Concours d’accès en première année Cycle d’ingénieurs FSTM Filière Génie Energétique Epreuve : Mécanique des solides 2017-2018 Enoncée Un pendule pesant constitue d’un solide homogène quelconque, de masse m, tourne autour d’un point fixe O lui appartenant. Le pendule est lie au repère 𝑅1 (𝑂, 𝑥⃗1 , 𝑦⃗1 , 𝑧⃗1 ) en mouvement de rotation par rapport à un repère fixe 𝑅0 (𝑂, 𝑥⃗0 , 𝑦⃗0 , 𝑧⃗0 ) lie au bâti tel que : (𝑥⃗0 , 𝑥⃗1 )= (𝑦⃗0 , 𝑦⃗1 )=𝜃 (Voir figure). La force de contact au point O est 𝐹⃗𝑜 (𝐹𝑂𝑥 , 𝐹𝑂𝑦 , 0) dans le repère 𝑅1 et le moment d’inertie du pendule par rapport a l’axe G𝑧⃗1 est égale a 𝐼𝐺 . On donne ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑂𝐺 = 𝐿𝑥⃗1 avec L=constante et 𝑅1 est le repère de projection. 1) En utilisant le théorème de la résultante dynamique et du moment dynamique en G, établir l’équation différentielle du mouvement ; 2) Retrouver l’expression de cette équation en utilisant le théorème de l’énergie cinétique ; 3) En déduire l’équation différentielle du pendule simple ainsi que sa période. 𝑦⃗1 𝑦⃗0 O G 𝜃 𝑥⃗1 𝑥⃗0 Epreuve : Mécanique des solides 2017-2018 Corrigée 1) le théorème de la résultant dynamique est donnée par : Correction proposer par H.CHAABANI 1/4 ∑ ⃗𝑭⃗𝒆𝒙𝒕 = 𝒎 𝜸 ⃗⃗(𝑮⁄𝑹𝟎 ) (1) Calculant la Vitesse du centre de masse ainsi que l’accélération : 𝑶𝑮 𝒅𝑳𝒙 ⃗⃗𝟏 𝒅𝒙 ⃗⃗𝟏 ⃗𝑽⃗(𝑮⁄𝑹𝟎 ) = 