- Étude de la phase 2 1 x Rappelons son expression + Arctan 2 x Q 1 x2 Appelons f (x) x Q 1 1 1 Q 2 1 2 x x f '(x) est négative quelque soit Q, la fonction f (x) est donc décroissante Calculons sa dérivée : f (x) Q La fonction arctan(x) étant croissante, au final Calculons également les limites de x décroît. 2 1 x lim x + lim Arctan 0 x 0 2 x 0 2 2 x Q 69 ANJOUMI Nourddin-DAOUZI Hamza École Normale Supérieure 2016/2017 2 1 x lim x + lim Arctan x 2 x 2 2 x Q Et enfin, on peut regarder quelle est la valeur de lorsque x = 1 soit 0 : (x 1) Tout ceci nous donne une bonne idée de l’allure de la courbe de phase que voici : 2 Doc.47 Évolution du déphasage en fonction de la fréquence et du facteur de qualité 1.2.4. Étude du phénomène de résonance en courant Si on faire la même étude que précédente on trouvera qu’il y a toujours résonance en intensité quelque soit la valeur du facteur de qualité, cette résonance a toujours lieu pour 0 et le maximum atteint a toujours la valeur E R Voici les courbes que l’on peut obtenir : Doc.48 Résonance de l’intensité en fonction de la pulsation et du facteur de qualité 70 ANJOUMI Nourddin-DAOUZI Hamza École Normale Supérieure 2016/2017 1.2.5. Étude de l’impédance Cette étude, plutôt qualitative va nous permettre de voir le comportement du circuit en fonction de la fréquence et du déphasage de la tension du générateur par rapport à l’intensité. L’impédance complexe équivalente du circuit a pour expression : Z =R+jL+ 1 jC Donc une impédance réelle (module de l’impédance complexe) égale à : 1 Z = R + L C 2 2 Que se passe t-il en fonction de la fréquence ? — En basse fréquence, 0 , l’impédance tend vers l’infini à cause de la partie capacitive : cela induit également un déphasage de / 2 entre la tension et l’intensité (un retard de la tension par rapport à l’intensité ; — En haute fréquence, , l’impédance tend également vers l’infini à cause de la partie inductive : cela induit un déphasage de / 2 entre la tension et l’intensité ; — A la résonance, lorsque 0 , les parties capacitive et inductive se compensent, et l’impédance est une résistance : il n’y a pas de déphasage entre tension et courant. 71 ANJOUMI Nourddin-DAOUZI Hamza École Normale Supérieure 2016/2017 Chapitre IV SEMI-CONDUCTEURS Un peu d’histoire L’utilisation des semi-conducteurs sous forme cristalline remonte au début du siècle dernier. On constata que la galène (sulfure de plomb polycristallin) jouait le rôle d’une diode lorsqu’on réalisait un contact entre une pointe métallique et un de ses cristaux. Les redresseurs à l’oxyde de cuivre, puis au silicium ont été également utilisés, grâce à leur caractère unidirectionnel. Vers 1942-1945, on fabrique le premier monocristal de germanium. L’équipe de la Bell, formée de Shockley, Bardeen et Brattain crée, en 1947, le premier transistor bipolaire à jonctions. En 1952, ce dernier publie la théorie du transistor à effet de champ ; Dacey et Ross réalisent le premier élément en 1953, avec du germanium. Puis le silicium prend peu à peu l’avantage sur le germanium, grâce à sa gamme de température d’utilisation plus large et son traitement plus facile. En 1962, à partir de la théorie élaborée, deux ans auparavant, par Kahng et Attala (Bell), Hofstein et Heiman (RCA) réalisent le premier transistor MOS. Vers la même époque, en 1959, Texas brevète le circuit intégré et Fairchild, en 1960, met au point le procédé planar. L’ère du circuit intégré est commencée ! 1. Notions sur les semi-conducteurs 1.1. Introduction Pour comprendre le fonctionnement des composants électroniques, il faut tout d’abord étudier les semi-conducteurs, matériaux qui ne sont ni conducteurs, ni isolants. 1.2. Semi-conducteurs Les semi-conducteurs sont caractérisés par les propriétés suivantes : - Ils se placent entre les conducteurs et les isolants. - Ils possèdent une résistivité intermédiaire entre celle des conducteurs et celle des isolants - Ils se comportent comme des isolants aux basses températures lorsque l’agitation thermique est faible et comme des conducteurs aux températures élevées. - La résistivité d’un semi-conducteur diminue quand la température augmente. 