projet 2018 2019 monte carlo

Université Paris Dauphine
Département MIDO
Master 1 – Méthodes de Monte Carlo
2018–2019
Méthodes de Monte Carlo
– Projet –
[e-mail]
Consignes.
À rendre avant le 08 janvier 2019
• Rapport contenant réponses/commentaires, codes utilisés et sorties (Notebook, Rmarkdown
ou L
A
T
EX+ knitr). À défaut, un rapport au format .pdf et un script contenant l’ensemble des
codes utilisés. Dans ce cas, il est interdit de copier-coller du code dans le corps du texte. Une
rédaction soignée et concise est attendue.
•seul le language Rest autorisé.
• Les codes doivent :
• être bien commentés. Il est possible qu’une explication orale vous soit demandée.
• être optimisés (vectorisés) un minimum pour utiliser les spécificités du language.
• s’exécuter sans erreurs et permettre de reproduire l’intégralité des résultats présentés
dans le rapport.
• Les graphiques doivent être soigneusement annotés et présentés (titre, couleur, légendes, ...).
•Chaque jour de retard sera pénalisé d’un point.
Exercice 1 (Simulation de variables aléatoires).
Méthode du rejet. On souhaite simuler suivant une densité fde R2proportionnelle à
˜
f(x,y)=cos2(x)+2sin2(y)cos4(x)
1+4(y−1)2expµ−{x−2}2 2¶1{x∈[0,4]}1{y[0,2]}. (1)
1. Justifiez que pour obtenir une réalisation suivant la loi de densité f, on peut appliquer l’algorithme
du rejet à ˜ f.
2. Proposer une constante Met une densité gtelles que pour tout (x,y)∈R2,˜ f(x,y)≤M g (x,y).
3. En déduire une méthode de simulation suivant f.
Algorithme de Metropolis–Hastings. L’algorithme de Metropolis–Hastings est un exemple particu-
lier de méthode de Monte Carlo par chaîne de Markov, permetant de générer des chaînes de Markov,
¡x(t)¢t≥1irréductibles, apériodiques et de loi stationnaire de densité fconnue à une constante de nor-
malisation près. Il est fondé sur le choix d’une loi instrumentale de densité g,partout positive, et sur le
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Projet Méthodes de Monte Carlo
noyau de transition suivant
x(t+1) =
ξ∼gavec probabilité α¡x(t),ξ¢
x(t)avec probabilité 1−α¡x(t),ξ¢avec α¡x(t),ξ¢=1∧f(ξ)
f¡x(t)¢g¡x(t)¢
g(ξ).
4. À l’aide de l’algorithme de Metropolis–Hastings et en utilisant la fonction gobtenue à la question 2,
produire une chaîne de Markov (xt)t∈N=¡x(t)
1,x(t) 2¢de loi stationnaire f.
5. Comparer la distribution ainsi obtenue avec celle obtenue par la méthode du rejet.
Exercice 2 (Méthodes de Monte Carlo).On considère le graphe Gdont chaque arête est munie
d’un poids X1, ..., X5. On note x=(X1,..., X5) le vecteur des poids et on suppose que les poids sont
indépendants et distribués suivant des lois ν1,...,νnprécisées ultérieurement.
X1∼ν1
X2∼ν2
X3∼ν3
X4∼ν4
X5∼ν5
A B
Un chemin simple entre Aet Best défini par une suite d’arêtes consécutives de Greliant AàB, toutes les
arêtes de la suite étant distinctes. La longueur d’un chemin simple entre Aet Bcorrespond à la somme
des poids des arêtes constituant ce chemin. On note d(X) la longueur du chemin simple le plus court
entre Aet B. Dans ce projet, on souhaite estimer par des méthodes de Monte Carlo
δ=P[X1+X2+X3≥t]et p=P[d(X)≥t]t∈R.
Les estimateurs doivent être donnés explicitement dans le rapport et les intervalles de confiance se-
ront donnés au niveau 95%
Partie I –Estimation de δ
1. On suppose que X1+X2+X3est distribuée suivant une loi de Weibull de paramètre d’échelle λ=1
et de paramètre de forme k=2. Pour les applications numériques, on prendra t=2.
(a) Proposer une estimation b δnde δpar la méthode de Monte Carlo classique.
(b) Proposer une estimation b δn(q1,...,qK) de δpar la méthode de stratification avec allocation pro-
portionnelle.
(c) Comparer les performances de ces deux méthodes.
2. On suppose maintenant que X1,X2et X3sont indépendantes avec X1et X2distribuées suivant la loi
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Projet Méthodes de Monte Carlo
exponentielle de paramètre λ=1 et X3distribuée suivant la loi de fonction de répartition
F(t)=t
41{t∈[0,1[}+µt 4+1 2¶1{t∈[1,2]}+1{t>2}.
Pour les applications numériques, on prendra t=1.
