AdamaNDOYE (1)

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Etude de l'essentiel auto-adjoint de l'opérateur relativiste de Schrödinger
avec potentiel de Hardy
Thesis · January 2018
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Adama Ndoye
African Institute for Mathematical Sciences Senegal
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Université Cheikh Anta Diop de Dakar
Ecole Doctorale Mathématiques et Informatique
Mémoire Master II de Mathématiques Appliquées
Option : Analyse numérique
Titre :
Etude de l’essentiel auto-adjoint de l’opérateur
relativiste de Schrödinger avec potentiel de
Hardy
Présenté par :
Adama NDOYE
JURY :
Membres
- Abdoulaye SENE, Maître Conférence, Université Cheikh Anta Diop
- Assane DIOP, Maître Assistant, Université Cheikh Anta Diop
Encadrants
- Mouhamed Moustapha FALL, Titulaire de la Chaire de
Mathématiques à AIMS (Sénégal)
- Soulèye KANE, Maître Assistant à la Faculté des Sciences et
Techniques de l’Université Cheikh Anta Diop de Dakar
Le 29 Janvier 2018
Dédicace
A mes parents,
à ma soeur jumelle Awa,
à mon ami, frère et confident Souleymane
et spécialement à mon superviseur,
pour sa patience et sa disponibilité.
Remerciements
Tout d’abord, je remercie ALLAH de m’avoir donné la santé et la force d’écrire
et de finir ce mémoire. Je tiens aussi à remercier sincèrement mon superviseur Prof.
Mouhamed Moustapha Fall qui, en dépit de son emploi du temps très chargé, a
toujours eu le temps de lire mon travail, corriger mes erreurs et me guider rigoureusement. Merci Professeur. Je voudrais aussi remercier Dr. Soulèye Kane, mon
co-superviseur, Prof. Peter Stollmann et Dr. Thomas Kalmes pour leur contribution à la réussite de ce projet, Dr. Assane Diop et Dr. Abdoulaye Sène pour avoir
accepté de faire partir du jury lors de ma soutenance. Mes sincères remerciements
aussi à mes camarades de la promotion 2014/2015 de Master 2 Analyse Numérique
et à tous les professeurs de la Faculté des Sciences et Techniques de l’Université
Cheikh Anta Diop de Dakar qui m’ont enseigné durant tout mon cursus à ladite
faculté.
Je termine par remercier mes parents, mes frères et soeurs et à tous mes amis.
Résumé
Ce mémoire est consacré à l’étude de l’essentiel auto-adjoint de l’opérateur relativiste de Schrödinger avec un potentiel de Hardy. Pour une condition explicite
sur le coefficient du terme singulier, nous obtenons une condition nécessaire et
suffisante de l’essentiel auto-adjoint.
Mots-clés : Equations elliptiques fractionnaires, Essentiel auto-adjoint, Potentiel de Hardy.
Abstract
This thesis is devoted to the study of essential self-adjointness of the relativistic Schrödinger operator with Hardy potential. From an explicit condition on the
coefficient of the singular term, we provide a sufficient and necessary condition for
essential self-adjointness.
Keywords : Fractional elliptic equations, Essential self-adjointness, Hardy
potential.
Table des matières
1 Introduction
8
2 Généralités
2.1 Préliminaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.1 La transformée de Kelvin . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.2 La transformée de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2 Les espaces de Sobolev fractionnaires . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3 Laplacien fractionnaire via la norme de Gagliardo et la transformée
de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.4 Définition de (−Δ)𝑠 dans l’espace des distributions tempérées 𝒮 ′ .
2.5 Quelques définitions et notations . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3 Opérateurs essentiellement auto-adjoints
3.1 Adjoint d’un opérateur . . . . . . . . . . . . . .
3.2 Adjoint d’opérateurs symétriques . . . . . . . .
3.3 Opérateurs essentiellement auto-adjoints . . . .
3.3.1 Fermable, fermeture et fermé . . . . . .
3.3.2 Opérateurs essentiellement auto-adjoints
.
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14
14
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16
21
. 23
. 27
. 30
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33
33
34
37
37
38
4 Essentiel auto-adjoint de l’opérateur de Schrödinger avec potentiel de Hardy
42
4.1 Essentiel auto-adjoint de l’opérateur de Schrödinger avec potentiel
de Hardy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
4.2 Essentiel auto-adjoint de l’opérateur de Schrödinger avec potentiel
de Hardy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
5 Essentiel auto-adjoint de l’opérateur relativiste de Schrödinger
avec potentiel de Hardy
71
5.1 Essentiel auto-adjoint . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
TABLE DES MATIÈRES
5.2
7
Non essentiel auto-adjoint . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
6 Conclusion
75
c
Etude de l’essentiel auto-adjoint de l’opérateur relativiste de Schrödinger avec potentiel de Hardy Adama NDOYE ○UCAD
/ 2017
Chapitre Un
Introduction
Pour le cas des opérateurs bornés et densément définis sur un espace de Hilbert,
il y a une équivalence entre la symétrie et l’auto-adjoint. Généralement pour les
opérateurs définis sur un espace de Hilbert de dimension infinie, la simple considération de la symétrie n’implique pas l’auto-adjoint : d’où l’introduction de la
notion d’essentiel auto-adjoint.
Un opérateur symétrique densément défini sur un espace de Hilbert est dit
essentiellement auto-adjoint s’il a une unique extension auto-adjointe. Ce qui est
équivalent à (voir Proposition 3.3.3).
Le but principal de ce mémoire est l’étude de l’essentiel auto-adjoint dans
𝐿 (R𝑁 ) de l’opérateur relativiste de Schrödinger avec potentiel de Hardy.
Cette étude est motivée par plusieurs raisons liées concrétement aux problèmes
de la vie réelle. En mécanique quantique l’essentiel auto-adjoint d’un opérateur
𝐴′ implique l’unicité de la dynamique quantique définie par l’opérateur 𝐴′ . Si
l’opérateur n’est pas essentiellement auto-adjoint, le choix de son extension pour
générer la dynamique quantique est dicté par le problème physique, voir [25] pour
plus d’explications. Une autre application de l’essentiel auto-adjoint est en probabilités. En effet, en général, 𝐴′ peut avoir plusieurs extensions auto-adjointes 𝐵,
donnant des processus de Markov avec comme semigroupes de transition 𝑝𝑡 = 𝑒𝑡𝐵 .
L’essentiel auto-adjoint de 𝐴′ entraîne qu’il y a une unique extension auto-adjointe
𝐴𝐹 : l’extension de Friedrichs. Ainsi, au cas où on a l’essentiel auto-adjoint, on a
l’unicité d’un tel semigroupe et ainsi un processus de Markov unique avec comme
générateur 𝐴𝐹 .
2
Naturellement on commence par le cas le plus simple ou non relativiste en
établissant Théorème 1.0.1 (dans Section 4.1 de Chapitre 4).
Théorème 1.0.1 L’opérateur 𝐿𝜆 = −Δ − 𝜆|𝑥|−2 de domaine 𝐶𝑐∞ (R𝑁 ∖ {0}) est
9
CHAPITRE 1. INTRODUCTION
essentiellement auto-adjoint dans 𝐿2 (R𝑁 ) si et seulement si
𝜆≤
(︂
𝑁 −2
2
)︂2
− 1.
Ce résultat découle des travaux dans [12, 19, 27]. Dans [13] aussi, on a traité le cas
où 𝜆 n’est pas constant pour le non relativiste opérateur.
On termine par l’extension de ce résultat pour le cas relativiste de l’opérateur
de Schrödinger.
Soit S𝑁 la sphère unité de dimension 𝑁 et
𝑁
S𝑁
+ = {(𝜃1 , 𝜃2 , · · · , 𝜃𝑁 ) ∈ S : 𝜃1 > 0}.
On notera par 𝑑𝑆 (respectivement 𝑑𝑆 ′ )l’élément de volume de la sphère de di1−2𝑠
mension 𝑁 (respectivement de dimension 𝑁 − 1). On définit par 𝐻 1 (S𝑁
) le
+ , 𝜃1
∞ 𝑁
complété de 𝐶 (S+ ) suivant la norme
‖𝜓‖𝐻 1 (S𝑁 ,𝜃1−2𝑠 ) =
+
1
)︃1/2
(︃∫︁
S𝑁
+
𝜃11−2𝑠 (|∇S𝑁 𝜓(𝜃)|2
2
+ 𝜓 (𝜃))𝑑𝑆
(1.1)
,
où 𝑠 ∈]0, 1[.
On définit
∫︁
𝜇1 (𝜆) :=
min
S𝑁
+
1−2𝑠
𝜓∈𝐻 1 (S𝑁
)∖{0}
+ ,𝜃1
𝜃11−2𝑠 |∇𝜓|2 𝑑𝑆
∫︁
S𝑁
+
où
𝜅𝑠 =
− 𝜅𝑠 𝜆
∫︁
𝜃11−2𝑠 𝜓 2 𝑑𝑆
S𝑁 −1
𝜓 2 𝑑𝑆 ′
,
(1.2)
Γ(1 − 𝑠)
.
22𝑠−1 Γ(𝑠)
La quantité 𝜇1 (𝜆) est une valeur propre qui vient avec le changement de coordonnées polaires dans une quelconque énergie de Dirichlet définie sur le demi-espace
+1
R𝑁
, voir [8]. Dans [8] on observe aussi que l’opérateur (−Δ + 𝑚2 )𝑠 − 𝜆|𝑥|−2𝑠 est
+
défini positif si
(︂
)︂
𝑁 − 2𝑠 2
𝜇1 (𝜆) +
> 0.
(1.3)
2
voir aussi Lemme 4.2.2. Tout au long de ce mémoire, on supposera que (1.3) cidessous est toujours vrai.
Alors on a
c
Etude de l’essentiel auto-adjoint de l’opérateur relativiste de Schrödinger avec potentiel de Hardy Adama NDOYE ○UCAD
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10
CHAPITRE 1. INTRODUCTION
Théorème 1.0.2 Soit 𝑠 ∈]0, 1[, 𝑚 ≥ 0, et 𝑁 > 2𝑠 avec
𝑁 − 2𝑠
𝜇1 (𝜆) +
2
(︂
)︂2
> 0.
Alors l’opérateur
(−Δ + 𝑚2 )𝑠 − 𝜆|𝑥|−2𝑠
𝐶𝑐∞ (R𝑁 ∖ {0})
défini sur
est essentiellement auto-adjoint dans 𝐿2 (R𝑁 ) si et seulement si
𝑁 − 2𝑠
− 𝜇1 (𝜆) ≤
2
(︂
)︂2
− 𝑠2 ,
(1.4)
établi dans Chapitre 5.
Le mot "extension" qu’on a utilisé pour qualifier le lien entre Théorème 1.0.1
et Théorème 1.0.2 n’est pas "gratuit". En effet comme 𝜆 est constant alors 𝜇1 peut
être obtenu implicitement à partir de la fonction usuelle Gamma.
On prend 𝛼 ∈]0, 𝑁 −2𝑠
[ et
2
𝜆(𝛼) = 2
(︁
)︁
(︁
)︁
𝑁 +2𝑠+2𝛼
Γ 𝑁 +2𝑠−2𝛼
4
4
(︁
)︁ (︁
)︁ .
𝑁 −2𝑠−2𝛼
𝑁 −2𝑠+2𝛼
Γ
Γ
4
4
Γ
2𝑠
(1.5)
De [10, Proposition 2.3], on a
𝜇1 (𝜆(𝛼)) = 𝛼2 −
(︂
𝑁 − 2𝑠
2
)︂2
]︂
pour tout 𝛼 ∈ 0,
𝑁 − 2𝑠
.
2
[︂
Ainsi, en combinant Théorème 1.0.2 et [10, Proposition 2.3], on obtient le
corollaire suivant.
[. Alors l’opérateur
Corollaire 1.0.1 Soit 𝛼 ∈]0, 𝑁 −2𝑠
2
(−Δ + 𝑚2 )𝑠 − 𝜆(𝛼)|𝑥|−2𝑠 ,
défini sur 𝐶𝑐∞ (R𝑁 ∖ {0}), est essentiellement auto-adjoint dans 𝐿2 (R𝑁 ) si et seulement si 𝛼 ≥ 𝑠, où
(︁
)︁
𝑁 +4𝑠
Γ
4
𝜆(𝑠) = 22𝑠 (︁ 𝑁 −4𝑠 )︁ .
Γ
4
Comme l’application 𝛼 ↦→ 𝜆(𝛼) est décroissante, on obtient aussi le corollaire
suivant.
c
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CHAPITRE 1. INTRODUCTION
Corollaire 1.0.2 Soit 𝛽 ∈ R et 𝜆 donné par (1.5). Alors l’opérateur
(−Δ + 𝑚2 )𝑠 − 𝛽|𝑥|−2𝑠 ,
défini sur 𝐶𝑐∞ (R𝑁 ∖ {0}), est essentiellement auto-adjoint dans 𝐿2 (R𝑁 ) si et seulement si 𝛽 ≤ 𝜆(𝑠).
Si 𝑠 = 1/2 et 𝑁 = 3 alors 𝜆(1/2) = 1/2. Dans ce cas, le seuil de l’essentiel autoadjoint 𝜆(1/2) = 1/2 est connu, voir [20] et [15]. Une amélioration du seuil 1/2
en dimension 3 a été fournie dans [21, Corollaire 1]. En dimension plus grande
𝑁 ≥ 3 et pour 𝑠 = 1/2, Ichinose, dans [17], prouva l’essentiel auto-adjoint de
(−Δ + 𝑚2 )𝑠 − 𝛽|𝑥|−2𝑠 pour 𝛽 < 𝑁2−2 en utilisant le résultat de la perturbation de
Kato-Rellich et l’inégalité de Hardy. Le résultat dans Corollaire 1.0.2 améliore les
résultats dans [17] car, pour 𝑠 = 1/2, on a 𝜆(1/2) = 𝑁2−2 . De plus, on obtient aussi
l’amélioration du seuil 𝜆(1/2) = 𝑁2−2 , donc une extension de [21, Corollaire 1] en
dimension plus grande.
Finalement on constate que Théorème 1.0.1 est une conséquence
immédiate
de ce
)︁2
(︁
𝑁 −2
− 1.
corollaire ci-dessus en prenant 𝑠 = 1, en observant que 𝜆(1) = 2
L’idée principale de la preuve de Théorème 1.0.1 est de montrer la densité de
l’opérateur de 𝐿𝜆 , défini sur 𝐶𝑐∞ (R𝑁 ∖ {0}), qui signifie que 𝐿𝜆 est essentiellement
auto-adjoint d’après Proposition 3.3.3.
Ainsi, pour tout 𝑢 ∈ 𝐿2 (R𝑁 ) tel que
−Δ𝑢 − 𝜆|𝑥|−2 𝑢 + 𝑢 = 0
(au sens des distributions),
on a 𝑢 = 0, précisèment
∫︁
R𝑁
[−Δ𝜙 − 𝜆|𝑥|−2 𝜙 + 𝜙]𝑢 = 0,
𝜙 ∈ 𝐶𝑐∞ (R𝑁 ∖ {0}),
(1.6)
implique 𝑢 = 0.
L’idée est maintenant de trouver l’existence de la fonction test approriée vérifiant (1.6), pour tout 𝑓 > 0 arbitrairement choisi dans 𝐶𝑐∞ (R𝑁 ∖ {0}), ce qui nous
permettra de conclure que 𝑢 ≡ 0.
La fonction test qu’on considérera sera alors solution de l’équation aux dérivées
partielles
−Δ𝑣 − 𝜆|𝑥|−2 𝑣 + 𝑣 = 𝑓,
pour tout 𝑓 ∈ 𝐶𝑐∞ (R𝑁 ∖ {0}), 𝑓 ≥ 0, 𝑓 ̸= 0 choisi arbitrairement. Telle fonction
𝑣 peut être estimée à l’origine et à l’infini comme suit :
𝑣 ≤ 𝐶|𝑥|𝛾
dans 𝐵𝑟0 ,
𝑣 ≤ 𝐶|𝑥|𝛼
dans R𝑁 ∖ 𝐵𝑟0
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CHAPITRE 1. INTRODUCTION
où 𝐵𝑟0 = {𝑥 ∈ R𝑁 : |𝑥| < 𝑟0 }, 𝑟0 > 0 et
𝑁 −2
𝛾=−
+
2
√︃
(︂
𝑁 −2
2
)︂2
− 𝜆,
𝑁 −2
𝛼=−
−
2
√︃
(︂
𝑁 −2
2
)︂2
− 𝜆.
Par la théorie de régularité, on a 𝑣 ∈ 𝐶 ∞ (R𝑁 ∖ {0}).
On utilise la propriété des fonctions de troncature (voir le début de Section 2.1) sur
𝑣 à l’origine et à l’infini comme fonction test dans (1.6). Donc par ∫︁intégration et
les estimations de 𝑣 faites dans Lemme 4.1.5, on obtient finalement
ce qui entraîne 𝑢 ≡ 0.
(︁
R𝑁
𝑢𝑓 𝑑𝑥 = 0,
)︁2
Pour le non essentiel auto-adjoint de 𝐿𝜆 quand 𝜆 > 𝑁2−2 − 1, on montre que
(𝐿𝜆 + 1)(𝐶𝑐∞ (R𝑁 ∖ {0})) n’est pas dense dans 𝐿2 (R𝑁 ). On va procéder par contradiction en assumant 𝐿𝜆 essentiellement auto-adjoint, par Lemme 4.1.7 et Lemme
4.1.6, il existe une fonction 𝑣 ̸= 0 dans 𝐿2 (R𝑁 ) telle que, dans une quelconque
boule 𝐵(0, 𝑟),
(𝐿𝜆 + 1)𝑣 = 0.
Ce qui nous conduit vers une contradiction. Pour voir les détails de la description
du travail faite ci-dessus, il faut se référer à Section 4.1 de Chapitre 4.
Pratiquement tout ce plan décrit ci-dessus fonctionne pour prouver Théorème
1.0.2. Néanmoins on note une légère différence pour la preuve du non essentiel
auto-adjoint même si on va utiliser la contradiction comme dans le cas non factionnaire.
Ici l’argument contradictoire vient de l’analyse qualitative à l’infini de la solution
de (−Δ + 𝑚2 + 𝑏)𝑠 − 𝜆|𝑥|−2𝑠 .
En effet, pour prouver le non essentiel auto-adjoint d’un opérateur densément défini, il est généralement inévitable de résoudre certaines équations aux dérivées
partielles (surtout le problème de valeur limite de valeurs propres) pour lesquelles
les solutions sont connues explicitement ou ont au moins certaines propriétés qualitatives qui peuvent être vérifiées. Dans notre cas, on voudrait prouver que
(−Δ + 𝑚2 )𝑠 − 𝜆|𝑥|−2𝑠
(︁
)︁2
− 𝑠2 .
n’est pas essentiellement auto-adjoint quand −𝜇1 (𝜆) > 𝑁 −2𝑠
2
On va procéder par contradiction en assumant (−Δ + 𝑚2 )𝑠 − 𝜆|𝑥|−2𝑠 est essentiellement auto-adjoint, ce qui est equivalent à la densité de l’image de l’opérateur
(−Δ + 𝑚2 )𝑠 − 𝜆|𝑥|−2𝑠 dans 𝐿2 (R𝑁 ).
On a montré dans Lemme 5.1.1 que c’est équivalent de dire que l’image de l’opérateur (−Δ+𝑚2 +𝑏)𝑠 −𝜆|𝑥|−2𝑠 est dense dans 𝐿2 (R𝑁 ) pour tout 𝑏 > 0 ; cette circonstance est exclue en construisant une fonction 𝑓 ̸= 0 vérifiant (−Δ + 𝑚2 + 𝑏)𝑠 𝑓 −
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CHAPITRE 1. INTRODUCTION
(︁
)︁2
𝜆|𝑥|−2𝑠 𝑓 = 0 dans R𝑁 avec 𝑓 ∈ 𝐿2 (R𝑁 ) à condition que −𝜇1 (𝜆) > 𝑁 −2𝑠
− 𝑠2 .
2
L’avantage de considérer (−Δ + 𝑚2 + 𝑏)𝑠 est la décroissance exponentielle à l’infini
de la solution fondamentale de cet opérateur, ce qui est crucial dans notre analyse
et qui échoue pour ce dernier opérateur pour 𝑚 = 0. Cet argument sera développé
en détails dans Section 5.2.
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Chapitre Deux
Généralités
Dans ce chapitre, on va donner quelques notions et résultats préliminaires sur
la transformée de Fourier, les espaces de Sobolev fractionnaaires, définir le Laplacien fractionnaire via différentes approches et donner quelques propriétés de cet
opérateur non local avant de terminer ce chapitre par des généralités et notations
nécessaires pour la suite du mémoire.
Pour ce chapitre, les principales références sont [9], [24], [23], [3], [11], [5] et [8].
2.1
Préliminaires
Dans cette section on va présenter des notions et résultats mathématiques qu’on
va surtout utiliser dans le dernier chapitre. On commencera par les fonctions de
troncature qui vont jouer un rôle important dans la démonstration du résultats
principaux de ce mémoire : Théorème 1.0.1 et Théorème 1.0.2.
Soient 𝒟(R𝑁 ) l’espace des fonctions-tests de R𝑁 et 𝜙 ∈ 𝒟(R𝑁 ) vérifiant les
conditions suivantes :
(i) 0 ≤ 𝜙(𝑥) ≤ 1 pour tout 𝑥 ∈ R𝑁 ,
(ii) 𝜙(𝑥) = 1 sur la boule centrée en 0 et de rayon 1 notée 𝐵1
(iii) et 𝜙(𝑥) = 0 à l’extérieur de 𝐵2 , boule centrée en 0 et de rayon 2.
Dans la suite, on définit
(︃
)︃
|𝑥|
.
𝜂𝑟 (𝑥) := 𝜙
𝑟
Il est facile de vérifier les estimations suivantes :
|∇𝜂𝑟 | ≤
𝐶
𝑟
15
Préliminaires
et
𝐶
,
𝑟2
où 𝐶 est une constante positive indépendant de 𝑟.
|Δ𝜂𝑟 | ≤
Finalement on termine cette section en utilisant les fonctions de troncature
pour montrer un résultat classique :
Théorème 2.1.1 Pour 1 ≤ 𝑝 < ∞ et un ouvert Ω ⊆ R𝑁 , 𝐶𝑐∞ (Ω) est dense dans
𝐿𝑝 (Ω).
Preuve. Soit Ω ⊆ R𝑁 . Toute fonction 𝑓 ∈ 𝐿𝑝 (Ω) peut être prise comme un
élément de 𝐿𝑝 (R𝑁 ) par l’extension suivante :
{︃
𝑓˜(𝑥) =
𝑓 (𝑥) si 𝑥 ∈ Ω,
0
si 𝑥 ∈ R𝑁 ∖ {Ω}.
Pour Ω = R𝑁 , soit 𝐾𝑗 = 𝐵(0, 𝑟𝑗 )et ainsi on note Ω = 𝑗 𝐾𝑗 . Maintenant on va
considérer la suite de troncature {𝜂𝑟𝑗 } dans 𝐶𝑐∞ (Ω) telle que 𝜂𝑟𝑗 ≡ 1 sur 𝐾𝑗 et
0 ≤ 𝜂𝑟𝑗 ≤ 1, pour tout 𝑗. On étend 𝜂𝑟𝑗 par 0 sur R𝑁 ∖ {Ω} et on définit 𝐹𝑗 := 𝜂𝑟𝑗 𝑓𝑗 ,
qui est dans 𝐶𝑐∞ (Ω). Aussi, 𝐹𝑗 = 𝑓𝑗 dans 𝐾𝑗 et |𝐹𝑗 | ≤ |𝑓𝑗 | sur R𝑁 . Donc,
⋃︀
⃦
⃦
⃦
⃦
⃦
⃦
‖𝐹𝑗 − 𝑓 ‖𝑝,Ω = ⃦𝐹𝑗 − 𝑓˜⃦
𝑝,R𝑁
𝑝,R𝑁
≤
⃦
⃦
⃦𝑓𝑗
⃦
⃦
− 𝑓˜⃦
𝑝,R𝑁
⃦
⃦
⃦
⃦
≤ ⃦𝜂𝑟𝑗 𝑓𝑗 − 𝜂𝑟𝑗 𝑓˜⃦
⃦
⃦
+ ⃦𝜂𝑟𝑗 𝑓˜ − 𝑓˜⃦
𝑝,R𝑁
⃦
⃦
⃦
⃦
+ ⃦𝜂𝑟𝑗 𝑓˜ − 𝑓˜⃦
𝑝,R𝑁
.
Comme 𝐶 ∞ (R𝑁 ) est dense dans 𝐿𝑝 (R𝑁 ), le premier terme à droite converge vers
zéros et par le théorème de convergence dominée le second terme aussi converge
vers zéros.
2.1.1
La transformée de Kelvin
Définition 2.1.1 Soient 𝑠 ∈]0, 1[ et une fonction 𝑢 : R ↦→ R𝑁 ∪ {−∞, +∞} . On
considére l’application 𝑥 ↦→ 𝑥* = 𝑥/|𝑥|2 , 𝑥 ∈ R𝑁 ∖ {0}. La transformée de Kelvin
de 𝑢, notée 𝐾(𝑢), est définie comme étant cette application définie sur R𝑁 :
(︃
2𝑠−𝑁
𝐾(𝑢)(𝑥) = |𝑥|
*
2𝑠−𝑁
𝑢(𝑥 ) = |𝑥|
)︃
𝑥
, 𝑥 ∈ R𝑁 ∖ {0},
𝑢
2
|𝑥|
où 𝑥* est l’inverse du point 𝑥 ∈ R𝑁 par rapport à la sphère unité 𝑆1 (0).
Ainsi on peut voir que l’intérieur de la sphère est la transformée de Kelvin de
l’extérieur et vice-versa.
Notons que si 𝑢 satisfait Δ𝑢 + 𝜆|𝑥|−2 𝑢 = 0 dans 𝐵𝑟0 alors la fonction 𝑣 = 𝐾(𝑢)
satisfait Δ𝑣 + 𝜆|𝑥|−2 𝑣 = 0 dans R𝑁 ∖ 𝐵𝑟0 .
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Préliminaires
2.1.2
La transformée de Fourier
On donne d’abord la définition des espaces de Schwartz où la transformée de
Fourier est un isomorphisme sur eux-mêmes (voir [22, Chapitre 7]).
Définition 2.1.2 (Espaces de Schwartz). Les espaces de Schwartz, notés 𝒮, sont
les espaces des fonctions infiniment différentiables (𝐶 ∞ ) à décroissance rapide. Sa
topologie est donnée par la semi-norme suivante :
𝑝𝑁 (𝜙) = sup (1 + |𝑥|)𝑁
∑︁
𝑥∈R𝑁
|𝛼|≤𝑁
|𝐷𝛼 𝜙(𝑥)|,
𝑁 = 0, 1, 2, · · · ,
où 𝜙 ∈ 𝒮(R𝑁 ). Donc
𝒮(R𝑁 ) = {𝜙 ∈ 𝐶 ∞ (R𝑁 ) tel que 𝑝𝑁 (𝜙) < ∞},
autrement dit 𝒮 est l’ensemble des fonctions infiniment différentiables telles que 𝜙
1
quand
et toutes ses dérivées décroissent plus rapidement que toute puissance |𝑥|
|𝑥| → ∞.
Ainsi par dualité, on peut définir la transformée de Fourier pour les éléments
de 𝒮 ′ , l’espace dual de 𝒮. Il est aussi l’espace de distributions tempérées. Une autre
propriété importante est, pour 1 ≤ 𝑝 ≤ ∞, 𝒮(R𝑁 ) ⊂ 𝐿𝑝 (R𝑁 ) où
𝐿𝑝 (R𝑁 ) = {𝑓 mesurable/ ‖𝑓 ‖𝑝 < ∞}
et on définit, pour 𝑝 ∈ [1, ∞[,
‖𝑓 ‖𝑝 :=
(︂∫︁
R𝑁
𝑝
|𝑓 | 𝑑𝑥
)︂1/𝑝
et pour 𝑝 = ∞,
‖𝑓 ‖∞ := inf{𝐾 : |𝑓 (𝑥)| ≤ 𝐾 pour presque tout 𝑥 ∈ R𝑁 }.
On remarque aussi que l’espace des fonctions-tests dans 𝐶𝑐∞ (R𝑁 ) est un sousespace de 𝒮(R𝑁 ). Comme pour un ouvert Ω de R𝑁 , 𝐶𝑐∞ (Ω) est dense dans 𝐿𝑝 (Ω)
(voir [3, Corollaire 4.23], donc 𝒮(R𝑁 ) est dense dans 𝐿𝑝 (R𝑁 ). Voir [16], [26] et [28]
pour plus de détails.
Définition 2.1.3 (Convolution). Soient 𝑓, 𝑔 : R𝑁 → R des fonctions mesurables.