1.3. Semi-conducteurs purs ou intrinsèques Lorsque le corps est parfaitement pur, il est qualifié d’intrinsèque. Exemples : Silicium (Si), Germanium (Ge), Sélénium (Se) Doc.49Atome de Silicium 72 ANJOUMI Nourddin-DAOUZI Hamza École Normale Supérieure 2016/2017 Le Silicium est un atome tétravalent : Il possède 4 électrons de valence qui vont se mettre en commun avec d’autres atomes de Silicium pour avoir la forme cristalline (Doc.45). Doc.50 Cristal de Silicium A la température 0 K toutes les liaisons covalentes sont maintenues. C’est un bon isolant : pas d’électrons libres. Lorsque la température du cristal augmente, certains électrons de valence quittent leurs places, certaines liaisons covalentes sont interrompues. On dit qu’il y a rupture de la liaison covalente et par conséquent : - libération de certains électrons qui vont se déplacer librement conduction du courant électrique. + - il reste une liaison rompue (un ion Si ) naissance d’une paire de charge : électron libre (charge négative) et trou (charge positive). 1.4. Semi-conducteurs dopés ou extrinsèques 1.4.1. Dopage des semi-conducteurs Le dopage est l’introduction dans un semi-conducteur intrinsèque de très faible quantité d’un corps étranger appelé dopeur. Pour les semi-conducteurs usuels (Si, Ge), les dopeurs utilisés sont : - soit des éléments pentavalents : ayant 5 électrons périphériques. Exemples : l’Arsenic (As), l’Antimoine (Sb), le Phosphore (P),… - soit des éléments trivalents : ayant 3 électrons périphériques. Exemples : le Bore (B), le Gallium (Ga), l’Indium (In),… Ces dopeurs sont introduits en très faible dose (de l’ordre de 1 atome du dopeur pour atomes du semi-conducteur). Après le dopage, le semi-conducteur n’est plus intrinsèque mais extrinsèque. 106 1.4.2. Semi-conducteur extrinsèque type N Le dopeur utilisé appartient à la famille des pentavalents (As, Sb, P,…). L’atome dopeur s’intègre dans le cristal de semi-conducteur, cependant, pour assurer les liaisons entre atomes voisins, 4 électrons sont nécessaires : le cinquième est donc en excès et n’à pas de place pour lui. On dit que le dopeur est un donneur (N) d’électrons (porteurs de charge Négative). Il faut noter que cet électron lorsqu’il quitte son atome, il laisse à sa place un ion positif fixe (Doc.46). 73 ANJOUMI Nourddin-DAOUZI Hamza École Normale Supérieure 2016/2017 Doc.51 Un atome d’Arsenic incorporé dans le cristal de semi-conducteur 1.4.3. Semi-conducteur extrinsèque type P Le dopeur utilisé appartient à la famille des trivalents (B, Ga, In,…). L’atome dopeur s’intègre dans le cristal de semi-conducteur, cependant, pour assurer les liaisons entre atomes voisins, 4 électrons sont nécessaires alors que le dopeur ne porte que 3, il y a donc un trou disponible susceptible de recevoir un électron. Un électron d’un atome voisin peut occuper ce trou. L’atome du dopeur devient un ion négatif fixe. L’atome quitté par l’électron, aura un trou et une charge positive excédentaire. On dit que le dopeur est un accepteur (P) d’électrons. (Doc.47). Doc.52 Un atome d’Indium incorporé dans le cristal de semi-conducteur 1.5. Jonction P-N La représentation simplifiée d’un semi-conducteur type N est comme suit : La représentation simplifiée d’un semi-conducteur type P est comme suit : 74 ANJOUMI Nourddin-DAOUZI Hamza École Normale Supérieure 2016/2017 L’union dans un même cristal u d’un semi-conducteur type P et d’un semi-conducteur type N fait Z Z Le module à la limite des zones dePl’impédance complexe est l’impédance du dipôle. apparaître et N, une zone de transition appelée : Jonction P-N (Doc.48). i Doc.53 Jonction P-N 1.5.1. Jonction P-N non polarisée Au niveau de la jonction P-N : - les électrons libres de la partie N diffusent vers les trous disponibles de la partie P - les trous disponibles de la partie P diffusent vers la partie N et piègent des électrons. Il y a recombinaison électron-trou. Les parties P et N étant initialement neutres, la diffusion des électrons et des trous a pour effet de charger positivement la partie N, négativement la partie P d’où la création d’un champ électrique interne. Ce champ repousse les porteurs majoritaires de chaque partie et arrête la diffusion (Doc.49). Entre les deux parties P et N apparaît alors une d.d.p. appelée aussi barrière de potentiel de l’ordre de 0,7 V pour le Silicium, 0,3 V pour le Germanium. Doc.54 Jonction P-N non polarisée à l’équilibre 1.5.2. Jonction P-N polarisée a- Polarisation en direct Lorsqu’une tension positive est appliquée entre la partie P et la partie N ( U PN 0 ), la jonction P-N est polarisée en direct (Fig.50). Cela revient à superposer au champ interne E i , un champ externe E, le champ résultant a pour effet de diminuer la largeur de la barrière de potentiel et par conséquent, le nombre de porteurs majoritaires capables de franchir la jonction augmente. 