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DM3 nombres rééls

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IPEST 2019/2020
MPSI 1
Prof : Zied Gharsellaoui
a rendre jeudi 07 Novembre 2019
Devoir a la maison N 3
Probleme n 1 : Fonctions Sup
On considére l’ensemble E = [0; 1]
Stables :
R:
On dit qu’une application f : E ! E est croissante si et seulement si :
8 (x; y) 2 E 2 , x
y ) f (x)
f (y)
1-Soit A une partie non vide de E et f : E ! E une application.
Justi…er que sup(A) et sup(f (A)) existent et appartiennent à E:
On dit que f : E ! E est sup
stable si et seulement si :
8A 2 P (E) ; A 6= ? ) f (sup(A)) = sup(f (A))
2-Soient deux applications f : E ! E et g : E ! E qui sont sup
Montrer que g f est sup
stables.
stable.
3-Montrer que si une application f : E ! E est croissante , alors pour toute partie
non vide A de E , on a sup(f (A))
f (sup(A)):
4-Exhiber un exemple d’une application f : E ! E qui est croissante mais qui
n’est pas sup
stable.
5-Montrer que si f : E ! E est sup
stable , alors f est croissante.
On considére désormais une application f : E ! E qui est sup
stable.
On notera F ix(f ) = fx 2 E j f (x) = xg :l’ensemble des points …xes de f:
On pose X = fx 2 E j f (x)
xg
6-Montrer que X posséde une borne infèrieure
7-Montrer que
2 E:
est le plus petit élément de de F ix(f ):
On dé…nit l’ensemble Y = ff n (0) , n 2 Ng où f n = f
|
8-Justi…er que Y posséde une borne supèrieure
f
::: f et f 0 = idE :
{z
}
n f ois
dans E:
9-Montrer que f (Y ) = ff n (0) , n 2 N g et que sup(Y ) = sup(f (Y )):
1
10-Montrer que
= :
Probleme n 2 : Sous
groupes additifs de R :
Soit G une partie de R:
On dit que G est un sous-groupe additif de R si :
|02G
| 8x; y 2 G , x + y 2 G
| 8x 2 G ,
I
Sous
x2G
groupes additifs de R :
Soit G un sous-groupe additif de R:On suppose que G 6= f0g :
1-Soit
2 R+ ,
2 R:
Montrer qu’il existe n 2 Z tel que : n
< (n + 1) :
2-Justi…er que G \ R+ posséde une borne inférieure :
3-On suppose que
>0
a-On suppose que
2
= G:Montrer qu’il existe x et y (distincts) dans G appartenant à
l’intervalle ] ; 2 [ :Conclure.
b-En déduire que Z
G où Z = fk , k 2 Zg :
c-Soit z 2 G , en utilisant I)1) , montrer qu’il existe n 2 Z tel que z = n :
d-En déduire que G = Z:
4-On suppose que
= 0:On va montrer que G est une partie dense de R:
Soit donc (x; y) 2 R2 , x < y:
a-Démontrer qu’il existe g 2 G \ R+ tel que 0 < g < y
x:
b-On note n = E( xg ):Démontrer que x < (n + 1)g < y.
c-Conclure.
II
Application :
Soit a > 0 , b > 0 .On pose G = aZ + bZ = fka + pb , (k; p) 2 Z2 g :
1-Montrer que G est un sous-groupe additif de R:
2-On suppose que
a
b
=
n
m
Montrer que : G = na Z =
, (n; m) 2 N
2
, n ^ m = 1:
b
Z:
m
Indication : On pourra utiliser l’identité de Bézout.
3-On suppose que
a
b
2
= Q , montrer que G est dense dans R:
2
4-Conclure que aZ + bZ est dense dans R si et seulement si
a
b
2
= Q:
5-En considérant un certain sous-groupe additif de R et en admettant que
est
irrationnel , montrer que fcos(n) , n 2 Ng est dense dans [ 1; 1] :
3
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