On appelle la convolution de 𝑓 et 𝑔 notée 𝑓 * 𝑔 par
𝑓 * 𝑔(𝑥) =
∫︁
R𝑁
𝑓 (𝑥 − 𝑦)𝑔(𝑦)𝑑𝑦,
𝑥 ∈ R𝑁
telle que 𝑦 ↦→ 𝑓 (𝑥 − 𝑦)𝑔(𝑦) est intégrable pour n’importe quel 𝑥 ∈ R𝑁 .
c
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17
Préliminaires
Le produit de convolution a d’importantes propriétés combinées avec la transformée de Fourier.
Définition 2.1.4 (Mollifier). On appelle (𝜌𝑛 )𝑛≥1 une suite de mollifiers si elle est
une suite de fonctions sur R𝑁 telle que
𝜌𝑛 ∈
𝐶𝑐∞ (R𝑁 ),
supp 𝜌𝑛 ⊂ 𝐵(0, 1/𝑛),
∫︁
R𝑁
𝜌𝑛 (𝑦)𝑑𝑦 = 1 et 𝜌𝑛 ≥ 0, dans R𝑁 .
Théorème 2.1.2 Soit 𝑓 ∈ 𝐿𝑝 (R𝑁 ) avec 1 ≤ 𝑝 < +∞. Donc
𝜌𝑛 * 𝑓 → 𝑓
quand 𝑛 → +∞ dans 𝐿𝑝 (R𝑁 ).
Pour plus de détails, voir [3].
On a
Définition 2.1.5 (Transformée de Fourier). Soit 𝜙 ∈ 𝒮, la transformée de Fourier de 𝜙 est définie comme suit :
1 ∫︁
𝑒−𝑖𝜉·𝑥 𝜙(𝑥)𝑑𝑥,
ℱ𝜙(𝜉) =
𝑛
(2𝜋) 2 R𝑁
𝜉 ∈ R𝑁 ,
on peut étendre ℱ de 𝒮(R𝑁 ) vers 𝒮 ′ (R𝑁 ).
Ainsi on définit la transformée de Fourier inverse de 𝜙 :
ℱ −1 𝜙(𝑥) =
1 ∫︁
𝑒𝑖𝜉·𝑥 ℱ𝜙(𝜉)𝑑𝜉.
𝑛
(2𝜋) 2 R𝑁
Par une simple transformation, on a aussi cette définition,
ℱ𝜙(𝜉) =
∫︁
R𝑁
𝑒−2𝑖𝜋𝜉·𝑥 𝜙(𝑥)𝑑𝑥,
𝜉 ∈ R𝑁 .
On note aussi la transformée de Fourier de 𝜙 par 𝜙̂︀ et son inverse par 𝜙.
˜
Remarque 2.1.1
Soit 𝜙 ∈ 𝐿1 (R𝑁 ) donc sa transformée de Fourier 𝜙̂︀ est bornée et uniformément
continue.
c
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18
Préliminaires
En effet pour tout 𝜉 ∈ R𝑁 ,
̂︀
|𝜙(𝜉)|
≤
≤
∫︁
𝑁
∫︁R
R𝑁
|𝑒−2𝑖𝜋𝜉·𝑥 𝜙(𝑥)|𝑑𝑥
|𝜙(𝑥)|𝑑𝑥
≤ ‖𝜙‖1 .
Ce qui montre que 𝜙̂︀ est borné.
Pour tout 𝜉, 𝜉 ′ ∈ R𝑁 , on a aussi
′
̂︀
̂︀ )| =
|𝜙(𝜉)
− 𝜙(𝜉
≤
≤
⃒∫︁
⃒
−2𝑖𝜋𝜉·𝑥
⃒
⃒ 𝑁 (𝑒
R
∫︁
−2𝑖𝜋𝜉 ′ ·𝑥
−𝑒
′
R𝑁
∫︁
⃒
⃒
)𝜙(𝑥)𝑑𝑥⃒⃒
′
|𝑒−2𝑖𝜋𝜉 ·𝑥 (𝑒−2𝑖𝜋(𝜉−𝜉 )·𝑥 − 1)||𝜙(𝑥)|𝑑𝑥
′
R𝑁
|𝑒−2𝑖𝜋(𝜉−𝜉 )·𝑥 − 1||𝜙(𝑥)|𝑑𝑥.
′
Quand |𝜉 − 𝜉 ′ | → 0 alors |𝑒−2𝑖𝜋(𝜉−𝜉 )·𝑥 − 1||𝜙(𝑥)| tend simplement vers 0 et
′
|𝑒−2𝑖𝜋(𝜉−𝜉 )·𝑥 − 1||𝜙(𝑥)| est dominé par 2|𝜙(𝑥)| pour tout 𝑥 ∈ R𝑁 donc par le
̂︀
̂︀ ′ )| → 0.
théorème de convergence dominée |𝜙(𝜉)
− 𝜙(𝜉
D’où 𝜙̂︀ est uniformément continu.
Théorème 2.1.3 (Plancherel).
Soit 𝜙 ∈ 𝐿1 (R𝑁 ) ∩ 𝐿2 (R𝑁 ), on a
̂︀ 𝐿2 (R𝑁 ) = ‖𝜙‖
˜ 𝐿2 (R𝑁 ) .
‖𝜙‖𝐿2 (R𝑁 ) = ‖𝜙‖
(2.1)
L’application 𝜙 → 𝜙̂︀ a une unique extension qui est continue et linéaire de 𝐿2 (R𝑁 )
vers 𝐿2 (R𝑁 ) qui est une isométrie, i.e., la formule de Plancherel (2.1) reste vraie
pour cette extension. Si 𝜙 et 𝑓 sont dans 𝐿2 (R𝑁 ) alors on a la formule de Parseval :
̂︀ 𝑓̂︀).
(𝜙, 𝑓 ) = (𝜙,
(2.2)
Preuve. On a
‖𝜙‖2𝐿2 (R𝑁 )
=
∫︁
R𝑁
𝜙(𝑥)𝜙(𝑥)𝑑𝑥 = 𝜙 * 𝜙(0)
= ℱ −1 (ℱ(𝜙 * 𝜙))(0) =
=
∫︁
R𝑁
∫︁
R𝑁
ℱ(𝜙 * 𝜙)(𝜉)𝑑𝜉
̂︀ 𝜙(𝜉)𝑑𝜉
̂︀
̂︀ 2𝐿2 (R𝑁 ) .
𝜙(𝜉)
= ‖𝜙‖
La preuve pour 𝜙˜ est similaire.
c
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19
Préliminaires
La relation (2.2) se déduit de la polarisation, i.e., l’égalité
(𝜙, 𝑓 ) =
)︁
1 (︁
‖𝜙 + 𝑓 ‖22 − 𝑖 ‖𝜙 + 𝑖𝑓 ‖22 − (1 − 𝑖) ‖𝑓 ‖22 .
2
En appliquant (2.1) à chacune de ces trois normes qui composent la polarisation,
on obtient (2.2).
Proposition 2.1.1 Soit 𝜙 ∈ 𝐶𝑐∞ (R𝑁 ), donc on a
1)
𝛼 𝜙(𝜉) = (𝑖𝜉)𝛼 𝜙,
[
̂︀
𝐷
(2.3)
2) Soient 𝑓 et 𝑔 dans 𝐿1 (R𝑁 ). Alors on a 𝑓 * 𝑔 dans 𝐿1 (R𝑁 ) et
̂︀
𝑓[
* 𝑔(𝜉) = 𝑓̂︀(𝜉)𝑔(𝜉).
(2.4)
Preuve. Comme 𝜙 ∈ 𝐶𝑐∞ (R𝑁 ).
1)
1 ∫︁
𝑒−𝑖𝜉·𝑥 𝐷𝛼 𝜙(𝑥)𝑑𝑥
𝑛
(2𝜋) 2 R𝑁
(−1)|𝛼| ∫︁
=
𝐷𝑥𝛼 (𝑒−𝑖𝜉·𝑥 )𝜙(𝑥)𝑑𝑥
𝑛
𝑁
(2𝜋) 2 R
(𝑖𝜉)𝛼 ∫︁
=
𝑒−𝑖𝜉·𝑥 𝜙(𝑥)𝑑𝑥
𝑛
(2𝜋) 2 R𝑁
̂︀
= (𝑖𝜉)𝛼 𝜙(𝜉).
𝛼 𝜙(𝜉) =
[
𝐷
2) En utilisant le théorème de Fubini (voir [3, Théorème 4.5]), on a
∫︁
R𝑁
|𝑓 * 𝑔(𝑥)|𝑑𝑥 ≤
≤
∫︁
∫︁
𝑁
∫︁R ∫︁R
R𝑁
≤ ‖𝑓 ‖1
R
∫︁
𝑁
𝑁
|𝑓 (𝑥 − 𝑦)𝑔(𝑦)|𝑑𝑦𝑑𝑥
|𝑓 (𝑥 − 𝑦)𝑔(𝑦)|𝑑𝑥𝑑𝑦
R𝑁
|𝑔(𝑦)|𝑑𝑦
≤ ‖𝑓 ‖1 ‖𝑔‖1 .
Donc
𝑓 * 𝑔 ∈ 𝐿1 (R𝑁 ).
c
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20
Préliminaires
Encore par le théorème de Fubini, on a
𝑓[
* 𝑔(𝜉) =
=
=
∫︁
𝑒
𝑁
R𝑁
∫︁R ∫︁
R𝑁
(︂∫︁
R𝑁
)︂
𝑒−2𝑖𝜋𝜉·(𝑥−𝑦) 𝑓 (𝑥 − 𝑦)𝑑𝑥 𝑒−2𝑖𝜋𝜉·𝑦 𝑔(𝑦)𝑑𝑦
𝑁
∫︁ R
= 𝑓̂︀(𝜉)
𝑓 (𝑥 − 𝑦)𝑔(𝑦)𝑑𝑦𝑑𝑥
𝑒−2𝑖𝜋𝜉·(𝑥−𝑦) 𝑒−2𝑖𝜋𝜉·𝑦 𝑓 (𝑥 − 𝑦)𝑔(𝑦)𝑑𝑦𝑑𝑥
R𝑁
∫︁
∫︁
−2𝑖𝜋𝜉·𝑥
̂︀
𝑒−2𝑖𝜋𝜉·𝑦 𝑔(𝑦)𝑑𝑦 = 𝑓̂︀(𝜉)𝑔(𝜉).
R𝑁
Théorème 2.1.4 (Transformée de Fourier d’un Gaussien).
Pour 𝜆 > 0, on note par 𝑔𝜆 la fonction gaussienne sur R𝑁 donnée par
𝑔𝜆 (𝑥) = 𝑒−𝜋𝜆|𝑥|
2
𝑥 ∈ R𝑁 .
pour tout
(2.5)
Alors
𝑔̂︀𝜆 (𝜉) = 𝜆−𝑛/2 𝑒−𝜋|𝜉|
2 /𝜆
(2.6)
.
Preuve. On a
𝑔̂︀𝜆 (𝜉) =
=
=
=
∫︁
R𝑁
∫︁
𝑁
∫︁R
R𝑁
∫︁
R𝑁
𝑒−2𝑖𝜋𝜉·𝑥 𝑔𝜆 (𝑥)𝑑𝑥
−
∑︀𝑁
𝑒−
∑︀𝑁
−
∑︀𝑁
𝑒
𝜋
En posant 𝑓 (𝜉) =
R𝑁
𝑗=1
∫︁
2
(2𝑖𝜋𝜉𝑗 𝑥𝑗 +𝜆𝜋𝑥2𝑗 )
[︂
2
(𝑥𝑗 + 𝜆𝑖 𝜉𝑗 )
𝑑𝑥
+
𝑥𝑖2
𝑗
𝜆2
]︂
𝑑𝑥
2
𝑒−𝜆𝜋|𝑥+ 𝜆 𝜉| 𝑑𝑥.
𝑖
R𝑁
𝑑𝑥
𝜆𝜋 (2 𝜆𝑖 𝜉𝑗 𝑥𝑗 +𝑥2𝑗 )
𝜆𝜋
𝑗=1
𝑒
= 𝑒− 𝜆 |𝜉|
∫︁
𝑗=1
2
𝑒−𝜆𝜋|𝑥+ 𝜆 𝜉| 𝑑𝑥, alors on a
𝑖
∇𝜉 𝑓 (𝜉) =
∫︁
R𝑁
2
∇𝜉 𝑒−𝜆𝜋|𝑥+ 𝜆 𝜉| 𝑑𝑥
= −2𝑖𝜋
𝑖
2
𝑖
𝑖
𝑥 + 𝜉 𝑒−𝜆𝜋|𝑥+ 𝜆 𝜉| 𝑑𝑥
𝜆
R𝑁
2
𝑖
∇𝑥 𝑒−𝜆𝜋|𝑥+ 𝜆 𝜉| 𝑑𝑥
∫︁
(︂
)︂
1 ∫︁
𝜆[︂ R𝑁
]︂
𝑖 −𝜆𝜋|𝑥+ 𝜆𝑖 𝜉|2
=
𝑒
𝜆
R𝑁
= 0.
=𝑖
c
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21
Les espaces de Sobolev fractionnaires
𝑁
Donc 𝑓 est une constante. Alors pour tout 𝜉 ∈ R , 𝑓 (𝜉) = 𝑓 (0) =
Ainsi on obtient
2
𝑔̂︀𝜆 (𝜉) = 𝜆−𝑛/2 𝑒−𝜋|𝜉| /𝜆 .
∫︁
R𝑁
2
𝑒−𝜆𝜋|𝑥| 𝑑𝑥.
Pour les définitions de certains espaces fonctionnels, intégrale de Lebesgue etc.,
voir [1, pages 9 - 18].
Définition 2.1.6 (régularité d’un ensemble). Soit 𝑘 ∈ N et 𝛼 ∈]0, 1]. Ω ⊂ R𝑁
est de classe de 𝐶 𝑘,𝛼 s’il existe 𝑀 > 0 tel que pour tout 𝑥 ∈ 𝜕Ω, il existe une balle
𝐵 = 𝐵𝑟 (𝑥), 𝑟 > 0 et un isomorphisme 𝜙 : 𝑄 −→ 𝐵 tel que :
𝜙 ∈ 𝐶 𝑘,𝛼 (𝑄), 𝜙−1 ∈ 𝐶 𝑘,𝛼 (𝐵), 𝜙(𝑄+ ) = 𝐵 ∩ Ω, 𝜙(𝑄0 ) = 𝐵 ∩ 𝜕Ω
et
⃦
⃦
⃦
⃦
‖𝜙‖𝐶 𝑘,𝛼 (𝑄) + ⃦𝜙−1 ⃦
𝐶 𝑘,𝛼 (𝐵)
≤𝑀
où 𝑄 est un cylindre
𝑄 := {𝑥 = (𝑥′ , 𝑥𝑁 ) ∈ R𝑁 −1 × R : ‖𝑥′ ‖ < 1 et |𝑥𝑁 | < 1},
𝑄+ := {𝑥 = (𝑥′ , 𝑥𝑁 ) ∈ R𝑁 −1 × R : ‖𝑥′ ‖ < 1 et 0 < |𝑥𝑁 | < 1}
et
𝑄0 := {𝑥 ∈ 𝑄 : 𝑥𝑁 = 1}.
Voir [5, Section 1].
2.2
Les espaces de Sobolev fractionnaires
Dans cette section, on va donner la définition des espaces de Sobolev fractionnaires 𝑊 𝑠,𝑝 .
Soit Ω un ouvert dans R𝑁 . Pour 𝑠 > 0 et 𝑝 ∈ [1, ∞[, on définit les espaces
de Sobolev fractionnaires 𝑊 𝑠,𝑝 (Ω). Ils sont aussi appelés espaces de Aronszajn,
Gagliardo ou Slobodeckij.
Soit 𝑠 ∈]0, 1[. Pour 𝑝 ∈ [1, ∞[, on définit 𝑊 𝑠,𝑝 (Ω) comme suit :
𝑊 𝑠,𝑝 (Ω) :=
⎧
⎨
⎩
𝑢 ∈ 𝐿𝑝 (Ω) :
|𝑢(𝑥) − 𝑢(𝑦)|
|𝑥 − 𝑦|
𝑁
𝑝
+𝑠
⎫
⎬
∈ 𝐿𝑝 (Ω × Ω) ;
(2.7)
⎭
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22
Les espaces de Sobolev fractionnaires
donc 𝑊 𝑠,𝑝 (Ω) est un espace de Banach intermédiaire entre 𝐿𝑝 (Ω) et 𝑊 1,𝑝 (Ω), muni
de la norme naturelle
‖𝑢‖𝑊 𝑠,𝑝 (Ω) :=
(︃∫︁
𝑝
|𝑢| 𝑑𝑥 +
Ω
∫︁ ∫︁
Ω
Ω
|𝑢(𝑥) − 𝑢(𝑦)|𝑝
𝑑𝑥𝑑𝑦
|𝑥 − 𝑦|𝑁 +𝑠𝑝
où le terme
[𝑢]𝑊 𝑠,𝑝 (Ω) :=
(︃∫︁ ∫︁
Ω
Ω
|𝑢(𝑥) − 𝑢(𝑦)|𝑝
𝑑𝑥𝑑𝑦
|𝑥 − 𝑦|𝑁 +𝑠𝑝
)︃ 1
𝑝
(2.8)
)︃ 1
𝑝
est appelée Gagliardo seminorme de 𝑢.
Il faut aussi remarquer que, comme dans le cas classique où 𝑠 est un entier,
′
l’espace 𝑊 𝑠 ,𝑝 (Ω) est continûment plongeable dans 𝑊 𝑠,𝑝 (Ω) quand 𝑠 ≤ 𝑠′ , voir [ [5],
Proposition 2.1]. La même chose se réalise aussi quand 𝑠′ = 1 à condition que 𝜕Ω
soit 𝐶 0,1 et bornée, voir [5, Proposition 2.2].
Remarque 2.2.1
Si 𝑠 ≥ 1, la définition (2.7) n’est pas vraie. On suppose que Ω est connexe, toute
fonction mesurable 𝑢 : Ω −→ R telle que
∫︁ ∫︁
Ω
Ω
|𝑢(𝑥) − 𝑢(𝑦)|𝑝
𝑑𝑥𝑑𝑦 < ∞
|𝑥 − 𝑦|𝑁 +𝑠𝑝
est réellement constante (voir [2, Proposition 2]). Ceci est strictement lié au fait
que
∫︁
∫︁ ∫︁
1
|𝑢(𝑥) − 𝑢(𝑦)|𝑝
𝑝
(2.9)
lim− (𝑠 − 1)
𝑑𝑥𝑑𝑦 = 𝐶 |∇𝑢|𝑝 𝑑𝑥
𝑁
+𝑠𝑝
𝑠→1
Ω
Ω Ω |𝑥 − 𝑦|
pour une constante positive 𝐶 appropriée (voir [2, Corollaire 4]).
Remarque 2.2.2
′
On suppose Ω de classe 𝐶 0,1 , on a 𝑊 𝑠 ,𝑝 (Ω) ⊆ 𝑊 𝑠,𝑝 (Ω) pour 𝑠 ≥ 𝑠′ et 𝑝 ∈ [1, ∞[
avec 𝑠, 𝑠′ > 1(voir [5, Corollaire 2.3]).
Théorème 2.2.1 Pour 𝑠 > 0, l’espace 𝐶𝑐∞ (R𝑁 ) des fonctions infiniment différentiables et ayant un support compact est dense dans 𝑊 𝑠,𝑝 (R𝑁 ).
Preuve. Voir [1, Théorème 7.38].
Toute fonction dans 𝑊 𝑠,𝑝 (R𝑁 ) peut être approchée par une suite de fonctions
infiniment différentiables et ayant un support compact dans R𝑁 . Plus généralement on peut avoir ce résultat à l’aide d’une extension d’un opérateur qui peut
étendre une fonction de Ω à R𝑁 où Ω suffisamment régulière (voir [1]).
c
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Laplacien fractionnaire via la norme de Gagliardo et la transformée de Fourier23
Soit 𝒟𝑠,𝑝 (Ω) = 𝐶𝑐∞ (Ω)‖·‖𝑊 𝑠,𝑝 . De Théorème 2.2.1, on peut avoir
𝒟𝑠,𝑝 (R𝑁 ) = 𝑊 𝑠,𝑝 (R𝑁 ),
en général ce qui n’est pas vrai pour un ensemble Ω ⊂ R𝑁 .
Tous ces résultats deviennent plus intéressants quand 𝑝 = 2, comme les espaces
𝑊 𝑠,2 (Ω) et 𝒟𝑠,2 (Ω) sont des espaces de Hilbert. On gardera la même notation pour
𝒟𝑠,2 (Ω) et pour 𝑊 𝑠,2 (Ω), on écrirera 𝐻 𝑠 (Ω). Ces espaces sont strictement liés à
l’opérateur Laplacien fractionnaire (−Δ)𝑠 (voir [24, Proposition 1.2.10])qu’on va
introduire dans la section suivante.
2.3
Laplacien fractionnaire via la norme de Gagliardo et la transformée de Fourier
Dans cette section on va définir brièvement le Laplacien fractionnaire, via la
norme de Gagliardo et la transformée de Fourier. Pour plus de détails, il faut
voir [24, Proposition 1.2.10].
On va montrer les définitions suivantes sont équivalentes :
(−Δ)𝑠 𝑢(𝑥) = 𝐶(𝑁, 𝑠)𝑃.𝑉.
∫︁
R𝑁
𝑢(𝑥) − 𝑢(𝑦)
𝑑𝑦, 𝑥 ∈ R𝑁 ,
|𝑥 − 𝑦|𝑁 +2𝑠
où P.V. est une abbréviation pour dire "in the principal value sense",
∫︁
1
𝑢(𝑥 + 𝑦) − 2𝑢(𝑥) − 𝑢(𝑥 − 𝑦)
𝑑𝑦, 𝑥 ∈ R𝑁 ,
(−Δ) 𝑢(𝑥) = − 𝐶(𝑁, 𝑠)
𝑁
2
|𝑦|𝑁 +2𝑠
R
𝑠
(−Δ)𝑠 𝑢(𝜉) = ℱ −1 (|𝜉|2𝑠 ℱ(𝑢)(𝜉)), 𝜉 ∈ R𝑁 .
Laplacien fractionnaire via la norme de Gagliardo
Soit 𝑢 ∈ 𝒮 et 𝑠 ∈]0, 1[, on définit (−Δ)𝑠 comme
∫︁
𝑢(𝑥) − 𝑢(𝑦)
𝑢(𝑥) − 𝑢(𝑦)
𝑑𝑦
=
𝐶(𝑁,
𝑠)
lim
𝑑𝑦.
𝑁
+2𝑠
𝜀→0+ R𝑁 ∖𝐵𝜀 (𝑥) |𝑥 − 𝑦|𝑁 +2𝑠
R𝑁 |𝑥 − 𝑦|
(2.10)
où P.V. est une abbréviation pour dire "in the principal value sense" et
(−Δ)𝑠 𝑢(𝑥) = 𝐶(𝑁, 𝑠)𝑃.𝑉.
∫︁
𝐶(𝑁, 𝑠) :=
(︃∫︁
R𝑁
1 − cos(𝜉1 )
𝑑𝜉
|𝜉|𝑁 +2𝑠
)︃−1
(2.11)
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Laplacien fractionnaire via la norme de Gagliardo et la transformée de Fourier24
avec 𝜉 = (𝜉1 , 𝜉 ′ ), 𝜉 ′ ∈ R𝑁 −1 une constante positive.
Le lemme suivant montre qu’on peut écrire l’intégrale singulière dans (2.11)
comme un quotient différentiel de second ordre pondéré sans P.V.
Lemme 2.3.1 Soit 𝑠 ∈]0, 1[ et (−Δ)𝑠 l’opérateur Laplacien fractionnaire défini
dans (2.11). Alors, pour tout 𝑢 ∈ 𝐶𝑐∞ (R𝑁 ),
∫︁
𝑢(𝑥 + 𝑦) − 2𝑢(𝑥) + 𝑢(𝑥 − 𝑦)
1
𝑑𝑦, , 𝑥 ∈ R𝑁 . (2.12)
(−Δ)𝑠 𝑢(𝑥) = − 𝐶(𝑁, 𝑠)
𝑁
+2𝑠
𝑁
2
|𝑦|
R
Preuve. L’équivalence entre les définitions (2.11) et (2.12) vient immédiatement
par un changement de variables.
En effet, en posant 𝑧 = 𝑦 − 𝑥 et 𝑧 ′ = 𝑥 − 𝑦, on a
∫︁
∫︁
𝑢(𝑥 + 𝑧) − 𝑢(𝑥)
𝑢(𝑥 − 𝑧 ′ ) − 𝑢(𝑥) ′
1
1
𝑑𝑧
−
𝐶(𝑁,
𝑠)𝑃.𝑉.
𝑑𝑧
(−Δ) 𝑢(𝑥) = − 𝐶(𝑁, 𝑠)𝑃.𝑉.
2
|𝑧|𝑁 +2𝑠
2
|𝑧 ′ |𝑁 +2𝑠
R𝑁
R𝑁
∫︁
1
𝑢(𝑥 + 𝑧) − 2𝑢(𝑥) + 𝑢(𝑥 − 𝑧)
= − 𝐶(𝑁, 𝑠)𝑃.𝑉.
𝑑𝑧.
2
|𝑧|𝑁 +2𝑠
R𝑁
𝑠
Cette définition est utile car il permet de se débarrasser de la singularité de
l’intégrale à l’origine. Pour 𝑢 ∈ 𝐶𝑐∞ (R𝑁 ) et d’après le second ordre d’expansion de
Taylor, on a
𝑢(𝑥 + 𝑦) − 2𝑢(𝑥) + 𝑢(𝑥 − 𝑦) ⃦⃦ 2 ⃦⃦
≤ ⃦𝐷 𝑢⃦ ∞
,
𝐿 (𝐵1 (0))
|𝑦|2
qui implique
‖𝐷2 𝑢‖𝐿∞ (𝐵1 (0))
𝑢(𝑥 + 𝑦) − 2𝑢(𝑥) + 𝑢(𝑥 − 𝑦)
≤
,
|𝑦|𝑁 +2𝑠
|𝑦|𝑁 +2𝑠−2
(2.13)
sachant que |𝑦|−𝑁 −2𝑠+2 est intégrable au voisinage de 0 pour 𝑠 ∈]0, 1[. Alors, avec
le fait que 𝑢 a un support compact, l’intégrale de Lebesgue (2.12) existe.
Une approche via la transformée de Fourier
On définit un espace équivalent à 𝐻 𝑠 (R𝑁 ) via la transformée de Fourier :
̂︁𝑠 (R𝑁 )
𝐻
{︂
2
𝑁
= 𝑢 ∈ 𝐿 (R ) :
∫︁
R𝑁
2𝑠
2
}︂
(1 + |𝜉| )|ℱ𝑢(𝜉)| 𝑑𝜉 < ∞ .
(2.14)
La définition ci-dessus reste vraie pour tout réel 𝑠 ≥ 1 mais telle n’est pas le cas
pour la norme de Gagliardo dans (2.10).
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Laplacien fractionnaire via la norme de Gagliardo et la transformée de Fourier25
On va prouver dans la proposition suivante qu’on peut voir le Laplacien fractionnaire (−Δ)𝑠 comme un opérateur pseudo-différentiel avec comme symbole |𝜉|2𝑠 .
Proposition 2.3.1 Soit 𝑠 ∈]0, 1[ et (−Δ)𝑠 : 𝒮 −→ 𝐿2 (R𝑁 ) l’ opérateur Laplacien
fractionnaire défini par (2.10). Donc, pour tout 𝑢 ∈ 𝐶𝑐∞ (R𝑁 ), on a
ℱ(−Δ)𝑠 𝑢(𝜉) = |𝜉|2𝑠 (ℱ𝑢), 𝜉 ∈ R𝑁 ,
(2.15)
pour une constance positive 𝐶 appropriée dépendant seulement de 𝑠 et de 𝑁 .
Preuve. Utilisant la définition dans Lemme 2.3.1 via le quotient différentiel de
second ordre pondéré dans (2.10), on pose
1
1 ∫︁ 𝑢(𝑥 + 𝑦) − 2𝑢(𝑥) + 𝑢(𝑥 − 𝑦)
𝑠
(−Δ) 𝑢(𝑥) = ℒ𝑢(𝑥) = −
𝑑𝑦, 𝑦 ∈ R𝑁 .
𝑁
+2𝑠
𝑁
𝐶(𝑁, 𝑠)
2 R
|𝑦|
Considérant l’opérateur linéaire ℒ, on veut montrer
ℱ(ℒ𝑢) = 𝐶|𝜉|2𝑠 (ℱ𝑢),
(2.16)
pour une constance positive 𝐶 appropriée dépendant seulement de 𝑠 et de 𝑁 .
