archimede

Les apports d’ARCHIMEDE
1-ARCHIMEDE DE NARCUS :
2-les apports d’ARCHIMEDE :
2-1 : Apports en géométrie :
Archimède est un mathématicien et géomètre de grande envergure. Il travailla également sur
l'optique, la catoptrique, s’est intéressé à la numération et à l’infini, affirmant ainsi par exemple
que contrairement à l'opinion alors courante, les grains de sable n'étaient pas en nombre infini,
mais qu’il était possible de les dénombrer (c’est l’objet du traité intitulé traditionnellement
« L'Arénaire », . Un système de numération parent de celui d’Archimède faisait l’objet du livre I
(mutilé) de la Collection Mathématique de Pappus d'Alexandrie. La majeure partie de ses travaux
concernent la géométrie avec :
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l’étude du cercle où il détermine une méthode d’approximation de pi à l’aide
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de polygones réguliers et montre l'encadrement
.
l’étude des coniques, en particulier la parabole dont il présente deux calculs d'aire très
originaux. Il prolonge le travail d’Eudoxe de Cnide sur la méthode d'exhaustion.
Spirale et cercle - rapport de surface : 1/3
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l’étude des aires et des volumes de la sphère et du cylindre (il a d'ailleurs demandé que les
figures correspondant à cette étude soient gravées sur sa tombe9,10). Dans son traité De la
sphère et du cylindre, il a démontré que le rapport des volumes d’une boule et d’un cylindre,
si la sphère est tangente au cylindre par la face latérale et les deux bases, est égal à 2/3, de
même que le rapport de leurs surfaces (en incluant, pour le cylindre, la surface des deux
disques).
l’étude de la spirale qui porte son nom. Il montre que son aire vaut le tiers du cercle qui la
contientnote 1 et utilise sa tangente pour proposer une rectification du cercle (trouver un
segment dont la longueur est égale à la circonférence d'un cercle donné)11.
la méthode d’exhaustion et l’axiome de continuité, présent dans
les Éléments d’Euclide (proposition 1 du livre X) : « En soustrayant de la plus grande de deux
grandeurs données plus de sa moitié, et du reste plus de sa moitié, et ainsi de suite, on
obtiendra (on finira par obtenir en réitérant le procédé un nombre fini de fois) une grandeur
moindre que la plus petite ».
une approche révolutionnaire des calculs d'aires et de volumes par des arguments
de mécanique statique. La Méthode d'Archimède, longtemps perdue, apparaît en particulier
dans un palimpseste connu sous le nom de palimpseste d'Archimède, qui contient également
les traités Des corps flottants, et le Stomachion. De cette méthode, on a pu faire d’Archimède
un précurseur du calcul infinitésimal.
Apports en mécanique
Archimède est considéré comme le père de la mécanique statique. Dans son traité, De l'équilibre
des figures planes, il s'intéresse au principe du levier et à la recherche de centre de gravité.
Après avoir réalisé un levier dans des systèmes de poulies composées pour haler les navires, on
dit qu’Archimède aurait déclaré : « Donnez-moi un point d’appui et je soulèverai le
monde »12 (en grec ancien : δῶς μοι πᾶ στῶ καὶ τὰν γᾶν κινάσω). D’après Simplicius13, cet
appareil censé mettre la terre en mouvement est appelé kharistiôn(χαριστίων). Pappus
d'Alexandrie signale un ouvrage perdu d’Archimède intitulé Sur les Balances à propos du principe
dynamique du levier, qui sous-tend la démonstration du principe de la balance selon lequel les
poids s’équilibrent quand ils sont inversement proportionnels à leur distance respective au point
d’appui : si une partie d’un levier en équilibre est remplacée par un poids égal suspendu en son
milieu, il n’y a pas de changement dans l’équilibre ; c’est sur ce principe que fonctionne
la balance romaine utilisée par les marchands.
Selon Carpos d'Antioche, Archimède n'a composé qu'un livre sur la mécanique appliquée, à
propos de la construction de la sphère armillaire, intitulé La Sphéropée14.
