Compléments sur les installations triphasées équilibrées
( en raisonnant avec les complexes et pas avec les vecteurs de Fresnel )
Rappel :
A chaque grandeur instantanée sinusoïdale, on associe une grandeur complexe telle que l’on ait :
Grandeur instantanée = Re(grandeur complexe)
A – Tensions simples ( système direct ) :
Trois tensions sinusoïdales, de même fréquence, forment un système triphasé de tensions si elles sont
2π
déphasées les unes par rapport aux autres de + ou .
3
Le système triphasé est équilibré lorsqu’il est formé de trois tensions ayant même valeur efficace.
1
Tensions instantanées
Complexes associés
2
v1 = V
2 cos ωt
v1 = V
2 e jω t
v2 = V
2 cos ( ωt −
2π
)
3
v2 = V
jω t
v3 = V
2 cos ( ωt +
2π
)
3
v1
3
v3 v2
N
v2 = V
2e
2e
jω t
−j
e
+j
e
Rq : On a, bien entendu, v 1 = Re ( v 1 ) , v 2 = Re ( v 2 ) , …
Vérifions que v 1 + v 2 + v 3 = 0
Pour vérifier ceci, il suffit de vérifier que la partie réelle de la somme v 1 + v 2 + v 3 est nulle.
v1 + v 2 + v 3 = V
(1 + e
−j
2π
3
+e
+j
2π
3
) = [1 + cos (−
2e
j ωt
(1 + e
−j
2π
3
+e
+j
2π
3
)
2π
2π
2π
2π
) + cos (+
) + j sin (−
) + j sin (+
)]
3
3
3
3
On vérifie, aisément, que cette somme est nulle car :
sin (−
2π
2π
1
2π
2π
) = cos (+
)=−
) = − sin (+
) et cos (−
3
3
2
3
3
v 1 + v 2 + v 3 = 0 entraîne, en particulier, la nullité de la partie réelle.
v1 + v 2 + v 3 = 0
document proposé sur le site « Sciences Physiques en BTS » : http://nicole.cortial.net
2π
3
2π
3
B – Tensions composées :
Définitions des tensions composées et grandeurs complexes associées :
1
u 12
2
•
u 12 = v1 − v 2
•
u 12 = v1 − v 2
3
•
u 23 = v2 − v3
•
u 23 = v2 − v3
•
u 31 = v 3 − v 1
•
u 31 = v 3 − v 1
u 31
u 23
N
On en déduit, immédiatement que la somme :
u 1 2 + u 2 3 + u 3 1 = ( v 1 − v 2 ) + ( v 2 − v 3 ) + ( v 3 − v 1 ) est nulle.
u 1 2 + u 2 3 + u 31 = 0
On peut, bien entendu, écrire également, de façon générale :
2 e jωt e
u12 = U
Remarque : On
U12 = U 2 e
V1 = V
peut,
j ϕ1
j ϕ1
pour
faciliter
2 , V2 = V
2e
les
jϕ2
, U 23 = U 2 e
−j
2 e jωt e
u 23 = U
notations,
3
+j
et V 3 = V
u 31 = U
introduire
et U 3 1 = U 2 e
2π
jϕ2
j ϕ3
les
2 e jωt e
amplitudes
j ϕ3
complexes :
ainsi que les amplitudes complexes
2π
3
2e
afin de s’affranchir de la dépendance en temps
des grandeurs mais … attention si l’on doit dériver !.
Calculons U , ϕ 1 , ϕ 2 et ϕ 3 .
Pour cela, on identifie les différentes expressions des grandeurs complexes.
soit : u 1 2 = V
u 12 = v1 − v 2 = V
2 e j ω t [1 − cos (−
on obtient : u 1 2 = V
2 e jω t [1+
En comparant u 1 2 = U
2e
2π
3
1
jωt
) − j sin (−
3
+j
2
2
2 e jωt e
soit : u 2 3 = V
u 23 = v2 − v3 = V
2 e j ω t [ − 2 j sin (+
2π
3
2π
]
)]
3
U=V
[1 − e
−j
2e
2π
3
jωt
] ce que l’on écrit : u 1 2 = V
j ϕ1
3[
3
2
et la dernière expression obtenue, on obtient :
et
3
−j
[e
2 e jωt
ϕ1 = +
2π
3
−e
+j
π
rad
6
2π
3
]
) ] ou encore : u 2 3 = V
2 e jωt [− j
3].
