TSI 1 Cours de STATIQUE STATIQUE : page 1 MODELISATION des ACTIONS MECANIQUES La statique est l’étude mécanique des solides ou de systèmes de solides au repos liés et étudiés dans un repère considéré comme galiléen. La résistance des Matériaux fournira, par la suite, des méthodes rationnelles de dimensionnement des liaisons et des pièces mécaniques soumises à un ensemble d’actions mécaniques. Pour utiliser ces méthodes il faut connaître ou avoir déterminé par des études de statique les efforts que supportent ou que transmettent les différentes pièces du mécanisme étudié. Le but de ce chapitre est de choisir une représentation mathématique des actions mécaniques. 1— Définition d’un système matériel : Définition : On appelle système matériel une quantité de matière, homogène ou non, dont la masse reste constante d pendant son étude. Exemples : un solide : bride, levier, bielle, axe, pignon, ressort un ensemble de solides : vérin, moteur, automobile, avion, homme, machine d d une portion de solide, portion de levier, de poutre, délimitée par une coupure fictive et isolée par la pensée : d partie de poutre située à gauche d’une section droite .. . . un fluide; masse de carburant, huile contenue dans le corps d’un vérin Remarque: C’est une notion très large et très conventionnelle En statique: Les seuls systèmes matériels que nous aurons à considérer seront: — un solide considéré comme indéformable — un ensemble de solides liés dont on considérera la forme globale indéformable — un solide déformable, mais dont la loi de déformation est connue ; en général un ressort — un lien flexible tendu qui sera modélisé non déformable dans cette utilisation Système matériel isolé : Lorsqu’un système matériel (S) est bien défini, on est capable de discerner tous les éléments de ce système du reste de son environnement. On peut l’isoler fictivement, tout ou partie par la pensée, ou même y faire une coupe fictive et en prélever une partie ; par exemple pour en étudier son équilibre. Le choix judicieux du système à isoler est déterminant pour la résolution d’un problème de mécanique 2— Actions mécaniques : 2-1 Définition : On appelle Action Mécanique, toute cause susceptible de maintenir un solide au repos, ou de le mettre en d mouvement, ou de modifier son mouvement, ou de déformer le solide étudié. Exemples : action d’un palier sur un arbre, action du sol sur les pieds d’une table, action de la terre sur tous les solides, action de l’eau sur une coque, action de l’air sur une aile d’avion, action d’un aimant sur une pièce magnétique. 2-2 Classifications des actions : - Suivant leur nature physique: Actions mécaniques à distance:● champ ou effet de la d pesanteur ; d ● champ électromagnétique ; d ● effets électriques ou d électrostatiques. Actions mécaniques de contact : d’un solide, d’un fluide ou d’un élément élastique. Dans ce cas de contact, la liaison technologique associée possède souvent des formes de contact surfaciques, mais elle sera souvent assimilée pour simplifier la modélisation, si l’hypothèse est raisonnable, à une ligne ou à un point. (Voir les exemples, modélisations simplificatrices et commentaires qui suivent). TSI 1 Cours de STATIQUE page 2 - Suivant leur situation par rapport au système matériel : Actions mécaniques extérieures au système matériel isolé. Actions mécaniques internes au système matériel isolé. Exemple: L’action mécanique de 3 sur 2 est L’action mécanique de 1 sur 2 est àSàS- L’action mécanique de 1 sur 2 est à2- En statique, on ne considère que les actions mécaniques extérieures aux systèmes matériels isolés. Cette dernière classification est donc très importante. 3— Premier principe de la statique : toute action mécanique peut être caractérisée par un torseur. 3-1 Notion de Force : Cette force génère ou interdit un mouvement selon une droite support ; on représentera généralement une force par un vecteur glisseur défini par : — sa direction (∆) : ∆ F , D — son sens, D — sa norme (intensité ou module) ║ F ║, dont l’unité est le (N). Des actions mécaniques seront représentées par un pointeur (vecteur lié ; glisseur dont le support doit passer par un point donné). Ainsi l’action mécanique du fil sur le système (S) se caractérise par un pointeur (P, F ), mais on peut aussi la caractériser en tous les points du fil par un glisseur. Définition : Une force est une action mécanique représentée par un pointeur (vecteur lié) ou par un glisseur. Autre définition: c’est l’action mécanique d’un point matériel sur un autre point matériel. Unité de mesure d’intensité d’une force: le Newton (N) en SI, mais cette quantité est faible, on utilise souvent le daN ou le kN. TSI 1 Cours de STATIQUE page 3 Remarques importantes a) Force appliquée à un système rigide : Le phénomène