On lui attribue aussi le principe d'Archimède sur les corps plongés dans un liquide (Des corps
flottants). Archimède conçoit, sur ce principe, le plus grand navire de l'Antiquité,
le Syracusia commandité par le tyran de Syracuse Hiéron II et construit par Archias de
Corinthe vers 240 av. J.-C.
Il met en pratique ses connaissances théoriques dans un grand nombre d'inventions. On lui doit,
par exemple,
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des machines de traction où il démontre qu'à l'aide de poulies, de palans (une autre de ses
inventions) et de leviers, l'homme peut soulever bien plus que son poids ;
des machines de guerre (principe de la meurtrière, catapultes, bras mécaniques utilisés dans
le combat naval). Parmi les machines de guerres très importantes l'on doit souligner
l'appareil à mesurer les distances (odomètre) que les Romains empruntèrentnote 2 à
Archimède. En effet pour que l'armée soit efficace, elle doit être reposée et les journées de
marche doivent donc être identiques. La machine d'Archimède doit être réalisée avec des
dents d'engrenage pointues et non carrées. On a mis très longtemps à la reconstituer car on
faisait cette erreur ;
la vis sans fin et la vis d'Archimède, dont il rapporte, semble-t-il, le principe d'Égypte mais où
cette invention ne trouva pas la diffusion que l’irrigation eût pu lui offrir ; on se sert de cette
vis pour remonter de l'eau. On lui attribue aussi l'invention de la vis de fixation et de l'écrou ;
le principe de la roue dentée grâce auquel il construisit un planétaire représentant l'Univers
connu à l'époque ;
certains archéologues lui attribuent également la « machine d'Anticythère » dont des
fragments sont conservés au Musée national archéologique d'Athènes, machine qui
permettait notamment de facilement prévoir les dates et heures des éclipses solaires et
lunaires.
On sait par Plutarque qu’Archimède ne considérait toutes ses machines que comme des
divertissements de géomètre, et privilégiait la science fondamentale : « Il tenait la mécanique
pratique et toute technique utilitaire pour indignes et artisanalesnote 3, et ne consacrait son ambition
qu’aux objets dont la beauté et l’excellence étaient pures de tout souci de nécessité »15. Par
exception, il mit sa mécanique et sa catoptrique au service de Syracuse pour la défendre contre
les Romains, l’existence de la cité étant en jeu.
Légende
Le génie d'Archimède en mécanique et en mathématique fait de lui un personnage exceptionnel
de la Grèce antique et explique la création à son sujet de faits légendaires. Ses admirateurs,
parmi lesquels Cicéron qui redécouvrit sa tombe deux siècles plus tard10, Plutarque qui relata sa
vie, Léonard de Vinci, et plus tard Auguste Comte ont perpétué et enrichi les contes et légendes
d’Archimède.
Traités
Archimède a écrit plusieurs traités, dont douze nous sont parvenus. On suppose que quatre ou
cinq ont été perdus.
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De l’équilibre des figures planes, livre I et II : principe de la mécanique statique, associativité
du barycentre, centre de gravité du parallélogramme, du triangle, du trapèze, de segments
de paraboles..
La Quadrature de la parabole : aire d'un segment de parabole.
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De la sphère et du cylindre, livres I et II : aire du cylindre, du cône, de la sphère, d'un
segment de sphère, volume du cylindre, de la boule, d'un secteur de boule.
Des spirales : aire de domaines limités par une spirale, tangente à la spirale.
Sur les conoïdes et les sphéroïdes : volume d'un segment de paraboloïde, d'hyperboloïde ou
d'ellipsoïde.
Des corps flottants, livres I et II : principe d'Archimède, équilibre de divers corps dans un
liquide.
De la mesure du cercle : aire du disque, circonférence du cercle.
L'Arénaire : nombre de grains de sable contenus dans l'Univers.
De la méthode : l'unique copie de La Méthode et l'unique copie du Traité des corps flottant en
grec datent du Xe siècle et figurent sous un texte religieux du XIIe siècle sur un palimpseste,
le palimpseste d'Archimède. Ce palimpseste a été découvert seulement en 190620,21.
L'expérience d'Archimède, histoire et
légende[modifier | modifier le code]
Article détaillé : Archimède.