document proposé sur le site « Sciences Physiques en BTS » : http://nicole.cortial.net
+j
1
2
]
Comme e
−j
π
2
= − j , on écrit, enfin : u 2 3 = V
2 e jωt e
En comparant u 2 3 = U
ϕ2 = −
soit : u 3 1 = V
puis : u 3 1 = V
π
2e
jϕ2
u 31 = v 3 − v 1 = V
2e
2 e j ω t [ − 1 + cos (
2π
jωt
3 [−
En comparant u 3 1 = U
ϕ3 = +
5π
6
rad
2
3 [e
]
et la dernière expression obtenue, on obtient :
+j
[e
) + j sin (
3
2e
π
−j
que l’on peut écrire aussi : ϕ 2 = −
rad
2
jωt
jωt
3
2π
3
2π
3
− 1]
+ j ] et, enfin : u 3 1 = V
2
2
j ϕ3
2 e jωt [−
) ou encore : u 3 1 = V
1
2 e jωt e
2π π
π
=−
+
2
3
6
2e
+j
2
j
jωt
3
3e
3
]
2
5π
6
et la dernière expression obtenue, on obtient :
que l’on peut écrire aussi : ϕ 3 = +
5π
2π π
=+
+
6
3
6
Conclusion :
Les tensions composées forment un système de tensions triphasées équilibré.
La valeur efficace U des tensions composées est reliée à la valeur efficace V des tensions simples
par :
U=V
3
π
La tension composée u 1 2 est en avance de phase de sur la tension simple v 1 .
6
π
La tension composée u 2 3 est en avance de phase de sur la tension simple v 2 .
6
π
La tension composée u 3 1 est en avance de phase de sur la tension simple v 3 .
6
C – Couplage en étoile (récepteur équilibré) :
Le récepteur triphasé est équilibré ; il est constitué de
trois dipôles ( supposés passifs et linéaires ) de même
impédance complexe Z .
Chaque dipôle est soumis à une tension simple ; il est,
alors, traversé par un courant d’intensité instantanée i à
laquelle on associe la grandeur complexe i de valeur
efficace I.
jϕ
Z = Z e ( ϕ dépend des caractéristiques du dipôle)
Z : impédance d’un dipôle.
(1)
v1
Z
neutre
N
v2
(2)
(3)
Récepteurs
couplés
en étoile
i1
Z
Z
v3
i2
i3
document proposé sur le site « Sciences Physiques en BTS » : http://nicole.cortial.net
ϕ représente, aussi, le déphasage de la tension simple imposée au dipôle sur l’intensité instantanée
qui le traverse.
Si le récepteur est équilibré, les intensités i 1 , i 2 et i 3 ont la même valeur efficace I : I =
•
Dipôle 1 : il est traversé par une intensité instantanée i 1 sinusoïdale à laquelle on associe la
2 e jωt e
grandeur complexe i 1 que l’on note : i 1 = I
•
j α1
avec α 1 = − ϕ
Dipôle 2 : il est traversé par une intensité instantanée i 2 sinusoïdale à laquelle on associe la
grandeur complexe i 2 que l’on note : i 2 = I
•
V
.
Z
2 e jωt e
jα2
avec α 2 = −
2π
−ϕ
3
Dipôle 3 : il est traversé par une intensité instantanée i 3 sinusoïdale à laquelle on associe la
grandeur complexe i 3 que l’on note : i 3 = I
Remarque : De façon générale, on pose : v = V
2 e jωt e
jα3
avec α 3 = +
2π
−ϕ
3
2 e j ω t e j θ avec θ = 0 , −
2π
2π
, +
suivant
3
3
que l’on s’intéresse à la tension simple v 1 , v 2 ou v 3 .