D’après [24, Lemme 1.2.5], on peut obtenir la transformée de Fourier par rapport
à 𝑥 dans l’intégrale par rapport à 𝑦 par le théorème de Fubini-Tonelli(voir [3, page
91]) dans (2.16) et on a
1 ∫︁ ℱ(𝑢(𝑥 + 𝑦) − 2𝑢(𝑥) + 𝑢(𝑥 − 𝑦))
𝑑𝑦
2 R𝑁
|𝑦|𝑁 +2𝑠
1 ∫︁ 𝑒𝑖𝜉𝑦 + 𝑒𝑖𝜉𝑥 − 2
𝑑𝑦(ℱ𝑢)(𝜉)
=−
2 R𝑁
|𝑦|𝑁 +2𝑠
1 ∫︁ 1 − cos(𝜉 · 𝑦)
=−
𝑑𝑦(ℱ𝑢)(𝜉).
2 R𝑁
|𝑦|𝑁 +2𝑠
ℱ(ℒ𝑢) = −
D’après Lemme 1.2.5 et Lemme 1.2.6 dans [24], on obtient la relation (2.16).
Autres propriétés du Laplacien fractionnaire
Dans cette section on va discuter de quelques propriétés de (−Δ)𝑠 : produit de
convolution d’une fonction avec (−Δ)𝑠 et prouver la continuité de (−Δ)𝑠 𝜙 pour
tout 𝜙 ∈ 𝐶𝑐∞ (R𝑁 ).
Proposition 2.3.2 Soient 𝜓, 𝜙 ∈ 𝐶𝑐∞ (R𝑁 ).
c
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Laplacien fractionnaire via la norme de Gagliardo et la transformée de Fourier26
1. Si on a 𝜙𝑎 (𝑥) := 𝜙(𝑥 + 𝑎), 𝑎 ∈ R,
((−Δ)𝑠 𝜙𝑎 )(𝑥) = ((−Δ)𝑠 𝜙)(𝑥 + 𝑎), 𝑥 ∈ R𝑁 .
2. Si on a 𝜙𝜆 (𝑥) := 𝜙(𝜆𝑥), 𝜆 ∈ R,
((−Δ)𝑠 𝜙𝜆 )(𝑥) = 𝜆2𝑠 ((−Δ)𝑠 𝜙)(𝜆𝑥).
(2.17)
3.
(−Δ)𝑠 (𝜙𝜓)(𝑥) = 𝜙(𝑥)(−Δ)𝑠 𝜓(𝑥) + 𝜓(𝑥)(−Δ)𝑠 𝜙(𝑥)
∫︁
(𝜙(𝑥) − 𝜙(𝑦))(𝜓(𝑥) − 𝜓(𝑦))
−𝐶(𝑁, 𝑠)
𝑑𝑦.
|𝑥 − 𝑦|𝑁 +2𝑠
R𝑁
(2.18)
4. Si on prend 𝜌𝑛 une suite de fonctions régulières,
𝜌𝑛 * ((−Δ)𝑠 𝜙)(𝑥) = ((−Δ)𝑠 (𝜌𝑛 * 𝜙))(𝑥), 𝑥 ∈ R𝑁 .
(2.19)
La même chose se réalise pour l’inverse de (−Δ)𝑠 .
Preuve. Soient 𝜓, 𝜙 ∈ 𝐶𝑐∞ (R𝑁 ).
Pour 1), on fait un changement de variables 𝑧 = 𝑦 + 𝑎,
𝜙𝑎 (𝑥) − 𝜙𝑎 (𝑦)
𝑑𝑦
R𝑁 |𝑥 − 𝑦|𝑁 +2𝑠
∫︁
𝜙(𝑥 + 𝑎) − 𝜙(𝑦 + 𝑎)
𝑑𝑦
= 𝐶(𝑁, 𝑠)𝑃.𝑉.
R𝑁 |(𝑥 + 𝑎) − (𝑦 + 𝑎)|𝑁 +2𝑠
∫︁
𝜙(𝑥 + 𝑎) − 𝜙(𝑧)
= 𝐶(𝑁, 𝑠)𝑃.𝑉.
𝑑𝑧
𝑁
R |(𝑥 + 𝑎) − 𝑧|𝑁 +2𝑠
= ((−Δ)𝑠 𝜙)(𝑥 + 𝑎).
((−Δ)𝑠 𝜙𝑎 )(𝑥) = 𝐶(𝑁, 𝑠)𝑃.𝑉.
∫︁
Pour 2) avec 𝜙𝜆 (𝑥) = 𝜙(𝜆𝑥), 𝜆 ∈ R par un simple changement de variables 𝑧 = 𝜆𝑦,
𝑠
𝜙𝜆 (𝑥) − 𝜙𝜆 (𝑦)
𝑑𝑦
|𝑥 − 𝑦|𝑁 +2𝑠
R𝑁
∫︁
𝜙(𝜆𝑥) − 𝜙(𝜆𝑦)
𝑑𝑦
= 𝐶(𝑁, 𝑠)𝑃.𝑉.
|𝑥 − 𝑦|𝑁 +2𝑠
R𝑁
∫︁
𝜙(𝜆𝑥) − 𝜙(𝑧)
= 𝜆−𝑁 𝐶(𝑁, 𝑠)𝑃.𝑉.
𝑑𝑧
R𝑁 |𝑥 − 𝑧/𝜆|𝑁 +2𝑠
∫︁
𝜙(𝜆𝑥) − 𝜙(𝑧)
𝑑𝑧
= 𝜆2𝑠 𝐶(𝑁, 𝑠)𝑃.𝑉.
R𝑁 |𝜆𝑥 − 𝑧|𝑁 +2𝑠
= 𝜆2𝑠 ((−Δ)𝑠 𝜙)(𝜆𝑥).
((−Δ) 𝜙𝜆 )(𝑥) = 𝐶(𝑁, 𝑠)𝑃.𝑉.
∫︁
c
Etude de l’essentiel auto-adjoint de l’opérateur relativiste de Schrödinger avec potentiel de Hardy Adama NDOYE ○UCAD
/ 2017
Définition de (−Δ)𝑠 dans l’espace des distributions tempérées 𝒮 ′
27
Pour 3) avec 𝑥 ∈ R𝑁 , en ajoutant et en soustrayant la même valeur,
𝜙(𝑥)𝜓(𝑥) − 𝜙(𝑥)𝜓(𝑦) + 𝜙(𝑥)𝜓(𝑦) − 𝜙(𝑦)𝜓(𝑦)
𝑑𝑦
|𝑥 − 𝑦|𝑁 +2𝑠
R𝑁
∫︁
𝜙(𝑥)𝜓(𝑥) − 𝜙(𝑥)𝜓(𝑥) + 𝜙(𝑦)𝜓(𝑥) − 𝜙(𝑦)𝜓(𝑥) + 𝜙(𝑥)𝜓(𝑦) − 𝜙(𝑦)𝜓(𝑦)
= 𝜙(𝑥)(−Δ)𝑠 𝜓(𝑥) +
𝑑𝑦
|𝑥 − 𝑦|𝑁 +2𝑠
R𝑁
∫︁
(𝜙(𝑥) − 𝜙(𝑦))(𝜓(𝑥) − 𝜓(𝑦))
= 𝜙(𝑥)(−Δ)𝑠 𝜓(𝑥) + 𝜓(𝑥)(−Δ)𝑠 𝜙(𝑥) − 𝐶(𝑁, 𝑠)
𝑑𝑦.
|𝑥 − 𝑦|𝑁 +2𝑠
R𝑁
((−Δ)𝑠 𝜙𝜓)(𝑥) = 𝐶(𝑁, 𝑠)𝑃.𝑉.
∫︁
Pour 4), utilisant (2.4), on a
̂︀
̂︀
= |𝜉|2𝑠 𝜌̂︁𝑛 (𝜉)𝜙(𝜉)
𝜌𝑛 * ℱ((−Δ)𝑠 𝜙)(𝜉) = 𝜌̂︁𝑛 (𝜉)ℱ((−Δ)𝑠 𝜙)(𝜉) = 𝜌̂︁𝑛 (𝜉)(|𝜉|2𝑠 𝜙)(𝜉)
2𝑠
𝑠
= |𝜉| 𝜌\
𝑛 * 𝜙(𝜉) = ℱ((−Δ) (𝜌𝑛 * 𝜙))(𝜉).
Pour l’inverse de (−Δ)𝑠 , la preuve est similairement identique.
2.4
Définition de (−Δ)𝑠 dans l’espace des distributions tempérées 𝒮 ′
Dans cette section, on va définir le Laplacien fractionnaire d’une fonction 𝑢
dans un pondéré espace 𝐿𝑝 .
On rappelle le Laplacien fractionnaire (−Δ)𝑠 dans sa représentation non locale
dans l’espace réel,
𝑠
(−Δ) 𝜙(𝑥) = 𝐶(𝑁, 𝑠)𝑃.𝑉.
∫︁
R𝑁
𝜙(𝑥) − 𝜙(𝑦)
𝑑𝑦.
|𝑥 − 𝑦|𝑁 +2𝑠
Pour 𝑘 ∈ N, on considére aussi l’espace
𝒮𝑠𝑘 (R𝑁 ) :=
⎧
⎨
𝜙 ∈ 𝐶 𝑘 (R𝑁 ) : sup (1 + |𝑥|𝑁 +2𝑠 )
⎩
𝑥∈R𝑁
∑︁
⎫
⎬
|𝜕 𝛼 𝜙(𝑥)| < ∞
|𝛼|≤𝑘
⎭
muni de la norme
𝜙 ↦→ ‖𝜙‖𝑘,𝑠 := sup (1 + |𝑥|𝑁 +2𝑠 )
𝑥∈R𝑁
∑︁
|𝜕 𝛼 𝜙(𝑥)|.
(2.20)
|𝛼|≤𝑘
Lemme 2.4.1 Soient 𝜙 ∈ 𝒮𝑠2 (R𝑁 ) et 𝑠 ∈]0, 1[ . Alors il existe une constante 𝐶 > 0
indépendant de 𝜙 telle que, pour tout 𝑥 ∈ R𝑁 ,
⃒∫︁
⃒
⃒
⃒
⃒ |𝑥−𝑦|≥𝜀
𝐶 ‖𝜙‖2,𝑠
𝜙(𝑥) − 𝜙(𝑦) ⃒⃒
𝑑𝑦 ⃒ ≤
, 𝜀 < 1.
𝑁
+2𝑠
⃒
|𝑥 − 𝑦|
1 + |𝑥|𝑁 +2𝑠
⃒
c
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Définition de (−Δ)𝑠 dans l’espace des distributions tempérées 𝒮 ′
28
Preuve. Soit 𝜙 ∈ 𝒮 et on suppose |𝑥| ≥ 3. D’après Lemme 2.3.1 et l’expansion
de Taylor, on a
⃒∫︁
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
−𝑁 −2𝑠
⃒
⃒
(𝜙(𝑥)
−
𝜙(𝑥
+
𝑦)
−
𝑦
·
∇𝜙(𝑥)I
(𝑦))|𝑦|
𝑑𝑦
𝐵(0,1)
⃒ |𝑦|≥𝜀
⃒
⃒
⃒∫︁
⃒
⃒
⃒
⃒
−𝑁 −2𝑠
(𝜙(𝑥) − 𝜙(𝑥 + 𝑦) − 𝑦 · ∇𝜙(𝑥)I𝐵(0,1) (𝑦))|𝑦|
𝑑𝑦 ⃒
≤⃒
⃒
⃒ 𝜀≤|𝑦|≤|𝑥|/2
∫︁
∫︁
|𝑦|−𝑁 −2𝑠 𝑑𝑦 +
+ |𝜙(𝑥)|
|𝑦|≥|𝑥|/2
≤ |∇𝜙(𝑥)|
∫︁
|𝜙(𝑦)||𝑥 − 𝑦|−𝑁 −2𝑠 𝑑𝑦
|𝑥−𝑦|≥|𝑥|/2
⃦
⃦
1≤|𝑦|≤|𝑥|/2
∫︁
⃦
⃦
|𝑦|−𝑁 −2𝑠+1 𝑑𝑦 + ⃦∇2 𝜙⃦
+ 𝐶|𝜙(𝑥)| + 𝐶|𝑥|−𝑁 −2𝑠
∫︁
R𝑁
𝐿∞ (𝐵(𝑥,|𝑥|/2))
|𝑦|−𝑁 −2𝑠+2 𝑑𝑦
𝜀≤|𝑦|≤|𝑥|/2
|𝜙(𝑦)|𝑑𝑦.
Comme on a ‖∇2 𝜙‖𝐿∞ (𝐵(𝑥,|𝑥|/2)) ≤ 𝐶|𝑥|−𝑁 −2𝑠 , |𝑥| ≥ 3 et par la norme définie en
𝐶‖𝜙‖
(4.18), chaque terme de l’inégalité ci-dessus est majoré par 1+|𝑥|𝑁2,𝑠
+2𝑠 et le résultat
est obtenu.
Si |𝑥| ≤ 3 alors on peut considérer une fonction de troncature 𝜒 ∈ 𝐶𝑐∞ (𝐵(0, 5))
telle que 𝜒 = 1 sur 𝐵(0, 4) et on pose 𝜙 = 𝜒𝜙 + (1 − 𝜒)𝜙 = 𝜙1 + 𝜙2 . Comme 𝜙1 a
un support compact, on obtient
⃒∫︁
⃒
⃒
⃒
⃒ |𝑥−𝑦|≥𝜀
⃒
𝜙(𝑥) − 𝜙(𝑦) ⃒⃒
𝑑𝑦 ⃒ ≤ 𝐶,
|𝑥 − 𝑦|𝑁 +2𝑠 ⃒
pour tout 𝑥 ∈ 𝐵(0, 3) et 𝜀 ∈]0, 1[.
Finalement pour |𝑥| ≤ 3, on a
⃒∫︁
⃒
⃒
⃒
(𝜙 (𝑥) − 𝜙2 (𝑥 + 𝑦) − 𝑦
⃒ |𝑦|≥𝜀 2
−𝑁 −2𝑠
· ∇𝜙2 (𝑥)I𝐵(0,1) (𝑦))|𝑦|
⃒
⃒
𝑑𝑦 ⃒⃒
⃒
=
⃒∫︁
⃒
⃒
⃒
⃒
−𝑁 −2𝑠
⃒
𝜙2 (𝑥 + 𝑦)|𝑦|
𝑑𝑦 ⃒⃒
⃒ |𝑦|≥1
⃒
≤
𝐶 ‖𝜙2 ‖2,𝑠
,
1 + |𝑥|𝑁 +2𝑠
en effet,
⃒∫︁
⃒
⃒
⃒
⃒ R𝑁 ∖𝐵1
⃒
|𝜙2 (𝑥 + 𝑦)|
𝜙2 (𝑥 + 𝑦) ⃒⃒ ∫︁
𝑑𝑦
𝑑𝑦
⃒
≤
⃒
|𝑦|𝑁 +2𝑠
|𝑦|𝑁 +2𝑠
R𝑁 ∖𝐵1
‖𝜙2 ‖2,𝑠 ∫︁
1 + |𝑥|𝑁 +2𝑠
≤
𝑑𝑦
1 + |𝑥|𝑁 +2𝑠 R𝑁 ∖𝐵1 (1 + |𝑥 + 𝑦|𝑁 +2𝑠 )|𝑦|𝑁 +2𝑠
𝐶 ‖𝜙2 ‖2,𝑠
≤
1 + |𝑥|𝑁 +2𝑠
c
Etude de l’essentiel auto-adjoint de l’opérateur relativiste de Schrödinger avec potentiel de Hardy Adama NDOYE ○UCAD
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Définition de (−Δ)𝑠 dans l’espace des distributions tempérées 𝒮 ′
29
car |𝑥| ≤ 3. D’où on obtient le résultat.
De Lemme 2.4.1, on déduit
|(−Δ)𝑠 𝜙(𝑥)| ≤
𝐶 ‖𝜙‖2,𝑠
1 + |𝑥|𝑁 +2𝑠
avec 𝐶 > 0 une constante indépendant de 𝜙.
Maintenant, on peut définir
{︃
ℒ1𝑠
}︃
∫︁
𝑁
= 𝑢:R →R:
R𝑁
|𝑢(𝑥)|
𝑑𝑥 < ∞ .
1 + |𝑥|𝑁 +2𝑠
Définition 2.4.1 Soit Ω un ensemble ouvert et 𝑢 ∈ ℒ1𝑠 , la distribution (−Δ)𝑠 𝑢
est définie :
∫︁
< (−Δ)𝑠 𝑢, 𝜙 >=
𝑢(−Δ)𝑠 𝜙𝑑𝑥, 𝜙 ∈ 𝐶𝑐∞ (Ω).
R𝑁
′
𝑠
Dire que (−Δ) 𝑢 = 𝑓 dans 𝒟 (Ω) est équivalent à la formulation très faible
∫︁
R𝑁
𝑢(−Δ)𝑠 𝜙𝑑𝑥 =
∫︁
Ω
𝑓 𝜙𝑑𝑥, 𝜙 ∈ 𝐶𝑐∞ (Ω).
[·]
𝑠
𝑁)
Définition 2.4.2 On définit 𝐷𝑠,2 (Ω) = 𝐶𝑐∞ (Ω) 𝐻 (R
est un espace de Hilbert suivant la norme respective
‖𝑢‖𝐷𝑠,2 (Ω) :=
(︃∫︁ ∫︁
R2𝑁
le complété de 𝐶𝑐∞ (Ω) qui
(𝜙(𝑥) − 𝜙(𝑦))2
𝑑𝑥𝑑𝑦
|𝑥 − 𝑦|𝑁 +2𝑠
)︃ 1
2
.
Si 𝑢 ∈ 𝐷𝑠,2 (Ω) ⊂ ℒ1𝑠 satisfait
(−Δ)𝑠 𝑢 = 𝑓 dans 𝒟′ (Ω),
on a la formulation faible
< 𝑢, 𝜙 >𝐷𝑠,2 (Ω) =
∫︁
𝑓 𝜙𝑑𝑥, 𝜙 ∈ 𝒟(Ω),
Ω
où
< 𝑢, 𝜙 >𝐷𝑠,2 (Ω) := 𝐶(𝑁, 𝑠)
:=
∫︁
R𝑁
∫︁ ∫︁
R2𝑁
(𝑢(𝑥) − 𝑢(𝑦))(𝜙(𝑥) − 𝜙(𝑦))
𝑑𝑥𝑑𝑦
|𝑥 − 𝑦|𝑁 +2𝑠
̂︀
|𝜉|2𝑠 𝑢̂︀𝜙𝑑𝜉.
c
Etude de l’essentiel auto-adjoint de l’opérateur relativiste de Schrödinger avec potentiel de Hardy Adama NDOYE ○UCAD
/ 2017
30
Quelques définitions et notations
2.5
Quelques définitions et notations
Dans cette section on va introduire brièvement des notions et notations importantes qui vont surtout être utiles dans Chapitre 5. Pour plus de détails, les
bonnes références sont [8] et [18].
On commence
Définition 2.5.1 Pour tout 𝑢 ∈ 𝐶𝑐∞ (R𝑁 ), on définit la représentation intégrale
de (−Δ + 𝑚2 )𝑠 :
(−Δ + 𝑚2 )𝑠 𝑢(𝑥) = 𝑐𝑁,𝑠 𝑚
𝑁 +2𝑠
2
𝑃.𝑉.
∫︁
R𝑁
𝑢(𝑥) − 𝑢(𝑦)
|𝑥 − 𝑦|
𝑁 +2𝑠
2
𝐾 𝑁 +2𝑠 (𝑚|𝑥 − 𝑦|)𝑑𝑦 + 𝑚2𝑠 𝑢(𝑥),
2
où 𝑚 ≥ 0 et
𝑁
𝑐𝑁,𝑠 = 2−(𝑁 +2𝑠)/2+1 𝜋 − 2 22𝑠
𝑠(1 − 𝑠)
,
Γ(2 − 𝑠)
voir [8].
Le noyau 𝐾𝜈 est la fonction Bessel modifiée de second type avec ordre 𝜈. On
rappelle, pour 𝜈 > 0,
(︂ )︂
Γ(𝜈) 𝑟 −𝜈
𝐾𝜈 (𝑟) ∼
(2.21)
2
2
quand 𝑟 → 0 et 𝐾−𝜈 = 𝐾𝜈 pour 𝜈 < 0, tandis que
√
𝜋
(2.22)
𝐾𝜈 (𝑟) ∼ √ 𝑟−1/2 𝑒−𝑟
2
quand 𝑟 → ∞, voir [6]. Plus loin on a
𝜈
𝐾𝜈′ (𝑟) = − 𝐾𝜈 (𝑟) − 𝐾𝜈−1 (𝑟).
𝑟
La forme de Dirichlet associée à (−Δ + 𝑚2 )𝑠 sur 𝐶𝑐∞ (R𝑁 ) est donnée par
(𝑢, 𝑣)𝐻𝑚𝑠 (R𝑁 ) :=
=
∫︁
R𝑁
̂︀
̂︀
(|𝜉|2 + 𝑚2 )𝑠 𝑢(𝜉)
𝑣(𝜉)𝑑𝜉
𝑐𝑁,𝑠 𝑁 +2𝑠 ∫︁
(𝑢(𝑥) − 𝑢(𝑦))(𝑣(𝑥) − 𝑣(𝑦))
𝐾 𝑁 +2𝑠 (𝑚|𝑥 − 𝑦|)𝑑𝑥𝑑𝑦
𝑚 2
𝑁 +2𝑠
2
2
R2𝑁
|𝑥 − 𝑦| 2
+ 𝑚2𝑠
∫︁
R𝑁
𝑢(𝑥)𝑣(𝑥)𝑑𝑥,
(2.23)
𝑠
où 𝑢̂︀ est la transformée de Fourier unitaire de 𝑢. On définit 𝐻𝑚
(R𝑁 ) comme le
∞
𝑁
complété de 𝐶𝑐 (R ) suivant la norme induite par le produit scalaire (2.23). Si
c
Etude de l’essentiel auto-adjoint de l’opérateur relativiste de Schrödinger avec potentiel de Hardy Adama NDOYE ○UCAD
/ 2017
31
Quelques définitions et notations
𝑠
(R𝑁 ) n’est rien d’autre que le standard 𝐻 𝑠 (R𝑁 ) ; donc on va écrire
𝑚 > 0, 𝐻𝑚
𝐻 𝑠 (R𝑁 ) sans l’indice "𝑚".
L’opérteur (−Δ+𝑚2 )𝑠 satisfait une propriété d’extension rappelant l’extension
de Caffarelli-Silvestre [4], voir [8]. On la rappelle via le noyau de Bessel qui est
′
𝑡2𝑠 𝑚
𝑃𝑚 (𝑧) := 𝐶𝑁,𝑠
𝑁 +2𝑠
2
|𝑧|−
𝑁 +2𝑠
2
𝐾 𝑁 +2𝑠 (𝑚|𝑧|),
(2.24)
2
′
avec 𝑧 = (𝑡, 𝑥) ∈ R × R𝑁 et une une constante de normalisation 𝐶𝑁,𝑠
. On choisit
𝑁
𝑠
arbitrairement 𝑢 ∈ 𝐻𝑚 (R ) et on pose
𝑤(𝑡, 𝑥) = (𝑃𝑚 (𝑡, ·) * 𝑢)(𝑥).
+1 1−2𝑠
1
(R𝑁
;𝑡
) et plus
Donc, voir [8], on a 𝑤 ∈ 𝐻𝑚
+
{︃
+1
−div(𝑡1−2𝑠 ∇𝑤)(𝑡, 𝑥) + 𝑚2 𝑡1−2𝑠 𝑤(𝑡, 𝑥) = 0, dans R𝑁
,
+
𝜕𝑤
1−2𝑠
2 𝑠
𝑁
− lim 𝑡
(𝑡, 𝑥) = 𝜅𝑠 (−Δ + 𝑚 ) 𝑢(𝑥), sur R ,
𝜕𝑡
(2.25)
𝑡→0
+1
𝑁 +1 1−2𝑠
𝑁
1
dans le sens faible où R𝑁
= {𝑧 = (𝑡, 𝑥) : 𝑡 ∈]0,
)
+
∫︁ +∞[, 𝑥 ∈ R }. 𝐻𝑚 (R+∫︁ ; 𝑡
+1
est le complété de 𝐶𝑐∞ (R𝑁
) suivant la norme
+
+1
R𝑁
+
𝑡1−2𝑠 |∇𝑤|2 𝑑𝑡𝑑𝑥+𝑚2
R𝑁
𝑡1−2𝑠 𝑤2 𝑑𝑡𝑑𝑥.
En fait, effectuant la transformée de Fourier dans les équations ci-dessus, on
peut
√︁ voir que le noyau de Bessel 𝑃𝑚 (𝑡, 𝑥) est la transformée de Fourier de 𝜉 →
2
( 2𝑟 )𝑠 𝐾𝑠 (𝑟) résout
𝜗( |𝜉|2 + 𝑚2 𝑡) où 𝜗(𝑟) = Γ(𝑠)
{︃
𝜗′′ + (1−2𝑠)
𝜗′ − 𝜗 = 0,
𝑡
𝜗(0) = 1.
Ce qui implique donc
∫︁
R𝑁
𝑃𝑚 (𝑡, 𝑥)𝑑𝑥 = 𝜗(𝑚𝑡).
(2.26)
Dû à la propriété d’homogéneité du problème (2.25), on est naturellement conduit
1−2𝑠
à considérer un problème de valeur propre angulaire. Soit 𝐻 1 (S𝑁
) défini
+ ; 𝜃1
1−2𝑠
comme dans (1.1). Comme le poids 𝜃1
appartient à la deuxième classe Muckenhoupt,
1−2𝑠
1−2𝑠
𝐻 1 (S𝑁
) ˓→˓→ 𝐿2 (S𝑁
)
+ ; 𝜃1
+ ; 𝜃1
est compact où
{︃
𝐿
2
1−2𝑠
(S𝑁
)
+ ; 𝜃1
:= 𝜓 :
S𝑁
+
→ R mesurable tel que
∫︁
S𝑁
+
}︃
𝜃11−2𝑠 𝜓 2 (𝜃)𝑑𝑆
< +∞ ,
voir [18] pour plus de détails.
c
Etude de l’essentiel auto-adjoint de l’opérateur relativiste de Schrödinger avec potentiel de Hardy Adama NDOYE ○UCAD
/ 2017
32
Quelques définitions et notations
La première valeur propre de la composante angulaire de l’opérateur étendu
∫︁
𝜇1 (𝜆) :=
min
1−2𝑠
𝜓∈𝐻 1 (S𝑁
)∖{0}
+ ,𝜃1
S𝑁
+
𝜃11−2𝑠 |∇𝜓|2 𝑑𝑆
∫︁
S𝑁
+
− 𝜅𝑠 𝜆
∫︁
S𝑁 −1
𝜓 2 𝑑𝑆 ′
𝜃11−2𝑠 𝜓 2 𝑑𝑆
est atteinte par une fonction propre 𝜓 qui ne change pas de signe et satisfait
⎧
⎨
−divS𝑁 (𝜃11−2𝑠 ∇S𝑁 𝜓) = 𝜇1 (𝜆)𝜃11−2𝑠 𝜓, dans S𝑁
+,
1−2𝑠
𝑁 −1
𝑁
𝑁
.
−
lim
𝜃
∇
𝜓
·
e
=
𝜅
𝜆𝜓,
sur
𝜕S
⎩
1
𝑠
S
+ = S
+ 1
(2.27)
𝜃1 →0
c
Etude de l’essentiel auto-adjoint de l’opérateur relativiste de Schrödinger avec potentiel de Hardy Adama NDOYE ○UCAD
/ 2017
Chapitre Trois
Opérateurs essentiellement
auto-adjoints
Dans ce chapitre on va notamment discuter sur la notion d’essentiel autoadjoint, mais avant de passer à cela on a besoin de faire quelques rappels. Il faut
se référer à [26] et [25] pour ce chapitre.
Dans la suite, on considérera 𝐻 comme un espace de Hilbert complexe séparable, 𝒟 un sous espace de 𝐻 et 𝐴 un opérateur de 𝒟 vers 𝐻. Le sous espace 𝒟
est appelé le domaine de l’opérateur 𝐴 et on le notera 𝐷(𝐴).
3.1
Adjoint d’un opérateur
Définition 3.1.1 L’adjoint 𝐴* : 𝐷(𝐴* ) → 𝐻 d’un opérateur densément défini
𝐴 : 𝐷(𝐴) → 𝐻 est défini comme suit :
𝐷(𝐴* ) = {𝜓 ∈ 𝐻|∃𝜂 ∈ 𝐻, ∀𝛼 ∈ 𝐷(𝐴) : ⟨𝜓, 𝐴𝛼⟩ = ⟨𝜂, 𝛼⟩}
et 𝐴* 𝜓 := 𝜂.
Il est bien défini car 𝐷(𝐴) = 𝐻.
En effet soit 𝜂 ′ un autre tel vecteur dans 𝐻, alors
⟨𝜂 − 𝜂 ′ , 𝛼⟩ = ⟨𝐴* 𝜓 − 𝐴* 𝜓, 𝛼⟩ = 0 ⇒ 𝜂 = 𝜂 ′ .
On a le résultat suivant :
Proposition 3.1.1 ker(𝐴* ) = Im(𝐴)⊥ .
