DM3 nombres rééls

IPEST 2019/2020 MPSI 1 Prof : Zied Gharsellaoui
a rendre jeudi 07 Novembre 2019
Devoir a la maison N3
Probleme n1 : Fonctions Sup Stables :
On considére l’ensemble E= [0;1] R:
On dit qu’une application f:E!Eest croissante si et seulement si :
8(x; y)2E2,xy)f(x)f(y)
1-Soit Aune partie non vide de Eet f:E!Eune application.
Justi…er que sup(A)et sup(f(A)) existent et appartiennent à E:
On dit que f:E!Eest sup stable si et seulement si :
8A2P(E); A 6=?)f(sup(A)) = sup(f(A))
2-Soient deux applications f:E!Eet g:E!Equi sont sup stables.
Montrer que gfest sup stable.
3-Montrer que si une application f:E!Eest croissante , alors pour toute partie
non vide Ade E, on a sup(f(A)) f(sup(A)):
4-Exhiber un exemple d’une application f:E!Equi est croissante mais qui
n’est pas sup stable.
5-Montrer que si f:E!Eest sup stable , alors fest croissante.
On considére désormais une application f:E!Equi est sup stable.
On notera F ix(f) = fx2Ejf(x) = xg:l’ensemble des points …xes de f:
On pose X=fx2Ejf(x)xg
6-Montrer que Xposséde une borne infèrieure 2E:
7-Montrer que est le plus petit élément de de F ix(f):
On dé…nit l’ensemble Y=ffn(0) ,n2Ngoù fn=ff::: f
| {z }
n fois
et f0=idE:
8-Justi…er que Yposséde une borne supèrieure dans E:
9-Montrer que f(Y) = ffn(0) ,n2Nget que sup(Y) = sup(f(Y)):
1

10-Montrer que =:
Probleme n2 : Sous groupes additifs de R:
Soit Gune partie de R:
On dit que Gest un sous-groupe additif de Rsi :
|02G
| 8x; y 2G,x+y2G
| 8x2G,x2G
ISous groupes additifs de R:
Soit Gun sous-groupe additif de R:On suppose que G6=f0g:
1-Soit 2R
+,2R:
Montrer qu’il existe n2Ztel que : n  < (n+ 1):
2-Justi…er que G\R
+posséde une borne inférieure :
3-On suppose que  > 0
a-On suppose que  =2G:Montrer qu’il existe xet y(distincts) dans Gappartenant à
l’intervalle ]; 2[:Conclure.
b-En déduire que ZGoù Z=fk ,k2Zg:
c-Soit z2G, en utilisant I)1) , montrer qu’il existe n2Ztel que z=n:
d-En déduire que G=Z:
4-On suppose que = 0:On va montrer que Gest une partie dense de R:
Soit donc (x; y)2R2,x < y:
a-Démontrer qu’il existe g2G\R
+tel que 0< g < y x:
b-On note n=E(x
g):Démontrer que x < (n+ 1)g < y.
c-Conclure.
II Application :
Soit a > 0,b > 0.On pose G=aZ+bZ=fka +pb ,(k; p)2Z2g:
1-Montrer que Gest un sous-groupe additif de R:
2-On suppose que a
b=n m,(n; m)2N2,n^m= 1:
Montrer que : G=a
nZ=b mZ:
Indication :On pourra utiliser l’identité de Bézout.
3-On suppose que a
b=2Q, montrer que Gest dense dans R:
2

4-Conclure que aZ+bZest dense dans Rsi et seulement si a
b=2Q:
5-En considérant un certain sous-groupe additif de Ret en admettant que est
irrationnel , montrer que fcos(n),n2Ngest dense dans [1;1] :
3