Quadripôles A. Définition Beaucoup de réseaux peuvent être considérés comme ayant deux paires de bornes : une paire en entrée sur laquelle est appliqué un signal et une paire en sortie par laquelle est extrait le signal traité. Ce type de réseaux est dénommé quadripôle. Figure 1 : Notion de quadripôle Du point de vue électrique un quadripôle est caractérisé par quatre grandeurs : tension et courant d'entrée (ve et ie), tension et courant de sortie (vs et is). Par convention le choix d’orientation des intensités correspond aux courants "entrants" (fig. 1). Le quadripôle est dit linéaire s’il existe des relations linéaires entre ces quatre grandeurs. C’est le cas lorsque celles-ci sont reliées par un système différentiel linéaire de deux équations à coefficients constants. Le signal peut être la tension ou le courant fournis par la source. La charge peut par exemple être un système de mesure. B Notations matricielles Il existe six combinaisons possibles pour exprimer deux variables parmi quatre en fonction de deux autres. Parmi ces six combinaisons trois sont employées intensivement en électronique parce que les paramètres correspondants sont faciles à mesurer. B.1. Matrice admittance Les paramètres d'admittance sont utilisés pour relier les courants aux tensions : i e = y11 v e + y12 v s i s = y 21 v e + y 22 v s i e y11 ou = i y s 21 y12 v e ou (i) = ( y) ( v) y 22 v s Les noms spécifiques des paramètres décrivant un quadripôle linéaire, qui peuvent dépendre de la fréquence, sont dérivés des caractéristiques tension-courant. Par exemple les paramètres d’admittance correspondent aux entrée ou sortie en court-circuit. S. Tisserant – ESIL – Matériaux – Electronique analogique – 2011-2012 IV-1 Pour les paramètres d’admittance nous notons : y11 = y 21 = y12 = y 22 = ie ve admittance d’entrée à sortie en court-circuit vs = 0 is ve admittance de transfert à sortie en court-circuit vs = 0 ie vs admittance de réaction à entrée en court-circuit ve = 0 is vs admittance de sortie à entrée en court-circuit ve = 0 L'unité des paramètres de la matrice d'admittance, homogènes à l’inverse d’une résistance, est le siemens ou le mho. Le courant d'entrée est égal à la somme de deux termes : - Le premier y11 ve correspond au courant traversant à une impédance 1/y11 soumise à une tension ve ; - Le second y12 vs dépend de la tension de sortie. Cela suggère que l’entrée du quadripôle peut être modélisée par une impédance en parallèle avec une source de courant commandée. Nous pouvons interpréter l'expression du courant de sortie d'une manière similaire. La figure 2 illustre la modélisation d’un quadripôle correspondant à ses paramètres d’admittance. Figure 2 : Modélisation des paramètres d’admittance S. Tisserant – ESIL – Matériaux – Electronique analogique – 2011-2012 IV-2 B.2. Matrice impédance La matrice impédance est l'inverse de la matrice admittance, elle relie les tensions aux courants : v e = z11 i e + z12 i s v s = z 21 i e + z 22 i s v e z11 ou = v z s 21 z12 i e ou ( v) = (z) (i) z 22 i s Nous pouvons exprimer les paramètres z en fonction des paramètres y : (z ) = ( y) −1 = y11 y 22 y 22 1 − y12 y 22 − y 21 − y12 y11 Les tensions d’entrée et de sortie s’expriment chacune comme la somme de deux termes. Ce qui peut être modélisé par deux dipôles en série : une impédance et une source de tension commandée. Le schéma équivalent du quadripôle avec les paramètres d’impédance est présenté sur la figure 3. Figure 3 : Modélisation des paramètres d’impédance La nomenclature des paramètres d’impédance est la suivante : z11 = z 21 = z12 = ve ie impédance d’entrée à sortie ouverte is = 0 vs ie impédance de transfert à sortie ouverte is = 0 ve is impédance de réaction à entrée ouverte ie = 0 S. Tisserant – ESIL – Matériaux – Electronique analogique – 2011-2012 IV-3 z 22 = vs is impédance de sortie à entrée ouverte ie = 0 B.3. Matrice hybride Les paramètres hybrides, ou paramètres h, relient la tension d'entrée et le courant de sortie au courant d'entrée et à la tension de sortie. Ils sont définis par : v e = h 11 i e + h 12 v s i s = h 21 i e + h 22 v s v e h 11 ou = i h s 21 h 12 i e h 22 v s Ces paramètres sont dits hybrides en raison des dimensions différentes des éléments. En entrée la tension s’exprime comme la somme de deux termes, ce qui peut être modélisé par deux dipôles en série : une impédance et une source de tension commandée. En sortie le courant s’exprime comme la somme de deux termes. Cela peut être représenté par deux dipôles en parallèle : une impédance et une source de courant commandée. Le schéma équivalent du quadripôle dans cette représentation est présenté sur la figure 4. Figure 4 : Modélisation d’un quadripôle au travers de ses paramètres hybrides Les dénominations des paramètres hybrides sont les suivantes : h11 = h 21 = h12 = ve ie impédance d’entrée à sortie en court-circuit vs = 0 is ie gain direct en courant à sortie en court-circuit vs = 0 ve vs coefficient de réaction interne à entrée ouverte ie = 0 S. Tisserant – ESIL – Matériaux – Electronique analogique – 2011-2012 IV-4 h 22 = is vs admittance de sortie à entrée ouverte ie = 0 B.4. Matrice de transfert et matrice de chaîne La matrice de transfert permet d'exprimer les tension et courant de sortie en fonction des tension et courant d'entrée. Cette représentation est utile lorsqu’on relie deux quadripôles en chaîne (fig. 7), la sortie du premier correspond alors à l’entrée du second. Il faut cependant faire attention à l’orientation des courants : le courant d’entrée du second est l’opposé du courant de sortie du premier. Avec notre convention la matrice de transfert est définie par : v s = t 11 v e − t 12 i e i s = t 21 v e − t 22 i e v s t 11 ou = i t s 21 t 12 v e t 22 − i e La matrice de chaîne relie les tension et courant d’entrée aux tension et courant de sortie. Avec notre convention elle est définie par : v e = a 11 v s − a 12 i s i e = a 21 v s − a 22 i s v e a 11 a 12 v s ou = i a e 21 a 22 − i s Nous pouvons exprimer les paramètres de la matrice de transfert en fonction des paramètres de la matrice de chaîne et vice-versa : (t ) = a 11 a 22 1 − a 12 a 22 a 22 a 21 a 12 1 et (a ) = t 11 t 22 − t 12 t 22 a 11 t 22 t 21 t 12 t 11 B.5. Relations entre matrices De manière évidente, il existe des relations entre tous les éléments des matrices décrivant un même quadripôle. Nous pouvons par exemple chercher à exprimer la matrice impédance (z) en fonction de la matrice de transfert (t). Commençons par le premier élément que nous pouvons écrire sous la forme suivante : z11 = ve ie is = 0 Or le courant de sortie peut