Chapitre 4

S. Tisserant – ESIL – Matériaux – Electronique analogique – 2011-2012 IV-1
Quadripôles
A. Définition
Beaucoup de réseaux peuvent être considérés comme ayant deux paires de bornes : une paire
en entrée sur laquelle est appliqué un signal et une paire en sortie par laquelle est extrait le
signal traité. Ce type de réseaux est dénommé quadripôle.
Figure 1 : Notion de quadripôle
Du point de vue électrique un quadripôle est caractérisé par quatre grandeurs : tension et
courant d'entrée (v
e
et i
e
), tension et courant de sortie (v
s
et i
s
). Par convention le choix
d’orientation des intensités correspond aux courants "entrants" (fig. 1). Le quadripôle est dit
linéaire s’il existe des relations linéaires entre ces quatre grandeurs. C’est le cas lorsque
celles-ci sont reliées par un système différentiel linéaire de deux équations à coefficients
constants.
Le signal peut être la tension ou le courant fournis par la source. La charge peut par exemple
être un système de mesure.
B Notations matricielles
Il existe six combinaisons possibles pour exprimer deux variables parmi quatre en fonction de
deux autres. Parmi ces six combinaisons trois sont employées intensivement en électronique
parce que les paramètres correspondants sont faciles à mesurer.
B.1. Matrice admittance
Les paramètres d'admittance sont utilisés pour relier les courants aux tensions :
)v()y()i(ou
v
v
yy
yy
i
i
ou
vyvyi
vyvyi
s
e
2221
1211
s
e
s22e21s
s12e11e
= =
+=
+=
Les noms spécifiques des paramètres décrivant un quadripôle linéaire, qui peuvent dépendre
de la fréquence, sont dérivés des caractéristiques tension-courant. Par exemple les paramètres
d’admittance correspondent aux entrée ou sortie en court-circuit.

S. Tisserant – ESIL – Matériaux – Electronique analogique – 2011-2012 IV-2
Pour les paramètres d’admittance nous notons :
0v
v
i
y
s
e
e
11
=
= admittance d’entrée à sortie en court-circuit
0v
v
i
y
s
e
s
21
=
= admittance de transfert à sortie en court-circuit
0v
v
i
y
e
s
e
12
=
= admittance de réaction à entrée en court-circuit
0v
v
i
y
e
s
s
22
=
= admittance de sortie à entrée en court-circuit
L'unité des paramètres de la matrice d'admittance, homogènes à l’inverse d’une résistance, est
le siemens ou le mho.
Le courant d'entrée est égal à la somme de deux termes :
- Le premier y
11
v
e
correspond au courant traversant à une impédance 1/y
11
soumise à
une tension v
e
;
- Le second y
12
v
s
dépend de la tension de sortie.
Cela suggère que l’entrée du quadripôle peut être modélisée par une impédance en parallèle
avec une source de courant commandée.
Nous pouvons interpréter l'expression du courant de sortie d'une manière similaire. La
figure 2 illustre la modélisation d’un quadripôle correspondant à ses paramètres d’admittance.
Figure 2 : Modélisation des paramètres d’admittance

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B.2. Matrice impédance
La matrice impédance est l'inverse de la matrice admittance, elle relie les tensions aux
courants :
)i()z()v(ou
i
i
zz
zz
v
v
ou
izizv
izizv
s
e
2221
1211
s
e
s22e21s
s12e11e
= =
+=
+=
Nous pouvons exprimer les paramètres z en fonction des paramètres y :
−
−
−
==
−
1121
1222
22122211
1
yy
yy
yyyy 1
)y()z(
Les tensions d’entrée et de sortie s’expriment chacune comme la somme de deux termes. Ce
qui peut être modélisé par deux dipôles en série : une impédance et une source de tension
commandée. Le schéma équivalent du quadripôle avec les paramètres d’impédance est
présenté sur la figure 3.
Figure 3 : Modélisation des paramètres d’impédance
La nomenclature des paramètres d’impédance est la suivante :
0i
i
v
z
s
e
e
11
=
= impédance d’entrée à sortie ouverte
0i
i
v
z
s
e
s
21
=
= impédance de transfert à sortie ouverte
0i
i
v
z
e
s
e
12
=
=
impédance de réaction à entrée ouverte

S. Tisserant – ESIL – Matériaux – Electronique analogique – 2011-2012 IV-4
0i
i
v
z
e
s
s
22
=
= impédance de sortie à entrée ouverte
B.3. Matrice hybride
Les paramètres hybrides, ou paramètres h, relient la tension d'entrée et le courant de sortie au
courant d'entrée et à la tension de sortie. Ils sont définis par :
=
+=
+=
s
e
2221
1211
s
e
s22e21s
s12e11e
v
i
hh
hh
i
v
ou
vhihi
vhihv
Ces paramètres sont dits hybrides en raison des dimensions différentes des éléments.
En entrée la tension s’exprime comme la somme de deux termes, ce qui peut être modélisé par
deux dipôles en série : une impédance et une source de tension commandée. En sortie le
courant s’exprime comme la somme de deux termes. Cela peut être représenté par deux
dipôles en parallèle : une impédance et une source de courant commandée. Le schéma
équivalent du quadripôle dans cette représentation est présenté sur la figure 4.
Figure 4 : Modélisation d’un quadripôle au travers de ses paramètres hybrides
Les dénominations des paramètres hybrides sont les suivantes :
0v
i
v
h
s
e
e
11
=
= impédance d’entrée à sortie en court-circuit
0v
i
i
h
s
e
s
21
=
= gain direct en courant à sortie en court-circuit
0i
v
v
h
e
s
e
12
=
= coefficient de réaction interne à entrée ouverte

S. Tisserant – ESIL – Matériaux – Electronique analogique – 2011-2012 IV-5
0i
v
i
h
e
s
s
22
=
= admittance de sortie à entrée ouverte
B.4. Matrice de transfert et matrice de chaîne
La matrice de transfert permet d'exprimer les tension et courant de sortie en fonction des
tension et courant d'entrée. Cette représentation est utile lorsqu’on relie deux quadripôles en
chaîne (fig. 7), la sortie du premier correspond alors à l’entrée du second. Il faut cependant
faire attention à l’orientation des courants : le courant d’entrée du second est l’opposé du
courant de sortie du premier. Avec notre convention la matrice de transfert est définie par :
−
=
−=
−=
e
e
2221
1211
s
s
e22e21s
e12e11s
i
v
tt
tt
i
v
ou
itvti
itvtv
La matrice de chaîne relie les tension et courant d’entrée aux tension et courant de sortie.
Avec notre convention elle est définie par :
−
=
−=
−=
s
s
2221
1211
e
e
s22s21e
s12s11e
i
v
aa
aa
i
v
ou
iavai
iavav
Nous pouvons exprimer les paramètres de la matrice de transfert en fonction des paramètres
de la matrice de chaîne et vice-versa :
−
=
−
=
1121
1222
22122211
1121
1222
22122211
tt
tt
tttt 1
)a(et
aa
aa
aaaa 1
)t(
B.5. Relations entre matrices
De manière évidente, il existe des relations entre tous les éléments des matrices décrivant un
même quadripôle. Nous pouvons par exemple chercher à exprimer la matrice impédance (z)
en fonction de la matrice de transfert (t). Commençons par le premier élément que nous
pouvons écrire sous la forme suivante :
0i
i
v
z
s
e
e
11
=
=
Or le courant de sortie peut s’exprimer en fonction de la tension et du courant d’entrée, ce qui
nous donne :