Preuve. 𝜓 ∈ ker(𝐴* ) ⇔ ∀𝛼 ∈ 𝐷(𝐴) : ⟨𝜓, 𝐴𝛼⟩ = 0 ⇔ 𝜓 ∈ Im(𝐴)⊥ .
Définition 3.1.2 Soient 𝐴 et 𝐵 deux opérateurs. On dit que 𝐵 est une extension
de 𝐴 et on note 𝐴 ⊆ 𝐵 si :
Adjoint d’opérateurs symétriques
34
i 𝐷(𝐴) ⊆ 𝐷(𝐵),
ii 𝐴𝛼 = 𝐵𝛼, 𝛼 ∈ 𝐷(𝐴).
Proposition 3.1.2 Si 𝐴 ⊆ 𝐵 alors on a 𝐵 * ⊆ 𝐴* .
3.2
Adjoint d’opérateurs symétriques
Définition 3.2.1 Un opérateur densément défini 𝐴 : 𝐷(𝐴) → 𝐻 est symétrique
(Hermitien en Physique) si
⟨𝛼, 𝐴𝛽⟩ = ⟨𝐴𝛼, 𝛽⟩,
pour tout 𝛼, 𝛽 ∈ 𝐷(𝐴).
Théorème 3.2.1 Si 𝐴 est symétrique alors 𝐴 ⊆ 𝐴* .
Preuve. D’après Proposition 3.1.2 , on a 𝐷(𝐴* ) ⊆ 𝐷(𝐴). Il suffit de montrer
seulement 𝐷(𝐴) ⊆ 𝐷(𝐴* ).
𝐷(𝐴* ) = {𝜓 ∈ 𝐻|∃𝜂 ∈ 𝐻, ∀𝛼 ∈ 𝐷(𝐴) : ⟨𝜓, 𝐴𝛼⟩ = ⟨𝜂, 𝛼⟩}
Soit 𝜓 ∈ 𝐷(𝐴). Alors en posant 𝜂 = 𝐴𝜓, on a 𝜓 ∈ 𝐷(𝐴* ) car 𝐴 est symétrique.
Définition 3.2.2 Si on a l’égalité dans Théorème 3.2.1 alors on dit que l’opérateur 𝐴 est auto-adjoint.
Ainsi on a le corollaire suivant.
Corollaire 3.2.1 Un opérateur auto-adjoint est sa propre extension.
Preuve. Soient 𝐴 et 𝐵 deux opérateurs auto-adjoints tels que 𝐵 est une extension de 𝐴. Alors on a
𝐴 ⊆ 𝐵 = 𝐵 * ⊆ 𝐴* = 𝐴.
C’est-à-dire 𝐵 = 𝐴.
On termine cette section par certaines notions et propriétés des opérateurs
symétriques auto-adjoints.
c
Etude de l’essentiel auto-adjoint de l’opérateur relativiste de Schrödinger avec potentiel de Hardy Adama NDOYE ○UCAD
/ 2017
35
Adjoint d’opérateurs symétriques
Définition 3.2.3 On dit qu’un nombre complexe 𝜆 est dans le résolvent 𝜌(𝐴) de
l’opérateur 𝐴 si (𝜆𝐼𝑑 − 𝐴) est injectif, son image (𝜆𝐼𝑑 − 𝐴)𝐷(𝐴) est dense dans
𝐻 et son opérateur inverse (𝜆𝐼𝑑 − 𝐴)−1 est un opérateur borné de (𝜆𝐼𝑑 − 𝐴)𝐷(𝐴)
vers 𝐻. Cet opérateur est uniquement étendu vers un opérateur borné 𝑅𝜆 sur 𝐻
appelé l’opérateur résolvent.
L’ensemble C ∖ 𝜌(𝐴), noté 𝜎(𝐴), est appelé le spectre de l’opérateur 𝐴.
On abrège souvent 𝐴 − 𝜆𝐼𝑑 par 𝐴 − 𝜆.
Ainsi, on a la proposition suivante (Résolvent équation) qui implique la commutativité de l’opérateur résolvent.
Proposition 3.2.1 (Résolvent équation). Pour tout 𝜆, 𝜇 ∈ 𝜌(𝐴) on a
𝑅𝜆 − 𝑅𝜇 = (𝜇 − 𝜆)𝑅𝜇 𝑅𝜆 .
De plus 𝑅𝜇 𝑅𝜆 = 𝑅𝜆 𝑅𝜇
Preuve. On a
𝑅𝜆 − 𝑅𝜇 = 𝑅𝜆 (𝜇 − 𝐴)𝑅𝜇 − 𝑅𝜆 (𝜆 − 𝐴)𝑅𝜇
= (𝜇𝑅𝜇 − 𝜆𝑅𝜇 )𝑅𝜆
= (𝜇 − 𝜆)𝑅𝜇 𝑅𝜆 .
De plus on a
1
𝑅𝜆 − 𝑅𝜇
𝜇−𝜆
1
=
𝑅𝜇 − 𝑅𝜆
𝜆−𝜇
𝜆−𝜇
=
𝑅𝜆 𝑅𝜇
𝜆−𝜇
= 𝑅𝜆 𝑅𝜇 .
𝑅𝜇 𝑅𝜆 =
La proposition ci-dessous nous donne l’inégalité de coercivité.
Proposition 3.2.2 Soit 𝐴 un opérateur symétrique. Si 𝛼 et 𝛽 sont deux réels
tels que 𝛼 + 𝑖𝛽 ∈ 𝜌(𝐴) et 𝛽 ̸= 0, on a la coercivité
‖(𝐴 − 𝛼 − 𝑖𝛽)𝑥‖2 ≥ 𝛽 2 ‖𝑥‖2 .
c
Etude de l’essentiel auto-adjoint de l’opérateur relativiste de Schrödinger avec potentiel de Hardy Adama NDOYE ○UCAD
/ 2017
36
Adjoint d’opérateurs symétriques
Preuve. On obtient par calcul direct, pour tout 𝑥 ∈ 𝐷(𝐴),
‖(𝐴 − 𝛼 − 𝑖𝛽)𝑥‖2 = ((𝐴 − 𝛼)𝑥, (𝐴 − 𝛼)𝑥) + (𝛽𝑥, 𝛽𝑥)
+ 𝑖(𝛽𝑥, (𝐴 − 𝛼)𝑥) − 𝑖((𝐴 − 𝛼)𝑥, 𝛽𝑥)
= ‖(𝐴 − 𝛼)𝑥‖2 + 𝛽 2 ‖𝑥‖2 .
Ainsi l’inégalité de coercivité se réalise.
Posons C± := {𝜆 ∈ C : ±ℑ(𝜆) ≥ 0} et on a le lemme suivant :
Lemme 3.2.1 Il n’existe que quatre possibilités mutuellement exclusives pour le
spectre d’un opérateur symétrique 𝐴 : 𝜎(𝐴) est égal à C+ , ou à C− , ou à C ou il
est inclus dans R.
Pour la preuve, voir [25].
Théorème 3.2.2 Si 𝐴 est un opérateur auto-adjoint alors son spectre 𝜎(𝐴) est
réel, i.e., 𝜎(𝐴) ⊂ R.
Preuve. Il est équivalent de montrer si 𝜆 = 𝛼 + 𝑖𝛽(𝛽 ̸= 0) alors 𝜆 ∈ 𝜌(𝐴), le
résolvent de 𝐴 et c’est que l’on va prouver.
Si 𝜆 ∈ 𝜎(𝐴), pour tout 𝑥 ̸= 0, on a 𝐴𝑥 = 𝜆𝑥 et
𝜆(𝑥, 𝑥) = (𝜆𝑥, 𝑥) = (𝐴𝑥, 𝑥) = (𝑥, 𝐴𝑥)
= (𝑥, 𝜆𝑥) = 𝜆(𝑥, 𝑥),
ce qui implique que 𝜆 = 𝜆, impossible si 𝛽 ̸= 0 ; donc 𝜆 ∈
/ 𝜎(𝐴). Pour montrer que
𝜆 ∈ 𝜌(𝐴), il reste seulement à prouver Im(𝐴 − 𝜆) = 𝐻 et (𝐴 − 𝜆)−1 est continu.
Soit 𝑦 = (𝐴 − 𝜆)𝑥 alors
‖𝑦‖2 = ((𝐴 − 𝛼)𝑥 − 𝑖𝛽𝑥, (𝐴 − 𝛼)𝑥 − 𝑖𝛽𝑥)
= ‖(𝐴 − 𝛼)𝑥‖2 + 𝛽 2 ‖𝑥‖2 .
Ce qui entraîne que 𝛽 2 ‖𝑥‖2 ≤ ‖𝑦‖2 qui est équivalent à
‖𝑥‖ ≤
1
‖𝑦‖ .
𝛽
On en déduit que
⃦
⃦
⃦
⃦
⃦(𝐴 − 𝜆)−1 𝑦 ⃦
≤
1
‖𝑦‖
𝛽
c
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Opérateurs essentiellement auto-adjoints
37
pour tout 𝑦 ∈ Im(𝐴−𝜆). Ainsi (𝐴−𝜆)−1 est continu. Maintenant il reste à montrer
Im(𝐴 − 𝜆) = 𝐻.
D’après Proposition 3.1 , on a
Im(𝐴 − 𝜆) = ker((𝐴 − 𝜆)* )⊥ = ker(𝐴* − 𝜆)⊥ = ker(𝐴 − 𝜆)⊥ .
Comme Im𝜆 = −𝛽 ̸= 0, on en déduit que (𝐴 − 𝜆)−1 existe, ce qui implique
ker(𝐴 − 𝜆) = {0}.
Ainsi
Im(𝐴 − 𝜆) = 𝐻.
3.3
Opérateurs essentiellement auto-adjoints
Généralement vérifier qu’un opérateur est symétrique n’est pas difficile. la difficulté repose sur le fait que l’opérateur soit auto-adjoint car il existe des opérateurs
symétriques qui ne sont pas auto-adjoints.
Cependant il se peut qu’il existe une extension auto-adjointe pour un opérateur
symétrique donné, et s’il existe est-elle unique ? Dans cette section nous allons
essayer de répondre à cette question avec la notion d’essentiellement auto-adjoint.
Avant d’aller plus loin définissons certaines notions.
3.3.1
Fermable, fermeture et fermé
Définition 3.3.1 (Fermable, fermeture et fermé).
1 Un opérateur densément défini 𝐴 est dit fermable si son adjoint 𝐴* est aussi
densément défini.
2 La fermeture d’un fermable opérateur 𝐴 est défini
𝐴 := 𝐴** .
3 Un opérateur 𝐴 est dit fermé si 𝐴 = 𝐴 .
Exemple 3.3.1 Un opérateur symétrique est toujours fermable.
En effet 𝐴 un opérateur symétrique implique 𝐴 ⊆ 𝐴* ⇔ 𝐷(𝐴) ⊆ 𝐷(𝐴* ).
𝐻 = 𝐷(𝐴) ⊆ 𝐷(𝐴* ) ⊆ 𝐻 ⇒ 𝐷(𝐴* ) ⊆ 𝐻.
c
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Opérateurs essentiellement auto-adjoints
38
Attention 𝐴 est symétrique n’implique pas que 𝐴* soit symétrique. Plus précisèment on ne peut pas dire que 𝐴* ⊆ 𝐴** . Cependant le contraire est toujours
vrai.
Proposition 3.3.1 Si 𝐴 est symétrique alors 𝐴** ⊆ 𝐴* .
Preuve. On a 𝐴 symétrique alors 𝐴 ⊆ 𝐴* , ce qui entraîne que 𝐴** ⊆ 𝐴* .
De plus, on a
Lemme 3.3.1 On a 𝐴 ⊆ 𝐴** .
Preuve. On a
𝐷(𝐴* ) = {𝜓 ∈ 𝐻|∃𝜂 ∈ 𝐻, ∀𝛼 ∈ 𝐷(𝐴) : ⟨𝜓, 𝐴𝛼⟩ = ⟨𝜂, 𝛼⟩},
ce qui implique que,
∀𝜓 ∈ 𝐷(𝐴* ) : ∀𝛼 ∈ 𝐷(𝐴) : ⟨𝜓, 𝐴𝛼⟩ = ⟨𝐴* 𝜓, 𝛼⟩.
Ainsi on a,
∀𝜓 ∈ 𝐷(𝐴) : ∀𝛼 ∈ 𝐷(𝐴* ) : ⟨𝛼, 𝐴𝜓⟩ = ⟨𝐴* 𝛼, 𝜓⟩.
Dans la définition de 𝐷(𝐴** ), en posant 𝜂 := 𝐴𝜓, on a aussi 𝜓 ∈ 𝐷(𝐴** ).
Donc on obtient 𝐷(𝐴) ⊆ 𝐷(𝐴** ), i.e, 𝐴 ⊆ 𝐴** .
Combinant ces deux précédents résultats, on a
Corollaire 3.3.1 𝐴 est symétrique implique que 𝐴 ⊆ 𝐴** (𝐴) ⊆ 𝐴* .
Corollaire 3.3.2 𝐴 est symétrique implique que 𝐴 est symétrique.
3.3.2
Opérateurs essentiellement auto-adjoints
Cette définition suivante nous permet de répondre à la question qu’on s’est
posé tout au début de cette section : l’unicité de l’extension auto-adjointe d’un
symétrique opérateur.
Définition 3.3.2 Un opérateur symétrique 𝐴 est dit essentiellement auto-adjoint
s’il admet une unique extension auto-adjointe : qui n’est rien d’autre que sa fermeture 𝐴(𝐴** ).
En d’autres termes un opérateur symétrique 𝐴 est dit essentiellement auto-adjoint
si sa fermeture 𝐴 est auto-adjoint.
c
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39
Opérateurs essentiellement auto-adjoints
Remarque 3.3.1
Auto-adjoint implique essentiellement auto-adjoint.
En effet
*
𝐴 = 𝐴* ⇒ 𝐴* = 𝐴** ⇒ 𝐴** (𝐴) = 𝐴*** (𝐴 ).
En combinant Définition 3.3.2 et Théorème 3.2.2, on a le résultat suivant qui
peut être pris comme une autre définition de l’essentiel auto-adjoint.
Corollaire 3.3.3 On peut dire aussi qu’un opérateur symétrique 𝐴 est essentiellement auto-adjoint si 𝜎(𝐴) ⊂ R.
Si, en plus, 𝐴 est fermé, on a l’auto-adjoint.
Si 𝐴 est auto-adjoint, on appelle noyau de 𝐴 le domaine dense contenu dans le
domaine de 𝐴 (𝐷(𝐴)) sur lequel la restriction de 𝐴 est essentiellement auto-adjoint.
Proposition 3.3.2 Soit 𝐴 un opérateur symétrique(resp. symétrique et fermé).
Alors la condition (1) ci-dessous est une condition suffisante pour que A soit essentiellement auto-adjoint(resp. auto-adjoint) et les conditions (2) et (3) sont nécessaires et suffisantes pour qu’il soit essentiellement auto-adjoint(resp. auto-adjoint).
(1) Il existe un réel 𝜆 dans 𝜌(𝐴).
(2) ±𝑖 sont dans 𝜌(𝐴).
(3) Les images (𝑖 − 𝐴)𝐷(𝐴) et (𝑖 + 𝐴)𝐷(𝐴) sont denses.
Preuve. Les deux premières conditions nous permettent d’éliminer les trois
premières possiblités dans Lemme 3.2.1. Enfin la condition (3) équivaut à (2).
En effet, les conditions d’injection et de la continuité de l’inverse, qui font partie
de la définition de 𝑅𝑖 (ou 𝑅−𝑖 ), sont toujours satisfaits dans le cas symétrique en
utilisant Proposition 3.2.2.
Une application particulièrement utile de la Proposition 3.3.2 est aux opérateurs symétriques qui sont bornés comme ci-dessous. Nous disons qu’un opérateur
symétrique 𝐴 est positif quand :
∀𝑥 ∈ 𝐷(𝐴)
⟨𝐴𝑥, 𝑥⟩ ≥ 0,
et on dit que 𝐴 est borné comme ci-dessous s’il existe une constante 𝑚 telle
que 𝐴 − 𝑚𝐼𝑑 est positif. Dans ce cas, on dit aussi que 𝐴 est borné par 𝑚, i.e.,
∃𝑚 ∀𝑥
⟨𝐴𝑥, 𝑥⟩ ≥ 𝑚 ‖𝑥‖2 .
(3.1)
c
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40
Opérateurs essentiellement auto-adjoints
Proposition 3.3.3 Soit 𝐴 un opérateur symétrique qui est borné par 𝑚 comme
dans (3.1) et 𝜆 < 𝑚. Ensuite pour que 𝜆 ∈ 𝜌(𝐴), il est nécessaire et suffisant que
(𝜆 − 𝐴)𝐷(𝐴) soit dense. Ainsi, si (𝜆 − 𝐴)𝐷(𝐴) est dense, 𝐴 est essentiellement
auto-adjoint.
Preuve. Comme ⟨𝑥, (𝐴 − 𝜆)𝑥⟩ ≥ (𝑚 − 𝜆) ‖𝑥‖2 , on a la condition d’injection et
la condition de continuité de 𝑅𝜆 sont satisfaites. Ainsi par la définition de 𝜌(𝐴),
𝜆 ∈ 𝜌(𝐴) si et seulement si (𝜆 − 𝐴)𝐷(𝐴) est dense.
En utilisant la condition (1) de Proposition 3.3.2, 𝜆 ∈ 𝜌(𝐴) implique 𝐴 est essentiellement auto-adjoint.
On termine cette section par le théorème de Kato-Rellich.
Définition 3.3.3 Soient 𝐴 et 𝐵 deux opérateurs densément définis sur un espace
de Hilbert 𝐻. On suppose que
(i) 𝐷(𝐴) ⊂ 𝐷(𝐵)
(ii) Pour 𝑎 et 𝑏 deux réels et tout 𝜑 ∈ 𝐷(𝐴) tels que
‖𝐵𝜑‖ ≤ 𝑎 ‖𝐴𝜑‖ + 𝑏 ‖𝜑‖ .
(3.2)
Alors on dit que 𝐵 est 𝐴-borné et 𝑎 est appelé la borne relative de 𝐵 par rapport
à 𝐴.
Théorème 3.3.1 (Théorème de Kato-Rellich)
Si 𝐴 est auto-adjoint, 𝐵 symétrique et 𝐵 est 𝐴-borné avec comme borne relative
𝑎 < 1. Alors 𝐴 + 𝐵 est auto-adjoint sur 𝐷(𝐴) et essentiellement auto-adjoint sur
n’importe quel noyau de 𝐴.
Preuve. On va montrer que Im(𝐴 + 𝐵 ± 𝑖𝜇𝑜 ) = 𝐻 pour 𝜇𝑜 > 0.
Pour 𝜙 ∈ 𝐷(𝐴), en utilisant l’égalité dans la preuve de Proposition 3.2.2 on a
‖(𝐴 + 𝑖𝜇)𝜙‖2 = ‖𝐴𝜙‖2 + 𝜇2 ‖𝜙‖2 .
(3.3)
En posant 𝜙 = (𝐴 + 𝑖𝜇)−1 𝜓 et en le remplaçant dans (3.3), on conclut que
‖𝐴(𝐴 + 𝑖𝜇)−1 ‖ < 1 et ‖(𝐴 + 𝑖𝜇)−1 ‖ < 𝜇−1 . Ainsi, en appliquant 3.2 avec 𝜙 =
(𝐴 + 𝑖𝜇)−1 𝜓, on trouve que
⃦
⃦
⃦
⃦
⃦𝐵(𝐴 + 𝑖𝜇)−1 𝜓 ⃦
⃦
⃦
⃦
⃦
≤ 𝑎 ⃦⃦𝐴(𝐴 + 𝑖𝜇)−1 𝜓 ⃦⃦ + 𝑏 ⃦⃦(𝐴 + 𝑖𝜇)−1 𝜓 ⃦⃦
(︃
)︃
𝑏
≤ 𝑎+
‖𝜓‖ .
𝜇
c
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41
Opérateurs essentiellement auto-adjoints
Donc, pour 𝜇𝑜 > 0 assez grand, 𝐶 = 𝐵(𝐴 + 𝑖𝜇𝑜 )−1 a une norme strictement
inférieure à 1, comme 𝑎 < 1. Ce qui implique que −1 ∈
/ 𝜎(𝐶), donc Im(1+𝐶) = 𝐻.
Comme 𝐴 est auto-adjoint, Im(𝐴 + 𝑖𝜇𝑜 ) = 𝐻 aussi. Donc l’équation
(1 + 𝐶)(𝐴 + 𝑖𝜇𝑜 )𝜙 = (𝐴 + 𝐵 + 𝑖𝜇𝑜 )𝜙
pour
𝜙 ∈ 𝐷(𝐴)
implique que Im(𝐴 + 𝐵 + 𝑖𝜇𝑜 ) = 𝐻. De façon similaire, on a Im(𝐴 + 𝐵 − 𝑖𝜇𝑜 ) = 𝐻.
Donc en utilisant la condition (3) dans Proposition 3.3.2, 𝐴+𝐵 est auto-adjoint sur
𝐷(𝐴), d’où 𝐴+𝐵 est essentiellement auto-adjoint sur n’importe quel noyau de 𝐴.
L’importance de l’essentiel auto-adjoint est, étant donné un opérateur symétrique 𝐴 qui n’est pas fermé, si on a l’essentiel auto-adjoint de 𝐴, donc on peut
uniquement associer à 𝐴 un opérateur auto-adjoint qui est sa fermeture 𝐴 = 𝐴** .
Autrement si 𝐴 est un opérateur auto-adjoint, on n’a pas besoin de donner le domaine exact de 𝐴 pour le spécfier(ce qui est souvent difficile)mais juste le noyau
de 𝐴.
Dans le chapitre suivant nous allons utiliser Proposition 3.3.3 pour montrer
l’objectif principal de ce mémoire : à savoir Théorème 1.0.1 et Théorème 1.0.2.
c
Etude de l’essentiel auto-adjoint de l’opérateur relativiste de Schrödinger avec potentiel de Hardy Adama NDOYE ○UCAD
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Chapitre Quatre
Essentiel auto-adjoint de
l’opérateur de Schrödinger avec
potentiel de Hardy
Ce chapitre est principalement consacré à l’étude de l’essentiel auto-adjoint de
l’opérateur 𝐴 = (−Δ)𝑠 −𝜆|𝑥|−2𝑠 sur 𝐶𝑐∞ (R𝑁 ∖{0}) dans 𝐿2 (R𝑁 ) en prouvant Théorème 4.2.1. Ici le paramètre 𝑠 est dans ]0, 1]. [8], [9], [7] et [12] sont les références
pour ce chapitre.
D’abord on va traiter le cas où 𝑠 = 1 de l’opérateur de Schrödinger avec
potentiel de Hardy.
4.1
Essentiel auto-adjoint de l’opérateur de Schrödinger avec potentiel de Hardy
Avant d’énoncer de prouver Théorème 4.1.1 ci-dessous, on a besoin de quelques
résultats.
Lemme 4.1.1 (Inégalité de Hardy).
Soit 𝑁 ≥ 3. Alors pour tout 𝑢 ∈ 𝐶𝑐∞ (R𝑁 ; C), on a
∫︁
R𝑁
La constante
(︁
𝑁 −2
2
)︁2
𝑁 −2
|∇𝑢| 𝑑𝑥 −
2
(︂
2
)︂2 ∫︁
R𝑁
|𝑥|−2 |𝑢|2 𝑑𝑥 ≥ 0.
est optimale. Autrement dit
∫︁
(︂
𝑁 −2
2
)︂2
=
inf
𝑢∈𝐶𝑐∞ (R𝑁 )
∫︁
R𝑁
R𝑁
|∇𝑢|2 𝑑𝑥
|𝑥|−2 |𝑢|2 𝑑𝑥
.
(4.1)
Essentiel auto-adjoint de l’opérateur de Schrödinger avec potentiel de Hardy 43
Preuve. Soit 𝑢 une fonction complexe et pour tout 𝛼 ∈ R, on a :
0≤
⃒2
⃒
⃒
∇|𝑥| ⃒⃒
⃒
⃒∇𝑢 + 𝛼
𝑢⃒ 𝑑𝑥
|𝑥| ⃒
R𝑁 ⃒
{︃
(︃
∫︁
∫︁
)︃
}︃
∇|𝑥|
|∇|𝑥||2
=
|∇𝑢| + 2𝛼ℜ ∇𝑢 ·
𝑢 + 𝛼2 |𝑢|2
𝑑𝑥
|𝑥|
|𝑥|2
R𝑁
)︃
(︃
∫︁
∫︁
∫︁
|∇|𝑥||2
∇|𝑥|
2
2
=
𝑢 𝑑𝑥 + 𝛼
|𝑢|2
|∇𝑢| 𝑑𝑥 + 2𝛼
𝑑𝑥
ℜ ∇𝑢 ·
|𝑥|
|𝑥|2
R𝑁
R𝑁
R𝑁
= 𝑓 (𝛼).
2
Ainsi on a
𝑓 ′ (𝛼) = 2
et
)︃
(︃
∫︁
R𝑁
∫︁
|∇|𝑥||2
∇|𝑥|
𝑢 𝑑𝑥 + 2𝛼
|𝑢|2
𝑑𝑥
ℜ ∇𝑢 ·
|𝑥|
|𝑥|2
R𝑁
(︃
)︃
∇|𝑥|
ℜ ∇𝑢 ·
𝑢 𝑑𝑥
𝑁
|𝑥|
R
′
.
𝑓 (𝛼) = 0 ⇔ 𝛼0 =
∫︁
2
2 |∇|𝑥||
𝑑𝑥
|𝑢|
|𝑥|2
R𝑁
∫︁
Donc
(︃
(︃∫︁
0 ≤ 𝑓 (𝛼0 ) =
Or
∫︁
R𝑁
|∇𝑢|2 𝑑𝑥 −
𝑁
∑︁
𝑥
∇· 2 =
𝜕𝑗
|𝑥|
𝑗=1
)︃
)︃2
∇|𝑥|
ℜ ∇𝑢 ·
𝑢 𝑑𝑥
𝑁
|𝑥|
R
∫︁
|∇|𝑥||2
|𝑢|2
𝑑𝑥
|𝑥|2
R𝑁
(︃
𝑥𝑗
|𝑥|2
)︃
=
𝑁 −2
,
|𝑥|2
(4.2)
𝜕𝑗 |𝑢|2 = 𝜕𝑗 (𝑢𝑢) = (𝜕𝑗 𝑢)𝑢 + 𝑢(𝜕𝑗 𝑢) = 2ℜ(𝑢𝜕𝑗 𝑢)
et
⎛(︃
𝜕𝑗 |𝑥| = 𝜕𝑗 ⎝
𝑁
∑︁
)︃1/2 ⎞
𝑁
1 ∑︁
⎠=
𝑥2𝑘
2 𝑘=0
𝑥2𝑘
𝑘=0
(︃
)︃−1/2
on a donc
2
|∇|𝑥|| =
𝑁
∑︁
2
(𝜕𝑗 |𝑥|) =
𝑗=1
𝑁
∑︁
𝑗=1
(︃
𝑥𝑗
|𝑥|
· 2𝑥𝑗 =
.
(4.3)
𝑥𝑗
,
|𝑥|
(4.4)
)︃2
= 1.
(4.5)
c
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Essentiel auto-adjoint de l’opérateur de Schrödinger avec potentiel de Hardy 44
Par intégration par parties et d’après (4.3), (4.2) et (4.4) on a
2
∫︁
𝑥
𝑥
ℜ (𝑢∇𝑢) · 2 𝑑𝑥 =
∇(|𝑢|2 ) · 2 𝑑𝑥
𝑁
|𝑥|
|𝑥|
R
∫︁
|𝑢|2
= (𝑁 − 2)
𝑑𝑥
R𝑁 |𝑥|2
)︃
(︃
∫︁
𝑥
=2
ℜ ∇𝑢 · 2 𝑢 𝑑𝑥
|𝑥|
R𝑁
)︃
(︃
∫︁
∇|𝑥|
𝑢 𝑑𝑥.
=2
ℜ ∇𝑢 ·
|𝑥|
R𝑁
∫︁
R𝑁
En tenant compte de (4.5), on a
0 ≤ 𝑓 (𝛼0 ) =
∫︁
R𝑁
|∇𝑢|2 𝑑𝑥 −
(︂
)︂2 ∫︁
𝑁 −2
2
R𝑁
|𝑥|−2 |𝑢|2 𝑑𝑥.
De plus on a
∫︁
0 ≤ 𝑓 (𝛼) =
2
R𝑁
2
|∇𝑢| 𝑑𝑥 + (𝛼(𝑁 − 2) + 𝛼 )
∫︁
|𝑥|−2 |𝑢|2 𝑑𝑥, 𝛼 ∈ R.
R𝑁
Pour tout 𝛼 ∈ R, on a
𝑓 (𝛼) > 𝑓 (𝛼0 ) =
∫︁
R𝑁
|∇𝑢|2 𝑑𝑥 −
(︂
𝑁 −2
2
car 𝛼0 minimise 𝑓 et 𝑓 (𝛼) = 𝑓 (𝛼0 ) implique 𝛼 =
(︁
Donc on en déduit l’optimalité de
𝑁 −2
2
)︁2
(︁
)︂2 ∫︁
R𝑁
𝑁 −2
2
)︁2
|𝑥|−2 |𝑢|2 𝑑𝑥
.
dans (4.1).