s’exprimer en fonction de la tension et du courant d’entrée, ce qui nous donne : S. Tisserant – ESIL – Matériaux – Electronique analogique – 2011-2012 IV-5 i s = t 21 v e − t 22 i e = 0 ⇔ t 21 v e = t 22 i e ⇔ z11 = t 22 t 21 Considérons maintenant l’impédance de transfert à sortie ouverte : z 21 = vs ie is = 0 En utilisant l’expression de la tension de sortie en fonction de la tension et du courant d’entrée il vient : t t t −t t v s = t 11 v e − t 12 i e = t 11 22 i e − t 12 i e = 11 22 12 21 i e t 21 t 21 Donc : z 21 = t 11 t 22 − t 12 t 21 t 21 ∆t t 21 = où ∆t représente le déterminant de la matrice de transfert. Les deux autres impédances correspondent à l’entrée ouverte, ce qui nous permet d’écrire : v s = t 11 v e ie = 0 ⇒ i s = t 21 v e Ce qui donne : z12 = ve is i = 0 e = 1 t 21 et z 22 = vs is i = 0 e = t 11 t 21 Nous pouvons résumer ces résultats sous la forme : z11 z 21 z12 t = 1 22 z 22 t 21 ∆t 1 t 11 C. Associations de quadripôles C.1. Association en parallèle La figure 5 illustre le principe d’association de deux quadripôles en parallèle. Les deux quadripôles sont soumis aux mêmes tensions ve et vs en entrée et en sortie. Les intensités des courants du quadripôle équivalent correspondent aux sommes des intensités des deux quadripôles : i e = i' e +i"e i s = i's +i"s S. Tisserant – ESIL – Matériaux – Electronique analogique – 2011-2012 IV-6 Les matrices d’admittance sont les mieux adaptées pour déterminer les caractéristiques du quadripôle équivalent. Figure 5 : Quadripôles en parallèle Nous avons en effet pour les deux quadripôles : i' e v i" v = (y') e et e = (y") e i' v i" v s s s s Ce qui nous permet d'écrire : ie v = (y ) e avec ( y) = ( y' ) + ( y" ) i v s s La matrice admittance du quadripôle équivalent est donc égale à la somme des matrices admittances. C.2. Association en série La figure 6 illustre le principe d’association de deux quadripôles en série. Les deux quadripôles sont traversés par un même courant en entrée il en est de même en sortie. Les tensions d’entrée et de sortie du quadripôle équivalent correspondent aux sommes des tensions : v e = v' e + v"e v s = v's + v"s Utilisons les matrices d’impédance, nous avons pour les deux quadripôles : v' e i v" i = (z') e et e = (z") e v' i v" i s s s s S. Tisserant – ESIL – Matériaux – Electronique analogique – 2011-2012 IV-7 Ce qui nous permet d'écrire : ve i = (z ) e avec (z) = (z' ) + (z" ) v i s s La matrice impédance du quadripôle équivalent est donc égale à la somme des matrices impédances. Figure 6 : Quadripôles en série C.3. Association en chaîne ou en cascade La figure suivante illustre le chaînage de deux quadripôles. Figure 7 : Quadripôles en chaîne La tension v représente la tension de sortie du premier quadripôle et la tension d’entrée du second. L’intensité i correspond au courant de sortie du premier et à l’opposé du courant d’entrée du second. Avec les notations de la figure 7 nous avons : v v v v = ( t ' ) e et s = ( t" ) i − i i i 2 s Ce qui nous donne : vs v = ( t" ) ( t ' ) e i − i s 2 S. Tisserant – ESIL – Matériaux – Electronique analogique – 2011-2012 IV-8 Soit : vs v = ( t ) e avec ( t ) = ( t" ) ( t ' ) i − i 2 s La matrice de transfert du dipôle équivalent est égale au produit des matrices de transfert. Rappelons que le produit matriciel n'est pas