(a) Proposer une estimation b δnde δpar la méthode de Monte Carlo classique.
(b) Montrer que δ=E[1−F(t−X1−X2)]=E[1−G(t−X3)]où Gest la fonction de répartition de la
loi gamma Γ(2,1).
(c) En déduire de nouvelles méthodes d’estimation de δ. Commenter leurs performances.
Partie II –Estimation de p
On considère nréalisations X1,...,Xndu vecteur des poids Xsupposés indépendants et distribués sui-
vant des lois exponentielles de paramètres respectifs λ1,...,λ5. On notera f(x;λ1,...,λ5) la densité du
vecteur X. Pour les applications numériques, on prend (λ1,...,λ5)=(6,7,3,2,1) et t=2.
1. Proposer une estimation b pnde ppar la méthode de Monte Carlo classique.
Echantillonage préférentiel.
2. (a) Monter qu’en choisissant pour loi d’importance
g(x)=
1{d(x)≥t}f(x;λ1,...,λ5)
p
on obtient un estimateur d’échantillonnage préférentiel de pde variance nulle.
(b) Proposer une méthode de simulation suivant la densité g.
(c) Quelle limitation voyez-vous quant au choix de cette loi d’importance?
3. Soient Y1,...,Yndes variables aléatoires i.i.d. de densité g.
(a) La quantité suivante converge-t-elle vers p,
Pn
k=11{d(Yk)≥t}w(Yk)
Pn
k=1w(Yk), avec w(Yk)=f(Yk;λ1,...,λ5)
g(Yk)?
(b) Peut-on en déduire une méthode d’estimation de p? Commenter.
Dans la suite, on choisit comme loi d’importance, la densité du vecteur (Y1,...,Y5) :=Ytel que les va-
riables Y1,...,Y5soient indépendantes et distribuées suivant les lois exponentielles de paramètres res-
pectifs α1,...,α5. On la notera h(y;α1,...,α5).
4. Donner l’estimateur d’échantillonnage préférentiel b pn(α1,...,α5) de pbasé sur la loi d’importance
h.
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Projet Méthodes de Monte Carlo
On souhaite choisir les paramètres α1,...,α5de la loi d’importance de sorte que
(α?
1,...,α? 5)=argmin
α1,...,α5
Eg·ln½g(Z)
h(Z;α1,...,α5)¾¸,
où Egest l’espérance par rapport à la densité g.
5. Soient α0
1,...,α0 5les valeurs choisies initialement par l’utilisateur. Montrer que
(α?
1,...,α? 5)=argmax
α1,...,α5
Eα0
1,...,α0 5"1{d(Y)≥t}
f(Y;λ1,...,λ5)
h(Y;α0
1,...,α0 5)lnh(Y;α1,...,α5)#,
où Eα0
1,...,α0 5est l’espérance par rapport à la densité h(·;α0
1,...,α0 5).
6. Étant donné Yk=(Yk,1,...,Yk,5), k=1,...,n, variables aléatoires indépendantes identiquement dis-
tribuées de densité h(·;α0
1,...,α0 5), en déduire que l’on peut estimer (α?
1,...,α? 5) par
b
α?
j=
n
X
k=1
1{d(Yk)≥t}
5
Y
i=1
λi
α0
i
exp¡−©λi−α0
iªYk,i¢
n
X
k=1
1{d(Yk)≥t}Yk,j
5
Y
i=1
λi
α0
i
exp¡−©λi−α0
iªYk,i¢,j=1,...,5.
7. Calculer b pn(ˆ α?
1,..., ˆ
α?
5) et l’intervalle de confiance au niveau 95% correspondant.
Réduction de variance. Soient U1,1,...,U1,5,...,Un,1,...,Un,5 des variables aléatoires indépendantes et
identiquement distribuées suivant la loi uniforme sur [0,1]. On pose, pour tout i=1,...,n,
ρ(Ui,1,...,Ui,5)=minµ−1
α?
1
lnUi,1 −1
α?
4
lnUi,4 ;−1
α?
1
lnUi,1 −1
α?
3
lnUi,3 −1
α?
5
lnUi,5 ;
−1
α?
2
lnUi,2 −1
α?
5
lnUi,5 ;−1
α?
2
lnUi,2 −1
α?
3
lnUi,3 −1
α?
4
lnUi,4¶.
8. (a) Montrer que l’estimateur suivant converge presque-sûrement vers p:
1
n
n
X
i=1
5
Y
k=1
λk
α?
k
Uλk/α?
k−1
i,k1{ρ(Ui,1,...,Ui,5)≥t}
(b) En déduire à l’aide de la méthode des variables antithétiques un estimateur b p(1)
nde p.
(c) Comparez les performances de l’estimateur b p(1)
navec celles des estimateurs b
pnet b pn(ˆ α?
1,..., ˆ
α?
5).
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