Dans la suite on va supposer Ω ⊆ R𝑁 .
Lemme 4.1.2 Soit 𝑁 ≥ 3 et 𝜆 <
𝑣 ∈ 𝐻01 (Ω), on a
∫︁
|∇𝑣|2 𝑑𝑥 − 𝜆
𝜆
𝜆0
et 𝜆0 =
𝑁 −2
2
∫︁
Ω
où 𝐶𝜆 = 1 −
(︁
Ω
(︁
(𝑁 −2)
2
)︁2
)︁2
. Alors il existe 𝐶𝜆 > 0 tel que, pour tout
|𝑥|−2 |𝑣|2 𝑑𝑥 ≥ 𝐶𝜆
∫︁
|∇𝑣|2 𝑑𝑥,
Ω
.
Preuve. D’après l’inégalité de Hardy et par densité de 𝐶𝑐∞ (Ω) dans 𝐻01 (Ω), on
a
∫︁
Ω
(︃
2
|∇𝑣| 𝑑𝑥 ≥
(𝑁 − 2)
2
)︃2 ∫︁
Ω
|𝑥|−2 |𝑣|2 𝑑𝑥,
𝑣 ∈ 𝐻01 (Ω).
c
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/ 2017
Essentiel auto-adjoint de l’opérateur de Schrödinger avec potentiel de Hardy 45
On pose 𝜆0 =
∫︁ (︁
(︁
𝑁 −2
2
−2
2
)︁2
2
|∇𝑣| − 𝜆|𝑥| |𝑣|
, alors
)︁
Ω
En prenant 𝐶𝜆 = 1 −
∫︁
)︃
(︃
𝜆 ∫︁
𝑑𝑥 = 1 −
|∇𝑣|2 𝑑𝑥 +
𝜆0 Ω
)︃
(︃
𝜆 ∫︁
|∇𝑣|2 𝑑𝑥 +
= 1−
𝜆0 Ω
)︃
(︃
𝜆 ∫︁
|∇𝑣|2 𝑑𝑥.
≥ 1−
𝜆0 Ω
𝜆
𝜆0
2
|∇𝑣| 𝑑𝑥 − 𝜆
𝜆 ∫︁
𝜆𝜆0 ∫︁
2
|∇𝑣| 𝑑𝑥 −
|𝑥|−2 |𝑣|2 𝑑𝑥
𝜆0 Ω
𝜆0 Ω
(︂∫︁
)︂
∫︁
𝜆
2
−2
2
|∇𝑣| 𝑑𝑥 − 𝜆0 |𝑥| |𝑣| 𝑑𝑥
𝜆0 Ω
Ω
> 0, on a
∫︁
Ω
Ω
−2
2
|𝑥| |𝑣| 𝑑𝑥 ≥ 𝐶𝜆
∫︁
|∇𝑣|2 𝑑𝑥,
𝑣 ∈ 𝐻01 (Ω).
Ω
On peut maintenant démontrer le résultat suivant.
Proposition 4.1.1 Soit 𝜆 <
(︁
𝑁 −2
2
)︁2
, Ω un ouvert de R𝑁 et 𝑣 ∈ 𝐻 1 (Ω) tel que
− Δ𝑣 − 𝜆|𝑥|−2 𝑣 ≤ 0
Ω
dans
(4.6)
et
𝑣≤0
dans
𝜕Ω
(au sens de trace).
Alors on a 𝑣 ≤ 0 dans Ω.
Preuve. On a 𝑣 = 𝑣 + − 𝑣 − vérifiant l’inégalité −Δ𝑣 − 𝜆|𝑥|−2 𝑣 ≤ 0 tels que
𝑣 + = max{𝑣, 0} et 𝑣 − = max{−𝑣, 0} .
Par hypothèse on a 𝑣 = 𝑣 − ≤ 0 sur 𝜕Ω donc 𝑣 + = 0 sur 𝜕Ω ⇒ 𝑣 + ∈ 𝐻01 (Ω).
En multipliant (4.6) par 𝑣 + et en intégrant, on a :
−
∫︁
∫︁
+
Δ𝑣𝑣 𝑑𝑥 − 𝜆
|𝑥|−2 𝑣𝑣 + 𝑑𝑥 ≤ 0.
Ω
Ω
En intégrant par parties, on obtient
∫︁
+ 2
|∇𝑣 | 𝑑𝑥 − 𝜆
Ω
∫︁
|𝑥|−2 |𝑣 + |2 𝑑𝑥 ≤ 0,
Ω
car les produits 𝑣 + 𝑣 − et ∇𝑣 + ∇𝑣 − sont nuls (les supports de 𝑣 + et 𝑣 − sont disjoints).
Donc en utilisant Lemme 4.1.2, on a
⃦ ⃦
⃦ ⃦
𝐶𝜆 ⃦𝑣 + ⃦
𝐻01 (Ω)
= 𝐶𝜆
∫︁
Ω
+ 2
|∇𝑣 | ≤
∫︁
Ω
+ 2
|∇𝑣 | − 𝜆
∫︁
|𝑥|−2 (𝑣 + )2 ≤ 0
Ω
c
Etude de l’essentiel auto-adjoint de l’opérateur relativiste de Schrödinger avec potentiel de Hardy Adama NDOYE ○UCAD
/ 2017
Essentiel auto-adjoint de l’opérateur de Schrödinger avec potentiel de Hardy 46
⇒ 𝑣+ ≡ 0 ⇔ 𝑣 = 𝑣− ≤ 0
Ainsi on obtient
dans
Ω.
𝑣≤0
Lemme 4.1.3 Soit 𝑣𝜆 (𝑥) = |𝑥|
2−𝑁
2
dans
√︁
+
2
( 𝑁2−2 )
Ω.
−𝜆
alors
− Δ𝑣𝜆 − 𝜆|𝑥|−2 𝑣𝜆 = 0
R𝑁 .
dans
(4.7)
)︁2
(︁
1
De plus si 𝜆 < 𝑁2−2 alors 𝑣𝜆 ∈ 𝐻𝑙𝑜𝑐
(R𝑁 ), i.e., 𝑣𝜆 ∈ 𝐻 1 (𝐵𝑟 ) pour tout 𝑟 > 0 et
𝐵𝑟 la boule de R𝑁 centrée en 0 et de rayon 𝑟.
Preuve. On montre d’abord que 𝑣𝜆 (𝑥) = |𝑥|
2−𝑁
2
√︁
+
2
( 𝑁2−2 )
−𝜆
vérifie l’équation
−Δ𝑣 − 𝜆|𝑥|−2 𝑣 = 0.
Soit 𝑔(𝑡) = 𝑡
2−𝑁
2
[︃
′′
𝑔 (𝑡) =
2−𝑁
2
√︁
+
√︂(︁
+
(
[︃
𝑁 −2 2
−𝜆
2
𝑁 −2
2
)
)︁2
, 𝑔 ′ (𝑡) =
]︃ [︃
−𝑁
2
−𝜆
+
√︂(︁
2−𝑁
2
+
𝑁 −2
2
)︁2
√︂(︁
𝑁 −2
2
]︃
−𝜆 𝑡
)︁2
]︃
−𝜆 𝑡
−2−𝑁
2
−𝑁
2
√︁
+
√︁
+
2
( 𝑁2−2 )
2
( 𝑁2−2 )
−𝜆
−𝜆
et
.
En posant 𝑣𝜆 (𝑥) = 𝑔(|𝑥|), on a
−Δ𝑣𝜆 (𝑥) = −Δ𝑔(|𝑥|) = −𝑔 ′′ (|𝑥|) −
𝑁 −1 ′
𝑔 (|𝑥|).
|𝑥|
Après calcul, on obtient
−Δ𝑔(|𝑥|) − 𝜆|𝑥|−2 𝑔(|𝑥|) = −𝑔 ′′ (|𝑥|) −
𝑁 −1 ′
𝑔 (|𝑥|) − 𝜆|𝑥|−2 𝑔(|𝑥|) = 0.
|𝑥|
Donc on a
−Δ𝑣𝜆 − 𝜆|𝑥|−2 𝑣𝜆 = 0.
Pour toute boule centrée en 0 et de rayon 𝑟 𝐵𝑟 ⊂ R𝑁 avec 𝑟 > 0, on a
∫︁
𝐵𝑟
|∇𝑣𝜆 |2 𝑑𝑥 =
∫︁
−1
S𝑁
𝑟
∫︁ 𝑟
0
|∇𝑣𝜆 (𝑡)|2 𝑡𝑁 −1 𝑑𝑡𝑑𝜃,
−1
𝜃 ∈ S𝑁
.
𝑟
Maintenant on obtient
∫︁ 𝑟
0
|∇𝑣𝜆 (𝑡)|2 𝑡𝑁 −1 𝑑𝑡 = 𝐶
∫︁ 𝑟
√︁
−1+2
|𝑡|
( 𝑁2−2 )
2
−𝜆
𝑑𝑡 < +∞,
0
c
Etude de l’essentiel auto-adjoint de l’opérateur relativiste de Schrödinger avec potentiel de Hardy Adama NDOYE ○UCAD
/ 2017
Essentiel auto-adjoint de l’opérateur de Schrödinger avec potentiel de Hardy 47
[︃
2−𝑁
2
où 𝐶 =
𝜆<
(︁
𝑁 −2
2
Si 𝜆 <
(︁
)︁2
√︂(︁
+
𝑁 −2
2
)︁2
]︃2
− 𝜆 , si et seulement si −1 + 2
√︂(︁
𝑁 −2
2
)︁2
− 𝜆 > −1 ⇔
.
𝑁 −2
2
)︁2
alors 𝑣𝜆 ∈ 𝐻 1 (𝐵𝑟 ).
)︁2
(︁
Lemme 4.1.4 Soit 𝜆 < 𝑁2−2 et étant donné 𝑓 ∈ 𝐶𝑐∞ (R𝑁 ∖ {0}) et positif ou
nul alors on a l’existence de 𝑣 ∈ 𝐻 1 (R𝑁 ) comme solution faible de
− Δ𝑣 + 𝑣 − 𝜆|𝑥|−2 𝑣 = 𝑓.
(4.8)
De plus on a 𝑣 ∈ 𝐶 ∞ (R𝑁 ∖ {0}) et 𝑣 ≥ 0.
Preuve. En effet on a
− Δ𝑣 + 𝑣 − 𝜆|𝑥|−2 𝑣 = 𝑓
R𝑁 .
dans
(4.9)
Soit 𝑢 ∈ 𝐻 1 (R𝑁 ). En multipliant (4.9) par 𝑢 et en intégrant par parties sur R𝑁 ,
on a la formulation variationnelle de l’équation (4.9) suivante :
∫︁
R𝑁
∇𝑣 · ∇𝑢 +
∫︁
R𝑁
∫︁
(1 − 𝜆|𝑥|−2 )𝑣𝑢 =
𝑢 ∈ 𝐻 1 (R𝑁 ).
𝑓𝑢
R𝑁
(4.10)
En posant
𝑎(𝑣, 𝑢) =
∫︁
R𝑁
∫︁
∇𝑣 · ∇𝑢 +
et
𝑙(𝑢) =
R𝑁
∫︁
R𝑁
(1 − 𝜆|𝑥|−2 )𝑣𝑢
𝑓 𝑢,
on a, d’après Lemme 4.1.2 ,
𝑎(𝑣, 𝑣) =
=
∫︁
2
|∇𝑣| +
𝑁
∫︁R
2
R∫︁𝑁
|∇𝑣| − 𝜆
R𝑁
≥ 𝐶𝜆
∫︁
∫︁
R𝑁
(1 − 𝜆|𝑥|−2 )|𝑣|2
−2
R𝑁
|𝑥| |𝑣| +
∫︁
|∇𝑣|2 +
2
R𝑁
∫︁
R𝑁
|𝑣|2
|𝑣|2
≥ min{1, 𝐶𝜆 } ‖𝑣‖2𝐻 1 (R𝑁 ) .
Donc on a la coercivité de 𝑎.
On a, par l’inégalité de Hölder et Lemme 4.1.1 ,
|𝑎(𝑣, 𝑢)| =
⃒∫︁
⃒
⃒
⃒
R𝑁
∇𝑣 · ∇𝑢 +
∫︁
R𝑁
−2
(1 − 𝜆|𝑥|
⃒
⃒
)𝑣𝑢⃒⃒
≤ ‖∇𝑣‖𝐿2 (R𝑁 ) ‖∇𝑢‖𝐿2 (R𝑁 ) + ‖𝑣‖𝐿2 (R𝑁 ) ‖𝑢‖𝐿2 (R𝑁 ) + 𝜆
∫︁
R𝑁
|𝑥|−2 |𝑣||𝑢|
≤ 𝐶𝜆′ ‖𝑣‖𝐻 1 (R𝑁 ) ‖𝑢‖𝐻 1 (R𝑁 )
c
Etude de l’essentiel auto-adjoint de l’opérateur relativiste de Schrödinger avec potentiel de Hardy Adama NDOYE ○UCAD
/ 2017
Essentiel auto-adjoint de l’opérateur de Schrödinger avec potentiel de Hardy 48
où 𝐶𝜆′ = 1 +
1
𝜆
et la continuité de 𝑎 en découle.
On a aussi
⃒∫︁
⃒
|𝑙(𝑢)| = ⃒⃒
⃒
⃒
R𝑁
𝑓 𝑢⃒⃒
≤ ‖𝑓 ‖𝐿2 (R𝑁 ) ‖𝑢‖𝐿2 (R𝑁 ) .
Comme 𝑓 ∈ 𝐿2 (R𝑁 ), on a
|𝑙(𝑢)| ≤ 𝐾 ‖𝑢‖𝐿2 (R𝑁 )
≤ 𝐾 ‖𝑢‖𝐻 1 (R𝑁 ) .
D’où on a la continuité de 𝑙.
Donc d’après le théorème de Lax-Milgram on a l’existence et l’unicité d’une
solution faible 𝑣 ∈ 𝐻 1 (R𝑁 ) de (4.9).
Il reste seulement à montrer 𝑣 ∈ 𝐶 ∞ (R𝑁 ∖ {0}) et 𝑣 ≥ 0.
Soit 𝜙 ∈ 𝐶𝑐∞ (R𝑁 ∖ {0}) tel que
∫︁
R𝑁
∇𝑣 · ∇𝜙 +
∫︁
−2
R𝑁
(1 − 𝜆|𝑥| )𝑣𝜙 =
∫︁
R𝑁
𝑓𝜙
⇒ (∇𝑣, ∇𝜙) + ((1 − 𝜆|𝑥|−2 )𝑣, 𝜙) = (𝑓, 𝜙)
⇒
𝑁
∑︁
𝑖=1
⇒−
(︃
(︃
𝜕𝑣 𝜕𝜙
,
𝜕𝑥𝑖 𝜕𝑥𝑖
𝑁
∑︁
(︃
𝑖=1
𝑁
∑︁
)︃
+ ((1 − 𝜆|𝑥|−2 )𝑣, 𝜙) = (𝑓, 𝜙)
)︃
𝜕 2𝑣
, 𝜙 + ((1 − 𝜆|𝑥|−2 )𝑣, 𝜙) = (𝑓, 𝜙)
𝜕𝑥2𝑖
)︃
𝜕 2𝑣
⇒ −
, 𝜙 + ((1 − 𝜆|𝑥|−2 )𝑣, 𝜙) = (𝑓, 𝜙)
2
𝑖=1 𝜕𝑥𝑖
⇒ (−Δ𝑣, 𝜙) + ((1 − 𝜆|𝑥|−2 )𝑣, 𝜙) = (𝑓, 𝜙)
⇒ (−Δ𝑣 + (1 − 𝜆|𝑥|−2 )𝑣, 𝜙)𝒟′ ,𝒟 = (𝑓, 𝜙)𝒟′ ,𝒟 .
On a
−Δ𝑣 + (1 − 𝜆|𝑥|−2 )𝑣 = 𝑓
presque partout.
Ainsi d’après le théorème de régularité [3, Théorème 9.25], on a
𝑣 ∈ 𝐶 ∞ (R𝑁 ∖ {0}),
c
Etude de l’essentiel auto-adjoint de l’opérateur relativiste de Schrödinger avec potentiel de Hardy Adama NDOYE ○UCAD
/ 2017
Essentiel auto-adjoint de l’opérateur de Schrödinger avec potentiel de Hardy 49
car 𝑓 ∈ 𝐶𝑐∞ (R𝑁 ∖ {0}). D’après Proposition 4.1.1, 𝑣 ≥ 0.
De plus on a :
Lemme 4.1.5 (Propriété des solutions).
Soient 𝐵𝑟 la boule dans R𝑁 de centre 0 et de rayon 𝑟 > 0 et 𝑣 une fonction positive
dans 𝐻 1 (𝐵𝑟 ) et continue dans 𝐵𝑟 .
(i) Si
−Δ𝑣 − 𝜆|𝑥|−2 𝑣 ≤ 0
dans
𝐵𝑟 ,
alors il existe une constante 𝐶 > 0 et 𝑟0 ∈]0, 𝑟[ tels que
𝑣(𝑥) ≤ 𝐶|𝑥|𝛾
𝑥 ∈ 𝐵𝑟0
pour tout
où
√︃
(4.11)
𝑁 −2 2
𝑁 −2
− 𝜆.
+
𝛾 := −
2
2
(ii) Si 𝑣 ∈ 𝐻 1 (R𝑁 ∖ 𝐵𝑟 ), continu sur R𝑁 ∖ 𝐵𝑟 et positif, on a
(︂
−Δ𝑣 − 𝜆|𝑥|−2 𝑣 ≤ 0
)︂
R𝑁 ∖ 𝐵𝑟 ,
dans
alors il existe 𝐶 > 0 et 𝑟0 > 0 tels que
𝑣(𝑥) ≤ 𝐶|𝑥|𝛼
pour tout
où
√︃
𝑥 ∈ R𝑁 ∖ 𝐵𝑟0
(4.12)
𝑁 −2
𝑁 −2 2
𝛼=−
−
− 𝜆.
2
2
De plus la constante 𝐶 dépend que de 𝑟0 , 𝑟, 𝜆 et ‖𝑣‖𝐻 1 (𝐵𝑟 ) et ‖𝑣‖𝐻 1 (R𝑁 ∖𝐵𝑟 ) pour
respectivement 𝑖 et 𝑖𝑖.
(︂
)︂
Preuve. Pour prouver (i), soit 𝐵𝑟 la boule dans R𝑁 de centre 0 et de rayon 𝑟 > 0
tel que
−Δ𝑣 − 𝜆|𝑥|−2 𝑣 ≤ 0
dans
𝐵𝑟 .
Soit 𝑟0 ∈]0, 𝑟[, d’abord on va montrer qu’il existe une constante 𝐶 > 0 telle que
𝑣 ≤ 𝐶𝑣𝜆
sur
𝜕𝐵𝑟0
où 𝑣𝜆 satisfait (4.7).
(︁
)︁2
En effet, puisque 𝑣 est continu sur 𝜕𝐵𝑟0 , de même pour 𝜆 < 𝑁2−2 , on a 𝑣𝜆 ∈
𝐻 1 (𝐵𝑟0 ) ∩ 𝐶 ∞ (𝜕𝐵𝑟0 ), alors en posant
max 𝑣
𝜕𝐵𝑟0
𝐶=
.
min 𝑣𝜆
𝜕𝐵𝑟0
c
Etude de l’essentiel auto-adjoint de l’opérateur relativiste de Schrödinger avec potentiel de Hardy Adama NDOYE ○UCAD
/ 2017
Essentiel auto-adjoint de l’opérateur de Schrödinger avec potentiel de Hardy 50
D’après [14], on a sup ≤ 𝐶, où 𝐶 dépend que de 𝑟0 , 𝑟, 𝜆 et ‖𝑣‖𝐻 1 (𝐵𝑟 ) .
𝐵𝑟0
Ainsi on a
𝑣 − 𝐶𝑣𝜆 ≤ 0
sur
𝜕𝐵𝑟0 .
Ce qui implique
𝑣 ≤ 𝐶𝑣𝜆
sur
𝜕𝐵𝑟0 .
Ensuite en posant 𝑉𝜆 = 𝑣 − 𝐶𝑣𝜆 ≤ 0 sur 𝜕𝐵𝑟0 et en utilisant Proposition 4.1.1,
puisque 𝑉𝜆 ∈ 𝐻 1 (𝐵𝑟0 ), on obtient
𝑉𝜆 ≤ 0
Donc on a
dans
√︁
− 𝑁 2−2 +
𝑣 ≤ 𝐶𝑣𝜆 = 𝐶|𝑥|
𝐵𝑟0 .
2
( 𝑁2−2 )
−𝜆
dans
𝐵𝑟0 .
Pour prouver (ii), on considére la transformée de Kelvin de 𝑣 donnée par Définition 2.1.1 et notée ici par 𝑣˜ = |𝑥|2−𝑁 𝑣(𝑥/|𝑥|2 ).
On a
∫︁
∫︁
2
|∇𝑣|2 𝑑𝑥
|∇˜
𝑣 | 𝑑𝑥 =
R𝑁 ∖𝐵𝑟
𝐵1
𝑟
et
−Δ˜
𝑣 − 𝜆|𝑥|−2 𝑣˜ ≤ 0
1
𝑟
De (i), il existe 𝐶1 > 0 et 𝑟0 <
0 ≤ 𝑣˜(𝑥) ≤ 𝐶1 |𝑥|
𝐵1/𝑟 .
tels que
√︁
− 𝑁 2−2 +
dans
2
( 𝑁2−2 )
−𝜆
,
𝑥 ∈ 𝐵𝑟0 ∖ {0}
pour tout
qui permet d’avoir
√︁
− 𝑁 2−2 −
𝑣(𝑥) ≤ 𝐶|𝑥|
( 𝑁2−2 )
2
−𝜆
,
𝑥 ∈ R𝑁 ∖ 𝐵𝑟0 .
pour tout
Donc on a
Corollaire 4.1.1 Soit 𝑣 la solution de (4.8). Si 𝜆 <
(︁
𝑁 −2
2
)︁2
− 1 alors on a
𝑣 ∈ 𝐻 2 (R𝑁 ) ∩ 𝐶 ∞ (R𝑁 ∖ {0}).
Preuve. D’après Lemme 4.1.4, on a 𝑣 ∈ 𝐶 ∞ (R𝑁 ∖ {0}).
c
Etude de l’essentiel auto-adjoint de l’opérateur relativiste de Schrödinger avec potentiel de Hardy Adama NDOYE ○UCAD
/ 2017
Essentiel auto-adjoint de l’opérateur de Schrödinger avec potentiel de Hardy 51
De plus comme 𝑓 est dans 𝐿2 (R𝑁 ) (par hypothèse) et |𝑥|−2 𝑣 est dans 𝐿2 (R𝑁 )
(︁
)︁2
si 𝜆 < 𝑁2−2 − 1 (d’après Lemme 4.1.5).
En effet,
∫︁
∫︁
−2 2
(|𝑥| 𝑣) 𝑑𝑥 =
|𝑥|−4 𝑣 2 𝑑𝑥 < ∞,
R𝑁
(︁
si 𝜆 < 𝑁2−2
Alors on a
)︁2
R𝑁
− 1.
Δ𝑣 = −𝑓 + 𝑣 − 𝜆|𝑥|−2 𝑣 ∈ 𝐿2 (R𝑁 ).
Ce qui implique
𝑣 ∈ 𝐻 2 (R𝑁 )
𝑣 ∈ 𝐿2 (R𝑁 ).
car
Avant de passer à Théorème 4.1.1, on va énoncer ces résultats suivant qui seront
cruciaux pour établir
le non essentiel auto-adjoint de l’opérateur de 𝐿𝜆 défini ci(︁
)︁2
𝑁 −2
dessous si 𝜆 > 2
− 1.
Lemme 4.1.6 Pour 𝑠 ∈ R, 𝜔 > 0 et 𝛼 < 0, soit 𝜓 ∈ 𝐶 1 (] − ∞, 𝑠]) une solution
du problème de Cauchy suivant :
{︃
Alors
𝜓 ′′ (𝑠) − 𝜔 2 𝜓(𝑠) = 𝑒2𝑠 𝜓(𝑠),
𝜓 ′ (𝑠) = 𝛼.
𝜓(𝑠) = 0,
(4.13)
𝛼
1 2𝑠 −𝜔𝑠
𝑒
0 ≤ 𝜓(𝑠) ≤ − 𝑒𝜔𝑠 exp
𝑒
pour tout 𝑠 ≤ 𝑠.
2𝜔
4𝜔
(︂
)︂
Preuve. Les conditions initiales impliquent 𝜓 est positif à gauche d’un voisinage de
𝑠 tandis que l’équation force la solution d’être convexe partout où elle est positive.
Comme une conséquence 𝜓 doit être strictement positif dans ] − ∞, 𝑠[. On a, pour
𝑠 ≤ 𝑠,
𝜓(𝑠) = 𝑒
−𝜔𝑠
[︂
]︂
]︂
[︂
𝛼 𝜔𝑠
1 ∫︁ 𝑠 𝜔𝑡
𝛼 −𝜔𝑠
1 ∫︁ 𝑠 −𝜔𝑡
2𝑡
𝜔𝑠
2𝑡
− 𝑒 −
𝑒 𝜓(𝑡)𝑒 𝑑𝑡 +𝑒
𝑒
+
𝑒 𝜓(𝑡)𝑒 𝑑𝑡 .
2𝜔
2𝜔 𝑠
2𝜔
2𝜔 𝑠
Pour tout 𝜏 ≥ 0, on pose 𝑓 (𝜏 ) := 𝑒𝜔(𝑠−𝜏 ) 𝜓(𝑠 − 𝜏 ), ainsi
𝑓 (𝜏 ) = −
1 ∫︁ 𝜏
𝛼 𝜔𝑠
(1 − 𝑒2𝜔(𝑡−𝜏 ) )𝑓 (𝑡)𝑒2(𝑠−𝑡) 𝑑𝑡.
𝑒 (1 − 𝑒−2𝜔𝑡 ) +
2𝜔
2𝜔 0
Comme la fonction 𝑓 ∈ 𝐶 1 ([0, +∞[) peut être estimée comme suit :
𝛼 𝜔𝑠
1 2𝑠 ∫︁ 𝜏
𝑓 (𝜏 ) ≤ − 𝑒 +
𝑒
𝑓 (𝑡)𝑒−2𝑡 𝑑𝑡,
2𝜔
2𝜔
0
c
Etude de l’essentiel auto-adjoint de l’opérateur relativiste de Schrödinger avec potentiel de Hardy Adama NDOYE ○UCAD
/ 2017
Essentiel auto-adjoint de l’opérateur de Schrödinger avec potentiel de Hardy 52
le lemme de Gronwall implique
𝑓 (𝜏 ) ≤ −
1 2𝑠 ∫︁ 𝜏 −2𝑡
𝛼
1 2𝑠
𝛼 𝜔𝑠
𝑒 𝑑𝑡 ≤ − 𝑒𝜔𝑠 exp
𝑒 exp
𝑒
𝑒
2𝜔
2𝜔
2𝜔
4𝜔
0
)︂
(︂
(︂
)︂
pour tout 𝜏 ≥ 0, ce qui prouve l’estimation voulue.
Lemme 4.1.7 On suppose
l’existence de 𝑢 ∈ 𝐿2 (R𝑁 ) tel que 𝑢(𝑥) ≥ 0 presque
∫︁
partout dans R𝑁 et
𝑢2 > 0 et une distribution ℎ ∈ 𝐻 −1 (R𝑁 ) tels que
R𝑁
⟨ℎ, 𝑣⟩𝐻 −1 (R𝑁 ),𝐻 1 (R𝑁 ) ≤ 0 pour tout 𝑣 ∈ 𝐻 1 (R𝑁 ), 𝑣 ≥ 0 presque partout dans R𝑁 ,
(4.14)
et
− Δ𝑢 − 𝜆|𝑥|−2 𝑢 + 𝑢 = ℎ dans 𝒟′ (R𝑁 ∖ {0}).
(4.15)
Alors −Δ − 𝜆|𝑥|−2 n’est pas essentiellement auto-adjoint dans 𝐶𝑐∞ (R𝑁 ∖ {0}).
Preuve. D’après Proposition 3.3.3, il est suffisant de prouver l’image de −Δ −
𝜆|𝑥|−2 +1 n’est pas dense dans 𝐿2 (R𝑁 ). Pour cela on va montrer que 𝑢 n’appartient
pas à l’adhérence de l’image de −Δ − 𝜆|𝑥|−2 + 1. En procédant par contradiction,
on suppose qu’il existe les suites {𝑣𝑛 }𝑛 ⊂ 𝐶𝑐∞ (R𝑁 ∖ {0}) et {𝑓𝑛 }𝑛 ⊂ 𝐶𝑐∞ (R𝑁 ∖ {0})
telles que 𝑓𝑛 → 𝑢 dans 𝐿2 (R𝑁 ) et
− Δ𝑣𝑛 − 𝜆|𝑥|−2 𝑣𝑛 + 𝑣𝑛 = 𝑓𝑛 .