Archimède comparant l'or et l'argent
Le Traité des corps flottants, où Archimède énonce les lois de la statique des fluides - et des
conditions d'équilibre des corps solides immergés dans un fluide ou flottant sur lui - est
probablement la plus connue des œuvres d'Archimède, car tout le monde a présent à l'esprit
l'anecdote rapportée par Vitruve suivant laquelle Archimède aurait eu l'intuition du principe
fondamental de l'hydrostatique en prenant un bain5:
Archimède, savant grec qui vécut à Syracuse, en Sicile de 287 av. J.-C. à 212 av. J.-C., est
connu pour ses multiples travaux scientifiques, théoriques ou pratiques, que ce soit
en mathématique ou en physique. Le Traité des corps flottants qui étudie avec rigueur
l'immersion d'un corps, solide ou fluide, dans un fluide de densité inférieure, égale ou supérieure,
jette les bases de la branche de mécanique des fluides, ce que l'on nommera plus tard
« hydrostatique ». Dans cet ouvrage se trouve le théorème qui portera le nom du savant6, qui ne
sera complètement démontré qu'au XVIe siècle.
Le Traité des corps flottants contient d'autres propositions relatives à la poussée d'Archimède6 :
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Proposition III : Un solide de même volume et de même poids (en fait de même masse
volumique) que le liquide dans lequel il est abandonné y enfoncera de façon à n’émerger
nullement au-dessus de la surface, mais à ne pas descendre plus bas.
Proposition IV : Aucun corps plus léger que le liquide où il est abandonné ne sera
complètement immergé, mais restera en partie au-dessus de la surface du liquide.
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Proposition V : Un solide plus léger que le liquide dans lequel on l’abandonne s'y enfonce de
telle façon qu’un volume de liquide égal à la partie immergée a le même poids que le solide
entier.
Proposition VI : Lorsqu’un corps est plus léger que le liquide où on l’enfonce et remonte à la
surface, la force qui pousse en haut ce corps a pour mesure la quantité dont le poids d’un
égal volume de liquide surpasse le poids même du corps.
Proposition VII : Un corps plus lourd que le liquide où on l’abandonne descendra au fond et
son poids, dans le liquide, diminuera d’une quantité mesurée par ce que pèse un volume de
liquide égal à celui du corps.
La couronne du roi Hiéron II[modifier | modifier le code]
Vitruve7 rapporte que le roi Hiéron II de Syracuse (306-214) aurait demandé à son jeune ami et
conseiller scientifique Archimède (âgé alors de 22 ans seulement) de vérifier si une couronne
d'or, qu'il s'était fait confectionner comme offrande à Zeus, était totalement en or ou si l'artisan y
avait mis de l'argent. La vérification avait bien sûr pour contrainte de ne pas détériorer la
couronne. La forme de celle-ci était en outre trop complexe pour effectuer un calcul du volume de
l'ornement. Archimède aurait trouvé le moyen de vérifier si la couronne était vraiment en or, alors
qu'il était au bain public, en observant comment des objets y flottaient. Il serait alors sorti dans la
rue entièrement nu en s'écriant « Eurêka ! » (j'ai trouvé !), formule depuis lors devenue célèbre.
La constatation qu'Archimède fait au bain public est que, pour un même volume donné, les corps
n'ont pas le même poids, c'est-à-dire une masse par unité de volume différente. On parle de nos
jours de masse volumique. L'argent (masse volumique 10 500 kg·m−3) est moins dense que l'or
(masse volumique 19 300 kg·m−3), il a donc une masse volumique plus faible: pour obtenir le
même poids, il faut une plus grande quantité d'argent que d'or. Si l'artisan a caché de l'argent
dans la couronne du roi, Archimède déduit que la couronne doit être plus volumineuse que si elle
avait été faite exclusivement en or. Ainsi fut démasquée la supercherie du joaillier.
