1-travaux-diriges-corriges-mecanique-des-fluides

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7(45EKGPEGU
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5%JCWUUGFGPV
*[FTQUVCVKSWG
'Z
Formuler l'équation fondamentale de la statique des fluides dans le
cas où le fluide est uniformément accéléré. Appliquer ce résultat au
cas d'un tube en U partiellement rempli d'un liquide et subissant une
accélération uniforme a
& horizontale (voir figure 1.1). Les deux
branches du U étant distantes de O, trouver ainsi la différence de ni-
veau K due à cette accélération.
'Z
La porte rectangulaire CD de la
figure 1.2 a pour longueur
/ = 2 m et largeur " = 1,8 m (sui-
vant la perpendiculaire au plan de
la figure). Son épaisseur étant né-
gligeable, on donne la masse sur-
facique du matériau homogène la
constituant : σ = 5110 kg.m-2.
Cette porte a la possibilité de pi-
voter autour de l'axe C. On se
propose de déterminer la hauteur
d'eau + à partir de laquelle la
porte s'ouvre pour laisser l'eau s'écouler.
1. Déterminer la force de pression hydrostatique s'exerçant sur la porte.
2. Déterminer la position du point d'application de cette force.
3. Calculer, d'une part le moment de la force hydrostatique par rapport à l'axe de rotation, et
d'autre part le moment du poids de la porte par rapport à l'axe de rotation. En déduire la
hauteur d'eau + nécessaire pour qu'il y ait ouverture automatique de la porte.
'Z
La masse volumique de la digue représen-
tée sur la figure 1.3 est de 2360 kg.m-3. Dé-
terminer le coefficient de friction minimal
requis entre la digue et ses fondations pour
qu'il y ait absence de glissement. (effectuer
l'analyse pour une unité de longueur de la
digue).
eau
+
K= 1,6 m
/= 2 m
C
D
- figure 1.2 -
- figure 1.1 -
K
O
a
&
7'
/ÃECPKSWGFGU(NWKFGU
12 m
5 m
2 m
4 m
- figure 1.3 -
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'Z
Un réservoir de 1 m de diamètre et de masse
90 kg est clos à son extrémité supérieure.
L'autre extrémité est ouverte et descendue
dans l'eau à l'aide d'un bloc d'acier de masse
volumique 7840 kg.m-3 (voir figure 1.4). On
suppose que l'air emprisonné dans le réser-
voir est comprimé à température constante.
Déterminer :
1. la lecture d'un manomètre donnant la
pression dans le réservoir ;
2. le volume du bloc d'acier.
'Z
On cherche à caractériser la force de pression hydrostatique s’exerçant sur l’arc circulaire de
la figure 1.5. On raisonnera sur une largeur unité.
1. Exprimer la pression hydrostatique en tout point
de l’arc en fonction de +, 5, ρ , g et θ .
2. En déduire les deux composantes d) et d) de la
force de pression élémentaire en chaque point de
l’arc.
3. Exprimer les deux résultantes ) et ) en fonction
de +, 5, ρ et g.
4. Si on note A le point de l’arc où s’applique la
force, montrer que le moment de cette force par
rapport au point O est nul. En déduire, en fonc-
tion de +et 5, l’expression de l’angle θ repérant
la position de A.
5. Quelles valeurs limites peut prendre l’angle θ en
fonction des variations de + ?
'Z
En tenant compte de la compressibilité de l’air atmosphérique, et en supposant que la tempé-
rature de l’atmosphère obéit à la loi 7(]) = T0 – B.], déterminer la limite d’altitude de
l’atmosphère selon ce modèle. On prendra 70 = 293 K comme température au niveau du sol,
et B = 7,5 K.km-1.
7'
/ÃECPKSWGFGU(NWKFGU
3 m
0,6 m
- figure 1.4 -
5
θ
- figure 1.5 -
]
[
+
O
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%KPÃOCVKSWG
'Z
1. Ecrire l'équation de continuité en symétrie sphérique
pour l'écoulement stationnaire et conservatif d'un
fluide incompressible. En déduire l'expression de la
vitesse en un point quelconque lorsque cet écoule-
ment est radial, dirigé vers l'origine.
2. On suppose que de l'eau coule en régime permanent à
travers l'entonnoir représenté sur la figure 2.1.
L'écoulement étant considéré comme radial, centré en
O, l'expression de la vitesse est celle établie dans la
question précédente. Déterminer l'accélération aux
points A et B sachant que la vitesse en A est de
0,6 m.s-1.
'Z
On considère l'écoulement stationnaire et unidimensionnel d'un fluide incompressible à l'inté-
rieur de la buse représentée figure 2.2. La vitesse du fluide le long de l'axe est donnée par :
() H/[Y9 &
&+= 1
où Y est la vitesse à l'entrée de la buse
et / sa longueur.
1. Déterminer l'accélération d'une par-
ticule fluide traversant la buse le
long de l'axe.
2. Déterminer, en fonction du temps,
la position d'une particule initiale-
ment située à l'entrée de la buse. En
déduire son accélération.
3. Les deux accélérations calculées
sont-elles différentes ? Pourquoi ?
'Z
Un modèle d’écoulement stationnaire autour d’un cylindre
(voir figure 2.3) a permis de formuler l’expression de la
vitesse du fluide en tout point M de la surface :
θ
θ
H9Y && sin2 0 =.
Déterminer l’accélération normale et tangentielle en fonc-
tion de D, θ et 90.
7'
/ÃECPKSWGFGU(NWKFGU
r
A B
0,12 m
0,2 m
0,1 m
9
O
- figure 2.1 -
0 /
[
HY9 &
&=)0( )(/9 &
- figure 2.2 -
D
θ
M
90
- figure 2.3 -
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'Z
L'écoulement d'eau à travers les orifices de la rampe d'arrosage représentée figure 2.4 génère
un champ de vecteurs vitesse tel que
()
[] HYHY\WX9 &&
&
000 sin +−=
ω , où 0 X, 0 Y et
ω
sont
des constantes. Ainsi, la composante de la vitesse se-
lon l'axe y reste constante : ()
0
;, YW\[Y = et celle se-
lon l'axe x coïncide, en 0
=
\, avec la vitesse de dé-
placement de la rampe d'arrosage :
()() WXW\[X
ω
sin;0, 0 == .
1. Déterminer la ligne de courant passant par l'ori-
gine à 0=W ; à
ω
π
2=W.
2. Déterminer la trajectoire de la particule émise à
l'origine à 0=W ; à
ω
π
2=W.
3. Déterminer l'allure de la ligne d'émission relative
à l'origine, à un instant t quelconque.
'Z
La fonction de courant de l'écoulement plan d'un fluide in-
compressible est donnée par l'équation :
32
3\\[ −=Ψ ,
où Ψest en m3.s-1 et [, \ sont en m.
1. Tracer la(les) ligne(s) de courant passant par l'origine.
2. Déterminer le débit volumique à travers le segment AB de
la figure 2.5.
'Z
L'écoulement plan de la figure 2.6 correspond au potentiel
des vitesses suivant :
θ
ϕ
cosBlnA UU += ,
où A et B sont deux constantes réelles positives. Déterminer
la fonction de courant Ψassociée et localiser d'éventuels
points d'arrêt. Caractériser qualitativement cet écoulement en
s'aidant de la représentation qui en est donnée.
7'
/ÃECPKSWGFGU(NWKFGU
O x
y
- figure 2.4 -
A(1;0)
B(0;1)
[
\
- figure 2.5 -
- figure 2.6 -
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