cours electricite regime sinusoidal

Module d’Electricité
1ère partie : Electrocinétique
Fabrice Sincère (version 4.0.3)
http://perso.orange.fr/fabrice.sincere
1
Sommaire
1- Introduction : les grandeurs périodiques
2- Représentation des grandeurs sinusoïdales
2-1- Fonction mathématique
2-2- Représentation de Fresnel
2-3- Nombre complexe associé
3-Déphasage entre deux grandeurs sinusoïdales
4- Les dipôles passifs linéaires en régime sinusoïdal
5- Etude des circuits linéaires en régime sinusoïdal
5-1- Lois de Kirchhoff
5-2- Association de dipôles passifs linéaires
5-3- Théorèmes généraux
6- Puissance en régime sinusoïdal
2
Chapitre 3 Régime sinusoïdal
1- Introduction : les grandeurs périodiques
• Période
Un signal périodique est caractérisé par sa période :
T = 2 ms.
3
• Fréquence
La fréquence f (en hertz) correspond au nombre de périodes par
unité de temps :
1
f=
T
A.N.
T = 2 ms
⇔
f = 500 Hz
(500 périodes par seconde)
• Pulsation
La pulsation est définie par :
ω = 2π
πf = 2π
π/T
(en radians par seconde)
4
• Valeur moyenne
On note <u> la valeur moyenne dans le temps de la tension u(t) :
T
1
< u > = ∫ u( t )dt
T0
A.N.
1
< u > = ×10 = 2,5 V
4
5
• Composante continue (DC =) et composante alternative (AC ~)
Une grandeur périodique a deux composantes :
- la composante continue (c’est la valeur moyenne ou « offset »)
- et la composante alternative
u(t) = <u> + uAC(t) :
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Remarques :
- la composante alternative a une valeur moyenne nulle : <uAC> = 0
- une grandeur périodique alternative n’a pas de composante
continue : <u> = 0
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• Puissance électrique
p(t) = u(t)⋅i(t) est la puissance électrique consommée à l’instant t (ou
puissance instantanée).
En régime périodique, ce n’est pas p(t) qu’il est intéressant de
connaître mais la puissance moyenne dans le temps :
T
1
P =< p >=< ui >= ∫ u ( t )i( t )dt
T0
Attention : en général, <ui> ≠ <u> <i>
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• Valeur efficace (RMS)
Par définition, la valeur efficace Ueff de la tension u(t) est :
T
U eff
1
= < u² > =
u ²( t )dt
∫
T0
A.N.
U eff
1
= 100 × = 5 V
4
9
Remarques :
La valeur efficace est une grandeur positive.
Ueff² = <u>² + UAC eff ²
Valeur efficace d’un courant électrique :
I eff = < i ² >
10
• Signification physique de la valeur efficace
Soit une résistance parcourue par un courant continu :
I
R
U
La résistance consomme une puissance électrique :
P = RI² = U²/R (loi de Joule)
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Soit la même résistance parcourue par un courant périodique i(t) de
valeur efficace Ieff :
i(t)
R
u(t)
La puissance moyenne consommée est :
P = <Ri²> = R<i²>
= RIeff² = Ueff²/R
Pour avoir les mêmes effets thermiques, il faut que Ieff soit égal à
la valeur du courant en régime continu I (idem pour les tensions) :
La notion de valeur efficace est liée à l’énergie.
12
• Cas particulier des grandeurs sinusoïdales alternatives
Û désigne la tension maximale (ou tension crête)
On montre que :
Û
U eff =
2
Exemple : EDF fournit une tension sinusoïdale alternative de
valeur efficace 230 V et de fréquence 50 Hz.
Pour un courant sinusoïdal alternatif :
I eff
Î
=
2
13
A.N. Calculer la valeur efficace de la tension suivante :
10
U ACeff =
= 7,07 V
2
< u >= +15 V
U eff = 15² + 7,07² = 16,58 V
14
2- Représentation des grandeurs sinusoïdales
2-1- Fonction mathématique
i( t ) = Î sin(ωt + ϕi ) = I eff 2 sin(ωt + ϕi )
avec :
•
•
•
•
•
Ieff : valeur efficace (A)
ω : pulsation (rad/s)
t : temps (s)
(ωt + ϕ i) : phase (rad)
ϕ i : phase à l’origine (rad)
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2-2- Représentation de Fresnel
C’est une représentation vectorielle des grandeurs sinusoïdales.
Le vecteur de Fresnel associé au courant i(t) est défini de la façon
suivante :
I =I
eff