La solution au problème[modifier | modifier le code]
Pour répondre à la question du roi Hiéron, Archimède a donc pu comparer les volumes d'eau
déplacés par la couronne et une quantité d'or de poids identique. Si les deux déplacent le même
volume d'eau, leur masse volumique est alors égale et on peut en conclure que les deux sont
composés du même métal. Pour réaliser l'expérience, on peut imaginer plonger la masse d'or
dans un récipient rempli à ras-bord (et muni d'un bec verseur pour mieux observer la chose). Une
certaine quantité d'eau débordera alors du récipient (on peut la recueillir pour la mesurer).
Ensuite, on retire l'or et on le remplace par la couronne à étudier. Si la couronne est bien
totalement en or, alors l'eau ne débordera pas. En revanche, si sa densité est plus faible et donc
son volume plus important pour la même masse, de l'eau supplémentaire débordera.
Le volume d'eau déplacé dépendra de la proportion d'argent dans l'or ; l'or étant
approximativement deux fois plus dense que l'argent, remplacer 10 % en poids d'or par de
l'argent conduit à une hausse de volume de 10 %8. Mais du fait de la forte masse volumique de
l'or, son volume est très faible : le volume d'une couronne de 1 kg d'or n'est que d'un peu plus de
50 cm3 et substituer 10 % d'or par de l'argent ne produit une différence que d'environ de
4,34 cm3 (le volume d'eau d'une petite cuillère)
La méthode ainsi décrite par Vitruve présente deux inconvénients. Le premier est qu'elle ne fait
ici intervenir en rien le principe d'Archimède. Le second problème est qu'avec des conditions
réalistes, en raison de la densité de l'or et du volume faible de la couronne, le volume d'eau
déplacée est très faible et sa mesure est perturbée par l'eau qui peut être perdue dans les
différentes opérations. Il est donc peu probable qu'Archimède ait pu tirer des conclusions
significatives à partir d'une telle expérience.
Une méthode plus réaliste est la suivante. On équilibre une balance avec la couronne d'un côté
et de l'or pur de l'autre, dont les poids sont égaux. Ensuite, on immerge complètement les objets
pesés (pour s'affranchir de l'influence des plateaux de la balance, on peut s'assurer que ceux-ci
sont bien strictement identiques, ou, mieux, les supprimer en les remplaçant par un fil fin et de
densité proche de celle de l'eau). Si la couronne n'est pas en or pur, elle est de volume un peu
plus grand, donc elle produit une force d'Archimède vers le haut un peu plus importante que le
même poids d'or pur et l'équilibre initial de la balance est rompu. Là encore, la différence de
poids est faible ; dans les conditions imaginées plus haut elle correspond au poids de
5 cm3 d'eau, soit 5 grammes. Il faut donc une balance capable de détecter une telle variation de
poids, ce qui est difficile mais pas irréaliste.
L'appareil a effectivement été réalisé sous le nom de balance hydrostatique.
La mort d'Archimède par Edouard Vimont (1846-1930).
En 212 av. J.-C., après plusieurs années de siège, Syracuse tomba aux mains des Romains. Le
général Marcus Claudius Marcellus souhaitait néanmoins épargner le savant. Malheureusement,
selon Plutarque19, un soldat romain croisa Archimède alors que celui-ci traçait des figures
géométriques sur le sol, inconscient de la prise de la ville par l’ennemi. Troublé dans sa
concentration par le soldat, Archimède lui aurait lancé « Ne dérange pas mes cercles ! » (Μὴ μου
τοὺς κύκλους τάραττε Mē mou tous kuklous taratte). Le soldat, vexé de ne pas voir obtempérer le
vieillard de 75 ans, l’aurait alors tué d’un coup d’épée. En hommage à son génie, Marcellus lui fit
de grandes funérailles et fit dresser un tombeau décoré à la demande d'Archimède, d'un cylindre
renfermant une sphère, et, pour inscription, le rapport du solide contenant au solide contenu9.
Cicéron découvrant le tombeau d'Archimède, tableau de Pierre-Henri de Valenciennes peint en 1787.
Cicéron déclare que lors de sa questure en Sicile en 75 av. J.-C., il se mit à la recherche de la
tombe d'Archimède, oubliée des habitants de Syracuse, et qu'il l’identifia au milieu des ronces par
une petite colonne ornée des figures d'une sphère et d'un cylindre