75 ANJOUMI Nourddin-DAOUZI Hamza École Normale Supérieure 2016/2017 Doc.55 Jonction P-N polarisée en direct A partir d’un certain seuil de tension U0 de l’ordre de 0,7 V pour le Silicium, les porteurs de charge peuvent franchir librement la jonction P-N, celle-ci devient passante et un courant direct s’établit. b- Polarisation en inverse Lorsqu’une tension négative est appliquée entre la partie P et la partie N ( U PN 0 ), la jonction P-N est polarisée en inverse (Doc.51). Le champ résultant a pour effet d’empêcher la circulation des porteurs majoritaires. La jonction est bloquée. Le courant inverse est pratiquement nul. Doc.56 Jonction P-N polarisée en inverse 2. Diode à jonction Une diode à jonction est un composant électronique constitué de deux électrodes : l’Anode (A) et la Cathode (K). Une diode est un élément ayant la propriété d’être conducteur pour un certain sens du courant et non conducteur pour l’autre sens. Symbole : 76 ANJOUMI Nourddin-DAOUZI Hamza École Normale Supérieure 2016/2017 2.1. Polarisation de la diode Fig.57 Polarisation en directe Polarisation en inverse En polarisation directe, la tension appliquée ( U AK 0 ) permet le passage d’un courant électrique de l’anode vers la cathode appelé courant direct. On dit que la diode est passante. En polarisation inverse, la tension appliquée ( U AK 0 ) empêche le passage du courant. Le courant inverse est pratiquement nul. On dit que la diode est bloquée. 2.2. Caractéristique statique courant-tension d’une diode à jonction Cette caractéristique décrit l’évolution du courant traversant la diode en fonction de la tension à ses bornes en courant continu. Fig.58 Caractéristiques statiques courant-tension Si la tension inverse (tension U AK ) aux bornes de la diode devient trop importante, il y a un risque de destruction de la diode par échauffement de la jonction PN. Les constructeurs précisent la tension de claquage inverse ; elle correspond à la tension maximum que peut supporter une diode en polarisation inverse. 77 ANJOUMI Nourddin-DAOUZI Hamza École Normale Supérieure 2016/2017 La caractéristique n’est pas linéaire donc la diode est un dipôle non linéaire et passe par l’origine donc la diode est un dipôle passif. Les grandeurs I et U AK sont liées par la relation suivante : AK qU K BT I IS e 1 Où IS est le courant de saturation dépend de la température ; K B constante de Boltzmann ; q la charge élémentaire ; T la température en Kelvin 2.3. Schémas équivalents d’une diode à jonction Il existe deux types de caractéristiques de la diode : - Caractéristique Semi-réelle (linéarisée). - Caractéristique Idéale. Suivant l’étude que l’on veut mener, on prendra l’une ou l’autre de ces caractéristiques. 2.3.1. Caractéristique linéarisée d’une diode à jonction La caractéristique de la diode peut se rapprocher par deux portions de droites : Fig.59 Caractéristiques linéarisée de la diode US et R d : tension de seuil et résistance dynamique de la diode. - En polarisation directe et pour I>0 , la diode est équivalente à un récepteur de f.c.é.m. US et de résistance interne ( R d U AK ). I 78 ANJOUMI Nourddin-DAOUZI Hamza École Normale Supérieure 2016/2017 Fig.60 Schéma équivalent de la diode polarisée en direct -En polarisation inverse : pour U AK 0 , I 0 , la diode est équivalente à un interrupteur ouvert. Fig.61 Schéma équivalent de la diode polarisée en inverse 2.3.2. Caractéristique idéalisée d’une diode à jonction En polarisation directe : La diode est passante ( I 0 et U AK 0 ). En polarisation inverse : La diode est bloquée ( I 0 et U AK 0 ). Fig.62 Caractéristique idéalisée de la diode 79 ANJOUMI Nourddin-DAOUZI Hamza École Normale Supérieure 2016/2017 3. Exemples d’utilisation des