commutatif. D. Exemples de quadripôles élémentaires D.1. Impédance série Considérons le quadripôle ne comportant qu’une seule impédance Z présenté sur la figure suivante. Déterminons certaines de ses représentations. Figure 8 : Impédance série Nous avons : i s = −i e v e − v s = Z i e v s = v e − Z i e ⇒ i s = −i e Nous pouvons donc écrire la matrice de transfert ou la matrice de chaîne : 1 Z 1 Z et (a ) = (t ) = 0 1 0 1 De même pour la matrice admittance : 1 i e = Z ( v e − v s ) ⇒ i = 1 ( v − v ) e s Z s Y − Y avec Y = 1 ( y) = − Y Y Z La matrice (y) a un déterminant nul. Elle ne peut donc pas être inversée et la matrice impédance n'existe pas. S. Tisserant – ESIL – Matériaux – Electronique analogique – 2011-2012 IV-9 D.2. Impédance parallèle Considérons l’autre quadripôle ne comportant qu’une seule impédance Z. Figure 9 : Impédance parallèle En notant i le courant circulant (vers le bas) dans l'impédance Z nous avons : v s = v e = Z i ve ⇒ i = − ie s Z i = i e + i s Nous pouvons donc écrire pour les matrices de transfert et de chaîne : 1 0 1 0 et (a ) = avec Y = 1 (t ) = Y 1 Y 1 Z et pour la matrice impédance : Z Z (z ) = Z Z La matrice admittance n'existe pas. D.3. Quadripôle en T Un quadripôle en T est une structure de trois impédances telle que schématisée sur la figure 11. Il est évidemment possible d’analyser directement un tel quadripôle comme nous l’avons fait pour les deux précédents. Cependant pour illustrer l’utilisation des matrices et des associations, nous nous proposons ici de suivre une autre démarche en commençant par étudier le quadripôle constitué de deux dipôles présenté sur la figure 10. Celui-ci peut être vu comme l’association en cascade d’une impédance série Z1 suivie d’une impédance parallèle Z2. Ces deux quadripôles élémentaires ont respectivement pour matrices de transfert : S. Tisserant – ESIL – Matériaux – Electronique analogique – 2011-2012 IV-10 1 1 Z1 (t1 ) = et ( t 2 ) = Y 0 1 2 0 avec Y = 1 2 Z2 1 Figure 10 : Quadripôle intermédiaire. Le quadripôle a donc pour matrice de transfert : (t) = (t2) (t1). Ce qui nous donne : 1 (t ) = Y 2 01 Z 1 1 = 1 0 1 Y2 Z1 Y2 + 1 Z1 En utilisant le résultat du paragraphe B.5 nous pouvons déterminer sa matrice impédance : Z1 Y2 + 1 1 Z1 + Z 2 = ( z) = Z 2 1 1 Z 2 Z2 Z 2 Revenons au quadripôle en T. Figure 11 : Quadripôle en T Nous pouvons le considérer comme constitué de deux quadripôles en cascade, le premier formé des impédances Z1 et Z3 et le second de l’impédance Z2. Ils ont pour matrices de transfert : Z1 1 1 Z2 et (t" ) = (t ' ) = 0 1 Y3 Z1 Y3 + 1 Ce qui nous donne pour le quadripôle en T : S. Tisserant – ESIL – Matériaux – Electronique analogique – 2011-2012 IV-11 1 Z2 1 ( t ) = ( t" ) ( t ' ) = 0 1 Y 3 Z 2 Y3 + 1 Z1 + Z 2 + Z1 Z 2 Y3 = Z1 Y3 + 1 Y3 Z1 Y3 + 1 Z1 Cette matrice de transfert a pour déterminant ∆t = 1. Nous pouvons en déduire matrice impédance du quadripôle en T : 1 Z1 Y3 + 1 Z1 + Z 3 = ( z) = Z 3 1 Z 2 Y3 + 1 Z 3 Z 2 + Z 3 Z3 Et sa matrice de chaîne : Z Y + 1 Z1 + Z 2 + Z1 Z 2 Y3 (a ) = 1 3 Z2 Y3 + 1 Y3 D.4. Quadripôle en π Considérons le quadripôle présenté sur la figure suivante. Figure 12 : Quadripôle en π Ce quadripôle est équivalent à deux quadripôles en cascade. Par exemple le premier peut correspondre à l’impédance parallèle Z2, le second étant formé