(4.16)
Par le théorème de Lax-Milgram, il existe 𝑣 ∈ 𝐻 1 (R𝑁 ) comme solution faible de
− Δ𝑣 − 𝜆|𝑥|−2 𝑣 + 𝑣 = 𝑢.
(4.17)
Testant (4.16) avec −𝑣 − , on obtient 𝑣 ≥ 0 presque partout dans R𝑁 ; ainsi par le
Principe Maximum fort, on en déduit 𝑣 > 0 dans R𝑁 ∖ {0}. Soustrayant (4.17) de
(4.16) et multipliant par 𝑣𝑛 −𝑣 et intégrant par parties, on obtient ‖𝑣𝑛 − 𝑣‖𝐻 1 (R𝑁 ) ≤
𝐶 ‖𝑓𝑛 − 𝑢‖𝐿2 (R𝑁 ) , ainsi 𝑣𝑛 → 𝑣 dans 𝐻 1 (R𝑁 ).
Testant (4.15) et utilisant (4.16), on obtient
⟨ℎ, 𝑣𝑛 ⟩𝐻 −1 (R𝑁 ),𝐻 1 (R𝑁 ) =
∫︁
R𝑁
𝑓𝑛 𝑢𝑑𝑥,
qui, par passage à la limite, devient
⟨ℎ, 𝑣⟩𝐻 −1 (R𝑁 ),𝐻 1 (R𝑁 ) =
∫︁
R𝑁
𝑢2 𝑑𝑥 > 0.
Ce qui contredit la supposition (4.14).
Maintenant on peut énoncer le théorème suivant :
c
Etude de l’essentiel auto-adjoint de l’opérateur relativiste de Schrödinger avec potentiel de Hardy Adama NDOYE ○UCAD
/ 2017
Essentiel auto-adjoint de l’opérateur de Schrödinger avec potentiel de Hardy 53
Théorème 4.1.1 L’opérateur 𝐿𝜆 = −Δ − 𝜆|𝑥|−2 de domaine 𝐶𝑐∞ (R𝑁 ∖ {0}) est
essentiellement auto-adjoint dans 𝐿2 (R𝑁 ) si et seulement si
𝜆≤
(︂
𝑁 −2
2
)︂2
− 1.
Preuve. La preuve se fera suivant trois cas.
Cas 1 :
(︂
)︂
𝑁 −2 2
− 1.
𝜆<
2
1. En utilisant Lemme 4.1.1, l’opérateur 𝐿𝜆 = −Δ + 𝑉 (𝑥) où 𝑉 (𝑥) = −𝜆|𝑥|−2
est défini positif dans ce cas.
2. En utilisant Proposition 3.3.3 essentiel auto-adjoint signifie (𝐿𝜆 +1)(𝐶𝑐∞ (R𝑁 ∖
{0})) est dense dans 𝐿2 (R𝑁 ), ce qui est équivalent à
[(𝐿𝜆 + 1)(𝐶𝑐∞ (R𝑁 ∖ {0}))]⊥ = {0}.
Soit 𝑢 ∈ [(𝐿𝜆 + 1)(𝐶𝑐∞ (R𝑁 ∖ {0}))]⊥ , on a
(𝑢, (𝐿𝜆 + 1)𝜙) = 0, 𝜙 ∈ 𝒟
où 𝒟 = 𝐶𝑐∞ (R𝑁 ∖ {0}),
−Δ𝑢 + 𝑢 − 𝜆|𝑥|−2 𝑢 = 0 (dans le sens des distributions).
Pour tout 𝑓 ∈ 𝒟 tel que 𝑓 > 0(non nul), d’après l’équation (4.8) et Corollaire 4.1.1, il existe 𝑣 ∈ 𝐻 2 (R𝑁 ) ∩ 𝐶 ∞ (R𝑁 ∖ {0}) tel que 𝑓 = (𝐿𝜆 + 1)𝑣.
L’idée est maintenant de trouver (𝜙𝑛 ) ∈ 𝒟 tel que
(𝑢, (𝐿𝜆 + 1)𝜙𝑛 ) = 0 → (𝑢, (𝐿𝜆 + 1)𝑣)
⇒ 𝑢 ⊥ 𝒟 ⇒ 𝑢 = 0,
c’est-à-dire l’existence (𝜙𝑛 ) dans 𝒟 tel que
(𝐿𝜆 + 1)𝜙𝑛 ⇀ (𝐿𝜆 + 1)𝑣
‖·‖
𝑤
⇒ 𝒟 ⊂ (𝐿𝜆 + 1) 𝒟 = (𝐿𝜆 + 1) 𝒟.
Maintenant (𝐿𝜆 + 1)𝑣 proche de 0, 𝑣 peut être approché par une suite de
fonctions dans 𝐶𝑐∞ (R𝑁 ∖ {0}).
On définit
𝜙𝑚,𝑛 := 𝜂𝑅𝑚 𝑣𝑛 ∈ 𝐶𝑐∞ (R𝑁 ∖ {0})
c
Etude de l’essentiel auto-adjoint de l’opérateur relativiste de Schrödinger avec potentiel de Hardy Adama NDOYE ○UCAD
/ 2017
Essentiel auto-adjoint de l’opérateur de Schrödinger avec potentiel de Hardy 54
où 𝑣𝑛 = (1 − 𝜂𝑟𝑛 )𝑣, 𝑚, 𝑛 ∈ N et 𝑟𝑛 , 𝑅1𝑚 → 0.
Il reste seulement à montrer
(𝐿𝜆 + 1)𝜙𝑚,𝑛 ⇀ (𝐿𝜆 + 1)𝑣
(4.18)
quand 𝑚, 𝑛 → ∞.
On montre d’abord, pour 𝑛 fixé, que
lim Δ𝜙𝑚,𝑛 = Δ𝑣𝑛
𝑚→∞
(4.19)
dans 𝐿2 (R𝑁 ).
Par calcul, on a
Δ𝜙𝑚,𝑛 = 𝑣𝑛 Δ𝜂𝑅𝑚 + 𝜂𝑅𝑚 Δ𝑣𝑛 + 2∇𝑣𝑛 · ∇𝜂𝑅𝑚 ,
⇒ Δ𝜙𝑚,𝑛 − Δ𝑣𝑛 = 𝑣𝑛 Δ𝜂𝑅𝑚 + (𝜂𝑅𝑚 − 1)Δ𝑣𝑛 + 2∇𝑣𝑛 · ∇𝜂𝑅𝑚 .
Par l’inégalité de Hölder, on obtient
‖Δ𝜙𝑚,𝑛 − Δ𝑣𝑛 ‖𝐿2 (R𝑁 ) ≤ ‖𝑣𝑛 Δ𝜂𝑅𝑚 ‖𝐿2 (R𝑁 ) + ‖(𝜂𝑅𝑚 − 1)Δ𝑣𝑛 ‖𝐿2 (R𝑁 )
+ 2 ‖∇𝑣𝑛 ‖𝐿2 (R𝑁 ) ‖∇𝜂𝑅𝑚 ‖𝐿2 (R𝑁 ) .
Il existe 𝐶 > 0 et indépendant de 𝑅𝑚 tel que :
−1
|∇𝜂𝑅𝑚 (𝑥)| ≤ 𝐶𝑅𝑚
et
−2
|Δ𝜂𝑅𝑚 (𝑥)| ≤ 𝐶𝑅𝑚
pour tout 𝑥 ∈ R𝑁 .
Ainsi on obtient
‖Δ𝜙𝑚,𝑛 − Δ𝑣𝑛 ‖𝐿2 (R𝑁 )
−2
−1
≤ 𝐶(𝑅𝑚
+ 𝑅𝑚
) ‖𝑣𝑛 ‖𝐻 1 (R𝑁 ) + ‖(𝜂𝑅𝑚 − 1)Δ𝑣𝑛 ‖𝐿2 (R𝑁 ) .
Donc on a (4.19) en faisant tendre 𝑚 → ∞.
De plus, en utilisant le fait que 0 ≤ 𝜂𝑅𝑚 ≤ 1 sur R𝑁 , on a
|𝜙𝑚,𝑛 | = |𝜂𝑅𝑚 𝑣𝑛 | ≤ |𝑣𝑛 | ≤ |(1 − 𝜂𝑟𝑛 )𝑣| ≤ |𝑣|.
Puisqu’on a 𝑣 ∈ 𝐿2 (R𝑁 ), en faisant tendre 𝑚 → ∞ et en appliquant le
théorème de convergence dominée, on a
lim 𝜙𝑚,𝑛 = 𝑣𝑛
𝑚→∞
c
Etude de l’essentiel auto-adjoint de l’opérateur relativiste de Schrödinger avec potentiel de Hardy Adama NDOYE ○UCAD
/ 2017
Essentiel auto-adjoint de l’opérateur de Schrödinger avec potentiel de Hardy 55
dans 𝐿2 (R𝑁 ).
De même, en utilisant Lemme 4.1.5, |𝑥|−2 𝑣 ∈ 𝐿2 (R𝑁 ) et en appliquant le
théorème de convergence dominée, on a aussi
lim |𝑥|−2 𝜙𝑚,𝑛 = |𝑥|−2 𝑣𝑛
𝑚→∞
dans 𝐿2 (R𝑁 ).
Ainsi on a
lim (𝐿𝜆 + 1)𝜙𝑚,𝑛 = (𝐿𝜆 + 1)𝑣𝑛
𝑚→∞
dans 𝐿2 (R𝑁 ).
Finalement pour finir, il nous reste seulement à montrer Δ𝑣𝑛 ⇀ Δ𝑣 quand
𝑛 → ∞ dans 𝐿2 (R𝑁 ), i.e., {Δ𝑣𝑛 }𝑟𝑛 ∈]0,1[ est borné dans 𝐿2 (R𝑁 ), puisque
0 ≤ 𝜂𝑟𝑛 ≤ 1 dans R𝑁 , 𝑣 ∈ 𝐻 2 (R𝑁 ) et |𝑥|−2 𝑣 ∈ 𝐿2 (R𝑁 ) d’après Lemme
4.1.5.
Par calcul, on a
Δ𝑣𝑛 = (1 − 𝜂𝑟𝑛 )Δ𝑣 + 𝑣Δ(1 − 𝜂𝑟𝑛 ) + 2∇(1 − 𝜂𝑟𝑛 ) · ∇𝑣.
Par l’inégalité de Hölder, on obtient
‖Δ𝑣𝑛 ‖𝐿2 (R𝑁 ) ≤ ‖𝑣Δ𝜂𝑟𝑛 ‖𝐿2 (R𝑁 ) + ‖𝜂𝑟𝑛 Δ𝑣‖𝐿2 (R𝑁 )
+ 2 ‖∇𝑣‖𝐿2 (R𝑁 ) ‖∇𝜂𝑟𝑛 ‖𝐿2 (R𝑁 )
≤ ‖𝑣Δ𝜂𝑟𝑛 ‖𝐿2 (R𝑁 ) + ‖Δ𝑣‖𝐿2 (R𝑁 )
+ 2 ‖∇𝑣‖𝐿2 (R𝑁 ) ‖∇𝜂𝑟𝑛 ‖𝐿2 (R𝑁 ) .
Puisque 𝜂𝑟𝑛 est dans 𝐶𝑐∞ (R𝑁 ) et 𝑣 ∈ 𝐻 2 (R𝑁 ), il ne reste qu’à borner le
premier terme à droite de l’inégalité ci-dessus.
On note qu’il existe 𝐶 > 0 et indépendant de 𝑟𝑛 tel que :
|∇𝜂𝑟𝑛 (𝑥)| ≤ 𝐶𝑟𝑛−1
et
|Δ𝜂𝑟𝑛 (𝑥)| ≤ 𝐶𝑟𝑛−2
pour tout 𝑥 ∈ R𝑁 .
c
Etude de l’essentiel auto-adjoint de l’opérateur relativiste de Schrödinger avec potentiel de Hardy Adama NDOYE ○UCAD
/ 2017
Essentiel auto-adjoint de l’opérateur de Schrödinger avec potentiel de Hardy 56
Ainsi on otient
‖𝑣Δ𝜂𝑟𝑛 ‖2𝐿2 (R𝑁 )
≤𝐶
∫︁
𝐵1
≤𝐶
𝑣 2 (𝑥)𝑟𝑛−4 𝑑𝑥 + 𝐶 ‖𝑣‖2𝐿2 (R𝑁 ∖𝐵1 )
∫︁
𝐵𝑟𝑛
≤𝐶
∫︁
𝐵𝑟𝑛
≤𝐶
∫︁
𝑣 2 𝑟𝑛−4 𝑑𝑥
+𝐶
∫︁
𝐵1 ∖𝐵𝑟𝑛
𝑣 2 𝑟𝑛−4 𝑑𝑥 + 𝐶
∫︁
𝑣 2 |𝑥|−4 𝑑𝑥 + 𝐶
∫︁
𝐵1
𝑣 2 |𝑥|−4 𝑑𝑥 + 𝐶 ‖𝑣‖2𝐿2 (R𝑁 )
∫︁
𝐵1 ∖𝐵𝑟𝑛
𝐵𝑟𝑛
≤𝐶
𝐵1 ∖𝐵𝑟𝑛
𝑣 2 𝑟𝑛−4 𝑑𝑥 + 𝐶 ‖𝑣‖2𝐿2 (R𝑁 )
𝑣 2 |𝑥|−4 𝑑𝑥 + 𝐶 ‖𝑣‖2𝐿2 (R𝑁 )
𝑣 2 |𝑥|−4 𝑑𝑥 + 𝐶 ‖𝑣‖2𝐿2 (R𝑁 ) ,
où 𝐶 est une constante positive indépendant de 𝑟𝑛 et variant d’une ligne à
une autre. Par conséquent, d’après Lemme 4.1.5, on obtient
‖𝑣Δ𝜂𝑟𝑛 ‖2𝐿2 (R𝑁 ) ≤ 𝐶 + 𝐶 ‖𝑣‖2𝐿2 (R𝑁 ) .
Donc {Δ𝜙𝑛 }𝑟𝑛 ∈]0,1[ est borné dans 𝐿2 (R𝑁 ) et on a Δ𝑣𝑛 ⇀ Δ𝑣 dans 𝐿2 (R𝑁 )
en faisant tendre 𝑛 → ∞.
D’où on a (4.18).
Comme 𝑓 est arbitraire, on a (𝐿𝜆 +1)(𝐶𝑐∞ (R𝑁 ∖{0})) est dense dans 𝐿2 (R𝑁 )
et l’essentiel auto-adjoint de 𝐿𝜆 en découle.
Cas 2 :
(︂
𝜆=
𝑁 −2
2
)︂2
− 1.
Comme dans Cas 1, on va prouver (𝐿𝜆 + 1)(𝐶𝑐∞ (R𝑁 ∖ {0})) est dense dans
𝐿2 (R𝑁 ), ce qui est équivalent à
[(𝐿𝜆 + 1)(𝐶𝑐∞ (R𝑁 ∖ {0}))]⊥ = {0}.
Soit 𝜎 ∈]0, 1[ et on note
𝑁 −2
𝜆𝜎 = 𝜆 − 𝜎 <
2
(︂
)︂2
− 1.
Etant donné 𝑓 ∈ 𝐶𝑐∞ (R𝑁 ∖{0}) tel que 𝑓 > 0 (non nul), d’après le théorème
de Lax Milgram et pour 𝜎 ∈]0, 1[, il existe 𝑣 𝜎 ∈ 𝐻 1 (R𝑁 ) solution de
− Δ𝑣 𝜎 − 𝜆𝜎 |𝑥|−2 𝑣 𝜎 + 𝑣 𝜎 = 𝑓.
(4.20)
c
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Essentiel auto-adjoint de l’opérateur de Schrödinger avec potentiel de Hardy 57
Comme dans Lemme 4.1.5, il existe 𝑟1 , 𝐶2 > 0 indépendant de 𝜎 tels que
𝑣 𝜎 (𝑥) ≤ 𝐶2 |𝑥|𝛾𝜎
𝑥 ∈ 𝐵𝑟1 ∖ {0}
pour tout
où
𝛾𝜎 := −
(4.21)
𝑁 −2 √
+ 1 + 𝜎.
2
D’abord on va montrer lim+ 𝜆𝜎 |𝑥|−2 𝑣 𝜎 = 𝜆|𝑥|−2 𝑣 𝜎 dans 𝐿2 (R𝑁 ).
𝜎→0
Par calcul, on a
𝜆𝜎 |𝑥|−2 𝑣 𝜎 − 𝜆|𝑥|−2 𝑣 𝜎 = 𝜎|𝑥|−2 𝑣 𝜎 .
Comme {𝑣 𝜎 }𝜎∈]0,1[ est borné dans 𝐻 1 (R𝑁 ), donc ‖|𝑥|−2 𝑣 𝜎 ‖𝐿2 (R𝑁 ∖𝐵1 ) peut
être uniformément borné et on a
⃦
⃦
⃦
⃦
⃦
⃦
𝜎 ⃦|𝑥|−2 𝑣 𝜎 ⃦
𝐿2 (R𝑁 )
⃦
⃦
≤ 𝐶𝜎 + 𝜎 ⃦|𝑥|−2 𝑣 𝜎 ⃦
𝐿2 (𝐵1 )
,
pour tout 𝜎 ∈]0, 1[.
On a, d’après (4.21),
√
||𝑥|−2 𝑣 𝜎 |2 ≤ 𝐶|𝑥|−𝑁 −2+2
1+𝜎
pour tout
𝑥 ∈ 𝐵1 ,
ce qui entraîne, après une intégration sur 𝐵1 ,
⃦
⃦
⃦
⃦
𝜎 ⃦|𝑥|−2 𝑣 𝜎 ⃦
𝐿2 (𝐵1 )
≤
√
𝐶𝜎
√
=
𝐶(𝜎
+
𝜎
1 + 𝜎)1/2 ,
(−1 + 1 + 𝜎)1/2
pour tout 𝜎 ∈]0, 1[.
D’où on a
⃦
⃦
𝜎 ⃦⃦|𝑥|−2 𝑣 𝜎 ⃦⃦
𝐿2 (R𝑁 )
√
≤ 𝐶𝜎 + 𝐶(𝜎 + 𝜎 1 + 𝜎)1/2 .
Donc 𝜎|𝑥|−2 𝑣 𝜎 → 0 quand 𝜎 → 0+ dans 𝐿2 (R𝑁 ) ce qui implique
lim 𝜆𝜎 |𝑥|−2 𝑣 𝜎 = 𝜆|𝑥|−2 𝑣 𝜎
𝜎→0+
(4.22)
dans 𝐿2 (R𝑁 ), i.e., ‖(𝜆𝜎 − 𝜆)|𝑥|−2 𝑣 𝜎 ‖𝐿2 (R𝑁 ) < 𝜀, pour 𝜎 assez petit.
Par conséquent il est possible de choisir 𝜎 assez petit tel que toutes les
solutions de (4.20) vérifient (4.22). Pour un tel 𝜎, soit 𝑣 𝜎 ∈ 𝐻 1 (R𝑁 ) une
𝜎
solution de (4.20). Soient 𝑓𝑚,𝑛 := 𝜂𝑚,𝑛 𝑓 −2∇𝜂𝑚,𝑛 ·∇𝑣 𝜎 −𝑣 𝜎 Δ𝜂𝑚,𝑛 et 𝑣𝑚,𝑛
:=
1
𝜎
𝜂𝑚,𝑛 𝑣 , où 𝜂𝑚,𝑛 (𝑥) = 𝜂𝑅𝑚 (𝑥)(1 − 𝜂𝑟𝑛 (𝑥)) et et 𝑟𝑛 , 𝑅𝑚 → 0 quand 𝑚, 𝑛 → ∞,
𝜎
donc 𝑣𝑚,𝑛
∈ 𝐶𝑐∞ (R𝑁 ∖ {0}) et d’après (4.22), on a (𝐿𝜆 + 1)𝑣𝑛𝜎 = 𝑓𝑚,𝑛 . En
particulier 𝑓𝑚,𝑛 ∈ (𝐿𝜆 + 1)(𝐶𝑐∞ (R𝑁 ∖ {0})). En plus d’après Théorème 2.1.1
et Cas 1, on a 𝑓𝑚,𝑛 converge vers 𝑓 dans 𝐿2 (R𝑁 ) pour 𝑚 et 𝑛 assez grands.
c
Etude de l’essentiel auto-adjoint de l’opérateur relativiste de Schrödinger avec potentiel de Hardy Adama NDOYE ○UCAD
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Essentiel auto-adjoint de l’opérateur de Schrödinger avec potentiel de Hardy 58
D’où on en déduit la densité de (𝐿𝜆 + 1)(𝐶𝑐∞ (R𝑁 ∖ {0})) dans 𝐿2 (R𝑁 ) et
l’essentiel auto-adjoint de 𝐿𝜆 .
Cas 3 :
𝑁 −2 2
− 1.
2
Alors 𝐿𝜆 n’est pas essentiellement auto-adjoint.
)︂
(︂
𝜆>
)︁2
(︁
En effet, on a par hypothèse 𝜆 > 𝑁2−2 − 1, soit 𝛼 < 0 et on considére la
solution 𝜓 ∈ 𝐶 1 (] − ∞, ln𝑟]) du problème de Cauchy suivant :
{︃
où 𝜔𝜆 :=
√︂(︁
𝑁 −2
2
)︁2
𝜓 ′′ (𝑠) − 𝜔𝜆2 𝜓(𝑠) = 𝑒2𝑠 𝜓(𝑠),
𝜓(ln𝑟) = 0,
𝜓 ′ (ln𝑟) = 𝛼,
(4.23)
− 𝜆. D’après Lemme 4.1.6 , on peut estimer 𝜓 comme
0 ≤ 𝜓(𝑠) ≤ 𝐶𝑒−𝜔𝜆 𝑠 pour tout 𝑠 ≤ ln𝑟,
(4.24)
pour une certaine constante 𝐶 = 𝐶(𝜆, 𝑟, 𝛼). On pose
{︃
𝑣(𝑥) :=
𝑁 −2
|𝑥|− 2 𝜓(ln|𝑥|), si 𝑥 ∈ 𝐵(0, 𝑟) ∖ {0},
0, si 𝑥 ∈ R𝑁 ∖ 𝐵(0, 𝑟).
(4.25)
De (4.24), on a
− 𝑁 2−2 −
0 ≤ 𝑣(𝑥) ≤ 𝐶|𝑥|
√︁
2
( 𝑁2−2 )
−𝜆
dans 𝐵(0, 𝑟).
(4.26)
)︁2
(︁
L’hypothèse 𝜆 > 𝑁2−2 − 1 et l’estimation (4.26) entraîne 𝑣 ∈ 𝐿2 (R𝑁 ). De
plus la restriction de 𝑣 à 𝐵(0, 𝑟) satisfait
{︃
(𝐿𝜆 + 1)𝑣 = 0, dans 𝐵(0, 𝑟),
𝑁
𝜕𝑣
𝑣 = 0 et 𝜕𝜈
= 𝑟− 2 𝛼, sur 𝜕𝐵(0, 𝑟).
(4.27)
Comme une conséquence la distribution −Δ𝑣 − 𝜆|𝑥|2 𝑣 + 𝑣 ∈ 𝒟′ (R𝑁 ∖ {0})
agit comme suit :
𝑁
⟨−Δ𝑣 − 𝜆|𝑥|2 𝑣 + 𝑣, 𝜙⟩𝒟′ (R𝑁 ∖{0}),𝐶𝑐∞ (R𝑁 ∖{0}) = 𝑟− 2 𝛼
∫︁
𝜙(𝑥)𝑑𝑠. (4.28)
𝜕𝐵(0,𝑟)
Ainsi ℎ = −Δ𝑣 − 𝜆|𝑥|2 𝑣 + 𝑣 ∈ 𝐻 −1 (R𝑁 ) et satisfait (4.14) comme 𝛼 < 0.
D’après Lemme 4.1.7, on déduit finalement que 𝐿𝜆 n’est pas essentiellement
auto-adjoint.
c
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/ 2017
Essentiel auto-adjoint de l’opérateur de Schrödinger avec potentiel de Hardy 59
4.2
Essentiel auto-adjoint de l’opérateur de Schrödinger avec potentiel de Hardy
Dans cette section on va donner la version plus générale de Théorème 4.1.1 à
savoir Théorème 4.2.1. Avant de faire la preuve on a besoin de quelques résultats.
Lemme 4.2.1 On a
∫︁
1−2𝑠
𝐵𝑟+
𝑡
2
|∇𝑤| 𝑑𝑡𝑑𝑥 − 𝜅𝑠 𝜆
𝑤2
𝑁 − 2𝑠 ∫︁
𝑑𝑥 +
𝑡1−2𝑠 𝑤2 𝑑𝑆
2𝑠
+
|𝑥|
2𝑟
𝑆𝑟
(︃
)︂ )︃
(︂
2
𝑁 − 2𝑠 2 ∫︁
1−2𝑠 𝑤
𝑡
𝑑𝑧
≥ 𝜇1 (𝜆) +
2
|𝑧|2
𝐵𝑟+
∫︁
𝐵𝑟′
pour tout 𝑟 > 0 et 𝑤 ∈ 𝐻 1 (𝐵𝑟+ ; 𝑡1−2𝑠 ).
Preuve. Il est suffisant de prouver pour 𝑟 = 1. Soit 𝑤 ∈ 𝐶 ∞ (𝐵1+ ). On a
∫︁
1−2𝑠
𝐵1+
𝑡
2
|∇𝑤| 𝑑𝑡𝑑𝑥 − 𝜅𝑠 𝜆
=
+
∫︁
𝐵1′
(︃
∫︁
𝑧
∇𝑤(𝑧) ·
|𝑧|
1−2𝑠
𝐵1+
𝑡
∫︁ 1 𝑁 +1−2𝑠 (︃∫︁
𝜌
𝜌2
0
𝑤2
𝑁 − 2𝑠 ∫︁
𝑡1−2𝑠 𝑤2 𝑑𝑆
𝑑𝑥 +
|𝑥|2𝑠
2
𝑆1+
S𝑁
+
)︃2
𝑁 − 2𝑠 ∫︁
𝑑𝑧 +
𝑡1−2𝑠 𝑤2 𝑑𝑆
2
𝑆1+
𝜃11−2𝑠 |∇S𝑁 𝑤(𝜌𝜃)|2 𝑑𝑆
− 𝜅𝑠 𝜆
)︃
∫︁
′
2
S𝑁 −1
𝑤 (𝜌𝜃 ) 𝑑𝜌.
Par [10, Lemme 2.4], on a
∫︁
(︃
1−2𝑠
𝑡
+
𝐵1
𝑧
∇𝑤(𝑧) ·
|𝑧|
)︃2
𝑁 − 2𝑠 ∫︁
𝑁 − 2𝑠
𝑑𝑧 +
𝑡1−2𝑠 𝑤2 𝑑𝑆 ≥
+
2
2
𝑆1
(︂
)︂2 ∫︁
𝑡1−2𝑠
+
𝐵1
𝑤2
𝑑𝑧,
|𝑧|2
tandis que, par (1.2), on obtient
∫︁ 1 𝑁 +1−2𝑠 (︃∫︁
𝜌
𝜌2
0
≥ 𝜇1 (𝜆)
S𝑁
+
𝜃11−2𝑠 |∇S𝑁 𝑤(𝜌𝜃)|2 𝑑𝑆
∫︁ 1 𝑁 +1−2𝑠 (︃∫︁
𝜌
0
𝜌2
− 𝜅𝑠 𝜆
)︃
∫︁
2
S𝑁 −1
′
𝑤 (𝜌𝜃 ) 𝑑𝜌
)︃
S𝑁
+
𝜃11−2𝑠 𝑤2 (𝜌𝜃)𝑑𝑆
𝑑𝜌 = 𝜇1 (𝜆)
∫︁
𝑡1−2𝑠
+
𝐵1
𝑤2
𝑑𝑧.
|𝑧|2
Donc on a
∫︁
𝑡1−2𝑠 |∇𝑤|2 𝑑𝑡𝑑𝑥 − 𝜅𝑠 𝜆
+
𝐵1
∫︁
𝐵1′
𝑁 − 2𝑠 ∫︁
𝑤2
𝑑𝑥
+
𝑡1−2𝑠 𝑤2 𝑑𝑆
|𝑥|2𝑠
2
𝑆1+
(︃
(︂
)︂ )︃
2
𝑁 − 2𝑠 2 ∫︁
1−2𝑠 𝑤
≥ 𝜇1 (𝜆) +
𝑡
𝑑𝑧.
2
|𝑧|2
𝐵1+
c
Etude de l’essentiel auto-adjoint de l’opérateur relativiste de Schrödinger avec potentiel de Hardy Adama NDOYE ○UCAD
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Essentiel auto-adjoint de l’opérateur de Schrödinger avec potentiel de Hardy 60
Finalement par la densité de 𝐶 ∞ (𝐵1+ ) dans 𝐻 1 (𝐵1+ ; 𝑡1−2𝑠 ), on obtient le résultat.