On écrit : V
2 e jωt e jθ = Z e jϕ I
2 e j ω t e j α de sorte que l’on a :
θ=ϕ+α
Conséquence :
i1 + i 2 + i 3 = I
−j
2π
+j
2π
3 +e
3 ] e − jϕ
2 e j ω t [1 + e
( voir tensions simples)
1444
424444
3
=0
On a donc : i 1 + i 2 + i 3 = 0
D – Couplage triangle du récepteur triphasé :
Dans un tel couplage, chaque dipôle (supposé
linéaire et passif) du récepteur est soumis à une
tension composée (de valeur efficace U).
i1
(1)
Si le récepteur est équilibré, les intensités j 1 ,
a
u12
U
J=
Z
i2
j3
b
Z
c
(3)
•
u23
j1
(2)
Z
Z
j 2 et j 3 ont la même valeur efficace J :
Récepteurs
couplés
en triangle
j2
i3
Dipôle 1 : il est traversé par une intensité
instantanée j 1 sinusoïdale à laquelle on
associe la grandeur complexe j 1 que l’on note : j 1 = J
2 e jωt e
j β1
avec β 1 =
document proposé sur le site « Sciences Physiques en BTS » : http://nicole.cortial.net
π
−ϕ .
6
•
Dipôle 2 : il est traversé par une intensité instantanée j 2 sinusoïdale à laquelle on associe la
grandeur complexe j 2 que l’on note : j 2 = J
•
2 e jωt e
jβ2
avec β 2 = −
π
−ϕ
2
Dipôle 3 : il est traversé par une intensité instantanée j 3 sinusoïdale à laquelle on associe la
grandeur complexe j 3 que l’on note : j 3 = J
2 e jωt e
jβ3
avec β 3 = +
5π
−ϕ
6
2 e j ω t e j φ avec φ =
Raisonnement : De façon générale, on pose : u = U
π
π
5π
, − , +
suivant
6
2
6
que l’on s’intéresse à la tension composée u 1 2 , u 2 3 ou u 3 1 .
On écrit : U
2 e jωt e jφ = Z e jϕ J
2 e j ω t e j β de sorte que l’on a :
φ=β+ϕ
Conséquence :
j1 + j 2 + j 3 = J
2 e jω t [e
+j
π
−j
+e
6
π
+e
2
+j
5π
6
]e − jϕ
( voir tensions simples)
1444
424444
3
=0
On a donc :
j1 + j 2 + j 3 = 0
Si le dipôle récepteur est équilibré, les intensités forment un système triphasé équilibré.
Relation entre les valeurs efficaces I et J :
Par application de la loi des nœuds, on obtient : i 1 = j 1 − j 3
On a donc : i 1 = j 1 − j 3 ce qui s’écrit : i 1 = J
Soit : i 1 = J
2e
jωt
j
[e
i 2 = j 2 − j1
π
−e
6
+j
i 3 = j3 − j2
5π
6
] e − jϕ
2 ejω t [ 3 ] e − jϕ
On constate que cette expression de l’intensité correspond avec l’expression de i 1 obtenue au
paragraphe précédent c’est-à-dire :
i1 = I
L’identification des deux expressions nous donne : I = J
On a donc : i 2 = j 2 − j 1 ce qui s’écrit : i 2 = J
Soit : i 2 = J
2 e j ω t [ 3 ] (− j
2e
jωt
2 e jωt e − jϕ
3
−j
[e
π
2
−e
+j
π
6
] e − jϕ
3
1
− ) e − jϕ
2
2
document proposé sur le site « Sciences Physiques en BTS » : http://nicole.cortial.net
2π
−j
−j
3 1
3 de sorte que l’on obtient : i = J 2 e j ω t [ 3 ] e
Or, (− j
− )=e
2
2
2
correspond à l’expression de i 2 obtenue au paragraphe précédent.
On a aussi : i 3 = j 3 − j 2 ce qui s’écrit : i 3 = J
Soit : i 3 = J
2 e j ω t [ 3 ] (−
1
+j
2
3
2e
jωt
+j
[e
5π
6
−e
−j
2π
3
e − j ϕ ce qui
π
2
] e − jϕ
) e − jϕ
2
2π
+j
3
=e
+j
3
1
de sorte que l’on obtient : i 3 = J 2 e j ω t [ 3 ] e
Or, (− + j
)
2
2
correspond à l’expression de i 3 obtenue au paragraphe précédent.
