Chapitre d’introduction Chapitre d’introduction. Mesures et incertitudes En physique et en chimie, toute grandeur, mesurée ou calculée, est entachée d’erreur, ce qui ne l’empêche pas d’être exploitée pour prendre des décisions. Le but de ce chapitre est de définir la notion d’erreur et d’apprendre à estimer ou à calculer l’incertitude de mesure associée. I. Définitions 1. Intervalle de confiance et incertitude absolue Qu’elles soient mesurées ou calculées, les valeurs des grandeurs ne sont connues qu’avec une précision limitée. En effet, du fait des fluctuations de tout phénomène et des imperfections de mesures, l’expérimentateur n’a accès qu’à des valeurs estimées de grandeurs dont il peut donner un encadrement avec un bon niveau de confiance. Cet encadrement s’appelle l’intervalle de confiance dans lequel il estime que la valeur vraie de la grandeur se trouve. Le résultat de la mesure se donne alors sous la forme suivante : L’incertitude absolue sur la grandeur 𝑥 se note ∆𝑥. Elle peut également se noter 𝑈(𝑥), la lettre « 𝑈 » étant la première lettre du mot « uncertainty » en anglais (qui signifie incertitude). Exemple : Résultat d’une mesure à l’aide d’un voltmètre : 𝑈 = (4,35 ± 0,03) 𝑉. Cela signifie que la tension 𝑈 est comprise entre ............... et ................. . Remarque : Lorsque la valeur d’une grandeur est fournie sans incertitude, cette dernière est, par convention, égale à une demi-unité du dernier chiffre significatif exprimé. Exemple : 𝑚 = 1,4 𝑔 signifie 𝑚 = (1,40 ± 0,05) 𝑔. 2. L’incertitude relative L’incertitude relative, ∆𝑥⁄𝑥, caractérise la précision d’une mesure. Plus elle est petite, plus la mesure est précise. Elle n’a pas d’unité et s’exprime souvent en pourcentage. Si ∆𝑥 ⁄𝑥 ≤ 0,01 soit 1%, alors la mesure est de bonne qualité. Application : Déterminer l’incertitude relative sur la valeur de la tension 𝑈 = (4,35 ± 0,03) 𝑉. Page 1 sur 4 Chapitre d’introduction II. Estimation de l’incertitude Suivant que la mesure est faite une seule fois ou répétée un grand nombre de fois, l’incertitude ne s’évalue pas de la même manière. 1. Mesures effectuées une seule fois L’incertitude d’une mesure unique conjugue deux sources d’informations : - des informations techniques sur l’instrument de mesure données par le fabricant ou connues conventionnellement ; - des informations subjectives sur l’appréciation de la façon dont la mesure a été effectuée. Exemple : L’incertitude de lecture sur un instrument analogique (règle graduée, aiguille sur un cadran...) est, par convention, au minimum une demi-unité de graduation. Pour les instruments numériques, la notice de l’appareil indique comment calculer l’incertitude. Application : - Mesurer la largeur L d’une feuille de papier à l’aide d’une règle graduée au millimètre près. Estimer l’incertitude et écrire le résultat de la mesure. - Exprimer le résultat pour la valeur 8,05 𝑉 lue sur un multimètre dont la notice indique : « Précision, toutes gammes : ± 0,5 % de la valeur affichée + 1 digit » ? Aide : L’indication 0,5 % traduit une incertitude relative de 0,005, et le digit à ajouter correspond au dernier chiffre exprimé de la mesure, soit 0,01 𝑉. 2. Mesures effectuées plusieurs fois Une mesure peut être répétée à quelques reprises ou un grand nombre de fois. La répétition des mesures améliore la précision de la mesure, ce qui est indispensable pour un dispositif de mesure peu fidèle. La moyenne des valeurs mesurée est la meilleure estimation qui puisse