𝒅⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ] = ] =L ] 𝒅𝒕 𝒅𝒕 𝒅𝒕 𝑹𝟎 𝑹𝟎 𝑹𝟎 ⃗⃗𝟏 est un vecteur qui appartient a 𝑅1 donc on utilise la relation du changement du repère Comme 𝒙 alors : Donc : 𝒅𝒙 ⃗⃗𝟏 ] 𝒅𝒕 𝒅𝒙 ⃗⃗𝟏 ] 𝑹𝟎 𝒅𝒕 𝑹𝟎 = 𝒅𝒙 ⃗⃗𝟏 ] 𝒅𝒕 𝑹𝟏 ⃗⃗(𝑅1 ⁄𝑅0 )∧𝒙 ⃗⃗(𝑅1 ⁄𝑅0 ) = 𝜽̇𝒛⃗ 𝟏 ⃗⃗𝟏 avec : ⃗Ω + ⃗Ω ⃗⃗+𝜽̇𝒛⃗ 𝟏 ∧𝒙 ⃗⃗𝟏 =𝜽̇𝒚 =𝟎 ⃗⃗𝟏 ⃗⃗(𝑮⁄𝑹𝟎 ) = 𝑳𝜽̇𝒚 Finalement : 𝑽 ⃗⃗𝟏 ⃗⃗(𝑮⁄𝑹𝟎 ) = Calculant l’accélération : 𝜸 ⃗⃗(𝑮⁄𝑹𝟎 ) 𝒅𝑽 𝒅𝒕 𝟐 ⃗⃗𝟏 ] = 𝑳𝜽̈𝒚 ⃗⃗𝟏 - L𝜽̇ 𝒙 𝑹𝟎 Les forces appliquées aux solides sont : ⃗𝑷 ⃗⃗ = 𝒎𝒈𝒙 ⃗⃗𝟎 𝒐𝒓 𝒙 ⃗⃗𝟎 = 𝒄𝒐𝒔(𝜽)𝒙 ⃗⃗𝟏 − 𝒔𝒊𝒏(𝜽) 𝒚 ⃗⃗𝟏 ⃗⃗ = 𝒎𝒈[𝒄𝒐𝒔(𝜽)𝒙 Donc : ⃗𝑷 ⃗⃗𝟏 − 𝒔𝒊𝒏(𝜽)𝒚 ⃗⃗𝟏 ] ⃗𝑭⃗𝒐 = 𝑭𝑶𝒙 𝒙 ⃗⃗𝟏 + 𝑭𝑶𝒚 𝒚 ⃗⃗𝟏 D’après (1) on a : ⃗𝑭⃗𝒐 + ⃗𝑷 ⃗⃗ = 𝒎 ⃗𝜸⃗(𝑮⁄𝑹𝟎 ) 𝟐 ⃗⃗𝟏 + 𝑭𝑶𝒚 𝒚 ⃗⃗𝟏 + 𝒎𝒈[𝒄𝒐𝒔(𝜽)𝒙 ⃗⃗𝟏 ] 𝑭𝑶𝒙 𝒙 ⃗⃗𝟏 − 𝒔𝒊𝒏(𝜽)𝒚 ⃗⃗𝟏 ] = 𝒎[ 𝑳𝜽̈𝒚 ⃗⃗𝟏 - L𝜽̇ 𝒙 par projection dans la base de travail du repère 𝑹𝟏 : 𝑭𝑶𝒙 + 𝒎𝒈𝒄𝒐𝒔(𝜽) = −𝒎𝑳𝜽̇𝟐 ↔ 𝑭𝑶𝒙 = −𝒎𝑳𝜽̇𝟐 − 𝒎𝒈𝒄𝒐𝒔(𝜽) {𝑭𝑶𝒚 − 𝒎𝒈𝒔𝒊𝒏(𝜽) = 𝒎𝑳𝜽̈ ↔ 𝑭𝑶𝒚 = 𝒎𝑳𝜽̈ + 𝒎𝒈𝒔𝒊𝒏(𝜽) 𝟎 =𝟎 Théorème du moment dynamique : ⃗𝑴 ⃗⃗⃗𝒅 (𝑮) = ⃗𝑴 ⃗⃗⃗𝒆𝒙𝒕 (𝑮) : (2) ⃗𝑴 ⃗⃗⃗𝒅 (𝑮) = ⃗⃗𝑮 (𝑺⁄𝑹𝟎 ) 𝒅𝝈 ⃗⃗(𝑮⁄𝑹𝟎 ) ] + ⃗𝑽⃗(𝑮⁄𝑹𝟎 ) ∧ 𝒎𝑽 𝒅𝒕 𝑹 𝟎 ⃗⃗ ⃗⃗(𝑮⁄𝑹𝟎 ) = 𝟎 Avec : ⃗𝑽⃗(𝑮⁄𝑹𝟎 ) ∧ 𝒎𝑽 calculant le moment cinétique : le moment cinétique au centre d’inertie est : Correction proposer par H.CHAABANI 2/4 𝟎 ⃗⃗(𝑹𝟏 ⁄𝑹𝟎 )=𝑰𝑮 . {𝟎} = 𝑰𝑮 𝜽̇𝒛⃗ 𝟏 ⃗⃗𝑮 (𝑺⁄𝑹𝟎 ) = 𝑰𝑮 . ⃗Ω 𝝈 𝜽̇ 𝑹𝟏 ⃗⃗⃗⃗𝒅 (𝑮) = Donc : 𝑴 𝒅𝝈 ⃗⃗𝑮 (𝑺⁄𝑹𝟎 ) 𝒅𝒕 ] 𝑹𝟎 = 𝑰𝑮 𝜽̈𝒛⃗ 𝟏 Le moment des forces extérieures : 𝟐 ⃗⃗ - 𝑳𝒙 ⃗𝑴 ⃗⃗⃗𝒆𝒙𝒕 (𝑮) = ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ + ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗𝟏 ∧ ([−𝒎𝑳𝜽̇ − 𝒎𝒈𝒄𝒐𝒔(𝜽)] 𝒙 ⃗⃗𝟏 +[ 𝒎𝑳𝜽̈ + 𝒎𝒈𝒔𝒊𝒏(𝜽)]⃗𝒚⃗𝟏 ) 𝑮𝑮 ∧ ⃗𝑷 𝑮𝑶 ∧ ⃗⃗⃗ 𝑭𝒐 =𝟎 ⃗𝑴 ⃗⃗⃗𝒆𝒙𝒕 (𝑮) = −𝑳𝒎[𝑳𝜽̈ + 𝒈𝒔𝒊𝒏(𝜽)]𝒛⃗ 𝟏 d’après (2) : 𝑰𝑮 𝜽̈ = −𝑳𝒎[𝑳𝜽̈ + 𝒈𝒔𝒊𝒏(𝜽)] 𝑰𝑮 𝜽̈ + 𝑳𝒎[𝑳𝜽̈ + 𝒈𝒔𝒊𝒏(𝜽)] =0 𝜽̈[𝑰𝑮 + 𝒎𝑳𝟐 ] + 𝒈𝒎𝑳𝒔𝒊𝒏(𝜽)] =0 𝒈𝒎𝑳 𝜽̈ + 𝑰 +𝒎𝑳𝟐 𝒔𝒊𝒏(𝜽) = 𝟎 𝑫𝒐𝒏𝒄: 2) 𝑮 Calculant l’énergie cinétique du solide considérée : d’après le deuxième théorème de Koenig on a : 𝟐 𝟏 𝟏 𝑬𝑪 (𝑺⁄𝑹𝟎 ) = 𝒎 ‖⃗⃗⃗ 𝑽(𝑮⁄𝑹𝟎 )‖ + 〈⃗⃗Ω⃗⃗(𝑹𝟏 ⁄𝑹𝟎 )〉𝒕𝑹𝟏 . 𝑰𝑮 {⃗⃗Ω⃗⃗(𝑹𝟏 ⁄𝑹𝟎 )} 𝟐 𝟐 𝑹𝟏 𝟐 𝟏 𝟏 𝟐 𝟐 𝑬𝑪 (𝑺⁄𝑹𝟎 ) = 𝒎𝑳 𝜽̇ + 𝑰𝑮 𝜽̇ 𝟐 𝟐 théorème de l’énergie cinétique : 𝒅𝑬𝑪 (𝑺⁄𝑹𝟎 ) 𝒅𝒕 𝝉𝑽 𝝉𝒆𝒙𝒕 ] 𝑹𝟎 = 𝝉𝑽 𝝉𝒆𝒙𝒕 (3) ⃗⃗Ω ⃗⃗(𝑹𝟏 ⁄𝑹𝟎 ) ⃗⃗⃗ 𝑭𝒆𝒙𝒕 ⃗⃗(𝑹𝟏 ⁄𝑹𝟎 ) ∗ ⃗𝑴 ⃗⃗⃗𝒆𝒙𝒕 (𝑮) + ⃗𝑭⃗𝒆𝒙𝒕 ∗ ⃗𝑽⃗(𝑮⁄𝑹𝟎 ) ={ }∗{ }=⃗Ω ⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑽(𝑮⁄𝑹𝟎 ) 𝑴𝒆𝒙𝒕 (𝑮) en effectuent le calcule on trouve que : 𝝉𝑽 𝝉𝒆𝒙𝒕 = −𝒎𝒈𝑳𝜽̇ 𝒔𝒊𝒏(𝜽) 𝒅𝑬𝑪 (𝑺⁄𝑹𝟎 ) 𝒅𝒕 ] 𝑹𝟎 𝟐 = 𝒎𝑳 𝜽̇ 𝜽̈ + 𝑰𝑮 𝜽̇ 𝜽̈ d’après la relation (3) : 𝟐 𝒎𝑳 𝜽̇ 𝜽̈ + 𝑰𝑮 𝜽̇ 𝜽̈ = −𝒎𝒈𝑳𝜽̇ 𝒔𝒊𝒏(𝜽) 𝟐 [𝒎𝑳 + 𝑰𝑮 ]𝜽̈ + 𝒎𝒈𝑳𝒔𝒊𝒏(𝜽) =0 Donc : 𝜽̈ + 𝒎𝒈𝑳 𝒎𝑳𝟐 +𝑰𝑮 𝒔𝒊𝒏(𝜽) = 𝟎 3) l’équation différentielle d’une pendule simple : 𝜽̈ + 𝝎𝟐𝟎 𝒔𝒊𝒏(𝜽) = 𝟎 (Équation différentielle d’une pendula simple) Correction proposer par H.CHAABANI 3/4 or : 𝝎𝟐𝟎 = 𝒎𝒈𝑳 𝒎𝑳𝟐 +𝑰𝑮 𝟐𝝅 la période : T= 𝝎𝟎 𝒎𝒈𝑳 donc : 𝝎𝟎 = √𝒎𝑳𝟐+𝑰 𝑮 𝟐 𝒎𝑳 +𝑰𝑮 √ 𝑫𝒐𝒏𝒄 ∶ 𝑻 = 𝟐𝝅 Correction proposer par H.CHAABANI 𝒎𝒈𝑳 4/4