des impédances Z1 et Z3. Ils ont alors pour matrices de transfert : 1 (t ' ) = Y2 0 1 et (t ' ' ) = 1 Y3 Z1 Z1 Y3 + 1 Nous pouvons donc écrire pour le quadripôle en π : 1 (t ) = (t" ) (t ' ) = Y3 Z1 1 Z1 Y3 + 1 Y2 0 Z1 Y2 + 1 = 1 Y2 + Y3 + Z1 Y2 Y3 Z1 Z1 Y3 + 1 Nous en déduisons sa matrice de chaîne : S. Tisserant – ESIL – Matériaux – Electronique analogique – 2011-2012 IV-12 Z1 Y3 + 1 (a ) = Y2 + Y3 + Z1 Y2 Y3 Z1 Z1 Y2 + 1 Ces deux matrices ont pour déterminant 1. De manière générale le déterminant des matrices de transfert et de chaîne de tout quadripôle linéaire passif est égal à 1. E. Impédances d'entrée et de sortie d'un quadripôle Considérons le cas très général pour lequel un quadripôle est connecté en sortie à un dipôle charge d'impédance Zu et en entrée à un dipôle source d'impédance interne Z0. Celui-ci est représenté sur la figure 13 par son équivalent de Thévenin. Figure 13 : Quadripôle sur terminaison Lorsqu’il est ainsi terminé nous avons les relations suivantes : v e = e − Z0 i e vs = − Z u i s E.1. Impédance d'entrée Déterminons dans ce cas la relation liant les grandeurs duales en entrée. En utilisant la matrice de chaîne du quadripôle nous pouvons écrire : v e a11 v s − a 12 i s a11 Z u + a 12 = = i e a 21 v s − a 22 i s a 21 Z u + a 22 Ainsi vu de la source, le quadripôle terminé par un dipôle de charge se comporte comme un dipôle d'impédance Ze, dite impédance d'entrée : Ze = v e a11 v s − a12 i s a 11 Z u + a 12 = = i e a 21 v s − a 22 i s a 21 Z u + a 22 Il est possible d’exprimer cette impédance à l’aide des autres représentations du quadripôle. Ainsi avec la matrice d’impédance nous avons : S. Tisserant – ESIL – Matériaux – Electronique analogique – 2011-2012 IV-13 Z e = z11 − z12 z 21 z 22 + Z u E.2. Gain en tension à vide et impédance de sortie Etudions maintenant la relation entre la tension et le courant de sortie. v e = z11 i e + z12 i s vs = z 21 i e + z 22 i s Nous pouvons écrire : v e = z11 i e + z12 i s = e − Z0 i e ⇒ ie = e − z12 i s z11 + Z 0 Ce qui nous donne pour la tension de sortie : v s = z 21 i e + z 22 i s = z 21 e − z12 i s + z 22 i s z11 + Z0 Soit : vs = z 21 z z e + z 22 − 12 21 i s z11 + Z0 z11 + Z0 Ainsi vue de la sortie, la source suivie du quadripôle est équivalente à un générateur de tension en série avec une impédance. Nous avons pour la f.e.m. de ce générateur : e Th = z 21 e = A0 e z11 + Z0 Le coefficient A0 est le gain en tension à vide. L’impédance de l’équivalent de Thévenin est également appelée impédance de sortie Zs. Nous avons : Zs = vs is = z 22 − e=0 z12 z 21 z11 + Z 0 E.3. Impédance caractéristique (ou itérative) L'impédance caractéristique d'un quadripôle correspond à la valeur particulière de l'impédance de charge pour laquelle l'impédance d'entrée est égale à cette même impédance : En utilisant l’expression de l’impédance d’entrée avec les paramètres de la matrice de chaîne nous avons : Ze = Zu = Zc Ce qui nous donne en reportant dans l'expression de l'impédance d'entrée : S. Tisserant – ESIL – Matériaux – Electronique analogique – 2011-2012 IV-14 Ze = Zu = Zc ⇒ Zc = a 11 Z c + a 12 a 21 Z c + a 22 Qui est donc solution de l’équation : a 21 Z c + (a 22 − a 11 ) Z c − a 12 = 0 2 Dans le cas d'un quadripôle symétrique (a11 = a22) nous avons : Zc = 2 a 12 a 21 E.4. Impédance