Corollaire 4.2.1 Si 𝜆 satisfait (1.3) alors il existe 𝐶𝜆,𝑁,𝑠 > 0 tel que
∫︁
1−2𝑠
𝐵𝑟+
𝑡
𝑤2
𝑁 − 2𝑠 ∫︁
|∇𝑤| 𝑑𝑡𝑑𝑥 − 𝜅𝑠 𝜆
𝑑𝑥 +
𝑡1−2𝑠 𝑤2 𝑑𝑆
2𝑟
𝑆𝑟+
𝐵𝑟′ |𝑥|2𝑠
∫︁
2
≥ 𝐶𝜆,𝑁,𝑠
(︂∫︁
1−2𝑠
𝐵𝑟+
𝑡
𝑁 − 2𝑠 ∫︁
𝑡1−2𝑠 𝑤2 𝑑𝑆
|∇𝑤| 𝑑𝑡𝑑𝑥 +
2𝑟
𝑆𝑟+
2
pour tout 𝑟 > 0 et 𝑤 ∈ 𝐻 1 (𝐵𝑟+ ; 𝑡1−2𝑠 ).
Preuve. Il est suffisant de prouver pour 𝑟 = 1. On va procéder par contradiction
et on suppose, pour tout 𝜀 > 0 il existe 𝑤𝜀 ∈ 𝐻 1 (𝐵𝑟+ ; 𝑡1−2𝑠 ) tel que
∫︁
𝑡1−2𝑠 |∇𝑤𝜀 |2 𝑑𝑡𝑑𝑥 − 𝜅𝑠 𝜆
+
𝑤𝜀2
𝑁 − 2𝑠 ∫︁
𝑑𝑥
+
𝑡1−2𝑠 𝑤𝜀2 𝑑𝑆
2𝑠
+
′
2
𝐵1 |𝑥|
𝑆1
)︃
(︃∫︁
∫︁
𝑁
−
2𝑠
𝑡1−2𝑠 𝑤𝜀2 𝑑𝑆
≤𝜀
𝑡1−2𝑠 |∇𝑤𝜀 |2 𝑑𝑡𝑑𝑥 +
2
𝑆1+
𝐵1+
∫︁
𝐵1
i.e.
∫︁
𝐵1+
1−2𝑠
𝑡
∫︁
𝑁 − 2𝑠 ∫︁
(1 − 𝜀)−1 2
1−2𝑠 2
𝑡
𝑤𝜀 𝑑𝑆 − 𝜅𝑠 𝜆 ′
𝑤𝜀 𝑑𝑥 < 0.
|∇𝑤𝜀 | 𝑑𝑡𝑑𝑥 +
2
|𝑥|2𝑠
𝑆1+
𝐵1
2
Par 4.2.1, on a
(︃
𝜇1
(︃
)︃
𝜆
𝑁 − 2𝑠
+
1−𝜀
2
et donc
(︃
𝜇1
(︂
)︃
)︂2 )︃ ∫︁
𝑡1−2𝑠
+
𝐵1
𝜆
𝑁 − 2𝑠
+
1−𝜀
2
(︂
𝑤𝜀 |2
𝑑𝑧 < 0
|𝑧|2
)︂2
< 0.
D’autre part, par [8, Lemme 2.1], en faisant tendre 𝜀 → 0, on obtient 𝜇1 (𝜆) ≤
)︁2
(︁
− 𝑁 −2𝑠
, ce qui est en contradiction avec la supposition (1.3).
2
Par Corollaire 4.2.1, [8, Proposition 6.2] et [10, Lemme 2.5], on a les estimations
suivantes :
Lemme 4.2.2 Soit 𝜆 tel que
(︂
𝜇1 (𝜆) +
𝑁 − 2𝑠
2
)︂2
> 0.
c
Etude de l’essentiel auto-adjoint de l’opérateur relativiste de Schrödinger avec potentiel de Hardy Adama NDOYE ○UCAD
/ 2017
)︂
Essentiel auto-adjoint de l’opérateur de Schrödinger avec potentiel de Hardy 61
+1 1−2𝑠
;𝑡
),
Alors il existe une constante 𝐶𝜆,𝑁,𝑠 > 0 telle que, pour tout 𝑤 ∈ 𝐻01 (R𝑁
+
∫︁
𝑡1−2𝑠 |∇𝑤|2 𝑑𝑡𝑑𝑥 − 𝜅𝑠 𝜆
𝑁 +1
R+
≥ 𝐶𝜆,𝑁,𝑠
∫︁
𝑤2
𝑑𝑥
|𝑥|2𝑠
∫︁
R𝑁
𝑡1−2𝑠 |∇𝑤|2 𝑑𝑡𝑑𝑥.
+1
R𝑁
+
Ce qui est équivalent
∫︁
R𝑁
|𝜉|2𝑠 𝜙̂︀2 𝑑𝜉 − 𝜆
∫︁
𝜙2
𝑑𝑥
≥
𝐶
|𝜉|2𝑠 𝜙̂︀2 𝑑𝜉
𝜆,𝑁,𝑠
𝑁
|𝑥|2𝑠
R
∫︁
R𝑁
pour tout 𝜙 ∈ 𝐻 𝑠 (R𝑁 ).
Ensuite on a les lemmes suivants qui seront aussi très utiles pour la suite.
Lemme 4.2.3 On suppose
(︂
𝜇1 (𝜆) +
𝑁 − 2𝑠
2
)︂2
> 0.
Soit 𝑣 ∈ 𝐻 𝑠 (R𝑁 ) tel que 𝑣 > 0 p.p. dans R𝑁 et continu dans R𝑁 ∖ {0}.
(i) Si
(−Δ)𝑠 𝑣 − 𝜆|𝑥|−2𝑠 𝑣 ≤ 0
𝐵𝑅 ,
dans
pour 𝑅 > 0, alors il existe 𝐶 > 0 (indépendant de 𝑅) et 𝑟0 ∈]0, 𝑅[ tels que
𝑣(𝑥) ≤ 𝐶|𝑥|𝛾
pour presque partout
où
𝑁 − 2𝑠
+
𝛾 := −
2
√︃
(︂
𝑁 − 2𝑠
2
𝑥 ∈ 𝐵𝑟0
(4.29)
)︂2
+ 𝜇1 (𝜆).
(ii) Si
(−Δ)𝑠 𝑣 − 𝜆|𝑥|−2𝑠 𝑣 ≤ 0
dans
R𝑁 ∖ 𝐵𝑅 ,
pour 𝑅 > 0, alors il existe 𝐶 > 0 (indépendant de 𝑅) et 𝑟0 > 𝑅 tels que
𝑣(𝑥) ≤ 𝐶|𝑥|𝛼
𝑥 ∈ R𝑁 ∖ 𝐵𝑟0
pour presque partout
où
𝑁 − 2𝑠
−
𝛼=−
2
√︃
(︂
𝑁 − 2𝑠
2
(4.30)
)︂2
+ 𝜇1 (𝜆).
Preuve. Voir [9, Lemme 3.3].
On termine avec le résultat ci-dessous.
c
Etude de l’essentiel auto-adjoint de l’opérateur relativiste de Schrödinger avec potentiel de Hardy Adama NDOYE ○UCAD
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Essentiel auto-adjoint de l’opérateur de Schrödinger avec potentiel de Hardy 62
Lemme 4.2.4 Soit 𝑢 ∈ 𝐻 2𝑠 (R𝑁 ) et 𝑔 ∈ 𝒮(R𝑁 ), alors
𝑐𝑁,𝑠
∫︁
)︃
(︃∫︁
R𝑁
∫︁
(𝑢(𝑥) − 𝑢(𝑦))2
𝑑𝑦 𝑔(𝑥)𝑑𝑥 = −
𝑢2 (𝑥)(−Δ)𝑠 𝑔(𝑥)𝑑𝑥
|𝑥 − 𝑦|𝑁 +2𝑠
R𝑁
R𝑁
+2
∫︁
R𝑁
𝑢(𝑥)𝑔(𝑥)((−Δ)𝑠 𝑢)(𝑥)𝑑𝑥.
Preuve. En effet, on peut approcher 𝑢 par 𝑢𝑛 = 𝜌𝑛 *𝑢 qui est une convolution avec
le mollifier standard et on considére 𝑢𝑛,𝑅 = 𝑢𝑛 𝜂𝑅 donc 𝑢𝑛,𝑅 → 𝑢 quand 𝑛, 𝑅 → ∞.
Comme (−Δ)𝑠 (𝑢2𝑛,𝑅 ) est dans 𝐿2 (R𝑁 ), par l’égalité (2.18) et Lemme 2.4.1 , on
peut passer à la limite dans
𝑐𝑁,𝑠
(︃∫︁
∫︁
R𝑁
R𝑁
∫︁
=
R𝑁
[−(−Δ)𝑠 (𝑢2𝑛,𝑅 )(𝑥) + 2𝑢𝑛,𝑅 (𝑥)((−Δ)𝑠 (𝑢𝑛,𝑅 )(𝑥))]𝑔(𝑥)𝑑𝑥
∫︁
=−
+2
)︃
(𝑢𝑛,𝑅 (𝑥) − 𝑢𝑛,𝑅 (𝑦))2
𝑑𝑦 𝑔(𝑥)𝑑𝑥
|𝑥 − 𝑦|𝑁 +2𝑠
R𝑁
∫︁
R𝑁
𝑢2𝑛,𝑅 (𝑥)(−Δ)𝑠 𝑔(𝑥)𝑑𝑥
𝑢𝑛,𝑅 (𝑥)𝑔(𝑥)((−Δ)𝑠 𝑢𝑛,𝑅 )(𝑥)𝑑𝑥
pour obtenir
𝑐𝑁,𝑠
∫︁
R𝑁
)︃
(︃∫︁
∫︁
(𝑢(𝑥) − 𝑢(𝑦))2
𝑑𝑦 𝑔(𝑥)𝑑𝑥 = −
𝑢2 (𝑥)(−Δ)𝑠 𝑔(𝑥)𝑑𝑥
𝑁
+2𝑠
𝑁
|𝑥 − 𝑦|
R
R𝑁
+2
∫︁
R𝑁
𝑢(𝑥)𝑔(𝑥)((−Δ)𝑠 𝑢)(𝑥)𝑑𝑥.
Théorème 4.2.1 Soit 𝑠 ∈]0, 1[. Alors l’opérateur
𝐴 = (−Δ)𝑠 − 𝜆|𝑥|−2𝑠
de domaine
𝐶𝑐∞ (R𝑁 ∖ {0})
est essentiellement auto-adjoint dans 𝐿2 (R𝑁 ) si
𝑁 − 2𝑠
− 𝜇1 (𝜆) ≤
2
(︂
)︂2
− 𝑠2 .
(4.31)
Preuve. La preuve se fera en deux phases.
Cas 1 :
(︂
)︂
𝑁 − 2𝑠 2
− 𝜇1 (𝜆) <
− 𝑠2 .
2
Par Lemme 4.2.2, on a
(4.32)
(𝐴𝜙, 𝜙)𝐿2 (R𝑁 ) =
∫︁
R𝑁
(𝐴𝜙)(𝑥)𝜙(𝑥)𝑑𝑥 ≥ 0,
pour tout
𝜙 ∈ 𝐶𝑐∞ (R𝑁 ∖ {0}),
(4.33)
c
Etude de l’essentiel auto-adjoint de l’opérateur relativiste de Schrödinger avec potentiel de Hardy Adama NDOYE ○UCAD
/ 2017
Essentiel auto-adjoint de l’opérateur de Schrödinger avec potentiel de Hardy 63
donc 𝐴 est défini positif dans 𝐶𝑐∞ (R𝑁 ∖ {0}).
En utilisant Proposition 3.3.3 essentiel auto-adjoint signifie (𝐴 + 1)(𝐶𝑐∞ (R𝑁 ∖
{0})) est dense dans 𝐿2 (R𝑁 ), ce qui est équivalent à
[(𝐴 + 1)(𝐶𝑐∞ (R𝑁 ∖ {0}))]⊥ = {0}.
Soit 𝑢 ∈ [(𝐴 + 1)(𝐶𝑐∞ (R𝑁 ∖ {0}))]⊥ , on a
(𝑢, (𝐴 + 1)𝜙) = 0, 𝜙 ∈ 𝒟
où 𝒟 = 𝐶𝑐∞ (R𝑁 ∖ {0}),
(−Δ)𝑠 𝑢 − 𝜆|𝑥|−2𝑠 𝑢 + 𝑢 = 0
dans
𝒟′ .
On va montrer directement 𝑢 ≡ 0 en prouvant (𝑢, 𝑓 )𝐿2 (R𝑁 ) = 0 pour 𝑓 ∈ 𝒟, 𝑓 ≥
0, 𝑓 ̸= 0. Pour faire cela, soit
𝑓 ∈𝒟
tel que
𝑓 ≥ 0,
𝑓 ̸= 0.
Etape 1.
Par le théorème de Lax Milgram, voir [10], il existe 𝑣 ∈ 𝐻 𝑠 (R𝑁 ) tel que
(−Δ)𝑠 𝑣 − 𝜆|𝑥|−2𝑠 𝑣 + 𝑣 = 𝑓.
(4.34)
Multipliant (4.34) par la partie négative de 𝑣 et utilisant Lemme 4.2.2, on a
𝑣 ≥ 0 comme 𝑓 ≥ 0. Par l’inégalité de Harnack, on a 𝑣 > 0 dans R𝑁 ∖ {0}
(voir [18]). Par la théorie de régularité, on a 𝑣 ∈ 𝐶 ∞ (R𝑁 ∖ {0})(voir aussi [18]). De
plus Lemme 4.2.3 implique
(−Δ)𝑠 𝑣 ∈ 𝐿2 (R𝑁 )
donc 𝑣 ∈ 𝐻 2𝑠 (R𝑁 ).
Etape 2. Pour tout 𝑓 ∈ 𝒟, d’après l’équation (4.34), il existe 𝑣 ∈ 𝐻 2𝑠 (R𝑁 ) ∩
𝐶 ∞ (R𝑁 ∖ {0}) tel que
𝑓 = (−Δ)𝑠 𝑣 − 𝜆|𝑥|−2𝑠 𝑣 + 𝑣 = (𝐴 + 1)𝑣.
L’idée est maintenant de trouver (𝜙𝑛 ) ∈ 𝒟 tel que
(𝑢, (𝐴 + 1)𝜙𝑛 ) = 0 → (𝑢, 𝑓 )
⇒ 𝑢 ⊥ 𝒟 ⇒ 𝑢 = 0,
c
Etude de l’essentiel auto-adjoint de l’opérateur relativiste de Schrödinger avec potentiel de Hardy Adama NDOYE ○UCAD
/ 2017
Essentiel auto-adjoint de l’opérateur de Schrödinger avec potentiel de Hardy 64
c’est-à-dire l’existence (𝜙𝑛 ) dans 𝒟 tel que
(𝐴 + 1)𝜙𝑛 ⇀ 𝑓
‖·‖
𝑤
⇒ 𝒟 ⊂ (𝐴 + 1) 𝒟 = (𝐴 + 1) 𝒟
Maintenant (𝐴+1)𝑣 proche de 0, 𝑣 peut être approché par une suite de fonctions
dans 𝐶𝑐∞ (R𝑁 ∖ {0}).
On définit
𝜙𝑚,𝑛 := 𝜂𝑅𝑚 𝑣𝑛 ∈ 𝐶𝑐∞ (R𝑁 ∖ {0})
où 𝑣𝑛 = (1 − 𝜂𝑟𝑛 )𝑣, 𝑚, 𝑛 ∈ N et 𝑟𝑛 , 𝑅1𝑚 → 0.
Il reste seulement à montrer
(𝐴 + 1)𝜙𝑚,𝑛 ⇀ (𝐴 + 1)𝑣
(4.35)
quand 𝑚, 𝑛 → ∞.
Etape 3. On montre d’abord, pour 𝑛 fixé, que
lim (−Δ)𝑠 𝜙𝑚,𝑛 = (−Δ)𝑠 𝑣𝑛
(4.36)
𝑚→∞
dans 𝐿2 (R𝑁 ).
Par calcul, on a
(−Δ)𝑠 𝜙𝑚,𝑛 (𝑥) − (−Δ)𝑠 𝑣𝑛 (𝑥) = (𝜂𝑅𝑚 (𝑥) − 1)(−Δ)𝑠 (𝑣𝑛 (𝑥)) + 𝑣𝑛 (𝑥)(−Δ)𝑠 (𝜂𝑅𝑚 (𝑥))
∫︁
(𝑣𝑛 (𝑥) − 𝑣𝑛 (𝑦))(𝜂𝑅𝑚 (𝑥) − 𝜂𝑅𝑚 (𝑦))
𝑑𝑦.
− 𝑐𝑁,𝑠 𝑃 𝑉
|𝑥 − 𝑦|𝑁 +2𝑠
R𝑁
Par l’inégalité de Hölder, on obtient
‖(−Δ)𝑠 𝜙𝑚,𝑛 − (−Δ)𝑠 𝑣𝑛 ‖𝐿2 (R𝑁 ) ≤ ‖𝑣𝑛 (−Δ)𝑠 𝜂𝑅𝑚 ‖𝐿2 (R𝑁 ) + ‖(𝜂𝑅𝑚 − 1)(−Δ)𝑠 𝑣𝑛 ‖𝐿2 (R𝑁 )
+ 𝑐𝑁,𝑠
(︃∫︁
(︃∫︁
R𝑁
R𝑁
(𝑣𝑛 (𝑥) − 𝑣𝑛 (𝑦))2
𝑑𝑦
|𝑥 − 𝑦|𝑁 +2𝑠
)︃ (︃∫︁
R𝑁
)︃
)︃1/2
(𝜂𝑅𝑚 (𝑥) − 𝜂𝑅𝑚 (𝑦))2
𝑑𝑦 𝑑𝑥
|𝑥 − 𝑦|𝑁 +2𝑠
.
On utilise Lemme 2.4.1 pour obtenir
−2𝑠
|(−Δ)𝑠 𝜂𝑅𝑚 | ≤ 𝐶𝑅𝑚
(4.37)
pour tout 𝑥 ∈ R𝑁 .
Par l’égalité (2.18), on a
𝑐𝑁,𝑠
∫︁
R𝑁
(𝜂𝑅𝑚 (𝑥) − 𝜂𝑅𝑚 (𝑦))2
𝑑𝑦 = −(−Δ)𝑠 (𝜂𝑅2 𝑚 )(𝑥) + 2𝜂𝑅𝑚 (𝑥)(−Δ)𝑠 (𝜂𝑅𝑚 )(𝑥).
|𝑥 − 𝑦|𝑁 +2𝑠
c
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Essentiel auto-adjoint de l’opérateur de Schrödinger avec potentiel de Hardy 65
Ce qui implique, comme ci-dessus, que
∫︁
R𝑁
(𝜂𝑅𝑚 (𝑥) − 𝜂𝑅𝑚 (𝑦))2
−2𝑠
𝑑𝑦 ≤ 𝐶𝑅𝑚
,
|𝑥 − 𝑦|𝑁 +2𝑠
avec 𝐶 > 0. Donc en utilisant l’inégalité (4.37), on obtient
‖(−Δ)𝑠 𝜙𝑚,𝑛 − (−Δ)𝑠 𝑣𝑛 ‖𝐿2 (R𝑁 )
−2
−1
≤ 𝐶(𝑅𝑚
+ 𝑅𝑚
) ‖𝑣𝑛 ‖𝐻 1 (R𝑁 ) + ‖(𝜂𝑅𝑚 − 1)(−Δ)𝑠 𝑣𝑛 ‖𝐿2 (R𝑁 ) .
Donc on a (4.36) en faisant tendre 𝑚 → ∞.
De plus, en utilisant le fait que 0 ≤ 𝜂𝑅𝑚 ≤ 1 sur R𝑁 , on a
|𝜙𝑚,𝑛 | = |𝜂𝑅𝑚 𝑣𝑛 | ≤ |𝑣𝑛 | ≤ |(1 − 𝜂𝑟𝑛 )𝑣| ≤ |𝑣|.
Puisqu’on a 𝑣 ∈ 𝐿2 (R𝑁 ), en faisant tendre 𝑚 → ∞ et en appliquant le théorème
de convergence dominée, on a
lim 𝜙𝑚,𝑛 = 𝑣𝑛
𝑚→∞
dans 𝐿2 (R𝑁 ).
De même, en utilisant Lemme 4.2.3, |𝑥|−2𝑠 𝑣 ∈ 𝐿2 (R𝑁 ) et en appliquant le théorème
de convergence dominée, on a aussi
lim |𝑥|−2𝑠 𝜙𝑚,𝑛 = |𝑥|−2𝑠 𝑣𝑛
𝑚→∞
dans 𝐿2 (R𝑁 ).
Ainsi on a
lim (𝐴 + 1)𝜙𝑚,𝑛 = (𝐴 + 1)𝑣𝑛
𝑚→∞
dans 𝐿2 (R𝑁 ).
Etape 4. Maintenant il reste seulement à montrer que
(𝐴 + 1)𝑣𝑛 ⇀ (𝐴 + 1)𝑣.
(4.38)
quand 𝑛 → ∞.
On a seulement besoin de montrer (−Δ)𝑠 𝑣𝑛 ⇀ (−Δ)𝑠 𝑣 quand 𝑛 → ∞ dans 𝐿2 (R𝑁 )
puisque 0 ≤ 𝜂𝑟𝑛 ≤ 1 dans R𝑁 , 𝑣 ∈ 𝐻 2𝑠 (R𝑁 ) et |𝑥|−2𝑠 𝑣 ∈ 𝐿2 (R𝑁 ) d’après Lemme
4.2.3.
(−Δ)𝑠 𝑣𝑛 ⇀ (−Δ)𝑠 𝑣 quand 𝑛 → ∞ dans 𝐿2 (R𝑁 ) équivaut à montrer
{(−Δ)𝑠 𝑣𝑛 }𝑟𝑛 ∈]0,1[ est borné dans 𝐿2 (R𝑁 ).
(4.39)
c
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Essentiel auto-adjoint de l’opérateur de Schrödinger avec potentiel de Hardy 66
Par calcul, on a
(−Δ)𝑠 𝑣𝑛 (𝑥) = (𝜂𝑟𝑛 (𝑥))(−Δ)𝑠 (𝑣(𝑥)) + 𝑣(𝑥)(−Δ)𝑠 (𝜂𝑟𝑛 (𝑥))
∫︁
(𝑣(𝑥) − 𝑣(𝑦))(𝜂𝑟𝑛 (𝑥) − 𝜂𝑟𝑛 (𝑦))
− 𝑐𝑁,𝑠 𝑃 𝑉
𝑑𝑦.
|𝑥 − 𝑦|𝑁 +2𝑠
R𝑁
Par l’inégalité de Hölder, on obtient
‖(−Δ)𝑠 𝑣𝑛 ‖𝐿2 (R𝑁 ) ≤ ‖𝑣(−Δ)𝑠 (𝜂𝑟𝑛 )‖𝐿2 (R𝑁 ) + ‖(−Δ)𝑠 𝑣‖𝐿2 (R𝑁 )
+ 𝑐𝑁,𝑠
(︃∫︁
R𝑁
(︃∫︁
R𝑁
(𝑣(𝑥) − 𝑣(𝑦))2
𝑑𝑦
|𝑥 − 𝑦|𝑁 +2𝑠
)︃ (︃∫︁
)︃
R𝑁
)︃1/2
(𝜂𝑟𝑛 (𝑥) − 𝜂𝑟𝑛 (𝑦))2
𝑑𝑦 𝑑𝑥
|𝑥 − 𝑦|𝑁 +2𝑠
.
On va estimer le premier terme à droite de l’inégalité ci-dessus. Pour l’estimer
uniformément en fonction de 𝑟𝑛 , on utilise Lemme 2.4.1 pour obtenir
|(−Δ)𝑠 𝜂𝑟𝑛 | ≤ 𝐶𝜂,𝑁,𝑠
𝑟𝑛𝑁
.
𝑟𝑛𝑁 +2𝑠 + |𝑥|𝑁 +2𝑠
Donc on a
𝑟𝑛2𝑁
𝑑𝑥 + 𝐶 ‖𝑣‖2𝐿2 (R𝑁 ∖𝐵1 )
𝑁
+2𝑠
𝑁
+2𝑠
2
(𝑟
+
|𝑥|
)
𝐵1
𝑛
∫︁
𝑟2𝑁
≤𝐶
𝑣 2 𝑁 +2𝑠 𝑛 𝑁 +2𝑠 2 𝑑𝑥
(𝑟𝑛
+ |𝑥|
)
𝐵𝑟𝑛
∫︁
2𝑁
𝑟
+𝐶
𝑣 2 𝑁 +2𝑠 𝑛 𝑁 +2𝑠 2 𝑑𝑥 + 𝐶 ‖𝑣‖2𝐿2 (R𝑁 )
(𝑟𝑛
+ |𝑥|
)
𝐵1 ∖𝐵𝑟𝑛
‖𝑣(−Δ)𝑠 𝜂𝑟𝑛 ‖2𝐿2 (R𝑁 ) ≤ 𝐶
≤𝐶
∫︁
𝑣2
∫︁
𝐵𝑟𝑛
≤𝐶
∫︁
𝑣 2 𝑟𝑛−4𝑠 𝑑𝑥 + 𝐶
𝑣 2 |𝑥|−4𝑠 𝑑𝑥 + 𝐶
≤𝐶
𝐵1
𝐵1 ∖𝐵𝑟𝑛
𝑣 2 |𝑥|2𝑁 |𝑥|−2𝑁 −4𝑠 𝑑𝑥 + 𝐶 ‖𝑣‖2𝐿2 (R𝑁 )
∫︁
𝐵1 ∖𝐵𝑟𝑛
𝐵𝑟𝑛
∫︁
∫︁
2
−4𝑠
𝑣 |𝑥|
𝑣 2 |𝑥|−4𝑠 𝑑𝑥 + 𝐶 ‖𝑣‖2𝐿2 (R𝑁 )
𝑑𝑥 + 𝐶 ‖𝑣‖2𝐿2 (R𝑁 ) ,
où 𝐶 est une constante positive indépendant de 𝑟𝑛 (variant d’une ligne à une autre).
Par conséquent, d’après Lemme 4.2.3, on obtient
‖𝑣(−Δ)𝑠 𝜂𝑟𝑛 ‖2𝐿2 (R𝑁 ) ≤ 𝐶 + 𝐶 ‖𝑣‖2𝐿2 (R𝑁 ) .
(4.40)
c
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Essentiel auto-adjoint de l’opérateur de Schrödinger avec potentiel de Hardy 67
En plus, en utilisant Lemme 4.2.4, on a
𝑐𝑁,𝑠
(︃∫︁
∫︁
R𝑁
R𝑁
∫︁
=
(𝑣(𝑥) − 𝑣(𝑦))2
𝑑𝑦
|𝑥 − 𝑦|𝑁 +2𝑠
)︃ (︃∫︁
)︃
R𝑁
(𝜂𝑟𝑛 (𝑥) − 𝜂𝑟𝑛 (𝑦))2
𝑑𝑦 𝑑𝑥
|𝑥 − 𝑦|𝑁 +2𝑠
[−(−Δ)𝑠 (𝑣 2 )(𝑥) + 2𝑣(𝑥)(−Δ)𝑠 𝑣(𝑥)]𝑑𝑥
R𝑁
× [−(−Δ)𝑠 (𝜂𝑟2𝑛 )(𝑥) + 2𝜂𝑟𝑛 (𝑥)(−Δ)𝑠 𝜂𝑟𝑛 (𝑥)]𝑑𝑥
∫︁
=
𝑁
∫︁ R
+
∫︁
𝑣 2 (−Δ)2𝑠 𝜂𝑟2𝑛 − 2
R𝑁
𝑣 2 (−Δ)𝑠 (𝜂𝑟𝑛 (−Δ)𝑠 𝜂𝑟𝑛 )
2𝑣(𝑥)(−Δ)𝑠 𝑣(𝑥)[−(−Δ)𝑠 (𝜂𝑟2𝑛 )(𝑥) + 2𝜂𝑟𝑛 (𝑥)(−Δ)𝑠 𝜂𝑟𝑛 (𝑥)]𝑑𝑥
R𝑁
≤ 𝐼1 + 𝐼2 + 𝐼3 ,
où
∫︁
𝐼1 =
𝐼2 = −2
R𝑁
∫︁
𝑣 2 |(−Δ)2𝑠 𝜂𝑟2𝑛 |𝑑𝑥,
𝑣 2 (−Δ)𝑠 (𝜂𝑟𝑛 (−Δ)𝑠 𝜂𝑟𝑛 )𝑑𝑥
R𝑁
et
⃒
⃒
⃒∫︁
⃒
𝐼3 = ⃒⃒
2𝑣(𝑥)(−Δ)𝑠 𝑣(𝑥)[−(−Δ)𝑠 (𝜂𝑟2𝑛 )(𝑥) + 2𝜂𝑟𝑛 (𝑥)(−Δ)𝑠 𝜂𝑟𝑛 (𝑥)]𝑑𝑥⃒⃒ .
