France métrop olitaine/Réunion. Septembre 2017. Enseignement de
spécialité
EXERCICE 5 (5 points) (Candidats ayant suivi l’enseignementdespécialité)
Partie A
Dans l’espace rapporté à un repère orthonormé !O, −→ i,
−→j,
−→k",onconsidèrelespointsA(1 ; 5 ; −2),B(7 ; −1; 3)
et C(−2; 7; −2) et on note Ple plan (ABC).
On cherche une équation cartésienne du plan Psous la forme : ax +by +cz =73,oùa,bet csont des nombres réels.
On note Xet Yles matrices colonnes : X=⎛
⎝
a
b
c
⎞
⎠et Y=⎛
⎝
1
1
1
⎞
⎠.
1) Montrer que Xvérifie la relation : MX =73Y,oùMest la matrice M=⎛
⎝
15−2
7−13
−27−2
⎞
⎠.
2) Soit Nla matrice : N=⎛
⎝
19 4 −13
−86 17
−47 17 36
⎞
⎠.
Àl’aided’unecalculatrice,onacalculélesproduitsM×Net N×M,etonaobtenulescopiesd’écransuivantes:
Pour M×N:PourN×M:
Ans 123
173 0 0
2073 0
30073
Ans 123
173 0 0
2073 0
30073
Àl’aidedecesinformations,justifierquelamatriceMest inversible et exprimer sa matrice inverse M−1en fonction
de la matrice N.
3) Montrer alors que : X=NY .
En déduire que le plan Padmet pour équation cartésienne : 10x+15y+6z=73.
Partie B
L’objectif de cette partie est l’étude des points à coordonnées entières du plan Payant pour équation cartésienne :
10x+15y+6z=73.
1) Soit M(x;y;z)un point appartenant au plan Pet au plan d’équation z=3.Onsupposequelescoordonnées
x,yet zappartiennent à l’ensemble Zdes entiers relatifs.
a) Montrer que les entiers xet ysont solutions de l’équation (E):2x+3y=11.
b) Justifier que le couple (7 ; −1) est une solution particulière de (E)puis résoudre l’équation (E)pour xet y
appartenant à Z.
c) Montrer qu’il existe exactement deux points appartenant au plan Pet au plan d’équation z=3et dont les
coordonnées appartiennent à l’ensemble Ndes entiers naturels.
Déterminer les coordonnées de ces deux points.
2) Dans cette question, on se propose de déterminer tous les points M(x;y;z)du plan Pdont les coordonnées sont
des entiers naturels.
Soient x,yet zdes entiers naturels tels que 10x+15y+6z=73.
a) Montrer que yest impair.
b) Montrer que : x≡1 [3].Onadmetque:z≡3 [5].
c) On pose alors : x=1+3p,y=1+2qet z=3+5r,oùp,qet rsont des entiers naturels.
Montrer que le point M(x;y;z)appartient au plan Psi et seulement si p+q+r=1.
d) En déduire qu’il existe exactement trois points du plan Pdont les coordonnées sont des entiers naturels.
Déterminer les coordonnées de ces points.
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spécialité
EXERCICE 4 : corrigé
Partie A
1) On admet que les points A,Bet Cne sont pas alignés.
P=(ABC)⇒⎧
⎨
⎩
axA+byA+czA=73
axB+byB+czB=73
axC+byC+czC=73
⇒⎧
⎨
⎩
a+5b−2c=73
7a−b+3c=73
−2a+7b−2c=73
⇒⎛
⎝
15−2
7−13
−27−2
⎞
⎠⎛
⎝
a
b
c
⎞
⎠=⎛
⎝
73
73
73
⎞
⎠
⇒MX =73Y.
2) Les résultats obtenus à la calculatrice fournissent MN =NM =73I3ou encore M(1
73N)=(1
73N)M=I3.
Donc, Mest inversible et M−1=1
73N.