ne change pas si l’on change le point d’application de F F peut être considéré comme un glisseur. b) Force appliquée à un système déformable : On constate une déformation différente de la poutre (1) selon (A, F → 1 ) ou (B, F → 1 ); le modèle du pointeur s’impose alors ici. 3-1-1 Il faut mémoriser que très souvent la notion de “Force” seule est insuffisante pour représenter complètement bon nombre d’actions mécaniques. Modèle: Poids de 2 négligé par rapport à l’action du ressort L’action mécanique de 1 sur 2 dépend de l’orientation de F caractérisée par l’angle α, et aussi de la position du point d’application de F . On introduit alors Mc (P, F ) pour compléter la caractérisation de l’action de 1 sur 2 . C peut être un point quelconque. L’action mécanique du ressort sur la poutre peut être caractérisé par : Résultante d’action Moment en C de l’action 3-2 Généralisation : Rappel sur le MOMENT d’une Force par rapport à un point fixe dans un repère Galiléen Modélisation de l’ACTION mécanique d’une FORCE appliquée à un solide Attention : ce ne sont pas 2 actions différentes ; mais 2 modélisations des actions de la Même Force, en 2 points différents. TSI 1 Cours de STATIQUE page 4 Modélisation d’un système de Forces appliquées sur un Solide ou sur un Système Isolé Généralisation à la modélisation des actions d’un système sur un autre Si un système matériel (S) subit de la part d’un système matériel (E) une action mécanique représentée par un système de n forces (Pi, Fi ), on caractérise globalement cette action mécanique globale par les deux vecteurs suivants d Appelée résultante générale de l’action mécanique de(E) sur (S) d Appelée moment résultant au point A de l’action mécanique de (E) sur (S) On dit alors que l’action mécanique de (E) sur (S) est caractérisée au point A par les deux vecteurs, ou a un effet équivalent à celui des deux vecteurs : Comme le moment résultant vérifie la relation de changement de point du moment d’un torseur Le champ des moments résultants d’une action mécanique est donc le champ des moments d’un torseur. D’où : Premier Principe de la Statique Toute action Mécanique est entièrement caractérisée, d’un point de vue mathématique et mécanique, par un Torseur. est appelé torseur d’action mécanique de (E) sur (S) ou (torseur statique). est appelée résultante générale du torseur d’action mécanique de (E) sur (S) est appelé moment résultant au point A du torseur d’action mécanique de (E) sur (S). Remarque Importante: Un abus de langage fréquent conduit à appeler force le vecteur . Le fait que le torseur d’action mécanique se limite souvent à un glisseur (torseur glisseur à moment nul le long de son axe central imposé), contribue à entretenir cette confusion. On confond aussi souvent l’action mécanique (phénomène physique) avec sa représentation mathématique : un système de pointeurs ou de glisseurs représentable en n’importe quel point de l’espace par un Torseur. (Mais les effets ne sont pas les mêmes, par exemple un résultat nul en mathématique peut signifier en mécanique un système à l’équilibre ; mais chargé et contraint ou sous pression). Et ce torseur général est lui-même la somme d’un torseur couple et d’un torseur glisseur. 4— Propriétés et représentations particulières du torseur d’action mécanique ● Toutes les propriétés des torseurs sont applicables. ● Certaines seront en particulier intéressantes pour caractériser des actions mécaniques équivalentes. ● Ces formes particulières de torseurs correspondent aussi à des cas typiques d’actions mécaniques. TSI 1 Cours de STATIQUE page 5 4-1 Ex 1 : Soit (1), qui subit de la part de (E) : une action mécanique représentée par 2 forces Déterminer pour ce système : l’axe central et le moment central de (Torseur équivalent). Chargement mécanique équivalent On peut dire que l’action mécanique des 2 forces est équivalente à la résultante appliquées en tout point de ∆ ( ∆ axe central du torseur ) ; mais ici il faut déterminer et faire apparaître le moment central non nul. 4-2 Ex 2 : Le tire-bouchon (1) subit de la main (M) une action matérialisée par : Action : Déterminer l’axe central et le moment central de (torseur équivalent). 4-3 Remarques importantes: — En général le torseur d’action mécanique représentant n forces parallèles est un Torseur glisseur (ou Torseur à d “ résultante” ) d — En général le torseur d’action mécanique représentant n forces coplanaires est un Torseur glisseur. Cas particuliers possibles : Torseur nul ; Torseur couple. ( Il faudra s’assurer que les torseurs glisseurs sont bien représentés par leur Résultante portée par leur axe central ). 