Projet Méthodes de Monte Carlo
Premier cas. On souhaite calculer pour X=(X1,X2) de densité f1,
p=P£eX1+eX2≥5¤
1. Proposer une estimation de ppar :
(a) la méthode de Monte Carlo classique,
(b) la méthode des variables antithétiques,
(c) la méthode de la variable de contrôle,
Indication. On pourra considérer PνhpeX1+X2≥Ki.
(d) la méthode de stratification avec allocation proportionnelle.
Indication. On pourra partionner suivant x1en utilisant le principe utilisé dans le TP n°3.
2. Commenter les différents résultats obtenus.
Second cas. On souhaite calculer
I=ZR2cos(y1y2)sin(y1)exp©sin(y1+y2)ªf2(y1,y2)dy1dy2.
3. Proposer une estimation de Ipar :
(a) la méthode de Monte Carlo classique,
(b) la méthode des variables antithétiques.
4. Commenter les différents résultats obtenus.
Partie III –Recyclage dans l’algorithme du rejet
L’algorithme d’acceptation-rejet génère Nréalisations suivant la densité instrumentale g, pour en ac-
cepter T,¡X(1),...,X(T)¢, distribuées suivante la loi d’intérêt f, et en rejeter N−T,¡Z(1),...,Z(N−T)¢. Dans
la suite, on considère que le nombre de réalisations Nsuivant gest fixé alors que Test une quantité
aléatoire. On suppose de plus que get Msont telles que ©x∈supp(f) : f(x)=M g (x)ªest de mesure
nulle.
1. Donner la densité des Z(i),i=1,..., N−T, conditionnellement à T.
Dans la suite, on raisonne conditionnellement à T=t(t6=0 et t6= N). On considère les suites ¡X(1),...,X(t)¢
et ¡Z(1),...,Z(N−t)¢et on définit, lorsque cela a un sens,
δ1=1
t
t
X
i=1
h³X(i)´, et δ2=1
N−t
N−t
X
i=1
h³Z(i)´(M−1)f¡Z(i)¢
M g ¡Z(i)¢−f¡Z(i)¢.
2. Montrer que δ1et δ2sont des estimateurs sans biais de Ef[h(X)].
3. Montrer que les variables aléatoires δ1et δ2sont indépendantes et déterminer la variance de δ(α)=
αδ1+(1−α)δ2.
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