R𝑁
Maintenant pour la dernière intégrale, on peut utiliser des techniques similaires
comme ci-dessus pour obtenir
𝐼3 ≤ 𝐶
≤𝐶
∫︁
R𝑁
∫︁
(|𝑥|−2𝑠 𝑣 + 𝑣 + 𝑓 )𝑣
−4𝑠 2
|𝑥|
𝑣 𝑑𝑥 + 𝐶
𝑟𝑛𝑁
𝑑𝑥
𝑟𝑛𝑁 +2𝑠 + |𝑥|𝑁 +2𝑠
∫︁
R𝑁 ∖𝐵1
𝐵1
2
𝑣 𝑑𝑥 + 𝐶
∫︁
R𝑁
𝑓 𝑣𝑑𝑥,
où 𝐶 > 0(variant d’une ligne à une autre) est indépendant de 𝑟𝑛 (mais peut dépendre de 𝑁 et Supp 𝑓 ). Par conséquent, d’après Lemme 4.2.3, on déduit
𝐼3 ≤ 𝐶 +
∫︁
2
R𝑁 ∖𝐵1
𝑣 𝑑𝑥 + 𝐶
∫︁
R𝑁
𝑓 𝑣𝑑𝑥.
(4.41)
Par (2.17), on remarque (−Δ)𝑠 𝜂𝑟𝑛 = 𝑟𝑛−2𝑠 (−Δ)𝑠 𝜂(·/𝑟𝑛 ) ∈ 𝐶𝑐∞ (R𝑁 ) donc 𝜂𝑟𝑛 (−Δ)𝑠 𝜂𝑟𝑛 ∈
𝐶𝑐∞ (R𝑁 ) et (−Δ)𝑠 (𝜂𝑟𝑛 (−Δ)𝑠 𝜂𝑟𝑛 ) = 𝑟𝑛−4𝑠 (−Δ)𝑠 (𝜂(−Δ)𝑠 𝜂)(·/𝑟𝑛 ). Ce qui implique
∫︁
𝐼2 = −2
≤𝐶
2
R𝑁
∫︁
𝐵1
𝑠
𝑠
𝑣 (−Δ) (𝜂𝑟𝑛 (−Δ) 𝜂𝑟𝑛 )𝑑𝑥 ≤ 𝐶
|𝑥|−4𝑠 𝑣 2 𝑑𝑥 + 𝐶
∫︁
R𝑁 ∖𝐵1
∫︁
R𝑁
𝑣2
𝑟𝑛𝑁 −2𝑠
𝑑𝑥
𝑟𝑛𝑁 +2𝑠 + |𝑥|𝑁 +2𝑠
𝑣 2 𝑑𝑥
c
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Essentiel auto-adjoint de l’opérateur de Schrödinger avec potentiel de Hardy 68
et par conséquent, d’après Lemme 4.2.3, on a
𝐼2 ≤ 𝐶 + 𝐶
∫︁
R𝑁 ∖𝐵1
𝑣 2 𝑑𝑥.
(4.42)
Il reste maintenant à estimer 𝐼1 . Si 2𝑠 = 1 donc
𝐼1 =
∫︁
R𝑁
𝑣 2 |(−Δ)2𝑠 𝜂𝑟2𝑛 |𝑑𝑥 ≤ 𝐶𝑟𝑛−2
∫︁
𝑣 2 𝑑𝑥 ≤ 𝐶
𝑟𝑛 ≤|𝑥|≤2𝑟𝑛
∫︁
R𝑁
|𝑥|−2 𝑣 2 𝑑𝑥.
Si 2𝑠 < 1 donc (en utilisant Lemme 2.4.1 encore)
𝐼1 ≤ 𝐶
∫︁
R𝑁
𝑣2
∫︁
∫︁
𝑟𝑛𝑁
−4𝑠 2
𝑑𝑥
≤
𝐶
|𝑥|
𝑣
𝑑𝑥
+
𝐶
𝑣 2 𝑑𝑥.
𝑟𝑛𝑁 +4𝑠 + |𝑥|𝑁 +4𝑠
𝐵1
R𝑁 ∖𝐵1
par conséquent, d’après Lemme 4.2.3,
𝐼1 ≤ 𝐶 + 𝐶
∫︁
R𝑁 ∖𝐵1
𝑣 2 𝑑𝑥.
(4.43)
Si 2𝑠 > 1 donc 0 < 2𝑠 − 1 < 1 ainsi (−Δ)2𝑠 𝜂𝑟2𝑛 = −(−Δ)2𝑠−1 (Δ𝜂𝑟2𝑛 ) qui implique
(voir Lemme 2.4.1)
|(−Δ)2𝑠−1 (−Δ𝜂𝑟2𝑛 )| ≤ 𝐶𝑟𝑛−2
𝑟𝑛𝑁
𝑁 +2(2𝑠−1)
𝑟𝑛
+ |𝑥|𝑁 +2(2𝑠−1)
.
On a, par des estimations similaires comme ci-dessus,
𝐼1 ≤ 𝐶
∫︁
R𝑁
𝑣2
∫︁
∫︁
𝑟𝑛𝑁 −2
−4𝑠 2
𝑑𝑥
≤
𝐶
|𝑥|
𝑣
𝑑𝑥
+
𝐶
𝑣 2 𝑑𝑥.
𝑁
𝑟𝑛𝑁 +4𝑠−2 + |𝑥|𝑁 +4𝑠−2
𝐵1
R ∖𝐵1
Encore, d’après Lemme 4.2.3, on a
𝐼1 ≤ 𝐶 + 𝐶
∫︁
R𝑁 ∖𝐵1
𝑣 2 𝑑𝑥.
On conclut, pour tout 𝑠 ∈]0, 1[,
𝐼1 ≤ 𝐶 + 𝐶
∫︁
R𝑁 ∖𝐵1
𝑣 2 𝑑𝑥.
(4.44)
De par les estimations (4.44), (4.42) et (4.41) avec (4.40), on obtient (4.39). D’où
on a (4.38) quand 𝑛 → ∞ dans 𝐿2 (R𝑁 ).
Donc
(𝑢, (𝐴 + 1)𝑣) = 0.
On déduit
(𝑢, 𝑓 ) =
∫︁
R𝑁
𝑓 𝑢𝑑𝑥 = 0.
c
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Essentiel auto-adjoint de l’opérateur de Schrödinger avec potentiel de Hardy 69
On a prouvé
∫︁
R𝑁
𝑓 𝑢𝑑𝑥 = 0 pour tout 𝑓 ∈ 𝐶𝑐∞ (R𝑁 ∖ {0}), 𝑓 ≥ 0 et 𝑓 ̸= 0. Donc
(𝐴 + 1)(𝐶𝑐∞ (R𝑁 ∖ {0})) est dense dans 𝐿2 (R𝑁 ) et l’essentiel auto-adjoint de 𝐴 en
découle.
Cas 2 :
𝑁 − 2𝑠 2
− 𝑠2 .
2
Comme dans Cas 1, on va prouver (𝐴 + 1)(𝐶𝑐∞ (R𝑁 ∖ {0})) est dense dans 𝐿2 (R𝑁 ),
ce qui est équivalent à
−𝜇1 (𝜆) =
)︂
(︂
[(𝐴 + 1)(𝐶𝑐∞ (R𝑁 ∖ {0}))]⊥ = {0}.
Soit 𝜎 ∈]0, 1[ tel que 𝜇1 (𝜆 − 𝜎) > 𝜇1 (𝜆) donc
−𝜇1 (𝜆 − 𝜎) <
(︂
)︂2
𝑁 − 2𝑠
2
− 𝑠2 .
Etant donné 𝑓 ∈ 𝐶𝑐∞ (R𝑁 ∖ {0}) tel que 𝑓 ≥ 0, d’après le théorème de Lax
Milgram et pour 𝜎 ∈]0, 1[, il existe 𝑣 𝜎 ∈ 𝐻 1 (R𝑁 )(𝑣 𝜎 > 0 dans R𝑁 ∖ {0}) solution
de
(−Δ)𝑠 𝑣 𝜎 − |𝑥|−2𝑠 (𝜆 − 𝜎)𝑣 𝜎 + 𝑣 𝜎 = 𝑓.
(4.45)
Comme dans Lemme 4.2.3, il existe 𝑟1 , 𝐶2 > 0 indépendant de 𝜎 et 𝑛 tels que
𝑣 𝜎 (𝑥) ≤ 𝐶2 |𝑥|𝛾(𝜎)
𝑥 ∈ 𝐵𝑟1 ∖ {0}
pour tout
où
√︃
(︂
(4.46)
𝑁 − 2𝑠
𝑁 − 2𝑠 2
𝛾(𝜎) = −
+
+ 𝜇1 (𝜆 − 𝜎).
2
2
D’abord on va montrer lim+ 𝜆𝜎 |𝑥|−2𝑠 𝑣 𝜎 = 𝜆|𝑥|−2𝑠 𝑣 𝜎 dans 𝐿2 (R𝑁 ).
)︂
𝜎→0
Par calcul, on a
𝜆𝜎 |𝑥|−2𝑠 𝑣 𝜎 − 𝜆|𝑥|−2𝑠 𝑣 𝜎 = 𝜎|𝑥|−2𝑠 𝑣 𝜎 .
Comme {𝑣 𝜎 }𝜎∈]0,1[ est borné dans 𝐻 1 (R𝑁 ), donc ‖|𝑥|−2𝑠 𝑣 𝜎 ‖𝐿2 (R𝑁 ∖𝐵1 ) peut être
uniformément borné et on a
⃦
⃦
⃦
⃦
⃦
⃦
𝜎 ⃦|𝑥|−2𝑠 𝑣 𝜎 ⃦
𝐿2 (R𝑁 )
⃦
⃦
≤ 𝐶𝜎 + 𝜎 ⃦|𝑥|−2𝑠 𝑣 𝜎 ⃦
𝐿2 (𝐵1 )
,
pour tout 𝜎 ∈]0, 1[.
On a, d’après (4.46),
√︁
−2𝑠 𝜎 2
||𝑥|
−𝑁 −2𝑠+2
𝑣 | ≤ 𝐶|𝑥|
2
( 𝑁 −2𝑠
)
2
+𝜇1 (𝜆−𝜎)
pour tout
𝑥 ∈ 𝐵1 ,
c
Etude de l’essentiel auto-adjoint de l’opérateur relativiste de Schrödinger avec potentiel de Hardy Adama NDOYE ○UCAD
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Essentiel auto-adjoint de l’opérateur de Schrödinger avec potentiel de Hardy 70
ce qui entraîne, après une intégration sur 𝐵1 ,
⃦
⃦
⃦
⃦
𝜎 ⃦|𝑥|−2 𝑣 𝜎 ⃦
𝐿2 (𝐵
1)
𝐶𝜎
≤ (︃
)︃1/2 ,
√︂(︁
)︁2
𝑁 −2𝑠
−𝑠 +
+ 𝜇1 (𝜆 − 𝜎)
2
pour tout 𝜎 ∈]0, 1[.
D’où on a
⃦
⃦
𝜎 ⃦⃦|𝑥|−2𝑠 𝑣 𝜎 ⃦⃦
𝐿2 (R𝑁 )
𝐶𝜎
≤ 𝐶𝜎 + (︃
)︃1/2 .
√︂(︁
)︁2
𝑁 −2𝑠
−𝑠 +
+ 𝜇1 (𝜆 − 𝜎)
2
Donc 𝜎|𝑥|−2𝑠 𝑣 𝜎 → 0 et 𝜇1 (𝜆 − 𝜎) → 𝜇1 (𝜆) quand 𝜎 → 0+ dans 𝐿2 (R𝑁 ) ce qui
implique
lim+ 𝜆𝜎 |𝑥|−2𝑠 𝑣 𝜎 = 𝜆|𝑥|−2𝑠 𝑣 𝜎
(4.47)
𝜎→0
dans 𝐿 (R ), i.e., ‖(𝜆𝜎 − 𝜆)|𝑥|−2𝑠 𝑣 𝜎 ‖𝐿2 (R𝑁 ) < 𝜀, pour 𝜎 assez petit.
Par conséquent il est possible de choisir 𝜎 assez petit tel que toutes les solutions
de (4.45) vérifient (4.47). Pour un tel 𝜎, soit 𝑣 𝜎 ∈ 𝐻 1 (R𝑁 ) une solution de (4.45).
𝜎
:= 𝜂𝑚,𝑛 𝑣 𝜎 , où 𝜂𝑚,𝑛 (𝑥) =
Soient 𝑓𝑚,𝑛 := 𝜂𝑚,𝑛 𝑓 − 2∇𝜂𝑚,𝑛 · ∇𝑣 𝜎 − 𝑣 𝜎 Δ𝜂𝑚,𝑛 et 𝑣𝑚,𝑛
𝜎
∈ 𝐶𝑐∞ (R𝑁 ∖ {0}) et
𝜂𝑅𝑚 (𝑥)(1 − 𝜂𝑟𝑛 (𝑥)) et 𝑟𝑛 , 𝑅1𝑚 → 0 quand 𝑚, 𝑛 → ∞, donc 𝑣𝑚,𝑛
𝜎
d’après (4.47) , on a (𝐴 + 1)𝑣𝑚,𝑛
= 𝑓𝑚,𝑛 . En particulier 𝑓𝑚,𝑛 ∈ (𝐴 + 1)(𝐶𝑐∞ (R𝑁 ∖
{0})). En plus d’après Théorème 2.1.1 et Cas 1, on a 𝑓𝑚,𝑛 converge vers 𝑓 dans
𝐿2 (R𝑁 ) pour 𝑚 et 𝑛 assez grands.
D’où on en déduit la densité de (𝐴 + 1)(𝐶𝑐∞ (R𝑁 ∖ {0})) dans 𝐿2 (R𝑁 ) et l’essentiel auto-adjoint de 𝐴.
2
𝑁
c
Etude de l’essentiel auto-adjoint de l’opérateur relativiste de Schrödinger avec potentiel de Hardy Adama NDOYE ○UCAD
/ 2017
Chapitre Cinq
Essentiel auto-adjoint de
l’opérateur relativiste de
Schrödinger avec potentiel de
Hardy
Dans ce chapitre on va démontrer le résultat principal de ce mémoire : Théorème 1.0.2. La principale référence pour ce chapitre est [9].
5.1
Essentiel auto-adjoint
Dans cette section on va prouver la condition suffisante de Théorème 1.0.2. On
a besoin de quelques résultats avant de passer à la preuve. Considérons d’abord ce
lemme suivant :
Lemme 5.1.1 Soient 𝑠 ∈]0, 1[, 𝑉 ∈ 𝐿2𝑙𝑜𝑐 (R𝑁 ∖ {0}) et 𝑏 > 0, on considére
𝐴 = (−Δ)𝑠 − 𝑉 et 𝐵 = (−Δ + 𝑏)𝑠 − 𝑉 dans 𝐶𝑐∞ (R𝑁 ∖ {0}).
(i) 𝐴 est essentiellement auto-adjoint sur 𝐿2 (R𝑁 ) si et seulement si 𝐵 est essentiellement auto-adjoint sur 𝐿2 (R𝑁 ).
(ii) S’il existe 𝐶 > 0 tel que
∫︁
R𝑁
(|𝜉|2 + 𝑏)𝑠 𝜙̂︀2 (𝜉)𝑑𝜉 −
∫︁
R𝑁
𝑉 (𝑥)𝜙2 (𝑥)𝑑𝑥 ≥ 𝐶 ‖𝜙‖𝐻 𝑠 (R𝑁 )
(5.1)
pour tout 𝜙 ∈ 𝐶𝑐∞ (R𝑁 ∖ {0}),
alors 𝐵 est essentiellement auto-adjoint sur 𝐿2 (R𝑁 ) si et seulement si l’image
de 𝐵 est dense dans 𝐿2 (R𝑁 ).
72
Essentiel auto-adjoint
Preuve. Pour montrer (𝑖), on remarque que, en utilisant la transformée de Fourier
et l’identité de Parseval (2.2) de Théorème 2.1.3, on a
‖(𝐵 −
𝐴)𝑢‖2𝐿2 (R𝑁 )
=
∫︁
R𝑁
2
̂︀
[(|𝜉|2 + 𝑏)𝑠 − |𝜉|2𝑠 ]2 |𝑢(𝜉)|
𝑑𝜉,
pour tout 𝑢 ∈ 𝐶𝑐∞ (R𝑁 ∖ {0}). En utilisant l’inégalité élémentaire
0 ≤ (𝑎 + 𝑏)𝑠 − 𝑎𝑠 ≤ 𝑏𝑠 , qui est vraie pour tout 𝑎, 𝑏 ∈ [0, ∞[ et 𝑠 ∈]0, 1[, on obtient
‖(𝐵 −
𝐴)𝑢‖2𝐿2 (R𝑁 )
≤𝑏
2𝑠
∫︁
R𝑁
2
̂︀
|𝑢(𝜉)|
𝑑𝜉 = 𝑏2𝑠 ‖𝑢‖2𝐿2 (R𝑁 ) .
Ainsi, pour 𝑞 ∈]0, 1[, on obtient
‖(𝐵 − 𝐴)𝑢‖𝐿2 (R𝑁 ) ≤ 𝑞 ‖𝐴𝑢‖𝐿2 (R𝑁 ) + 𝑏𝑠 ‖𝑢‖𝐿2 (R𝑁 ) ,
‖(𝐵 − 𝐴)𝑢‖𝐿2 (R𝑁 ) ≤ 𝑞 ‖𝐵𝑢‖𝐿2 (R𝑁 ) + 𝑏𝑠 ‖𝑢‖𝐿2 (R𝑁 ) ,
pour tout 𝑢 ∈ 𝐶𝑐∞ (R𝑁 ∖ {0}), i.e., 𝐵 − 𝐴 est à la fois 𝐴-borné et 𝐵-borné avec
comme borne relative 𝑞 < 1. Donc, en utilisant le Théorème de Kato-Rellich 3.3.1 ,
si 𝐴 est essentiellement auto-adjoint alors 𝐵 = 𝐴+(𝐵−𝐴) est essentiellement autoadjoint ; réciproquement si 𝐵 est essentiellement auto-adjoint alors 𝐴 = 𝐵+(𝐴−𝐵)
est essentiellement auto-adjoint, ce qui prouve (𝑖).
On rappelle (voir Proposition 3.3.3) que si un symétrique opérateur est strictement
positif alors il est essentiellement auto-adjoint si et seulement si son image est
dense. En supposant (5.1) , 𝐵 est un symétrique opérateur qui est strictement
positif, d’où on en déduit (𝑖𝑖).
Remarque 5.1.1
On va montrer que notre potentiel 𝑉 (𝑥) = |𝑥|𝜆2𝑠 satisfait (5.1) pour chaque 𝑏 > 0
permettant la réalisation de la condition (1.3). En effet, pour 𝜀 > 0 et 𝑢 ∈ 𝐻 𝑠 (R𝑁 ),
on a
∫︁
R𝑁
̂︀ 2 (𝜉)𝑑𝜉 − 𝜆
(|𝜉|2 + 𝑏)𝑠 |𝑢|
= (1 − 𝜀)
= (1 − 𝜀)
∫︁
R𝑁
∫︁
R𝑁
𝑢2
𝑑𝑥
|𝑥|2𝑠
̂︀ 2 (𝜉)𝑑𝜉 + 𝜀
(|𝜉|2 + 𝑏)𝑠 |𝑢|
[︃∫︁
R𝑁
̂︀ 2 𝑑𝜉 − 𝜆𝜀
(|𝜉|2 + 𝑏)𝑠 |𝑢|
∫︁
R𝑁
∫︁
R𝑁
̂︀ 2 (𝜉)𝑑𝜉 − 𝜆
(|𝜉|2 + 𝑏)𝑠 |𝑢|
]︃
𝑢2
𝑑𝑥 + 𝜀
|𝑥|2𝑠
∫︁
R𝑁
∫︁
R𝑁
𝑢2
𝑑𝑥
|𝑥|2𝑠
̂︀ 2 𝑑𝜉,
(|𝜉|2 + 𝑏)𝑠 |𝑢|
𝜆
où 𝜆𝜀 = 1−𝜀
. Par une dépendance continue de 𝜇1 sur 𝜆 et (1.3), il existe
𝜀0 = 𝜀0 (𝜆, 𝑁, 𝑠) > 0 tel que
𝑁 − 2𝑠
𝜇1 (𝜆𝜀 ) +
2
(︂
)︂2
>0
c
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73
Non essentiel auto-adjoint
pour tout 𝜀 ∈]0, 𝜀0 [. Par Lemme 4.2.2, on a
∫︁
(|𝜉|2 + 𝑏)𝑠 𝑢̂︀2 𝑑𝜉 − 𝜆𝜀
R𝑁
∫︁
𝑢2
𝑑𝑥
≥
𝐶
|𝜉|2𝑠 𝑢̂︀2 𝑑𝜉.
𝜆𝜀 ,𝑁,𝑠
𝑁
|𝑥|2𝑠
R
∫︁
R𝑁
Ainsi
∫︁
2
R𝑁
(|𝜉| + 𝑏)
𝑠
̂︀ 2 𝑑𝜉
|𝑢|
≥ (1 − 𝜀)𝐶𝜆𝜀 ,𝑁,𝑠
−𝜆
∫︁
R𝑁
∫︁
R𝑁
𝑢2
𝑑𝑥
|𝑥|2𝑠
2𝑠 2
|𝜉| 𝑢̂︀ 𝑑𝜉 + 𝜀
∫︁
R𝑁
̂︀ 2 𝑑𝜉.
(|𝜉|2 + 𝑏)𝑠 |𝑢|
Donc, l’identité de Parseval (2.2), pour tout 𝜀 ∈]0, 𝜀0 [ on a
∫︁
R𝑁
2
𝑠
(|𝜉| + 𝑏)
̂︀ 2 𝑑𝜉
|𝑢|
−𝜆
∫︁
R𝑁
∫︁
∫︁
𝑢2
𝑠
2𝑠 2
̂︀
𝑑𝑥 ≥ (1 − 𝜀)𝐶𝜆𝜀 ,𝑁,𝑠
|𝜉| 𝑢 𝑑𝜉 + 𝜀𝑏
𝑢2 𝑑𝑥.
2𝑠
𝑁
𝑁
|𝑥|
R
R
Preuve. (Suffisance de la condition (1.4) de Théorème 1.0.2)
Elle se découle de Théorème 4.2.1, de Lemme 5.1.1 et de Remarque 5.1.1.
5.2
Non essentiel auto-adjoint
Dans cette section on montrera la condition nécessaire de de Théorème 1.0.2.
Le lemme suivant sera crucial dans la preuve.
Lemme 5.2.1 Soient 𝑏 > 0 et 𝜓1 une fonction propre du problème
(2.27) corres√︁
pondant à la première valeur propre 𝜇1 (𝜆) dans (1.2). Soit 𝜈1 = (𝑁 − 2𝑠)2 /4 + 𝜇1 (𝜆)
et on suppose que
𝑁 − 2𝑠
−𝜇1 (𝜆) >
2
(︂
)︂2
− 𝑠2 ,
𝑠 > 𝜈1 .
+1
Pour 𝑧 = (𝑡, 𝑥) ∈ R𝑁
, on définit 𝑓 (𝑧) = 𝜓1 (𝑧/|𝑧|)|𝑧|
+
2𝑠−𝑁
2
√
𝐾𝜈1 ( 𝑏|𝑧|). Alors
⎧
⎨
+1
−div(𝑡1−2𝑠 ∇𝑓 ) + 𝑡1−2𝑠 𝑏𝑓 = 0, dans R𝑁
,
+
1−2𝑠
−2𝑠
𝑁
−
lim
𝑡
𝜕
𝑓
=
𝜅
𝜆|𝑥|
𝑓,
sur
R
∖
{0}.
⎩
𝑡
𝑠
+
(5.2)
𝑡→0
En plus
(−Δ + 𝑏)𝑠 𝑓 − 𝜆|𝑥|−2𝑠 𝑓 = 0
dans
𝒟′ (R𝑁 ∖ {0}),
(5.3)
i.e.
∫︁
R𝑁
(︃
)︃
𝜆
𝑓 (0, 𝑥) (−Δ + 𝑏) 𝜙(𝑥) − 2𝑠 𝜙(𝑥) 𝑑𝑥 = 0,
|𝑥|
𝑠
𝜙 ∈ 𝐶𝑐∞ (R𝑁 ∖ {0}).
c
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74
Non essentiel auto-adjoint
Remarque 5.2.1
On remarque que la conclusion de ce lemme ci-dessous peut ne pas être vraie si
𝑏 = 0. La propriété de décroissance exponentielle à l’infini de 𝐾𝜈1 joue un rôle
central dans la preuve.
Preuve. Voir [9, Lemme 4.1].
Théorème 5.2.1 (Nécessité de la condition (1.4) de Théorème 1.0.2)
Soit 𝑁 > 2𝑠 et 𝑚 ≥ 0. Alors l’opérateur 𝐴 = (−Δ + 𝑚2 )𝑠 − 𝜆|𝑥|−2𝑠 avec comme
domaine 𝐶𝑐∞ (R𝑁 ∖ {0}) n’est pas essentiellement auto-adjoint dans 𝐿2 (R𝑁 ) si
𝑁 − 2𝑠
− 𝜇1 (𝜆) >
2
(︂
)︂2
− 𝑠2 .
(5.4)
Preuve. On suppose par contradiction que (5.4) se réalise et 𝐴 soit essentiellement auto-adjoint. Par la partie (i) de Lemme 5.1.1 aussi (−Δ + 𝑏)𝑠 − 𝜆|𝑥|−2𝑠
est essentiellement auto-adjoint dans 𝐿2 (R𝑁 ) pour tout 𝑏 > 0 ; donc en supposant
(5.1), Remarque 5.1.1 et la partie (ii) de Lemme 5.1.1, on a la densité de l’image
de l’opérateur (−Δ + 𝑏)𝑠 − 𝜆|𝑥|−2𝑠 dans 𝐿2 (R𝑁 ).
Soit 𝜓1 la fonction propre positive du problème (2.27) associée à la première valeur
propre 𝜇1 (𝜆) dans (1.2). Pour 𝑧 = (𝑡, 𝑥) soit
√
2𝑠−𝑁
𝑓 (𝑧) = 𝜓1 (𝑧/|𝑧|)|𝑧| 2 𝐾√(𝑁 −2𝑠)2 /4+𝜇 (𝜆) ( 𝑏|𝑧|).
1
On remarque, d’après (5.4), (2.21) et (2.22),
𝑓 (0, ·) ∈ 𝐿2 (R𝑁 ).
(5.5)
Comme l’image de (−Δ + 𝑏)𝑠 − 𝜆|𝑥|−2𝑠 est dense dans 𝐿2 (R𝑁 )(comme assumption
ci-dessus par contradiction), il existe 𝜙𝑛 ∈ 𝐶𝑐∞ (R𝑁 ∖ {0}) tel que (−Δ + 𝑏)𝑠 𝜙𝑛 −
𝜆|𝑥|−2𝑠 𝜙𝑛 → 𝑓 (0, ·) dans 𝐿2 (R𝑁 ) donc pour tout 𝜀 > 0, il existe 𝑛(𝜀) tel que
⃦
⃦
⃦(−Δ + 𝑏)𝑠 𝜙𝑛
⃦
⃦
− 𝜆|𝑥|−2𝑠 𝜙𝑛 − 𝑓 (0, ·)⃦
𝐿2 (R𝑁 )
< 𝜀 pour tout 𝑛 ≥ 𝑛(𝜀).
Ce qui entraîne
−2
∫︁
R𝑁
((−Δ + 𝑏)𝑠 𝜙𝑛 (𝑥) − 𝜆|𝑥|−2𝑠 𝜙𝑛 (𝑥))𝑓 (0, 𝑥)𝑑𝑥 + ‖𝑓 ‖𝐿2 (R𝑁 ) < 𝜀2
pour tout 𝑛 ≥ 𝑛(𝜀). Par (5.3), on obtient pour tout 𝜀 > 0
‖𝑓 ‖𝐿2 (R𝑁 ) < 𝜀2
qui est impossible.
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Chapitre Six
Conclusion
Dans ce mémoire, l’objectif était d’étudier de l’essentiel auto-adjoint de l’opérateur relativiste de Schrödinger avec un potentiel de Hardy. D’abord on a travaillé
avec le cas simple ou non relativiste de cet opérateur pour obtenir une condition
nécessaire et suffisante dépendant du coefficient du terme singulier nous menant
vers l’essentiel auto-adjoint et ensuite généraliser ce résultat pour atteindre le but
de ce projet (Théorème 1.0.2).
Dans le futur, nous nous intéresserons aux cas où la singularité donnée par le potentiel de Hardy est une sous-variété de dimension supérieure à 1. Nous étudierons
aussi la question d’essentiel auto-adjoint de l’opérateur de Schrödinger avec potentiel de Hardy |𝑥|−2 , dans Ω ⊂ R𝑁 , un ouvert, avec 0 ∈ 𝜕Ω (zéros sur le bord de
Ω).
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