IPEST 2019/2020 MPSI 1 Prof : Zied Gharsellaoui a rendre jeudi 07 Novembre 2019 Devoir a la maison N 3 Probleme n 1 : Fonctions Sup On considére l’ensemble E = [0; 1] Stables : R: On dit qu’une application f : E ! E est croissante si et seulement si : 8 (x; y) 2 E 2 , x y ) f (x) f (y) 1-Soit A une partie non vide de E et f : E ! E une application. Justi…er que sup(A) et sup(f (A)) existent et appartiennent à E: On dit que f : E ! E est sup stable si et seulement si : 8A 2 P (E) ; A 6= ? ) f (sup(A)) = sup(f (A)) 2-Soient deux applications f : E ! E et g : E ! E qui sont sup Montrer que g f est sup stables. stable. 3-Montrer que si une application f : E ! E est croissante , alors pour toute partie non vide A de E , on a sup(f (A)) f (sup(A)): 4-Exhiber un exemple d’une application f : E ! E qui est croissante mais qui n’est pas sup stable. 5-Montrer que si f : E ! E est sup stable , alors f est croissante. On considére désormais une application f : E ! E qui est sup stable. On notera F ix(f ) = fx 2 E j f (x) = xg :l’ensemble des points …xes de f: On pose X = fx 2 E j f (x) xg 6-Montrer que X posséde une borne infèrieure 7-Montrer que 2 E: est le plus petit élément de de F ix(f ): On dé…nit l’ensemble Y = ff n (0) , n 2 Ng où f n = f | 8-Justi…er que Y posséde une borne supèrieure f ::: f et f 0 = idE : {z } n f ois dans E: 9-Montrer que f (Y ) = ff n (0) , n 2 N g et que sup(Y ) = sup(f (Y )): 1 10-Montrer que = : Probleme n 2 : Sous groupes additifs de R : Soit G une partie de R: On dit que G est un sous-groupe additif de R si : |02G | 8x; y 2 G , x + y 2 G | 8x 2 G , I Sous x2G groupes additifs de R : Soit G un sous-groupe additif de R:On suppose que G 6= f0g : 1-Soit 2 R+ , 2 R: Montrer qu’il existe n 2 Z tel que : n < (n + 1) : 2-Justi…er que G \ R+ posséde une borne inférieure : 3-On suppose que >0 a-On suppose que 2 = G:Montrer qu’il existe x et y (distincts) dans G appartenant à l’intervalle ] ; 2 [ :Conclure. b-En déduire que Z G où Z = fk , k 2 Zg : c-Soit z 2 G , en utilisant I)1) , montrer qu’il existe n 2 Z tel que z = n : d-En déduire que G = Z: 4-On suppose que = 0:On va montrer que G est une partie dense de R: Soit donc (x; y) 2 R2 , x < y: a-Démontrer qu’il existe g 2 G \ R+ tel que 0 < g < y x: b-On note n = E( xg ):Démontrer que x < (n + 1)g < y. c-Conclure. II Application : Soit a > 0 , b > 0 .On pose G = aZ + bZ = fka + pb , (k; p) 2 Z2 g : 1-Montrer que G est un sous-groupe additif de R: 2-On suppose que a b = n m Montrer que : G = na Z = , (n; m) 2 N 2 , n ^ m = 1: b Z: m Indication : On pourra utiliser l’identité de Bézout. 3-On suppose que a b 2 = Q , montrer que G est dense dans R: 2 4-Conclure que aZ + bZ est dense dans R si et seulement si a b 2 = Q: 5-En considérant un certain sous-groupe additif de R et en admettant que est irrationnel , montrer que fcos(n) , n 2 Ng est dense dans [ 1; 1] : 3