3) MX =73Y⇒M−1MX =73M−1Y⇒X=NY.Donc,
⎛
⎝
a
b
c
⎞
⎠=⎛
⎝
19 4 −13
−86 17
−47 17 36
⎞
⎠⎛
⎝
1
1
1
⎞
⎠=⎛
⎝
19 + 4 −13
−8+6+17
−47 + 17 + 36
⎞
⎠=⎛
⎝
10
15
6
⎞
⎠.
Ainsi, Pest nécessairement le plan d’équation 10x+15y+6z=73.Réciproquement,aprèsvérificationdel’appartenance
des points A,Bet Càceplan,lepland’équation10x+15y+6z=73est effectivement le plan (ABC).
Partie B
1) a) Soit M(x, y, 3) un point du plan d’équation z=3àcoordonnéesentières.
M∈P⇔10x+15y+6×3=73⇔10x+15y=55⇔2x+3y=11.
b) 2×7+3×(−1) = 14 −3=11.Donc,lecouple(x0,y
0)=(7,−1) est une solution particulière de l’équation (E).
Soit (x, y)un couple d’entiers relatifs.
2x+3y=11⇔2x+3y=2x0+3y0⇔2(x−x0)=3(y0−y)(∗).
Si le couple (x, y)est un couple d’entiers relatifs solution de (∗).Alors,nécessairement3divise 2(x−x0).Puisqueles
entiers 2et 3sont premiers entre eux (nombres premiers distincts), d’après le théorème de Gauss,3divise x−x0et
donc il existe un entier relatif ktel que x−x0=3kou encore x=x0+3k.
De même, l’entier 2divise y0−yet donc il existe un entier k′tel que y0−y=2k′ou encore y=y0−2k′.
Réciproquement, soient ket k′deux entiers relatifs puis x=x0+3ket y=y0−2k′.
(x, y)solution de (E)⇔2(x−x0)=3(y0−y)⇔2×3k=3×2k′⇔k=k′.
Les couples d’entiers relatifs solutions de (E)sont les couples de la forme (7 + 3k, −1−2k)où kest un entier relatif.
c) Soit kun entier relatif. 7+3k!0⇔k!−7
3⇔k!−2et −1−2k!0⇔−1!2k⇔k"−1
2⇔k"−1.
En résumé, pour kentier relatif, 7+3ket −1−2ksont dans Nsi et seulement si −2"k"−1.Cecifournitexactement
deux points, les points de coordonnées (1,3,3) et (4,1,3).
Il existe exactement deux points appartenant au plan Pet au plan d’équation z=3,dontlescoordonnéessontdes
entiers naturels : les points de coordonnées (1,3,3) et (4,1,3).
2) a) Soient x,yet ztrois entiers naturels.
10x+15y+6z=73⇒0×x+1×y+0×z≡1 [2] ⇒y≡1 [2] ⇒yimpair.
b) Soient x,yet ztrois entiers naturels. Puisque 10 = 3 ×3+1,15 = 3 ×5,6=3×2et 73 = 3 ×24 + 1,
10x+15y+6z=73⇒1×x+0×y+0×z≡1 [3] ⇒x≡1 [3].
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c)
M∈P⇔10(1 + 3p)+15(1+2q)+6(3+5r)=73⇔30p+30q+30r=30⇔p+q+r=1.
d) Puisque p,qet rsont des entiers naturels, p+q+r=1équivaut à (p, q, r)=(1,0,0) ou (p, q, r)=(0,1,0) ou
(p, q, r)=(0,0,1).
Quand (p, q, r)=(1,0,0),onobtientlepointdecoordonnées(4,1,3),quand(p, q, r)=(0,1,0),onobtientlepointde
coordonnées (1,3,3) et quand (p, q, r)=(0,0,1),onobtientlepointdecoordonnées(1,1,8).
Il existe exactement trois points du plan Pdont les coordonnées sont des nombres entiers naturels : les points de
coordonnées respectives (4,1,3),(1,1,3) et (1,1,8).
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