(Ox, I) = ϕi
Exemple :
U
i( t ) = 3 2 sin(ωt − 12π )
π
ϕ =+
u
4
u ( t ) = 5 2 sin(ωt + π4 )
I
π
ϕ =−
i
12
16
2-3- Nombre complexe associé
Le nombre complexe I associé au courant i(t) est défini de la façon
suivante :
I = (Ieff , ϕ i)
Le module correspond à la valeur efficace et l’argument à la phase
à l’origine.
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A.N. Déterminer le nombre complexe associé à la tension :
u ( t ) = 5 2 sin(ωt + π4 )
U = (5,+ π4 )
= 5 cos(+ π4 ) + 5 sin (+ π4 )j
5 2 5 2
=
+
j
2
2
( j² = −1)
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3-Déphasage (ou différence de phase) entre deux grandeurs
sinusoïdales
Soit deux grandeurs sinusoïdales (de même fréquence) :
i( t ) = Î sin(ωt + ϕi )
u ( t ) = Û sin(ωt + ϕ u )
Le déphasage de u par rapport à i est par convention : ϕu/i = ϕ u - ϕ i
τ : décalage (en s) entre les deux signaux.
τ ϕ( rad ) ϕ(°)
=
=
T
2π
360
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• Déphasages particuliers
- déphasage nul (τ = 0) :
les grandeurs sont en phase
- déphasage de 180° (τ = T/2) :
grandeurs en opposition de phase
- déphasage de 90° (τ = T/4) :
grandeurs en quadrature de phase
N.B. Le déphasage est une grandeur algébrique : ϕ i/u = - ϕ u/i
Fig. 3d :
ϕ u/i = +90° : u est en quadrature avance sur i.
20
A.N. Calculer le déphasage ϕ u1/u2 :
ϕ u1 / u 2
τ
100 µs
= 360 = 360
= +36°
T
1 ms
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• Déphasage et vecteurs de Fresnel
ϕ u / i = ( I, U )
U
ϕ
ϕ
u
ϕ
u/i
I
i
• Déphasage et nombres complexes
ϕ u/i = ϕ u - ϕ i = arg (U) – arg (I)
U
ϕ u / i = arg 
 I
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A.N. Calculer le déphasage ϕ u / i
U
π
ϕ =+
u
4
I
π
ϕ =−
i
12
ϕu / i = +60 °
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4- Les dipôles passifs linéaires en régime sinusoïdal
24
4- Les dipôles passifs linéaires en régime sinusoïdal
• Impédance complexe
En régime continu, un dipôle passif linéaire est caractérisé par sa
résistance : R = U/I (loi d’Ohm)
En régime sinusoïdal, un dipôle passif linéaire est caractérisé par son
impédance complexe Z :
I
Z
U
U
Z=
I
- L’impédance Z (en Ω) est le module de Z :
U eff (V)
Z(Ω) =
I eff (A)
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- Le déphasage de u par rapport à i correspond à l’argument de Z :
arg(Z) = ϕu/i
- En définitive :
Z = (Z, ϕu/i) = (Ueff/Ieff , ϕu/i)
• Admittance complexe
L’admittance complexe est l’inverse de l’impédance complexe :
1
Y=
Z
Y est l’admittance (en siemens S) : Y =
1 I eff
=
Z U eff
arg(Y) = - arg(Z) = ϕi/u
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• Dipôles passifs élémentaires en régime sinusoïdal
- résistance parfaite
ZR = R
Z R = R

ϕ u / i = 0°
U eff = RI eff (loi d' Ohm)
1
YR = G =
R
U
I
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- bobine parfaite
Z L = jLω
Z L = Lω