être faite. L’incertitude se calcule selon une règle dépendant de la situation (au baccalauréat, elle sera donnée chaque fois). III. Calculs d’incertitudes 1. Incertitudes dans les calculs Pour une grandeur obtenue par calcul, l’incertitude sur la valeur de cette grandeur se calcule grâce à une relation mathématique (au niveau du baccalauréat, la relation qui permet de calculer l’incertitude est fournie, seule son application doit être sue). Page 2 sur 4 Chapitre d’introduction Le nombre de chiffres significatifs avec lequel un résultat est exprimé doit être en accord avec l’incertitude absolue calculée. Exemples : Pour une valeur 𝑥 calculée à partir de grandeurs 𝑦, 𝑧, etc., les règles simplifiées peuvent être appliquées : - Si 𝑥 résulte d’additions ou de soustractions, par exemple 𝑥 = 2𝑦 + 3𝑧 ∶ ∆𝑥 = 2∆𝑦 + 3∆𝑧. - Si 𝑥 résulte de multiplications ou de divisions, par exemple 𝑥 = 4𝑦𝑧 ∶ ∆𝑥⁄𝑥 = ∆𝑦⁄𝑦 + ∆𝑧⁄𝑧. Application : Un objet de masse 𝑚 = (2,3 ± 0,2) 𝑘𝑔 tombe d’une hauteur ℎ = (4,5 ± 0,1) 𝑚 au dessus du sol. L’intensité de pesanteur du lieu est 𝑔 = (9,81 ± 0,01) 𝑁. 𝑘𝑔−1. Calculer l’énergie potentielle de pesanteur Epp de l’objet à l’altitude h assortie de son incertitude. Donnée : ∆Epp / Epp = ∆m / m + ∆g / g + ∆h / h 2. Chiffres significatifs et calculs (rappels) Le résultat d’un calcul ne doit pas être exprimé avec une précision supérieure à celle de la donnée utilisée la moins précise. Conséquences : - Après une multiplication et/ou une division, le résultat ne doit pas comporter plus de chiffres significatifs que le nombre qui en a le moins. Exemple : 234,45 / 42,3 x 2,3 = 12,747872 doit être arrondi à 13 car le nombre du calcul qui a la moins de chiffres significatifs est 2,3 (il a deux chiffres significatifs), on doit donc exprimer le résultat du calcul avec 2 chiffres significatifs. 234,45 / 42,3 x 2,3 = 13. - Après une addition et/ou une soustraction, le résultat ne doit pas comporter plus de décimales que le nombre qui en a le moins. Exemple : 20,312 + 9,5 +420,7 = 450,512. Le résultat doit comporter une décimale. 20,312 + 9,5 +420,7 = 450,5. Remarque : Lorsque l'on effectue un calcul avec plusieurs étapes, les résultats des étapes intermédiaires ne doivent pas être arrondis. Il n'y a que le résultat final qui doit comporter le bon nombre de chiffres significatifs. Cela permet d'éviter de faire des erreurs d'arrondi qui pénaliseraient le calcul suivant. IV. Intérêt expérimental de la notion d’incertitude La prise en compte des incertitudes permet : Page 3 sur 4 Chapitre d’introduction - - d’identifier les sources d’erreurs sur chaque grandeur, qu’elles soient liées à l’instrumentation de mesure ou à son utilisation. Cela permet d’améliorer la méthode expérimentale ou d’estimer le crédit qui peut être donné aux conclusions qui en découlent ; d’aider à décider si une mesure doit être conservée ou pas ; de commenter les résultats expérimentaux, par exemple en comparant, à l’aide de la notion d’écart relatif, la grandeur mesurée à une grandeur de référence (attendue). La mesure est d’autant plus satisfaisante que cet écart relatif est petit (inférieur à 5%). 𝑣𝑎𝑙𝑒𝑢𝑟 𝑜𝑏𝑡𝑒𝑛𝑢𝑒 − 𝑣𝑎𝑙𝑒𝑢𝑟 𝑎𝑡𝑡𝑒𝑛𝑑𝑢𝑒 é𝑐𝑎𝑟𝑡 𝑟𝑒𝑙𝑎𝑡𝑖𝑓 = | | 𝑣𝑎𝑙𝑒𝑢𝑟 𝑎𝑡𝑡𝑒𝑛𝑑𝑢𝑒 EXERCICES 1. Ecrire sous la forme 𝑥 + ∆𝑥 les valeurs suivantes : 3,4 à 0,2 près ; La valeur est dans l’intervalle [9,24 ; 9,30] ; 5,93 à 1% près ; 50,3 à 0,2% près. 2. Donner l’intervalle de confiance pour les valeurs suivantes : 3,9 ± 0,3 m ; 12.10-3 ± 0,005 g ; 8,15 mol. Page 4 sur 4