5— Modélisation des Actions Mécaniques à Distance : 5-1 Définition : Une action mécanique de (1) sur (2) sera dite à distance si elle ne résulte pas d’une liaison mécanique entre (1) et (2). Ces actions sont innombrables : d d d d d d d — celles inconnues : On ne connaît pas encore tous les éléments de l’univers. — celles connues : Phénomènes naturels de gravitation: - objets de l’entourage : négligée. - soleil, mercure, mars, négligée. - lune : négligée sauf pour l’étude des marées et la météo. - terre : non négligée à priori. Phénomènes naturels de l’électromagnétisme : négligée Phénomènes artificiels de l’électromagnétisme : non négligé à priori Pratiquement : Dans les exemples qui seront traités ; on ne fait intervenir que la terre, un socle ou bâti lié à la terre et sur lequel sera fixé le mécanisme à étudier. En général pour chaque système isolé on ne se servira que d’un ensemble restreint des actions mécaniques que reçoit l’ensemble étudié. Ces actions seront majoritairement des actions de contact; celles du bâti avec la terre resteront souvent inconnues dans le détail et les actions à distance de pesanteur seront souvent négligées en première approche, car leur intensité sera faible en regard d’autres intensités d’actions mises en jeu en d’autres points. TSI 1 Cours de STATIQUE page 6 5-2 Torseurs des Actions de la pesanteur 5-2-1 Champ de la pesanteur: Il caractérise l’action mécanique à distance exercée par la terre (T) sur un système matériel (S). Il peut être considéré comme uniforme en tout point d’une région localisée de l’espace Ce champ est orienté suivant la verticale descendante, passant par le centre de la terre et matérialisée approximativement par le fil à plomb ; dont la direction n’est pas toutefois absolument verticale à cause de l’accélération d’entraînement de la terre, dans sa rotation autour du soleil. Rappel: Placé dans le champ de la pesanteur caractérisé par le vecteur constant le poids d’un point matériel M de masse m, est une action à distance caractérisée par un glisseur passant par M ; avec: l’accélération du champ de pesanteur. A Paris, et au niveau du sol : g = 9,81 m/s . 5-2-2 Centre de gravité ou centre d’inertie d’un solide indéformable (S). Définition: 5-2-3 Détermination de G: Relation fondamentale f) Si (S) est homogène et admet un élément de symétrie (plan, axe, centre) ; alors son centre d’inertie appartient à cet élément de symétrie. g) THEOREMES de GULDIN : Très pratiques pour déterminer le centre de gravité d’une ligne ou celui d’une surface. Premier théorème de Guldin: L’aire de la surface engendrée par une courbe plane tournant autour d’un axe situé dans le plan de cette courbe et qui ne la coupe pas, est égale au produit de la longueur de la courbe par le périmètre de la circonférence décrite par son centre de gravité. Deuxième théorème de Guldin: Le volume engendré par une surface plane tournant autour d’un axe situé dans son plan, et qui ne la coupe pas, est égal au produit de l’aire de la surface par le péri mètre de la circonférence décrite par son centre de gravité. où représente TSI 1 Cours de STATIQUE page 7 5-2-4 Expression du torseur des actions de pesanteur: En tout point M, de masse dm, d’un solide (S), s’exerce une action élémentaire de pesanteur, caractérisée par un vecteur passant par M : C’est un champ de vecteur auquel on peut associer en tout point A quelconque un glisseur ; dans lequel souvent notée poids de (S) . Si est constant : est Soit au point G : Le torseur associé aux actions extérieures de pesanteur s’écrit donc: C’est le torseur glisseur de moment nul au centre de gravité G du solide; l’axe central de ce torseur est donc la “droite verticale” issue de G. 6— Modélisation des Actions Mécaniques de contact 6-1 Exemples d’hypothèses simplificatrices de Modélisations d’actions de contact ═►Torseur + simple associé 6-2 Torseur d’action mécanique de contact Le contact réel entre deux solides a nécessairement lieu suivant une surface de contact (S) aussi petite soit-elle ; ( une vision théorique conduirait à essayer d’imaginer une pression de contact infinie, ce qui est impossible ). Autour de M Є (S) on considère la surface élémentaire ds sur laquelle s’exerce l’action élémentaire de (1) sur (2) La répartition des est très complexe et difficile à appréhender, mais on peut écrire qu’en un point A quelconque: qui est appelé : Torseur des actions mécaniques de contact de : (1) sur (2). TSI 1 Cours de STATIQUE page 8 Remarques : la connaissance de ne fournit pas la répartition des , sinon faire des hypothèses sur leur répartition et évaluer ou vérifier la validité du modèle de répartition choisi. Par exemple, on ne pourra jamais savoir exactement « comment » sont réparties les pressions de contact dans un palier lisse ; mais on peut faire des hypothèses probables et raisonnables sur cette répartition et réaliser si nécessaire des essais de