ϕ u / i = +90°
U eff = LωI eff
YL = −
j
Lω
U
O
π
+
2
I
L : inductance d’une bobine (en henry H)
L’impédance d’une bobine augmente avec la fréquence.
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- condensateur parfait
1

j ZC =
ZC = −
Cω

Cω 
ϕ u / i = −90°
I eff
U eff =
Cω
Y C = jCω
I
π
−
2
U
C : capacité en farad F (corps humain ≈ 200 pF)
L’impédance d’un condensateur diminue avec la fréquence.
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5- Etude des circuits linéaires en régime sinusoïdal
Un circuit électrique linéaire est composé uniquement de dipôles
linéaires :
- passifs : R, L, C
- actifs : source de courant ou de tension sinusoïdal (de fréquence f)
Dans un tel circuit, tensions et courants sont sinusoïdaux (de
fréquence f).
On peut donc utiliser :
- la représentation vectorielle
- ou les nombres complexes associés.
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5-1- Lois de Kirchhoff
31
5-1- Lois de Kirchhoff
•
Loi des nœuds
i(t) = i1(t) + i2(t)
Pour les vecteurs de Fresnel :
I = I1 + I 2
Pour les nombres complexes associés :
I = I1 + I2
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• Exemple :
Une mesure au multimètre (en mode AC ~) donne :
IR eff = 5,00 mA
IL eff = 3,98 mA
Calculer la valeur efficace du courant i(t)
et le déphasage par rapport à la tension u(t) : ϕu/i
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Utilisons une construction vectorielle :
ϕ u / iR = (I R , U) = 0°
ϕ u / iL = (I L , U) = +90°
I = IR + IL
IR
ϕ
IL
U
u/i
I
I eff = I R eff ² + I L eff ² = 6,39 mA ( théorème de Pythagore)
tan ϕ u / i
I L eff
=
I R eff
d' où : ϕ u / i = +38,5°
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En raison des déphasages, la loi des nœuds ne s’applique pas
aux valeurs efficaces.
•
Loi des branches / Loi des mailles
u(t) = u1(t) + u2(t)
U = U1 + U 2
U = U1 + U2
La loi des branches ne s’applique pas aux valeurs efficaces.
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5-2- Association de dipôles passifs linéaires
Une association de dipôles passifs linéaires se comporte comme un
dipôle passif linéaire.
On note Zeq l’impédance complexe équivalente de ce dipôle.
• En série, les impédances complexes s’additionnent :
Zéq = ∑ Zi
i
• En parallèle, les admittances complexes s’additionnent :
Y éq = ∑ Y i
i
ou
1
1
=∑
Z éq
i Zi
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• Exemple n°1
ZR= R
ZL= jLω
=
I
Zeq= R + jLω
U
On en déduit la relation entre les valeurs efficaces :
U eff = Z eq I eff
avec : Zeq = Zeq = R + jLω = R 2 + (Lω) 2
 Lω 
arctan


et le déphasage : ϕu/i = arg Zeq =
 R 
Remarque : sauf exception
Zéq ≠ ∑ Zi
i
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• Exemple n°2
La tension d’alimentation u(t) est sinusoïdale alternative de valeur
efficace 5 V et de fréquence 10 kHz.
Le circuit est linéaire donc le courant i(t) est sinusoïdal de fréquence
10 kHz.
Calculer sa valeur efficace et le déphasage par rapport à u.
38
1
j
−
Yeq = YR + YL =
R Lω
2
2
1
1 
Loi d’Ohm : Ieff = YeqUeff =   + 
 U eff = 6,39 mA
 R   Lω 
 − L1ω 
ϕu/i = - arg Yeq = − arctan 1  = +38,5°
 R 
En définitive :
39
5-3- Théorèmes généraux
Les formules et théorèmes vus en régime continu (diviseur de
tension, Thévenin – Norton, superposition …) se généralisent au
régime sinusoïdal.
Analogies :
Régime
continu
Régime sinusoïdal
Tension
U
U
Courant
I
I
Résistance / Impédance complexe
R
Z
Conductance / Admittance complexe
G
Y
Source de tension parfaite
E
E
Source de courant parfaite
Icc
Icc
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Exemple : Théorème de Millman
VR
+ jCωV C
VA = R
1
+ jCω
R
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6- Puissance en régime sinusoïdal
On montre que la puissance moyenne consommée (ou puissance
active) est :
P = Ueff Ieff cos ϕu/i
Le terme cos ϕ est appelé facteur de
puissance.
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• A.N. : Calculer la puissance active d’un condensateur parfait.
On sait que : ϕu/i = -90°
⇒ P = 0 watt
(pas d’échauffement)
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