diodes à jonction 3.1. Redresseur simple alternance 3 .1.1. Schéma de montage u(t) u M cos(t) u M cos(2f.t) Fig.63 Redresseur simple alternance 3.1.2. Principe de fonctionnement : Hypothèse : On suppose que la diode est idéale. Pendant l’alternance positive de la tension u ( u 0 ), la diode D est polarisée en direct donc elle est passante ( i 0 et u d 0 ) donc uR u – ud u Pendant l’alternance négative de la tension u ( u 0 ), la diode D est polarisée en inverse donc elle est bloquée ( i 0 et u d 0 ) donc u R 0 . Fig.64 Allures des tensions u et uR 3.2. Redressement double alternance à pont de Graetz 3.2.1. Schéma de montage Fig.65 Redresseur double alternance à pont de Graetz 80 ANJOUMI Nourddin-DAOUZI Hamza École Normale Supérieure 2016/2017 3.2.2. Principe de fonctionnement : On a toujours u(t) u M cos(t) u M cos(2f.t) Hypothèse : les diodes sont supposées idéales. Pendant l’alternance positive de u(t) : D3 et D4 conduisent, D1 et D2 bloquées donc u R u Pendant l’alternance négative de u D1 et D2 conduisent, D3 et D4 bloquées donc u R u 4. Diode Zener Une diode Zener est une diode spécialement conçue pour exploiter le claquage inverse. La tension de claquage est appelée tension Zener. Symboles : 81 ANJOUMI Nourddin-DAOUZI Hamza École Normale Supérieure 2016/2017 4.1. Caractéristique statique courant-tension d’une diode Zener En polarisation directe, une diode Zener est équivalente à une diode normale. En polarisation inverse, la diode conduit lorsque la tension inverse U KA devient supérieure à la tension Zener U Z . La caractéristique linéarisée conduit à l’équation : UKA Uz R z Ii où R z est la résistance dynamique inverse. Dans ce cas La diode Zener est équivalente au modèle suivant : Fig.66 Schéma équivalent à une diode Zener polarisée en inverse VZ est appelée tension ZENER. Les constructeurs précisent la valeur de la tension ZENER : 0,78 à 200 V (plage de variation de la tension Zener). La valeur maximale IZmax du courant IZ pouvant traverser la diode et la puissance dissipée : PZ Vz I z dans la zone Zener sont aussi des caractéristiques de choix importantes. Remarque : La valeur de Vz tension Zener est fortement dépendante de la température de la diode. On note le coefficient Vz en (%/C°) fixant en pourcentage la variation de la tension de référence Vz en fonction de la température. Il existe des procédés électroniques de compensation en température de la jonction de la diode. 82 ANJOUMI Nourddin-DAOUZI Hamza École Normale Supérieure 83 2016/2017 ANJOUMI Nourddin-DAOUZI Hamza École Normale Supérieure 2016/2017 Conclusion générale Ce mémoire est divisé en deux parties (Électrocinétique, électronique), il est destiné aux étudiants des premières années de licence scientifique. Ce manuel couvre les notions d’électrocinétique et électronique abordées lors du premier cycle universitaire. La première partie contient trois chapitres, alors que la deuxième partie présente quatre chapitres. Chaque chapitre met l'accent sur les points fondamentaux du cours, en illustrant des exemples classiques d'application qui permettent à l’étudiant de « tester » immédiatement sa bonne compréhension Dans ce cours les notions sont abordées de manière progressive pour donner une vue d’ensemble de la matière. En raison du manque du temps, on n’a pas pu mettre l’accent sur les points suivants : Étude des transistors et les amplificateurs opérationnels qui seront objet d’un autre mémoire pour l’année prochaine 84 ANJOUMI Nourddin-DAOUZI Hamza École Normale Supérieure 2016/2017 Bibliographie INTRODUCTION À L’ÉLECTRONIQUE ANALOGIQUE-Tahar Neffati Électronique PCSI - P.Krempf - Editions Bréal 2003 h-prepa-Électronique_Électrocinétique_1re_année_MPSI J’intègre tout – en – un.1𝑟𝑒 Année MPSI-PCSI-PTSI J’intègre tout – en – un.2è𝑚𝑒 Année MANUEL DE GÉNIE ÉLECTRIQUE-Guy Chateigner-Michel Boës-Daniel Bouix-Jacques Vaillant-Daniel Verkindère Physique Cours compagnon PCSI - T.Cousin / H.Perodeau - Editions Dunod 2009 WEBOGRAPHIE Site de Jimmy Roussel : http://femto-physique.fr/ http://Électronique.com http://almohandiss.com/index.php/espace-etudiant/electronique-analogique/electroniqueanalogique-regime-continu http://www.eyrolles.com/Sciences/Livre/bases-de-l-electronique-analogique 85