caractéristique d'une ligne Une ligne de transmission est un circuit à constantes réparties. Elle peut être modélisée par une succession de tronçons élémentaires de longueur dx. Chacun de ces tronçons est un quadripôle faisant intervenir, par unité de longueur, une résistance r, une auto-inductance l, une capacité parasite c et une conductance de fuite g, selon le schéma suivant : Figure 14 : Modélisation d’un tronçon de ligne Sauf aux extrémités, la ligne apparaît donc comme une chaîne de quadripôles symétriques en T ou en π : Figure 15 : Impédance itérative Avec : dZ = (r + j l ω) dx et dY = (g + j c ω) dx S. Tisserant – ESIL – Matériaux – Electronique analogique – 2011-2012 IV-15 Si chacun des quadripôles élémentaires est fermé sur son impédance caractéristique il ramène celle-ci aux bornes de sortie du quadripôle élémentaire qui le précède. Ce dernier est alors également fermé sur son impédance caractéristique, et ainsi de suite. L'impédance caractéristique de la ligne correspond donc à l'impédance caractéristique de chaque élément de ligne dx, d'où la dénomination d'impédance itérative. Chaque quadripôle élémentaire (ici en T) a pour matrice de chaîne : dY dZ 1 + 2 (a ) = dY dY dZ 2 4 dY dZ 1+ 2 dZ + Le quadripôle étant symétrique, nous avons pour son impédance caractéristique : Zc = 2 dZ + dY dZ 2 dZ 4 ≈ dY dY Ce qui nous donne : Zc = 2 r + jl ω g + jc ω Pour une ligne sans perte (r = g = 0) nous avons : Zc = l = Rc c L'impédance caractéristique est alors purement résistive et ne dépend pas de la fréquence. Remarque : Dans un système à constantes réparties tel qu'une ligne il faut également tenir compte de la vitesse de propagation des signaux si la longueur de cette ligne est grande devant la longueur d'onde. F. Le décibel Nous pouvons mesurer des grandeurs de même espèce en les comparant à un "étalon" ou unité. Il est également possible de faire leur rapport. Historiquement, les logarithmes décimaux ont été utilisés par les téléphonistes pour définir des niveaux de puissance, car les oreilles se comportent comme des "récepteurs logarithmiques". On appelle niveau de puissance LP exprimé en bel le logarithme décimal du rapport P/P0 de la puissance P à une valeur de référence P0. LP est sans dimension. En général on utilise le décibel (dB) : S. Tisserant – ESIL – Matériaux – Electronique analogique – 2011-2012 IV-16 P (en bel) L p (B) = log P0 P L p (dB) = 10 log (en décibel) P0 Le gain en puissance d'un quadripôle, exprimé en décibel, est égal au niveau de puissance moyenne délivrée à la sortie par rapport à la puissance moyenne reçue à l'entrée : P G p (dB) = 10 log s Pe Considérons une ligne fermée sur son impédance caractéristique et supposons celle-ci purement résistive, nous avons alors : ve vs = = Rc ie is Nous pouvons écrire pour les puissances reçue à l'entrée et délivrée à la sortie : 2 ve 2 Pe = v e i e = R c i e = Rc 2 vs 2 Ps = v s i s = R c i s = Rc Ce qui nous donne pour le gain en puissance de la ligne : P v i G p (dB) = 10 log s = 20 log s = 20 log s ve ie Pe Nous voyons apparaître les gains en tension GV ou en courant GI. Lorsque ceux-ci sont exprimés en décibel nous avons : vs = 20 log G V G V (dB) = 20 log ve is G I (dB) = 20 log i = 20 log G I e S. Tisserant – ESIL – Matériaux – Electronique analogique – 2011-2012 IV-17