2π
3
e − j ϕ ce qui
Conclusion : Le couplage (étoile ou triangle) du récepteur ne change absolument pas les intensités
en ligne ! On peut donc imaginer, dès à présent, que l’énergie consommée par ce récepteur ne sera
pas modifiée par le type de couplage.
E – Représentation de Fresnel :
Dans les deux cas, la
référence des phases est la
tension simple v 1 !
V3
- V1
U
I3
+
U 12
31
ϕ
-V2
ϕ
ϕ
I2
V1
Référence des phases
I1
V2
U
23
- V3
Exemple d’un récepteur inductif ( ϕ > 0)
document proposé sur le site « Sciences Physiques en BTS » : http://nicole.cortial.net
I3
U
+
U 12
J3
31
ϕ
ϕ
Référence des phases
J1
-J3
ϕ
I2
J2
I1
U
23
Exemple d’un récepteur inductif ( ϕ > 0)
F – Mesure de puissances :
•
Mesure de la puissance active (ligne à 4 fils avec neutre accessible) :
Soit P W l’indication du wattmètre.
W
On a, dans le cas ci-contre :
PW =
1
2
i1
(1)
{
Re v 1 × i 1 *
}
(2)
v
(3)
Récepteur
1
équilibré
(N)
Or, chaque intensité en ligne est déphasée de ϕ par rapport à la tension simple correspondante c’est-àdire qu’il y a le même déphasage entre l’intensité i 1 et la tension simple v 1 qu’entre l’intensité i 2 et
la tension simple v 2 ou qu’entre l’intensité i 3 et la tension simple v 3 . Cette remarque entraîne, de
fait, les égalités suivantes :
PW =
1
{
}
Re v 1 × i 1 * =
1
{
}
Re v 2 × i 2 * =
1
{
Re v 3 × i 3 *
}
2
2
2
Conséquence : La puissance totale consommée par l’installation ( et ceci quel que soit le couplage) est
égale à : P tot = 3 P W
•
Soient
P W1
et
P W2
les
puissances
respectives
indiquées par les wattmètres.
¾
P W1
= Re {u
2
1
13
× i1
*
}
Méthode des deux wattmètres :
(1)
i
W1
u
(2)
Récepteur
13
i
u
W2
23
(3)
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triphasé
équilibré
soit :
1
= Re − U
2
P W1
ou encore : P W1
¾
P W2 =
soit : P W 2
1
2
2e
j
jωt
e
×I
2e
− jωt
e
jϕ
5π
j
UI
= Re − U I e 6 e j ϕ que l’on écrit aussi : P W1 = +
2
{
Re u 2 3 × i 2 *
= Re U
2
1
ou encore : P W 2
5π
6
2e
{
3 cos ϕ + sin ϕ
}
}
−j
jωt
e
π
2
×I
2e
− jωt
+j
2π
e
3
e
jϕ
π
j
UI
= Re U I e 6 e j ϕ que l’on écrit aussi : P W1 = +
2
{
3 cos ϕ − sin ϕ
}
¾ La puissance active totale consommée par l’installation (et ceci quel que soit le couplage) vaut
alors :
P tot = U I
3 cos ϕ = P W1 + P W 2
Remarque : Cette méthode permet d’accéder, également, à la puissance réactive totale consommée.
Q tot = U I
•
PW =
2
{
Re u 2 3 × i 1
(1)
*
PW
i1
W
}
u 23
(3)
2e
jωt
e
−j
que l’on peut écrire : P W =
On a donc : Q tot = U I
π
2
×I
{
2 e − jω t e jϕ
}
1
Re 2 U I ( − j ) e j ϕ puis : P W = U I sin ϕ
2
3 sin ϕ =
Récepteur
triphasé
(2)
soit :
1
= Re U
2
3 ( P W1 − P W 2 )
Mesure de la seule puissance réactive :
Soit P W l’indication du wattmètre.
1
3 sin ϕ =
3 PW
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équilibré