vérification. Cependant on écrira que les actions de contact dues aux pressions inconnues existant dans le palier entre l’arbre et le coussinet, sont représentées par un Torseur dont on pourra déterminer les éléments de réduction en un point choisi ; par exemple le centre de la liaison 6-3 Lois de COULOMB: (Comportement statique de mécanismes (adhérence ou frottement de début de glissement)) Adhérence et frottement Dans le cas d’hypothèse de «non-frottement», ou si les phénomènes de frottements sont négligés ; les actions mécaniques de contact entre deux solides ont une direction normale au plan tangent au contact. Cette hypothèse convient dans de nombreuses applications, mais ne peut être retenue pour des mécanismes utilisant et exploitant les propriétés du frottement tels : les embrayages ou freins, les coupleurs et les limiteurs, les systèmes poulies-courroies ou à roues de frictions. Le frottement est aussi une des causes néfaste des baisses des rendements et des pertes d’énergie. Conditions d’équilibre Soit un solide 1 de poids P en liaison appui plan avec un solide 2. Soit A2 / 1 la résultante des actions de contact de 2 sur 1 exercée en A et l’action B3 / 1 qui a tendance à tirer le solide 1 sur le solide 2. L’adhérence se caractérise par l’inclinaison d’un angle α par rapport à la normale au contact en A, de l’action A2 / 1 , du côté opposé à la tendance au mouvement de 1 par rapport à 2 (fig1 et 2). Le solide 1 est en équilibre : tant que α restera inférieur à une valeur limite φ. ; il le restera Dans le cas de l’ « équilibre strict » (limite du glissement fig. 3), l’action A2 / 1 est exactement inclinée de l’angle φ qui caractérise la frontière entre l’adhérence et le frottement (on parle de frottement lorsqu’il y a glissement). L’angle φ , appelé angle de frottement, définit un cône de sommet A, d’axe (A, n ) et de demi-angle au sommet φ , appelé cône de frottement. Si l’action B3 / 1 augmente, l’angle φ reste inchangé ; il y a glissement et l’équilibre est rompu : ; l’action A2 / 1 ne pourra jamais sortir du cône de frottement. Coefficient de frottement statique Dans le cas de l’équilibre strict, l’angle φ permet de définir un coefficient µ (ou f) appelé coefficient statique ou facteur de frottement statique ou d’adhérence : µ = tan φ . Une relation juste valable à la limite du glissement , lie les composantes de l’action A2 / 1 (fig 4): C’est cette composante tangentielle qui s’oppose à la tendance au mouvement de 1 par rapport à 2. Fig. 4 TSI 1 Cours de STATIQUE page 9 Lois de Coulomb théoriques : Le coefficient de frottement µ dépend de: Il est indépendant de: — la nature des surfaces en contact, — la pression de contact, — la rugosité des surfaces en contact — la forme et l’étendue des surfaces en contact, d et de leur lubrification. — la vitesse de glissement. Ces lois de Coulomb restent approchées, car dans la pratique, le coefficient de frottement peut varier légèrement ou parfois fortement avec la pression de contact, la vitesse de glissement (coefficient de frottement dynamique) et la température. Cas d’un guidage en rotation avec frottement. Soit un arbre 1 de rayon R en contact avec frottement au point A avec l’alésage 2 (fig 5). La composante tangentielle T 2 / 1 ou la résultante inclinée A2 / 1 de l’action de contact s’opposent à la tendance au mouve- ment de rotation de 1 par rapport à 2 ; cela crée un moment appelé «moment de frottement» tel que : Fig. 5 6-3-1 Appui ponctuel entre deux solides parfaits (indéformables) C’est une hypothèse courante justifiée par le fait que les valeurs des moments transmissibles par les liaisons avec de minuscules déformations locales sont très faibles et donc négligeables. L’intérêt est que le modèle mathématique associé est un glisseur passant par le point de contact théorique et de support incliné par rapport à la normale au plan tangent commun. Le modèle adopté dans ce cas est le suivant: P : point de contact théorique entre (1) et (2) π : plan tangent commun à (1) et (2) Lois de Coulomb (expérimentales, avec d’autres terminologies): TSI 1 Cours de STATIQUE fa page 10 fg TSI 1 Cours de STATIQUE page 11 TSI 1 Cours de STATIQUE page 12 TSI 1 Cours de STATIQUE page 13 TSI 1 Cours de STATIQUE page 14 TSI 1 Cours de STATIQUE page 15 TSI 1 Cours de STATIQUE page 16 TSI 1 Cours de STATIQUE page 17 TSI 1 Cours de STATIQUE 4–2 Système matériel en équilibre sous l’action de trois glisseurs : page 18 TSI 1 Cours de STATIQUE page 19 5- Exemples et Remarques pratiques, Conseils de résolutions de systèmes et Chronologies d’études TSI 1 Cours de STATIQUE page 20 TSI 1 Cours de STATIQUE page 21 TSI 1 Cours de STATIQUE Etudes de résolution par Statique Graphique page 22 TSI 1 Cours de STATIQUE page 23 TSI 1 Cours de STATIQUE page 24
